2.5.2矩形的判定同步练习含答案

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矩形的判定专项练习题

矩形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．求证：（1）∠A=90°；（2）四边形ABCD是矩形．2．如图，已知平行四边形ABCD，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M．（1）试说明：∠BGC=90°；（2）连接BM，判断四边形GBMC的形状并说明理由．3．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E．（1）四边形OCDE是矩形吗？说说你的理由；（2）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．4．△ABC中，AD⊥BC于D，点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF 是矩形？说明理由．5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O．（1）用尺规作图的方法，作出△AOB平移后的△DEC，其中平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD 的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）观察图形，判断四边形DOCE是什么特殊四边形，并证明．6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．7．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作BD的平行线CE，过点D作AC的平行线DE，CE与DE 相交于点E，试说明四边形OCED是矩形．8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；（2）若BD=DC，连接CM，求证：四边形ABCM为矩形．9．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，连接AC、DE相交于点O．（1）试说明：△AOD≌△COE；（2）若∠B=∠AOE，试说明四边形AECD是矩形的理由．11．如图，以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150°，求证：四边形AEFD为矩形．12．（1）在等腰三角形ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF长．（2）如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．①求证：△ABF≌△ECF；②若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．13．如图，AD是△ABC的中线，过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD交AE于点E，（1）求证：AE=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是矩形？请说明理由．14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG=（AD+BC）．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）连接DG，若∠ADG=2∠ADE，求证：四边形DEGF是矩形．15．已知，如图在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F，求证：四边形AECF是矩形．16．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，且CE=AB．求证：四边形CFED是矩形．17．如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F；（1）试说明四边形AECF是平行四边形．（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．（3）当EF与AC有怎样的关系时，四边形AECF是矩形．18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F．（1）说明四边形AEDF是矩形．（2）试问：当点D位于BC边的什么位置时，四边形AEDF是正方形？并说明你的理由．19．如图，△ABC中，D为边AC的中点，过点D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，求证：（1）ED=DF；（2）四边形AECF为矩形．20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．21．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点，（不与点A，C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？（2）探索：当点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？22．（2013?沙湾区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，求证：四边形ABCD是矩形．24．如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求证：PMQN为矩形．25．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形．26．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，则四边形AFCE是矩形．27．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并说明理由．28．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．29．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．30．如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCED为矩形．矩形的判定专项练习30题参考答案：1．（1）∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵△DAF≌△CBE，∴∠A=∠B，∴2∠A=180°，∴∠A=90°；（2）∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形2．（1）∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF平分∠ABC，∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°；（2）∵点H为BC的中点，∴BH=CH=GH，∵GB∥CM，∴∠BGH=∠CMH，∵∠HBG=∠HGB，∴∠HCM=∠HMC，∴MH=BH=CH=GH，∴四边形GBMC为矩形3．（1）四边形OCDE是矩形．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴四边形OCED是矩形．（2）任意改变四边形ABCD的形状，四边形OCED都是平行四边形（答案不唯一）．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．4．满足△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴BD=CD，∵点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，∴DF∥AB，ED∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠BAC=90°∴AEDF是矩形．5．（1）所作图形如图所示：（2）四边形DOCE是矩形．∵△DCE是由△AOB平移后的图形，∴DE∥AC，CE∥BD．∴四边形DOCE是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．即∠DOC=90°∴四边形DOCE为矩形．6．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，OD=OB，∵AN=CM ON=OB，∴ON=OM=OD=OB，∴四边形NDMB为平行四边形，∵MN=BD，∴平行四边形NDMB为矩形7．∵DE∥AC，CE∥BD，∴DE∥OC，CE∥OD∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形8．（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，即DM∥BE，∵E、F分别是边BC、CD的中点∴EF∥BD，∴四边形DBEM是平行四边形．（2）证明：连接DE，∵DB=DC，且E是BC中点，∴DE⊥BC，∴DE∥AB．又∵AB⊥BC，∴AB∥DE∵由（1）知四边形DBEM是平行四边形，∴DM∥BE且DM=BE，∴DM∥EC且DM=EC，∴四边形DMCE是平行四边形，∴CM∥DE，∴AB∥CM．又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCM是矩形．9．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．∵AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACP，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．10．（1）∵BC=2AD，点E是BC的中点，∴EC=AD．∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．在△AOD和△COE 中，∴△AOD≌△COE（ASA）；（2）∵AD=BE，AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形；同理可得：四边形AECD是平行四边形．∴∠ADO=∠B．∵∠B=∠AOE，∴∠AOE=2∠B．∴∠AOE=2∠ADO．∵∠AOE=∠ADO+∠DAO，∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD．∴AC=DE．∴四边形AECD是矩形．11．：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC．又∵BD=BA，BF=BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC=DF=AE，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD，∴四边形DAFEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵∠BAC=150°，∴∠DAE=150°﹣∠DAB﹣∠EAC=90°，∴四边形AEFD为矩形．12．1）解：∵ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A=∠C=45°，CD=AD，∴BD=CD=AD，BD平分∠ABC，∴∠EBD=45°=∠C，∵BD⊥AC，DE⊥DF，∴∠BDC=∠EDF=90°，∴∠BDC﹣∠BDF=∠EDF﹣∠BDF，∴∠EDB=∠FDC，∵在△EDB和△FDC中∴△EDB≌△FDC（ASA），∴FC=DE=3，同理△AED≌△BFD，∴DF=AE=4，在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF==5；（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CD=CE，∴AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AF=FE，BF=FC，∵在△ABF和△ECF中∴△ABF≌△ECF（SSS）；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠FAB，∵∠ABC=∠FAB，∴AF=FB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=2AF，BC=2BF，∴AE=BC，∵四边形ABEC是平行四边形，∴四边形ABEC是矩形．13．（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD．（2）当AB=AC时，四边形ADBE是矩形，理由是：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形14．1）证明：如图，连接EF．∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，∴，EF∥AD∥BC．∵，∴EF=CG．∴四边形EGCF是平行四边形．∴EG=FC且EG∥FC．∵F是CD的中点，∴FC=DF．∴EG=DF且EG∥DF．∴四边形DEGF是平行四边形．（2）证明：连接EF，将EF与DG的交点记为点O．∵∠ADG=2∠ADE，∴∠ADE=∠EDG．∵EF∥AD，∴∠ADE=∠DEO．∴∠EDG=∠DEO．∴EO=DO．∵四边形DEGF是平行四边形，∴，．∴EF=DG，∴平行四边形DEGF是矩形．即四边形DEGF是矩形．15．∵点D是AC的中点，∴DA=DC，∵AE∥BC，∴∠AED=∠CFD，在△ADE和△CDF 中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，又∵AE∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE∥BC，EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF，∵AB=AC，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形．16．∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，DF=AB，CF=BC，∴DE=CF，∴四边形CFED平行四边形，又∵CE=AB，∴CE=DF，∴平行四边形CFED是矩形，故四边形CFED是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AEO∽△CFO，∴=，∵OA=CO，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）证明：∵四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（3）解：当EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由是：由（1）知：四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形18．（1）∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=∠A=90°，∴四边形AEDF是矩形；（2）当D时BC的中点时，四边形AEDF是正方形；JU理由：∵D是BC的中点，∴BD=DC∵AB=AC∴∠B=∠C又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BDF=∠DEC∴△BFD≌△DCE，∴DF=DE，∴矩形AEDF是正方形．19．（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，又∵MN∥BG，∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，∴DE=DC，DF=DC，∴DE=DF．（2）∵D为AC的中点，∴AD=DC，又DE=DF，∴四边形AECF为平行四边形，∵∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF为矩形20．∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形21．（1）解：OE=OE，理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE=∠BCE，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理OF=OC，∴OE=OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE=OF=OC=OA，∴AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形22．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．23．∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=AC，OB=OD=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，即四边形ABCD是矩形24．∵ABCD为平行四边形，∴AD平行且等于BC，又∵M为AD的中点，N为BC的中点，∴MD平行且等于BN，∴BNDM为平行四边形，∴BM∥ND，同理AN∥MC，∴四边形PMQN为平行四边形，（5分）连接MN，∵AM平行且等于BN，∴四边形ABNM为平行四边形，又∵AD=2AB，M为AD中点，∴BN=AB，∴四边形ABNM为菱形，∴AN⊥BM，∴平行四边形PMQN为矩形．（10分）25．∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵AF⊥BC，∴∠AFC=90°，则四边形AECF为矩形．26．（1）证明：∵AF∥BE，∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠DCE，∵D是AC的中点，∴AD=DC，在△FAD和△ECD中，∴△FAD≌△ECD（AAS），∴AF=CE；（2）证明：∵△FAD≌△ECD，∴FD=DE，∵AD=DC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形27．（1）证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，∵DB=AC，∴DB=EC，又∵DB∥AC，∴四边形BCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴BC=DE；（2）解：△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．理由如下：∵E是AC的中点，∴AE=AC，∵DB=AC，∴DB=AE，又∵DB∥AC，∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵AB=BC，E为AC中点，∴∠AEB=90°，∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．28．是矩形．（1分）理由：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴DE⊥CE，∴∠E=90°，∴平行四边形OCED是矩形29．∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC=CD，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC=BE，BE=BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形30．在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE又DE=BC．∴四边形BCED为平行四边形．在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD=BE．∴四边形BCED为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）。

矩形的性质练习题及答案

矩形的性质练习题及答案
练题
1. 矩形是一种特殊的四边形，具有哪些特点？
2. 矩形的四边分别叫什么？
3. 矩形的对角线有什么特点？
4. 如何判断一个四边形是否为矩形？
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (A) 正方形
- (B) 长方形
- (C) 梯形
- (D) 菱形
6. 一个矩形的长和宽分别为8cm和6cm，求他的面积和周长。

答案
1. 矩形具有以下特点：
- 四个角都是直角（90°）
- 两对相邻边相等
- 对角线相等
2. 矩形的四边分别叫：
- 上边（或上底）
- 下边（或下底）
- 左边（或左底）
- 右边（或右底）
3. 矩形的对角线有以下特点：
- 对角线长度相等
- 对角线互相垂直（成直角）
4. 判断一个四边形是否为矩形，需满足以下条件：- 四个角都是直角
- 两对相邻边相等
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (C) 梯形
6. 长为8cm，宽为6cm的矩形的面积和周长计算如下：
- 面积：8cm × 6cm = 48cm²
- 周长：2 × (8cm + 6cm) = 28cm
注意：矩形的面积单位为平方单位，周长单位为长度单位。

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以上为矩形的性质练习题及答案。

了解矩形的特点和计算方法能够帮助我们更好地理解和应用矩形的性质。

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初二数学矩形的判定作业练习题(含答案)

初二数学矩形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是( )A ．两条对角线互相平分B ．一组邻边相等C ．两条对角线相等D ．两条对角线互相垂直2．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )A ．AB CD = B ．AC BD = C ．AB BC = D ．AC BD ⊥3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是( )A ．一般平行四边形B ．一般四边形C ．对角线垂直的四边形D ．矩形4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量其中三个角是否都为直角B ．测量对角线是否相等C ．测量两组对边是否分别相等D ．测量对角线是否相互平分5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为 7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是．8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是（填写一个即可）．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是．10．对角线的四边形是矩形．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD中，6AD=．求证：平行四边形ABCD是矩形．AC=，8AB=，1012．如图，AC是ABCD=，连接DEY的对角线，延长BA至点E，使AE AB（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）连接EC交AD于点O，若2∠=∠，求证：四边形ACDE是矩形．EOD B13．如图，AD是ABC=．AE BC，BE交AD于点F，且AF DF∆的中线，//（1）求证：AFE DFB∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB、AC之间满足条件_______________时，四边形ADCE是矩形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．能判定一个平行四边形是矩形的条件是()A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定（对角线互相平分），矩形的判定（对角线互相平分且相等），菱形的判定（对角线互相平分且垂直或一组邻边相等的平行四边形）判断即可．【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C．2．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是() A．AB CD⊥=D．AC BD=B．AC BD=C．AB BC【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AC BD=；理由如下：Q四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．3．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是()A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．【解答】解：如图；Q四边形ABCD是平行四边形，∴∠+∠=︒；DAB ADC180Q、DH平分DABAH∠、ADC∠，EHG∠=︒；∴∠+∠=︒，即90HAD HDA90同理可证得：90∠=∠=∠=︒；HEF EFG FGH故四边形EFGH是矩形．故选：D．4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是()A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；B 、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；C 、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；D 、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；故选：A ．5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD = C ．AD AB = D ．BAD ADC ∠=∠【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．【解答】解：A ．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；B ．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；C ．不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D ．平行四边形ABCD 中，//AB CD ，180BAD ADC ∴∠+∠=︒，又BAD ADC ∠=∠Q ，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项不符合题意．故选：C ．二．填空题（共5小题）6．要使ABCD Y 为矩形，则可以添加一个条件为对角线相等或有一个直角；【分析】根据矩形的判断方法即可解决问题；【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为对角线相等或有一个直角；7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是对角线相等的平行四边形是矩形．【分析】根据矩形和平行四边形的判定方法填空即可．【解答】解：先测量两组对边是否分别相等，可判定是否是平行四边形，然后测量两条对角线是否相等可判定是否是矩形，所以这样做的依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．8．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 且AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是 AC BD =或有个内角等于90度（填写一个即可）．【分析】因为在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD 成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】解：Q 对角线AC 与BD 互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，要使四边形ABCD 成为矩形，需添加一个条件是：AC BD =或有个内角等于90度．故答案为：AC BD =或有个内角等于90度．9．如图，在ABC ∆，AB AC =，点D 为BC 的中点，AE 是BAC ∠外角的平分线，//DE AB 交AE 于E ，则四边形ADCE 的形状是矩形．【分析】首先利用外角性质得出B ACB FAE EAC ∠=∠=∠=∠，进而得到//AE CD ，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE 是平行四边形，即可求出四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：AB AC =Q ，B ACB ∴∠=∠，Q 点D 为BC 的中点，90ADC ∴∠=︒，AE Q 是BAC ∠的外角平分线，FAE EAC ∴∠=∠，B ACB FAE EAC ∠+∠=∠+∠Q ，B ACB FAE EAC ∴∠=∠=∠=∠，//AE CD ∴，又//DE AB Q ，∴四边形AEDB 是平行四边形，AE ∴平行且等于BD ，又BD DC =Q ，AE ∴平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒Q ，∴平行四边形ADCE 是矩形．即四边形ADCE 是矩形．故答案为矩形．10．对角线互相平分且相等四边形是矩形．【分析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形为矩形．【解答】解：由对角线互相平分且相等的四边形为矩形可知，故填：互相平分且相等．三．解答题（共3小题）11．在平行四边形ABCD 中，6AB =，10AC =，8AD =．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】根据勾股定理的逆定理得到90ABC ∠=︒，从而判定矩形．【解答】解：10AC =Q ，10BD AC ∴==，6AB =Q ，8AD =，222AC AB BC ∴=+，90ABD ∴∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形．12．如图，AC 是ABCD Y 的对角线，延长BA 至点E ，使AE AB =，连接DE（1）求证：四边形ACDE 是平行四边形；（2）连接EC 交AD 于点O ，若2EOD B ∠=∠，求证：四边形ACDE 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB CD =，//AB CD ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ACDE 是平行四边形；（2）由三角形的外角可证ADC OCD ∠=∠，可得OC OD =，即可得AD EC =，可证四边形ACDE 是矩形．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，AE AB =Q ，AE CD ∴=，且//AB CD ，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）Q 四边形ABCD 是平行四边形，B ADC ∴∠=∠，2EOD B ∠=∠Q2EOD ADC ∴∠=∠，且EOD ADC OCD ∠=∠+∠， ADC OCD ∴∠=∠，OC OD ∴=，Q 四边形ACDE 是平行四边形；AO DO ∴=，EO CO =，且OC OD =， AD CE ∴=，∴四边形ACDE 是矩形．13．如图，AD 是ABC ∆的中线，//AE BC ，BE 交AD 于点F ，且AF DF =．（1）求证：AFE DFB ∆≅∆；（2）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB 、AC 之间满足什么条件时，四边形ADCE 是矩形．【分析】（1）由“AAS ”可证AFE DFB ∆≅∆；（2）由全等三角形的性质和中线性质可得AE CD =，且//AE BC ，可证四边形ADCE 是平行四边形；（3）由等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，即可得四边形ADCE 是矩形．【解答】证明：（1）//AE BC Q ，AEF DBF ∴∠=∠，且AFE DFB ∠=∠，AF DF = ()AFE DFB AAS ∴∆≅∆（2）AFE DFB ∆≅∆Q ，AE BD ∴=，AD Q 是ABC ∆的中线，BD CD ∴=AE CD ∴=//AE BC Q∴四边形ADCE 是平行四边形；（3）当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形； AB AC =Q ，AD 是ABC ∆的中线，AD BC ∴⊥，90ADC ∴∠=︒Q 四边形ADCE 是平行四边形∴四边形ADCE 是矩形∴当AB AC =时，四边形ADCE 是矩形．。

《矩形的性质和判定》同步练习及答案

矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=，故答案为：．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。

2.5.2矩形的判定同步练习(答案版)

2.5.2矩形的判定1.已知平行四边形ABCD，下列条件，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件，不能判定□ABCD为矩形的是( C )A．AC＝BDB．AB＝6，BC＝8，AC＝10C．AC⊥BDD．∠1＝∠23.平行四边形的四个内角的平分线相交所构成的四边形一定是( D )A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形4.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( B )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为( B ) A．4 B．3 C．2 D．1【点拨】要使▱ABCD是矩形，则OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3.6.如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( B )A．OM＝12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND7.在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( B )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【点拨】▱ABCD的面积最大时，AB⊥BC，即▱ABCD是矩形，根据矩形的性质判断．8.在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C ) A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD【点拨】∵∠B＋∠C＝180°，∴AB∥DC，∵∠A＝∠C，∴∠B＋∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．而由AC⊥BD，即对角线互相垂直不能判定▱ABCD是矩形．【答案】C9.在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( C )A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线互相垂直【点拨】此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．【答案】C10.如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，连接BG，BH.则下列结论错误的是( C )A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE＝CE，则四边形BHCG为矩形C．若HE＝CE，则四边形BHCG为矩形D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5【点拨】∵∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG.∵DE∥AC，∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG.∴EC＝EG.同理可得HE＝EC，∴HE＝EC＝EG＝12 HG.若CH∥BG，易知∠HCG＝∠BGC＝90°，易知∠EGB＝∠EBG，∴BE＝EG，∴BE＝EG＝HE＝EC，∴四边形CHBG是平行四边形．∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故A正确；若BE＝CE，∴BE＝CE＝HE＝EG，∴四边形CHBG是平行四边形．∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故B正确；若HE＝EC，无法判定四边形BHCG为矩形，故C错误；若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，∴CE＝2.5，故D正确．【答案】C11.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件AC＝BD(答案不唯一) ，使得□ABCD是矩形.12.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则EH＝ 5 .13.在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AC＝12，BD＝9，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形的面积是___27_____．14.如图，在矩形ABCD 中，BC ＝20 cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3 cm/s 和1 cm/s ，则最快____5____s 后，四边形ABPQ 为矩形．【点拨】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ＝20 cm.设最快x s 后，四边形ABPQ 为矩形，∵四边形ABPQ 是矩形，∴AQ ＝BP.∴3x ＝20－x ，∴x ＝5.15.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为___125_____．【点拨】连接AD.∵∠BAC ＝90°，BA ＝3，AC ＝4，∴BC ＝BA 2＋AC 2＝5.∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠DMA ＝∠DNA ＝∠BAC ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．∴MN ＝AD.当AD ⊥BC 时，AD 的值最小．此时△ABC 的面积＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝125.∴MN 的最小值为125. 16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，CD ．求证：EF ＝CD ．证明：∵DE ，DF 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱DECF是矩形，∴EF＝CD.17.如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．证明：连接EO.∵O是AC，BD的中点，∴OA＝OC，OB＝OD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠AEC＝∠BED＝90°，∴OE＝12AC，OE＝12BD.∴BD＝AC.∴▱ABCD是矩形.18.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC 交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.(1)证明：∵AB∥DC，FC＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．(2)：∵四边形ABCF是矩形，∴∠AFC＝∠AFD＝90°.∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.∴EA ＝EG.19.如图，已知点E 是□ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F.(1)连接AC ，BF ，若∠AEC ＝2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD 是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠ECF ，又∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△ABE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠ABE ＝∠ECFBE ＝CF ∠AEB ＝∠FEC，∴△ABE ≌△FCE(ASA)；∴AE ＝EF ，AB ＝CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵∠AEC ＝2∠ABC ＝∠ABC ＋∠BAE ，∴∠ABC ＝∠BAE ，∴AE ＝BE.∵AE ＝EF ，BE ＝CE ，∴AF ＝BC.∴平行四边形ABFC 是矩形．(2)：∵△AFD 是等边三角形，∴∠AFC ＝60°，AF ＝DF ＝4，∴CF ＝CD ＝2，∵四边形ABFC 是矩形，∴∠ACF ＝90°，∴AC ＝AF 2－CF 2＝23，∴四边形ABFC 的面积＝AC ·CF ＝4 3.20.如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长 AE 至G ，使EG ＝AE ，连接CG.(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝12OB ，DF ＝12OD ，∴BE ＝DF ， ∵在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF( SAS)；(2)解：当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形．理由如下：∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴同理，CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG ＝AE ，OA ＝OC ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形．21.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，AD ＝12 cm ；P 点在AD 边上以每秒1cm 的速度从A 向D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在CB 间往返运动，两点同时出发，待P 点到达D 点为止，求经过多长时间四边形ABQP 为矩形？解：∵在矩形ABCD 中，AD ＝12 cm ，∴AD ＝BC ＝12 cm.当四边形ABQP 为矩形时，AP ＝BQ.①当0＜t ＜3时，t ＝12－4t ，解得t ＝125； ②当3≤t ＜6时，t ＝4t －12，解得t ＝4；③当6≤t ＜9时，t ＝36－4t ，解得t ＝365； ④当9≤t ≤12时，t ＝4t －36，解得t ＝12.综上所述，当t 为125s 或4s 或365s 或12 s 时，四边形ABQP 为矩形．22.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AD 与BE 交于点O ，点F 、G 分别是BO 、AO 的中点，分别连接DE 、EG 、GF 、FD.(1)求证：GF ∥DE ；(2)若AC ＝BC ，求证：四边形EDFG 是矩形．(1)证明：∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB 且DE ＝12AB. ∵点F 、G 分别是BO 、AO 的中点，∴FG 是△OAB 的中位线，∴FG ∥AB 且FG ＝12AB.∴GF ∥DE. (2)：由(1)GF ∥DE ，GF ＝DE ，∴四边形EDFG 是平行四边形．∵AD 、BE 是BC 、AC 上的中线，∴CD ＝12BC ，CE ＝12AC. 又∵AC ＝BC ，∴CD ＝CE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠C ＝∠C CD ＝CE，∴△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE.∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∴∠DAB ＝∠EBA ，∴OB ＝OA.∵点F 、G 分别是OB 、AO 的中点，∴BF ＝12OB ，AG ＝12OA ，∴BF ＝AG ， ∵BE ＝AD ，∴EF ＝DG ，∴四边形EDFG 是矩形．23.如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB ，∠ACD 的平分线于点E ，F.(1)若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长；(2)连接AE ，AF.问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．(1)解：∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACD 的平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠DCF.∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF.∵∠OCE ＋∠BCE ＋∠OCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠OCE ＋∠OCF ＝90°，即∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝CE 2＋CF 2，∴EF ＝82＋62＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5. (2)解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当点O为AC的中点时，有AO＝CO，由(1)知EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．24.【中考·连云港】如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形？并说明理由．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵△ABC经过平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形．(2)解：如图，当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．理由：∵AB＝AC，点E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC.∵△ABC经过平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．25.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？(1)解：四边形ADEF是平行四边形．理由如下：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC.∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF.∴DE＝AF.同理可得△ABC≌△FEC，∴EF＝BA＝DA.∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形．(2)【点拨】第(2)问利用逆向思维法来解，即由四边形ADEF是矩形来推断△ABC应满足的条件，利用周角的定义来探究∠BAC的度数即可．解:若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.∵∠DAB＝∠FAC＝60°，∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．。

冀教版八年级数学下册《22.4.2矩形的判定》同步练习(含答案)

冀教版八年级数学下册《22.4.2矩形的判定》同步练习（含答案）1．在▱ABCD中，∵∠ABC＝________°，∴▱ABCD是矩形．2．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：图15甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧；2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图15)．图16乙：1.连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD 即为所求(如图16)．对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对3．如图17，在△ABC中，D是BC边上的点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：BD＝CD；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．图174．在四边形ABCD中，∵∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝________°，∴四边形ABCD是矩形．5．如图18所示，已知在▱ABCD中，各个内角的平分线相交于点E，F，G，H.(1)猜想EG与FH之间的数量关系；(2)试证明你猜想的正确性．图186．如图19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )图19A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC7．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是( )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＋∠BCD＝180°，AC⊥BDD．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD7．如图20，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形.图209．如图21，E，F分别为△ABC的边BC，AB的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DB，AE.(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AB＝AC，试说明四边形AEBD是矩形．图2110．如图22，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A．AD＝BC B．AB＝CDC．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB图22 图2311．如图23，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为________．12．如图24，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.求证：四边形EFNM是矩形．图2413．如图25所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以1 cm/s的速度同时向点C，A运动．(1)四边形DEBF是平行四边形吗？请判断并说明理由；(2)若BD＝12 cm，AC＝16 cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？图2514．如图26，矩形ABCD 的面积为20 cm 2，对角线AC ，BD 相交于点O ；以AB ，AO 为邻边作▱AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB ，AO 1为邻边作▱AO 1C 2B 对角线交于点O 2；…；依此类推，则▱AO 4C 5B 的面积为( )图26A.54 cm 2B.58 cm 2C.516 cm 2D.532cm 2 15．如图27，在△ABC 中，点O 在AB 边上，过点O 作BC 的平行线交∠ABC 的平分线于点D ，过点B 作BE ⊥BD 交直线OD 于点E ，连接AE ，AD .(1)求证：OE ＝OD ；(2)当点O 在AB 的什么位置时，四边形BDAE 是矩形？请说明理由．图271．902. A [解析] 由甲同学的作业可知，CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠ABC ＝90°，∴▱ABCD 是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM ＝AM ，MD ＝MB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC ＝90°，∴▱ABCD 是矩形．所以乙的作业正确．3．解：(1)证明：由题意，得AF ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD . (2)四边形AFBD 是矩形．理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°. ∵AF ＝BD ，AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形．又∵∠ADB ＝90°，∴四边形AFBD 是矩形． 4．905．解：(1)EG ＝FH .(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°.又∵AF ，BH 分别平分∠BAD ，∠ABC ，∴∠DAE ＝∠BAE ＝12∠DAB ，∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∴∠BAE ＋∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝90°. 同理可证∠EFG ＝90°，∠EHG ＝90°， ∴四边形EFGH 为矩形， ∴EG ＝FH . 6．B8．C [解析] 如图，∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形，∴A 选项正确；∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠BAD ＝90°，∴▱ABCD 是矩形，∴B 选项正确；∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥DC .∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，而AC ⊥BD 不能判定▱ABCD 是矩形，∴C 选项不正确；∵∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°，∴AD ∥BC .在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠BAD ＝90°，∴▱ABCD 是矩形，∴D 选项正确．故选C.8．答案不唯一，如EB ＝DC [解析] 添加EB ＝DC .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴DE ∥BC .又∵DE ＝AD ，∴DE ＝BC ，∴四边形DBCE 为平行四边形．又∵EB ＝DC ，∴▱DBCE 是矩形．故答案可以是EB ＝DC .9．解：(1)证明：∵E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AB 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC .∵DF ＝EF ，∴EF ＝12DE ，∴AC ＝DE .又∵EF ∥AC ， ∴四边形ACED 是平行四边形． (2)∵DF ＝EF ，AF ＝BF ， ∴四边形AEBD 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AC ＝DE ，∴AB ＝DE ， ∴四边形AEBD 是矩形．9．B [解析] A 项，当AD ＝BC ，AD ∥BC 时，四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC ＝BD ，可得四边形ABCD 是矩形；B 项，当AB ＝CD ，AD ∥BC 时，四边形ABCD 不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C 项，当∠DAB ＝∠ABC ，AD ∥BC 时，∠DAB ＝ ∠CBA ＝90°，再根据AC ＝BD ，可得Rt △ABD ≌Rt △BAC ，进而得到AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠DAB ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；D 项，当∠DAB ＝∠DCB ，AD ∥BC 时，∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC ＝BD ，可得四边形ABCD 是矩形．11．2.4 [解析] 连接AP .∵∠BAC ＝90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠AEP ＝ ∠AFP ＝90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF ＝AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可．当AP ⊥BC 时，AP 最小．在Rt △BAC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝4，AB ＝3，由勾股定理得BC ＝5，由三角形面积公式得12×4×3＝12×5×AP ，∴AP ＝2.4，即EF ＝2.4.12．证明：如图，过点E ，F 分别作AD ，BC 的垂线，垂足分别是G ，H .∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG ⊥AD ，EM ⊥CD ，EM ′⊥AB ， ∴EG ＝ME ，EG ＝EM ′， ∴EG ＝ME ＝EM ′＝12MM ′.同理可证FH ＝NF ＝N ′F ＝12NN ′.∵CD ∥AB ，MM ′⊥CD ，NN ′⊥CD ， ∴MM ′＝NN ′， ∴ME ＝NF .又∵MM ′∥NN ′，MM ′⊥CD ， ∴四边形EFNM 是矩形．13．解：(1)是．理由：在▱ABCD 中，有OD ＝OB ，OA ＝OC .∵E ，F 两点移动的速度相同，且同时开始运动，即AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．(2)∵四边形DEBF 是平行四边形，∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形．∵BD ＝12 cm ，∴EF ＝12 cm ，∴OE ＝OF ＝6 cm.∵在▱ABCD 中，AC ＝16 cm ，∴OA ＝OC ＝8 cm ， ∴AE ＝2 cm 或AE ＝14 cm.∵动点的速度是1 cm/s ，∴t ＝2 s 或t ＝14 s.故当运动时间t 为2 s 或14 s 时，四边形DEBF 是矩形．14．B [解析] 设矩形ABCD 的面积为S .∵O 为矩形ABCD 的对角线的交点，∴▱AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的一半，∴▱AOC 1B 的面积＝12S . ∵▱AOC 1B 的对角线交于点O 1，∴▱AO 1C 2B 的边AB 上的高等于▱AOC 1B 底边AB 上的高的一半，∴▱AO 1C 2B 的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×S ＝S 22，…，依此类推，▱AO 4C 5B 的面积为S25＝2025＝58(cm 2)．故选B. 15．解：(1)证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBC .∵ED ∥BC ，∴∠ODB ＝∠DBC ＝∠ABD ，∴OB＝OD.在Rt△EBD中，∵∠ABE＋∠ABD＝∠ODB＋∠BED＝90°，∴∠ABE＝∠BED，∴OB＝OE，∴OE＝OD.(2)当O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．理由：∵O为AB的中点，∴OA＝OB.由(1)知OE＝OD，∴四边形BDAE为平行四边形．∵BE⊥BD，∴∠EBD＝90°，∴四边形BDAE是矩形．。

2.5.2 矩形的判定

求证：四边形ABCD是矩形。
A
D
B
C
证明：因为四边形ABCD是平行四边形（已知），
所以 AB=CD（平行四边形对边相等）,BC=BC，在 △ABC和△DCB中， AB=CD （已证） BC=CB （已证） AC=DB （已知）
A
D
所以△ABC≌ △DCB（SSS），
B
C
所以∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）. 又因为∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补），
所以∠ABC=90°（等式的性质），又因为四边形ABCD是平行四边形（已知），
所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形 A D
O
几何语言： B C
因为AC=BD，四边形ABCD是平行四边形（已知）
所以四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
D
C
所以四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
实验：工人师傅为了检验两组对边相
等的四边形窗框是否成矩形，一种方
法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
角
A B C D 90°
矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线互相平分
对角线
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。（方法一）平行四边形几何语言：因为平行四边形ABCD中∠A=90° （已知）所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义）
有一个角是直角

《矩形的判定》练习及答案

《矩形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线相等且互相平分D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．对于四边形ABCD，给出下列6组条件，①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是（写一个即可）．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：；．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．10．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE 的面积为．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．故选：C．2．【分析】由矩形的判定与性质分别作出判断，即可得出结论．【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；故选：C．3．【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．4．【分析】根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正确；②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故②正确；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故③正确；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；⑤AC＝BD，只有一组对边相等的四边形不一定是矩形，故⑤错误，⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四边形为平行四边形，故⑥错误，∴正确的有4个，故选：D．二．填空题（共4小题）5．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC＝BD．6．【分析】根据平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）得出平行四边形ABCD，再根据矩形的判定定理推出即可．【解答】解：①②⑥或③④⑥，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：①②⑥，③④⑥．7．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．8．【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝∴AM＝，故答案为：．三．解答题（共2小题）9．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，……………………………………………………………………1分∵E是AC中点，∴AE＝EC，…………………………………………………………………………2分在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，………………………………………………………………3分∴EF＝DE，………………………………………………………………………4分∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，…………………………………………………5分∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．…………………………………………………………6分（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，…………7分∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，………………………………………………………8分∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．…………………………………………………………………………………10分10．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB?AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，……………………………………………………………………1分∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，……………………………………………………………………2分∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，……………………………………………………………………………3分同理：FO＝CO，∴EO＝FO；……………………………………………………………………………4分（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：……5分由（1）得：EO＝FO，又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，……………………………………………………6分∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，……………………………………………………………………………7分∴四边形CEAF是矩形；……………………………………………………………8分（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝5，△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，∵122+52＝132，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC的面积＝AB?AC＝×12×5＝30，∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；故答案为：24．……………………………………………………………………10分。

(完整版)矩形的性质和判定练习题

(完整版)矩形的性质和判定练习题1. 矩形的定义及性质矩形是一种具有特定性质的四边形。

下面是矩形的定义和一些重要性质：- 一对相对的边长度相等，这意味着矩形的对边平行。

- 所有四个角都是直角，即角度为90度，这意味着矩形的内角和为360度。

- 对角线相等且相交于其中点。

2. 矩形的判定方法在实际问题中，我们需要判定一个给定的四边形是否为矩形。

以下是常用的判定方法：方法一：检查边长矩形的特点之一是对边相等。

因此，我们可以通过测量四条边的长度来判定一个四边形是否为矩形。

如果四边的长度相等两两相等，则该四边形是矩形。

方法二：检查角度我们可以通过测量四个角的度数来判定一个四边形是否为矩形。

如果四个角的度数都是90度，则该四边形是矩形。

方法三：检查对角线矩形的对角线相等并且相交于中点，因此我们可以通过测量对角线的长度和判断其交点是否在中点来判定一个四边形是否为矩形。

3. 矩形判定练题题目一：给定一个四边形ABCD，已知边长AB = 5cm，BC = 3cm，CD = 5cm，DA = 3cm。

请判定该四边形是否为矩形。

题目二：给定一个四边形EFGH，已知内角∠E = 40°，∠F = 140°，∠G = 40°，∠H = 140°。

请判定该四边形是否为矩形。

题目三：给定一个四边形IJKL，已知对角线IK = 7cm，JL = 7cm，并且IK和JL交于M点，求M点距离对角线的距离。

答案与解析题目一：该四边形ABCD满足AB = CD = 5cm，BC = DA = 3cm。

因此，该四边形是矩形。

题目二：该四边形EFGH满足∠E = ∠G = 40°，∠F = ∠H = 140°。

因此，该四边形是矩形。

题目三：对角线IK = JL = 7cm，说明该四边形IJKL是矩形。

由矩形的性质，对角线交于中点M。

因此，M点距离对角线的距离为0。

总结通过上述练题，我们巩固了矩形的定义及其判定方法。

矩形的判定练习讲解

对角线相等
矩形的两条对角线长度相等。
对角线互相平分
矩形的两条对角线互相平分。
四个内角相等
矩形的四个内角都是直角，即每个角都是90度。
邻边互相垂直
矩形的相邻两边互相垂直。
02
矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
总结词
如果一个平行四边形有一个角是直角，那么它一定是矩形。
详细描述
在平行四边形中，如果有一个角是直角，那么它的对角线会互相平分且垂直，因此它是一个矩形。
矩形判定练习讲解
目录
• 矩形的定义与性质 • 矩形的判定方法 • 判定练习题解析 • 判定练习题答案与解析 • 判定练习题总结与反思
01
矩形的定义与性质
定义
矩形
一个四边形，其中相对的两边平行且相等，另外相对的两边也平行且相等。
判定条件
如果一个四边形满足两组对边平行且相等，则它是矩形。
性质
深入理解概念
对于矩形的定义、性质等基本概念，需要深入理解，把握本质。
加强计算训练
提高计算能力，确保在应用工具进行判断时，计算不出错。
细心审题
在解题过程中，要细心审题，全面考虑题目给出的所有条件。
进一步拓展与提高
探索更多判定方法
除了常用的勾股定理外，还可以探索其他判定矩形的方法。
实际应用
将矩形的判定应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
对角线相等的平行四边形是矩形
总结词
如果一个平行四边形的对角线长度相等，那么它一定是矩形。
详细描述
在平行四边形中，如果对角线的长度相等，那么它的四个角都为直角，因此它是一个矩形。
三个角都是直角的四边形是矩形

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A．4.8B．C．D．132．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（）A．2B．C．3D．43．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（）A．4B．2C．8D．84．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定5．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD 的面积为（）A．24B．24C．12D．126．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题7．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为．8．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为．9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数等于．10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝1，则BC的长为．11．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP 并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为．三．解答题12．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．13．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．15．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD，若AB＝3，BC＝1，求BD的长．17．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积．18．如图，在▱ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连结BE、CE．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若DE＝AB，∠ABC＝130°，求∠DEC的度数．19．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD、ED、EC．若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连结AC、若AD＝5，CD＝2，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：如图，连接BD，∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，∴AC＝＝＝13，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形DEBF是矩形，∴EF＝BD，由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段BD最短，则EF最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BD，即×12×5＝×13•BD，解得：BD＝，∴EF的最小值为．故选：B．2．解：连接OE，如图所示：∵2AB＝BC＝4，∴AB＝2，∵AC，BD互相平分，∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，∵以AC为斜边作Rt△ACE，∴OE＝OA＝OC＝AC，∵BE⊥DE，∴OE＝OB＝OD＝BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，故选：A．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC，∵OA＝OB，∴OA＝OD，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，又∵∠AOD＝60°，∴△AOD为等边三角形．∴∠ADB＝60°．∴tan∠ADB＝＝．∴AB＝AD＝4．故选：A．4．解：连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°，S△AOD＝S矩形ABCD，∴OA＝OD＝AC，∵AB＝15，BC＝20，∴AC＝＝＝25，S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75，∴OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75，∴PE+PF＝12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，∴BC＝BE+CE＝6，∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．6．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴DB＝AC，OD＝OB，OA＝OC，∴OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，∴∠CAD＝25°，二．填空题7．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝，由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，故答案为：8．8．解：∵四边形ABDE是矩形，∴∠BAE＝∠E＝90°，∵∠ADE＝62°，∴∠EAD＝28°，∵AC⊥CD，∴∠C＝∠E＝90°∵AE＝AC，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠EAD＝∠CAD＝28°，∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，故答案为：34°．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故答案为75°．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝1，∴AC＝2OA＝2，∴BC＝＝＝；故答案为：．11．解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD＝＝13，∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD﹣BP＝8，∵BA＝BP，∴∠BAP＝∠BP A＝∠DPQ，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DQP，∴∠DPQ＝∠DQP，∴DQ＝DP＝8，∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得BQ＝＝＝3．故答案为：3．三．解答题12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AF＝CE，∴FB＝ED．∴四边形DFBE是平行四边形，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°．∴四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形，∴DE＝BF，∵CF平分∠DCB，∴∠DCF＝∠BCF，∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BF＝BC＝5，∴DE＝BF＝5，∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CE＝DF，∴CE+CF＝DF+CF，即EF＝CD，∴AB＝EF，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AF⊥CD，∴∠AFE＝90°，∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴OB＝OD，平行四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝5，∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3，∵AF⊥CD，∴∠AFD＝90°，∴AF＝＝＝4，由（1）得：四边形ABEF是矩形，∴∠BEF＝90°，BE＝AF＝4，∵CE＝DF＝3，∴DE＝CD+CE＝8，∴BD＝＝＝4，又∵OB＝OD，∴OE＝BD＝2．15．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形，∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，∴∠FDC＝30°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°，∵AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝60°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．16．解：（1）如图所示：四边形ABCD就是所求作的矩形．（2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝1，∴AC＝＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB＝2，∴AE＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝4，∵四边形AECF是矩形，∴EC＝AF＝4，∴BC＝BE+EC＝2+4＝6，∵∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴ED∥BF．∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，∴ED＝BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°．∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ADC＝∠ABC＝130°，∵DE＝AB，∴DE＝CD，∴．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∵点E是▱ABCD中BC边的中点，∴BE＝CE，∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝FC，∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形，又∵AF＝BC，∴平行四边形ABFC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，∴∠ACF＝90°，∵△AFD是等边三角形，∴AF＝DF＝6，CF＝DF＝3，∴AC＝＝＝3，∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝DE，∴BC＝DE，∴平行四边形BECD是矩形；（2）解：∵CD＝2，∴BE＝AB＝CD＝2．∴AE＝2AB＝4，由（1）得：四边形BECD是矩形，∴CE＝BD，∠DBE＝90°，∴∠ABD＝90°，∴CE＝BD＝＝＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝．。

八下数学每日一练：矩形的判定练习题及答案_2020年综合题版

八下数学每日一练：矩形的判定练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案2020年八下数学：图形的性质_四边形_矩形的判定练习题~~第1题~~(2019瑞安.八下期末) 如图，等腰△ABC中，已知AC ＝BC ＝2 ， AB ＝4，作∠ACB 的外角平分线CF ，点E 从点B 沿着射线BA 以每秒2个单位的速度运动，过点E 作BC 的平行线交CF 于点F ．（1）求证：四边形BCFE 是平行四边形；（2）当点E 是边AB 的中点时，连接AF ，试判断四边形AECF 的形状，并说明理由；（3）设运动时间为t 秒，是否存在t 的值，使得以△EFC 的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t 的值．答：t ＝．考点：平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;~~第2题~~(2019西湖.八下期末) 如图，已知在△ABC 中，D 为BC 的中点，连接AD ，E为AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形ADCF 为平行四边形．（2）当四边形ADCF 为矩形时，AB 与AC 应满足怎样的数量关系？请说明理由．考点：平行线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定;~~第3题~~(2019温州.八下期末) 如图，点C 在线段AB 上，过点C 作CD ⊥AB ，点E ，F 分别是AD ，CD 的中点，连结EF 并延长EF 至点G ，使得FG=CB ，连结CE ，GB ，过点B 作BH ∥CE 交线段EG 于点H ．（1）求证：四边形FCBG 是矩形．（2）己知AB=10，．①当四边形ECBH 是菱形时，求EG 的长．②连结CH ，DH ，记△DEH的面积为S ，△CBH 的面积为S ．若EG=2FH ，求S +S 的值．考点：三角形的面积;三角形中位线定理;菱形的性质;矩形的判定;~~第4题~~(2019南浔.八下期末) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC ，∠ABC=90°，顶点A 在第一象限内，BC 在x 轴的正半轴上(B 在C 的右侧)，AB= ，∠ACB=30°，△ADC 与△ABC 关于AC 所在的直线对称，且函数y= (k>0)的图象过点D ．1212答案答案（1）当OC=2时，求k 的值；（2）如图2，若点A 和点D 在同一个反比例函数图象上，求OC 的长；（3）在(2)的条件下，点D 与点E 关于原点成中心对称，x 轴上有一点F ，平面内有一点G ，若D 、E 、F 、G 四点构成的四边形是矩形，求F 点的坐标．考点：反比例函数的图象;矩形的判定;~~第5题~~(2019余杭.八下期末) 如图，在 ABCD 中，点E ，F 是直线BD 上的两点，DE=BF ，连结AE ，AF ，CE ，CF ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形．（2）若BD ⊥AD ，AB=5，AD=3，四边形AFCE 是矩形，求DE 的长．考点：勾股定理;平行四边形的判定与性质;矩形的判定;2020年八下数学：图形的性质_四边形_矩形的判定练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

(课时训练)2.5.2矩形的判定

人工作者
湘教版八年级数学下册
2.5.2 矩形的判定
1．下列说法正确的是（）．
（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C ）对角线互相平分的四边形是矩形（D ）对角互补的平行四边形是矩形
2．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到
点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE 。

求证：四边形ACBE 为矩形．
3．已知 ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形，AB=4 cm 。

求这个平行四边形的面积．
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．
5. 已知：如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．
求证：四边形EFGH 是矩形．。