国际学校数学期中测试卷

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国际学校高中数学期中试卷(美高几何)

Multiple Choice:(14’)1、The diameter of a circle is( ).A.The measurement around the circle.B.The distance from an edge of a circle to another edge.C.The distance from the center of the circle to an edge of a circleD.The distance from an edge of a circle to another edge through the center.2、In the equation (x-5)2+(y-2)2=16, the center of the circle is answer choices( ).A.(5,2)B.(-5, -2)C.(-5, -3)D.(5,3)3、In circle O below, which statement must be true? ( ).A.21∠≅∠B.︒=∠+∠18041C.41∠≅∠D.31∠≅∠Q 3 Q 4 Q 54、What can you NOT conclude from the diagram at the right? ( ). A. c=d B. a= b C. c 2 + e 2=b 2 D.e=d5、If m ∠KLM=20° and measure of arc MP=30 ° , what is m ∠KNP?( ).A.25° C.50°B.35° D.70°6、An angle in a circle with vertex on the circle itself( ).A.AngleB.Central angleC.Inscribed angleD.Chord7、A round cheesecake 12 inches in diameter and 3 inches high is cut into 8 equal-sized pieces. If five pieces have been taken, what is the approximate volume of thecheesecake that remains?( ).A. 42.4 in 3B. 127.2 in 3C. 70.7 in 3D. 212.1 in 3Fill in the blanks to complete each theorem.(10’)1、If a line is perpendicular to a radius of a circle at a point on the circle, then the lineis ________ to the circle.2、_________ is the distance between the endpoints along an arc measured in linearunits. Since an arc is a portion of a circle, its length is a fraction of the circumference.3、A __________ is a line that intersects a circle at two points.4、The measure of an inscribed angle is ________ the measure of its intercepted arc.5、An inscribed angle subtends a semicircle if and only if the angle is a _________.Find the value of x in each figure below.(6’)In circle P, AB is a diameter, AB//EF and ︒=⋂88EF m . Calculate each of the followingCalculate the area of sector ACB.(8’)Find the value of x in each figure below. (6’)Solve for x. Assume that lines which appear tangent are tangent. (12’)Extra questions:(15)Quadrilateral ABCD satisfies∠ABC=∠ACD=90°,AC=20 and CD=30 Diagonals AC and BD intersect at point E and AE=5 , What is the area of quadrilateral ABCD?In triangle , point divides side so that . Let be the midpoint of and let be the point of intersection of line and line . Given that the area of is , what is the area of ?。

四川省绵阳市绵阳东辰国际学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题

23.定义：若a＋b＝3，则称a与b是关于3的实验数．
（1）4与是关于3的实验数，与5﹣2x是关于3的实验数．（用含x的代数式表示）
（2）若a＝2x2﹣3（x2＋x）＋5，b＝2x﹣[3x﹣（4x＋x2）＋2]，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由．
（3）若c＝|x﹣3|﹣1，d＝|x＋2|﹣3，且c与d是关于3的实验数，求x的值．
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠；
小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款_____元．
三、解答题
19.
（1）计算：；
（2）解方程：．
20.先化简，再求值：，其中x，y满足 .
21.已知关于x的方程的解与的解互为相反数，求k的值．
22.列方程解应用题
东辰中学刚完成校舍的修建，有一些相同的办公室需要粉刷墙面，一天5名一级技工去粉刷了8个办公室外还多粉刷了平方米的展示厅墙面；同样时间内4名二级技工粉刷了7个办公室，结果有平方米的墙面未来得及粉刷完，已知每名一级技工比二级技工一天多粉刷平方米的墙面．
C.多项式的项是，．D. 是二次二项式
3.下列说法错误的是（）
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
4.下列说法正确是（）
A.一个数的倒数等于它本身，则这个数是，0
B.一个数的相反数等于它本身，则这个数一定是0，1
C.一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数
D.一个数的平方等于1，则这个数是
A.25B.75C.81D.90
8.若2m+n=2，mn=-1，则2（m+n）-（mn+n）的值是（）

2020-2021学年度浙江省宁波市国际学校八年级数学上册期中考试试卷

2020-2021学年度浙江省宁波市国际学校八年级数学上册期中考试试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（）．A. 6B. 7C. 8D. 93.已知a<b，下列式子不一定成立的是（）A. a−1<b−1B. −2a>−2bC. 12a+1<12b+1 D. ma>mb4.下列正确的选项是（）A. 命题“同旁内角互补”是真命题B. “作线段AC”这句话是命题C. “对顶角相等”是定义D. 说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例a＝05.如图，△ABC≌△ADE，下列说法错误的．．．是（）A. BC=DEB. ∠B=∠DC. ∠CAE=∠BADD. AB∥DE6.如图,用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′,等于已知角∠AOB,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS7.疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是( )A. 3B. 4C. 5D. 6所有整数解的和是6，则m的取值范围是（）8.若关于x的不等式组{x−m<03−2x⩽1A. 2＜m≤3B. 2≤m＜3C. 3＜m≤4D. 3≤m＜49.某电子商城销售一批电视，第一个月以5500元/台的价格售出60台，第二个月以5000元/台的价格将剩下的全部售出，销售金额超过55万元，这批计算机至少（）台.A. 103B. 104C. 105D. 10610.如图，ΔABC、ΔADE、ΔDFG均为等边三角形，C、E、F三点共线，且E是CF的中点，下列结论：①ΔADG≅ΔEDF；②ΔAEC为等腰三角形；③DF=AD+GE；④∠BAG=∠BCE⑤∠GEB=60°，其中正确的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共8题；共24分）11.在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，点D在AB边上，且CD=BD，则CD =________.12.等腰三角形的顶角是40°，则底角的度数为________°。

国际学校六年级数学期中考试卷

1. Two hundred and five thousand in numbers is( ).A.250 000B.2005C.205 000D.502 0002. What is the value of the underlined digit in 6008?( ).A.hundredsB.tensC.thousandsD.units3. What is the number shown by the abacus below?( ).A.47630B.47,630C.52369D.52,3694. 80 403 rounded off to the nearest 10( ).A.80 400B.10C.410D.80 4105. 5,1 × 100( ).A.510,0B.51,00C.5,100D.5016. What is the difference between the sum of 6 and 8 and their product?( ).A.34B.14C.48D.627. Y + 72 = 152, therefore Y is( ).A.224B.80C.2 r 12D.608. There are 8 equal classes in a school of 368 pupils. How many pupils are there in each class? ( ).A.46B.376C.360D.489. 358m = □km ( ).A.3,580B.0,583C.358D.0,35810. Subtract 1,99 from 3 ( ).A.2,1B.1,1C.2,01D.1,01 11. 53of an hour is( ). A.36 minutes B.30 minutes C.18 minutes D.24 minutes12. Which of the following is a leap year? ( ).A.1981B.1983C.1976D.198513. 10% of $15,90 is ( ).A.$1,59B.$15,9C.$159D.$5,1914. 51 of a number is 15. What is the number? ( ). A.60 B.75 C.55 D.10015.John ’s watch is reading 9.45am but it is 21 minutes behind. The correct time is( ).A.9.21amB.10.06amC.10.16amD.10.36am 16.The area of the rectangle above is ( ).A 20cm 2B 20cm 2C 40cm 2D 55cm 217. What is the value of seven $10 notes, five 50c coins and two 1c coins? ( ).A.$95,02B.$97C.$72,07D.$72,5218.What is the lowest common multiple of 6 and 9? ( ).A.3B.36C.12D.1819.Any shape with four sides is a ( ).A.squareB.rectangleC.quadrilateralD.pyramid20.Find 20% of $62,35 ( ).A.$625,50B.$1247C.$12,47D.$62,35 21.372,9 to the nearest whole number is ( ).A.370B.373C.300D.37222. 485 × 23 ( ).A 1155B 508C 10155D 11 15523. 611314 ( ). A.215 B.213 C.655 D.615 24. Tonderai bought bought five pencils for$1,50. How much change did he get from $10,00? ( ).A.$7,50B.$3,50C.$17,50D.$8,5025. 2,04 litres expressed in millilitres is ( ).A.204mlB.2004mlC.2040mlD.2400ml26. What is the difference between 6 142 and 3 487? ( ).A.6 147B.2 655C.3487D.365527. George carried 19 litres of water from the river to his home everyday in June. How many litres of water did he carry home altogether? ( ).A.190 litresB.49 litresC.570 litresD.589 litres28. 21× base × heightis the formular of finding the area of( ). A.square B.circle C.triangle D.rectangle29. What is 21divided by 41? ( ). A. 2 B. 4 C .8 D. 1630. It takes 30 men 8 days to complete a large roof. How long will 40 men take to do the same job? ( ).A.5 daysB.521daysC.6 daysD.621 days $156 is divided among Farai, Sharon and Brighton in the proportion 3: 4: 5 respectively. How much does Sharon receive? ( ).A.$13 B .$39 C. $52 D. $6531. Five sweets cost $2,50, six sweets and a chewing gum cost $4,50. What is the cost of a chewing gum? ( ).A. $3,00B.$2,00C.$1,50D.$0,5032.XLV111 in Arabic numerals is ( ).A.68B.78C.88D.4833.1980 was a leap year. What was the next leap year? ( ).A.1978B.1982C.1984D.1990plete the following number sequence: 725, 625, 545, □, 445 ( ).A.488B.485C.548D.44535.An empty lorry has amass of 3,625 tonnes.What is the total mass if it carries a load of 2,375 tonnes? ( ).A.6000 tonnesB.600 tonnesC.6,00 tonnesD.60,00 tonnes36.What is the name of this shape? ( ).A.octagonB.hexagonC.pentagonD.heptagon37.Thomas’bedroom is 7m by 6,3m. A fifth of this floor is covered with carpet. What area of the floor is covered? ( ).A.44,1m2B.33,1m2C.8,82m2D. 0,7m238.The average of 5 marks is 50 and four of the marks are: 38, 49, 68 and 50. What is the value of the fifth value? ( ).A.46B.48C.50D.4539.What is the discount on $9 at 10%? ( ).A.$0,90B.$0,09C.$9,00D.$0,7040.The common factors of 154 and 210 are ( ).A.7 and 2B.5 and 7C.11 and 7D.5 and 1141.Angle x is ( ).A.obtuseB.acuteC.reflexD.right angle42.What is 3 May 1980 in SI Notation? ( ).A.80.05.03B.80.03.05C.05.03.80D.03.80.0543.What is the Lowest Common Multiple of 3,8 and 12?( ).A.3B.8C.24D.3244.Rudo is facing north, she turned two right angles in a clockwise direction. She is now facing ….. ( ).A.eastB.northC.westD.south 45. 83as a decimal is ( ). A.0,275 B.0,725 C.2,75 D.0,37546.The people who attended a church service were 0,6 women, 0,3children and the rest were men. What is the decimal fraction of men? ( ).A.0,2B.0,3C.0,1D.0,9The graph below shows the number of pupils at four school. Study it and answer questions that follow.47. How many pupils were at Support?( ).A.400B.950C.850D.50048. How many more pupils were at Tomlinson than at Braeside?( ).A.450B.550C.1350D.65049. What was the average of the schools? ( ).A.675B.575C.625D.475。

四川省泸州市天立国际学校2024学年高三下学期期中联考数学试题

四川省泸州市天立国际学校2024学年高三下学期期中联考数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ，且2．设ln3a =，则lg3b =，则（）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b->>+3．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．24(,)e +∞B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞4．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（）A ．20B ．15C ．10D ．255．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．6．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（）A ．131+B ．132+C ．151+D ．152+7．若21i i z =-+，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（） A ．5B ．10C ．15D ．20 9．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．4010．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%11．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-12．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（）A ．55-B ．55C ．255-D ．255二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江苏省南京外国语学校八年级(上)期中数学试卷(a卷)

2023-2024学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试卷（A卷）一.选择题（共8题，共16分）1．（2分）的化简结果是（）A．2B．﹣2C．±2D．12．（2分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°3．（2分）如图，已知∠CAB＝∠DBA，那么还应添加一个条件，才能推出△ABC≌△BAD．则从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠C＝∠D B．BC＝AD C．∠CBA＝∠DAB D．AC＝BD4．（2分）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．BC＝1，AC＝2，AB＝C．BC：AC：AB＝3：4：5D．BC＝1，AC＝2，AB＝5．（2分）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为12、14、20，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝（）A．2：3：4B．10：7：6C．5：4：3D．6：7：106．（2分）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE＝1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm7．（2分）如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AEF＝∠AFE；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行于BC．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④8．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（）A．19°B．33°C．34°D．43°二.填空题（共10题，共23分）9．（2分）若一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，则a＝，这个正数是．10．（2分）在三角形内到三条边距离相等的点是三条的交点．11．（2分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．12．（2分）如图，AB＝AC，AB⊥CD，AC⊥BE，垂足分别为D、E，则图中共有对全等三角形．13．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD+BD＝．14．（2分）若在直角三角形中，斜边比一直角边大1，且另一直角边长为5，则斜边上的中线长为．15．（2分）如图，等边△ABC，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE面积最小时，∠CAE＝．16．（2分）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，D是BC上一点，BD＝2、DE⊥BC交AB于点E，则AE＝．17．（2分）在△ABC中，∠ABC＝110°，点D在边AC上，若直线BD将△ABC分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则∠CDB的度数是．18．（2分）如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB 上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是．三.解答题（共8小题，共61分）19．（6分）（1）解方程：（x﹣2）2＝9；（2）计算：．20．（6分）已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝AE．求证：BD＝CE．21．（7分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，BF＝AC．（1）求证：△BDF≌△ADC；（2）若∠CAD＝20°则∠ABE＝°．（直接写出结果）22．（8分）（1）证明命题：一边中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．（写出已知、求证和证明步骤）（2）如图，已知点D、E分别是△ABC外和内的两点．请利用直尺与圆规在△ABC的边上画出所有的点F，使△DEF为直角三角形．23．（7分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，连接DF，且DF＝3，求∠AFD的度数和BE的长．24．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．25．（9分）已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图1，若点O在边BC上，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，“小强”同学认为AB＝AC也一定成立，你同意他的想法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请画出反例并进行必要的标注．26．（11分）五线谱上跳动着美妙的音符，你能在等距的平行线上借助直尺和圆规画出美丽的几何图形吗？（1）在图①的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且有一个内角等于已知角α．（画出符合题意的一种即可）（2）在图②的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且满足腰：底＝．（画出符合题意的一种即可）（3）在图③的三条等距平行线上画一个等边三角形，使其三个顶点分别在三条等距平行线上．（画出符合题意的一种即可）（4）在图④的四条等距平行线上画一个正方形，使其四个顶点分别在四条等距平行线上．（画出符合题意的一种即可）（5）“小强”同学声称他在五条等距的平行线上画出了如图⑤所示的正五边形（各边相等各内角也相等的五边形），你同意他的说法吗？请给出你的观点并说明理由．2023-2024学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试卷（A卷）参考答案一.选择题（共8题，共16分）1．A；2．D；3．B；4．A；5．D；6．B；7．A；8．B；二.填空题（共10题，共23分）9．﹣1；16；10．角平分线；11．55°；12．4；13．21；14．；15．30°；16．1；17．40°或90°或140°；18．4﹣4＜x≤4或x＝4或x＝2；三.解答题（共8小题，共61分）19．（1）x1＝5，x2＝﹣1；（2）2+．；20．证明见解答．；21．25；22．（1）（2）见解析．；23．；24．；25．（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程；（3）不同意他的想法，理由见解答过程．；26．（1）（2）（3）（4）见解析；（5）不同意，理由见解析．；。

外国语期中考试数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，哪个是整数？A. 3.14B. 0.5C. -2D. 1.232. 下列各数中，哪个是负数？A. 2B. -5C. 0D. 53. 下列各数中，哪个是有理数？A. √2B. πC. 1/3D. 无理数4. 下列各数中，哪个是无限不循环小数？A. 0.333...B. 0.666...C. 1.414...D. 2.718...5. 下列各数中，哪个是偶数？A. 17B. 18C. 19D. 20二、填空题（每题5分，共25分）6. -3的相反数是_________。

7. 5和-7的和是_________。

8. 下列数中，哪个是质数？_________。

9. 下列数中，哪个是完全平方数？_________。

10. 下列数中，哪个是正数？_________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）计算下列各式的值：（1）-2 + 3 - 5（2）2/5 - 1/3 + 4/1512. （10分）化简下列各式：（1）4x - 3x + 2x - 5（2）2a^2 - 3a + 4b^2 - 2a^2 + 5a - 2b^2 13. （10分）解下列一元一次方程：（1）2x - 3 = 7（2）5y + 4 = 3y - 214. （10分）解下列二元一次方程组：\[\begin{cases}x + 2y = 7 \\3x - y = 1\end{cases}\]四、应用题（每题10分，共20分）15. （10分）某商店出售一支笔的价格为x元，一个笔记本的价格为y元。

已知一支笔和两个笔记本的总价格为18元，一个笔记本和三个笔的总价格为27元。

求一支笔和两个笔记本的总价格。

16. （10分）一个长方形的长是5cm，宽是3cm。

求这个长方形的面积。

注意：本试卷满分为100分，考试时间为60分钟。

请将答案填写在答题卡上。

考试结束后，将试卷和答题卡一起上交。

北京爱迪国际学校数学七年级上册期中试卷

北京爱迪国际学校数学七年级上册期中试卷一、选择题1．下面实数中，为无理数的是（） A ．4-B ．2C ．1.414D ．3.142．某市今年二季度生产总值为776000元，这个数用科学计数法表示为_______． 3．下列运算正确的是（） A ．231xy xy -= B ．3(2)1--= C ．361552⎛⎫-÷=- ⎪⎝⎭D ．222222x y x y x y +=4．如果整式x m ﹣1+5x ﹣3是关于x 的三次三项式，那么m 的值为（） A ．4B ．3C ．2D ．15．如图是某一计算程序，例如：当输入150x =时，输出结果是301；当输入101x =时，输出结果是407；若输入x 的值是30时，则输出结果是（）A ．1983B ．495C ．247D ．991 6．若代数式22()(2)431x bx ax x ++---的值与字母x 的取值无关，则,a b 的值分别为（） A ．2,3a b ==2,3a b == B ．2,3a b =-=C ．2,3a b ==-D ．2,3a b =-=-7．有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（）A ．0ab <B ．0a b +>C ．a b <D ．a b -<-8．对实数a 、b 定义新运算：a*b ＝(0)()(0)b ba ab a a a b a ⎧>≠⎨-≤≠⎩，，例如：2*3＝（﹣2）3＝﹣8，计算：（﹣2*3）×（3*2）＝（） A ．36B ．64C ．72D ．819．如下图所示：用火柴棍摆“金鱼”按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（） A ．2＋6nB ．8＋6nC ．4＋4nD ．8n10．如图①，在五环图案内，分别填写数字a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b ，c 表示三个连续偶数(a ＜b ＜c )，d ，e 表示两个连续奇数(d ＜e )，且满足a +b +c =d +e 如图②2+4+6=5+7．若b =﹣8，则d 2﹣e 2的结果为( )A．﹣56 B．56 C．﹣48 D．48二、填空题11．如果某同学的量化分奖2分记2+分，则该同学扣1分应记作_________．12．2325x yπ-的系数是____________，次数是___________.13．如图所示是计算机程序计划，若开始输入x=-1，则最后输出的结果是____.14．一种商品每件进价为a元，按进价增加25%定为售价，后因库存积压而降价销售，若按售价的九折出售，每件还能盈利__________元（用含a的代数式表示）．15．已知a、b都不为0，则||||||a b aba b ab++的值为___________．16．若有理数a b、在数轴上对应的位置如下图所示，则+a b_________0，b a-__________0，a-_____||b．（填“>”、“ =”或“<”）17．根据如图所示的变化规律，则第2020个图形中黑色长方形的个数是______．18．观察下列数据，按此规律，第10行最后一个数字与第90行最后一个数之和是______．12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……三、解答题19．在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接起来12,2.5,3,32---20．计算（1）2(8)+- （2）(32)(27)--- （3）418516⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭（4）3116(2)(4)8÷--⨯-21．化简：（1）(237)(652)x y x y -++--（2）()()2223422x x x x --+22．先化简，再求值：（a 2b ﹣ab ）﹣3（ab 2＋ab ）＋2（ab 2＋ba ），其中a ＝﹣12，b ＝2．23．已知x 、y 为有理数，现规定一种新运算※，满足x ※y=xy+1．（1）求2※（─4）的值；（2）求〔1※4〕※（－2）的值；（3）探索a ※（b +c ）与a ※b +a ※c 的关系，并用等式把它们表达出来．24．为了节约用水，某自来水公司采取以下收费方法：若每户每月用水不超过15吨，则每吨水收费2元；若每户每月用水超过15吨，则超过部分按每吨2.5元收费.9月份小明家里用水a 吨（a ＞15吨）．（1）请用代数式表示李老师9月份应交的水费；（2）当a=20时，求小明9月份应交水费多少元？25．按下面的方式摆放长方形餐桌和椅子，有一张长方形餐桌时，可供6人用餐，两张长方形餐桌可供10人用餐，···，照这样的方式继续摆放餐桌，解答下列问题：（1）摆4张桌子可供人用餐，摆5张桌子可供人用餐；（2）摆n 张这样的餐桌可供人用餐；（3）若用餐的人数有30人，求这样摆放的餐桌需要多少张．二26．如图，数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，分别对应的数为a 、b 、c 、d ，且满足a ，b 是方程|9|1x +=的两根()a b <，2(16)c -与|20|d -互为相反数，（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）若A 、B 两点以6个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时C 、D 两点以2个单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t 秒，问t 为多少时，6AC =？（3）在（2）的条件下，A 、B 、C 、D 四个点继续运动，当点B 运动到点D 的右侧时，问是否存在时间t ，使B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍？若存在，求时间t ；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题1．B解析：B【分析】根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、4=2--，是有理数，故本项不符合题意；B2是无理数，故本项正确；C、1.414是有理数，故本项不符合题意；D、 3.14是有理数，故本项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，在初中阶段它的表现形式有三类：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③π或与π有关的式子（注意π乘以0等于0，为有理数）．2．76×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值解析：76×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将776000用科学记数法表示为：7.76×105．故答案为：7.76×105．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3．C 【分析】按照有理数运算法则和整式加减法则计算即可．【详解】解：A. 23xy xy xy -=-，原选项错误，不符合题意； B. 3(2)5--=，原选项错误，不符合题意； C. 361552⎛⎫-÷=- ⎪⎝⎭，原选项正确，符合题意；D. 22x y 和2x y 不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了有理数运算和整式加减，解题关键是熟练运用所学知识，准确进行计算． 4．A 【分析】直接利用多项式的定义得出m ﹣1＝3，进而求出即可．【详解】解：∵整式x m ﹣1+5x ﹣3是关于x 的三次三项式，∴m ﹣1＝3，解得：n ＝4．故选：A ．【点睛】本题考查多项式定义，解题关键是正确掌握多项式的定义． 5．B 【分析】根据运算程序图进行运算，即可求出结果．【详解】解：把x=30代入2x+1=61＜300，把x=61代入2x+1=123＜300，把x=123代入2x+1=247＜300，把x=247代入2x+1=495＞300，符合题意．故选：B 【点睛】本题考查了求代数式的值的应用，主要培养学生的观察能力和分析能力，能根据程序图计算结果并判断是否输出是解题关键．6．C 【分析】对原来式子进行化简，只要化简后的式子中含x 的项的系数为零即可，即可求得的值．【详解】∵关于的代数式的值与字母的取值无关， ∴， ∴，，故选：C ．【点睛】本题考查整式的加解析：C 【分析】对原来式子进行化简，只要化简后的式子中含x 的项的系数为零即可，即可求得a b 、的值．【详解】22()(2)431x bx ax x ++---222431x bx ax x +=---+25(2)(3)a x b x -++=-∵关于x 的代数式22()(2)431x bx ax x ++---的值与字母x 的取值无关，∴2030a b -=⎧⎨+=⎩， ∴2a =，3b =-，故选：C ．【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号的方法，明确题意，知道与x 值无关，就是含x 的项的系数为零．7．B 【分析】先根据数轴的定义得出a 、b 的符号，再根据有理数的乘法与加法、绝对值运算逐项判断即可得．【详解】由数轴图得：，， A 、，此项结论正确；B 、，此项结论错误；C 、，此项结论正确； D解析：B 【分析】先根据数轴的定义得出a 、b 的符号，再根据有理数的乘法与加法、绝对值运算逐项判断即可得．【详解】由数轴图得：0b a <<，a b <， A 、0ab <，此项结论正确； B 、0a b +<，此项结论错误； C 、a b <，此项结论正确；D 、0a b -<<-，即a b -<-，此项结论正确；故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、有理数的乘法与加法、绝对值运算，熟练掌握数轴的定义是解题关键．8．C 【分析】根据新定义运算的法则，先分别算出和的结果，因为，可得：，因为，所以，再将两个结果相乘即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴；故答案选C. 【点睛】本题考查乘方相解析：C 【分析】根据新定义运算的法则，先分别算出2*3-和3*2的结果，因为23-<，可得：()32*328⎡⎤-=--=⎣⎦，因为32>，所以23*239==，再将两个结果相乘即可得出答案.【详解】解：∵23-<， ∴()32*328⎡⎤-=--=⎣⎦；∵32>， ∴23*239==；∴()()2*33*28972-⨯=⨯=；故答案选C. 【点睛】本题考查乘方相关的新定义运算，注意理解新定义运算的分类情况，然后把相应位置的数字代入结果的相应位置即可得到，注意新定义运算更多的是对比，不要过多的把精力放在记住这个运算法则上.9．A 【分析】根据前3个“金鱼”需用火柴棒的根数找到规律：每增加一个金鱼就增加6根火柴棒，然后根据规律作答．【详解】解：由图形可得：第一个“金鱼”需用火柴棒的根数为6+2=8；第二个“金鱼”需解析：A 【分析】根据前3个“金鱼”需用火柴棒的根数找到规律：每增加一个金鱼就增加6根火柴棒，然后根据规律作答．【详解】解：由图形可得：第一个“金鱼”需用火柴棒的根数为6+2=8；第二个“金鱼”需用火柴棒的根数为6×2+2=14；第三个“金鱼”需用火柴棒的根数为6×3+2=20； ……；第n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为6n +2．故选：A ．【点睛】本题考查了用代数式表示规律，属于常考题型，找到规律并能用代数式表示是解题关键．10．D 【分析】根据a ，b ，c 表示三个连续偶数，b=-8，可知a 和b 的值，d ，e 表示两个连续奇数从而确定d 和e 的值．【详解】∵a ，b ，c 表示三个连续偶数，b=﹣8， ∴a=﹣10，c=﹣6， ∴a解析：D根据a，b，c表示三个连续偶数，b=-8，可知a和b的值，d，e表示两个连续奇数从而确定d和e的值．【详解】∵a，b，c表示三个连续偶数，b=﹣8，∴a=﹣10，c=﹣6，∴a+b+c=﹣24．∵d，e表示两个连续奇数，∴d=﹣13，e=﹣11，∴d2﹣e2=169﹣121=48，所以则d2﹣e2的结果为48．故选：D．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是确定d和e的值．二、填空题11．-1分．【分析】奖为“+”，则扣为“-”，从而可得扣1分记为：-1．【详解】解：∵奖2分记作分，∴扣1分记作-1分．故答案为：-1分．【点睛】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解析：-1分．【分析】奖为“+”，则扣为“-”，从而可得扣1分记为：-1．【详解】解：∵奖2分记作2分，∴扣1分记作-1分．故答案为：-1分．【点睛】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．12．-， 4【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．解：单项式的系数为-，次数为4．故答案为：-，4．【点睛】本题考查了单项式的概念：单项式中的数字因数叫做单项式的系解析：-225π， 4【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【详解】解：单项式2325x yπ-的系数为-225π，次数为4．故答案为：-225π，4．【点睛】本题考查了单项式的概念：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．13．-11.【分析】把x=-1代入计算程序中计算得到结果，判断与-5大小即可确定出最后输出结果．【详解】当x=-1时，4x+1=-4+1=-3＞-5，当x=-3时，4x+1=-12+1=-11解析：-11.【分析】把x=-1代入计算程序中计算得到结果，判断与-5大小即可确定出最后输出结果．【详解】当x=-1时，4x+1=-4+1=-3＞-5，当x=-3时，4x+1=-12+1=-11＜-5，所以输出的结果为-11，故答案为：-11.【点睛】此题考查代数式求值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．【分析】根据进价为a元，表示出定价，再表示出打折后的售价，最后减去a得到盈利．【详解】解：进价a 元，第一次定价为元，再打折后售价是元，∴盈利是元．故答案是：．【点睛】本题考查列代数解析：0.125a【分析】根据进价为a 元，表示出定价，再表示出打折后的售价，最后减去a 得到盈利．【详解】解：进价a 元，第一次定价为()125% 1.25a a +=元，再打折后售价是1.2590% 1.125a a ⨯=元，∴盈利是1.1250.125a a a -=元．故答案是：0.125a ．【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是掌握盈利问题的列式方法．15．，3【分析】分4种情况讨论：①a 、b 都是正数；②a 、b 都是负数；③a 是正数，b 是负数；④a 是负数，b 是正数【详解】①a 、b 都是正数，；②a 、b 都是负数，；③a 是正数，b 是负数，；④a 是解析：1-，3【分析】分4种情况讨论：①a 、b 都是正数；②a 、b 都是负数；③a 是正数，b 是负数；④a 是负数，b 是正数【详解】①a 、b 都是正数，||||||1113a b ab a b ab ++=++=； ②a 、b 都是负数，||||||1111a b ab a b ab++=--+=-； ③a 是正数，b 是负数，||||||1111a b ab a b ab ++=--=-；④a 是负数，b 是正数，||||||1111a b ab a b ab ++=-+-=-；综上所述，||||||a b ab a b ab++的值为1-，3 故答案为：1-，3【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a 、b 符号进行分类讨论．16．＜＞＞【分析】根据在数轴上的位置可判断， .据此（1）为负数，（2）为正数，（3）>.【详解】根据在数轴上的位置可判断，∴；；>故答案为：(1). ＜ (解析：＜＞＞【分析】根据a b 、在数轴上的位置可判断，1;01;||||a b a b <-<<> .据此（1）+a b 为负数，（2）b a -为正数，（3）a ->||b .【详解】根据a b 、在数轴上的位置可判断，1;01;||||a b a b <-<<>∴0a b +<；0b a ->；a ->||b故答案为：(1). ＜ (2). ＞ (3). ＞【点睛】本题考查了有理数与数轴的结合，注意数形结合分析.17．3030【分析】根据题意和题目中的图形，可以发现小正方形个数的变化规律，从而可以求得第2020个图形中黑色正方形的个数．【详解】观察图形可知：第1个图形中黑色正方形的数量是2，第2个图形解析：3030【分析】根据题意和题目中的图形，可以发现小正方形个数的变化规律，从而可以求得第2020个图形中黑色正方形的个数．【详解】观察图形可知：第1个图形中黑色正方形的数量是2，第2个图形中黑色正方形的数量是3，第3个图形中黑色正方形的数量是5，第4个图形中黑色正方形的数量是6，第5个图形中黑色正方形的数量是8，…，发现规律：当n 为偶数时，第n 个图形中黑色正方形的数量为2n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭个，当n 为奇数时，第n 个图形中黑色正方形的数量是12n n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭个， ∴当n=2020时，黑色正方形的个数是：202020202020101030302+=+=（个）．故答案为：3030．【点睛】本题考查了规律型－图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 18．296【分析】根据最后一行的数字后一个比前一个大3写出第n 行的最后一个数字的表达式，然后解答即可．【详解】解：∵每一行的最后一个数字分别为1、4、7、10、…，∴第n 行的最后一个数字为1解析：296【分析】根据最后一行的数字后一个比前一个大3写出第n 行的最后一个数字的表达式，然后解答即可．【详解】解：∵每一行的最后一个数字分别为1、4、7、10、…，∴第n 行的最后一个数字为1+3（n-1）=3n-2，∴第10行的最后一个数字是3×10-2=28，∴第90行的最后一个数字为：3902268⨯-= ，∴28268296+=．故答案为：296．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数字后一个比前一个大3是解题的关键．三、解答题19．，数轴见解析【分析】先根据在数轴上表示数的方法，把所给的各数在数轴上表示出来；再由数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把所给的各数按从小到大的顺序用“＜”连接起来即可解析：132 2.532-<-<<-，数轴见解析【分析】先根据在数轴上表示数的方法，把所给的各数在数轴上表示出来；再由数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把所给的各数按从小到大的顺序用“＜”连接起来即可．【详解】33-＝，如图所示：用“＜”连接各数为：132 2.532-<-<<-．【点睛】考查了利用数轴比较数的大小，解题关键是利用了：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．20．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据有理数的加法运算法则进行求解；（2）根据有理数的减法运算法则进行求解；（3）根据有理数的乘法运算法则进行求解；（4）根据有理数的混合运算法则解析：（1）6-；（2） 5-；（3）25-；（4）32- 【分析】（1）根据有理数的加法运算法则进行求解；（2）根据有理数的减法运算法则进行求解；（3）根据有理数的乘法运算法则进行求解；（4）根据有理数的混合运算法则进行求解．【详解】解：（1）原式(82)6=--=-；（2）原式(32)275=-+=-；（3）原式41285165=-⨯⨯=-；（4）原式11316(8)(4)2822=÷--⨯-=-+=-．【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．21．（1）；（2）【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式用乘法分配律去括号合并可得结果．【详解】（1）（2）【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的解析：（1）88+5x y -；（2）2461x x --【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式用乘法分配律去括号合并可得结果．【详解】（1）(237)(652)x y x y -++--=237652x y x y -++--=88+5x y -（2）()()2223422x x x x --+ 226=288x x x x ---2461x x =--【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．a2b ﹣2ab ﹣ab2；【分析】先去括号，再合并同类项化为最简，再把a 、b 的值代入即可得出答案．【详解】解：（a2b ﹣ab ）﹣3（ab2＋ab ）＋2（ab2＋ba ）=a2b-ab-3ab2解析：a2b﹣2ab﹣ab2；9 2【分析】先去括号，再合并同类项化为最简，再把a、b的值代入即可得出答案．【详解】解：（a2b﹣ab）﹣3（ab2＋ab）＋2（ab2＋ba）=a2b-ab-3ab2-3ab+2ab2+2ba=a2b-2ab-ab2；把a=-12，b=2代入a2b-2ab-ab2中，原式=（-12）2×2-2×（-12）×2-（-12）×22=14×2+2+2=92．【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则进行计算是解决本题的关键．23．（1）-7（2）-9（3）a※（b+c）+1=a※b+a※c【分析】（1）观察所给式子，总结运算规律，确定运算规律中的x，y，即可算出结论；（2）观察所给的式子，总结运算规律，确定运算规律中的解析：（1）-7（2）-9（3）a※（b+c）+1=a※b+a※c【分析】（1）观察所给式子，总结运算规律，确定运算规律中的x，y，即可算出结论；（2）观察所给的式子，总结运算规律，确定运算规律中的x，y，即可算出结论；（3）根据运算规律算出两个式子的结果，即可写出等量关系．【详解】解：（1）2※（-4）=2×（-4）+1=-7，（2）〔1※4〕※（－2）=（1×4+1）×（-2）+1=-9，（3）a※（b+c）=a×（b+c）+1=ab+ac+1，a※b+a※c=（a×b+1）+（a×c+1）=ab+1+ac+1=ab+ac+2，∴a※（b+c）+1=a※b+a※c【点睛】本题考查有理数的混合运算，观察总结运算规律是解题的关键．24．（1）2.5a-7.5；（2）42.5元．【分析】（1）根据收费标准即可列出代数式；（2）把a=20代入（1）中的代数式，求值即可．【详解】（1）15×2+2.5（a-15）=2.5a-7解析：（1）2.5a-7.5；（2）42.5元．【分析】（1）根据收费标准即可列出代数式；（2）把a=20代入（1）中的代数式，求值即可．【详解】（1）15×2+2.5（a-15）=2.5a-7.5；（2）当a=20时，原式=2.5×20-7.5=42.5元．【点睛】此题考查列代数式，代数式求值，解题关键在于根据题意列出式子．25．（1）18；22；（2）；（3）7张．【分析】（1）通过观察图像规律，每多一张餐桌就多4人，从而进行求解即可；（2）将特殊规律转化为一般规律用含有n 的整式表示即可；（3）将人数代入（2）中的解析：（1）18；22；（2）24n +；（3）7张．【分析】（1）通过观察图像规律，每多一张餐桌就多4人，从而进行求解即可；（2）将特殊规律转化为一般规律用含有n 的整式表示即可；（3）将人数代入（2）中的表达式进行计算即可得到餐桌的数量.【详解】（1）通过观察图像规律，每多一张餐桌就多4人，可知当有4张餐桌时，人数为64(41)18+⨯-=人；可知当有4张餐桌时，人数为64(51)22+⨯-=，故答案为：18，22；（2）根据（1）中的规律可知，摆n 张这样的餐桌时，人数为64(1)42n n +-=+，故答案为：42n +；（3）由于有30人用餐，根据题意得4230n +=，解得7n =.答：这样摆放需要7张餐桌.【点睛】本题属于规律题，准确分析图中规律，并将特殊规律转化为一般规律是解决本题的关键. 二26．（1）a=-10，b=-8，c=16，d=20；（2）t 为或4时，；（3）存在，时间t=或4时，B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍．【分析】（1）解含绝对值的方程即可求出a 和b ，根据平方和绝对值的解析：（1）a=-10，b=-8，c=16，d=20；（2）t 为2.5或4时，6AC =；（3）存在，时间t=3.6或4时，B 与C 的距离是A 与D 的距离的4倍．【分析】（1）解含绝对值的方程即可求出a 和b ，根据平方和绝对值的非负性即可求出c 和d ；（2）用含t 的式子表示出点A 、B 、C 、D 表示的数，然后根据点A 和点C 的位置关系分类讨论，分别列出方程即可求出结论；（3）先根据题意求出t 的取值范围，然后根据点A 和点D 的位置关系分类讨论，分别列出对应的方程即可分别求出结论．【详解】解：（1）|9|1x +=∴91x +=±解得：x=-10或x=-8∵a ，b 是方程|9|1x +=的两根()a b <，∴a=-10，b=-8∵2(16)c -与|20|d -互为相反数∴22(16)|20|0,(16)0,|20|0c d c d -+-=-≥-≥∴160,200c d -=-=解得：c=16，d=20；（2）由运动时间为t 秒，则点A 表示的数为6t －10，点B 表示的数为6t －8，点C 表示的数为16－2t ，点D 表示的数为20－2t若点A 在点C 左侧时，根据题意可得（16－2t ）－（6t －10）=6解得：t=2.5；若点A 在点C 右侧时，根据题意可得（6t －10）－（16－2t ）=6解得：t=4；答：t 为2.5或4时，6AC =；（3）存在，当B 与D 重合时，即6t －8=20－2t解得：t=3.5∵点B 运动到点D 的右侧∴t ＞3.5，点B 一定在点C 右侧当点A 与点D 重合时，即6t －10=20－2t解得：t=3.75①若点A 在点D 左侧或与D 重合时，即3.5＜t≤3.75时，AD=（20－2t ）－（6t －10）=30－8t ，BC=（6t －8）－（16－2t ）=8t －24根据题意可得8t－24=4（30－8t）解得：t=3.6；②若点A在点D右侧时，即t＞3.75时，AD=（6t－10）－（20－2t）=8t－30，BC=（6t－8）－（16－2t）=8t－24根据题意可得8t－24=4（8t－30）解得：t=4；综上：存在，时间t=3.6或4时，B与C的距离是A与D的距离的4倍．【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用、数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键．。

(整理版)实验国际学校高一下学期期中考试(数学)

省实验国际- 高一下学期期中考试〔数学〕(考试时间100分钟总分值100分)一、填空题(此题共有12小题，每题4分，共计48分)1、数列{}n a 的通项公式为1(1)n n a =+-，那么2011a = ；2、,,A B C 为ABC ∆的内角，且,,A B C 成等差数列，那么角B= ； 3、2,,8x 是一个正项等比数列中连续的三项，那么x = ；4、在等差数列{}n a 中，假设4105,17a a ==，那么7a = ；5、假设不等式210ax bx +->的解集是{}34x x <<，那么a b += ；6、当2x >时，函数162y x x =+-的最小值为； 7、在ABC ∆中，假设边4a c ==，且角4A π=，那么角C= ；8、数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =+，那么前10项和10S = ； 9、,x y 满足约束条件2220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么2z x y =+的最大值是；10、在ABC ∆中，5,7,8AB BCAC ===，那么ABC ∆的面积是； 11、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，那么30S = ； 12、正数,x y 满足21x y +=，那么11x y+的最小值是；二、解答题(此题共有5个大题，其中第13、14、15、16题每题10分，第17题12分，共计52分。

请在指定的区域内答题，并写出必要的解题过程。

)13、集合{}{}223280,60Mx x x N x x x =--≤=-->，求M N14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q >且3422,5a S S == 求数列{}n a 的通项公式n a ；15、ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，2a =，3c =，1cos 4B =；(1)求边b 的值；(2)求sin C 的值。

四川省绵阳市涪城区绵阳东辰国际学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

四川省绵阳市涪城区绵阳东辰国际学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个图形中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列运算结果正确的是（）A ．4312x x x ⋅=B ．326()a a =C ．2356y y y +=D ．222()m n m n -=-3．以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，5C ．5，6，7D ．12，13，254．下列说法正确的是（）A ．三角形的三条中线交于一点B ．三角形的角平分线是射线C ．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外D ．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形5．如图，AC BC =，下列条件不能判定．．．．△ACD 与△BCD 全等的是（）A ．AD BD=B ．ACD BCD ∠=∠C ．ADC BDC ∠=∠D ．点O 是AB 的中点6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是AC 的垂直平分线，△BCD 的周长为24，BC=10，则AC 等于（）A ．11B ．12C ．14D ．167．如图，OA 平分BOD ∠，AC OB ⊥于点C ，且=2AC ，已知A 点y 到轴的距离是3，那A 点关于y 轴对称的点的坐标为（）A ．()3,2--B ．()2,3--C ．()3,2D ．()2,38．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是高，若30A ∠=︒，1BD =，则AD =（）A ．5B ．4C ．3D ．29．如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（）．A ．45°B ．60°C ．35°D ．40°10．如图，MNP △中，60P ∠=︒，MN NP =，MQ PN ⊥，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG NQ =，若MNP △的周长为12，MQ m =，则MGQ △周长是（）A ．3B ．1112．如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90DM ⊥AC 交AC 的延长线于M ，连接BC+CE=AB;②BD=12AE;③BD=CD;其中不正确的结论有()A ．0个B ．1个二、填空题13．已知点P （2，3）与点Q （m ，n ）关于y 轴对称，则m +n 的值为_____．14．已知23x =，则32x +的值为_______．15．一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线共有_______条16．在等腰△ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为__________17．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70︒方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40︒的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为__________海里.18．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是()0,2，点B 在x 轴的负半轴上且30ABO ∠=︒，点P 与点O 关于直线AB 对称，在y 轴上找到一点M ，使PM BM +的值最小，则这个最小值为_______．三、解答题21．如图，C 为线段AB 上一点，AD EB ，AD BC =(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)若F 为DE 的中点，且35CDE ∠=︒，求DCF ∠．22．如图1，已知△ABC 、△ADE 都是等边三角形，点E 在直线BC 上，F 在直线AC 上，且FE ＝EA ，DE 与AB 相交于点G ，连接BD 、EF ．（1）如图1，当点E 在线段BC 上时，①求证：∠BAE ＝∠BDE ；②求证：BD ＋CF ＝BC ．（2）如图2，如果点E 在线段BC 的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD 、CF 、BC 三条线段之间的数量关系．23．在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点(8,0)A -，与y 轴交于(0,8)B ．(1)求ABO S ．(2)如图1，D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边作等腰三角形BDE ，连接EA ，求直线EA 与y 轴交点F 的坐标．(3)如图2，点E 为y 轴正半轴上一点，且30OAE ∠=︒，F 是线段OE 之间一点，连接AF ，且9AF =，分别在射线AE 、AO 上找一点M 、N ，使MNF 的周长最小，求其最小值．四、填空题24．2228162m m m ⨯⨯=，则m =_______．25．如图，在等腰三角形ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A =36°，AB=AC=a ，BC=b ，则CD 的长为________．26．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数为________27．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°．AB 上一点D ，使AD ＝BC ，过点D 作DE ∥BC 且DE ＝AB ，连接EC ，则∠DCE ＝_____°．28．如图，在R t △ABC 中，∠ABC ＝90°，5AB =，AC ＝13，BC ＝12，BAC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点D ，点M 、N 分别在边AB 、BC 上，且∠MDN ＝45°，连接MN ,则△BMN 的周长为___．。

海南省国际学校2022-学年高一数学上学期期中试题

海南省海南枫叶国际学校2021-2021学年高一数学上学期期中试题一、选择题、(本大题共12小题，每题5分，共60分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，那么S∩〔∁U T〕等于〔〕A. 4,5,B.C.D. 2,3,4,2.假设f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f〔x〕=x2x，那么f〔2〕=〔〕A. 2B. 6C.D.3.集合A={x∈N|∈N}的真子集的个数是〔〕A. 4B. 7C. 8D. 164.函数的定义域为〔〕A. B.C. D.5.，函数的最小值是A. 5B. 4C. 6D. 86.那么的值等于〔〕A. B. 4 C. 2 D.7.假设a∈R，那么“a2＞a〞是“a＞1〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.以下不等式正确的选项是〔〕A. 假设,那么B. 假设,那么C. 假设,那么D. 假设,那么 b9.以下函数中，既是偶函数又在〔0，+∞〕上单调递增的函数是〔〕A. B.C. D.10.假设函数f〔x〕=的定义域为R，那么实数a的取值范围是〔〕A. B. C. D.11.函数f〔x〕是偶函数，且在〔0，+∞〕内是增函数，f〔3〕=0，那么不等式x f〔x〕＜0的解集为〔〕A. 或B. 或C. 或D. 或12.函数y=f〔x〕对于任意x、y∈R，有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕1，当x＞0时，f〔x〕＞1，且f〔3〕= 4，那么〔〕A. 在R上是减函数,且B. 在R上是增函数,且C. 在R上是减函数,且D. 在R上是增函数,且二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20.0分〕13.命题“∃x∈R，x+1≥0〞的否认为______ ．14.f〔2x+1〕=x2+x，那么f〔x〕=______．15.函数的单调增区间是．16.当x＞0时，不等式x2＋mx＋4＞0恒成立，那么实数m的取值范围是________．三、解答题〔本大题共6小题，共70.0分,解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.〔10分〕全集，集合A={x|1≤x<3} ,，〔1〕求；〔2〕假设，且,求实数的取值范围.18.〔12分〕函数．〔1〕求；〔2〕判断函数f〔x〕在〔0，+∞〕上的单调性，并用单调性的定义证明。

海南省国际学校2022-学年高二数学上学期期中试题

海南省海南枫叶国际学校2021-2021学年高二数学上学期期中试题时间：120分钟总分值;150分〔考试范围：必修2第二章，选修2-1第二章2.2，第三章3.1.5,3.2〕一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.)1. 以下说法中正确的选项是( )A. 经过两条平行直线,有且只有一个平面B. 如果两条直线平行于同一个平面,那么这两条直线平行C. 三点确定唯一一个平面D. 如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等,那么这两个平面相互平行2.如下图，用符号语言可表达为〔〕A. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂nB. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈nC. α∩β=m，n⊂α，m∩n=AD. α∩β=m，n∈α，m∩n=A3. 是不同的直线,是不同的平面,以下结论成立的个数是〔〕①②③④A. 1B. 2C. 3D. 44.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出以下四个命题：①假设α∥β，l⊂α，那么l∥β；②假设m⊂α，n⊂α， m∥β，n∥β，那么α∥β；③假设l∥α，l⊥β，那么α⊥β；④m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，那么l⊥α；其中真命题的序号是〔〕A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ②④5.如图是一个正方体的平面展开图，那么在正方体中直线AB与CD的位置关系为〔〕A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直6.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ) A.B. C. D.7.假设ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)4,1,6(),3,2,4(),1,2,1(--C B A ,那么ABC ∆的形状是〔〕 A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形8.空间向量)2,1,2(),2,,1(-==b n a ，假设b a -2与b 垂直，那么a 等于〔〕A.B.C.D.9.向量),,3(),5,4,2(y x b a ==，分别是直线21,l l 的方向向量，假设21//l l ，那么〔〕A.，B.，C.，D.，10.假设椭圆C ：的短轴长等于焦距,那么椭圆的离心率为〔〕A. B .C.D.11.假设曲线表示椭圆,那么k 的取值范围是 ( )．A.B.C.D.或12.椭圆1922=+x y 中，过点)21,21(P 的直线与椭圆相交于B A ,两点，且弦AB 被点P 平分，那么直线AB 的方程为〔〕A. 049=--y xB. 059=-+y xC. 022=-+y xD. 05=-+y x 二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20.0分〕13.a (2,1,2),(1,1,4),2a 3)(__________)_b b a b =--=--⋅+=已知向量则（1m,,___________,2n l m n l αα〈〉=-14.已知分别是直线的方向向量和平面的法向量，若cos 则与所成的角为．22122221310343___________x y C a b F F F a b l C A B AF B C +=15.已知椭圆：（＞＞）的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为．16.点P 是椭圆＋＝1)0(>>b a 上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，那么椭圆的离心率为___________．三、解答题〔本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分〕 17.求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆有相同的焦点，且经过点〔2〕经过两点18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA =PD =AD ，假设E 、F 分别为PC 、BD 的中点．〔1〕求证：EF ∥平面PAD ；〔2〕求证：EF ⊥平面PDC ．19.如图：在三棱锥P -ABC 中，PB ⊥面ABC ，△ABC 是直角三角形，∠B =90°，AB =BC =2，∠PAB =45°，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点．〔1〕求证：EF⊥PD；〔2〕求二面角E-PF-B的正切值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB 上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B-PD-A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．21.如图1，四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点．将△EDA沿AD折到△PDA位置〔如图2〕，连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD．〔Ⅰ〕求证AD⊥PB；〔Ⅱ〕假设PA⊥平面ABCD．①求二面角B-PC-D的大小；②在棱PC上存在点M，满足)10(≤≤=λλPCPM，使得直线AM与平面PBC所成的角为45°，求λ的值．22.椭圆C：)0(12222>>=+baaybx的离心率为,椭圆C的长轴长为4．求椭圆C的方程；直线l：与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？假设存在,求出k的值；假设不存在,请说明理由．海南枫叶国际学校2021-2021学年度第一学期高二年级数学学科期中考试试卷答案一．选择题1-6.ACACDD 7-12.ABDCDB 二．填空题13.-45 14.030 15.12322=+y x 16.413三．解答题 17.解：〔1〕椭圆的焦点坐标为〔，0〕，∵椭圆过点，∴=+=4，∴a =2，b =，∴椭圆的标准方程为；〔2〕设所求的椭圆方程为，m ＞0，n ＞0，m ≠n ．把两点代入，得：，解得m =8，n =1，∴椭圆方程为．18.证明：〔Ⅰ〕连接AC ，那么F 是AC 的中点，在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊊平面PAD，∴EF∥平面PAD〔Ⅱ〕因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD而CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC.19.连接BD、在△ABC中，∠B=90°．∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC．又∵PB⊥面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影，∴PD⊥AC．∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥PD．〔2〕〔仅供参考，建议建系做〕过点B作BM⊥PF于点M，连接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影，∴EM⊥PF，∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角．∵Rt△PBF中，，∴．20.〔1〕证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，那么，即M为PB的中点；〔2〕解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，那么PG⊥AD，连接OG，那么PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，那么OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔-2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B 〔-2，4，0〕，M〔-1，2，〕，，．设平面PBD的一个法向量为，那么由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B-PD-A的大小为60°；〔3〕解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．21.证明：〔Ⅰ〕在图1中，∵AB∥CD，AB=CD，∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵∠B=90°，∴AD⊥BE，当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，又AB∩PA=A，AB、PA平面PAB，∴AD⊥平面PAB，又∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．〔Ⅱ〕①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，那么A〔0，0，0〕，B〔1，0，0〕，C〔1，1，0〕，D〔0，1，0〕, P〔0，0，1〕，=〔1，1，-1〕，=〔0，1，0〕，=〔1，0，0〕，设平面PBC的法向量为=〔x，y，z〕，那么，取z=1，得=〔1，0，1〕，设平面PCD的法向量=〔a，b，c〕，那么，取b=1，得=〔0，1，1〕，设二面角B-PC-D的大小为θ，那么cosθ=-=-=-，∴θ=120°．∴二面角B-PC-D的大小为120°．②设AM与面PBC所成角为α，=〔0，0，1〕+λ〔1，1，-1〕=〔λ，λ，1-λ〕，平面PBC的法向量=〔1，0，1〕，∵直线AM与平面PBC所成的角为45°，∴sinα=|cos＜＞|===，解得λ=0或．22.解：〔1〕设椭圆的半焦距为c，那么由题设，得：，解得，所以b2=a2-c2=4-3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1.〔2〕存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得．〔*〕那么x1+x2=， x1x2=．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以•=0，即x1x2+y1y2=0．又，于是+3=0，解得k=±，经检验知：此时〔*〕式的＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．。

海南省海口市国际学校2022-学年高一数学上学期期中试题(含解析)

那么，即a≥4．
∴实数a的取值范围是[4，+∞〕．
【点睛】集合的根本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
【解析】
【分析】
(1)先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果，(2)先由B∪C=B，得C⊆B，再利用数轴确定实数a满足条件，解得结果.
【详解】〔1〕∵A={–1≤x<3}，B={x|2x+2≥x+4}={x|x≥2}，
∴A∩B=[2，3〕；
〔2〕C={x|2x–a>0}={x|x> }，
∵B∪C=B，∴C⊆B，
20. ，， .
〔1〕求的最小值；
〔2〕求的最小值.
【答案】(1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.
【解析】
试题分析：〔1〕利用根本不等式构建不等式即可得出；
〔2〕由，变形得，利用“乘1法〞和根本不等式即可得出．
试题解析：(1)由，得 ,又，，故 ,
故，当且仅当即时等号成立，∴
【解析】
【分析】
〔1〕由题得，解方程即得解；〔2〕在区间上是单调函数，再分两种情况讨论得解.
【详解】〔1〕是幂函数，，又图象过点，
∴ ，∴ ，∴ ；
〔2〕函数，∴ ，对称轴为；
当在上为增函数时，，解得；
当在上为减函数时，，；
所以的取值范围为 .
【点睛】此题主要考查幂函数解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

广州市实验外语学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(原卷版+解析版)

2023-2024学年度八年级数学期中综合训练考试时间：120分钟一、单选题（每小题3分，共30分）1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( )A B. C. D. 2. 若点(,2)A m −，(4,3)B n −−关于x 轴对称，则（）A. 4m =−，5n =B. 4m =−，5n =−C. 4m =，1n =D. 4m =，1n =− 3. 下列各组线段中，能构成三角形的是（）A. 2，5，7B. 9，3，5C. 4，5，6D. 4，5，10 4. 下列计算正确的是（）A. （3a ）3＝9a 3B. a 3＋a 2＝a 6C. a ·a 2＝a 2D. （a 3）2＝a 6 5. 计算()21x −=． A. 21x − B. 21x x −+ C. 221x x −+ D. 221x x ++ 6. 如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 是（）A. AB =DEB. AC =DFC. ∠A =∠DD. BF =EC 7. 如图，AD 是ABC 边BC 的中线，E ，F ，分别是AD ，BE 的中点，若BFD △的面积为6，则ABC 的面积等于（）A. 18B. 24C. 48D. 36.的8. 如图，ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，AE 是ABC 高线，当42B ∠=°，66C ∠=°时，DAE ∠的度数为（）A. 6°B. 8°C. 10°D. 12°9. 一个长方形的面积为2242a ab −，长为2a ，则长方形的宽为（）A. 2a b −B. 22a b −C. 222a b −D. 22a b −10. 如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，60AFD ∠=°．FG 为AFC △的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG CD =，连接HA 、HC ．①BD CE =；②60AHC ∠=°；③FC CG =；④CBD CGH S S =△△；其中说法正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（每小题3分，共18分）11. 从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上是___________．12. 若3m a =，2n a =，则2m n a +=_____．13. 在如图所示的正方形网格中，12∠+∠=________．14. 如图，已知AB ∥CF ，点E 为DF 的中点，若9AB = cm ，5CF = cm ，则BD =________cm ．15. 如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，4,7AB BC ==，则ABD △的周长为___________．16. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为________．三、解答题（共72分）17. 计算：()()322322x y x −÷−． 18. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点()1,4A −，()2,1B −，()4,3C −．（1）ABC 面积是________；（2）把ABC 以y 轴为对称轴作出它的对称图形，得到A B C ′′′ ，请你画出A B C ′′′ ；19. 如图，点E ，F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ．求证：ABF DCE ≌△△．20. 用一条长为35cm 的细绳围成一个等腰三角形，底边长是腰长的一半，求各边长．的21 化简求值：()()()22121214x x x x −++−÷，其中2x =−． 22. 如图1，是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S =阴影______．方法2：S =阴影______．（2）写出()2a b +，()2a b −，ab 这三个代数式之间的等量关系为______．（3）已知10x y +=，16xy =，求x y −的值． 23. 如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON ∠的内部且CA CB =，CD OM ⊥，CE ON ⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．（1）求证：OC 平分MON ∠；（2）如果10AO =，4BO =，求OD 的长．24. 已知：在ABC 中，2CAB B ∠=∠．点D 与点C 关于直线AB 对称，连接,AD CD ，CD 交直线AB 于点E ．.（1）当60CAB ∠=°时，如图①．用等式表示，AD 与AE 的数量关系是______，BE 与AE 的数量关系是______；（2）当CAB ∠钝角时，如图②．①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AD AE BE 之间的数量关系，并证明．25. 已知：在ABC 中，90ACB ∠=°，60A ∠=°．点D 在AB 上，且AD AC =，连接CD ．（1）如图1，求证：BD CD =；（2）过点D 作DEF ，使90DEF ∠=°，60EDF ∠=°，连接CE 并延长CE 至点G ，使EG CE =，连接BF ，BG ，FG ．①如图2，当点F 在BD 的延长线上时，求证：BFG 是等边三角形；②如图3，2AC =，1DE =，若180BFD EFG ∠+∠=°，求BDF 的面积．是2023-2024学年度八年级数学期中综合训练考试时间：120分钟一、单选题（每小题3分，共30分）1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( )A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、可以抽象成轴对称图形，故本选项符合题意；D 、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．2. 若点(,2)A m −，(4,3)B n −−关于x 轴对称，则（）A. 4m =−，5n =B. 4m =−，5n =−C. 4m =，1n =D. 4m =，1n =− 【答案】A【解析】【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m ，n 的值，从而得出答案．【详解】解：点(,2)A m −与点(4,3)B n −−关于x 轴对称，根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 4m ∴=−，32n −=，4m ∴=−，5n =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，需要牢记，难度适中．3. 下列各组线段中，能构成三角形的是（）A. 2，5，7B. 9，3，5C. 4，5，6D. 4，5，10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．A 、257+= ，不能构成三角形，此项不符题意；B 、3589+=<，不能构成三角形，此项不符题意；C 、456+> ，能构成三角形，此项符合题意；D 、4510+<，不能构成三角形，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．4. 下列计算正确的是（）A. （3a ）3＝9a 3B. a 3＋a 2＝a 6C. a ·a 2＝a 2D. （a 3）2＝a 6 【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方法则、同类项的定义以及同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则逐个判断即可．【详解】解：A 、（3a ）3＝27a 3，故A 选项错误，不符合题意；B 、a 3与a 2不是同类项，不能合并，故B 选项错误，不符合题意；C 、a ·a 2＝a 3，故C 选项错误，不符合题意；D 、（a 3）2＝a 6，故D 选项正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方法则、同类项的定义以及同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，熟练掌握相关运算法则及定义是解决本题的关键．5. 计算()21x −=． A. 21x −B. 21x x −+C. 221x x −+D. 221x x ++【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：()22121x x x −=−+故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6. 如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（）A. AB =DEB. AC =DFC. ∠A =∠DD. BF =EC【答案】C【解析】【详解】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选不符合题意；选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项不符合题意；选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项不符合题意．故选C ．7. 如图，AD 是ABC 边BC 的中线，E ，F ，分别是AD ，BE 的中点，若BFD △的面积为6，则ABC 的面积等于（）A. 18B. 24C. 48D. 36【答案】C【解析】【分析】根据题意，由三角形中线的性质可求得BDE ∆，ADB ∆的面积，进而可求解ABC ∆的面积．【详解】解：∵AD 是ABC 中BC 边上的中线，∴2ABC ABD S S ，∵E ，F 分别是AD ，BE 的中点，∴2∆∆=ABD BDE S S ，2BDE BFD S S ，∴88648ABC BFD S S ，【点睛】本题主要考查三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形是解题的关键．8. 如图，ABC 中，AD 是ABC 角平分线，AE 是ABC 高线，当42B ∠=°，66C ∠=°时，DAE ∠的度数为（）A. 6°B. 8°C. 10°D. 12°【答案】D【解析】【分析】利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义求出CAD ∠的度数，在Rt ACE 中，利用三角形内角和定理，可求出CAE ∠的度数，再将其代入DAE CAD CAE ∠=∠−∠中，即可求出结论．【详解】在ABC 中，42B ∠=°，66C ∠=°，∴180180426672BAC B C °°°°°∠=−∠−∠=−−=，∵AD 平分BAC ∠， ∴11723622CAD BAC ∠°×°=∠==． ∵AE BC ⊥，∴90AEC ∠=°，∴9024CAE C ∠=°−∠=°，∴362412DAE CAD CAE °°°∠=∠−∠=−=．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 9. 一个长方形的面积为2242a ab −，长为2a ，则长方形的宽为（）A. 2a b −B. 22a b −C. 222a b −D. 22a b − 【答案】D【解析】的【分析】结合多项式除以单项式法则，用长方形的面积除以长方形的长即得到长方形的宽．【详解】解：()2224222a ab a a b −=−÷． ∴长方形的宽为22a b −．故选D ．【点睛】本题考查多项式除以单项式．掌握多项式除以单项式法则是解题关键．10. 如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，60AFD ∠=°．FG 为AFC △的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG CD =，连接HA 、HC ．①BD CE =；②60AHC ∠=°；③FC CG =；④CBD CGH S S =△△；其中说法正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】①由∠AFD ＝60°CAE ≌△BCD ，从而可判断①正确；②作CM ⊥AE 交AE 的延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，可证明△ECM ≌△GCN （AAS ）得CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ，即可证明△AMC ≌△HNC （SAS ），有∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，从而得△ACH 是等边三角形，故②正确；③由∠CFH ＝∠AFH ＝60°，若FC ＝CG ，可得∠FCG ＝60°，即可判定③不正确；④根据△ECM ≌△GCN ，△AMC ≌△HNC ，△CAE ≌△BCD ，可判定④正确．【详解】解：①∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACE ＝60°，BC ＝AC ，∵∠AFD ＝∠CAE +∠ACD ＝60°，∠BCD +∠ACD ＝∠ACB ＝60°，∴∠BCD ＝∠CAE ，在△BCD 和△CAE 中，B ACE BC ACBCD CAE ∠=∠ = ∠=∠， ∴△BCD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝CE ，故①正确；②作CM ⊥AE 交AE 延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，如图：∵∠EFC ＝∠AFD ＝60°∴∠AFC ＝120°，∵FG 为△AFC 的角平分线，∴∠CFH ＝∠AFH ＝60°，∴∠CFH ＝∠CFE ＝60°，∵CM ⊥AE ，CN ⊥HF ，∴CM ＝CN ，∵∠CEM ＝∠ACE +∠CAE ＝60°+∠CAE ，∠CGN ＝∠AFH +∠CAE ＝60°+∠CAE ，∴∠CEM ＝∠CGN ，在△ECM 和△GCN 中90CEM CGN CME CNG CM CN ∠=∠ ∠=∠=° =， ∴△ECM ≌△GCN （AAS ），∴CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ，∴∠MCN ＝∠ECG ＝60°，由①知△CAE ≌△BCD ，∴AE ＝CD ，∵HG ＝CD ，∴AE ＝HG ，∴AE +EM ＝HG +GN ，即AM ＝HN ，在△AMC 和△HNC 中，的90AM HN AMC HNC CM CN = ∠=∠=° =， ∴△AMC ≌△HNC （SAS ），∴∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，∴∠ACM ﹣∠ECM ＝∠HCN ﹣∠GCN ，即∠ACE ＝∠HCG ＝60°，∴△ACH 是等边三角形，∴∠AHC ＝60°，故②正确；③由②知∠CFH ＝∠AFH ＝60°，若FC ＝CG ，则∠CGF ＝60°，从而∠FCG ＝60°，这与∠ACB ＝60°矛盾，故③不正确；④∵△ECM ≌△GCN ，△AMC ≌△HNC ，∴S △AMC ﹣S △ECM ＝S △HNC ﹣S △GCN ，即S △ACE ＝S △CGH ，∵△CAE ≌△BCD ，∴S △BCD ＝S △ACE ＝S △CGH ，故④正确，∴正确的有：①②④，故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的二、填空题（每小题3分，共18分）11. 从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上是___________．【答案】629BA【解析】【分析】根据镜面反射原理计算即可．【详解】因为后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，所以该车的后5位号码实际上是629BA ，故答案为：629BA ．【点睛】本题考查了镜面反射，熟练掌握镜面反射的基本原理是解题的关键．12. 若3m a =，2n a =，则2m n a +=_____．【答案】18【解析】【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可．【详解】解：∵3m a =，2n a =，∴22m n m n a a a +=⋅()2n m a a =⋅232=×18=，故答案为：18．【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算法则是解答的关键．13. 在如图所示的正方形网格中，12∠+∠=________．【答案】90°##90度【解析】分析】证明ABC DBE ≌可得1=BDE ∠∠，即可得出答案．【详解】解：如图：,,AB DB B B CB EB =∠=∠= ， ABC DBE ∴ ≌，1=BDE ∴∠∠，90B ∠=° ，290BDE ∴∠+∠=°，2190∴∠+∠=°．故答案为：90°．【【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．14. 如图，已知AB ∥CF ，点E 为DF 的中点，若9AB = cm ，5CF = cm ，则BD =________cm ．【答案】4【解析】【分析】证明AED CEF ≌，根据全等三角形的性质得出5FC AD ==，进而即可求解．【详解】AB ∥CF ，A ACF ∴∠=∠，在AED 和CEF 中A ECF AED CEF DE EF ∠∠ ∠∠＝＝＝，()AAS AED CEF ∴ ≌，5cm FC AD ∴==，(954cm BD AB AD ∴=−=−=．故答案为：4【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．15. 如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，4,7AB BC ==，则ABD △的周长为___________．【答案】11【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，可知AD CD =，进而可知B C B D C D B D A D =+=+，即可求出ABD△的周长．【详解】解： DE 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=， B C B D C D B D A D ∴=+=+，ABD ∴ 的周长4711A B B D A D A B B C =++=+=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．16. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为________．【答案】40°或140°【解析】【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，50ACD ∠=°，CD 为高，即90ADC ∠=°，此时180A ACD ADC ∠+∠+∠=°，180905040A ∴∠=°−°−°=°，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，50ACD ∠=°，CD 为高，即90ADC ∠=°，此时9050140BAC D ACD ∠=∠+∠=°+°=°，综上，等腰三角形的顶角的度数为40°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的内容，做等腰三角形的问题时要多去注意是否要分类讨论．三、解答题（共72分）17. 计算：()()322322x y x −÷−．【答案】298x y −【解析】【分析】根据积的乘方进行计算，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】解：()()322322x y x −÷− 6948x y x =−÷298x y =−【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键．18. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点()1,4A −，()2,1B −，()4,3C −．（1）ABC 的面积是________；（2）把ABC 以y 轴为对称轴作出它的对称图形，得到A B C ′′′ ，请你画出A B C ′′′ ；【答案】（1）4（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的面积减去3个三角形的面积即可求解；（2）根据轴对称的性质找到对应点,,A B C ′′′，顺次连接，得到A B C ′′′ ，即可求解．【小问1详解】解：111331313224222ABC S =×−××−××−××=△，故答案为：4．【小问2详解】解：如图所示，A B C ′′′ 即为所求；【点睛】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．19. 如图，点E ，F BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ．求证：ABF DCE ≌△△．【答案】证明见解析【解析】【分析】先说明BF CE =，再利用“边角边”证明ABF △和DCE △全等即可．【详解】证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，在ABF △和DCE △中，AB DC B C BF CE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABF DCE ≌△△．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判断方法是解题的关键．20. 用一条长为35cm 的细绳围成一个等腰三角形，底边长是腰长的一半，求各边长．在【答案】底边、腰长、腰长分别为7cm 、14cm 、14cm ．【解析】【分析】根据题意：底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；【详解】解：设底边长为cm x ，则腰长为2cm x由题意可得，2235x x x ++=，解得7x =，∴22714x =×=，71414+>，此时满足三角形三边关系，故等腰三角形的底边、腰长、腰长分别为7cm 、14cm 、14cm ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意正确列式，难度较小．21. 化简求值：()()()22121214x x x x −++−÷，其中2x =−．【答案】2x －1，-5【解析】【分析】先将括号内的用乘法公式展开，合并同类项，转化为单项式除以单项式，将x=-2，代入求值即可5．【详解】解：()()()22121214x x x x −++−÷，＝22441414x x x x −++−÷ ，＝()2844x x x −÷，＝28444x x x x ÷−÷，＝2x －1，将2x =−代入，原式＝2×（－2）－1＝－5．【点睛】此题考查的是整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则、完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则是解题关键．22. 如图1，是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S =阴影______．方法2：S =阴影______．（2）写出()2a b +，()2a b −，ab 这三个代数式之间等量关系为______．（3）已知10x y +=，16xy =，求x y −的值．【答案】（1）4ab ，()()22a b a b +−−；（2）()()224a b a b ab +−−=（3）6±【解析】【分析】（1）结合图2，利用正方形面积公式和长方形面积公式，将阴影部分的面积用两种不同的方法表示即可；（2）由（1）即可得到答案；（3）由（1）可得()()224x y x y xy −=+−，把10x y +=，16xy =代入计算，即可求出x y −的值．【小问1详解】解：方法1：阴影部分的面积等于四个相同的小长方形的面积和，即4S ab =阴影；方法2：阴影部分的面积等于大正方形面积减小正方形面积，即()()22S a b a b =+−−阴影，故答案为：4ab ，()()22a b a b +−−；【小问2详解】解：由（1）可知，()()224a b a b ab +−−=故答案为：()()224a b a b ab +−−=；【小问3详解】的解：由（2）可知，()()224x y x y xy +−−=， ()()224x y x y xy ∴−=+−，把10x y +=，16xy =代入，得：()221041636x y −=−×=， 6x y ∴−=或6x y −=−，即x y −的值为6±．【点睛】本题考查了列代数式、代数式的求值、完全平方公式与几何图形关系等知识，主要是利用数形结合的思想研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．23. 如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON ∠的内部且CA CB =，CD OM ⊥，CE ON ⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．（1）求证：OC 平分MON ∠；（2）如果10AO =，4BO =的长．【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ），得CD =CE ．再由角平分线的判定即可得出结论；OC 平分∠MON ；（2）证Rt △ODC ≌Rt △OEC （HL ），得OD =OE ，设BE =AD =x ．则OE =OD =4+x ，再由AO =OD +AD =4+2x =10，得x =3．即可得出答案．【小问1详解】证明：∵CD OM ⊥，CE ON ⊥，∴90CDA CEB ∠=∠=°．在Rt ACD △与Rt BCE 中，CA CB AD BE= = ， ∴Rt ACD △≌Rt BCE （HL ），∴CD CE =．又∵CD OM ⊥，CE ON ⊥，∴OC 平分MON ∠．【小问2详解】解：在Rt ODC △与Rt OEC △中，CD CE OC OC = =， ∴Rt ODC △≌Rt OEC △（HL ）， ∴OD OE =，设BE AD x ==．∵4BO =，∴4OE OD x ==+，∵AD BE x ==，∴4210AO OD AD x =+=+=，∴3x =，∴437OD =+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，证明Rt △ACD ≌Rt △BCE 和Rt △ODC ≌Rt △OEC 是解题的关键．24. 已知：在ABC 中，2CAB B ∠=∠．点D 与点C 关于直线AB 对称，连接,AD CD ，CD 交直线AB 于点E ．（1）当60CAB ∠=°时，如图①．用等式表示，AD 与AE 的数量关系是______，BE 与AE 的数量关系是______；（2）当CAB ∠是钝角时，如图②．①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AD AE BE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）2AD AE =；3BE AE =（2）①见解析；②【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，得出，30,9030BACE CAB ADE ∠=°∠=°−∠=°=∠，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，12,2AD AE AC AB ==，进而得出3BE AE =；（2）①根据题意补全图形，即可；②在的BE 延长线上取点F ，使EF AE =，连接CF 根据轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质可得,AD AC AC FC ==．从而得到,AD FC CFA CAF =∠=∠，再由2BAC B ∠=∠，可得BCF B ∠=∠，从而得到FC FB =即可．【小问1详解】解：∵2CAB B ∠=∠，点D 与点C 关于直线AB 对称，∴,30,9030CD AB BACE CAB ADE ⊥∠=°∠=°−∠=°=∠， ∴90ACB ∠=°， ∴12,2AD AE AC AB ==， ∴113,244AE AC AB EB AB AE AB ===−=， ∴3BE AE =；故答案为：2AD AE =；3BE AE =【小问2详解】解：①补全图形如下：②AD AE BE =+，证明如下：在的BE 延长线上取点F ，使EF AE =，连接CF ．∵点C 与点D 关于直线对称，∴,CD AB CE DE ⊥=， ∴,AD ACAC FC ==． ∴,AD FC CFA CAF =∠=∠． ∵180CAF BAC ∠+∠=°，∴180CFA BAC ∠+∠=°．∵2BAC B ∠=∠，∴2180CFA B ∠+∠=°．∵180CFA B BCF ∠+∠+∠=°，∴BCF B ∠=∠． ∴FC FB =，∴FB AD =．∵FB BE FE =+，∴AD BE AE =+．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．25. 已知：在ABC 中，90ACB ∠=°，60A ∠=°．点D 在AB 上，且AD AC =，连接CD ．（1）如图1，求证：BD CD =；（2）过点D 作DEF ，使90DEF ∠=°，60EDF ∠=°，连接CE 并延长CE 至点G ，使EG CE =，连接BF ，BG ，FG ．①如图2，当点F 在BD 的延长线上时，求证：BFG 是等边三角形；②如图3，2AC =，1DE =，若180BFD EFG ∠+∠=°，求BDF 的面积．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②1【解析】【分析】（1）根据已知条件得出ACD 是等边三角形，根据然后证明30ABC BCD ∠=∠=°，即可得证；（2）①分别延长DC ，FE 交于点K ．证明CEK CEF △≌△，得出FG CK =，30GFK K ∠=∠=°，即可得出BFG 是等边三角形．②延长DE 至H ，使EH DE =，连接FH ，GH ，过点B 作EM DF ⊥于点M ．证明CDE GHE △≌△，进而证明DFH 是等边三角形，令FHC α∠=，证明BDF FHG ∠=∠，即可证明BDF GHF △≌△，令BFD β∠=，则GFH β∠=，根据180BFD FFG ∠+∠=°，得出75BFD ∠=°，进而得出180757530BDF ∠=°−°−°=°，在Rt BDM 中，112BM BD ==，根据三角形面积公式即可求解．【小问1详解】证明：如图1AD AC = ，60A ∠=°∴ACD 是等边三角形AC CD ∴=，60ACD ADC ∠=∠=°906030BCD ACB ACD ∴∠=∠−∠=°−°=°90ACB ∠=°，90906030ABC A ∴∠=°−∠=°−°=°，ABC BCD ∴∠=∠，BD CD ∴=．【小问2详解】①证明：如图2，分别延长DC ，FE 交于点K ．90DEF ∠=° ，90906030DFE EDF ∴∠=°−∠=°−°=°，603030K ADC DFK ∴∠=∠−∠=°−°=°，K DFK ∴∠=∠，DK DF ∴=，又CD BD = ，DK CD DF BD ∴−=−，即CK BF =90DEF ∠=° ，DE FK ∴⊥，又DK DF = ，EK EF ∴=，又CEK GEF ∠=∠ ，CE EG =，∴CEK CEF △≌△FG CK ∴=，30GFK K ∠=∠=°FG BF ∴=，303060GFB GFK DFK ∠=∠+∠=°+°=°，∴BFG 是等边三角形．②解：如图3 ，延长DE 至H ，使EH DE =，连接FH ，GH ，过点B 作EM DF ⊥于点M ．CE EG = ，CED GEH ∠=∠，DE EH =，∴CDE GHE △≌△GH CD ∴=，CDE GHE ∠=∠BD CD = ，GH BD ∴=，90DEF ∠=° ， FE DH ∴⊥，又DE EH = ，FH FD ∴=，又60FDH ∠=° ，∴DFH 是等边三角形60DFH DHF ∴∠=∠=°，90906030EFH DHF ∴∠=°−∠=°−°=°，令FHC α∠=， ∴60CDE GHE α∠=∠=+°∴()1206060BDE BDC CDF αα∠=∠−∠=°−+°=°−，∴()6060BDF FDF BDF αα∠=∠−∠=°−°−=BDF FHG ∴∠=∠，∴BDF GHF △≌△，BFD GFH ∴∠=∠．令BFD β∠=，则GFH β∠=， ∴30FFG GFH FFH β∠=∠+∠=+°，180BFD FFG ∠+∠=°， ∴30180ββ++°=°，∴75β=°，75BFD ∴∠=°，在Rt DEF △中，30DFE ∠=°，∴22DF DE ==又 2BDCD AD ===， ∴BD DF =75DBF BFD ∴∠=∠=°，180757530BDF ∴∠=°−°−°=°，在Rt BDM 中，112BM BD == ∴1121122BDF S DF BM =×=××=△．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．。