新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义
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7．1.2 复数的几何意义
考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念
数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数
数学运算
问题导学
预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？
2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应
复平面内的点Z (a ，b )．
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →.
■名师点拨
(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．
(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．
3．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →
的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．
■名师点拨
如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数
(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －
＝a －b i ． ■名师点拨
复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －
＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( )
(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( )
(4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
答案：D
复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C
复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z －
＝________． 答案：－2－5i
复数与复平面内的点
已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满
足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．
(1)在实轴上； (2)在第三象限．
【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝1
2
.
(2)若z 对应的点在第三象限，则有
⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，