高中数学人教A版选修2-2课时跟踪检测(十九) 复数的几何意义

课时跟踪检测(十九) 复数的几何意义

一、选择题

1．设z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( )

A ．a ＞0，b ＞0

B ．a ＞0，b ＜0

C ．b ＞0，a ∈R

D ．a ＞0，b ∈R

解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．

2．已知复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，集合A ＝{}－1，0，1，2，B ＝{}－2，－1，1.若a ，b ∈A ∩B ，则|z |等于( )

A ．1

B. 2 C ．2 D ．4

解析：选B 因为A ∩B ＝{}－1，1，所以a ，b ∈{}－1，1，所以|z |＝a 2＋b 2＝ 2.

3．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的

对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( )

A ．－2－i

B ．－2＋i

C ．1＋2i

D ．－1＋2i

解析：选B 因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为

B (－2,1)，所以OB 对应的复数为－2＋i.

4．当23

＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选D 由23

3m －2>0，m －1<0， ∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．

5．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )

A ．直线

B ．圆心在原点的圆

C ．圆心不在原点的圆

D ．椭圆

解析：选C 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R.又因为a 2＋2a ＋2xy

＋(a ＋x －y )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．

二、填空题

6．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．

解析：由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可知|z |＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以1＜a 2＋1＜5，故1＜a 2＋1＜ 5.

答案：(1，5)

7．在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．

解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9.

答案：9

8．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________.

解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，

由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，

即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.

根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧ x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝0，y ＝1，∴z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，

等式两边取模，得|z |＝(|z |－1)2＋12.

两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1.

把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i.

答案：i

三、解答题

9．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点：

(1)位于虚轴上？

(2)位于第一、三象限？

(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？

解：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，

则2m ＝0，即m ＝0.

(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，

则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0

(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋(4－m 2)2＝4，即m 4

－4m 2＝0，

解得m ＝0或m ＝±2.

10．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．

解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．