(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题
复数知识点归纳及习题
复数一．知识网络图二．复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.三．复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.四．基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
(1) z =a +bi ∈R ⇔b =0 (a,b ∈R )⇔z=z ⇔ z 2≥0；(2) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0(a ,b ∈R )；(3) z =a+b i 是纯虚数⇔a =0且b ≠0(a,b ∈R )⇔z ＋z ＝0（z≠0）⇔z 2<0；(4) a +b i=c +di ⇔a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )；2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类
[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z为复数，iz2+为实数，且zi)21(-为纯虚数，其中i为虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数z满足1=-zw，求w的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为_______.（2）若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案(1) 1(2) 充分不必要条件解析(1)由z1z2＝2＋a i1－2i＝(2＋a i)(1＋2i)5＝2－2a5＋4＋a5i是纯虚数，得a＝1，此时z1z2＝i，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i是虚数单位．若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为__________.（2）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的____________条件.（填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案 一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案 －1解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案 －3－4i解析 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。
(完整版)复数经典例题
经典例题透析类型一：复数的有关概念例1．已知复数22276(56)()1a az a a i a Ra-+=+--∈-，试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解析：（1）当z为实数时，有2256010a aa⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩1661a aaa=-=⎧⇒⇒=⎨≠±⎩或，∴当6a=时，z为实数. （2）当z为虚数时，有2256010a aa⎧--≠⎪⎨-≠⎪⎩16161a aa aa≠-≠⎧⇒⇒≠±≠⎨≠±⎩且且，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有222560761a aa aa⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩166a aaa≠-≠⎧⇒⇒∈∅⎨=⎩且∴不存在实数a使z为纯虚数.总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为22761a aa-+-与256a a--.①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi （a 、b ∈R ），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．a=0B ．a=0且b ≠0C ．a ≠0且b=0D ．a ≠0且b ≠0【答案】A ；由纯虚数概念可知：a=0且b ≠0是复数z=a+bi （a 、b ∈R ）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.1B.2C.1或2D.-1【答案】B ；∵2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，∴2320a a -+=且10a -≠，即2a =.【变式3】如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m=（ ）A ．1B ．－1 CD．【答案】B ；【变式4】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.【答案】（1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数. 类型二：复数的代数形式的四则运算例2. 计算：（1）()n i n N +∈； (2)8(1)i +(3)(12)(12)i i +÷-; (4)ii i i 4342)1)(41(++++- 解析：(1)∵21i =-，∴32i i i i =⋅=-，4221i i i =⋅=，同理可得：当41()n k k N +=+∈时，4144()k k k i i i i i i +=⋅=⋅=当42()n k k N +=+∈时，42421k k i i i +=⋅=-，当43()n k k N +=+∈时，4343k k ii i i +=⋅=- 当44()n k k N +=+∈时，4444()1k k k i i i i =⋅==，∴4114243144n i n k k N n k k N i i n k k N n k k N =+∈⎧⎪-=+∈⎪=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩（，）（，）（，）（，）()n N +∈ (2)8(1)i +24444[(1)](2)216i i i =+=== (3)(12)(12)i i +÷-1212i i+=-2222(12)(12)1(2)43434(12)(12)1(2)555i i i i i i i i i ++++-+====-+-+- (4)i i i i 4342)1)(41(++++-1432434i i i +-++=+227(7)(34)3434i i i i ++-==++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 总结升华：熟练运用常见结论： 1）ni 的“周期性”（n N +∈）2）2(1)2i i ±=±3）22()()a bi a bi a b +-=+ 举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）(12)(34)(2)i i i +--（3）23100i i i i ⋅⋅⋅⋅L（4）3322(1)(1)(1)(1)i i i i +--+-- ； 【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）(12)(34)(2)(112)(2)247i i i i i i +--=+-=-（3）231001210050504126222()1i i i i i i i i i +++⋅⋅⋅⋅===⋅==-L L（4）332222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)2(2)4i i i i i i i i i i i i i i i +--+⋅+---++-==+----2214i i⋅== 【变式2】复数()221i i +=( )A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A ；()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==-【变式3等于( )i +i 【答案】A1-i i ===，故选A 【变式4】复数31()i i -等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D ；333311()()(2)88i i i i i i i--=+===-. 类型三：复数相等的充要条件例3、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x ―1)+(3―y)i=y ―i ，求x 、y.思路点拨：因x ∈R ，y 是纯虚数，所以可设y=bi （b ∈R 且b ≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y 是纯虚数，可设y=bi （b ∈R ，且b ≠0），则(2x ―1)+(3―y)i ＝(2x ―1)+(3―bi )i ＝（2x －1+b ）+3i ，y ―i =bi －i=（b －1）i由(2x ―1)+(3―y)i=y ―i 得（2x ―1+b ）+3i=（b ―1）i ， 由复数相等的充要条件得42103132b x b b x =⎧-+=⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎩⎪⎩， ∴32x =-，4y i =. 总结升华：1. 复数定义：“形如z a bi =+（,a b R ∈）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）相等的充要条件是a=c 且b=d ，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x ―1)+(3―y)i 的虚部，同样，在右边的y ―i 中y 也并非是实部.举一反三：【变式1】设x 、y 为实数，且5______1-1-21-3x y x y i i i+=+=，则 【答案】由51-1-21-3x y i i i +=得5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+ 即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故52-50-154-1505x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩,解得 ∴4x y +=【变式2】若z ∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b ∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.【变式3】设复数z 满足12i i z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i + 【答案】12(12)2211i i i i z i i ++-====---，故选C. 类型四：共轭复数例4：求证：复数z 为实数的充要条件是z z =思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设z a bi =+（a ，b ∈R ），则z a bi =- 充分性：--0;z z a bi a bi b b b z R =⇒+=⇒=⇒=⇒∈Q 必要性：,0-z R b a bi a bi z z ∈=⇒+=⇒=Q综上，复数z 为实数的充要条件为z z =举一反三：【变式1】,x y R ∈，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+的共轭复数相等，求x ，y. 【答案】(2)1818(2)y i y i -+=+-3218-218-(-2)(32)52-512x y x y i x y xi y x y +==⎧⎧∴=++⇒⇒⎨⎨==⎩⎩ 【变式2】若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =（i 为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i【变式3】已知复数z=1+i ，求实数a 、b 使22(2)az bz a z +=+.【答案】∵z=1+i ，∴2(2)(2)az bz a b a b i +=++-，22(2)(2)44(2)a z a a i +=+-++2(4)4(2)a a a i =+++∵a 、b 都是实数，∴由22(2)az bz a z +=+得224,24(2).a b a a a b a ⎧+=+⎨-=+⎩ 两式相加，整理得a 2+6a+8=0解得a 1=―2，a 2=―4，对应得b 1=－1，b 2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i ，求复数z.法一：设z=a+bi （a ，b ∈R），则||z =代入方程得28a bi i +=+.∴28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部.于是||z =|z|2=68－4|z|+|z|2，∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i ，a ，b 为实数.（1）若234z z ω=+-，求||ω； （2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值. 【答案】（1）2(1)3(1)4i i ω=++--2341i i i =+--=-∴||ω=（2）∵2222(1)(1)1(1)(1)1z az b i i a b z z i i ++++++=-++-++(2)(2)()a i b a a b a i i+++==+-+ ∴(2)()1a a b i i +-+=-∴21112a a ab b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 类型六：复数的几何意义例6、已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】∵22ππ<<，∴sin 20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数2(352)(1)z m m m i =-++-(m R ∈)，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.【答案】∵2(352)(1)z m m m i =-+-- ∴⎩⎨⎧<-->+-0)1(02532m m m ，解得1m >.∴m 的取值范围为(1,)m ∈+∞.【变式3】已知z 是复数，2z i +和i-z z 均为实数，且复数2()z ai +对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.【答案】设z x yi =+(,x y R ∈)，∴2(2)z i z x y i +==++，由题意得2y =-， 2111(2)(2)(22)(4)22555z x i x i i x x i i i -==--=++---， 由题意得4x =，∴42z i =-∵22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-， 根据已知条件有212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，解得26a <<， ∴实数a 的取值范围是(2,6)a ∈.【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数1z zω=+在复平面上对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则1111()()22 z a ai a a i z a ai a a ω=+=++=++-+令1212x aay aa⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消a得x2－y2=2（x≥.。
复数的几何意义(二)
复数的几何意义练习题撰稿：第一组 审稿：高二数学组 时间2010/3/241、分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
())84,80,6,,291,7,0i i i i i -+--⨯-2、复数z 1=3+i,z 2=1-i,则z=z 1·z 2在复平面内的对应点位于第 象限3、已知复数z 1=3+4i ，z 2=x-i 且21z z +=5，求x4、求复数1i i+在复平面中所对应的点到原点的距离5、已知：，求实数x 。
6、若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围3.3 复数的几何意义二一、学习要求1、理解复数加法、减法的几何意义2、要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 （2）对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
二、知识链接1、已知复数z 对应点为Z ，说出下列各式的几何意义|z| |z-1| |z+2i| |z-（1＋2i ）| |z+(1+3i)| |z-2+3i| 2、已知复数z 对应点为Z ，若|z-z 0|=r ，则点Z 的轨迹是若｜z-i|=|z+3-i| ，则动点Z 的轨迹是 【课堂导学】一、复数加法、减法的几何意义： 1、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，（a 、b 、c 、d 为实数），在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，且，以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ 就是与复数（a+c ）+(b+d)i 对应的向量。
注：（1）1OZ 、2OZ 不共线。
（若它们共线呢，情况会如何？）（2）向量与复数之间是对应关系，不能写成OZ ＝（a+c ）+(b+d)i 2、 复数减法的几何意义：若向量1OZ 、2OZ 分别与复数z 1、z 2对应，则它们的差z 1－z 2对应着向量1OZ －2OZ 即向量12Z Z 。
高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数一．基本知识【1】复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
复数概念例题和知识点总结
复数概念例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）都是实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
在复数\（a ＋ bi\）中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）就变成了实数\（a\）；当\（a ＝0\）且\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为纯虚数。
例如，＼（3 ＋ 2i\）是一个复数，其中实部是\（3\），虚部是\（2\）；＼（5\）是一个实数，因为它可以表示为\（5 ＋ 0i\）；＼（2i\）是一个纯虚数。
二、复数的相等两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
即若\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\），则\（z_1 ＝ z_2\）的充要条件是\（a_1 ＝ a_2\）且\（b_1 ＝ b_2\）。
例如，若\（2 ＋ 3i ＝ x ＋ yi\），则\（x ＝ 2\），＼（y ＝ 3\）。
三、复数的四则运算1、加法：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）例如：＼（（3 ＋ 2i) ＋（1 ＋ 4i) ＝（3 ＋ 1) ＋（2 ＋ 4)i ＝ 4 ＋6i\）2、减法：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）例如：＼（（5 ＋ 3i) （2 i) ＝（5 2) ＋（3 （－1)）i ＝ 3 ＋ 4i\）3、乘法：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）例如：＼（（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝ 2×1 3×2 ＋（2×2 ＋ 3×1)i ＝－4 ＋ 7i\）4、除法：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）例如：＼（＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{（1 ＋ 2i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＝＼frac{1 ＋ 3i ＋ 2i^2}｛2} ＝＼frac{－1 ＋ 3i}｛2} ＝＼frac{1}｛2} ＋＼frac{3}｛2}i\）四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
2024-2025年北师大版数学必修第二册5.1.1-2复数的概念及其几何意义(带答案)
第五章 复数§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练知识点一 复数的概念与分类1．1－i 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－12．当实数m 取什么值时，复数(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i ：①是实数？②是虚数？③是纯虚数？④在复平面内对应点位于第四象限？知识点二 复数相等3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0知识点三 复数的模与几何意义的应用5．已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A ．12B ．22C ．2D ．2 6．(多选题)已知复数z ＝(cos α＋sin α)＋(cos α－sin α)i ，则下列说法正确的是( )A ．当α∈(0，π4)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 B ．当α∈(π4 ，π2)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 C ．复数z 的模的最大值为2D ．复数z 的模长为定值7．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i关键能力综合练一、选择题1．当m <1时，复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知i 为虚数单位，m ∈R ，复数z ＝(－m 2＋2m ＋8)＋(m 2－8m )i ，若z 为负实数，则m 的取值集合为( )A ．{0}B ．{8}C ．{x |－2<x <4}D ．{x |－4<x <2}3．若复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，则实数m ＝( )A ．1B ．0或1C ．1或2D ．1或34．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32 ，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12 ，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 5．(易错题)设复数z ＝(2t 2－5t ＋3)＋(t 2－2t ＋3)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．复数z 对应的点在第二象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数二、填空题6．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z ＝________．(写出一个即可)7．若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________．8．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．三、解答题9．(探究题)(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i(a ∈R )是实数，求z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模；(2)已知复数z ＝3＋a i(a ∈R )，且|z |<4，求实数a 的取值范围．学科素养升级练1.关于复数，下列说法错误的是( )A ．若|z |＝1，则z ＝±1或±iB ．复数6＋5i 与－3＋4i 分别对应向量OA → 与OB → ，则向量AB → 对应的复数为9＋iC ．若z 是复数，则z 2＋1>0D ．若复数z 满足1≤|z |<2 ，则复数z 对应的点所构成的图形面积为π2．(学科素养——数学抽象)已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，求z ；(2)若|z |＝6 ，且z 2＋z 的实部不为0，讨论z 2＋z 在复平面内对应的点位于第几象限．§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练1．答案：D解析：由复数虚部定义可知，1－i 的虚部为－1.故选D.2．解析：设z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i.①要使z 为实数，必须有m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，即m ＝－2或m ＝2时，z 为实数．②要使z 为虚数，必有m 2－4≠0，即m ≠－2且m ≠2.故m ≠－2且m ≠2时，z 为虚数．③要使z 为纯虚数，必有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4≠0，m 2－3m ＋2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－2且m ≠2，m ＝1或m ＝2. 所以m ＝1，故m ＝1时，z 为纯虚数．④由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，m 2－4<0， 解得－2<m <1. 3．答案：C解析：由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.故选C. 4．答案：A解析：∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0， ∴x ＝1，y ＝－1.故选A. 5．答案：C解析：因为复数z ＝1＋i ，所以根据复数模的运算公式可得，|z |＝12＋12 ＝2 .故选C.6．答案：AD解析：因为cos α＋sin α＝2 sin (α＋π4)，cos α－sin α＝2 cos (α＋π4 )， 所以z ＝2 [sin (α＋π4 )＋icos (α＋π4)]. 当α∈(0，π4 )时，α＋π4 ∈(π4 ，π2)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＞0，所以z 在复平面内对应的点在第一象限，故A 正确；当α∈(π4 ，π2 )时，α＋π4 ∈(π2 ，3π4)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＜0，所以z 在复平面内对应的点在第四象限，故B 错误；复数z 的模为2 × sin 2（α＋π4）＋cos 2（α＋π4） ＝2 ，故C 错误，D 正确．故选AD.7．答案：C解析：由题意知A (6，5)，B (－2，3)，则AB 中点C (2，4)对应的复数为2＋4i.关键能力综合练1．答案：A解析：∵m <1，∴m －1<0，∴复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．故选A.2．答案：B 解析：由题意得－m 2＋2m ＋8<0，m 2－8m ＝0，解得m ＝8.即m 的取值集合为{8}．故选B.3．答案：B解析：因为复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，所以m 2－m ＝0，解得：m ＝0或m ＝1.故选B.4．答案：A解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12． 故选A. 5．答案：C解析：∵z 的虚部t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2恒为正，∴z 对应的点在实轴上方，且z 一定是虚数，排除D.又z 的实部2t 2－5t ＋3＝(t －1)(2t －3)可为正、为零、为负，∴选项A 、B 不正确．故答案为C.6．答案：－1＋3 i(答案不唯一)解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以a <0，b >0，又因为|z |＝2，所以a 2＋b 2＝4，显然当a ＝－1，b ＝3 时，符合题意，故答案为－1＋3 i(答案不唯一).7．答案：2 ±2解析：两个复数相等，则实部和虚部分别相等，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4， 解得m ＝2，n ＝±2.8．答案：{0}解析：∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}．9．解析：(1)∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3，∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29 .(2)方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2 ，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7 ，7 ).方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7 <a <7 .学科素养升级练1．答案：ABC解析：取z ＝12 ＋32 i ，则|z |＝1，故A 错误；AB → ＝OB → －OA → ＝－3＋4i －(6＋5i)＝－9－i ，故B 错误；取z ＝i ，但i 2＝－1，z 2＋1＝0，知C 错误；设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由1≤|z |<2 可知1≤x 2＋y 2<2，故复数z 对应的点所构成的图形面积为π×2－π×1＝π，故D 正确．故选ABC.2．解析：(1)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，a >0，b <0)，因为z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，所以⎩⎨⎧a >0，b <0，a ＋b ＝7，a 2＋b 2＝13， 解得a ＝12，b ＝－5，故z ＝12－5i.(2)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 2＋z ＝a 2－b 2＋a ＋(2ab ＋b )i(a >0，b <0)，所以a 2－b 2＋a ≠0，且2ab ＋b ＝b (2a ＋1)<0.因为|z |＝6 ，所以a 2＋b 2＝6，所以a 2－b 2＋a ＝a 2－(6－a 2)＋a ＝2a 2＋a －6.当0<a <32时，2a 2＋a －6<0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第三象限； 当a >32时，2a 2＋a －6>0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第四象限．。
《复数》全章习题
《复数》全章习题 学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一 复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二 共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三 复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二 复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解 由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值． 如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值． 解 点集D 的图象为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三 复数相等 例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4， 即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析 设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心 答案 D 解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析 因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ， 所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题． 课时作业 一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析 设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析 向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________． 答案 0解析 复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案 －2－i解析 由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0， 又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ， 由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。
复数试题及答案
复数试题及答案1. 复数的概念复数是指实数和虚数的和，形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算(1) 两个复数的加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(2) 两个复数的减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i(3) 两个复数的乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i(4) 两个复数的除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c^2+d^2)3. 复数的模复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a^2 + b^2)。
4. 复数的共轭复数a+bi的共轭复数为a-bi。
5. 复数的幂运算(1) 复数的平方：(a+bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi(2) 复数的立方：(a+bi)^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i6. 复数的极坐标表示复数a+bi可以表示为r(cosθ + i*sinθ)，其中r是模，θ是复数在复平面上与正实轴的夹角。
7. 复数的指数形式复数a+bi可以表示为r*e^(iθ)，其中r是模，θ是复数在复平面上与正实轴的夹角。
8. 复数的根(1) 一个复数的平方根：如果z^2 = a+bi，则z = ±√(a^2 + b^2) * (cos(θ/2) + i*sin(θ/2))(2) 一个复数的立方根：如果z^3 = a+bi，则z = (a^3 +3ab^2)^(1/3) * (cos(θ/3) + i*sin(θ/3))9. 复数的解方程对于方程z^2 + az + b = 0，其解为z = (-a ± √(a^2 - 4b)) / 2。
10. 复数的几何意义复数a+bi在复平面上对应点(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
答案：1. 复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi。
复数的基本概念与运算题目
复数的基本概念与运算题目1. 选择题：一个复数 \(z = 3 + 4i\)，它的模是多少？A. 5B. 7C. 9D. 112. 填空题：复数\(z = a + bi\) 的实部是\(a\)，虚部是\(bi\)。
3. 选择题：若复数\(z = -2 + 3i\)，则它的共轭复数\(\bar{z}\) 是？A. -2 - 3iB. -2 + 3iC. 2 - 3iD. 2 + 3i4. 简答题：解释复数相乘的规律，并举例说明。
5. 计算题：计算复数 \(z = 2 + 3i\) 与 \(w = -1 - 2i\) 的乘积。
6. 选择题：复数 \(z = 5 - i\) 的模的平方是多少？A. 25B. 50C. 100D. 1257. 填空题：两个复数相乘，若其中一个复数是实数，则结果的虚部为零。
8. 简答题：如何将一个复数表示在复平面上？9. 计算题：计算复数 \(z = -1 + i\) 与 \(w = 2 - 3i\) 的和。
10. 选择题：若复数 \(z = 3 + 4i\)，则它的倒数是多少？A. \(\frac{1}{3 + 4i}\)B. \(\frac{1}{3 - 4i}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{4}\)11. 填空题：复数的模是其在复平面上的长度。
12. 简答题：解释复数的除法运算。
13. 计算题：计算复数 \(z = 4 - i\) 与 \(w = -2 + 3i\) 的乘积，再求其倒数。
14. 选择题：若复数 \(z = 2 + i\)，则它的共轭复数 \(\bar{z}\) 的模是多少？A. 2B. 3C. 4D. 515. 填空题：复数的共轭是将虚部的符号反转。
16. 简答题：如何使用复数的模来比较两个复数的大小？17. 计算题：计算复数 \(z = 1 + 2i\) 与 \(w = 3 - i\) 的差的模。
18. 选择题：若复数 \(z = -1 + i\)，则它的模是多少？A. 1B. 2C. 3D. 419. 填空题：复数的加法和减法在复平面上表示为向量的加法和减法。
理解复数的几何意义练习题
理解复数的几何意义练习题在数学中，复数是由一个实部和一个虚部组成的数字。
复数可以用来表示平面上的点，并具有很多有趣的几何意义。
本文将通过几个练习题帮助读者更好地理解复数的几何意义。
1. 练习题一：复数的加法和减法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的加法和减法定义，我们知道z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
现在，我们可以进行如下练习：1.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
1.2 计算并绘制结果复数z1 + z2和z1 - z2在平面上的位置。
1.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？2. 练习题二：复数的乘法考虑两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的乘法定义，我们知道z1 × z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i。
现在，我们可以进行如下练习：2.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
2.2 计算并绘制结果复数z1 × z2在平面上的位置。
2.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？3. 练习题三：复数的除法考虑两个非零复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d是实数。
我们可以将z1和z2表示为平面上的两个点P1和P2。
根据复数的除法定义，我们知道z1 ÷ z2 = [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 +d^2)]i。
现在，我们可以进行如下练习：3.1 绘制点P1和P2在平面上的位置。
3.2 计算并绘制结果复数z1 ÷ z2在平面上的位置。
3.3 通过观察平面上的点，你能得出什么结论？通过完成上述练习题，我们可以更加直观地理解复数在平面上的几何意义。
复数的几何意义综合测试题(带答案)
复数的几何意义综合测试题（带答案）选修2-23.1.2复数的几何意义一、选择题1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则() A．a>0，bB．a>0，b>0C．aD．a0答案]D解析]复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0，故应选D.2．(2010•北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案]C解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∈点C对应的复数为2＋4i，故选C.3．当23A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]D解析]∈23＜m＜1，∈3m－2>0，m－1＜0，∈点(3m－2，m－1)在第四象限．4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]C解析]z＝－2sin100°＋2icos100°.∈－2sin100°∈Z点在第三象限．故应选C.5．若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案]D解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－16．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数答案]C解析]∈2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∈排除A、B、D，选C.7．下列命题中假命题是()A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|答案]D解析]①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∈A正确；②由复数相等的条件z＝0∈a＝0b＝0.∈|z|＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∈|z1|＝|z2|反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∈D错．8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是()A．－45B．xC．x>－45D．x＝－45或x＝2答案]A解析]由题意知(x－1)2＋(2x－1)2解之得－459．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|A．b1B．－1C．b>1D．b>0答案]B解析]由|z1|∈b210．复平面内向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为()A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i答案]C解析]由题意O′A′→＝OA→，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．答案]－∞，－1－52∈32，＋∞解析]复数z对应的点在第一象限需m2＋m－1>04m2－8m＋3>0解得：m32.12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.答案]±15－8i解析]设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，∈a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．答案]3解析]将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i∈复数z对应点位于复平面上的第二象限∈m2－8m＋150解得314．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝t1＋t＋1＋tti 的模的取值范围是________．答案]2，＋∞)解析]|z|2＝t1＋t2＋1＋tt2≥2t1＋t•1＋tt＝2.∈|z|≥2.三、解答题15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．解析](1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m(3)若对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m2＋(4－m2)2＝4即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的x∈R，均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．解析]|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a|因为|z1|>|z2|，所以x4＋x2＋1>|x2＋a|∈x4＋x2＋1>(x2＋a)2∈(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．不等式等价于1－2a＝0或1－2a>0Δ＝－4(1－2a)(1－a2)解得－1所以a的取值范围为－1，12.17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，当θ为何值时(1)z1＝z2；(2)z1，z2对应点关于x轴对称；(3)|z2|解析](1)z1＝z2∈cosθ＝3sinθsin2θ＝cosθ∈tanθ＝332sinθcosθ＝cosθ∈θ＝2kπ＋π6(k∈Z)．(2)z1与z2对应点关于x轴对称∈cosθ＝3sinθsin2θ＝－cosθ∈θ＝kπ＋π6(k∈Z)2sinθcosθ＝－cosθ∈θ＝2kπ＋76π(k∈Z)．(3)|z2|∈3sin2θ＋cos2θ∈kπ－π418．已知复数z1＝3－i及z2＝－12＋32i.(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？解析](1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2|z2|＝－12－32i＝1.∈|z1|＞|z2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，∈1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．。
高中数学复数专题复习(知识点、例题、习题附解析)
高中数学复数专题复习(知识点、例题、习题附解析)复数复数的概念定义i 的周期性复数的分类复数的几何意义复数的模复数的四则运算加法减法乘法除法运算常用结论一、复数的概念1．定义形如i (,)=+∈z a b a b R 的数叫做复数．复数常用字母z 表示，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部，i 叫做虚数单位，规定2i 1=-．全体复数所成的集合叫做复数集，用C 表示．注意：复数不能比较大小，只有相等和不相等，当对应的实部和虚部相同时，我们说复数相等．例如：32i 32i 23i +=+≠+．例1复数2+3i 的实部是______，虚部是_______；复数-2-i 的实部是______，虚部是______． 解析：注意i 前面的数字才是虚部，包含正负号． 答案：2 3 -2 -1例2已知21i (3)i x y y -+=--，求x 与y ．解析：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等． 由题意，得211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩，解得524x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．答案：5,42x y ==2．i 的周期性1234i i i 1i i i 1==-=-=，以此类推，可得： 4142434i ii 1i ii 1()n n n n n +++==-=-=∈Z4142434i i i i 0()n n n n n ++++++=∈Z例如：19873i i i ==-，20204i i 1==（指数除以4，只保留余数，如果整除，即为4i ）．3．复数的分类对于复数a +b i ，当0b =时，它是实数；当0b ≠时，它是虚数；当0a =且0b ≠时，叫做纯虚数．0i 0,000,0()()()()b z a b b a b b a =⎧⎪=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数一般虚数虚数纯虚数 例如：2（实数），3i （纯虚数），2+3i （一般虚数）．例3 设m ∈R ，复数2(2i)3(1i)2(1i)z m m =+-+--．（1）若z 为实数，求m 的值；（2）若z 为纯虚数，求m 的值． 解析：化简得22(232)(32)i z m m m m =--+-+ （1）由题意得2320m m -+=，解得12m m ==或．（2）由题意得222320320m m m m ⎧--=⎪⎨-+≠⎪⎩，解得12m =-．答案：（1）12m m ==或，（2）12m =-4．复数的几何意义在平面直角坐标系中，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除原点外，虚轴上的点表示纯虚数．复数()i ,z a b a b =+∈R ←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 复平面内，连接OZ ，向量OZ 由点Z 唯一确定，因此，复数与复平面内的向量也是一一对应的．复数()i ,z a b a b =+∈R ←−−−→一一对应平面向量OZ 例如：复数2+3i 在复平面内对应的点和向量的坐标为（2,3）．例4实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：由复数和点的一一对应关系，可知点的坐标为（-2,1），位于第二象限． 答案：B5．复数的模向量OZ 的模（长度）叫做复数i z a b =+的模，记作||z ，22|||i |z a b a b =+=+． 例如：22|23i |2313+=+=．||z 的几何意义：复数z 的点到原点的距离．12||z z -的集合意义：1z ，2z 对应的两点之间的距离．性质：1212||||||z z z z =，1122||||||z z z z =练习题：二、复数的四则运算1．加法设1i z a b =+，2i z c d =+，则12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++． 例如：(24i)(5i)(25)(41)i =35i ++-+=-++-+． 2．减法设1i z a b =+，2i z c d =+，则12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-． 例如：(24i)(5i)(25)(41)i =73i +--+=++-+．是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为BC 对应的复数为（ ）47i + 13i + C ．4-解析：()BC OC OA AB =-+，对应的复数为答案：C3．乘法设1i z a b =+，2i z c d =+，则212i i i ()()i z z ac bc ad bd ac bd ad bc =+++=-++． 例如：2(24i)(5i)102i 20i 4i 1418i +⋅-+=-+-+=--．4．除法共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，通常记复数iz a b=+性质：||||z z=例如：23i+的共轭复数为23i-．设1iz a b=+，2iz c d=+，例如：24i(24i)(5i)622i311i(24i)(5i)5i(5i)(5i)2613++------+÷-+====-+-+--．结论：复数的四则运算可把i 看作是普通字母带入运算，如遇2i 则变为1-；除法运算时分子分母同乘以分母的共轭复数，基本思路就是把分母的复数变为实数．5．复数运算常用结论：2(1i)2i ±=±1i i =- 1i i 1i +=- 1i i 1i-=-+ 记12ω=-，则212ω=--，则有： 2ωω= 2||||1ωω== 210ωω++=练习题：８已知1i 1imn =-+，则i m n +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 解析：原式可化简为i 1i m n n +=++，所以11m n n =+⎧⎨=⎩，解得2m =，1n =，i 2i m n +=+．答案：C93(1i)-的虚部为（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2- 解析：32(1i)(1i)(1i)2i(1i)=22i -=--=---，虚部为2-． 答案：D 10若i2ia -+为实数，则a 的值为_______． 解析：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，则20a +=，2a =-． 答案：2-数学浪子整理制作，侵权必究。
人教版高中数学必修第二册7.1 复数的概念 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册7.1复数的概念同步精练【考点梳理】考点一复数的有关概念1.复数(1)定义：我们把形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.考点二复数的分类1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)实数(b＝0)，虚数(b≠0)纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系考点三复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.考点四复数的几何意义1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.考点五复数的模1.定义：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或|a＋b i|.3.公式：|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.考点六共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z的共轭复数用z表示，即若z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i.【题型归纳】题型一：复数的概念1．（2021·全国·高一课时练习）设全集U C=，实数集为R，纯虚数集为M，那么（）A ．M R U ⋃=B ．U UM R ⋃=ðC ．{}0M R ⋂=D ．U R M R ⋂=ð2．（2021·山西柳林·高一期中）关于复数的下列说法错误的是（）A ．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系B ．在复平面中，实轴上的点都表示实数C ．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数D ．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系3．（2021·浙江·高一单元测试）下列命题：①若z ＝a ＋bi ，则仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；②若2120z z +=，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3题型二：复数实部和虚部4．（2022·全国·高一）复数z 满足()2i 5z --=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-5．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足()12i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．2-B ．-2iC ．1D ．i6．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知i 为虚数单位，且复数|34i |12i z+=-，则复数z 的虚部是（）A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．2题型三：根据相等条件求参数7．（2021·全国·高一课时练习）复数i z x y =+（x ，y R ∈，i 为虚数单位），若()1i 23i x y +=--，则z =（）A ．2B ．5C ．3D ．108．（2020·天津红桥·高一期中）已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则 a b -等于（）A ．1B ．1C ．3D ．49．（2021·上海·高一期末）已知12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A ．若12||||z z =，则12z z =B ．若11z z =，则1z 为实数C ．若220z >，则2z 为纯虚数D ．若()()2212110z z -+-=，则121z z ==题型四：复数的分类问题10．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中，真命题是（）．A ．虚数所对应的点在虚轴上B ．“0a =”是“复数()i ,z a b a b =+∈R 是纯虚数”的充分非必要条件C ．若()0z a a =>，则z a=±D ．“12=z z ”是“12z z =”的必要非充分条件11．（2021·全国·高一课时练习）设m R ∈，则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2021·安徽·东至县第二中学高一期末）有以下四个命题：①若复数34i z =+，则25z =；②若复数()2i z m m =+∈R ，且2z z +=，则1m =；③若复数1i z =--，则z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--；④若复数2z ∈R ，则z 的实部与虚部至少有一个为0．其中所有真命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型五：复数的几何意义问题13．（2021·全国·高一课时练习）已知复数z 满足1-i-2z =1+i,则在复平面内,复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．（2021·全国·高一课时练习）已知()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（）A ．)22,4⎡⎣B ．[]2,4C ．()22,4D ．()2,415．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）已知i 为虚数单位，复数z 满足2020(2i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的模为15B ．复数z 的共轭复数为21i55--C ．复数z 的虚部为1i5D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限题型六：复数的模的问题（最值）16．（2022·全国·高一）设复数1z ，2z 满足122z z ==，122z z =，则12z z +的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．4217．（2021·全国·高一课时练习）若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（）A ．2B ．52C ．222+D ．324+18．（2021·广东·深圳市富源学校高一期中）若i 为虚数单位，复数z 满足1z ≤，则2i z -的最大值为（）A ．2B ．3C ．23D ．33【双基达标】一、单选题19．（2021·全国·高一课时练习）设集合{}A =虚数，{}B =纯虚数，{}C =复数，则A ，B ，C 间的关系为（）A ．A BC苘B ．B AC苘C ．B CA种D ．A CB苘20．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）若复数12z i =-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（）A ．1B ．-2C ．iD ．2i-21．（2022·全国·高一）已知复数z 满足3i z =+，且z 的共轭复数为z ，则z =（）A ．3B ．2C ．4D ．322．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（）A ．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B ．如果a +b i=c +d i ，那么a =c ，b =dC ．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应D ．复平面上，实轴上的点与实数一一对应23．（2021·全国·高一课时练习）已知复数i(,R)z a b a b =+∈，有下列四个命题：甲：||1z =乙：z 的虚部为12丙：复数z 对应的点位于第二象限丁：1z z +=，如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁24．（2021·重庆市育才中学高一期中）已知复数()()cos sin 1i k k k z R θθθ=++∈对应复平面内的动点为()1,2k Z k =，模为1的纯虚数3z 对应复平面内的点为3Z ，若313212Z Z Z Z =，则12z z -=（）A ．1B ．62C ．3D ．325．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）当x []12∈-，时，求复数()2i z x x =+-的模长的最小值是（）A ．2B ．2C ．10D ．10【高分突破】一、单选题26．（2021·福建尤溪·高一期中）已知,a b ∈R ，且1i 32i a a b -+=+，则b =（）A ．1B ．52C ．2D ．427．（2021·山西柳林·高一期中）设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，则21z z -的值为（）A ．1B ．2C ．2D ．无法确定28．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离.在复平面内，复数02i1ia z +=+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，其对应的点为0Z ，满足条件1z =的点Z 与0Z 之间的最大距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．429．（2021·安徽池州·高一期中）已知复数()()2342i =+-++z m m m 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()4,2--C ．()1,4-D ．()1,1-30．（2021·安徽宣城·高一期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式i cos i sin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，3i 4e π表示的复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、多选题31．（2021·山东邹城·高一期中）下列关于复数的命题中正确的是（）A ．若z 是虚数，则z 不是实数B ．若a ，b R ∈且a b >，则2i ia b +>+C ．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D ．复数()()()23122i z t t t t =-+++∈R 对应的点在实轴上方32．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）实数x ，y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，设z=x+y i ，则下列说法正确的是（）A ．z 在复平面内对应的点在第一象限B ．|z|=2C ．z 的虚部是iD ．z 的实部是133．（2021·山东莱西·高一期末）设复数()()3i 2i z m =+-+，i 为虚数单位，m ∈R ，则下列结论正确的为（）A ．当213m <<时，则复数z 在复平面上对应的点位于第四象限B ．若复数z 在复平面上对应的点位于直线210x y -+=上，则1m =C ．若复数z 是纯虚数，则23m =D ．在复平面上，复数1z -对应的点为Z '，O 为原点，若10OZ '=，则2m =34．（2021·广东白云·高一期末）已知复数()cos sin i 3z αα=+()α∈R （i 为虚数单位），下列说法正确的有（）A ．当π3α=-时，复平面内表示复数z 的点位于第二象限B ．当π2α=时，z 为纯虚数C ．z 最大值为3D ．z 的共轭复数为()cos sin i 3z αα=-+()α∈R 35．（2021·浙江·效实中学高一期中）已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈B ．若复数z 满足z R ∈，则z R∈C ．若复数2i1iz =+，则z 的值为2D ．若复数z 满足i 3i z z +=-，则||z 的最小值为136．（2021·浙江宁波·高一期末）已知复数122i z =-（i 为虚数单位），复数2z 满足2i 1z -=，则下列结论正确的是（）．A ．1z 在复平面内所对的点在第四象限B ．21z z -在复平面内对应的点在第一象限C ．12z z -的最大值为131+D ．12z z +的最小值为131-三、填空题37．（2021·湖北·高一期末）已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________．38．（2021·全国·高一课时练习）若复数cos 1isin z θθ=++，则z 的最大值为______．39．（2021·全国·高一课时练习）设复数z=(a 2-1)+(a 2-3a+2)i ，若z 2<0，则实数a 的值为____.40．（2021·上海中学高一期末）已知sin i 2cos ((0,2))2sin i cos z αααπαα+=∈+，则z 的取值范围是__________．四、解答题41．（2021·上海·高一单元测试）实数m 分别为何值时，复数z 2233m m m +-=++（m 2﹣3m ﹣18）i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．42．（2021·全国·高一单元测试）已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．43．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()()2690x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数满足20z a bi z ---=，求z 的最小值．44．（2021·全国·高一单元测试）如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，BC 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.【答案详解】1．D 【详解】由题意，全集U C =，实数集为R ，纯虚数集为M ，可得{}{|,,,0}0U M z z a bi a b R a ==+∈≠⋃ð，所以U R M R ⋂=ð.故选：D.2．C 【详解】复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系,故A 正确；在复平面中，实轴上的点都表示实数，但是虚轴上的点是除了坐标原点外，都表示纯虚数，故B 正确，C 错误；复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系，故D 正确..故选：C.3．A利用特列法可判断①②③都不正确.【详解】在①中0,a b i ==时，z 不为纯虚数，故①错误；在②中12,1z i z ==时，2120z z +=，但120z z ≠≠，故②错误；在③中，0a =时，00i ⨯=不是纯虚数，故③也是错误的.故选：A.4．A 【详解】因为()()()52i 52i 2i 2i 2i z -+===-+-----+，因此，复数z 的虚部为1.故选：A.5．A 【解析】【详解】解：因为()12i 34i z +=-，()2234i 345-=+-=，所以()12i 5z +=，所以()()()()()22512i 512i 512i 12i 12i 12i 12i z --====-++--所以复数z 的虚部为2-；故选：A 6．D 【解析】【分析】首先化简求得z ，由此求得z 的虚部.【详解】|34i |512i 12i z z +=-⇒=-，()()()512i 12i 12i 12i z +==+-+，所以z 的虚部是2.故选：D 7．D 【解析】【分析】根据复数相等求出,x y ，即可得出所求.【详解】()1i 23i x y +=--，123y x =-⎧∴⎨=-⎩，解得31x y =-⎧⎨=⎩，3i z ∴=-+，()23110z ∴=-+=.故选：D.8．A 【详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-，1,2,1a b a b ∴==∴-=-.故选：A .9．B 【详解】A ：121,z z i ==时，12||||z z =，显然12z z ≠，错误；B ：11z z =则虚部为0，即1z 为实数，正确；C ：2z 为非零实数时，220z >也成立，错误；D ：1z i =，2z i =-时，()()221211220z z i i -+-=-+=，错误.10．D【详解】复平面上，除实轴上的点表示实数外，其他的点都表示虚数，A 错；i(,R)z a b a b =+∈表示纯虚数的条件是0a =且0b ≠，因此B 错；i z a =时，也有z a =，C 错；12z z =时有12=z z ，但12z z =-时也有12=z z ，D 正确．故选：D ．11．C【详解】()()()2i 1i =22i z m m m =++-++，复数()()2i 1i z m =++为纯虚数，则20m -=，解得：2m =，所以则“2m =”是“复数()()2i 1i z m =++为纯虚数”的充要条件故选：C12．C【详解】因为22345z =+=，所以①是假命题；因为2i z m =+，所以2i z m =-，所以由2z z +=可得1m =，故②为真命题；易知命题③为真命题；设i z a b =+，则由2222i z a b ab =-+∈R ，可得0ab =，所以z 的实部与虚部至少有一个为0，故④为真命题．综上，真命题的个数为3，故选：C ．13．D【解析】【分析】利用复数的除法运算，可得z=2-i ，则z 的对应点为(2,-1)，即得解【详解】∵1-i -2z =1+i,∴z-2=21-i (1-i)1i (1i)(1-i)=++=-i,∴z=2-i,∴z 的对应点为(2,-1)14．A【解析】【分析】根据()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，求出m 的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：因为()()()31i z m m m R =++-∈在复平面内对应的点在第四象限，所以3010m m +>⎧⎨-<⎩，解得31m -<<，()()()2222312410218z m m m m m =++-=++=++，因为31m -<<，所以()[)210,2m +∈，则())221822,4m ⎡++∈⎣，所以复数z 的模的取值范围是)22,4⎡⎣.故选：A.15．D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z ，再逐项判断.【详解】因为()50520204(2i)i i 1z -===，所以()()()212i 2i 2i 1i 55i 2z +--=++==， A.复数z 的模为22215555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；B.复数z 的共轭复数为21i 55z =-，故错误；C.复数z 的虚部为15，故错误；D.复数z 在复平面内对应的点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以在第一象限，故正确；故选：D16．B【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，由复数的运算建立方程组，求解得||2a ≤，从而可得选项.【详解】解：设1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d 都是实数，所以222a b +=①，222c d +=②.又122z z =，所以(i)(i)()i 2a b c d ac bd ad bc ++=-++=，所以2ac bd -=③，0ad bc +=④.由①+②-③×2，得22()()0a c b d -++=，所以a c =，0b d +=.所以2i z a b =-，由①知||2a ≤，故122||22z z a +=≤.故选：B.17．D【解析】【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案.【详解】设z ＝x +y i(x ，y ∈R )，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，而|CO |＝22，|CA |＝2，易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时，且最大值为|PA |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝324+，故选：D ．18．B【解析】【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据条件可得221x y +≤，2i z -表示点(),x y 与点()0,2间的距离，转化为求圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值，由圆的性质可得答案.【详解】设()i ,z x y x y R =+∈，则由1z ≤，可得221x y +≤所以点(),x y 在圆221x y +=上及其内部.()()222i 2i 2z x y x y -=+-=+-表示点(),x y 与点()0,2间的距离.即求圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值.圆心与点()0,2间的距离为2所以圆221x y +=上及其内部的点与点()0,2间的距离的最大值为213+=故选：B19．B【解析】【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．因此只有B 正确．故选：B ．20．B【解析】【分析】结合复数概念直接判断即可.【详解】12z i =-的虚部是2-.故选：B 21．B【解析】【分析】根据共轭复数的概念可求出z ，从而根据复数模的公式可求出答案.【详解】因为3i z =+，所以3i z =-，所以()()22312z =+-=．故选：B.22．D【解析】【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答.【详解】A ：()()i i 2i a b a b b +--=，当0b =时,2i b 不是纯虚数，故A 错误；B ：如果a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a 、b 、c 、d ∈R 时，a ＝c ，b ＝d ，故B 错误；C ：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C 错误；D ：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D 正确.故选：D.23．D【解析】【分析】先等价转化各个命题，再逐一验证哪一个命题为假命题.【详解】1z =等价于：221a b +=，i z a b =+的虚部为12等价于：12b =，复数z 对应的点位于第二象限等价于：00a b <⎧⎨>⎩，1z z +=等价于：12a =，显然命题丙与丁矛盾，两者一定有一个假命题；若丙为假命题，则12a b ==，但不符合221a b +=（舍）；若丁为假命题，则由221012a b a b ⎧⎪+=⎪<⎨⎪⎪=⎩，得：32a =-（符合题意）；终上所述，丁为假命题.故选：D.24．B【解析】【分析】根据已知条件结合复数的几何意义确定12,z z 所对应点的轨迹方程，然后确定3z ，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.【详解】设cos sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩（R θ∈），则()2211x y +-=，即12,z z 所对应点在以()0,1为圆心，1为半径的圆上，设该圆与y 轴交点()0,2A ，因为模为1的纯虚数3z 对应复平面内的点为3Z ，即3i z =±，若313212Z Z Z Z =，则1Z 为23,Z Z 的中点，故3i z =对应的点()0,1不合题意，舍去，因此3i z =-，由圆的切割线定理可得132333Z Z Z O A Z Z Z ⋅=⋅，设3312,2Z m Z Z Z m ==，则132m m ⨯=⋅，则62=m ，则1262z z -=.故选：B.25．B【解析】【分析】根据复数的几何意义求出复数z 的模，结合二次函数的性质即可求出模的最小值.【详解】由题意得，(2)iz x x =+-所以222(2)2(1)2z x x x =+-=-+，令22(1)2y x =-+，1[]2x ∈-，，当1x =时，函数y 有最小值，且min 2y =，所以min 2z =.故选：B26．C【解析】【分析】利用复数相等列方程组，由此求得b .【详解】由于1i 32i a a b -+=+，所以13422a a a b b -==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩.故选：C27．A【解析】利用复数和模的定义，即可求解【详解】设1z n mi =+，且0m ≠，22222221()n mi n m z n mi n mi n m i n mi n m n m m n -=++=++=++-++++，2z 为实数，则22221(1)0m m m m n m n -=-=++，得221+=m n 则2222122222()n m n m n m i n mi i z n m m n m z n m n ++----==+++-+，则21z z -的值为()22222221n m n m n m +=+=+故选：A28．C【解析】【分析】由复数的运算化简0z ，由0z 为纯虚数可求得a 的值，从而可求得0z ，0Z ，设(),Z x y 且221x y +=，11y -≤≤，由两点间的距离公式即可求解点Z 与0Z 之间的最大距离.【详解】由()()()()()02i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2a a a a z +-++-+===++-，因为复数02i 1ia z +=+（i 是虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，所以20a +=，解得2a =-，所以02i z =，则()00,2Z ，由于1z =，故设(),Z x y 且221x y +=，11y -≤≤，所以()2222024454543ZZ x y x y y y =+-=++-=-≤+=，故点Z 与0Z 之间的最大距离为3.故选：C.29．B【解析】【分析】结合复数在平面内所对应的点的特征，得到不等式组234020m m m ⎧+-<⎨+<⎩，解之即可求出结果.因为()()2342i =+-++z m m m 在复平面内对应的点在第三象限，所以24134042220m m m m m m ⎧-<<+-<⎧⇒⇒-<<-⎨⎨<-+<⎩⎩，则实数m 的取值范围是()4,2--，故选：B.30．B【解析】【分析】根据欧拉公式代入求解即可.【详解】解：根据欧拉公式i e cos isin x x x =+，得3πi 43π3π22e cos isin i 4422=+=-+，即它在复平面内对应的点为22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故位于第二象限.故选：B.31．AD【解析】【分析】由虚数的概念可判断ABC ，由复数的几何意义可判断D.【详解】对于A ，根据虚数的定义，A 正确；对于B ，虚数不能比较大小，B 错误；对于C ，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C 错误；对于D ，对应点的坐标为()231,22t t t -++，因为()2222110t t t ++=++>，所以点在x 轴上方，D 正确．故选：AD ．32．ABD【解析】【分析】根据题意先求出z ，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.【详解】实数x ，y 满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y )i =0，∴200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，，解得x=y=1，∴z=x+y i =1+i.对于A ，z 在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A 正确.对于B ，|z|=112+=，故B 正确.对于C ，z 的虚部是1，故C 错误.对于D ，z 的实部是1，故D 正确.故选：ABD.33．AC【解析】【分析】由()()3i 2i z m =+-+，得(32)(1)i z m m =-+-，然后逐个分析判断即可【详解】由()()3i 2i z m =+-+，得(32)(1)i z m m =-+-，对于A ，当213m <<时，0321m <-<，1103m -<-<，所以复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，所以A 正确，对于B ，若复数z 在复平面上对应的点位于直线210x y -+=上，则322(1)10m m ---+=，解得1m =-，所以B 错误，对于C ，若复数z 是纯虚数，则320m -=且10m -≠，解得23m =，所以C 正确，对于D ，由(32)(1)i z m m =-+-，得1(33)(1)i z m m -=-+-，则(33,1)Z m m '--，由10OZ '=，得22(33)(1)10m m -+-=，2(1)1m -=，得2m =或0m =，所以D 错误，故选：AC34．BC【解析】【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A ，当π3α=-时，ππ33313cos sin i i 22z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⎣⎦-⎭=+，复平面内表示复数z 的点位于第四象限，故A 错误；对于B ，当π2α=时，ππcos sin i 3i 223z ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+=，为纯虚数，故B 正确；对于C ，222cos 3sin 12sin z ααα=+=+，最大值为3，故C 正确；对于D ，z 的共轭复数为()cos sin i 3z αα=-，故D 错误.故选：BC.35．BD【解析】【分析】A 举反例判断；B 根据复数代数形式证明判断；C 计算复数模判断；D 根据Z 点轨迹方程判断．【详解】解：对于A ，当i z =时，21z R =-∈，但i z =∉R ，所以A 错；对于B ，设i z a b =+，(,)a R b R ∈∈，因为z R ∈，所以0b =，于是i z a b a =-=∈R ，所以B 对；对于C ，因为2i 1iz =+，所以|2i |2||22|1i |2z ===≠+，所以C 错；对于D ，设i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，由|i ||3i |z z +=-，所以()()222213x y x y ++=+-，整理得1y =，即|i ||3i |z z +=-的轨迹是直线1y =，所以||z 的最小值为点(0,0)到直线1y =的距离，即min ||1z =，所以D 对．故选：BD ．36．AC【解析】【分析】复数122z =-i 在复平面内对应的点为(2,2)P -，故选项A 正确；复数2z 在复平面内对应的点Q 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆，故21z z -在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B 错误；12||z z -的最大值为||1131PC +=+，故选项C 正确；12||z z +的最小值为||151P C '-=-，故选项D 错误．【详解】复数122z =-i 在复平面内对应的点为P ，则(2,2)P -，所以点P 在第四象限，故选项A 正确；复数2z 满足2|z -i|=1，则2z 在复平面内对应的点Q 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆，故21z z -在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B 错误；12||z z -表示点P ，Q 之间的距离，所以12||z z -的最大值为||1131PC +=+，故选项C 正确；12||z z +表示点Q 与点(2,2)P '-之间的距离，所以12||z z +的最小值为||151P C '-=-，故选项故选：AC37．1-或6【解析】【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +，若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =．故答案为：1-或6.38．2【解析】【分析】根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】()22cos 1sin 22cos z θθθ=++=+，当cos 1θ=时，max 2z =，故答案为：239．1-【解析】【分析】由20z <知z 一定为纯虚数,可得2210,320a a a ⎧-=⎨-+≠⎩，即可得到答案；【详解】由20z <知z 一定为纯虚数,所以得2210,320a a a ⎧-=⎨-+≠⎩解得 1.a =-故答案为：1-40．2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．由题意2222222sin i 2cos sin i 2cos sin 2cos 2sin 311sin 1sin 2sin i cos 2sin icos 2sin cos z ααααααααααααααα+++-=====-+++++，20sin 1α≤≤，233321sin α≤≤+，所以222z ≤≤．故答案为：2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．41．（1）m ＝6；（2）m ≠﹣3且m ≠6；（3）m ＝1或m 32=-．【解析】【分析】（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．【详解】解：（1）若复数是实数，则2318030m m m ⎧--=⎨+≠⎩，即363m m m =-=⎧⎨≠-⎩或，得m ＝6；（2）如复数是虚数，则2318030m m m ⎧--≠⎨+≠⎩，即363m m m ≠-≠⎧⎨≠-⎩且，则m ≠﹣3且m ≠6；（3）如复数是纯虚数，则22230303180m m m m m ⎧+-=⎪+≠⎨⎪--≠⎩，则312336m m m m m ⎧==-⎪⎪≠-⎨⎪≠-≠⎪⎩或且，即m ＝1或m 32=-．42．（1）1262z =；（2）13a >【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解.【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴1262z =；（2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-，又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >．【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．43．（1）3a b ==；（2）2．【解析】（1）复数方程有实根，方程化简为0(a bi a +=、)b R ∈，利用复数相等，即00a b =⎧⎨=⎩解方程组即可．（2）先把a 、b 代入方程，同时设复数z x yi =+，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z ，得到||z ．【详解】解：（1）b 是方程2(6)90()x i x ai a R -+++=∈的实根，2(69)()0b b a b i ∴-++-=，∴2690b b a b ⎧-+=⎨=⎩解得3a b ==．（2）设(,)z x yi x y R =+∈，由|33|2||z i z --=，得2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=，z ∴点的轨迹是以1(1,1)O -为圆心，22为半径的圆，如图所示，当z 点在1OO 的连线上时，||z 有最大值或最小值，1||2OO =，半径22r =，∴当1z i =-时．||z 有最小值且||2min z =．【点睛】本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．44．（1）3﹣4i ；（2）16.解：（1）依题点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，得A (-1，0)，AB =(2，2)，可得B (1，2).又BC 对应的复数为4-4i ，得BC =(4,-4)，可得C (5,-2).设D 点对应的复数为x +yi ，x ，y ∈R .得CD =(x -5，y +2)，BA =(-2，-2).∵ABCD 为平行四边形，∴BA =CD ，解得x =3，y =-4，故D 点对应的复数为3-4i .（2）AB =(2，2)，BC =(4,-4)，可得：0AB BC ⋅=，∴AB BC ⊥22AB =，42BC =故平行四边形ABCD 的面积为224216⋅=。
复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)
复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。
复数的几何意义练习题
复数的几何意义练习题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--复数的几何意义 练习题班级 姓名一、填空题1．如果复数(,)a bi a b R +∈在复平面内的对应点在第二象限，则( )..0,0A a b >< ..0,0B a b >> ..0,0C a b << ..0,0D a b <>2．(2010·北京文，2)在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________.3．当23<m <1时，复数()()321z m m i =-+-在复平面上对应的点Z 位于第________象限.4．复数()2sin100cos100z i =-︒-︒在复平面内所对应的点Z 位于第________象限.5．若,a b R ∈,则复数()()2261045a a b b i -++-+-对应的点在第________象限.6．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，则以下结论中正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数7．下列命题中假命题是( )A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|8．已知复数()()121z x x i =-+-的模小于10，则实数x 的取值范围是________.9．已知复数()12,,1z a bi a b R z ai =+∈=-+，若|z 1|<|z 2|，则实数b 适合的条件是_____.10．复平面内向量OA →表示的复数为1i +，将OA → 向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为________.11．如果复数()()()221483,z m m m m i m R =+-+-+∈对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为__________．12．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z = ________.13．已知()()()218156,z i m i m i m R =+-++-∈，若复数z 对应点位于复平面上的第二象限，则m 的取值范围是________．14．若,1,0,t R t t ∈≠-≠复数11t t z i t t+=++的模的取值范围是________．二、解答题15．实数m 取什么值时，复平面内表示复数()224z m m i =+-的点 (1)位于虚轴上； (2)位于一、三象限； (3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．16．已知()222121,z x x i z x a i =++=+，对于任意的x R ∈，均有|z 1|>|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．17．已知12cos sin 2,3sin cos ,z i z i θθθθ=+=+当θ为何值时(1)z 1＝z 2； (2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2.18．已知复数13z i =-及21322z i =-+， (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形。
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一．选择题（共10小题）
1．（2015•遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i
2．（2015•安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）
A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i
3．（2015•广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（2015•泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2
5．（2015•潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）
A．B．C．±1 D．
6．（2015•浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（）
A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i
7．（2015•新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（2015•南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i
9．（2015•宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（）
A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i
10．（2015•上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．填空题（共5小题）
11．（2015•岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春•常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为．
13．（2015春•肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个．
14．（2015•泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=．
15．（2014•奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量
对应的复数是．
三．解答题（共8小题）
17．（2015•赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i．
（1）求点C，D对应的复数；
（2）求平行四边形ABCD的面积．
18．（2015春•蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
19．（2015春•海南校级期末）已知m∈R，复数z=+（m2+2m﹣3）i，当m为何值时，
（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？
20．（2015春•澄城县校级期中）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x、y的值．
21．已知（4x+2y﹣1）+（x+y+3）i=﹣3+4i，其中x，y∈R，若z=x+yi，求|z|．
22．（2015春•临沭县期中）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、﹣2+6i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z．
23．（2014春•砀山县校级期中）在复平面上，设点A、B、C，对应的复数分别为i，1，4+2i．过A、B、C作平行四边形ABCD．求点D的坐标及此平行四边形的对角线BD的长．。