高一数学复数的运算练习题
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（4）对应点在第二象限．
解：
（1） 为实数 且 ，解得 ；
（2） 为虚数
解得 且 ；
（3） 为纯虚数
解得 ；
（4） 对应的点在第二象限
解得 或 ．
19．设 为坐标原点，已知向量 ， 分别对应复数 ，且 ， ， ．若 可以与任意实数比较大小，求 ， 的值．
解： ，则 的虚部为0，
．
解得 或 ．
又 ， ．
答案：Ａ
7．已知复数 ， ，则 的最大值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3
答案：Ａ
8．已知 ，若 ，则 等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4
答案：Ｂ
9．在复平面内 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ．那么向量 对应的复数是（ ）
Ａ．1Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
② ，若 ，则 ；
③若 是纯虚数，则实数 ；
④ 是虚数的一个充要条件是 ；
⑤若 是两个相等的实数，则 是纯虚数；
⑥ 的一个充要条件是 ．
Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3
答案：Ｂ
11．复数 等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
12．复数 满足条件： ，那么 对应的点的轨迹是（ ）
答案：Ａ
7．设 ， 为锐角三角形的两个内角，则复数 对应的点位于复平面的（ ）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
答案：Ｂ
8．已知 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ．Leabharlann BaiduＣ． Ｄ． －
答案：Ｂ
9．复数 ，且 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
答案：Ｃ
10． 表示（ ）
Ａ．点 与点 之间的距离
Ｂ．点 与点 之间的距离
则 且 ，解得 ；
（2）设 ，则 ，
即 ．
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
画图可知， 时， ．
，
把 代入化简，得 ． ②
又 点在第一象限内， ， ．
由①②，得
故所求 ， ．
22．设设 是虚数 是实数，且 ．
（1）求 的值及 的实部的取值范围．
（2）设 ，求证： 为纯虚数；
（3）求 的最小值．
（1）解：设 ，
则 ．
因为 是实数， ，所以 ，即 ．
于是 ，即 ， ．
所以 的实部的取值范围是 ；
（2）证明： ．
Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线
答案：Ａ
二、填空题
13．若复数 所对应的点在第四象限，则 为第象限角．
答案：一
14．复数 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为．
答案：
15．已知 ，则 ．
答案：2
16．定义运算 ，则符合条件 的复数 ．
答案：
三、解答题
17．已知复数 的模为 ，求 的最大值．
解： ，
因为 ， ，所以 为纯虚数；
3）解：
因为 ，所以 ，
故 ．
当 ，即 时， 取得最小值1．
复数的运算测试题
一、选择题
1．实数 ， 满足 ，则 的值是（ ）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．—2Ｄ．—1
答案：Ａ
2．复数 ， 的几何表示是（ ）
Ａ．虚轴
Ｂ．虚轴除去原点
Ｃ．线段 ，点 ， 的坐标分别为
Ｄ．（Ｃ）中线段 ，但应除去原点
答案：Ｃ
3． ，若 ，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
4．已知复数 ， ，若 ，则（ ）
Ａ ． 或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．已知复数 满足 的复数 的对应点的轨迹是（ ）
Ａ．1个圆Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆
答案：Ａ
6．设复数 在映射 下 的象是 ，则 的原象为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． －
，故 在以 为圆心，
为半径的圆上， 表示圆上的点 与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 ．
1 8．已知 为实数．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ， 的值．
解：（1） ，
；
（2）由条件，得 ，
，
解得
19．已知 ， ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的取值范围．
解： ，
，
对 恒成立．
15． ， 分别是复数 ， 在复平面上对应的两点， 为原点，若 ，则 为．
答案：直角
16．若 是整数，则 ．
答案： 或
三、解答题
17．已知复数 对应的点落在射线 上， ，求复数 ．
解：设 ，则 ，
由题意得 ①
又由 ，得 ，②
由①，②解得 ．
18．实数为何值时，复数 ．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
复数的运算测试题
一、选择题
1． 是复数 为纯虚数的（）
Ａ．充分条件但不是必要条件
Ｂ．必要条件但不是充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不是充分也不必要条件
答案：Ｂ
2．若 ， ， 的和所对应的点在实轴上，则 为（ ）
Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．—1
答案：Ｄ
3．复数 对应的点在虚轴上，则（ ）
Ａ． 或 Ｂ． 且 Ｃ． Ｄ． 或
则 ， ， ， ．
．
20．已知 是复数， 与 均为实数，且复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
解：设 ， 为实数， ．
为实数，
，则 ．
在第一象限，
解得 ．
21．已知关于 的方程 有实数根 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）若复数 满足 ，求 为何值时， 有最小值并求出最小值．
解：（1）（1）将 代入题设方程，整理得 ，
Ｃ．点 与原点的距离
Ｄ．点 与点 之间的距离
答案：Ａ
11．已知 ， ，则 的最大值和最小值分别是（ ）
Ａ． 和 Ｂ．3和1
Ｃ． 和 Ｄ． 和3
答案：Ａ
12．已知 ， ， ， ， ，则 （ ）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ．2Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．若 ，已知 ， ，则 ．
答案：
14．“复数 ”是“ ”的．
答案：必要条件，但不是充分条件
当 ，即 时，不等式成立；
当 时，
综上， ．
20．已知 ， 是纯虚数，又 ，求 ．
解：设设
．
为纯虚数，
．
． ．
把 代入 ，解得 ．
．
．
21．复数 且 ， 对应的点在第一象限内，若复数 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 ， 的值．
解： ，
由 ，得 ． ①
复数0， ， 对应的点 是正三角形的三个顶点，
答案：Ｄ
4．设 ， 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
Ａ．若 ，则
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 是纯虚数或零
答案：Ｄ
5．设 ， ，则下列命题中正确的是（ ）
Ａ． 的对应点 在第一象限
Ｂ． 的对应点 在第四象限
Ｃ． 不是纯虚数
Ｄ． 是虚数
答案：Ｄ
6．若 是实系数方程 的一个根，则方程的另一个根为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：
（1） 为实数 且 ，解得 ；
（2） 为虚数
解得 且 ；
（3） 为纯虚数
解得 ；
（4） 对应的点在第二象限
解得 或 ．
19．设 为坐标原点，已知向量 ， 分别对应复数 ，且 ， ， ．若 可以与任意实数比较大小，求 ， 的值．
解： ，则 的虚部为0，
．
解得 或 ．
又 ， ．
答案：Ａ
7．已知复数 ， ，则 的最大值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3
答案：Ａ
8．已知 ，若 ，则 等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4
答案：Ｂ
9．在复平面内 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ．那么向量 对应的复数是（ ）
Ａ．1Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
② ，若 ，则 ；
③若 是纯虚数，则实数 ；
④ 是虚数的一个充要条件是 ；
⑤若 是两个相等的实数，则 是纯虚数；
⑥ 的一个充要条件是 ．
Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3
答案：Ｂ
11．复数 等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
12．复数 满足条件： ，那么 对应的点的轨迹是（ ）
答案：Ａ
7．设 ， 为锐角三角形的两个内角，则复数 对应的点位于复平面的（ ）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
答案：Ｂ
8．已知 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ．Leabharlann BaiduＣ． Ｄ． －
答案：Ｂ
9．复数 ，且 ，则 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
答案：Ｃ
10． 表示（ ）
Ａ．点 与点 之间的距离
Ｂ．点 与点 之间的距离
则 且 ，解得 ；
（2）设 ，则 ，
即 ．
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
画图可知， 时， ．
，
把 代入化简，得 ． ②
又 点在第一象限内， ， ．
由①②，得
故所求 ， ．
22．设设 是虚数 是实数，且 ．
（1）求 的值及 的实部的取值范围．
（2）设 ，求证： 为纯虚数；
（3）求 的最小值．
（1）解：设 ，
则 ．
因为 是实数， ，所以 ，即 ．
于是 ，即 ， ．
所以 的实部的取值范围是 ；
（2）证明： ．
Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线
答案：Ａ
二、填空题
13．若复数 所对应的点在第四象限，则 为第象限角．
答案：一
14．复数 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为．
答案：
15．已知 ，则 ．
答案：2
16．定义运算 ，则符合条件 的复数 ．
答案：
三、解答题
17．已知复数 的模为 ，求 的最大值．
解： ，
因为 ， ，所以 为纯虚数；
3）解：
因为 ，所以 ，
故 ．
当 ，即 时， 取得最小值1．
复数的运算测试题
一、选择题
1．实数 ， 满足 ，则 的值是（ ）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．—2Ｄ．—1
答案：Ａ
2．复数 ， 的几何表示是（ ）
Ａ．虚轴
Ｂ．虚轴除去原点
Ｃ．线段 ，点 ， 的坐标分别为
Ｄ．（Ｃ）中线段 ，但应除去原点
答案：Ｃ
3． ，若 ，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
4．已知复数 ， ，若 ，则（ ）
Ａ ． 或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．已知复数 满足 的复数 的对应点的轨迹是（ ）
Ａ．1个圆Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆
答案：Ａ
6．设复数 在映射 下 的象是 ，则 的原象为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． －
，故 在以 为圆心，
为半径的圆上， 表示圆上的点 与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知 的最大值为 ．
1 8．已知 为实数．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ， 的值．
解：（1） ，
；
（2）由条件，得 ，
，
解得
19．已知 ， ，对于任意 ，均有 成立，试求实数 的取值范围．
解： ，
，
对 恒成立．
15． ， 分别是复数 ， 在复平面上对应的两点， 为原点，若 ，则 为．
答案：直角
16．若 是整数，则 ．
答案： 或
三、解答题
17．已知复数 对应的点落在射线 上， ，求复数 ．
解：设 ，则 ，
由题意得 ①
又由 ，得 ，②
由①，②解得 ．
18．实数为何值时，复数 ．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
复数的运算测试题
一、选择题
1． 是复数 为纯虚数的（）
Ａ．充分条件但不是必要条件
Ｂ．必要条件但不是充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不是充分也不必要条件
答案：Ｂ
2．若 ， ， 的和所对应的点在实轴上，则 为（ ）
Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．—1
答案：Ｄ
3．复数 对应的点在虚轴上，则（ ）
Ａ． 或 Ｂ． 且 Ｃ． Ｄ． 或
则 ， ， ， ．
．
20．已知 是复数， 与 均为实数，且复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
解：设 ， 为实数， ．
为实数，
，则 ．
在第一象限，
解得 ．
21．已知关于 的方程 有实数根 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）若复数 满足 ，求 为何值时， 有最小值并求出最小值．
解：（1）（1）将 代入题设方程，整理得 ，
Ｃ．点 与原点的距离
Ｄ．点 与点 之间的距离
答案：Ａ
11．已知 ， ，则 的最大值和最小值分别是（ ）
Ａ． 和 Ｂ．3和1
Ｃ． 和 Ｄ． 和3
答案：Ａ
12．已知 ， ， ， ， ，则 （ ）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ．2Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．若 ，已知 ， ，则 ．
答案：
14．“复数 ”是“ ”的．
答案：必要条件，但不是充分条件
当 ，即 时，不等式成立；
当 时，
综上， ．
20．已知 ， 是纯虚数，又 ，求 ．
解：设设
．
为纯虚数，
．
． ．
把 代入 ，解得 ．
．
．
21．复数 且 ， 对应的点在第一象限内，若复数 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数 ， 的值．
解： ，
由 ，得 ． ①
复数0， ， 对应的点 是正三角形的三个顶点，
答案：Ｄ
4．设 ， 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
Ａ．若 ，则
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 是纯虚数或零
答案：Ｄ
5．设 ， ，则下列命题中正确的是（ ）
Ａ． 的对应点 在第一象限
Ｂ． 的对应点 在第四象限
Ｃ． 不是纯虚数
Ｄ． 是虚数
答案：Ｄ
6．若 是实系数方程 的一个根，则方程的另一个根为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．