材料力学教程--7.弯曲变形

1 l M ( x) Px P( x ) 2 2
l 1 EI Z y( x) P( x ) Px 2 2
积分 一次：
1 EI Z y( x) Px 2 1 2 EI Z1 Px C1 4
l 1 EI Z y( x) P( x ) Px 2 2 P l 2 1 2 EI Z 2 ( x ) Px C2 2 2 4
[ B ] 10
3
满足刚度条件
2、提高梁刚度的措施
荷载 l y 系数 EI
n
注： 梁的变形不仅与荷载、支承有关， 而且与材料、跨度等也有关。 （1） 提高梁的抗弯刚度 EI
对弹性模量来说，即使采用高强合金钢也 只是增加了许用应力，但 E 值比较接近，（提 高梁的抗弯强度的措施）。要增加梁的抗弯刚 度还是需要考虑横截面的惯性矩。
（2）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。
由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面 变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。
A：曲线OAB在A点的切线与X轴间的夹角。
符号：转角从X轴逆时针转至切线方向为正，
反之为负。 单位：弧度
P
O
A
yA A
B
A
（3）截面挠度与转角的关系
dy tg 挠曲线的斜率： dx
B
O
2、截面转角和挠度
（梁弯曲变形的两个基本量）
（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直
P
O
于梁轴线（x 轴）方向上所产生 的线位移，称为梁在截面的挠度。
yA
B A
一般情况下，不同 横截面的挠度值不同。
横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变 的规律用挠曲线方程表示。即：
y f（x）
符号：挠度向下为正， 向上为负。 单位：mm
利用边界条件确定积分常数：
2
2
3
x 0，y 0； C2 0 x 0， 0 C1 0
A x B L-x B/ B
1 Px ( x) ( Plx ) EI Z 2 2 3 1 Plx Px y ( x) ( ) EI Z 2 6
2
L
yB
x l，ymax 、 max
材料力学教程
邹翠荣
北方交通大学土建学院 理论力学教研室 mf001540@
2013年7月10日星期三
第一章 绪 论 第二章 拉伸、压缩与剪切 第三章 扭转 第四章 弯曲内力 第五章 弯曲应力 第六章 弯曲变形 第七章 弯曲的几个补充问题 平面图形的几何性质
第八章 应力分析、强度理论 第九章组合变形 第十章 能量法 第十一章静不定结构 第十二章 动荷载 第十三章交变应力 第十四章压杆稳定
弯曲变形
主讲教师 ： 邹翠荣
2013年7月10日星期三
第六章
弯曲变形
第六章
重点掌握内容：
弯曲变形
1、计算梁在荷载作用下的变形问题 2、建立刚度条件
3、利用梁的变形解决超静定问题
第一节 梁的变形和位移
1、挠曲线：
在平面弯曲情况，梁变形后 的轴线将成为xoy平面内的 一条曲线。这条连续、光滑 的曲线—梁的挠曲线。 P （弹性曲线）
1 2 3
例题5：求：梁跨中点处的挠度。已知：抗弯刚度EI
P
A
q
B
解：
C
L
ymax
yC y Pc yqc
Pl 5ql y 48EI 384 EI
3 4
P
y1
q
y2
例题6：已知简支外伸梁抗弯刚度EI。试求：A点挠度
P
A B C
解： L
a P
A y1
B
a
P Pa B A
y2
a
L
Pa y1 3EI ( Pa)l y2 B a a 3EI 3 2 Pa Pa l y y1 y2 3EI 3EI 2 C Pa y (a l ) 3EI
3
第五节
提高梁刚度的一些措施
1、刚度条件：
ymax [ ]
max [ ]
例题7：已知：P1=2KN，P2=1KN。L=400mm， a=100mm，外径D=80mm，内径d=40mm，E=200GPa， 截面C处挠度不超过两轴承间距离的10-4，轴承B处转角不 超过10-3弧度。试校核该主轴的刚度。
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处 位移为已知的条件。
第三节
用积分法求弯曲变形
M ( x) P(l x)
例题1：求该悬臂梁的最大挠度和转角 P 解： 建立坐标、写弯矩方程
A x B L-x B/ yB
程方分微似近线曲挠入代
L
EI Z y( x) M ( x) P(l x)
挠 度
ymax Ml 2 2 EI
Pl 3 ymax 3EI4 ql ymax 8EI
ymax
ymax
Pl 3 48 EI Z
5ql 4 384 EI Z
max
第四节
用叠加法求弯曲变形
* 叠加法：当梁上同时作用几个荷载时， 在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极 限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角） 将不受其它荷载的影响。
1 Pl Px 1 ( ) EI Z 16 4
2 3
2
2
1 P l 2 1 2 Pl 2 [ ( x ) Px ] EI Z 2 2 4 16
2
1 Pl x Px 1 P l 3 1 3 Pl 2 x y1 ( ) y2 [ ( x ) Px ] EI Z 16 12 EI Z 6 2 12 16
近线曲挠入代
1 3 1 2 1 4 1 3 EI Z ( x) qx qlx C1 EI Z y ( x) qx qlx C1 x C2 6 4 24 12 利用边界条件确定积分常数：
x 0，y 0； C2 0
q
A B
x l，y 0
ymax
x
A max
2
3 2 ( Pl1 )l2 y3 ( Pl1 )l2 2 EI 2 3
EI 2
// y3
Pl2 l1 y2 2l1 2EI 2
( Pl1 )l2l1 y3 3l1 EI 2
P
A
B
C
y
L2
L1
）（ y y1 y2 y2 y3 y3 （ ）
4
5ql 384 EI Z
例题3：求该简支梁的最大挠度和转角
p
A C B
解： 建立坐标、
写弯矩方程
A max
x
L/2
x
ymax
L/2
B max
l AC段：（ x ） 0 2
l CB段：（ x l） 2
1 M ( x) Px 2
1 EI Z y( x) Px 2
L
B max
1 3 2 3 ( x) (ql 6qlx 4qx ) 24 EI Z
ql C1 24
3
x 0，x l， max
l x ，ymax 2
qx 3 2 3 y ( x) (l 2lx x ) 24 EI Z
max
ymax
ql 3 24 EI Z
即：梁上任意横截面的总位移 等于各荷载单独作用时，在该 截面所引起的位移的代数和。
* 荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个 荷载，利用单个荷载作用下梁的挠度和转角的 结果进行叠加，就可求得梁在多个荷载作用下 的总变形。 P2 P1 P2 P1
B
=
B
+
yB1
B
yB
yB2
yB yB1 yB 2
B B1 B 2
* 逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁 的变形在需求位移处引起的位移，然后计算其总和。
即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段 视为刚体，在利用外力平移计算其它梁 段的变形，最后叠加。
例题4：求最大挠度和转角 P y1 P A B C A B C y L2 L1 L2 L1 1 2 Pl P A B PL1 C
1 3 Px C1 x D1 12 P l 3 1 3 EI Z y2 ( x ) Px C2 x D2 2 12 利用边界条件确定积分常数： 6
再次 积分：EI Z y1
C1 C 2 l C左 C右 x ， D1 D2 2 yC左 yC右 x 0，y A 0 D1 D2 0 2 Pl x l，yB 0 C1 C2 16
梁的变形与横截面的惯性矩成反比，增加 惯性矩可以提高梁的抗弯刚度。（与提高梁的 抗弯强度的办法相类似）
2 2
A A P2
B
y1
B1 B 2
P la P2l 1 3EI 16 EI
2
y2
4 4 I （D d ） 1.88 106 m 4 64
4 5
yC 6.2 10
4.3 10
6
5
< <
[ yC ] l 10 4.0 10
Pl 2 Pl 3 、ymax 2 EI Z 3EI Z
max
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
q
A B
建立坐标、 解： 写弯矩方程
ymax
x
A max
L
B max
1 1 2 M ( x) qlx qx 2 2
1 2 1 EI Z y( x) M ( x) qx qlx 2 2 ：程方分微似 1 3 1 2 EI Z ( x) qx qlx C1 积分一次： 6 4 再次积分： EI y ( x) 1 qx 4 1 qlx 3 C x C Z 1 2 24 12