离散数学习题答案
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学答案
习题3.11.(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2) {aa , ab , ba , bb } (3) {-1,1}(4) {11,13,17,19,23,29} (5) {1,2,3,…,79} (6) {2}2. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过200的自然数的集合;{|N 200}x x x ∈∧≤(2) 被5除余1的正整数的集合;+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧∃∈∧=+(3) 函数y =sin x 的值域;{|R 11}y y y ∈∧-≤≤(4) 72的质因子的集合;{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧∀∈∧≤<→/(5) 不等式031>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>(6) 函数2312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合; ① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ⊆ (2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;①{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ⊆ (3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合; ① 1A ∈② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ⊆(4) 5的正整数倍的集合. ① 5A ∈② 如果x A ∈，则5x A +∈4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合): (1) (2)(3) ;A ∈∅;A ⊆∅};{A A ∈ (4)(5)(6) ;A A ⊆;A A ∈};{A A =(7) }.{∅=∅答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。
(完整版)《离散数学》同步练习答案
华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。
q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。
（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。
（3）设:p：刘平聪明。
q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（5）设，p：径一事;q：长一智。
在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。
" 可符号化为： p q 。
（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。
（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。
" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。
（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。
（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。
（12）设P:你努力.Q：你失败。
在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。
”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。
q:小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。
（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。
二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（）2.命题公式p q r是析取范式。
( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。
离散数学习题答案耿素云屈婉玲_百度文库
离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）(⌝p→q)∧(q∧r)解：原式⇔(p∨q)∧q∧r⇔q∧r⇔(⌝p∨p)∧q∧r ⇔(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m3∨m7，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）(p∧q)∨(⌝p∨r)解：原式⇔(p∨⌝p∨r)∧(⌝p∨q∨r)所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）(p∧q)∨r解：原式⇔⇔(⌝p∨q∨r)⇔M4，此即公式的主合取范式，p∧q∧(⌝r∨r)∨((⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r)⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极小项为m0，m2，m4，所以主合取范式中含有三个极大项M0，M2，M4，故原式的主合取范式⇔M09、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）(p∨q)∨(⌝p∧r)解：公式的真值表如下：∧M2∧M4。
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式⇔m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提：⌝p∨q,⌝q∨r,r结论：s 证明：① p 前提引入②④→s,p⌝p∨q 前提引入⌝q∨r 前提引入③ q ①②析取三段论⑤ r ③④析取三段论⑥15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：(p∨q)→(r∧s),(s∨t)→u 结论：r→s 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理p→u证明：用附加前提证明法。
① p 附加前提引入②③④⑥⑦p∨q ①附加(p∨q)→(r∧s) 前提引入r∧s ②③假言推理⑤ s ④化简s∨t ⑤附加(s∨t)→u 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理故推理正确。
《离散数学》练习题和参考答案
《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PQ→⌝（2）QP⌝→（3）QP⌝↔（4）QP→⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学课后习题答案_屈婉玲(高等教育出版社)
第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)⇔（0↔1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)⇔（1∧1∧1）↔(0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)⇔（0∧1）→(1∧0)⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p:π是无理数1q:3是无理数0r:2是无理数1s:6能被2整除1t:6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q)→(⌝q→⌝p)（5）(p∧r)↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)答：（4）p q p→q⌝q⌝p⌝q→⌝p(p→q)→(⌝q→⌝p)0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r（p∨q）→(p∧r)000001001001010100011100100100101111110100111111所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔(⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q))∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p)∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q)⇔M 1⇔∏(1)(2)主合取范式为：⌝(p→q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r前提引入⑤⌝q③④拒取式⑥p→q前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r前提引入②t①化简律③q↔s前提引入④s↔t前提引入⑤q↔t③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q)⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q②⑥假言推理⑨q→p前提引入⑩p⑧⑨假言推理(11)p∧q⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p结论的否定引入②p→﹁q前提引入③﹁q①②假言推理④￢r∨q前提引入⑤￢r④化简律⑥r∧￢s前提引入⑦r⑥化简律⑧r∧﹁r⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1)对于任意x,均有2=(x+)(x).(2)存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x):2=(x+)(x ).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
(完整版)离散数学习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：p qp⌝q⌝()p p →⌝()p p q→⌝→⌝001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧，此即公式的主析取范式，()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。
离散数学习题集(十五套) - 答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。
10．下图所示的偏序集中，是格的为。
二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
离散数学练习题及答案
一、填空题1、集合的表示方法有两种： 法和 法。
请把“奇整数集合”表示出来{ }。
1、列举；描述；}12|{Z k k x x ∈+=，2、无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是不含有奇数度结点.2*、连通有向图D 含有欧拉回路的充分必要条件是D 中每个结点的入度＝出度. 3、设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是 、自反性、对称性、传递性.4、有限图G 是树的一个等价定义是：连通无回路（或任一等价定义）.5、设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自然数”符号化为∀x (N (x )→Z (x ))∧∃x (Z (x )∧⌝N (x ))6、在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和,第j 列元素之和分别为 、结点v i 的出度和结点v j 的入度． 7、设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧⇔∧，那么命题B A ↔是重言式的真值是 1 ．8、命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为P ∧⌝Q ．9、 设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若V '=V ,E '⊆E ，则G '是G 的生成子图. E E V V E E V V ⊆'='⊂'⊂',;或 10、在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri ir 1)deg(＝2∣E ∣,其中r i(i =1,2,…,r )是G 的面．11、设}2,1{},,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是11、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ，2），（b ，1）}12、表达式∀x ∃yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c }，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 12、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ）∨L （c ，b ）∨L （c ，c ）） 12*、设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为 (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))13、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 14、设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )= R ⋂S15、设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是2=-+e r v16、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和≥n ，则G 一定是哈密顿图. 17、一个有向树T 称为根树，若 ，其中 ，称为树根，称为树叶. 若有向图T 恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；出度为0的结点.18、图的通路中边的数目称为 . 结点不重复的通路是 通路. 边不重复的通路是 通路. 通路长度；初级；简单. 19、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。
《离散数学》(左孝凌 李为鉴 刘永才编著)课后习题答案 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
离散数学综合练习题答案
离散数学综合练习题答案一、 判断下列命题是否正确（1）错误； （2）错误； （3）正确； （4）错误； （5）错误； （6）正确； （7）错误； （8）正确； （9）正确； （10）错误； （11）正确；（12）正确；（13）正确；（14）正确；（15）正确； （16）正确；（17）正确；（18）正确；（19）正确；（20）正确； （21）正确；（22）错误；（23）正确；（24）正确；（25）正确； （26）正确；（27）正确；（28）正确；（29）正确；（30）错误； （31）正确；（32）错误；（33）错误；（34）错误；（35）错误； （36）正确；（37）正确；（38）正确；（39）错误；（40）错误.二、 填空题（1）n2； （2）}}}{,{}},{{},{,{φφφφφ； （3）3； （4）40； (5)12~~ρρο (6) ρρρ⊆ο； (7)a 称c 为外祖父； (8)5，9；(9)[赵]= {赵茵，赵萍}，[钱]= {钱小滨，钱浩，钱钰}，[孙]={ 孙丽春}， [李]= {李靖华，李秀娟，李惠芝，李莉}. (10)},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><=A A A b b b A a a a A b a φφφφφρ(11) S ,φ； (12) 1和2；(13)>⊕<6},0{，>⊕<6},3,0{，>⊕<6},4,2,0{，>⊕<66,I ；(14) x -； (15) –2； (16) 1，1； (17) b x a =⋅，b a y =⋅； (18) c b =； (19) e ； (20) 0； (21) 5； (22) m-n ＋1； (23) 1； (24) 0； (25) 1； (26) 2)1(-n n ； (27) m 2； (28) 11； (29) 1-k ； (30) 偶数； (31) q p ∧； (32) q p →⌝； (33) q p ⌝→⌝； (34) 0； (35) 0； (36) n22； (37))()()(21n a F a F a F ∨∨∨Λ； (38) ))()(()()((x G x F x N x ∨→∀； (39) )()(a G a F ∧； (40) ))()()(())()()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀.三、 选择题（1） A ； （2） C ； （3） C ； （4） B ； （5） B ； （6） A ； （7） B ； （8） D ； （9） B ； （10）B ； （11）B ； （12）D ； （13）B ； （14）D ； （15）D ； （16）C ； （17）C ； （18）D ； （19）C ； （20）A ； （21）A ； （22）B ； （23）B ； （24）C ； （25）B ； （26）B ； （27）B ； （28）A ； （29）B ； （30）C ； （31）B ； （32）C ； （33）B ； （34）A ； （35）A ； （36）D ； （37）D ； （38）B ； （39）B ； （40）B.四、 解答题1. 解 （1）ρ的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1100110000110011ρM （2）从ρ的关系矩阵可知：ρ是自反的和对称的。
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
离散数学课后习题答案
1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}⊆S,{{a},1,3,4}⊂R,R=S,{a}⊆S,{a}⊆R,φ⊆R,φ⊆{{a}}⊆R⊆E,{φ}⊆S,φ∈R,φ⊆{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ⊆ S ，{{a}，1，3，4 } ⊂ R ，R = S ，{a}⊆S ，{a}⊆ R ，φ⊆ R ，φ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ E ，{φ} ⊆ S ，φ∈R ，φ⊆ {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A⊆B当且仅当ρ(A)⊆ρ(B)；(2)ρ(A)⋃ρ(B)⊆ρ(A⋃B)；(3)ρ(A)⋂ρ(B)=ρ(A⋂B)；(4)ρ(A-B) ⊆(ρ(A)-ρ(B)) ⋃{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x⊆A。
由于A⊆B，故x⊆B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)⊆ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}⊆A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)⊆ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A⊆B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X⊆A或X⊆B∴X⊆(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ⊆ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X⊆A且X⊆B∴X⊆ A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ⊆ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y⊆ A∩B∴Y⊆A且Y⊆B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ⊆ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
离散数学课后习题答案 (邱学绍)
第一章 命题逻辑习题1.11．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。
⑵x 取值不确定，所以不是命题。
⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。
⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。
⑸是命题，真值由具体情况确定。
⑹是命题，真值由具体情况确定。
⑺是真命题。
⑻是悖论，所以不是命题。
⑼是假命题。
2．解 ⑴是复合命题。
设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。
命题符号化为q p ∨。
⑵是疑问句，所以不是命题。
⑶是悖论，所以不是命题。
⑷是原子命题。
⑸是复合命题。
设p ：王海在学习；q ：李春在学习。
命题符号化为p ∧q 。
⑹是复合命题。
设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。
p →q 。
⑺不是命题。
⑻不是命题⑼。
是复合命题。
设p ：王海是女孩子。
命题符号化为：⌝p 。
3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。
⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。
⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。
⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。
4．解 ⑴⌝p →(q ∨r )。
⑵p →q 。
⑶q →p 。
⑷q → p 。
习题1.21．解 ⑴是1层公式。
⑵不是公式。
⑶一层： p ∨q ，⌝p二层：⌝p ↔q所以，)()(q p q p ↔⌝→∨是3层公式。
⑷不是公式。
⑸(p →q )∧⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，⌝q ，⌝r 二层：q →⌝r 三层：⌝q ↔( q →⌝r ) 四层：⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))2．解 ⑴A =(p ∨q )∧q 是2层公式。
真值表如表2-1所示：表2-1⑵p q p q A →→∧=)(是3层公式。
真值表如表2-2所示：表2-2⑶)()(q p r q p A ∨→∧∧=是3层公式。
真值表如表2-3所示：表2-3⑷)()()(r q r p q p A ∨∧∨⌝∧∨=是4层公式。
真值表如表2-4所示：3．解 ⑴p q p A ∨⌝∧⌝=)(真值表如表2-5所示：表2-5所以其成真赋值为：00，10，11；其成假赋值为01。
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习题1：1. 解 （1）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）{x|x=20*k,k 是自然数}（3）{2，-1}2. 解 （1）{2，4}（2）{1，2，3，4，5}（3）{1，3}（4）{1，3，5}3. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}（2）φ（3）全体自然数（4）{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}（5）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19}4. 解 （1）正确（2）正确（3）错误（4）正确5. 解 （1）A={1}，B={{1}}，C={{1}}（2）A={1}，B={{1}}，C={{{1}}}6. 解 （1）正确。
由子集的定义。
（2） 不一定。
如：A={1}，B={{1}}，C={{1}}。
（3）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}（4）不一定。
如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}。
7. 解 A={1，2}，B={1}，C={2}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
A={1，2}，B={1}，C={1}，有B A ≠，但是C B C A =成立。
8. 解 （1）φ（2）{φ}（3）{{φ}}（4）{φ，{φ}}9. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}（3）{0,3,6,7,8,9}10. 解 33311. 解 2512. 解（1）454（2）124（3）22013. 解 （1）{φ}（2）{φ，{a}}（3）{φ，{φ}，{a}，{φ,a}}（4）{φ，{φ}，{{φ}}，{{φ},φ}}（5）{φ，{{φ}}，{φ}，{a}，{{φ},φ}，{{φ},a}，{φ,a}，{{φ},φ,a}}14. 证明：假设B ≠C ，则至少存在一元素x ∈B 且x ∉C 。
(1) 若x ∉A ，因为x ∈B ，所以x ∈A ⊕B ；因为x ∉C ，所以x ∉ A ⊕C ，则A ⊕B ≠ A ⊕C ，与已知条件A ⊕B= A ⊕C 矛盾。
(2) 若x ∈ A ，因为x ∈B ，所以x ∉A ⊕B ；因为x ∉C ，所以x ∈A ⊕C ，则A ⊕B ≠ A ⊕C ，与已知条件A ⊕B= A ⊕C 矛盾。
由(1)，(2)可知，假设不成立，因此B=C 成立。
15. 证明： （1）左边=（A B ’） C ’=A B ’ C ’=A (B ’ C ’)=A (B C)’=A- B C=右边.（2）左边=(A B) C ’=( A C ’) (B C ’)=(A-C) (B-C)(3) 左边=A ( B C)’=A B ’ C ’=( A B ’) (A C ’)=(A-B) (A-C)16. 证明：(1)反证法，假设B ≠C, 则至少存在一元素x ∈B 且x ∉C 。
若x ∉A ，因为x ∈B ，所以x ∈A B ；因为x ∉C ，所以x ∉ A C ，则A B ≠ A C ，与已知条件A B= A C 矛盾。
若x ∈ A ，因为x ∈B ，所以x ∈ A ’ B ；因为x ∉C ，所以x ∉ A ’ C ，则A ’ B ≠ A ’ C ，与已知条件A ’ B = A ’ C 矛盾。
所以，假设不成立，因此B=C 成立。
（2）因为A B = A C ，A B = A C ，所以A B - A B = A C- A C ，即A ⊕ B = A ⊕C ，由第14题可得，B=C 。
习题二：1. 原题改为：设}2,1{=A ，},{b a B =，计算P (A),P (B),A ⨯B,P (A)⨯P (B)。
解P(A)={ φ,{1},{2},{1,2}}; P(B)={ φ,{a},{b},{a,b}};A ⨯B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)};P (A)⨯P (B)={(φ,φ),(φ,{a}),(φ,{b}),(φ,{a,b}),({1},φ),({1},{a}),({1},{b}),({1},{a,b}),({2},φ),({2},{a}),({2},{b}),({2},{a,b}),({1,2},φ),({1,2},{a}),({1,2},{b}),({1,2},{a,b})}2. 略3. 解 （1）成立（2）不一定成立。
反例：A={1，2}，B={2}，C={a ，b}，D={b}（3）不一定成立。
反例：A={1，2}，B={2}，C={a ，b}，D={b}（4）不一定成立。
反例：A={1}，B={2}，C={a }，D={b}4. 解 φ，{(1,3)}, {(2,3)}, {(1,3),(2,3)}5．解I A ={(1,1),(2,2),(3,3)} U A ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}6. 解（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100011（2）略（3）domR={1,2,3}; ranR={a,b,c}7. 解R ⋃S={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,c),(3,a),(3,b)}R ∩S={(1,a),(2,c),(3,a)}R-S={(1,b)}R -1={(a,1),(b,1),(c,2),(a,3)}8. 解R.S={(a,a),(b,b),(b,d)}S.R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)}R-1.S-1={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)}S-1.R-1={(a,a),(b,b),(d,b)}9. 解R={(a,a),(b,b),(c,c)}10. 解(1) R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c)}(2) R={(a,b),(b,a)}(3) R={(a,b)}11. 解设集合A={1,2,3,4,5}（1）正确。
（2）不成立。
反例：R={(1,2)},S={(2,1)}（3）不成立。
反例：R={(1,2),(2,1)},S={(2,3),(3,2)}（4）不成立。
反例：R={(1,2),(3,4)},S={(2,3),(4,5)}12. 解r(R)={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}s(R)={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,c)}t(R)={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}13. 证明：直接利用闭包的构造式即可得证。
14.解等价关系是{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(c,a),(b,d),(d,b)}15.证明:必要性：R是一个等价关系，则当(a,b)∈R，(a,c)∈R必有(b,c)∈R。
因为R对称，所以当(a,b)∈R时，有(b,a)∈R，因为R传递，所以当(b,a)∈R，(a,c)∈R 时有(b,c)∈R。
充分性：R是A上的一个自反关系，当(a,b)∈R，(a,c)∈R必有(b,c)∈R，证明R是等价关系。
自反:条件已知；对称:若(a,b)∈R,因为R自反,故(a,a)∈R, 现在(a,b)∈R,(a,a)∈R,则根据条件(b,a)∈R；传递: 若(a,b)∈R,(b,c)∈R因为(a,b)∈R,(b,c)∈R, 而R对称,所以(b,a)∈R, 现在(b,a)∈R,(b,c)∈R, 所以根据条件有(a,c)∈R16. 解15。
17. 解A/R={{a,b},{c},{d}}。
18. 解R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,c),(c,b)}19. 解a，极大元是e，极小元是a。
20. 解21.习题六：1.解（1）不是命题（2）是命题，（看具体日期确定）。
（3）是命题，（看具体情况）。
（4）若进行的布尔运算，则是真命题；若十进制运算则是假命题。
（5）不是命题。
（6）是真命题。
（7）是真命题。
（8）不是命题。
（9）是命题。
目前不能知道真值。
（10）是命题变元。
根据x，y的取值确定真值。
（11）不是命题。
2. 解（1）P：付出劳动；Q：有收获。
则命题符号化为：⌝P→⌝Q（2）P：今天下雨；Q：我去看电影。
则命题符号化为：⌝P→Q（3）P：a是奇数；Q：b是奇数；R：a与b的和是偶数。
则命题符号化为：P∧Q→R（4）P：小明学习好；Q：小明乐于助人。
则命题符号化为：P∧Q（5）P：小明骑自行车；Q：小明听音乐。
则命题符号化为：P∧Q（6）P：今天是周二；Q：我准备下周开会的材料。
则命题符号化为：P∧Q3. 解(1) ⌝p→⌝q(2) ⌝p→r(3)⌝p→r⊕q4.解（1）可满足式（2）可满足式（3）可满足式（4）可满足式（5）重言式5. 证明（1）左边⇔⌝P∨⌝Q∨P⇔ P∨(⌝P∨⌝Q) ⇔⌝P→(P→⌝Q) ⇔右边。
（2）左边⇔⌝(⌝P∨Q) ⇔ P∧⌝Q ⇔右边。
(3) 左边⇔ P∨(⌝P∨⌝Q) ⇔⌝P∨(⌝Q∨ P) ⇔ P→( Q → P) ⇔右边。
(4) 右边⇔(⌝P∨R) ∨(⌝Q∨R) ⇔⌝P∨⌝Q∨R⇔⌝(P∧Q) ∨R⇔(P∧Q) →R ⇔左边。
6. 解此题答案不唯一。
（1）合取范式与析取范式都可以是P∨Q。
（2）原式是重言式。
合取范式与析取范式都可以是1。
（3）合取范式可以是（⌝P∨Q）∧ (P∨⌝Q)析取范式可以是（⌝P∧⌝Q）∨ (P∧Q)（4）原式是重言式。
合取范式与析取范式都可以是1。
7. 解（1）主析取范式：(⌝P∧Q) ∨( P∧Q)主合取范式：（P∨Q）∧（⌝P∨Q）(2) 主析取范式：(⌝P∧⌝Q∧⌝R) ∨(⌝P∧⌝Q∧R) ∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R) ∨(⌝P∧Q∧R) ∨(P∧⌝Q∧⌝R) ∨ (P∧⌝Q∧R) ∨ (P∧Q∧⌝R) ∨ (P∧Q∧R)主合取范式：空（3）主析取范式：（P∧⌝Q）∨（P∧Q）主合取范式：（P∨Q）∧（P∨⌝Q）（4）主析取范式：(⌝P∧⌝Q∧⌝R) ∨(⌝P∧⌝Q∧R) ∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R) ∨(⌝P∧Q∧R) ∨(P∧⌝Q∧R) ∨ (P∧Q∧⌝R) ∨ (P∧Q∧R)主合取范式：⌝P∨Q∨R8. 证明(1) 利用真值表可知：左边的主合取范式⇔(P∨Q∨R∨⌝S) ∧ (P∨⌝Q∨R∨⌝S) ∧ (⌝P∨⌝Q∨R∨⌝S)右边的主合取范式⇔(P∨Q∨R∨⌝S) ∧ (P∨⌝Q∨R∨⌝S) ∧ (⌝P∨⌝Q∨R∨⌝S)因此（1）成立。
（2）利用真值表可知“左边的主合取范式⇔⌝P∨Q右边的主合取范式⇔⌝P∨Q因此（2）成立。