高一数学复数的运算练习题
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
第五章复数练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册 附答案
复数1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3iD ．4＋3i2．如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i 3．如果复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i4．“复数z 是实数”的充分不必要条件为( ) A ．|z |＝z B ．z ＝z C ．z 2是实数D ．z ＋z 是实数5．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，i 为虚数单位，那么BC →对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t ＝________. 7．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.8．已知i 是虚数单位，若a ＋3ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，则ab 的值为________． 9．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z 1·z 2是实数，求z 2.10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． 11．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i(a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( ) A ．10 B ．2 3 C ．13D ．512．(多选)设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<013．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.14．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m ＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |＝________.15．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .答案1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3iD ．4＋3iA [由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.] 2．如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2iC [由图可得：z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ，∴z 1·z 2＝()－1＋2i ·i ＝－2－i.] 3．如果复数z ＝2－1＋i，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋iC [因为z ＝2－1＋i＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C ．]4．“复数z 是实数”的充分不必要条件为( ) A ．|z |＝z B ．z ＝z C ．z 2是实数D ．z ＋z 是实数A [由|z |＝z 可知z 必为实数，但由z 为实数不一定得出|z |＝z ，如z ＝－2，此时|z |≠z ，故“|z |＝z ”是“z 为实数”的充分不必要条件．]5．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，i 为虚数单位，那么BC →对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6iC [因为OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，所以BC →对应的复数为3＋2i －[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.]6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t ＝________. 34[已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，则z 1·z －＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，∵z 1·z －是实数，∴4t －3＝0，即t ＝34.]7．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.14 [z ＝－14(3－i)，|z |＝12，∴z ·z ＝|z |2＝14.]8．已知i 是虚数单位，若a ＋3ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，则ab 的值为________． －3 [∵a ＋3ii ＝b ＋i ，∴a ＋3i ＝(b ＋i)i ，则a ＋3i ＝－1＋b i ，可得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3.]9．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足z 1·z 2是实数，求z 2.[解] 由z 1＝2＋i ，得z 1＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上， 可设z 2＝1＋b i(b ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)·(1＋b i)＝2＋b ＋(2b －1)i. 又z 1·z 2为实数，所以2b －1＝0，b ＝12. 所以z 2＝1＋12i.10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． [解] z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4. 11．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( )A ．10B ．2 3C ．13D ．5D [∵z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2的实部为－3，∴1－a2＝－3，解得a ＝7.∴z ＝－3－4i ，则|z |＝5.故选D ．]12．(多选)设z 是复数，则下列命题中的真命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 ABD [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎨⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎨⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．]13．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.－2＋3i [∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，∴z 2＝－2＋3i.] 14．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |＝________.25[由纯虚数的定义知⎩⎨⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，解得m ＝4，所以z ＝4＋n i.因为z 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，所以4＋n －2＝0，所以n ＝－2. 所以z ＝4－2i ，所以|z |＝42＋(－2)2＝2 5.]15．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC ．求顶点C 所对应的复数z .[解] 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋(－4)2，解得⎩⎨⎧ x ＝－5，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z ＝－5.。
高一数学(必修二)第五章 复数 单元测试卷及答案
高一数学（必修二）第五章 复数 单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 3i z z -=+，则复数z 的实部为( )A.1B.3C.-1D.-32.在复平面内，复数11i 5z =，24i 25z =-，12z z z =+，则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知复数z 满足4i 63i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当12m <<时，复数()()2i 4i m +-+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知复数z 满足()()()293i z a a a =-++∈R ，若z 为纯虚数，则a =( )A.-3B.3±C.3D.06.若,a b ∈R ，i 是虚数单位，i 20212i a b +=-，则2i a b +等于( )A.20212i +B.20214i +C.22021i +D.42021i -7.已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A.1B.3C.1或3D.08.已知复数z 满足，则z =( )A.3i --B.3i -+C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
）9.若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则( ) A.||5z =B.复数z 的实部是2C.复数z 的虚部是1D.复数在复平面内对应的点位于第一象限10.设m ∈R ，复数，则z 在复平面内对应的点可能在( ) ()()21i 4i 3z m m =+-++(3i)10z -=3i -3i +z 2352(1)i z m m m =-++-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.对于复数(,)z a bi a b R =+∈,下列结论错误的是( )A.若,则a bi +为纯虚数B.若32a bi i -=+,则 3,2a b ==C.若0b =,则a bi +为实数D.纯虚数z 的共轭复数是z - 12.复数z 满足23i 3i 232iz -⋅-=+,则下列说法正确的是( ) A.z 的实部为3 B.z 的虚部为2 C.32i z =-+ D.13z =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=______.14.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________.15.复数1i -的虚部的平方是_________________. 16.已知3i 1ia ++(i 为虚数单位，∈R )为纯虚数，则a =____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知复数(3)(3)i z m m m =-+-，其中i 为虚数单位.若z 满足下列条件，求实数m 的值：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上.18. （12分）已知复数13i 22z =-+，i 为虚数单位. （1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值. 19. （12分）已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；20. （12分）复数名12334i,0,(26)i z z z c c =+==+-在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC∠是钝角，求实数c 的取值范围.21. （12分）已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-⋂=，求实数a 的值.22. （12分）设实部为正数的复数z ，满足||10z =，且复数(12i)z +在复平面内对应的点在第0a =一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若i ()1im z m -+∈+R 为纯虚数，求实数m 的值.参考答案及解析1.答案：A解析：解法一 设复数i z x y =+，x ，y ∈R ，因为i 3i z z -=+，所以i (i)i 3i x y x y +-+=+，即()i 3i x y y x ++-=+，根据复数相等的充要条件，可得3,1,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩故复数z 的实部为1，选A.解法二 因为i 3i z z -=+，所以3i (3i)(1i)12i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，复数z 的实部为1，故选A. 2.答案：B 解析：因为1214i i 22i 55z z z =+=+-=-+，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限，故选：B.3.答案：D解析：依题意得，6i z =-，对应复平面的点是(6,1)-，在第四象限. 故选：D.4.答案：B解析：()()2i 4i (24)(1)i z m m m +--+-=+=，若12m <<，则240m -<，10m ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.解析：因为()()()293i z a a a =-++∈R 为纯虚数，所以290a -=且30a +≠，所以3a =. 故选：C.6.答案：D解析：因为i 20212i a b +=-，所以2a =，2021b -=，即2a =，2021b =-，所以2i 42021i a b +=-.故选：D.7.答案：B解析：因为()()21i 4i 3z m m =+-++为纯虚数，故()224i 3m m m z m -++-=，则224300m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得3m =. 故选：B.8.答案：D 解析：1010(3i)3i 3i (3i)(3i)z +===+--+. 故选：D.9.答案：ABD解析：(1i)3i z +=+，3i (3i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++--∴====-++-，||5z ∴=A 正确；复数z 的实部是2，故选项B 正确；复数z 的虚部是-1，故选项C 错误；复数2i z =+在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选项D 正确.故选ABD.10.答案：ABD解析：由题意得，复数z 在复平面内对应的点为()2352,1m m m -+-. 当10m ->，即1m <时，二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--的取值有正有负，故z 在复平面内对应的点可以在第一、二象限.当10m -<，即1m >时，二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->，故z 在复平面内对应的点可以在第四象限.故z 在复平面内对应的点一定不在第三象限.故选ABD.解析：解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB.12.答案：BD 解析：由23i 3i 232iz -⋅-=+得,(23i)(32i)13i 13i (23i)i(23i)32i 23i 23i (23i)(23i)z ++⋅+====+=-+---+ 所以z 的实部为-3,虚部为2,,13z =,故选BD.13.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.14.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.15.答案：1解析：复数1i -的虚部为-1，则其平方为1. 故答案为：1.16.答案：-3 解析：()()()()()()3i 1i 33i 33i 3i 1i 1i 1i 222a a a a a a +⋅-++--++===+++⋅- 因为复数为纯虚数，所以302a +=，3a =-. 故答案为：-3.17.答案：（1）（2）0m =（3）1m =或3m = 32i z =--3m =解析：（1）z 为实数，30m ∴-=，解得：3m =；（2）z 为纯虚数，(3)0030m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上， ∴()331m m m m -=-⇒=或3m =.18、（1）答案：31z = 解析：复数13i 22z =-+(i 为虚数单位)， 222113313()2()i (i)i 222222z ∴=-+⨯-⨯+=--， 322131313i)(i)i 12222(44z z z ∴=---+==-=⋅， （2）答案：1解析：202022013673911()111z z z z z z z z++++--⋅==-- 111z z-==- 19.答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得1 2212m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠≠⎩或且， 12m ∴=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数； 20.答案：49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且 解析：在复平面内三点坐标为(3,4),(0,0),(,26)A B C c c -， 由BAC ∠为钝角得cos 0BAC ∠<，且A ，B ，C 不共线.(3,4),(3,210),0AB AC c c AB AC =--=--⋅<，且不共线，得c 的取值范围是49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且. 21.答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=∈R ，所以22313,560,a a a a ⎧--=⎨--=⎩即 所以1a =-.22.答案：（1）（2）5m =-解析：（1）设，a ，b ∈R ，0a >， 由题意知，2210a b +=.①(12i)(12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=++=-++， 得22a b a b -=+.②①②联立，解得3a =，1b =-， 得3i z =-.（2）， 所以1302m -+=且， 解得5m =-. 4 1,6 1,a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或3i z =-i z a b =+i (i)(1i)113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭1102m +-≠。
复数的四则运算 同步提升训练--高一下学期数学 人教A版(2019)必修第二册
7.2 复数的四则运算同步提升训练一．选择题1．i为虚数单位，已知复数a2﹣1+（a﹣1）i是纯虚数，则a等于（）A．±1B．1C．﹣1D．02．已知复数z1＝1﹣i，z1•z2＝1+i，则复数z2等于（）A．1B．2i C．i D．23．设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+…+2021i2020的值为（）A．1011﹣1010i B．1010﹣1010iC．1010﹣1012i D．﹣1011﹣1010i4．对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（）A．a2＝|a|2B．a+≠0C．a2≥0D．|a•b|＝|a|•|b| 5．已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，下列说法正确的是（）A．如果z1+z2∈R，则z1，z2互为共轭复数B．如果复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1•z2＝0C．如果z2＝，则|z|＝1D．|z1z2|＝|z1||z2|6．若复数z满足（z+1）2n+（z﹣1）2n＝0（n∈N*），则z必为（）A．实数B．纯虚数C．0D．任意复数7．已知复数z，ω，满足z2＝ω＝，且复数z在复平面内位于第一象限，则|＝（）A．B．C．D．8．设m∈R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）A．B．（﹣∞，0]∪{1}C．（﹣∞，0]∪{2}D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）二．多选题9.．已知复数z1＝+（a2﹣2）i，z2＝1﹣ai（a∈R），若z1+为实数，则（）A．a＝1B．C．为纯虚数D．对应的点位于第二象限10．已知复数z＝+i（i为虚数单位），z0＝，则下列结论中正确的是（）A．z0的虚部为B．z0在复平面内对应的点位于第四象限C．|z0|＝1D．若，则|z1|的最大值为11．已知方程x2+2（1+i）x+（a﹣b）i+2ab＝0（a，b∈R），则下列说法正确的是（）A．若方程有一根为0，则a＝0且b＝0B．方程可能有两个实数根C．时，方程可能有纯虚数根D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥212．下列命题中正确的是（）A．若，则B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0C．若复数z，则|z|2＝z2D．若复数z满足|z﹣1|＝2，则|z+i|的最大值为三．填空题13．已知z为虚数，且为实数，则|z|＝．14．已知关于x的实系数方程x2﹣2ax+a2﹣4a+4＝0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|＝3，则实数a的值为．15．在复平面内，三点A，B，C分别对应复数z A，z B，z C，若，则△ABC 的三边长之比为．16．已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、z k、w1、w2，满足﹣＝，且|w j﹣z a|∈{1，3}（其中j＝1、2；a＝0、1、2、…、k），则k的最大值为．四．解答题17．已知复数z＝1+i，且＝1﹣i，求实数a，b的值．18．已知复数，z2＝5m+3mi（m∈R）．（1）若z＝z1﹣z2为纯虚数，求实数m的值；（2）当m＝1时，若，求．19．已知z1，z2∈C．求证：（1）|z1z2|＝|z1||z2|；（2）．20．已知复数Z n＝a n+b n i（a n、b n∈R），满足Z1＝1，Z n+1＝+1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，表示Z n的共轭复数（1）求|Z2|的值；（2）求Z100．21．已知a∈R，b∈R，方程x2+ax+b＝0的一个根为1﹣i，复数z1＝a+bi，满足|z2|＝4．（1）求复数；（2）若z2＞0，求复数z2．22．设复数z＝a+bi（其中a、b∈R），z1＝z+ki，z2＝•ki（其中k∈R）．（1）设a＝b＝，若|z1|＝|z2|，求出实数k的值；（2）若复数z满足条件：存在实数k，使得z1与z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数z的模的取值范围．。
复数的四则运算测试卷-高一数学北师大版(2019)必修第二册
5.2复数的四则运算 测试卷一、单选题1．已知2(1i)52i z +⋅=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则i z ⋅=（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -D ．1i -+ 3．在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是(2,1),(0,5)-，则复数21z z 的虚部为（ ） A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i4．设复数z 满足：3π(68i)sin i cos π2z θθθ⎛⎫+=+<< ⎪⎝⎭，则||z =（ ）A ．110-B ．110C ．1cos 10θ- D ．1sin 210θ-5．14i24i +=-（ ） A ．93i 105+ B ．93i 1010+ C ．73i 105-+ D ．73i 1010-+ 6．复数z i a b =+(),0a b ≠.若112z-=，则（ ）的值与a 、b 的值无关.A ．13z +B ．12z +C ．12z -D ．14z -7．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则24z z +=（ ）A ．24i -B ．2iC ．24i +D ．28．复数i a b +与i c d +（a ，b ，c ，R d ∈）的积是纯虚数，则（ ） A ．0ac bd +≠且0ad bc += B ．0ac bd +=或0+≠ad bc C ．0-=ac bd 且0+≠ad bc D ．0-=ac bd 或0ad bc +=二、多选题9．已知复数z 满足2i i 4z z -=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．复数zB ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为13i -+D ．20231i 3z -⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．设复数1iz a b =+（a ，b ∈R 且0b ≠），则下列结论正确的是（ ） A ．z 不可能是实数 B ．z z =恒成立 C ．若2z ∈R ，则0a =D ．若1z z+∈R ，则2z =11．在复数范围内，方程38x =的虚数根是（ ）A ．B ．1-C ．1D ．1-12．下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅= B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=，则12z z -=三、填空题13．设a ∈C ，a ≠0，化简：i1ia a -+=______ . 14．已知复数z 满足i 1i z z +=-（i 是虚数单位），则z =______. 15．若复数z 满足1i 1zz+=-，则复数2023z 的值是______． 16．复数z 满足z i 12i =+，则复数z 的模等于_________． 四、解答题 17．计算． (1)()()14i 1i 24i 34i-++++；(2)()()551i 1i 1i1i+-+-+；202222+⎝⎭.18．已知复数()()21i 31i 2iz -++=-．(1)求z 的共轭复数；(2)若1i az b +=-，求实数a ，b 的值．19．已知复数1i z x =+(i 是虚数单位)，且(1i)z ⋅+为纯虚数(z 是z 的共轭复数). (1)求实数x 的值及复数z 的模；(2)若复数15i m zω-=在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.20．已知z 是复数，2i z +、2iz-均为实数（i 为虚数单位），且复数2(i)z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．21．求同时满足下列两个条件的所有复数z ． ①1016z z<+≤； ②z 的实部和虚部都是整数．22．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M z n ωω-*==∈N ．(1)设a 是方程1x x+=a M ．若在a M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；(2)设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．参考答案1．B【分析】利用复数的除法可得i 22z +=-，再应用共轭复数定义,即可知其对应点所在的象限. 【详解】由题设，252i 52i (52i)i 5i 251i (1i)2i 222z ---+====-=--+-，51i 2z =-+， ∴z 在复平面内对应的点为5(1,)2-在第二象限.故选：B . 2．A【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为复数z 对应的点的坐标为(1,1)-，则1i z =- 所以()i i 1i i+1z ⋅=⨯-= 故选:A 3．A【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即得. 【详解】由题可知122i,5i z z =-=， 则()()()2i 5i 5i 12i 2i 2i 2i z +⋅===-+--+， 所以复数21z z 的虚部为2．故选：A. 4．B【分析】根据复数的运算法则和模的概念可证得1122z z z z =，由此即可求得结果. 【详解】设复数()12i,i,,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈，则12z z ==122222i z ac bd bc adz c d c d +-=+++，（20z ≠）则12z z==，故1122z z z z =．sin icos 68iz θθ+=+，sin i cos |sin i cos |168i |68i |10z θθθθ++∴===++． 故选：B ． 5．C【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出结果.【详解】()()()()14i 24i 14i 24i 24i 24i +++=--+1412i 73i 20105-+==-+. 故选：C. 6．A【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a 、b 关系，再依次判断各选项. 【详解】因为z i a b =+，所以()()()()()2222i 1i i 111i 11i i i i a a b b a b a b a b z a b a b a b a b a b ---------=-===+++-+， 所以222222222222221i 1a a b b a a b b z a b a b a b a b ⎛⎫----⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 又112z -=，所以222222224a a b b a b a b ⎛⎫--⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ()()22222224a ab b a b --+=+，所以()()222222223a a a b b a b -++=+，因为,0a b ≠，所以220a b +≠，所以22213a a b ++=，所以2211039a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 所以1103z +=，即13z +的值与a 、b 的值无关.故选：A. 7．D【分析】利用复数的加减乘除运算性质即可求得24z z+的值.【详解】1i z =-，则()()()()()22241i 441i (1i 2i)=21i 2i=21i 1i 1i z z ++=+-++-+-=--+ 故选：D 8．C【分析】先利用复数乘法化简()i a b +⋅()i c d +，再利用纯虚数定义即可得到选项. 【详解】()i a b +⋅()i ()i c d ac bd ad bc +=-++又复数i a b +与i c d +（a ，b ，c ，R d ∈）的积是纯虚数，则00ac bd ad bc -=⎧⎨+≠⎩，故选：C 9．AD【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可. 【详解】因为2i i 4z z -=+，所以(1i)42i z -=+，()()()()21i 2i 42i 13i 1i 1i 1i z +++===+-+-，有z =A 正确；复数z 在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故B 错误； 复数z 的共轭复数为13i z =-，故C 错误；因为202320231i i 3z -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故D 正确，故选:AD. 10．ABC【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可. 【详解】对于A 项，若2222221i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++是实数， 则0b =，与已知矛盾，故A 项正确； 对于B 项，由A 项知2222ia b z a b a b =+++，所以zz z ==， 故B 项正确； 对于C 项，若()()()2222222222222i a b abz a babab=--=+++()()222222222i a b ababab--∈++R ，则()22220abab=+，因为0b ≠，所以0a =，故C 项正确； 对于D 项，11i z a z a b +=++2222i i a b b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭R ， 则220bb a b-=+，因为0b ≠，所以221a b +=，所以2222221z a b a b a b -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎭⎝，故D 项错误． 故选:ABC ． 11．BD【分析】利用一元二次方程在虚数范围内的根的求法.【详解】方程38x =可化为()2(2)240x x x -++=，解得=2x 或212i13i x -±==-. 故选:BD. 12．ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+， z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1， 即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，22max 1i (11)(11)13z --=--+-=，故正确； 对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =， 所以22224+=4m n c d +=，，又1213i z z +=，所以+=1,+3m c n d 所以+=2mc nd -，所以2212=|()+()i|=()+()z z m c n d m c n d -----2222=+++2(+)=4+42?(2)=23m c n d mc nd ---.故选：ACD 13．－i【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】()()()()()22221ii 1i i i i i 1i 1i 1i 11a a a a a a a a a a a a-+------====-++-++， 故答案为：－i. 14．1【分析】根据复数运算求得z ，从而求得z . 【详解】依题意，i 1i z z +=-，所以()()()()21i 1i 2i 1i 1i,i 1i 1i 1i 2z z ---+=-====-++-， 所以1z =. 故答案为：1 15．i -【分析】根据复数的除法运算求出i z =，再根据复数的乘方求解. 【详解】由1i 1zz+=-可得1i i z z +=-，即(1i)1i z +=-+， 所以1ii 1iz -+==+，则202320222023i i i i z ==⋅=-， 故答案为: i -. 16【分析】先通过计算得到复数z ，再求出复数的模得解. 【详解】解：由题得z 12i2i i+==-，则|z|17．(1)1i - (2)0 (3)2i【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式()()()()7i 34i 53i 24i 7i2525i 1i 34i 34i 34i 34i 25+--+++-=====-+++-.（2）原式()()()()()()()()332266331i 1i 1i 1i 2i 2i 8i 8i 01i 1i 222⎡⎤⎡⎤++-++-+--+⎣⎦⎣⎦=====-+.（3）i 123i 13i i 13123i ---+===+，4211i ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎝⎭2248i 48i 0---+=， ∴原式()25051i 10i i i 2i i =+-⨯+=-=+=⎝⎭. 18．(1)1i -； (2)1,2a b =-=.【分析】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【详解】（1）()()()()()()21i 31i 3i 2i 12i 133i 63i 2i 11i 2i 2i 2i 2i 5z -++++--++++-=====+---+，所以z 的共轭复数为1i -；（2）11i (1i)1i i 1i 1,21a b az b a b a b a a b a +=⎧+=-⇒++=-⇒++=-⇒⇒=-=⎨=-⎩. 19．(1)1,||2x z =-= (2)11m -<<【分析】（1）根据复数的乘法运算算出(1i)z ⋅+，然后可得答案； （2）对ω进行运算化简，然后可得答案.【详解】（1）由题意得(1i)(1i)(1i)1(1)i z x x x ⋅+=-+=++-为纯虚数， 所以10,10x x +=-≠，所以1,||2x z =-= （2）15i i (i)(1i)(1)(1)i 221i m m m m m z ω-+++-++-====， 因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以10,10m m -<+>， 所以11m -<<. 20．()2,6【分析】设i z x y =+()x y ∈R 、，化简2i z +、2iz-并根据其均为实数求得参数x ，y ，化简2(i)z a +并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得a 的范围.【详解】设i z x y =+()x y ∈R 、，∵()2i 2i z x y +=++为实数，∴=2y -，∴2i z x .∵()()()()2i 1112i 2i 224i 2i 2i 555z x x x x -==-+=++---为实数，∴4x =．∴42i z =-． ∵()()()()222i 42i 12482i z a a a a a +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦在复平面上对应的点在第一象限，∴()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩，解得26a <<.∴实数a 的取值范围是()2,6． 21．13i z =±或3i z =±．【分析】设i(,R)z x y x y =+∈，利用题给条件列出关于,x y 的方程组，解之即可求得,x y ，进而求得复数z【详解】设i(,R)z x y x y =+∈，则()()2222222210101010i i i x x y y x y z x y z x y x y x y +++-+=++=++++． ∵1016z z <+≤，∴10R z z +∈，故有：()()2222221001016y x y x x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨++⎪<≤+⎪⎩①②由①得0y =或2210x y +=， 将0y =代入②，得1016x x<+≤， 则0x >，则106x x +≥，则1016x x<+≤无解； ∴0y ≠，将2210x y +=代入②得126x <≤，解之得132x <≤又x ，y 为整数，∴1113x y =⎧⎨=±⎩，或2231x y =⎧⎨=±⎩，故13i z =±或3i z =±． 22．(1)M α见解析，13P =；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意求得α，再结合复数的乘方运算，即可求得a M ；根据古典概型的概率计算公式，即可求得概率P ；（2）根据z M 的定义，设出M ω中的任意一个元素x ，根据其满足的条件化简x 的形式，只需证明x 满足z M 定义中的形式即可. 【详解】（1）因为α是方程1x x +=的一个根，故α=，当α时，))))2211i ,4,1i ,41,i 1i ,42,1i ,43n nn n k n k k n k n k αααα-*⎧-=⎪⎪⎪+=-⎪⎪===∈⎨⎪-=-⎪⎪⎪+=-⎪⎩N故))))1i ,1i ,1i 1i M α⎫⎪=-+-+⎬⎪⎪⎩⎭；同理，当α=时，))))1i 1i 1i ,1i M α⎧⎫⎪⎪=++--⎨⎬⎪⎪⎩⎭；在a M 中任取两个数共有6种取法，满足和为零的有2种，故其概率2163P ==. （2）证明：设x 为集合M ω中的一个元素，则21,n x n ω-*=∈N ，因为z M ω∈，故存在k *∈N ，使得21k z ω-=；因为()()212121,,k n n z k n ω---*=∈N ，且()()()2121421k n kn k n --=-++()()()2111121,k n n k l l n *⎡⎤=-+-+-=-∈⎣⎦N ，其中()()111l k n n k =-+-+， 故()()2121k n --为正奇数，故2121n l z x z M ω--==∈.故z M M ω⊆. 【点睛】关键点点睛：本题考查复数的运算，涉及古典概型的概率计算；其中第二问中处理问题的关键是能够根据x 的形式，逐步划归为满足z M 的形式，属综合难题.。
第七章 复数 单元测试卷(解析版)
第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．2 D ．2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解：由题得()i i 122i z =-=+， 所以复数的虚部为1. 故选：B2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=，55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11i z+-是实数，则z =（ ）A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i -- D ．32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C.6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ） A ．||||||ab a b = B ．10a a+≠ C ．()20a b +≥D ．22a a =【答案】A 【分析】对于选项A ：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B ：计算1a a+，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD ：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+，22i b x y =+，选项A ：112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++，从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++，故A 正确； 选项B ：111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++， 当10x =，11y =时，10a a+=，故B 错误； 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD 错误. 故选：A7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-，且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限. 故选：B8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ） A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ，然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 5z -=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+， 所以145z +A 错误； 复数z 的共轭复数为12i z =-，故B 错误；复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2，位于第一象限，故C 正确； 复数z 的虚部为2，故D 正确. 故选：CD.11．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D ．2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可． 【详解】解：因为132z =-，所以132z =-，对于A ： 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 对于B ：22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪，故B 正确； 对于C ：2131132213213i i44z -===---+，2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D ：132z =-+，2132z -=，2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以20212132z z -==，故D 错误．故选：ABC ．12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限 B ．i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D ．i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ，B ，D 化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ，2i cos 2isin 2e =+，因22ππ<<，即cos20,sin20<>，复数2i e 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i2cos isini 22e πππ=+=，i 2e π为纯虚数，B 正确；对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-，于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++，C 正确； 对于D ，6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2，D 不正确. 故选：ABC三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答. 【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-，由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =，所以m 的值是52.故答案为：5214．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】（2）（3） 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2）正确.222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标，然后分别写出AB →，AC →，利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ，且AC →是AB →逆时针旋转60得到， 因为A (1，2)，B (3，4)，所以(2,2)AB →=，00(1,2)AC x y →=--， 从而AB →对应的复数为22i z =+，AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-，所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+，解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为：(23,33).16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________． 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆， 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离， 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=．故答案为：4．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】 （1）3i z =-（2）(0,9)【分析】 （1）先将i z b =代入31iz +-化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ， （2）先对2()8m z m --化简，再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 （1） 因为i z b =，所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--， 因为31iz +-是实数，所以30b +=，解得3b =-. 故3i z =-.（2）因为3i z =-，所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限，所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<，即实数m 的取值范围是(0,9).18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．【答案】π4，5π4，0，3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<，得到辐角主值，同理可得其他答案． 【详解】设这4个复数的模分别为1r ，2r ，3r ，4r ，辐角主值分别为1θ，2θ，3θ，4θ．因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又102πθ≤<，故1π4θ=． 同理，可以求得：5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭， )22cos0isin 0+，3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭， 故4个复数的辐角主值分别为π4，5π4，0，3π2． 19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-.（1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .【答案】（1）12i -（2）5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a ，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-． （2）因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数，∴30a +=，∴3a =-.即34i z =-+，22||(3)45z =-+=．20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.【答案】（1）28(22i)(22i)x x x +=+-（2）223(12i)(12i)x x x x -+=--- （3）212123213((x x x x -+-+=） 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. （1）2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- （2）()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- （3）∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=） 21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模． 【答案】（1）2,5p q =-=（258【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可. （1）解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根， 所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=（2）解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．【答案】（1）17arg 4z π=，122z = （2）221【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数1z 的代数形式，共同代入1z z -，化简后可求最大值． （1）解：()31i 1i 22i z =-=-，将1z 化为三角形式，得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+， ∴17arg 4z π=，122z = （2） 解：由于复数z 满足1z =，设cos isin z αα=+，则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++， ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221．。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练05 复数(解析版)
必考点05 复数题型一 复数的有关概念例题1．已知复数z ＝a2－i ＋2－i 5的实部与虚部的和为2，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】易知z ＝a2－i ＋2－i 5＝a (2＋i )5＋2－i 5＝2a ＋25＋(a －1)i 5，由题意得2a ＋25＋a －15＝2，解得a ＝3.故选D.例题2 已知z1－i ＝2＋i ，则z (z 的共轭复数)为( )A ．－3－iB ．－3＋iC ．3＋iD ．3－i 【答案】C【解析】由题意得z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i ，所以z ＝3＋i ，故选C. 【解题技巧提炼】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．题型二 复数的运算例题1若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i【答案】D【解析】由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.例题2已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i【答案】A【解析】(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.【解题技巧提炼】复数代数形式运算问题的解题策略例题1设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 例题2设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 【答案】C【解析】由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵ |z －i|＝1， ∴ |x ＋y i －i|＝1，∴ x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 【解题技巧提炼】1．准确理解复数的几何意义(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点(a ，b )一一对应．题型一 复数的有关概念1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i【答案】B【解析】∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B. 3．已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i2＋i ，则|z |＝________.【答案】2 【解析】|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.题型二 复数的运算1．已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．i B ．－1＋i C ．－1－i D ．－i【答案】C【解析】由已知可得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C.2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1 D.2 【答案】C【解析】∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.题型三 复数的几何意义1．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】∵x ，y 是实数，∴(1－i)x ＝x －x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，－x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y i在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.2．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)【答案】B【解析】因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.3．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i【答案】B【解析】因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B. 4．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________． 【答案】1【解析】由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)，OB ―→＝(1，－1)， 根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.一、单选题1．若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，则复数z 的实部为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】设i z a b =+（a b R ∈、），则(i)(2i)(i)(1i)1a b a b ++=--+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，故选：C.2．已知复数z 满足i 17i z ⋅=+，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】D【解析】因为i 17i z ⋅=+，所以()2i 17i i z ⋅=+，即7i z -=-+，所以7i z =-，所以7i z =+，则z 的虚部为1；故选：D 3．若2i12iz +=-，则2z =（ ） A ．1 B ．1-C ． iD ．i -【答案】B 【解析】因为()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 14z +++====--++，所以21z =-.故选：B. 4．若复数z 满足()1i 12i z +=-，则z =（ ）A B ．C D【答案】C【解析】()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z -----====--++-，z ∴=.故选：C. 5．已知复数z 满足i 23i 0z +-=，则z =（ ） A ．32i + B ．32i - C ．23i + D ．23i -【答案】B【解析】因为i 23i 0z +-=，所以()()()223i i 23i 2i 3i 32i i i i 1z -+--+-====+⨯-， 所以32i z =-.故选：B.6．已知复数z 满足(1)i 2i z -=+，则在复平面内，z 的共轭复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】依题意2ii122i z +=+=-， 于是22i z =+ ，其对应的点为（2，2），位于第一象限，故选：A. 7．设24i3iz +=+（i 是虚数单位），则||z =（ ）A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】24i (24i)(3i)1010i1i 3i (3i)(3i)10z ++-+====+++-，则||z 故选：D. 8．若(2i)i i +=+x y ，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数i z x y =+所对应复平面内的点Z 位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】因为(2i)i i +=+x y ，所以2i i x y -+=+，解得：x 1,y 2==-， 所以i z x y =+对应的点为()1,2-，位于第四象限.故选：D 二、多选题 9．已知复数1i1iz +=-，以下结论正确的是（ ） A ．2021z 是纯虚数 B ．i 2z += C ．1z z ⋅=-D ．在复平面内，复数i z z +⋅对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z +++====--+ 对于A ，2021202145051i i i z ⨯+===，2021z ∴为纯虚数，A 正确； 对于B ，i 2i 2z +==，B 正确；对于C ，()2i i i 1z z ⋅=⋅-=-=，C 错误；对于D ，2i i i 1i z z +⋅=-+=--，i z z ∴+⋅对应的点为()1,1--，位于第三象限，D 正确.故选：ABD.10．设1Z ，2Z ，3Z 为复数，下列命题中错误的是（ ） A ．2211Z Z = B ．1212Z Z Z Z ⋅=⋅C ．若12Z Z R +∈，则12Z Z -为纯虚数D ．若23Z Z =，且10Z ≠，则3211Z Z Z Z = 【答案】AC【解析】A ：取1i Z =，则222111i 1Z Z ===-，，故A 错误； B ：设12i i Z a b Z c d =+=+，(a b c d R ∈、、、)， 则12(i)(i)Z Z a b c d ⋅=++()()i ac bd ad bc =-++，12Z Z ⋅=22222222a c a d b c b d =+++，又2222222212Z Z a c a d b c b d ⋅=+++， 所以12Z Z ⋅=12Z Z ⋅，故B 正确；C ：取120Z Z ==，则120Z Z -=为实数，故C 错误；D ：由23Z Z =，得23Z Z =，则22121312121313()()()()0Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z -=-=， 所以1213Z Z Z Z =，又10Z ≠，所以2311Z ZZ Z =，故D 正确.故选：AC. 11．已知i 为虚数单位，复数134i z =+，243i =-+z ，331i =+z ，则（ ）A ．12=z zB ．1z 与2z 互为共轭复数C ．123z z z ++为纯虚数D ．()12388i -=-z z z【答案】AC【解析】依题意，复数134i z =+，243i =-+z ，331i 1i z =+=-，对于A，15z =，25z ==，A 正确；对于B ，复数134i z =+的共轭复数为134i z =-，B 不正确； 对于C ，12334i 43i 1i 6i z z z ++=+-++-=，C 正确；对于D ，因127z z i -=+，则()()()1237i 1i 86i z z z -=+-=-，D 不正确.故选：AC 三、填空题12．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 【答案】12i -##2i+1-【解析】由题意得12i z =+，2i z =， 所以122i12i iz z +==-. 故答案为：12i -13．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．【解析】由题意可得2i 3i 3i 13i i iz +-===-，则13i z =+，因此，z =故答.14．若复数2()1i (4i)6i z m m =+-+-在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是_______． 【答案】()3,4【解析】()()2221i (4i)6i i ()46z m m m m m m =+-+--+--=，因为复数2()1i (4i)6i z m m =+-+-在复平面上所对应的点在第二象限所以224060m m m m ⎧-<⎨-->⎩，解不等式组得34m <<故答案为：()3,4 四、解答题15．已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ：(1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限.【解析】(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =， ∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限.16．设222215(6)i 4a a z a a a +-=--+-（R a ∈），试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由. 【解析】假设复数z 能为纯虚数，则2222602150440a a a a a a ⎧--=⎪+-⎪≠⎨-⎪-≠⎪⎩，所以325,3,2,2a a a a a a ==-⎧⎨≠-≠≠≠-⎩或且且且，解得a ∈∅， 所以不存在a 使复数z 为纯虚数.17．若复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．【答案】a ＝0或2【解析】∴复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，∴220a a -=，解得2a =或0a =.。
高中数学期末专题：复数综合学生版
期末专题06复数综合一、单选题1.(2022春·江苏南京·高一统考期末)i 2022的值为()A.1B.-1C.iD.-i2.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z =1+2i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )．A.2B.-2C.2iD.-2i3.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知i 为虚数单位，若复数z 满足1-i z =2，则z 的虚部为()A.-1B.-iC.1D.i4.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)已知复数z 满足z =1+i ，则在复平面内z 对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2022春·江苏南通·高一统考期末)若(-1+i )z =3+i ，则|z |=()A.22B.8C.5D.56.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z 满足z =3-i2+i，则z 的虚部是()A.-iB.iC.-1D.17.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知zi =1-2i ，则在复平面内，复数z 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)设i 为虚数单位，若复数1-i 1+ai 是实数，则实数a 的值为()A.-1B.0C.1D.29.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设复数z 满足z ⋅i =1+2i (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是()A.2B.-2C.1D.-110.(2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末)已知i 是虚数单位，z (1+i )=2i ，则复数z 所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知复数z 1=-2i ,z 2=cos θ+i sin θ，则z 1+z 2 的最大值为()A.1B.2C.3D.312.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设z 是复数z 的共轭复数，若z ⋅z +10i =5z ，则z2+i=()A.2 B.35+45i C.2或45+35i D.2或35+45i13.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知i 是虚数单位，a ∈R ，若复数a -i1-2i为纯虚数，则a =()A.-2B.2C.-12D.1214.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)计算21-i2的结果是()A.2iB.-2iC.iD.-i15.(2022春·江苏扬州·高一期末)设i 是虚数单位，复数z 1=i 2022，复数z 2=54+3i，则z 1⋅z 2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限16.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z=1-2i ，其中i 为虚数单位，则z =()A.3B.5C.3D.517.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)若复数z 满足2-i z =i 2022，则z 的虚部为()A.15i B.15C.23i D.2318.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=i1-i (i 是虚数单位)，若复数z 与z 1在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z 为( ).A.1-i2B.1+i 2C.-1-i 2D.-1+i 219.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数满足i ⋅z =4-3i ，其中i 为虚数单位，则z ⋅z=()A.1B.5C.7D.2520.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)复数z 满足i ⋅z =-1+i ，则|z |=()A.5B.2C.1D.221.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)下列命题为真命题的是()A.若z 1，z 2为共扼复数，则z 1⋅z 2为实数B.若i 为虚数单位，n 为正整数，则i 4n +3=iC.复数-2-i 在复平面内对应的点在第三象限D.复数5i -2的共轭复数为-2-i22.(2022春·江苏南京·高一统考期末)下列有关复数的说法正确的是()A.若复数z =z，则z ∈R B.若z +z=0，则z 是纯虚数C.若z 是复数，则一定有z 2=z 2D.若z 1,z 2∈C ，则z 1⋅z 2 =z 1 ⋅z 223.(2022春·江苏常州·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式e iθ=cos θ+i sin θ(i 为虚数单位，e 为自然对数的底数)，这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是()A.e 3i 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限B.e i π+1=0C.12+32i3=-1 D.cos θ=e iθ+e -iθ224.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)关于复数z =cos2π3+i sin 2π3(i 为虚数单位)，下列说法正确的是()A.z =1B.z在复平面上对应的点位于第二象限C.z 3=1D.z 2+z +1=025.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z =a +bi (其中i 为虚数单位，a ∈R ,b ∈R )则下列说法正确的有()A.若z =z，z ∈R B.若zz∈R ，则z ∈RC.若z =1z，则z =1D.若z 2=z2，则z =026.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix =cos x +i sin x (e 是自然对数的底，i 是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数z 1=e ix 1，z 2=e ix 2，z 3=e ix 3在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，且e ix 的共轭复数为e ix=e -ix ，则下列说法正确的是()A.cos x =e ix +e -ix 2B.e 2i 表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限C.e ix 1+e ix 2+e ix 3=e ix 1+e ix 2+eix 3D.若Z 1，Z 2为两个不同的定点，Z 3为线段Z 1Z 2的垂直平分线上的动点，则z 1-z 3 =z 2-z 327.(2022春·江苏苏州·高一统考期末)设i是虚数单位，复数z1=a+bi a,b∈R，z2=1+2i，请写出一个满足z1z2是纯虚数的复数z1=.28.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知i为虚数单位，且复数z满足：z⋅i=1-2i，则复数z的模为．29.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知复数z满足z =2，z2的虚部为-2，z所对应的点A在第二象限，则z=．30.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知复数z=-1-2i，其中i为虚数单位，若z，z2在复平面上对应的点分别为M，N，O为坐标原点，则线段MN长度为.31.(2022春·江苏南通·高一统考期末)设i为虚数单位，复数z=cosθ+i sinθθ∈R的最大值为，则z-1．32.(2022春·江苏扬州·高一期末)如果复数z满足z+i=2，那么z+i+1的最小值是．+z-i33.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知复数z=m2+5m-6+(m-1)i,m∈R．(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．34.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)已知复数z1=1+2i，z2=3-4i.(1)若复数z1+λz2在复平面内对应的点在第二象限，求实数λ的取值范围；(2)若复数z=z1⋅μ+z2(μ∈R)为纯虚数，求z的虚部.35.(2022春·江苏南京·高一统考期末)已知复数z1=1-3i，z2=a+i，a∈R，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知z1⋅z2为“理想复数”．(1)求实数a；(2)定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2=z1+z2z2,z1 ≥z2z1+z2z1,z1 <z2，求z1⊗z2．36.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)已知复数z 1=1+i ，z 2=x +yi ，其中x ，y 为非零实数．(1)若z 1⋅z 2是实数，求xy的值；(2)若z 2=z 1 ，复数z =z 1z 22022+m 2-m -1 -m +1 i 为纯虚数，求实数m 的值；(3)复平面内，定点M 与z 1对应，记满足z 2-z 1 =z 2 的z 2对应的点的轨迹为曲线L ，求点M 到L 的最小值．37.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知复数z 1=1+2i ，z 2=3-4i .(1)在复平面内，设复数z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2，求点Z 1，Z 2之间的距离；(2)若复数z 满足1z =1z 1+1z 2，求z .38.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)已知复数z1满足2z1=1+3i+z1(1)求z1 ；(2)若复数z2的虚部为2，且z2z1在复平面内对应的点位于第四象限，求复数z2实部a的取值范围．39.(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)已知复数z同时满足下列两个条件：①z的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；②1<z+2z≤4．(1)求出复数z；(2)求z +2-i2+i.40.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知复数z满足z-1为纯虚数，(1-2i)⋅z为实数，其中i为虚数单位．(1)求复数z；(2)若x⋅z+y⋅z =z⋅z ，求实数x，y的值．。
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
年高一数学暑假作业复数的三角形式含解析沪教版
复数的三角形式一、单选题1．在复平面内，把与复数a +bi (a ，b ∈R )对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为（ ）A ．a -biB ．-a +biC ．b -aiD ．-b +ai【答案】C 【分析】所求复数为cos90sin 90a bi i ︒︒++，化简即得解. 【详解】由题得所求复数为cos90sin 90a bi a bi i i︒︒++=+ =-(a +bi )i =b -ai . 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算的三角表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2．将复数4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成代数形式，正确的是（ ） A ．4B ．-4C ．4iD ．4i - 【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，化简即可. 【详解】4cos sin 22i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()401i =+-⎡⎤⎣⎦4i =-故选：D.【点睛】本题考查复数的三角形式的化简，只需计算对应的三角函数值即可.3．复数1z i =-（i 为虚数单位）的三角形式为（ ）A ．45cos45)z i ︒︒=-B ．isin 45)z ︒︒-C ．45)sin(45)]z i ︒︒=---D ．45)+sin(45)]z i ︒︒=--【答案】D【分析】复数的三角形式是()cos sin z r i θθ=+，根据复数和诱导公式化简，化为复数的三角形式，再结合答案选择．【详解】解：依题意得r ==复数1z i =-对应的点在第四象限，且cos 2θ=， 因此，arg 315z ︒=，结合选项知D 正确，故选：D. 【点睛】本题考查了复数的代数形式和三角形式的转化，主要利用诱导公式化简，注意两种形式的标准形式，式子中各个位置的符号，以及三角函数值的符号．4． cos isin 3cos isin 2266ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．32B ．32C ．32-D ．32- 【答案】C【分析】先用多项式乘法展开，再用两角和与差的三角函数化简，分别求出22cos,sin 33ππ 再整理为a bi + 的形式. 【详解】cos isin 3cos isin 3cos isin 22662626ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233cos isin 3322ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.512i 化成三角形式，正确的是（ ） A ．cos sin 33i ππ+ B ．cos sin 66i ππ+C ．22cos sin 33i ππ+ D ．1111cos sin 66i ππ+ 【答案】B 【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;【详解】解: 因为cos6π=，1sin 62π=1cos sin 266i i ππ+=+ 故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题．二、填空题6．将复数22cossin 33i ππ⎫+⎪⎭化为代数形式为___________【答案】 【分析】直接写出三角函数值再化简即得解.【详解】由题得221cossin )332i ππ⎫+=-=⎪⎭.故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的三角形式化代数形式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．在复平面内，把与复数i -对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为z ，则复数z 是_____________.(用代数形式表示).【答案】22z =- 【分析】把与复数−i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转45°得到z =(cos 45°+isin 45°)×(−i )，再把三角形式转化为代数形式运算即可.【详解】由题意得()()()cos 45isin 45i i z ⎫=︒+︒⨯-=⨯-⎪⎪⎝⎭=.故答案为：22z =- 【点睛】本题主要考查复数的代数形式与三角形式的转化及其运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．复平面内向量AB 对应的复数为2i +，A 点对应的复数为1-，现将AB 绕A 点顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC ，则点C 对应的复数为_________.【答案】2i -【分析】利用复数乘法的几何意义求得C 对应的复数.【详解】由于向量AB 对应的复数为2i +，而()1,0A -，现将AB 绕A 点顺时针方向旋转90°后得到的向量为AC ，所以C 对应的复数为()()212i i i +⋅--=-.故答案为：2i -【点睛】本小题主要考查复数旋转有关概念，属于基础题.9．计算10cossin (2)33i i ππ⎛⎫+÷- ⎪⎝⎭的结果是________. 【答案】52i -【分析】把2i -化为三角形式554cossin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后模相除，辐角相减得商的模和辐角，再化为代数形式．【详解】解析1：10cos sin (2)33i i ππ⎛⎫+÷- ⎪⎝⎭ 5510cos sin 4cos sin 3366i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 10555cos sin cos sin 43636222i i ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 55(0)22i i =-=-. 解析2：原式1102405162i i ⎛⎫ ⎪-====-. 【点睛】本题考查复数的除法，解题时把所有复数化为三角形式，然后模相除，辐角相减得商的模和辐角，再化为代数形式即可．当然也可以化为代数形式计算．10．复数1cos sin 33i ππ+的代数形式是_____________.【答案】122- 【分析】根据复数的除法运算进行计算，即可化简为代数运算.【详解】11cos sin 332cos isin 33i ππππ=-=+.故答案为：122-. 【点睛】本题考查复数的三角形式的化简，属基础计算题.11．（2021·上海高一课时练习）()12cos15sin15522i i ⎛⎫︒+︒⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭______________.【答案】【分析】将代数形式的复数化为三角形式，再用乘法法则，即可求解.【详解】()12cos15isin15522i ⎛⎫︒+︒⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭()()2cos15sin155cos30sin30i i ︒+︒⨯︒+︒()()10cos 1530sin 1530i =︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()10cos 45sin 451022i ⎛⎫=︒+︒=+ ⎪ ⎪⎝⎭=.故答案为：.【点睛】本题考查复数的乘法，涉及代数形式和三角形式的相互转化，属基础题.12．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________.【答案】1 【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 2334z ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴114z z -=，解得1z =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.三、解答题13．在复平面内，把与复数4+对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转15︒，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）.【答案】【分析】根据复数除法的意义，进行计算即可.【详解】与所得向量对应的复数为()()4cos15sin15i +÷︒+︒ ()()8cos60sin60cos15sin15i i =︒+︒÷︒+︒()()8cos 6015sin 6015i =︒-︒+︒-︒⎡⎤⎣⎦()8cos45sin 45i =︒+︒8⎫=+⎪⎪⎝⎭=.【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题.14．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）442cossin 55i ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （2）33sin cos 55i ππ+. 【答案】（1）不是，992cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）不是，cos sin 1010i ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简；（2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可.【详解】（1）不是.44442cos sin 2cos sin 5555i i ππππ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44992cos sin 2cos sin 5555i i ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （2）不是. 3333sin cos cos sin cos sin 5525251010i i i ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式.15．设复数1z i =，复数2z 满足22z =，且212z z ⋅在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且()2arg 0,z π∈，求2z 的代数形式.【答案】21z =-【分析】设出复数2z 的三角形式，将1z 化为三角形式，再计算乘法，根据题意，进行求解.【详解】因为12cos sin 66z i i ππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 设()()22cos sin ,0,z i αααπ=+∈，()2122cos sin 4cos 2sin 266z z i i ππαα⎛⎫⋅=+⨯+ ⎪⎝⎭ 8cos 2sin 266i ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由题设知()32262k k ππαπ+=+∈Z ，所以()23k k παπ=+∈Z . 又()0,απ∈，所以23πα=， 所以2222cos sin 33z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=-【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，涉及复数的几何意义，属中档题.。
高一复数题目解析精选
高一复数题目解析精选在高一数学的学习中，复数是一个重要且富有挑战性的部分。
今天，我们就来精选几道典型的高一复数题目，并进行详细的解析，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先来看这道题：已知复数\（z ＝ 2 ＋ 3i\），求\（z\）的共轭复数\（＼overline{z}＼）。
对于复数\（z ＝ a ＋ bi\），其共轭复数\（＼overline{z} ＝ a bi\）。
在本题中，＼（a ＝ 2\），＼（b ＝ 3\），所以\（＼overline{z} ＝ 23i\）。
接下来看这道：若复数\（z ＝（1 ＋i)（2 i)＼），求\（｜z|＼）。
我们先将\（z\）展开：＼（z ＝（1 ＋ i)（2 i) ＝ 2 i ＋ 2i i^2 ＝ 2 ＋ i ＋ 1 ＝ 3 ＋ i\）复数的模\（｜z|＼）等于实部与虚部的平方和的正的平方根。
对于\（z ＝ 3 ＋ i\），＼（｜z| ＝＼sqrt{3^2 ＋ 1^2} ＝＼sqrt{10}＼）再看这道有点难度的题目：已知复数\（z\）满足\（｜z 1 ＋ i| ＝1\），求\（｜z|＼）的最大值。
我们可以将\（｜z 1 ＋ i| ＝ 1\）理解为复数\（z\）到点\（（1, －1)＼）的距离为\（1\），所以\（z\）的轨迹是以\（（1, －1)＼）为圆心，＼（1\）为半径的圆。
＼（｜z|＼）表示复数\（z\）到原点的距离。
圆心\（（1, －1)＼）到原点的距离为\（＼sqrt{2}＼），所以\（｜z|＼）的最大值为\（＼sqrt{2} ＋ 1\）下面这道题：若复数\（z\）满足\（z^2 ＋ 4z ＋ 5 ＝ 0\），求\（z\）。
我们可以使用求根公式来解决。
首先，将方程化为标准形式：＼（z^2 ＋ 4z ＋ 4 ＋ 1 ＝ 0\），即\（（z ＋ 2)＾2 ＝－1\），＼（z ＋ 2 ＝＼pm i\），所以\（z ＝－2 ＼pm i\）再看这一题：已知复数\（z_1 ＝ 1 ＋ 2i\），＼（z_2 ＝ 3 4i\），求\（＼frac{z_1}｛z_2}＼）。
人教A版高一数学必修第二册第七章《复数》单元练习题卷含答案解析 (36)
高一数学必修第二册第七章《复数》单元练习题卷7（共22题）一、选择题（共10题） 1. 复数 (1+1i )4等于 ( ) A ． 4i B ． −4i C ． 4 D ． −42. 已知 a 为实数，若复数 z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 为纯虚数，则复数 a −ai 在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 12(cos30∘+isin30∘)×2(cos60∘+isin60∘)×3(cos45∘+isin45∘)= ( ) A ．3√22+3√22i B ．3√22−3√22iC ． −3√22+3√22iD ． −3√22−3√22i4. 设 z 1，z 2 为复数，下列命题一定成立的是 ( ) A ．如果 z 12+z 22=0，那么 z 1=z 2=0 B ．如果 ∣z 1∣=∣z 2∣，那么 z 1=±z 2C ．如果 ∣z 1∣≤a ，a 是正实数，那么 −a ≤z 1≤aD ．如果 ∣z 1∣=a ，a 是正实数，那么 z 1⋅z 1=a 25. 4(cosπ+isinπ)÷2(cos π3+isin π3)= ( ) A ． 1+√3i B ． 1−√3i C ． −1+√3i D ． −1−√3i6. 设 z 1 、 z 2∈C ，则“z 12+z 22=0 "是”z 1=z 2=0 "的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7. 若复数 z 满足 z1−i =i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ( ) A ． 1−i B ． 1+i C ． −1−i D ． −1+i8. 已知 i 是虚数单位，复数 z =2i1+i ,则 ∣z −2∣=A ．2B ．2√2C ．√2D ．19. 已知 z =(1−i )21+i（i 为虚数单位），在复平面内，复数 z 对应的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z (1+i )=2−i ，则在复平面上复数 z 对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题（共6题）11. 已知 z 2=3+4i ，则 z 3−2z +3−2i z的值为 ．12. 若 1≤∣z ∣≤2，则复数 u =z (1+i ) 在复平面内对应的点 A 组成的集合所表示的图形的面积为 ．13. 设 i 是虚数单位，复数 z =a−i 2i的模为 1，则正实数 a 的值为 ．14. 若复数 z 满足 ∣1−z∣⋅∣1+z∣=2，则 ∣z∣ 最小值为 ．15. 设复数 z 满足 1≤z +2z ≤3，则复数 z 所对应的点 Z 在复平面上的轨迹方程为 ．16. 若 z =(4−3i )2(−1+√3i)10(1−i )12，则 ∣z∣∣= ．三、解答题（共6题）17. 已知 k 是实数，ω 是非零复数，且满足 argω=3π4，(1+ω)2+(1+i )2=1+kω．(1) 求 ω；(2) 设复数 z =cosθ+isinθ，θ∈[0,2π)，若 ∣z −ω∣=1+√2，求 θ 的值．18. 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O ，A ，C 分别表示 0，3+2i ，−2+4i ．(1) 写出 AO⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数； (2) 写出 CA⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数； (3) 写出 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数．19. 已知 z 是复数，z +2i ，z 2−i均为实数，且实数 (z +ai )2 在复平面上对应的点在第一象限内，求实数 a 的取值范围．20. 已知复数 z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1) 求 z 的共轭复数 z ；(2) 若 az +b =1−i ，求实数 a ，b 的值．21. 设 z +4z ∈R ，且 ∣z −2∣=2，求复数 z ．22. 在复平面内复数 z 1，z 2 所对应的点为 Z 1，Z 2，O 为坐标原点，i 是虚数单位．(1) z 1=1+2i ，z 2=3−4i ，计算 z 1⋅z 2 与 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2) 设 z 1=a +bi ，z 2=c +di (a,b,c,d ∈R )，求证 ∣∣OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≤∣z 1⋅z 2∣，并指出向量 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足什么条件时该不等式取等号．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为 1+1i =1−i ， 所以 (1+1i )4=(1−i )4=4i 2=−4． 【知识点】复数的乘除运算2. 【答案】B【解析】若复数 z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 是纯虚数， 则 {a 2−3a −4=0,a −4≠0,得 {a =4或a =−1,a ≠4,即 a =−1，则复数 a −ai =−1+i 对应的点为 (−1,1)，位于第二象限． 【知识点】复数的几何意义3. 【答案】C【解析】 12(cos30∘+isin30∘)×2(cos60∘+isin60∘)×3(cos45∘+isin45∘)=12×2×3[cos (30∘+60∘+45∘)+isin (30∘+60∘+45∘)]=3(cos135∘+isin135∘)=3(−√22+√22i)=−3√22+3√22i.【知识点】复数的三角形式、复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】对于A ，如果 z 1=1−i ，z 2=1+i ，z 12+z 22=0，所以 z 1=z 2=0 不正确．对于B ，如果 z 1=1−i ，z 2=1+i ，∣z 1∣=∣z 2∣，那么 z 1=±z 2 不正确．对于C ，∣z 1∣≤a ，a 是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于 a ，所以 −a ≤z 1≤a 不正确．对于D ，∣z 1∣=a ，a 是正实数，那么 z 1⋅z 1=a (12+√32i)⋅a (12−√32i)=a 2，正确．故选：D ．【知识点】复数的乘除运算、共轭复数、复数的几何意义5. 【答案】C【解析】4(cosπ+isinπ)÷2(cosπ3+isinπ3)=2[cos(π−π3)+isin(π−π3)]=2(cos2π3+isin2π3)=−1+√3i.【知识点】复数的三角形式6. 【答案】B【知识点】复数的乘除运算、充分条件与必要条件7. 【答案】A【解析】z=(1−i)⋅i=i−i2=1+i．故选A．【知识点】复数的乘除运算8. 【答案】C【知识点】复数的四则运算、复数的几何意义9. 【答案】C【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算10. 【答案】D【解析】因为z=2−i1+i =(2−i)(1−i)2=1−3i2=12−32i，所以复平面上复数z对应的点为(12,−32)，位于第四象限，故选D．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算二、填空题（共6题）11. 【答案】±(2−6i)【知识点】复数的乘除运算12. 【答案】6π【解析】由u=z(1+i)得z=u1+i，因为∣z∣=∣z∣∣=√2，1≤∣z∣≤2，所以√2≤∣u∣≤2√2，所以动点A组成的集合是一个圆环，设此圆环面积为S，那么S=π[(2√2)2−(√2)2]=6π．【知识点】复数的几何意义13. 【答案】 √3【解析】由题意得 z =a−i 2i=−12−a 2i ，因为复数 z 的模为 1， 所以 14+a 24=1，所以正实数 a =√3． 【知识点】复数的乘除运算14. 【答案】 1【解析】设 z =x +yi (x,y ∈R )，则 √(1−x )2+y 2⋅√(1+x )2+y 2=2， 所以 (x 2+y 2+1−2x )(x 2+y 2+1+2x )=4，所以 (x 2+y 2+1)2−4x 2=4，所以 (x 2+y 2+1)2−4=4x 2≥0， 所以 x 2+y 2≥1，当且仅当 x =0，y =±1 时等号成立， 所以 ∣z∣=√x 2+y 2 的最小值为 1． 【知识点】复数的几何意义15. 【答案】 x 2+y 2=2(12≤x ≤32)【知识点】复数的几何意义16. 【答案】 400【知识点】共轭复数、复数的乘除运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) argω=3π4，可设 ω=a −ai （a ∈R ），将其代入 (1+ω)2+(1+i )2=1+kω， 化简可得 2a +2a (1+a )i +2i =ka −kai ， 所以 {2a =ka,2a (1+a )+2=−ka, 解得 {k =2,a =−1,所以 ω=−1+i ．(2)∣z −ω∣=∣(cosθ+1)+(sinθ−1)i ∣=√(cosθ+1)2+(sinθ−1)2=√3+2(cosθ−sinθ)=√3+2√2cos (θ+π4).因为 ∣z −ω∣=1+√2，所以 √3+2√2cos (θ+π4)=1+√2， 化简得 cos (θ+π4)=1．因为 π4≤θ+π4<2π+π4， 所以 θ+π4=2π，即 θ=7π4．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义、复数的三角形式18. 【答案】(1) 因为 AO⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AO⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为 −3−2i ． (2) 因为 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 CA⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为 (3+2i )−(−2+4i )=5−2i ． (3) 因为 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 OB⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为 (3+2i )+(−2+4i )=1+6i ． 【知识点】复数的几何意义、复数的加减运算19. 【答案】设 z =x +yi (x,y ∈R )，z +2i =x +(y +2)i ，由题意得 y =−2． z2−i =x−2i 2−i=(x−2i )(2+i )(2−i )(2+i )=15(2x +2)+15(x −4)i ，由题意得 x =4． 所以 z =4−2i ，(z +ai )2=(4−2i +ai )2=(12+4a −a 2)+8(a −2)i ， 根据题意，得 {12+4a −a 2>0,8(a −2)>0,解得 2<a <6，所以实数 a 的取值范围是 2<a <6． 【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算20. 【答案】(1) z =(1−i )2+3(1+i )2−i=−2i+3+3i 2−i=3+i2−i =1+i ，所以 z =1−i ．(2) 由已知条件及（1）可知 a (1+i )+b =1−i ，即 a +b +ai =1−i ， 所以 {a +b =1,a =−1,解得 a =−1，b =2．【知识点】复数的乘除运算、共轭复数21. 【答案】首先若 z ∈R ，显然 z +4z ∈R ，再由 ∣z −2∣=2⇒z =4，若 x ∉R ，则设 z =x +yi (y ≠0)，z +4z =x +yi +4(x−yi )x 2+y 2=x +4x x 2+y 2+i (y −4yx 2+y 2)∈R ⇒y −4y x 2+y 2=0．因为 y ≠0， 所以 1−4x 2+y 2=0， 所以 x 2+y 2=4，又由 ∣z −2∣=∣x −2+yi ∣=2⇒(x −2)2+y 2=4， 所以 x =1，y =±√3， 所以 z =1±√3i ，所以复数 z =4 或 z =1±√3i ． 【知识点】复数的乘除运算22. 【答案】(1) z 1⋅z 2=(1+2i )⋅(3−4i )=11+2i ． 由已知得 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)， 所以 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×3+2×(−4)=−5． (2) 因为 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b )，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d )，所以 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ac +bd ，∣OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=(ac +bd )2． 又因为 ∣z 1⋅z 2∣2=(ac −bd )2+(ad +bc )2，于是 ∣z 1⋅z 2∣2−∣OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣2=(ad −bc )2≥0， 所以 ∣OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≤∣z 1⋅z 2∣．当 ad =bc ，即 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，该不等式取等号． 【知识点】复数的乘除运算。
7.2复数的四则运算-高一数学同步备课系列(中档题,人教A版2019必修第二册)(解析版)
7.2复数的四则运算【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】一、单选题1．已知()12i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】由复数除法求得z 后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．【详解】 由题意22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限． 故选：D ．2．如图，若向量OZ 对应的复数为z ，且z =1z=（ ）A ．1255i +B ．1255i --C ．1255i -D ．1255i -+ 【答案】D【分析】根据复数的求出复数z ，然后再计算1z ．【详解】由题意，设1(0)z bi b =-+>，则z ==2b =，即12z i =-+， 所以1112121212(12)(12)555iii i i i z -+-+====-+-----+．故选：D ．3．已知复数1z i =+，z 是z 的共轭复数，若z ·a =2+bi ，其中a ，b 均为实数，则b 的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.【详解】因为1z i =+，所以1z i =-， 因此221bibz i i a a a +==+=-， 所以21a 且1,ba =-则2,2ab ==-.故选：A4．复数cos67.5sin 67.5z i =+，则22zz =（ ）A ．22-B ．22-+C ．22--D ．1【分析】根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意，复数cos67.5sin 67.5z i =+，可得222cos 67.5sin 67.51z =+=， 2222(cos 67.5sin 67.5)cos135sin13522z i i =+=+=-+，所以2222i z z ===--. 故选：C.5．已知i 为虚数单位，且3(1)i z i +=，则复数z 的虚部为（ ）A ．12i -B ．12-C ．12D ．12i 【答案】B【分析】 根据复数运算法则结合21i =-，求解31i z i =+即可得出选项. 【详解】由题3(1)i z i +=，又21i =-，3(1)11111(1)(122)2i i i i i z i i i i i -----∴=====--+++-. 所以复数z 的虚部为12-6．若纯虚数z 满足()235z i mi ⋅-=+，则实数m 的值为（ ）A ．152- B ．152 C ．103- D ．103【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，根据题意可得出关于实数m 的等式，进而可求得实数m 的值.【详解】 由题意得，()()()()52351031522323231313mi i mimmz i i i i +++-+===+--+，则10301520m m -=⎧⎨+≠⎩，解得103m =，故选：D.7．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且11z i =-（i 为虚数单位），则212z z +=（）A B C ．10 D ．2【答案】A【分析】首先求2z ，再计算212z z +，最后根据公式计算模.【详解】21z i =--，()()2212112113z z i i i i i +=-+--=---=--，所以21213z z i +=--==故选：A8．i对应的点的坐标为（ ）A ．(2，12-)B ．(2，32-)C ．12-)D ．32-) 【答案】A【分析】把复数化为代数形式，可得对应点坐标．【详解】12i i i i =+==-，对应点坐标为12⎫-⎪⎪⎝⎭．故选：A ．二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若12,z z 互为共轭复数，则12z z 为实数B ．若i 为虚数单位，n 为正整数，则43n i i +=C ．复数52i -的共轭复数为2i -- D ．若m 为实数，i 为虚数单位，则“213m <<”是“复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件【答案】AD【分析】根据复数的概念与运算法则判断各选项．【详解】设221212,,z a bi z a bi z z a b R =+=-=+∈，所以A 正确；43i i n +=-，所以B 错；522i i =---，所以共轭复数为2i -+，所以C 错； 复数(3)(2)(32)(1)m i i m m i +-+=-+-在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件是32010m m ->⎧⎨-<⎩，即213m <<，所以D 正确， 故选：AD ．10．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是（ ）A ．12+B ．12-+C ．12-D ．1【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可.【详解】解：对A ，当122z =+时， 31z -122+- ⎪ ⎪⎭=⎝ 211122⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 213121334242i i i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误；对B ，当12z =-+时， 31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭= 21112222⎛⎫⎛⎫-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭142i =-- ⎪ ⎪⎝⎭13144=+- 0=，故310z -=，B 正确；对C ，当12z =--时， 31z -3112⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+- 0=故310z -=，C 正确；对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确.故选：BCD.三、填空题11．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________．【答案】5 -1 2【分析】根据复数的加法法则和减法法则分别求出z 1＋z 2，z 2－z 1，再根据复数相等的定义得到方程组，解出即可.【详解】z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a )i ＝－1＋(3＋a )i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以1383b a a c =-⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得152b a c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为： 5；-1；2.12．复数z 满足122z z i+=-，则=z _______________________． 【答案】21515i - 【分析】设,,z a bi a b R =+∈，然后根据22()5i a bi a bi +++=-建立方程组求解即可. 【详解】 设,,z a bi a b R =+∈，因为22()5i a bi a bi +++=-，所以225125a ab b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得25a =，115b =-，即21515z i =- 故答案为：21515i - 13．设z 1＝i ＋i 2＋i 3＋＋i 11，z 2＝i 1·i 2··i 12，则z 1·z 2＝________. 【答案】1【分析】利用*,n i n N ∈的周期性求出12,z z ，从而可求12z z【详解】对任意的*n N ∈，若41,n k k N =+∈，则41k i i +=，若42,n k k N =+∈，则421k i +=-， 若43,n k k N =+∈，则43k i i +=-，若44,n k k N =+∈，则441k i +=， 故()121111z i i i i =--++--=-， ()()()()221111z i i i i =⋅-⋅-⋅⋅⋅-⋅-=-⎡⎤⎣⎦，故121z z =，故答案为：114．设复数1z 、2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中||A =12||||z A z A +⋅+=_______. 【答案】6【分析】根据复数的运算性质，对12||||z A z A +⋅+进行化简后把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入可得答案.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，,,,a b c d R ∈，12z z a bi c di ⋅=+⋅+=()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i ⋅=++=-++==所以1212z z z z ⋅=⋅， 所以121212||||||||||||z A z A z A z A z A z A +⋅+=+⋅+=+⋅+121212|()()|||z A z A z z z A A z A A =+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅， 把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入上式，得212||||||||6z A z A A A A +⋅+=⋅==.故答案为：6.四、解答题15．已知z 是复数，若z i +为实数，2z -为纯虚数，①求复数z ；①求21z z i-+的值．【答案】①2z i =-；【分析】①设复数z a bi =+，根据题意求出,a b 即可求解.①由①，利用复数的乘、除运算以及复数模的计算公式即可求解.【详解】①设复数z a bi =+，则1z i a b i ，()22z a bi -=-+，因为z i +为实数，2z -为纯虚数，则10200b a b +=⎧⎪-=⎨⎪≠⎩，解得2a =，1b =-，所以2z i =-. ①()()()()()()2222131131211111i i i i z z i i i i i i i -------====--=++++- 16．已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位. （1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】（1）|z |=2z i =+；（2）4m =-，5n =．【分析】（1）利用复数的运算法则求出2z i =-，由此能求出||z 和z ．（2）由复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，得到2(2)(2)0i m i n -+-+=，整理得()32(4)0m n m i ++-+=，由此能求出实数m ，n ． 【详解】解：（1）复数55(12)1112(12)(12)i z i i i i i -=++=++++- 1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2）复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩， 解得4m =-，5n =．【点睛】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．。
第七章 复数(基础卷)高一数学单元提升卷(人教A版2019必修第二册)
第七章复数（基础卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z＝（a﹣2i）（2+i）（a为实数，i为虚数单位）为纯虚数，则|z|＝（）A．B．3C．5D．【答案】C【分析】利用复数的运算及纯虚数、复数的模的概念求得结果．【解答】解：由题设知：z＝（a﹣2i）（2+i）＝（2a+2）+（a﹣4）i，∵z为纯虚数，∴2a+2＝0，解得：a＝﹣1，∴z＝﹣5i，|z|＝5，故选：C．【知识点】复数的模2.设复数z满足z﹣||＝i﹣2，则z的虚部为（）A．﹣B．﹣﹣i C．i D．1【答案】D【分析】设复数z＝x+yi，x、y∈R，由复数相等列方程求出y的值即可．【解答】解：设复数z＝x+yi，x、y∈R，由z﹣||＝i﹣2，得（x+yi）﹣＝i﹣2，即（x﹣）+yi＝﹣2+i；所以y＝1，即z的虚部为1．故选：D．【知识点】复数的运算3.已知z＝，则在复平面内z对应的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【答案】D【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求解．【解答】解：z＝＝＝﹣2﹣i，则z对应的点（﹣2，﹣1）．故选：D．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义、复数的运算4.已知复数z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【答案】C【分析】由已知结合复数的几何意义及点的坐标特点即可求解．【解答】解：z＝（m+1）+（m﹣1）i（i为虚数单位，m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，所以m+1＞0且m﹣1＜0，解得﹣1＜m＜1．故选：C．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义5.若复数z满足z（2﹣i）＝（1+4i）（i是虚数单位），则复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】先对复数进行化简，然后结合复数的几何意义即可求解．【解答】解：由z（2﹣i）＝（1+4i）得z＝＝＝＝﹣，所以＝，所以在复平面中对应的点（﹣）在第三象限．故选：C．【知识点】复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义6.若复数z满足z（2﹣i）＝1+4i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣i【答案】B【分析】由题意求出复数z，再写出z的共轭复数．【解答】解：由z（2﹣i）＝1+4i，得z＝＝＝＝﹣+i，所以复数z的共轭复数为＝﹣﹣i．故选：B．【知识点】复数的运算7.已知复数z＝1+i（i为虚数单位），若a+bi＝，则a+b2020＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】D【分析】根据共轭复数和复数相等的定义求出a、b的值，再计算a+b2020．【解答】解：复数z＝1+i，且a+bi＝＝1﹣i，所以a＝1，b＝﹣1，所以a+b2020＝1+（﹣1）2020＝2．故选：D．【知识点】复数的运算8.定义复数的一种运算z1*z2＝（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi，且正实数a，b满足a+b＝3，则z*最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先由新定义用a和b表示出z*，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：z*＝，∴，z*＝．故选：B．【知识点】基本不等式及其应用、虚数单位i、复数9.设z∈C，且|z|＝1，当|（z﹣1）（z﹣i）|最大时，z＝（）A．﹣1B．﹣i C．﹣﹣i D．+i【答案】C【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解．特别注意：令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝【解答】解：|z|＝1，设z＝cosθ+i sinθ，则|（z﹣1）（z﹣i）|＝2令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ﹣sinθ﹣cosθ+1＝∴当t＝即θ＝时，|（z﹣1）（z﹣i）|取最大值，此时，z＝﹣﹣i．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义10.复数i+2i2+3i3+4i4+…+2016i2016的虚部是（）A．1008B．﹣1008C．1008i D．﹣1008i【答案】B【分析】利用错位相减法进行求和化简即可．【解答】解：设S＝i+2i2+3i3+4i4+ (2016i2016)则iS＝i2+2i3+3i4+4i5+ (2016i2017)两式相减得（1﹣i）S＝i+i2+i3+i4+…+i2016﹣2016i2017，＝﹣2016i＝﹣2016i＝﹣2016i，则S＝＝＝1008﹣1008i，则对应复数的虚部为﹣1008，故选：B．【知识点】复数的运算11.已知x、y均为实数，记max{x，y}＝，min{x，y}＝．若i表示虚数单位，且a＝x1+y1i，b＝x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|}B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|}C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2【答案】D【分析】通过转化为向量加法与减法的几何意义，结合题目中的取最大与最小值，对选项中的问题进行分析判断，对错误选项进行排除即可．【解答】解：∵a＝x1+y1i，b＝x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，∴可记＝（x1，y1），＝（x2，y2），则||＝|a|，||＝|b|，∴|±|2＝||2+||2±2||•||，∴max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2成立，D正确；对于A，当⊥时，易知不等式不成立，C不正确；对于B，当＝且均不为零向量时，易知不等式不成立，B不正确；对于C，当＝且均不为零向量时，易知不等式不成立，C不正确；故选：D．【知识点】复数的模、复数的运算12.给出下列命题（1）实数的共轭复数一定是实数；（2）满足|z﹣i|+|z+i|＝2的复数z的轨迹是椭圆；（3）若m∈Z，i2＝﹣1，则i m+i m+1+i m+2+i m+3＝0；（4）若“a，b，c是不全相等的实数”，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；（5）若“a，b，c是不全相等的实数”，a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立其中正确命题的序号是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（5）D．（3）（4）（5）【答案】B【分析】（1）利用共轭复数的定义即可判断出正误；（2）满足|z﹣i|+|z+i|＝2的复数z的轨迹是线段，即可判断出结论；（3）利用复数的周期性即可判断出结论；（4）若“a，b，c是不全相等的实数”，a﹣b，b﹣c，c﹣a必有一个不等于0，即可判断出结论；（5）若“a，b，c是不全相等的实数”，a≠b，b≠c，c≠a可能同时成立，即可判断出结论．【解答】解：（1）实数的共轭复数一定是实数，正确；（2）满足|z﹣i|+|z+i|＝2的复数z的轨迹是线段，因此不正确；（3）若m∈Z，i2＝﹣1，则i m+i m+1+i m+2+i m+3＝0，正确；（4）若“a，b，c是不全相等的实数”，a﹣b，b﹣c，c﹣a必有一个不等于0，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0，正确；（5）若“a，b，c是不全相等的实数”，a≠b，b≠c，c≠a可能同时成立，不正确．其中正确命题的序号是（1）（3）（4）．故选：B．【知识点】虚数单位i、复数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.复数的虚部是．【答案】1【分析】利用复数的运算，求得结果即可．【解答】解：∵复数＝＝3+i，∴复数的虚部是1，故答案为：1．【知识点】复数的运算14.如复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为．【答案】0【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，又已知复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：∵z＝+m（1﹣i）＝+m（1﹣i）＝m+（1﹣m）i为纯虚数，∴，解得m＝0．则实数m的值为：0．故答案为：0．【知识点】复数的运算15.若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为【答案】1【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式放缩后解不等式即可得出．【解答】解：设z＝a+bi；|1﹣z|•|1+z|＝2，即：2＝•＝＝，令|z|＝t．（t＞0），则t2＝a2+b2，所以2＝⇒4＝t4+2t2+1﹣4a2，因为a2≥0，所以4≤t4+2t2+1，所以t4+2t2﹣3≥0，解得：t2≥1或者t2≤﹣3（舍），所以t≥1，故答案为：1．【知识点】复数的运算16.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）先把分子变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1）＝（）（1+i）＝（）（1+i）＝；（2）＝＝＝．【知识点】复数的运算18.已知复数z＝1+mi（m∈R，i为虚数单位），且（1﹣i）z为实数．（1）求复数z；（2）设复数z1＝x+yi（x，y∈R）满足，求|z1|的最小值．【分析】（1）根据复数是实数的条件进行求解即可．（2）结合复数模长的几何意义进行转化求解即可．【解答】解：（1）由z＝1+mi（m∈R），得（1﹣i）z＝（1﹣i）（1+mi）＝（1+m）+（m﹣1）i，∵（1﹣i）z为实数，∴m﹣1＝0，∴m＝1．∴z＝1+i（2）设z1＝x+yi（x，y∈R），，∵，∴|（x+yi）﹣（1﹣i）|＝1，即|（x﹣1）+（y+1）i|＝1，∴（x﹣1）2+（y+1）2＝1，即复数z1在复平面内对应的点的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，以1为半径的圆．∴|z1|的最小值为．【知识点】复数的模19.已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，m∈R．（Ⅰ）当复数z为实数时，求m的值；（Ⅱ）当复数z为虚数时，求m的值；（Ⅲ）当复数z为纯虚数时，求m的值．【分析】（Ⅰ）当复数z为实数时，可得m2﹣3m＝0，然后求出m；（Ⅱ）当复数z为虚数时，可得m2﹣3m≠0，然后求出m；（Ⅲ）当复数z为纯虚数时，可得，然后求出m．【解答】解：z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i．（Ⅰ）当复数z为实数时，m2﹣3m＝0，∴m＝0或m＝3；（Ⅱ）当复数z为虚数时，m2﹣3m≠0，∴m≠0且m≠3；（Ⅲ）当复数z为纯虚数时，，∴m＝2．【知识点】虚数单位i、复数20.已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．【解答】解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【知识点】复数的运算21.已知复数z＝（m2﹣5m+6）+（m﹣2）i（m∈R）．（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据纯虚数的定义建立不等式组进行求解即可．（2）根据复数的几何意义求出点的坐标，结合点位于第二象限，建立不等式关系进行求解．【解答】解：（1）若复数z为纯虚数，则，得得m＝3．（2）复数对应点的坐标为（m2﹣5m+6，m﹣2），若对应的点在第二象限，则，得，得2＜m＜3，即实数m的取值范围是（2，3）．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义22.设z1是虚数，z2＝z1+是实数，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．（2）若ω＝，求证：ω为纯虚数．（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0），则z2＝z1+＝a+bi+＝a+bi+＝a++【分析】（b﹣）i．根据z2是实数，b≠0，可得b﹣＝0．b≠0，即可得出．还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1，即可得出z1的实部的取值范围．（2）由a2+b2＝1，代入ω＝化简即可证明．【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0），则z2＝z1+＝a+bi+＝a+bi+＝a+bi+﹣i＝a++（b﹣）i．∵z2是实数，b≠0，∴b﹣＝0．b≠0，于是有a2+b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得﹣≤a≤，即z1的实部的取值范围．（2）证明：ω＝＝＝＝＝＝﹣i．∵a∈，b≠0，∴ω为纯虚数．【知识点】复数的运算23.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，结合复数相等进行求解即可（Ⅱ）设z＝a+bi，结合ω是实数求出a，b的取值范围，结合复数的有关概念进行证明求解即可．【解答】解：（Ⅰ）原方程等价为|z|2+（z+）i＝＝1﹣i，设z＝x+yi，x，y∈R，代入方程整理得x2+y2+2xi＝1﹣i，得得，即z＝﹣±i．（Ⅱ）（1）z＝a+bi，a，b∈R且b≠0，则ω＝z+＝a+bi+＝（a+）+（b﹣）i，∵ω＝z+是实数，∴b﹣＝0，得1﹣＝0，即a2+b2＝1，即|z|＝1，则ω＝z+＝2a∈（﹣1，2），∴a∈（﹣，1）．（2）证明：＝＝＝，由（1）知a2+b2＝1，则μ＝i，∵a∈（﹣，1）．b≠0，∴μ是纯虚数．（3）ω﹣μ2＝2a+＝2a+＝2a﹣＝2a﹣1+＝2[（a+1）+]﹣3，∵a∈（﹣，1），∴a+1＞0，∴（a+1）+≥2＝2，当且仅当a+1＝，即a＝0时取等号，即ω﹣μ2＝2[（a+1）+]﹣3≥2×2﹣3＝1，即ω﹣μ2的最小值为1【知识点】复数的运算。
复数的几何意义同步练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
7.1.2 复数的几何意义（同步练习）一、选择题1.复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B.第二象限 C .第三象限 D.第四象限2.已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A .z 1＞z 2 B.z 1＜z 2 C .|z 1|＞|z 2| D.|z 1|＜|z 2|3.平行四边形OABC ，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则AB →的模|AB →|等于( ) A. 5 B.25 C .4 D.134.复数z ＝3－5i 在复平面内对应的点的坐标是( ) A .(3，－5) B.(3,5) C .(3，－5i) D.(3,5i)5.若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数( ) A .等于0 B .等于－3C .在虚轴上D .既不在实轴上，也不在虚轴上6.在复平面内，O 为原点，向量OA →表示的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →表示的复数为( ) A .－2－i B.1＋2i C.－2＋i D.－1＋2i7.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A .2 3 B.－23i C.3－3i D.3＋3i8.若复数z ＝－2＋i ，则复数z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是()A.|z|＝5B.复数z在复平面内对应的点在第四象限C.z的共轭复数为－1＋2iD.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x 上二、填空题10.若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________11.复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________12.设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________13.已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________三、解答题14.已知复数z1＝3－i，z2＝－12＋32i．(1)求|z1|，|z2|的值并比较大小．(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．15.已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝3sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；(2)|z2|＜2．参考答案及解析：一、选择题1.C 解析：z ＝－1－2i 对应点Z(－1，－2)，位于第三象限． ]2.D 解析：z 1，z 2不能比较大小，排除选项A ，B ，又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，故|z 1|＜|z 2|．3.D 解析：由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →|＝|3－2i|＝13．4.A 解析：复数z ＝3－5i 在复平面内对应的点的坐标是(3，－5)．5.C 解析：向量OZ →对应的复数为－3i ，在虚轴上．6.C 解析：由题意得A(－1,2)，则B(－2,1)，所以向量OB →表示的复数为－2＋i ． 7.B 解析：复数3－3i 对应的向量的坐标为(3，－3)，按顺时针方向旋转π3后得到新向量的坐标为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23i ．8.C 解析：复数z 的共轭复数z －＝－2－i ，在复平面内对应的点为(－2，－1)，位于第三象限．9.AC 解析：|z|＝(－1)2＋(－2)2＝5，A 正确；复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B 不正确；z 的共轭复数为－1＋2i ，C 正确；复数z 在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y ＝－2x 上，D 不正确．故选AC ．二、填空题10.答案：12 解析：由条件，知⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，所以m ＝3，因此z ＝12i ，故|z|＝12．11.答案：(3，＋∞)解析：∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0.解得x ＞3．12.答案：±i 解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝ai(a ∈R ，且a ≠0)，则|z －1|＝|ai －1|＝a 2＋1．又因为|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，即a 2＝1，所以a ＝±1，即z ＝±i ． 13.答案：5 解析：∵z ＝1＋2i ，∴|z|＝12＋22＝5．三、解答题14.解：(1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1． 所以|z 1|＞|z 2|．(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2．不等式1≤|z|≤2等价于不等式组⎩⎨⎧|z|≤2|z|≥1．因为满足|z|≤2的点Z 组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，而满足|z|≥1的点Z 组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，所以满足条件的点Z 组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．15.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称， 则⎩⎨⎧cos θ＝3sin θsin 2θ＝－cos θ所以⎩⎪⎨⎪⎧θ＝kπ＋π6θ＝2kπ＋76π或2kπ＋116π或kπ＋π2(k ∈Z)，所以θ＝2kπ＋76π(k ∈Z)．(2)由|z 2|＜2，得(3sin θ)2＋cos 2 θ＜2，即3sin 2θ＋cos 2θ＜2，所以sin 2θ＜12，π4＜θ＜kπ＋π4(k∈Z)．所以kπ－。
2022-2023学年高一下数学：复数(附答案解析)
2022-2023学年高一下数学：复数
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•湖南期中）已知复平面内向量（O为坐标原点）的坐标为（﹣2，1），则向量对应的复数为（）
A．﹣2+i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i
2．（2021
秋•丰台区期末）在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2021秋•嘉兴期末）复数z满足z（1﹣i）+1＝0，则|z|＝（）
A．1B ．C ．D ．
4．（2021秋•巍山县校级期末）已知复数z
满足＝1﹣i ，则＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．5．（2022•宝鸡模拟）复数的虚部（）
A．i B．﹣i C．1D．﹣1 6．（2021秋•市中区校级期中）已知复数，则Z﹣|Z|在复平面内对应的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2021秋•莲湖区校级期中）i
是虚数单位，计算等于（）
A．﹣2i B．0C．2i D．2 8．（2021秋•浙江期中）复数z＝a+（2﹣a）i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线y＝x上，则|z|＝（）
A ．B．2C ．D．10 9．（2021秋•无锡期中）设复数z满足2z +＝3+6i，则z等于（）
A．1+2i B．1+6i C．3+2i D．3+6i 10．（2021春•枣庄期中）瑞士著名数学家欧拉发现公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数
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（2）设 ，则 ，
即 ．
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
画图可知， 时， ．
答案：Ａ
7．已知复数 ， ，则 的最大值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3
答案：Ａ
8．已知 ，若 ，则 等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4
答案：Ｂ
9．在复平面内 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ．那么向量 对应的复数是（ ）
Ａ．1Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线
答案：Ａ
二、填空题
13．若复数 所对应的点在第四象限，则 为第象限角．
答案：一
14．复数 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为．
答案：
15．已知 ，则 ．
答案：2
16．定义运算 ，则符合条件 的复数 ．
答案：
三、解答题
17．已知复数 的模为 ，求 的最大值．
解： ，
答案：Ａ
7．设 ， 为锐角三角形的两个内角，则复数 对应的点位于复平面的（ ）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
答案：Ｂ
8．已知 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． －
答案：Ｂ
9．复数 ，且 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
答案：Ｃ
10． 表示（ ）
Ａ．点 与点 之间的距离
Ｂ．点 与点 之间的距离
则 ， ， ， ．
．
20．已知 是复数， 与 均为实数，且复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
解：设 ， 为实数， ．
为实数，
，则 ．
在第一象限，
解得 ．
21．已知关于 的方程 有实数根 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）若复数 满足 ，求 为何值时， 有最小值并求出最小值．
解：（1）（1）将 代入题设方程，整理得 ，
答案：Ｄ
4．设 ， 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
Ａ．若 ，则
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 是纯虚数或零
答案：Ｄ
5．设 ， ，则下列命题中正确的是（ ）
Ａ． 的对应点 在第一象限
Ｂ． 的对应点 在第四象限
Ｃ． 不是纯虚数
Ｄ． 是虚数
答案：Ｄ
6．若 是实系数方程 的一个根，则方程的另一个根为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｃ．点 与原点的距离
Ｄ．点 与点 之间的距离
答案：Ａ
11．已知 ， ，则 的最大值和最小值分别是（ ）
Ａ． 和 Ｂ．3和1
Ｃ． 和 Ｄ． 和3
答案：Ａ
12．已知 ， ， ， ， ，则 （ ）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ．2Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．若 ，已知 ， ，则 ．
答案：
14．“复数 ”是“ ”的．
答案：必要条件，但不是充分条件
复数的运算测试题
一、选择题
1． 是复数 为纯虚数的（）
Ａ．充分条件但不是必要条件
Ｂ．必要条件但不是充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不是充分也不必要条件
答案：Ｂ
2．若 ， ， 的和所对应的点在实轴上，则 为（ ）
Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．—1
答案：Ｄ
3．复数 对应的点在虚轴上，则（ ）
Ａ． 或 Ｂ． 且 Ｃ． Ｄ． 或
因为 ， ，所以 为纯虚数；
3）解：
因为 ，所以 ，
故 ．
当 ，即 时， 取得最小值1．
复数的运算测试题
一、选择题
1．实数 ， 满足 ，则 的值是（ ）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．—2Ｄ．—1
答案：Ａ
2．复数 ， 的几何表示是段 ，点 ， 的坐标分别为
Ｄ．（Ｃ）中线段 ，但应除去原点
（4）对应点在第二象限．
解：
（1） 为实数 且 ，解得 ；
（2） 为虚数
解得 且 ；
（3） 为纯虚数
解得 ；
（4） 对应的点在第二象限
解得 或 ．
19．设 为坐标原点，已知向量 ， 分别对应复数 ，且 ， ， ．若 可以与任意实数比较大小，求 ， 的值．
解： ，则 的虚部为0，
．
解得 或 ．
又 ， ．
答案：Ｃ
3． ，若 ，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
4．已知复数 ， ，若 ，则（ ）
Ａ ． 或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．已知复数 满足 的复数 的对应点的轨迹是（ ）
Ａ．1个圆Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆
答案：Ａ
6．设复数 在映射 下 的象是 ，则 的原象为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． －
，故 在以 为圆心，
为半径的圆上， 表示圆上的点 与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 ．
1 8．已知 为实数．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ， 的值．
解：（1） ，
；
（2）由条件，得 ，
，
解得
19．已知 ， ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的取值范围．
解： ，
，
对 恒成立．
② ，若 ，则 ；
③若 是纯虚数，则实数 ；
④ 是虚数的一个充要条件是 ；
⑤若 是两个相等的实数，则 是纯虚数；
⑥ 的一个充要条件是 ．
Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3
答案：Ｂ
11．复数 等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
12．复数 满足条件： ，那么 对应的点的轨迹是（ ）
当 ，即 时，不等式成立；
当 时，
综上， ．
20．已知 ， 是纯虚数，又 ，求 ．
解：设设
．
为纯虚数，
．
． ．
把 代入 ，解得 ．
．
．
21．复数 且 ， 对应的点在第一象限内，若复数 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 ， 的值．
解： ，
由 ，得 ． ①
复数0， ， 对应的点 是正三角形的三个顶点，
15． ， 分别是复数 ， 在复平面上对应的两点， 为原点，若 ，则 为．
答案：直角
16．若 是整数，则 ．
答案： 或
三、解答题
17．已知复数 对应的点落在射线 上， ，求复数 ．
解：设 ，则 ，
由题意得 ①
又由 ，得 ，②
由①，②解得 ．
18．实数为何值时，复数 ．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
，
把 代入化简，得 ． ②
又 点在第一象限内， ， ．
由①②，得
故所求 ， ．
22．设设 是虚数 是实数，且 ．
（1）求 的值及 的实部的取值范围．
（2）设 ，求证： 为纯虚数；
（3）求 的最小值．
（1）解：设 ，
则 ．
因为 是实数， ，所以 ，即 ．
于是 ，即 ， ．
所以 的实部的取值范围是 ；
（2）证明： ．