新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义

7．1.2 复数的几何意义考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数数学运算问题导学预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →.■名师点拨(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．■名师点拨如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( )(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( )(4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z －＝________． 答案：－2－5i复数与复平面内的点已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12.[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解：(1)若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2， 所以z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD的顶点D 所对应的复数．【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝⎛⎭⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即点D的坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i.法二：由已知得OA →＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →＝(4，2)， 所以BA →＝(－1，1)，BC →＝(3，2)，所以BD →＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．1．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i解析：选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.2．在复平面内，O 为原点，向量OA →表示的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →表示的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B.由题意得A (－1，2)，则B (－2，1)，所以向量OB →表示的复数为－2＋i.复数的模(1)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．a <－1或a >1 C ．a >1D ．a >0(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆 【解析】 (1)由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5(a ∈R )，所以－1<a <1.(2)由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 【答案】 (1)A (2)A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．1．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2|D ．|z 1|<|z 2|解析：选D.|z 1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z 2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.因为34<41，所以|z 1|<|z 2|.2．已知复数z ＝3＋a i(a ∈R )，且|z |<4，求实数a 的取值范围． 解：法一：因为z ＝3＋a i(a ∈R )，所以|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈(－7，7)．法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z (3，a )的集合， 由图可知－7<a <7.1．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选D.由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量→对应的复数为－1＋2i.OB3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．解析：依题意，可知z＝a＋i(a∈R)，则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈(1，5)，即|z|∈(1，5)．答案：(1，5)4．若复数z1＝2＋b i与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.答案：2 4[A基础达标]1．已知复数z＝a＋a2i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是()A. 5B.10C．5 D．25解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为5，则复数z＝()A．3－5i B.5－3iC．2－5i D.5－2i解析：选D.由题意可设复数z＝5＋y i(y∈R，y<0)，则（5）2＋y2＝3，所以y＝－2，复数z＝5－2i.故选D.4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝()A ．5 B.13 C ．2 2D ．2解析：选A.由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选A.5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z ＝12＋32i 对应的点为Z ，将点Z 绕原点逆时针旋转90°后得到点Z ′，则Z ′对应的复数是( )A ．－12＋32iB.12－32i C ．－32＋12i D.32－12i 解析：选C.|OZ |＝|z |＝1，故Z 点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z ′，所以Z ′(cos 150°，sin 150°)＝⎝⎛⎭⎫－32，12，则Z ′对应的复数是－32＋12i. 6．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是____________． 解析：|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 7．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝____________． 解析：依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.答案：1＋2i 或－1－2i8．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________．解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：59．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限；(3)位于直线y ＝x 上．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，解得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎪⎨⎪⎧m －3<0，m 2－5m －14<0.所以m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3， 所以m 2－6m －11＝0， 所以m ＝3±25，此时复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．10．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．解：(1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知，x 2＝－2，y 2＝－1， 故z 2＝－2－i.[B 能力提升]11．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4<0，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.12．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.13．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．解析：因为z 1＝2－3i 在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z 2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i14．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时， (1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋7π6或2k π＋11π6或k π＋π2，(k ∈Z )，所以θ＝2k π＋7π6(k ∈Z )．(2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2 θ<2，即3sin 2 θ＋cos 2 θ<2， 所以sin 2θ<12，所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．[C 拓展探究]15．设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.解：设z＝x＋y i(x，y∈R)，(1)|z|＝2，所以x2＋y2＝2，所以点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)|z|≤3，所以x2＋y2≤9.所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．。