人教版九年级数学上24.1圆同步练习卷含答案
人教版九年级数学上册《24.1.1圆》同步测试题带答案
人教版九年级数学上册《24.1.1圆》同步测试题带答案一、单选题1．下列命题中正确的有( ) A ．长度相等的弧是等弧 B ．相等的圆心角所对的弦相等 C ．等边三角形的外心与内心重合D ．任意三点可以确定一个圆2．如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）A ．只有甲是扇形B ．只有乙是扇形C ．只有丙是扇形D ．只有乙、丙是扇形3．如图AB 为⊙O 的定直径，过圆上一点C 作弦CD AB ⊥，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，当点C （不包括A ，B 两点）在⊙O 上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分弧DBD ．随C 点移动而移动4．下列命题中，⊙直径是圆中最长的弦；⊙长度相等的两条弧是等弧；⊙半径相等的两个圆是等圆；⊙半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，以三角形三个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积之和为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．如图，在Rt ⊙ABC 中，⊙ACB =90°， AC =3，以点C 为圆心、CA 为半径的圆与AB 交于点D ，若点D 巧好为线段AB 的中点，则AB 的长度为（ ）A ．32B ．3C ． 6D ．9二、填空题7．到点O 的距离等于7cm 的点的集合是 ．8．下图中，点O 是( )，线段OA 是圆的( )，线段BC 是圆的( )．9．已知，如图AB ，AD 是O 的弦 30B ∠=︒，点C 在弦AB 上，连结CO 并延长交O 于点D ，35D ∠=︒则BAD ∠的度数是 ．10．如图，半径为r 的O 沿着边长为a 的正方形ABCD 的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，O 自身转动的圈数是 ．（用含a r ，的代数式表示）11．下列说法：⊙直径是弦；⊙弦是直径；⊙大于半圆的弧是优弧；⊙长度相等的弧是等弧，其中正确的是 ．12．顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．圆外角的两边所夹的两条弧的度数与该角的度数之间的数量关系是：圆外角的度数等于 ．三、解答题13．如图，O 的弦,AB CD 的延长线交于点P ，连接OP ，且OP 平分APC ∠．求证：PA PC =．14．如图，点O 是同心圆的圆心，大圆半径OA ，OB 分别交小圆于点C ，D ，求证：AB CD ∥．15．如图所示，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ，的延长线交于点E ，已知220AB DE AEC =∠=︒，．求AOC ∠的度数．16．如图，O 的半径5cm OA =，AB 是弦，C 是AB 上一点，且OC OA ⊥，OC BC =求A ∠的度数．17．如图,破残的圆形轮片上,弦AB 的垂直平分线交弧AB 于C,交弦AB 于D ．（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法,保留作图痕迹）； （2）若AB=8cm,CD=2cm,求（1）中所作圆的半径．18．如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，延长AB ，CD 相交于点P ，且2AB DP = 18P ∠=︒ 求AOC ∠的度数．题号 1 2 3 4 5 6 答案CBBCD C7．以点O 为圆心，7cm 为半径的圆 8． 圆心 半径 直径 9．65︒ 10．21a r π+/21arπ+ 11．①③/③①12．两条弧度数差值的绝对值的一半 15．60AOC ∠=︒ 16．30︒17．(2) 圆的半径为5cm. 18．54。
九年级数学： 24.1 圆的有关性质(同步练习题)( 含答案)
24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___． 知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形 知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。
人教版九年级数学上册 24.1圆的有关性质同步训练(含答案)
E ，满足 AEC 65 ，连接 AD ，则 BAD
度．
答案： 一、选择题
1．（2020•青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上， ＝ ，AC 交 BD 于点 G．若∠COD＝126°，则 ∠AGB 的度数为（ ）
A．99°
B．108°
解：∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD＝90°，
度数是（ ）
A．130°
B．140°
C．150°
解：由题意得到 OA＝OB＝OC＝OD，作出圆 O，如图所示，
∴四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
D．160°
6．（2020•眉山）如图，四边形 ABCD 的外接圆为 O ， BC CD ， DAC 35 ， ACD 45 ，则 ADB 的度数 为( )
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+ x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+ x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+ x）﹣（20°+ x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°， ∴20°＜∠CED＜40° 故选：C． 二、填空题
16．（2020•襄阳）在 O 中，若弦 BC 垂直平分半径 OA ，则弦 BC 所对的圆周角等于 60 或 120 ． 解：如图，
上任意一点．则
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
解：连接 OD、OE， ∵OC＝OA， ∴△OAC 是等腰三角形， ∵点 D 为弦 AC 的中点， ∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°， 设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°， ∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
人教版数学九年级上册《24.1.1圆》同步练习（含答案解析）
2022-2023人教版数学九年级上册同步练习：24.1.1 圆一．选择题（共15小题）1．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°3．如图，在⊙O中，弦的条数是（）A．2B．3C．4D．以上均不正确4．以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm6．下列语句中正确的有几个（）①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；④一个圆有无数条对称轴．A．1B．2C．3D．47．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2B．3C．4D．58．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．长度相等的两条弧是等弧9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB 于点D，连接CD，则∠ACD=（）A．10°B．15°C．20°D．25°10．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短12．下列说法错误的是（）A．圆上的点到圆心的距离相等B．过圆心的线段是直径C．直径是圆中最长的弦D．半径相等的圆是等圆13．生活中处处有数学，下列原理运用错误的是（）A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B．修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理14．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M、N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（）A．不变B．变小C．变大D．不能确定15．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）16．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的半径为2cm，则此时M、N两点间的距离是cm．17．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．18．点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=．19．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于．20．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）21．战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为．22．在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成个部分．23．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C=20°，则∠BOE的度数是．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是．25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心、CB为半径的圆交AB 于点D，则∠ACD=度．三．解答题（共6小题）26．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．27．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长．28．如图AB=3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．29．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB 于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？30．已知点P、Q，且PQ=4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．31．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选：B．2．【解答】解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．故选：B．3．【解答】解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦．故选：C．4．【解答】解：圆的任意一条直径的端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，故①正确；根据三角形角平分线的定义可知，三角形的角平分线是一条线段，故②错误；在一个三角形中至少有一个角不大于60°，故③正确；过圆内一点可以画无数条弦，故④正确；矩形的四个角都相等，都等于90°，而矩形不是正四边形，故⑤错误；故选：C．5．【解答】解：∵AB=2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．6．【解答】解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；正确．②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；错误．③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧；错误，也可以在对称轴上．④一个圆有无数条对称轴．正确．故选：B．7．【解答】解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选：B．8．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；D、长度相等的两条弧是等弧，错误，符合题意，故选：D．9．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°﹣2×50°=80°，∴∠ACD=90°﹣80°=10°；故选：A．10．【解答】解：（1）长度相等的弧是等弧，错误；（2）半径相等的圆是等圆，正确；（3）等弧能够重合，正确；（4）半径是圆中最长的弦，错误；11．【解答】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故本选项错误；B、必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误．故选：C．12．【解答】解：A、正确．圆上的点到圆心的距离相等；B、错误．过圆心的线段不一定是直径；C、正确．直径是圆中最长的弦；D、正确．半径相等的圆是等圆；故选：B．13．【解答】解：A、错误．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点确定一条直线”的原理；B、正确．修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理；C、正确．测量跳远成绩的依据是垂线段最短；D、正确．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理；故选：A．14．【解答】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，∴AB=OP=半径，当P点在上移动时，半径一定，所以AB长度不变，故选：A．15．【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径；（5）圆上任意两点间的部分叫弧．错误；故选：B．二．填空题（共10小题）16．【解答】解：根据题意得：EF=BC，MN=EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段BC形成一半径为2cm 的圆，线段BC是圆的周长，BC=EF=2π×2=4π，∴的长=EF==，∴n=120°，即∠MON=120°，∵OM=ON，∴∠M=30°，过O作OG⊥MN于G，∵OM=2，∴OG=1，MG=，∴MN=2MG=2，故答案为：2．17．【解答】解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．故答案为：2．18．【解答】解：如图，∵∠AOB=40°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==70°，故答案为：70°．19．【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；故答案为：半径．20．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°﹣20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；21．【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；故答案为：圆心22．【解答】解：∵1个圆把平面分成部分=2，2个圆把平面最多分成的部分=2+2=4，3个圆把平面最多分成的部分=2+2+4=2+2（1+2）=8，4个圆把平面最多分成的部分=2+2（1+2+3）=14，∴10个圆把平面最多分成的部分=2+2（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=92．故答案为92．23．【解答】解：连接OD，∵CD=OA=OD，∠C=20°，∴∠ODE=2∠C=40°，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=40°，∴∠EOB=∠C+∠E=40°+20°=60°，故答案为：60°．24．【解答】解：连接OC，∵CD=4，OD=3，在Rt△ODC中，∴OC===5，∴AB=2OC=10，故答案为：10．25．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°∴∠B=50°∵BC=CD∴∠B=∠BDC=50°∴∠BCD=80°∴∠ACD=10°．三．解答题（共6小题）26．【解答】解：连结OC，如图，∵CE=AO，而OA=OC，∴OC=EC，∴∠E=∠1，∴∠2=∠E+∠1=2∠E，∵OC=OD，∴∠D=∠2=2∠E，∵∠BOD=∠E+∠D，∴∠E+2∠E=75°，∴∠E=25°．27．【解答】解：连接OC，∵AB=5cm，∴OC=OA=AB=cm，Rt△CDO中，由勾股定理得：DO==cm，∴AD=﹣=1cm，由勾股定理得：AC==，则AD的长为1cm，AC的长为cm．28．【解答】解：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示：29．【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连结OC、OD，如图，∵OA=OB，AE=BF，∴OE=OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC=∠OFD=90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，，∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），∴∠COE=∠DOF，∴AC弧=BD弧，∴AC=BD．30．【解答】解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．31．【解答】解：连接OD，如图，∵AB=2DE，而AB=2OD，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，而OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，∴∠AOC=∠C+∠E=60°．。
2022年人教版数学九年级上册第二十四章《圆》同步练习(附答案)1(24.1)
第二十四章二次函数周周测1一、选择题〔共16小题〕1．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB 的值为〔〕A．3 B．2C．3D．22．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，假设∠ADB=28°，那么∠AOC 的度数为〔〕A．14°B．28°C．56°D．84°3．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，那么∠EOD等于〔〕A．10°B．20°C．40°D．80°4．如图，点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．那么以下结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．如图，圆心角∠BOC=78°，那么圆周角∠BAC的度数是〔〕A．156°B．78°C．39°D．12°6．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，那么∠BOC等于〔〕A．60°B．70°C．120°D．140°7．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，那么∠AEB的度数为〔〕A．36°B．46°C．27°D．63°8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，那么∠AOC的度数是〔〕A．35°B．140°C．70°D．70°或140°9．以下四个图中，∠x是圆周角的是〔〕A．B．C．D．10．〔2021•龙岩〕如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，那么弦AB 的长为〔〕A．B．2 C．2D．411．如图，在⊙O中，∠OAB=22.5°，那么∠C的度数为〔〕A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°12．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，那么∠BCD等于〔〕A．116°B．32°C．58°D．64°13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B14．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，那么∠AOB的度数是〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，那么∠A的度数是〔〕A．40°B．50°C．60°D．100°16．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，那么∠ABD=〔〕A．20°B．46°C．55°D．70°二、填空题〔共13小题〕17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，假设∠BOC=56°，那么∠ADB=______度．18．如图，点A、B、C在⊙O上，假设∠C=30°，那么∠AOB的度数为______°．19．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，那么∠BOD=______．20．〔2021•盘锦〕如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，那么CD=______．21．在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，那么这个圆的半径是______．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，假设∠BOC=100°，那么∠BAC=______．23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，那么α的最大值是______．24．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N两点，那么∠APB的范围是______．25．如下图⊙O中，∠BAC=∠CDA=20°，那么∠ABO的度数为______．26．点O是△ABC外接圆的圆心，假设∠BOC=110°，那么∠A的度数是______．27．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，那么⊙O的直径的长是______．28．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，那么∠BOC=______度．29．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，那么∠AED的余弦值是______．三、解答题〔共1小题〕30．〔1〕甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：人均耕地面积/公郊县人数/万顷A 20B 5C 10求甲市郊县所有人口的人均耕地面积〔精确到0.01公顷〕；〔2〕先化简下式，再求值：，其中，；〔3〕如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，假设BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．答案一、选择题〔共16小题〕1．A；2．C；3．C；4．D；5．C；6．D；7．A；8．B；9．C；10．C；11．D；12．B；13．B；14．B；15．B；16．C；二、填空题〔共13小题〕17．28；18．60；19．80°；20．4；21．2；22．50°；23．90°；24．0°＜∠APB＜30°；25．50°；26．55°或125°；27．；28．52；29．；三、解答题〔共1小题〕30．第二十四章二次函数周周测1一、选择题〔共16小题〕1．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB 的值为〔〕A．3 B．2C．3D．22．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，假设∠ADB=28°，那么∠AOC 的度数为〔〕A．14°B．28°C．56°D．84°3．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，那么∠EOD等于〔〕A．10°B．20°C．40°D．80°4．如图，点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．那么以下结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．如图，圆心角∠BOC=78°，那么圆周角∠BAC的度数是〔〕A．156°B．78°C．39°D．12°6．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，那么∠BOC等于〔〕A．60°B．70°C．120°D．140°7．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，那么∠AEB的度数为〔〕A．36°B．46°C．27°D．63°8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，那么∠AOC的度数是〔〕A．35°B．140°C．70°D．70°或140°9．以下四个图中，∠x是圆周角的是〔〕A．B．C．D．10．〔2021•龙岩〕如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，那么弦AB 的长为〔〕A．B．2 C．2D．411．如图，在⊙O中，∠OAB=22.5°，那么∠C的度数为〔〕A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°12．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，那么∠BCD等于〔〕A．116°B．32°C．58°D．64°13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B14．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，那么∠AOB的度数是〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，那么∠A的度数是〔〕A．40°B．50°C．60°D．100°16．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，那么∠ABD=〔〕A．20°B．46°C．55°D．70°二、填空题〔共13小题〕17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，假设∠BOC=56°，那么∠ADB=______度．18．如图，点A、B、C在⊙O上，假设∠C=30°，那么∠AOB的度数为______°．19．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，那么∠BOD=______．20．〔2021•盘锦〕如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，那么CD=______．21．在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，那么这个圆的半径是______．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，假设∠BOC=100°，那么∠BAC=______．23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，那么α的最大值是______．24．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N两点，那么∠APB的范围是______．25．如下图⊙O中，∠BAC=∠CDA=20°，那么∠ABO的度数为______．26．点O是△ABC外接圆的圆心，假设∠BOC=110°，那么∠A的度数是______．27．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，那么⊙O的直径的长是______．28．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，那么∠BOC=______度．29．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，那么∠AED的余弦值是______．三、解答题〔共1小题〕30．〔1〕甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：人均耕地面积/公郊县人数/万顷A 20B 5C 10求甲市郊县所有人口的人均耕地面积〔精确到0.01公顷〕；〔2〕先化简下式，再求值：，其中，；〔3〕如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，假设BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．答案一、选择题〔共16小题〕1．A；2．C；3．C；4．D；5．C；6．D；7．A；8．B；9．C；10．C；11．D；12．B；13．B；14．B；15．B；16．C；二、填空题〔共13小题〕17．28；18．60；19．80°；20．4；21．2；22．50°；23．90°；24．0°＜∠APB＜30°；25．50°；26．55°或125°；27．；28．52；29．；三、解答题〔共1小题〕30．。
人教版九年级上册数学 24.1.1圆 同步习题(含解析)
24.1.1圆同步习题一．选择题1．下列说法正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．直径是圆中最长的弦D．半圆是圆中最长的弧2．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 3．下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆的每一条直径都是它的对称轴C．圆有无数条对称轴D．圆的对称中心是它的圆心4．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆5．已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（）A．2B．5C．9D．11 6．如图，图中的弦共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．到定点的距离等于定长的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆8．等于圆周的弧叫做（）A．劣弧B．半圆C．优弧D．圆9．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b10．在平面直角坐标系中，⊙C的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB为⊙C的直径，若点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（）A．（﹣a﹣1，﹣b）B．（﹣a+1，﹣b）C．（﹣a+2，﹣b）D．（﹣a﹣2，﹣b）二．填空题11．过圆内一点（非圆心）有条弦，有条直径．12．一个圆环的内直径是6cm，圆环的宽度是2cm，这个圆环的面积是cm2．13．到点O的距离等于8的点的集合是．14．平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点，圆的内部可以看成是到圆心的距离的点的集合，圆的外部可以看成是到圆心的距离点的集合．15．下列说法：①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧，正确的是．（填写正确的序号）三．解答题16．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．17．已知线段AB＝3cm，用图形表示到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点的集合．18．已知点P、Q，且PQ＝4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．参考答案1．解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，故选：C．2．解：∵⊙O的半径是5cm，∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm，故选：B．3．解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，故B错误；C．圆有无数条对称轴，正确；D．圆的对称中心是它的圆心，正确．故选：B．4．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．5．解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．故选：D．6．解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，故选：B．7．解：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．故选：C．8．解：根据直径所对的两条弧是半圆，大于半圆的弧是优弧，则等于圆周的弧叫做优弧．故选：C．9．解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．10．解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵AB为⊙C的直径，∴CA＝CB，而∠ACD＝∠BCE，∴Rt△ACD≌Rt△BCE，∴AD＝BE，DC＝CE，∵点A的坐标为（a，b），⊙C的圆心坐标为（1，0），∴BE＝AD＝b，EC＝CD＝a﹣1，∴OE＝1﹣（a﹣1）＝﹣a+2，∴B点坐标为（﹣a+2，﹣b），当点A圆上的任何位置都有此结论．故选：C．11．解：过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．故答案为无数，1．12．解：∵圆环的内直径是6cm，圆环的内半径是3cm，∵圆环的宽度是2cm，∴圆环的外半径是2+3＝5cm，∴圆环的面积是3.14×5×5﹣3.14×3×3＝78.5﹣28.26＝50.24（cm2），故答案为50.24．13．解：到点O的距离等于8的点的集合是：以点O为圆心，以8为半径的圆．故答案是：以点O为圆心，以8为半径的圆．14．解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于半径的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故答案为：小于半径，大于半径．15．解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；弧是不一定为半圆，所以②错误；过圆心的弦是直径，所以③错误；半圆是弧，所以④错误；能够重合的弧是等弧，所以⑤错误．故答案为①．16．证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．17．解：如图：阴影部分就是到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形18．解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．。
人教版九年级数学上册 24.1圆的有关 性质 同步检测题【含答案】
圆24.1 圆的有关性质同步检测题一．选择题（共13 小题）1．已知⊙O 的半径为2，A 为圆内一定点，AO＝1．P 为圆上一动点，以A P 为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG 的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D． 12．如图，AB，BC 是⊙O 的弦，∠B＝60°，点 O 在∠B 内，点 D 为AC上的动点，点 M，N，P分别是A D，D C，C B 的中点．若⊙O 的半径为2，则P N+MN 的长度的最大值是（）A．1+B．1+2C．2+2D．3．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，P 是半径O A 上的一动点，PC⊥AB 交⊙O 于点C，在半径O B 上取点Q，使得O Q＝CP，DQ⊥AB 交⊙O 于点D，点C，D 位于A B 两侧，连接C D 交A B 于点F，点P从点A出发沿A O 向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP 与△DFQ 的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大4．如图，在⊙O 中，弦A B＝6，点C是A B 所对优弧上一点，∠ABC＝120°，BC＝8，点P 为 AB 上方一点，记△PAB 的面积为 S1，△AOB 的面积为 S2，且 S1＝12S2，则 OP+PC的最小值为（）A ．BCD ．105．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D ，C 在⊙O 上，∠DOC ＝90°，AD ，BC ＝1，则⊙O的半径为（）A B ．2 C ．2D ．26．如图，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（）A ． 2CD AB >B ．2CD AB <C ．=2CD ABD ．AB 与2CD 的大小关系无法比较 7．如图，BC 是⊙O 的直径，A ，D 是⊙O 上的两点，连接 A B ，AD ，BD ，若∠ADB ＝70°， 则∠ABC 的度数是（ ）A．20°B．70°C．30°D．90°8．如图，点A、B、C 是⊙O 上的点，OA＝AB，则∠C 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°9．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC上的点．若∠BOC ＝500，则∠D 的度数（）A．105°B．115°C．125°D．85°10．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，连结O A、OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D 的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°11．如图，在⊙O 中∠O＝50°，则∠A 的度数为（）A．50°B．20°C．30°D．25°12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥OB 于E，且点E为半径O B 的中点，连结A C，则∠A 的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．60°13．如图，点A、B、C、D 在⊙O 上，OB∥CD．若∠A＝28°，则∠BOD 的大小为（）A．152°B．134°C．124°D．114°二．填空题（共9小题）14．如图，在⊙O 中，弦B C，DE 交于点P，延长B D，EC 交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若BDAD＝23，则D P 的长为．15．如图，△ABC 内接于半径为AB 为直径，点 M 是弧AC的中点，连结 BM交AC 于点E，AD 平分∠CAB 交B M 于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为B M 的中点时，BC 的长为．16．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．17．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD 的度数为70°，则她判断的依据是点．18．如图，⊙O 的半径为2，点A为⊙O 上一点，如果∠BAC＝60°，OD⊥弦B C 于点D，那么O D 的长是．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，点D 是弧AC上的中点，AC＝8，OA＝5，连接AD、BD，则△ABD 的面积是．20．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，以A B 为直径作圆交B C 于D，交A C 于E．若∠A＝84°，则弧AE的度数为．21．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，点B是弧A C 的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．22．如图，MN 为⊙O 的直径，MN＝10，AB 为⊙O 的弦，已知M N⊥AB 于点P，AB＝8，现要作⊙O 的另一条弦C D，使得C D＝6 且C D∥AB，则P C 的长度为．三．解答题（共3小题）23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是⊙O 上的点，且O D∥BC，AC 分别与B D、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若C B＝6，AB＝10，求D F 的长；（3）若⊙O 的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段A B 上任意一点，试求出P C+PD 的最小值．24．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC，BC 的交点分别为D，E，且弧DE=弧BE（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求B D 的长．25．如图，AB 为半圆O的直径，CD 是半圆上两点，AC＝2BC，F 在B D 上且C F⊥CD，求证：AD＝2BF．。
人教版九年级数学上册 24.1.1 圆 同步练习题(含答案)
人教版九年级数学上册第24章 24.1.1 圆 同步练习题一、选择题1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是(C)A ．以点O 为圆心B ．以2 cm 长为半径C ．以点O 为圆心，5 cm 长为半径D ．半径为2 cm ，且经过点A 2．已知⊙O 中最长的弦为8 cm ，则⊙O 的半径为(B)A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm 3．下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径相等的两个圆是等圆；④弧是半圆，半圆是弧；⑤长度相等的两条弧是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图所示，以坐标原点O 为圆心的圆与y 轴交于点A ，B ，且OA ＝1，则点B 的坐标是(B)A ．(0，1)B ．(0，－1)C ．(1，0)D ．(－1，0) 5．如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠N ＝52°，则∠MON 的度数为(C)A ．38°B ．52°C ．76°D ．104°6.如图所示，AB ，MN 是⊙O 中两条互相垂直的直径，点P 在AM ︵上，且不与点A ，M 重合，过点P 作AB ，MN 的垂线，垂足分别是D ，C.当点P 在AM ︵上移动时，矩形PCOD 的形状、大小随之变化，则PC 2＋PD 2的值(C)A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．不变D ．不能确定二、填空题7．到点O 的距离等于8 cm 的点的集合是以点O 为圆心，以8cm 长为半径的圆． 8．如图，在⊙O 中，弦有AC ，AB ，直径是AB ，优弧有ABC ︵，CAB ︵，劣弧有AC ︵，BC ︵．9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD ＝50°．10．已知A ，B 是半径为6的圆上的两个不同的点，则弦长AB 的取值范围是0<AB ≤12． 11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，以边AC 上一点O 为圆心，OA为半径的⊙O 经过点B ，则⊙O 312.如图，AB是⊙O的直径，D是圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于点E，交圆于点C，且CE＝AO，则∠E＝25°．13.如图，点D，E在△ABC的边BC，AB上，过A，C，D三点的圆的圆心为点E，以点D为圆心的圆过点B，E.如果∠A＝57°，那么∠B＝22°．14.如图所示，将半径为1的⊙A向右平移2个单位长度至⊙B，两圆相交于C，D两点，则CD＝2．15．如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：IG＝FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG＝FD.请回答：小云所作的两条线段分别是OH和OE．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点A，F在半圆O上，B，C，E在半圆O的直径上，AB＝5，FE＝4，则OA三、解答题17.矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD .∴OA ＝OC ＝OB ＝OD .∴A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上(如图)．18．如图，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长，分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B ＝∠C.求证：CE ＝BF.证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ， ∴△EOB ≌△FOC(ASA)． ∴OE ＝OF.∴OE ＋OC ＝OF ＋OB ，即CE ＝BF.19．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE ＝BF ，请写出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．解：OE ＝OF. 证明：连接OA ，OB. ∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴OA ＝OB. ∴∠OAB ＝∠OBA. 又∵AE ＝BF ，∴△OAE ≌△OBF(SAS)． ∴OE ＝OF.20．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，M 为BC 的中点．试说明点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心的同一个圆上．证明：连接ME ，MD.∵BD ，CE 分别是△ABC 的高，M 为BC 的中点， ∴ME ＝MD ＝MC ＝MB ＝12BC.∴点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心的同一个圆上．。
人教版九年级上《24.1圆的有关性质》同步练习含答案(共4份)
24．1.1圆知识点1圆的定义1．圆的形成定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转________，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于________的点的集合．2．下列条件中，能确定圆的是()A．以已知点O为圆心B．以1 cm长为半径C．经过已知点A，且半径为2 cmD．以点O为圆心，1 cm长为半径3．如图24－1－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是()图24－1－1A．(0，1) B．(0，－1)C．(1，0) D．(－1，0)4．如图24－1－2所示，若BD，CE都是△ABC的高．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．图24－1－2知识点2与圆有关的概念5．如图24－1－3所示，在⊙O中，________是直径，________是弦，劣弧有________，优弧有________．图24－1－36．如图24－1－4，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数是()图24－1－4A．2 B．3 C．4 D．57．下列命题中是真命题的有()①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦．A．2个B．3个C．4个D．5个8．若圆的半径为3，则弦AB的长度的取值范围是__________．9．已知：如图24－1－5，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：AD＝BC.图24－1－510．已知：如图24－1－6，在⊙O中，AB为弦，C，D两点在弦AB上，且AC＝BD.求证：△OAC≌△OBD.图24－1－611．如图24－1－7，AB 是⊙O 的直径，点D ，C 在⊙O 上，AD ∥OC ，∠DAB ＝60°，连接AC ，则∠DAC 等于( )图24－1－7A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图24－1－8所示，AB ，MN 是⊙O 中两条互相垂直的直径，点P 在AM ︵上，且不与点A ，M 重合，过点P 作AB ，MN 的垂线，垂足分别是D ，C.当点P 在AM ︵上移动时，矩形PCOD 的形状、大小随之变化，则PC 2＋PD 2的值( )图24－1－8A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．不变D ．不能确定13．如图24－1－9，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM.若⊙O 的半径为2，OP ＝4，则线段OM 的最小值是( )图24－1－9A ．0B ．1C ．2D ．314．如图24－1－10，在Rt △ABC 中，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，∠BCD ＝40°，则∠A ＝________°.图24－1－1015．如图24－1－11，C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，且CO ⊥AB ，在OC 两侧分别作矩形OGHI 和正方形ODEF ，且点I ，F 在OC 上，点H ，E 在半圆上，可证：IG ＝FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG ＝FD.请回答：小云所作的两条线段分别是________和________．图24－1－1116．⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是关于x 的方程x 2－ax ＋14＝0的两个根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2019的值为________．17．如图24－1－12所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE ＝BF ，请你指出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．图24－1－1218．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图24－1－13①，当PQ∥AB时，求PQ的长；(2)如图24－1－13②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．图24－1－13教师详解详析1．一周 定长r2．D [解析]∵圆心和半径都确定后才可以确定圆，只有D 选项中具备这两个条件， ∴D 选项正确．3．B [解析]∵圆的半径都相等，∴OB ＝OA ＝1， ∴点B 的坐标是(0，－1)．故选B .4．证明：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 都是△ABC 的高， ∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别是Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线， ∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ，∴B ，C ，D ，E 四点在以点F 为圆心，BF 的长为半径的圆上． 5．AD AD ，AC AC ︵，CD ︵ ADC ︵，CAD ︵6．B [解析] 图中的弦有AB ，BC ，CE ，共3条．7．A [解析] 等弧是完全重合的弧，故①③错误；直径把圆分成两条相等的弧，即两个半圆，故②错误；半径相等的圆可以完全重合，是等圆，故④正确；直径是圆中最长的弦，故⑤正确．故选A .8．0＜AB ≤69．证明：∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴OA ＝OB. ∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点， ∴OC ＝OD.在△AOD 和△BOC 中，∵⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠O ＝∠O ，OD ＝OC ，∴△AOD ≌△BOC(SAS )， ∴AD ＝BC.10．证明：∵OA ＝OB ， ∴∠A ＝∠B.在△OAC 和△OBD 中，∵⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠A ＝∠B ，AC ＝BD ，∴△OAC ≌△OBD(SAS )． 11．B [解析]∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO.∵AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴∠DAC ＝∠CAO.∵∠DAB ＝60°，∴∠DAC ＝12∠DAB ＝30°.12．C [解析] 连接OP.∵四边形PCOD 是矩形，∴PC ＝OD ，∴PC 2＋PD 2＝OD 2＋PD 2＝OP 2，为一定值．故选C .13．B [解析] 设OP 与⊙O 交于点N ，连接MN ，OQ ，如图．∵OP ＝4，ON ＝2，∴N 是OP 的中点． 又∵M 是PQ 的中点， ∴MN 为△POQ 的中位线， ∴MN ＝12OQ ＝12×2＝1，∴点M 在以点N 为圆心，1为半径的圆上， ∴当点M 在ON 上时，OM 的值最小，最小值为1. 故选B .14．20 [解析]∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠CDB. ∵∠B ＋∠CDB ＋∠BCD ＝180°，∴∠B ＝12(180°－∠BCD)＝12(180°－40°)＝70°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－∠B ＝20°.15．OH OE [解析] 连接OH ，OE ，如图所示．∵在矩形OGHI 和正方形ODEF 中，IG ＝OH ，OE ＝FD ， 又∵OH ＝OE ， ∴IG ＝FD.16．1 [解析]∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2，即方程x 2－ax ＋14＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝a 2－4×14＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.又∵r 1＝r 2>0，a ＝r 1＋r 2，∴a ＝1， ∴a 2019＝12019＝1.17．解：OE ＝OF.证明：连接OA ，OB. ∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B. 又∵AE ＝BF ， ∴△OAE ≌△OBF ， ∴OE ＝OF.18．解：(1)连接OQ.∵PQ ∥AB ，PQ ⊥OP ，∴OP ⊥AB. ∵AB ＝6，∴OB ＝3. ∵∠ABC ＝30°， ∴PB ＝2OP.在Rt △PBO 中，由勾股定理，得PB 2＝OP 2＋OB 2. 设OP ＝x ，则PB ＝2x ，则(2x)2＝x 2＋32， 解得x ＝3(负值已舍去)，∴OP ＝ 3.在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ ＝OQ 2－OP 2＝32－（3）2＝ 6. (2)连接OQ ，由勾股定理得 PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2.要使PQ 取最大值，需OP 取最小值，此时OP ⊥BC. ∵∠ABC ＝30°， ∴OP ＝12OB ＝32，此时PQ 最大值＝9－94＝323.24.1.2 垂直于弦的直径知识点 1 圆的对称性1．下列说法中，不正确的是( ) A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B ．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 C ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D ．圆的每一条直径都是它的对称轴 知识点 2 垂径定理2．如图24－1－14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( )图24－1－14A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB3．如图24－1－15所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON 的长度为( )图24－1－15A ．5B ．7C ．9D ．114．2017·泸州如图24－1－16，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE＝1，则弦CD的长是()图24－1－16A.7B．27C．6 D．85．2017·金华如图24－1－17，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()图24－1－17A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm6．2017·长沙如图24－1－18，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．图24－1－187．2016·宿迁如图24－1－19，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC ＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．图24－1－198．如图24－1－20，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.图24－1－209．如图24－1－21，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证：AB＝CD.图24－1－21知识点3垂径定理的推论10．下列说法正确的是()A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的弦平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心11．如图24－1－22所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为()图24－1－22A．8 cm B.91cmC．6 cm D．2 cm12．如图24－1－23所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC＝________°.图24－1－2313．2017·西宁如图24－1－24，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()图24－1－24A.15B．2 5C．2 15D．814．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB与CD之间的距离为()A．17 cm B．7 cmC．12 cm D．17 cm或7 cm15．如图24－1－25，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．图24－1－2516．如图24－1－26，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围是________________．图24－1－2617．如图24－1－27，点A，B，C，D在⊙O上，AB是⊙O的直径，BE＝CE.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．图24－1－2718．如图24－1－28，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ︵.(1)用直尺和圆规作出AB ︵所在圆的圆心O (要求保留作图痕迹，不写作法)； (2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵所在圆的半径．图24－1－2819．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24－1－29所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．图24－1－29教师详解详析1．D2．D [解析]∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立．由已知得B 为CD ︵的中点，即CB ︵＝DB ︵，选项B 成立．在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM ，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立．而OM 与MB 不一定相等，选项D 不成立．故选D .3．A [解析] 因为ON ⊥AB ，所以AN ＝12AB ＝12×24＝12，∠ANO ＝90°.在Rt △AON中，由勾股定理，得ON ＝OA 2－AN 2＝132－122＝5.故选A .4．B [解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3，在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝42－32＝7.因为CD ⊥AB ，所以CD ＝2CE ＝2 7.5．C [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D. ∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ， ∴OC ＝5 cm . 又∵OB ＝13 cm ， 在Rt △BCO 中，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2＝132－52＝12(cm ) .∵OC ⊥AB ， ∴AB ＝2BC ＝24 cm .6．5 [解析] 如图，连接OC ， ∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝12×6＝3.设⊙O 的半径为x ，则OC ＝x ，OE ＝OB －BE ＝x －1. 在Rt △OCE 中，OC 2＝OE 2＋CE 2， 即x 2＝(x －1)2＋32， 解得x ＝5， ∴⊙O 的半径为5.7．2 3 [解析] 如图，作CE ⊥AB 于点E.∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝180°－20°－130°＝30°.在Rt △BCE 中，∵∠CEB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝2， ∴CE ＝12BC ＝1，BE ＝BC 2－CE 2＝ 3.∵CE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝2 3.8．证明：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，如图，则AH ＝BH ，CH ＝DH ，∴AH －CH ＝BH －DH ，即AC ＝BD.9．证明：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ， ∴AE ＝BE ，CF ＝DF.在Rt △OBE 与Rt △ODF 中，∵⎩⎨⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴Rt △OBE ≌Rt △ODF(HL )，∴BE ＝DF ，∴2BE ＝2DF ，即AB ＝CD. 10．D11．A [解析] 如图所示，连接OA. ∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，∴⊙O 的半径为5 cm ，即OA ＝OC ＝5 cm . ∵OM ∶OC ＝3∶5，∴OM ＝3 cm . ∵AM ＝BM ，∴AB ⊥CD.在Rt △AOM 中，AM ＝52－32＝4(cm )， ∴AB ＝2AM ＝2×4＝8(cm )．故选A .12．48 [解析]∵AD ＝CD ，∴OD ⊥AC. ∴∠CDO ＝90°，∴∠DOC ＋∠ACO ＝90°. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝42°， ∴∠DOC ＝90°－∠ACO ＝48°.13．C [解析] 作OH ⊥CD 于点H ，连接OC ，如图， ∵OH ⊥CD ，∴HC ＝HD.∵AP ＝2，BP ＝6，∴AB ＝8，∴OA ＝4， ∴OP ＝OA －AP ＝2.在Rt △OPH 中，∵∠OPH ＝30°， ∴OH ＝12OP ＝1.在Rt △OHC 中，∵OC ＝OA ＝4，OH ＝1， ∴CH ＝OC 2－OH 2＝15， ∴CD ＝2CH ＝2 15.14．D [解析]①当弦AB 和CD 的位置如图①所示时，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长OE 交CD 于点F ，则OF ⊥CD. ∵AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ， ∴AE ＝12 cm ，CF ＝5 cm . ∵OA ＝OC ＝13 cm ， ∴OE ＝5 cm ，OF ＝12 cm ， ∴EF ＝12－5＝7(cm )．②当弦AB 和CD 的位置如图②所示时，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长EO 交CD 于点F ，则OF ⊥CD.∵AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ， ∴AE ＝12 cm ，CF ＝5 cm . ∵OA ＝OC ＝13 cm ， ∴OE ＝5 cm ，OF ＝12 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝17(cm )．∴AB 与CD 之间的距离为7 cm 或17 cm . 15. 4 [解析]∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ， ∴AC ＝PC ，PD ＝BD ， ∴CD 是△ABP 的中位线． ∵AB 的长为8， ∴CD ＝12AB ＝4.16．3 cm ≤OP ≤5 cm [解析] 作直径MN ⊥弦AB ，垂足为D.由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4 cm .由⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，可得OA ＝5 cm . 由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3 cm . ∵垂线段最短，半径最长，∴OP 长的取值范围是3 cm ≤OP ≤5 cm .17．解：(1)不同类型的正确结论有：BE ＝12BC ，BD ︵＝CD ︵，BD ＝CD ，OD ⊥BC ，△BOD是等腰三角形，△BDE ≌△CDE ，OB 2＝OE 2＋BE 2等(答案不唯一，合理即可)．(2)∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB.∵BE ＝CE ，∴OD ⊥BC ，OE 为△ABC 的中位线， ∴OE ＝12AC ＝12×6＝3.在Rt △OBE 中，由勾股定理，得 OB ＝OE 2＋BE 2＝32＋42＝5， ∴OD ＝OB ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2.18．解：(1)如图①，连接AC ，BC ，作线段AC ，BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为所求．(2)如图②，连接OA ，AB ，OC ，OC 交AB 于点D.∵C 为AB ︵的中点，∴OC ⊥AB ， ∴AD ＝BD ＝12AB ＝40 m .设⊙O 的半径为r m ，则OA ＝r m ，OD ＝OC －CD ＝(r －20)m . 在Rt △OAD 中，∵OA 2＝OD 2＋AD 2， ∴r 2＝(r －20)2＋402，解得r ＝50. 即AB ︵所在圆的半径是50 m .19．解：不需要采取紧急措施．理由：∵CD 为弓形的高，∴AB ︵所在圆的圆心在直线CD 上．设圆心为O ，连接OA ，OC ，OM.设OA ＝R m ，在Rt △AOC 中，AC ＝12AB ＝30 m ，OC ＝OD －CD ＝(R －18)m ，∴R 2＝302＋(R －18)2，解得R ＝34.设CD 交MN 于点E ，DE ＝x m ，在Rt △MOE 中，ME ＝12MN ＝16 m ，OE ＝OD －DE＝(34－x)m ，∴342＝162＋(34－x)2，即x 2－68x ＋256＝0， 解得x 1＝4，x 2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE ＝4 m ．∵4 m ＞3.5 m ， ∴不需要采取紧急措施．24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 1 圆心角的概念及其计算1．下面四个图中的角，是圆心角的是( )图24－1－302．如图24－1－31，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的2倍，则圆心角∠BOD ＝________°.图24－1－313．在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为2，则弦AB 所对的圆心角的度数为________． 知识点 2 弧、弦、圆心角之间的关系4．如图24－1－32，AB ，CD 是⊙O 的两条弦． (1)∵∠AOB ＝∠COD ，∴________，________． (2)∵AB ︵＝CD ︵，∴____________，____________． (3)∵AB ＝CD ，∴____________，____________．图24－1－325．已知：如图24－1－33，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 等于( )图24－1－33A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°6．如图24－1－34，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠B 等于( )图24－1－34A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°7．如图24－1－35，在⊙O 中，C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝________°.图24－1－358．如图24－1－36所示，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等．求证：AD ︵＝BC ︵.图24－1－369．已知：如图24－1－37，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，则下列结论：①AB ＝CD ；②AC ＝BD ；③∠AOC ＝∠BOD ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )图24－1－37A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图24－1－38所示，在⊙O 中，如果AB ︵＝2AC ︵，那么( )图24－1－38A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB <2ACD ．AB >2AC11．如图24－1－39，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD ︵所对的圆心角为________度．图24－1－3912．如图24－1－40所示，A ，B 是半径为3的⊙O 上的两点，若∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形AOBC 的周长等于________．图24－1－4013．2017·牡丹江如图24－1－41，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .求证：AD ＝BE .图24－1－4114．如图24－1－42，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE.求证：BD＝DE.图24－1－4215．已知：如图24－1－43，在⊙O 中，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA ，DN ⊥OB .求证：AC ︵＝BD ︵.图24－1－4316．如图24－1－44所示，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 与OC ，OD 分别交于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .图24－1－44教师详解详析1．D [解析]∵圆心角的顶点必须在圆心， ∴选项A ，B ，C 均不对．故选D . 2．603．60° [解析] 如图，连接OA ，OB.∵OA ＝OB ＝AB ＝2，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°. 故弦AB 所对的圆心角的度数为60°. 4．(1)AB ︵＝CD ︵AB ＝CD (2)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD (3)∠AOB ＝∠COD AB ︵＝CD ︵5．C [解析]∵C ，D 是BE ︵的三等分点， ∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE.∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13(180°－∠AOE)＝13(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.6．B [解析] 连接OC ，OD.∵BC ＝CD ＝DA ，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠AOD ＝13×180°＝60°，∴△OBC ，△OCD ，△AOD 都是等边三角形，∴∠B ＝60°.7．40 [解析]∵在⊙O 中，OA ＝OB ，∠A ＝50°，∴∠B ＝50°， ∴∠AOB ＝180°－∠A －∠B ＝80°.∵C 是AB ︵的中点， ∴∠BOC ＝12∠AOB ＝40°.8．证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵， ∴AB ︵－DB ︵＝CD ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵.9．D [解析]∵AB ︵＝CD ︵，根据同弧所对的弦相等，∴AB ＝CD ，故①正确．∵AB ︵－CB ︵＝CD ︵－CB ︵，∴AC ︵＝BD ︵，故④正确．根据同弧所对的弦、圆心角都相等，得②③正确．10．C [解析] 取AB ︵的中点D ，连接AD ，BD ，则AD ︵＝BD ︵＝AC ︵，∴AD ＝BD ＝AC.又∵在△ABD 中，AB ＜AD ＋BD ，∴AB ＜2AC.11．7012．12 [解析]∵C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴OA ＝OB ＝CA ＝CB ＝3，∴四边形AOBC 的周长等于12.13．证明：连接OC ，∵AC ︵＝CB ︵， ∴∠AOC ＝∠BOC.∵CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 与△COE 中，∵⎩⎨⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS )， ∴OD ＝OE. ∵AO ＝BO ，∴AO －OD ＝BO －OE ，即AD ＝BE. 14．证明：如图，连接OE.∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠OEA. ∵AE ∥CD ，∴∠BOD ＝∠A ，∠DOE ＝∠OEA ， ∴∠BOD ＝∠DOE ，∴BD ＝DE. 15．证明：连接OC ，OD ，则OC ＝OD.∵M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON.∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝90°. 在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎨⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND(HL )， ∴∠MOC ＝∠NOD ，∴AC ︵＝BD ︵. 16．证明：连接AC ，BD. ∵C ，D 是AB ︵的三等分点，∴AC ＝CD ＝BD ，且∠AOC ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝75°. ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ， ∴∠OAE ＝∠OBF ＝45°，∴∠AEC ＝∠OAE ＋∠AOC ＝45°＋30°＝75°， ∴AE ＝AC.同理可证BF ＝BD ，∴AE ＝BF ＝CD.24.1.4 圆周角知识点 1 圆周角的概念1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )图24－1－452．如图24－1－46，图中有多少个圆周角？BC ︵所对的圆周角有几个？CD ︵所对的圆周角有几个？图24－1－46知识点 2 圆周角定理3．2017·徐州如图24－1－47，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB 等于( )图24－1－47A ．28°B ．54°C ．18°D ．36°4．如图24－1－48所示，把一个量角器放置在△ABC 的上面，根据量角器的读数可得∠BAC 的度数是( )图24－1－48A ．60°B ．30°C ．20°D ．15°5．如图24－1－49，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为( )图24－1－49A.2B ．2 C ．2 2D ．46．2017·义乌如图24－1－50，一块含45°角的三角尺，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠EOD ＝________°.图24－1－50知识点 3 圆周角定理的推论7．如图24－1－51，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )图24－1－51A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°8．如图24－1－52，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.图24－1－529．2017·湖州如图24－1－53，已知在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是________度．图24－1－5310．如图24－1－54所示，已知四边形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E .求证：DB 平分∠ADC .图24－1－54知识点4圆内接多边形11．2017·淮安如图24－1－55，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________°.图24－1－5512．如图24－1－56所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．图24－1－5613．2017·云南如图24－1－57，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝()图24－1－57A．30°B．29°C．28°D．20°14．2017·西宁如图24－1－58，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图24－1－5815．如图24－1－59，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD＝________°.图24－1－5916．已知：如图24－1－60，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O 于点E，∠BAC＝45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD＝CD.图24－1－6017．如图24－1－61，AB 是⊙O 的直径，C 为AE ︵的中点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点F ，连接AC .求证：AF ＝CF .图24－1－6118．2017·六盘水如图24－1－62，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点．(1)利用尺规作图，确定当P A ＋PB 最小时点P 的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)； (2)求P A ＋PB 的最小值．图24－1－62教师详解详析1．C [解析] 根据圆周角的定义，顶点在圆上，可排除选项D .根据两边都与圆相交可排除选项A ，B .故选C .2．解：图中有8个圆周角，BC ︵所对的圆周角有1个，是∠BDC ；CD ︵所对的圆周角有2个，分别是∠CBD ，∠CAD.3．D [解析] 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.4．D5．C [解析] 如图，连接OA ，OB.因为∠APB 和∠AOB 分别是AB ︵所对的圆周角和圆心角，所以∠AOB ＝2∠APB ＝2×45°＝90°.在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝2，由勾股定理，得AB ＝2 2.故选C .6．90 [解析]∠EOD ＝2∠A ＝2×45°＝90°.7．C [解析]∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝12(180°－50°)＝65°，∴∠AEC ＝∠ABC ＝65°.故选C .8．50 [解析]∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝90°－40°＝50°.9．140 [解析] 连接AD ，OD.∵AB 为圆的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，根据“等腰三角形三线合一”得到AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝20°.又∵OA ＝OD ，∴∠BOD ＝2∠OAD ＝40°，∴∠AOD ＝140°.即AD ︵的度数是140度．10．证明：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠ADB ＝∠BDC ， 即DB 平分∠ADC.11．120 [解析] 因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°.因为∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，所以∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6，所以∠D ＝63＋6×180°＝120°.12．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＝180°－∠B ＝130°. 又∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠D －∠ACD ＝180°－130°－25°＝25°， ∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径．13．A [解析]∵∠BFC ＝20°， ∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝180°－40°2＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. 故选A .14．60 [解析]∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.15．61 [解析] 设AB 的中点为O ，连接OD.∵三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴点C 在以AB 为直径的圆上．∵点D 对应的刻度是58°，∴∠DCB ＝12×58°＝29°，∴∠ACD ＝90°－29°＝61°.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°.又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABE ＝45°. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝67.5°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝67.5°－45°＝22.5°. (2)证明：连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.17．证明：如图，连接BC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 即∠ACF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠ACF ＝∠B. ∵C 为AE ︵的中点，∴AC ︵＝CE ︵， ∴∠B ＝∠CAE ， ∴∠ACF ＝∠CAE ， ∴AF ＝CF.18．[解析] (1)画出点A 关于MN 的对称点A′，连接A′B ，与MN 的交点即为点P. (2)利用∠AMN ＝30°得∠AON ＝∠A′ON ＝60°，又由B 为AN ︵的中点，可得∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°，再由勾股定理求得PA ＋PB 的最小值为2 2.解：(1)如图，点P 即为所求．(2)如图，连接OA ，OA ′，OB.由(1)可得，PA ＋PB 的最小值即为线段A′B 的长．∵点A′和点A 关于MN 对称且∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝60°.又∵B 为AN ︵的中点，∴∠BON ＝12∠AON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°.∵MN ＝4，∴OB ＝OA ′＝2.在Rt △A ′OB 中，由勾股定理得A ′B ＝22＋22＝2 2.∴PA ＋PB 的最小值是2 2.。
人教版九年级数学上册《24.1.1-圆》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.1.1 圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（）A．半径是3厘米B．直径是3厘米C．周长是3π厘米D．面积是3π厘米2．已知⊙O的半径长7cm，P为线段O A的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是（）A．等于7cm B．等于14cm C．小于7cm D．大于14cm3．下列说法正确的是（）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．所对圆心角相等的弧是等弧C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦4．已知O的半径为5，则该圆中最长的弦的长是（）A．52B．53C．10 D．155．如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P是在以Q为圆心，2为半径的⊙Q上一动点，设P点的横坐标为x，A（1，0）、B（-1，0），连接P A、PB，则P A2+PB2的最大值是A．64 B．98 C．100 D．1246．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E是矩形内部的一个动点，连接AE BE CE DE，，，，下列选项中的结论错误．．的是（）A ．0261CE <<B ．无论点E 在何位置，总有2222AE CE BE DE +=+C ．若AE BE ⊥，则线段CE 的最小值为8D ．若60EAD EBC ∠+∠=︒，AE BE +的最大值为23 7．下列命题是假命题的是（ ）A ．不在同一直线上的三点确定一个圆B ．矩形的对角线互相垂直且平分C ．正六边形的内角和是720°D ．角平分线上的点到角两边的距离相等8．下列命题正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧是等弧B ．等圆周角对等弧C ．任何一个三角形只有一个外接圆D ．过任意三点可以确定一个圆9．下列条件中，能确定圆的是（ ）A ．以已知点O 为圆心B ．以1cm 长为半径C ．经过已知点A ，且半径为2cmD ．以点O 为圆心，1cm 为半径10．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）A ．经过已知点MB ．以点O 为圆心，10cm 长为半径C ．以10cm 长为半径D ．以点O 为圆心二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,12)，点B 的坐标为(5,0)，动点P 在以A 为圆心，7为半径的圆周上运动，连接BP ．（1）当动点P 与点B 距离最远时，此时线段BP 的长度为 ；（2）连接OP ，当OBP ∆为等腰三角形时，则P 点坐标为 ．12．（1）图⊙中有 条弧，分别为 ；（2）写出图⊙中的一个半圆 ；劣弧： ；优弧： ．13．如图，在⊙ABC 中，AC ＝BC ，⊙ACB ＝90°，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 延长线于点D ，则AC CD 的值为 ；过点C 作CE ⊙AB ，交BD 于点E ，连接BE ，则CE AD的值为 ．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD =8，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ´F ，连接B ´D ，则B ′D 的最小值是 ．15．如图，在O 中，点A 、B 在圆上，且AB OA =，则OAB ∠的度数为 °．16．直径为6cm 的圆周长是 cm ．17．如图，点A 、B 在O 上，且AB BO =．ABO ∠的平分线与AO 相交于点C ，若3AC =，则O 的周长为 ．（结果保留π）18．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，动点P 在矩形的边上沿B C D A →→→运动．当点P 不与点A 、B 重合时，将ABP 沿AP 对折，得到AB P '，连接CB '，则在点P 的运动过程中，线段CB '的最小值为 ．19．直线4y x =+分别与x 轴、y 轴相交于点M 、N ，边长为2的正方形OABC 的一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交于点P ，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点()0,2长度的最小值是 ．20．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）．三、解答题21．综合与实践【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩。
人教版九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步训练（含答案）
⼈教版九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步训练（含答案）⼈教版九年级数学上册24.1 与圆有关的性质同步训练⼀、选择题（本⼤题共8道⼩题）1. 如图所⽰，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂⾜为N，则ON＝()A. 5B. 7C. 9D. 112. 如图，以O为圆⼼的两个同⼼圆中，⼩圆的弦AB的延长线交⼤圆于点C.若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环⾯积最接近的是()A．10 B．13 C．16 D．193. 有下列说法：(1)直径是弦；(2)弦是直径；(3)半圆是弧，但弧不⼀定是半圆；(4)半径相等的两个圆是等圆；(5)长度相等的两条弧是等弧．其中错误的有() A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图，⊙O的半径为8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆⼼O，再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为()A．8 cm B．8 3 cm C．27 cm D．47 cm5. 如图，量⾓器的零刻度线与三⾓尺ABC的斜边AB重合，其中量⾓器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针⽅向以每秒2度的速度旋转，CP与量⾓器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量⾓器上对应的读数是()A ．48°B ．64°C ．96°D ．132°6. 如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意⼀点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°7. 如图，有⼀个⽔平放置的透明⽆盖的正⽅体容器，容器⾼8 cm ，将⼀个球放在容器⼝，再向容器内注⽔，当球⾯恰好接触⽔⾯时测得⽔深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm8. 2020·武汉模拟⼩名同学响应学习号召，在实际⽣活中发现问题，并利⽤所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地⾯台阶直⾓处，他测量了台阶⾼a 为160 mm ，直⾓顶点A 到轮胎与地⾯接触点B 的距离AB 为320 mm ，请帮⼩名同学计算轮胎的直径为( )A ．350 mmB ．700 mmC．800 mm D．400 mm⼆、填空题（本⼤题共8道⼩题）9. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.10. 如图所⽰，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最⼤值为________．11. 将量⾓器按图所⽰的⽅式放置在三⾓形纸⽚上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB的⼤⼩为________°.12. 如图，已知等腰三⾓形ABC中，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平⾯内任作∠APB＝60°，则BP的最⼤值为________．13. 2018·曲靖如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上⼀点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.14. 已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是⽅程x 2－ax ＋14＝0的两个根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2021的值为________．15. 如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接OD ，OE .若∠A ＝65°，则∠DOE ＝________°.16. 只⽤圆规测量∠XOY 的度数，⽅法是：以顶点O 为圆⼼任意画⼀个圆，与⾓的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆⼀周⼀周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题（本⼤题共5道⼩题）17. 如图所⽰，若BD ，CE 都是△ABC 的⾼，求证：B ，C ，D ，E 四点在同⼀个圆上．18. 我们学习了“弧、弦、圆⼼⾓的关系”，事实上我们还可以得到“圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系”．圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦或两条弦的弦⼼距中有⼀组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．[弦⼼距是指从圆⼼到弦的距离(如图①中的OC ，OC ′的长)]请直接运⽤圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系解决下列问题：如图②，O 是∠EPF 的平分线上⼀点，以点O 为圆⼼的圆与⾓的两边所在的直线分别交于点A ，B 和C ，D . (1)求证：AB ＝CD .(2)若⾓的顶点P 在圆上或圆内，(1)中的结论还成⽴吗？若不成⽴，请说明理由；若成⽴，请加以证明．19. 如图，直线AB 经过⊙O 的圆⼼，与⊙O 相交于点A ，B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，P 是直线AB 上的⼀个动点(与点O 不重合)，直线PC 与⊙O 相交于点Q .在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有⼏个？请相应地求出∠OCP 的度数．20. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．21. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的⼀个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆⼼O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平⾏四边形．①当圆⼼O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆⼼O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．⼈教版九年级数学上册24.1 与圆有关的性质同步训练-答案⼀、选择题（本⼤题共8道⼩题）1. 【答案】A【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝AB2＝12，∴在Rt△AON中，ON＝OA2－AN2＝132－122＝5.2. 【答案】C[解析] 如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AB，垂⾜为D，则AD＝BD＝2，∴DC＝2＋1＝3.S圆环＝πOC2－πOA2＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π(32－22)＝5π≈15.7.3. 【答案】B4. 【答案】D[解析] 如图，作CD 关于AB 对称的弦C ′D ′，连接OE 并延长，交CD 于点F ，交C ′D ′于点F ′.由题意可得OF ′⊥C ′D ′，且OF ′＝34×8＝6(cm)，所以C ′F ′＝OC ′2－OF ′2＝ 2 7 cm ，所以CD ＝C ′D ′＝2C ′F ′＝47cm.5. 【答案】C[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴点C 在以O 为圆⼼，OA 长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE ＝48°，∴∠EOA ＝2∠ACE ＝96°.6. 【答案】D[解析] 连接AD ，OA ，OB .∵B 是AC ︵的中点，∴∠ADB ＝∠BDC ＝40°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝80°.⼜∵M 是OD 上⼀点，∴∠ADB ≤∠AMB ≤∠AOB ，即40°≤∠AMB ≤80°，则不符合条件的只有85°.7. 【答案】A[解析] 作出该球轴截⾯的⽰意图如图所⽰．依题意，得BE ＝2 cm ，AE ＝CE ＝4 cm.设OE ＝x cm ，则OA ＝(2＋x )cm.∵OA 2＝AE 2＋OE 2，∴(2＋x )2＝42＋x 2，解得x ＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】C⼆、填空题（本⼤题共8道⼩题） 9. 【答案】50° 【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt△BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.10. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH ＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最⼩时，CD 最⼤．当点C 运动到点H 时，OC 最⼩，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最⼤值为 3.11. 【答案】25[解析] 设量⾓器的中⼼为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.12. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同⼀个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最⼤，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进⽽可求得BP 的最⼤值为8.13. 【答案】n14. 【答案】1[解析] ∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2.∵r 1和r 2是⽅程x 2－ax ＋14＝0的两个根，∴r 1r 2＝14，r 1＋r 2＝a ，∴r 1＝r 2＝12，从⽽a ＝1，∴a 2021＝12021＝1.15. 【答案】50[解析] 由三⾓形的内⾓和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三⾓形BOD 和等腰三⾓形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.16. 【答案】? ????360n m ° [解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx ＝n ×360°，所以x ＝? ??360n m °.三、解答题（本⼤题共5道⼩题）17. 【答案】证明：取BC 的中点F ，连接DF ，EF . ∵BD ，CE 都是△ABC 的⾼，∴△BCD 和△BCE 都是直⾓三⾓形，∴DF ，EF 分别是Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ，∴B ，C ，D ，E 四点都在以点F 为圆⼼，BF 的长为半径的圆上．18. 【答案】解：(1)证明：如图①，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N . ∵PO 平分∠EPF ，∴OM ＝ON ，∴AB ＝CD .(2)(1)中的结论还成⽴．证明：当点P 在⊙O 上时，如图②，同(1)知OM ＝ON ，∴AB ＝CD ；当点P 在⊙O 内时，如图③，同(1)知OM ＝ON ，∴AB ＝CD .19. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .⼜∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°，∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ，∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .⼜∵OC ＝OQ ，∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°，∴∠OCP ＝2x ＝20°. (3)如图③.∵QO ＝QP ，∴∠QOP ＝∠QPO . ∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ .设∠QPO ＝y ，则∠OQC ＝∠OCQ ＝∠QPO ＋∠AOC ＝y ＋30°，∴在△OPQ 中，有y ＋y ＋y ＋30°＝180°，解得y ＝50°，∴∠OCP ＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有3个，∠OCP 的度数分别为40°，20°，100°.20. 【答案】360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO . ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．21. 【答案】52解：(1)60 (2)①如图(a)．∵四边形OBCD 为平⾏四边形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∠OBC ＝∠ODC .⼜∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＝12∠BOD ，∴12∠BOD ＋∠BOD ＝180°，解得∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝12∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBC ＝∠ODC ＝180°－∠BOD ＝180°－120°＝60°. ⼜∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠OBA ＋∠ODA ＝∠ABC ＋∠ADC －(∠OBC ＋∠ODC )＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所⽰，连接AO . ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.。
人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 同步测试题(有答案)
24.1 圆的有关性质同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
题号一二三总分
得分
一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
1. 下列说法中，正确的是（）
A.长度相等的两条弧是等弧
B.优弧一定大于劣弧
C.任意三角形都一定有外接圆
D.不同的圆中不可能有相等的弦
2. 如图，AB是⊙O的直径，点A是弧CD的中点，若∠B=25∘，则∠AOC=()
A.25∘
B.30∘
C.40∘
D.50∘
3. 如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（）
A.3√5米
B.5米
C.7米
D.8米
4. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中．能组成四点共圆的组数是（）
A.4组
B.5组
C.6组
D.7组
5. 如图，在⊙O中，∠ABC=130∘，则∠AOC等于()
A.50∘
B.80∘
C.90∘
D.100∘
6. 如图，在⊙O中，∠BAC=15∘，∠ADC=20∘，则∠ABO的度数为()
A.70∘
B.55∘
C.45∘
D.35∘
7. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘，OC=3√2，CD的长为（）。
人教版九年级上册数学 24.1.1圆 同步练习(含解析)
24.1.1圆同步练习一．选择题1．到圆心的距离大于半径的点的集合是（）A．圆的内部B．圆的外部C．圆D．圆的外部和圆2．已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部3．把半径为0.5m的地球仪的半径增大0.5m，其赤道长度的增加量记为X，把地球的半径也增加0.5m，其赤道长度的增加量记为Y，那么X、Y的大小关系是（）A．X＞Y B．X＜Y C．X＝Y D．X+2π＝Y4．下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心5．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列说法错误的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．直径是圆中最长的弦C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧7．以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列语句正确的有（）①直径是弦；②半圆是弧；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．A．3 个B．2个C．1 个D．4个9．如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（）A．2条B．3条C．4条D．5条10．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理11．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆上任意一点有无数条弦，且这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A．①②③④⑤B．①②⑤C．①②③⑤D．②④⑤二．填空题13．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）14．如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝．（用数字表示）15．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝°．16．如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝16°，则∠AOC的大小是°．17．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝74°，则∠E ＝．三．解答题18．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB＝2，∠BAC＝30°．在图中作弦AD，使AD＝1，并求∠CAD的度数．参考答案1．解：根据点和圆的位置关系，知圆的外部是到圆心的距离大于的所有点的集合；故选：B．2．解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．3．解：∵地球仪的半径为0.5米，∴X＝2×（0.5+0.5）π﹣2×0.5π＝πm．设地球的半径是r米，可得增加后，圆的半径是（r+0.5）米，∴Y＝2（r+0.5）π﹣2πr＝πm，∴X＝Y，故选：C．4．解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．5．解：①直径是最长的弦，故本小题正确；②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题正确；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题错误．故选：B．6．解：A、长度相等的弧的度数不一定相等，故错误；B、直径是圆中最长的弦，正确；C、面积相等的两个圆是等圆，正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，故选：A．7．解：圆的任意一条直径的端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，故①正确；根据三角形角平分线的定义可知，三角形的角平分线是一条线段，故②错误；在一个三角形中至少有一个角不大于60°，故③正确；过圆内一点可以画无数条弦，故④正确；矩形的四个角都相等，都等于90°，而矩形不是正四边形，故⑤错误；故选：C．8．解：①直径是弦；正确，②半圆是弧；正确，③长度相等的弧是等弧；错误，④经过圆内一定点可以作无数条弦；正确，⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；错误．其中真命题共有3个．故选：A．9．解：弦为AB、CE、BC．故选：B．10．解：A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，故选：B．11．解：①因为直径的两个端点在圆上，直径是连接圆上这两个端点的线段．所以直径是弦是正确的．②弦是连接圆上两点的线段，如果过圆心就是直径，不过圆心就不是直径．所以弦是直径不正确．③过圆内一点是有无数多条弦，但这些弦不一定相等，其中过圆心的弦是最长的．所以③不正确．④直径是过圆心的弦，当然是圆中最长的弦．所以④正确．故选：B．12．解：①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧正确；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合，正确；③度数相等的弧叫做等弧，错误；④同圆中优弧大于劣弧，故原命题错误；⑤直角三角形的外心是其斜边中点，正确．故选：B．13．解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确；正确的结论有②③．故答案为：②③．14．解：∵⊙O的周长为4π，∴OD＝2，∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∵BE∥OC，∴∠EBD＝∠C，∴∠EBD＝∠D，∴BE＝DE，∴EO+EB＝OD＝2，故答案为：2．15．解：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°×2＝80°，∴∠AOC＝80°+40°＝120°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，故答案为：30．16．解：连结OD，如图，∵AB＝2DE，∴DE＝DO，∴∠E＝∠DOE＝16°，∴∠CDO＝∠E+∠DOE＝32°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠CDO＝32°，∴∠AOC＝∠C+∠E＝32°+16°＝48°．故答案为48．17．解：连结OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，∵OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝∠AOC＝×74°＝（）°．故答案是：（）°．18．解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝1，∠B＝60°，以A圆心BC长为半径画弧可得点D，再连接AD即可；∵AD＝BC，∴＝，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠DAC＝60°﹣30°＝30°；同理可得：∠D′AC＝60°+30°＝90°；综上所述：∠CAD的度数为30°或90°．。
人教版九年级数学上册24.1.1 ：圆 同步练习(包含答案)
九年级数学上册24.1.1 圆基础闯关全练1．到圆心的距离不大于半径的点的集合是( )A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆2．（2018北京顺义一模）如图24 -1-1-1所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2 cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A.1 cmB.2 c.mC.4 cmD.πcm3．已知：如图24-1-1-2，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上.4．（2019江苏无锡江阴月考）下列说法错误的是( )A．长度相等的两条弧是等弧B．直径是圆中最长的弦C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧5．（2018山东菏泽单县期末）如图24-1-1-3，在⊙O中，弦的条数是( )A．2B.3C.4D．以上均不正确能力提升全练1．有一半圆片，点E为圆心，∠AED= 52°，在平面直角坐标系中，按如图24-1-1-4所示放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB=n°时，半圆片上的点D与原点O之间的距离最大，则n的值为( )A．64B．52C．38D．262．如图24 - 1-1-5，在以原点为圆心，2为半径的⊙O上有一点C，∠COA =45°，则C的坐标为( )A．（，）B.（，-）C ．（-，） D.（-，-）3.如图24-1-1-6，在以原点为圆心的⊙O 上有一点C ，若点C 的坐标为（2，-1），则直径AB 的长是________．4．如图24-1-1-7，正方形ABCD 的边长为1，其中，的圆心依次是点A ，B ，C ．连接GB 和FD ，则GB 与FD 的关系是________.三年模拟全练一、选择题1．（2019湖南长沙天心明德中学月考，3，★☆☆）下列说法中，错误的是( )22222222A．半圆是弧B．半径相等的圆是等圆C．过圆心的线段是直径D．直径是弦二、填空题2．（2019江苏淮安期中，16，★☆☆）如图24-1-1-8，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB= 40°，∠OBC=50°，则∠OAC=______________°.五年中考全练一、选择题1．（2018辽宁阜新中考，6，★☆☆）如图24-1-1-9，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC= 65°，那么∠OCA的度数是( )A.25°B.35°C.15°D.20°二、填空题2．（2018黑龙江龙东中考，6，★☆☆）如图24-1-1-10，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO= 15°，则∠ACB=________.核心素养全练1．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为原点，点A为⊙O上一点，过点A作AB⊥x轴于B，作AC⊥y轴于C，连接BC，取BC的中点P．当点A沿圆周运动时，点P也随之运动.当点A 运动到A’的位置时，点P随之运动到点P’的位置.用虚线画出点P运动的路线，下列图中，正确的是( )A.B.C.D.2．（独家原创试题）如图24-1-1-11，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB交半圆于点C，点D是半圆上的动点（不与点A，B，C重合），点D从点A出发向点B运动．过点D作DE ⊥AB，DF⊥OC，垂足分别为E，F，分别取DE和DF的中点M，N，连接MN.若AB= 10．则下列关于MN的说法正确的是( )A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．等于5D ．等于2.5九年级数学上册24.1.1 圆基础闯关全练1．D 圆的内部是到圆心的距离小于半径的所有点的集合，圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合，故到圆心的距离不大于半径的点的集合是圆的内部和圆．故选D ．2．C ∵点A 与点B 的距离是2 cm ，即半径是2 cm ，∴圆的直径是4 cm ．故选C ．3．证明如图，连接ME 、MD ，∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴∠BEC= ∠BDC=90º，∵M 为BC 的中点，∴ME=MD=MC=MB=BC ．∴点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上．4.A 长度相等的弧所对圆心角的度数不一定相等，只有互相重合的弧才是等弧，故A 中说法错误；选项B 、C 、D 中说法都正确，故选A ．5.C 题图中共有4条弦，分别是弦AB 、弦DB 、弦CB 、弦CD ．故选C ．能力提升全练1.D 如图，连接OE 、OD ，当点O 、E 、D 共线时，半圆片上的点D 与原点O 之间的距离最21大，则∠AED= ∠EAO+ ∠EOA ，在Rt △AOB 中，因为AE= EB ，所以EA= EO= EB ，所以∠EAO=∠EOA ，所以 n °=∠AED=26°．故选D ．2．C 如图，过C 作CB ⊥OA 于点B ，∵∠COA=45º，∴三角形BCO 为等腰直角三角形．∵OC=2．∴OB=BC=．又∵点C 位于第二象限，∴点C 的坐标为（，），故选C ．3．答案解析 如图，作CD ⊥AB 于点D ，连接OC ，则CD=1，OD=2．在Rt △OCD 中，．∴AB= 2OC= .2122-252521OC 22=+=524．答案 相等且互相垂直解析 ∵BC=DC ，CG= CF ，又∠FCD= ∠GCB=90°，∴△FCD ≌△GCB ，∴GB= FD ，∠G=∠F ，∴ ∠G+∠CDF=∠F+∠CDF=90°，即GB 与FD 的关系是相等且互相垂直.三年模拟全练一、选择题1．C 过圆心的弦为直径，所以C 选项的说法错误；选项A 、B 、D 的说法都正确，故选C ．二、填空题2．答案 30解析 如图，连接OC ，∵OC= OB ，∠OBC=50°，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC= 180º-50º×2=80º，∴∠AOB= 40°．∴∠AOC=80°+40°=120°，∵OC=OA ，∴∠OAC=∠OCA= 30°.五年中考全练一、选择题1.A ∵OB= OC ， ∠ABC= 65°，∴∠OCB= 65°，∴∠BOC= 180°-65°×2= 50°，∵AB 是⊙O 的直径，OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC=∠BOC=×50°=25°，故选A ．2121二、填空题2．答案 60°解析 如图，连接DC ，OB ，∵∠BDO= 15°，OB=OD ，∴∠OBD=∠BDO= 15°，∴∠BOD= 150°.∵OD ⊥AC ，∴∠DOC= 90°，∴∠BOC=150°-90°= 60°，又OB= OC ，∴△BOC 是等边三角形，∴∠ACB=60°.核心素养全练1．B 连接OP ，OP ’，由题意可知BC=B'C'=半径，则OP= OP ’=BC ，在点A 的运动过程中，OP 的长不变，∴点P 运动的路线是以点O 为圆心，OP 为半径的圆的一段弧，故选B ．2．D 如图，连接OD ，EF ，∵AB= 10，∴OD=5.∵DE ⊥AB ，DF ⊥OC ，OC ⊥AB ，∴四边形DEOF 是矩形，∴EF=OD=5．当点D 在半圆上运动时，由圆上各点到圆心的距离都等于半径，可知OD 的长不变，∵点M ，N 分别为DE 和DF 的中点，∴MN=EF=OD=2.5.212121。
人教版数学九年级上册：24.1.1 圆 同步练习(附答案)
24．1.1 圆1．下列条件中，能确定一个圆的是()A．以点O为圆心B．以2 cm长为半径C．以点O为圆心，以5 cm长为半径D．经过点A2．下列命题中正确的有()①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在⊙O中，点A，O，D和点B，O，C分别在一条直线上，图中共有3条弦，它们分别是．4．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为．5．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是( )A．40° B．30° C．20° D．10°6．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD等于(D) A．45° B．60°C．90° D．30°7．如图，在△ABC中，BD，CE是两条高，点O为BC的中点，连接OD，OE，求证：B，C，D，E四个点在以点O为圆心的同一个圆上．8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为() A．50° B．60° C．70° D．80°10．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()A.2rB.3r C．R D．2r12．已知A ，B 是半径为6 cm 的圆上的两个不同的点，则弦长AB 的取值范围是 cm. 13．如图，CE 是⊙O 的直径，AD 的延长线与CE 的延长线交于点B ，若BD ＝OD ，∠AOC ＝114°，求∠AOD 的度数．14．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE ＝BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．15．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E 点，已知AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．16．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，点P ，Q 为CB ︵上的任意两点，作PE ⊥CD ，PF ⊥AB ，QM ⊥CD ，QN ⊥AB ，则线段EF ，MN 的大小关系为EF MN.(填“＜”“＞”或“＝”)参考答案： 1．C 2．B3． AE ，DC ，AD ． 4．5． 5．A 6．D7．证明：∵BD ，CE 是两条高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°.∵△BEC 为直角三角形，点O 为BC 的中点， ∴OE ＝OB ＝OC ＝12BC.同理：OD ＝OB ＝OC ＝12BC.∴OB ＝OC ＝OD ＝OE.∴B ，C ，D ，E 在以点O 为圆心的同一个圆上． 8．证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ， ∴△EOB ≌△FOC (ASA )． ∴OE ＝OF.∵CE ＝CO ＋OE ，BF ＝BO ＋OF ， ∴CE ＝BF. 9．C 10．B 11．B12．0<AB ≤12. 13．解：设∠B ＝x °. ∵BD ＝OD ， ∴∠DOB ＝∠B ＝x °.∴∠ADO ＝∠DOB ＋∠B ＝2x °. ∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ADO ＝2x °. ∵∠AOC ＝∠A ＋∠B ，∴2x＋x＝114.解得x＝38.∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－4x°＝180°－4×38°＝28°. 14．解：OE＝OF.证明：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OBA＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．∴OE＝OF.15．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE.∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∵∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°.∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°.16．＝。
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24.1 圆
一、选择题（共10小题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（）
A．B．3 C．2D．4
2．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）
A．2 B．C．D．
3．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）
A．B．C．D．
4．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）
A．AE=BE B．=C．OE=DE D．∠DBC=90°
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）
A．OE=BE B．=
C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形
7．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（）
A．3 B．6 C．6D．12
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）
A．4 B．C． D．
9．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（）
A．①③B．①②③④C．②③④ D．①③④
10．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则的长是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共15小题）
11．如图，圆O的直径CD=10cm，AB是圆O的弦，且AB⊥CD，垂足为P，AB=8cm，则sin∠OAP=______．
12．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为______．
13．如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为______度．
14．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是
图中的点______．
15．在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD
的面积为______．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AO=2，BC=2，则∠BAC的度数为______．
17．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为______cm．
18．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为______．
19．如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为______．
20．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为______．
21．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则
CD=______cm．
22．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为______．23．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=______．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE=______cm．。