复数的概念、几何意义及运算

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详解复数的运算和几何意义

详解复数的运算和几何意义复数是一种能够表示虚数单位 i 的数，它由实部和虚部组成，通常用 a+bi 的形式表示。

在现实生活中，复数的应用非常广泛，从电阻电容电感电路的计算到信号处理和量子计算，都少不了复数。

本文将详解复数的运算和几何意义。

一、基本概念首先，让我们来了解一些复数的基本概念。

实部和虚部是构成复数的两个基本元素，实部记为 Re(z)，虚部记为 Im(z)。

在复平面上，实部沿着 x 轴正半轴方向，虚部沿着 y 轴正半轴方向，因此复数可以看做一个有序对 (a,b)，a 是实部，b 是虚部。

复数的加减运算与实数的加减运算类似，只需将其实部和虚部分别相加减即可。

例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则z1+z2=(2+4)+(3+5)i=6+8i，z1-z2=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。

复数的乘法运算也是有许多规律的。

例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则 z1*z2=(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i。

从几何上讲，复数乘法的效果是将一个复数旋转了一个角度，并将其尺寸拉伸了一定的倍数。

具体来讲，设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cosθ2+isin θ2)，则z1*z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))。

二、复数的除法复数的除法运算比较复杂，它涉及到两个复数的逆元的求解。

我们可以将除法转化为乘法，即 z1/z2=z1*1/z2。

因此，只要求出z2 的逆元即可。

设 z2=a+bi，则 z2 的逆元为 1/z2=(a-bi)/(a^2+b^2)。

将其带入上式，则可得到z1/z2=r1/r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))。

三、复数的共轭复数的共轭是指改变虚部的符号，即将 z=a+bi 的共轭记为z_bar=a-bi。

共轭的作用很广泛，它可以用来求模长、求逆元等。

例如，设 z=a+bi，则|z|^2=z*z_bar=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2，1/z=z_bar/|z|^2=(a-bi)/(a^2+b^2)。

复数的基本运算与几何意义解释

复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。

一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。

加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。

二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。

三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。

四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。

复数的三角形式和运算

与代数形式转换方法
三角形式转换为代数形式
根据三角形式的定义，将$r(costheta + isintheta)$展开得到$rcostheta + irsintheta$。
将实部和虚部分别对应到代数形式的$a$和$b$，即得到代数形式$a + bi$。
03 复数运算规则
加减法运算规则
同类项合并
在复数的加减运算中，实部与实部相加、虚部与行化简，得到最简复数表达式。
乘法运算规则
分配律
复数乘法遵循分配律，即先将一个复数与另一个复数的实部和虚部分别相乘，再将所得的积相加。
乘法公式
根据复数乘法公式，可将两个复数的乘积表示为实部和虚部的形式。
除法运算规则
共轭复数
01
在复数除法中，为了消去分母中的虚部，需要引入共轭复数的
表示其振幅和相位。
阻抗和导纳
在正弦交流电路中，阻抗和导纳是描述电路元件对交流电信号响应的重要参数，它们可以用复数表示。
复数运算
通过复数的加、减、乘、除等运算，可以方便地分析正弦交流电路中的电压、电流和功率等问题。
阻抗匹配问题
阻抗匹配概念
阻抗匹配是指使负载阻抗与源阻抗共轭相等，以实现最大功率传输或最小反射功率的电路设计方法。
在复数 $z = a + bi$ 中，$a$ 称为复数的实部，$b$ 称为复数的虚部。
复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
复平面表示法
复平面
以实轴和虚轴为坐标轴的平面称为复平面，其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数。
复数的几何意义
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应的点为 $(a, b)$，该点到原点的距离表示复数的模长，与正实轴的夹角表示复数的辐角。

复数的基本概念和几何意义

复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它包含实数和虚数部分，可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分，i是虚数单位，它满足i^2 = -复数的几何意义可以通过复平面来理解。

复平面是一个二维平面，横轴表示实数轴，纵轴表示虚数轴。

复数可以在复平面上表示为一个点。

实数部分决定了复数的横坐标，虚数部分决定了复数的纵坐标。

复数的模长表示复数到原点的距离，即复数的绝对值，用，z，表示。

复数的几何意义可以表现在以下几个方面：1.向量：复数可以看作是向量，实部表示向量在横轴上的投影，虚部表示向量在纵轴上的投影。

复数的加减法对应了向量的加减法，复数的乘法对应了向量的缩放和旋转。

2. 极坐标：复数可以用极坐标表示，在复平面上，复数z可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示与正实数轴的夹角。

复数的极坐标形式可以简化复数的运算。

3.旋转：复数的乘法可以表示复平面中的旋转。

如果复数z1表示一个向量，复数z2代表一个旋转角度，那么z1×z2的结果就表示了z1绕原点旋转z2对应的角度后的位置。

4.平移：将一个向量加上一个复数的结果就是将这个向量沿着复平面的一些方向平移。

平移是复数的加法对应的几何意义。

5. 共轭复数：共轭复数是将复数的虚数部分取负得到的，即z的共轭复数为z* = a - bi。

在复平面中，共轭复数对应于复数关于实数轴的对称点。

复数的几何意义在多个学科中都得到了广泛的应用。

在工程和物理学中，复数用于描述交流电路的电压和电流，光学中的波长和波矢也可以用复数表示。

在信号处理和通信领域，复数被用于分析和处理信号的频谱特性。

在数学中，复数进一步推广了实数域，使得更多的方程和函数都能够得到解析解。

而在几何学中，复数以及复数的扩展形式，如四元数和八元数等，被用于描述高维空间中的旋转和变换。

总之，复数不仅是数学中的重要概念，也具有丰富的几何意义。

它不仅可以用于解决实数域无法处理的问题，还能够用于表示各种向量、旋转和变换等几何概念。

复数代数形式的加减运算及其几何意义

在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信号的合成与分解，例如在频谱分析和滤波器设计中。通过加减运算，可以将信号分解为不同的频率分量，便于分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减运算用于信号的调制和解调过程。通过加减运算，可以实现信号的相位和幅度调整，从而实现信号的传输和接收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法运算。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。

(完整版)复数知识点总结

复数一、复数的概念1. 虚数单位i（1）它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-．性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示点(,)Z a b3. 复数的向量表示向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义：设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义：设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =．（5） 2z z z ⋅=， z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z = 四、复数的平方根与立方根1. 平方根若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．（1的平方根是i ±．） 2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根： 21,,ωω．12ω=-+，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=．（2） 1-的立方根：111,22z z -=+=-．五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1）圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2）线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3）椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4）双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根（2）韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

复数的概念及复数的几何意义ppt课件

几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平面上表现为向量的合成与分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。

复数概念及公式总结

复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。

本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。

一、复数的概念。

复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。

复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。

复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。

二、复数的运算。

1. 加减法，实部和虚部分别相加减。

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。

(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。

(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。

(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。

三、复数的指数形式。

复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。

根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。

四、复数的常见公式。

1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。

2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。

3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。

复数的几何意义及四则运算

表示复数的点所转化复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
uuur
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
小结
对复应数平的面绝向对量值Ouu(Zur复的数模的| Ou模uZur)
引入新数，完善数系
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
复数有关概念
1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,
其中i叫虚数单位。注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi （a∈R，b∈R)可记作:z =a+bi （a∈R，b∈R），
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
把这一表示形式叫做复数的代数形式。
②复数Z=a+bi (a∈R， b∈R )把实数a，b叫做
复数的实部和虚部。

初中数学知识归纳复数的基本概念和运算

初中数学知识归纳复数的基本概念和运算初中数学知识归纳：复数的基本概念和运算在初中数学学习过程中，复数是一个重要的概念。

它不仅扩展了实数系，还在解决方程、函数图像等问题中发挥了重要的作用。

本文将对初中数学中关于复数的基本概念和运算进行归纳总结，帮助同学们掌握这一知识点。

一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

实部和虚部都是实数。

实数可以看作虚部为零的复数，即实数与复数是可以相互转化的。

二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：即a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。

在笛卡尔形式下，复数可以进行加减乘除等运算。

2. 三角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

三角形式的复数形式清晰、直观，适合于处理角度相关的问题。

三、复数的基本运算1. 加法和减法：复数相加减时，将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，得到结果的实部和虚部。

例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i；(2+3i)-(4+5i)=-2-2i。

2. 乘法：复数相乘时，按照FOIL法则进行计算，即先乘首项，再乘外项，再乘内项，最后乘末项。

例如，(2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i^2=8+22i-15=7+22i。

3. 除法：将除法转化为乘法，并与倒数相乘。

例如，(2+3i)/(4+5i)=(2+3i)×(4-5i)/(4+5i)×(4-5i)=（2+3i）(4-5i)/(4^2-(5i)^2)=(8+7i)/(16+25)=8/41+7/41i。

四、复数的性质1. 实部与虚部的运算：实数与复数相加减时，实数部分保持不变，虚数部分仍然是虚数。

例如，3+（2+5i）=5+5i；3-（2+5i）=1-5i。

2. 共轭复数：复数a+bi的共轭复数为a-bi，记作a-bi。

例如，共轭复数与原复数的实部相等，但虚部符号相反。

3. 幂：复数的幂运算可以使用三角形式直接计算。

复数的概念及复数的几何意义

复数的概念及复数的几何意义复数是数学中一种特殊的数形式，由实数和虚数组成。

在复数形式中，虚数单位i满足i²=-1、一个典型的复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。

复数的几何意义可以通过使用复平面来解释。

复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点。

实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。

根据这个表示法可以将复数表示为平面上的点。

实部和虚部可以是任意实数，因此复数在平面上可以表示为平面上的任意点。

平面上的坐标点(a,b)对应于复数a+bi。

平面上的原点(0,0)对应于复数0，纵坐标为0的点(0,b)对应于纯虚数bi，而横坐标为0的点(a,0)对应于纯实数a。

复数的运算可以通过在复平面上进行向量运算来实现。

两个复数的加法就是将两个向量叠加在一起，而减法就是将一个向量从另一个向量中减去。

乘法可以通过将复数旋转和缩放来实现。

复数的模可以用勾股定理推导得出：对于复数a+bi，它的模等于√(a²+b²)，表示为，a+bi。

模是复数的长度或距离原点的距离。

两个复数的模的乘积等于它们的乘积的模，即，a+bi， * ，c+di， = ，(a+bi)(c+di)。

复数的共轭是将虚部取负得到的，即a-bi是复数a+bi的共轭。

共轭复数在复平面上呈镜像关系，共轭对称于实轴。

复数的实部是自身的共轭，虚部取负是自身的共轭。

通过使用复数，可以解决许多实数范围内无法解决的问题。

例如，求根公式中的虚数单位i是由复数域推导而来。

复数也广泛应用于工程学、物理学和信号处理等领域。

实际上，电路和信号可以使用复数进行建模和分析。

总之，复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数组成，并可以通过复平面表示。

复数的几何意义在于将复数表示为平面上的点，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。

复数可以进行向量运算，包括加法、减法、乘法和取共轭。

复数的模是其到原点的距离，模的乘积等于乘积的模。

复数的共轭是虚部取负得到的。

复数的几何意义与运算规则

复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。

复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。

本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。

一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。

我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。

从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。

实部和虚部决定了复数在平面上的位置。

二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。

当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。

2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。

减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。

3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。

两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。

4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。

除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。

三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。

解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。

解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。

复数的基本运算及几何意义

复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。

一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。

例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。

例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。

例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。

例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。

1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。

例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。

例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。

该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。

4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。

复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。

综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。

在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。

复数的几何意义及其应用

复数的几何意义及其应用
复数的几何意义是什么
1、复数z=a+bi 与复平面内的点(a,b)一一对应
2、复数z=a+bi 与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为(a,b)
1、复数的运算：复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。

两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

两个复数的和依然是复数。

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。

两个复数的积仍然是一个复数。

复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。

2、我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

当z的虚部等于零时，常称z 为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数的几何意义

复数的几何意义在数学中，我们经常会遇到复数的概念和使用。

虽然复数在代数学中有着重要的作用，但它们在几何学中也具有深远的意义。

本文将探讨复数在几何学中的意义，并展示它们在平面几何中的应用。

1. 复数的定义复数是由一个实数和一个虚数组成的数，通常表示为"a+bi"的形式，其中a是实部，bi是虚部，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可以用平面上的点来表示，实部对应点的x坐标，虚部对应点的y坐标。

2. 复数的模和参数复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理来计算，即模=√(a^2 + b^2)。

复数的参数表示复数与正实轴之间的夹角，可以使用反三角函数来计算，即参数=arctan(b/a)。

3. 复数的几何表示复数可以用向量来表示，向量的起点为原点，终点为该复数对应的点。

因此，复数的几何表示就是平面上的一个向量。

通过调整实部和虚部的数值，可以得到不同的向量。

4. 复数的加法和减法复数的加法可以看作是向量的相加，即将两个复数的向量相加，得到一个新的向量。

减法可以看作是向量的相减，即将两个复数的向量相减，得到一个新的向量。

这两个操作在平面几何中对应着向量的平移。

5. 复数的乘法和除法复数的乘法可以看作是向量的旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度乘以一个因子，得到一个新的向量。

除法可以看作是向量的反向旋转和缩放，即将一个复数的向量旋转一定角度，并将向量的长度除以一个因子，得到一个新的向量。

6. 复数的共轭复数的共轭表示将复数的虚部取相反数，保持实部不变。

共轭的几何意义是将复数表示的向量关于实轴反射得到的新向量。

7. 复数在平面几何中的应用复数在平面几何中有广泛的应用。

例如，可以使用复数来表示平移、旋转和缩放等变换。

复数的乘法和除法可以用来进行向量的旋转和缩放操作。

此外，复数还可以表示平面上的点，通过复数的运算可以得到点之间的距离和夹角等信息。

总结：复数在几何学中有着重要的意义，可以用来表示平面上的向量和点。

复数的几何意义

复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。

2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

复数的基本概念和几何意义

复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分组成。

一个复数可以用以下形式表示：a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，即i^2=-1复数的基本概念包括实数部分和虚数部分。

实数部分是复数的实际部分，它可以是任何实数。

虚数部分是复数中的虚构部分，它必须乘以虚数单位i才能表示。

实数部分和虚数部分都可以是负数。

复数的几何意义可以通过复平面理解。

复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面。

实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。

复数a+bi 可以在复平面上表示为一个点，实数部分对应的是x坐标，虚数部分对应的是y坐标。

复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理求得。

模的值是一个非负实数。

复数的共轭表示实数部分不变，虚数部分取相反数，即a-bi。

复数可以进行加法、乘法和求逆运算。

复数的加法和减法可以通过实数部分和虚数部分分别相加或相减得到。

复数的乘法可以通过FOIL法则展开得到。

复数的求逆可以通过取共轭复数，将实数部分除以模的平方得到。

复数的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。

复数可以进行四则运算，并满足这些性质。

复数的重要应用包括在电路分析、量子力学、工程计算等领域。

复数在这些领域中能够提供更加精确和便捷的计算手段。

总结起来，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，它可以在复平面上表示为一个点。

复数有加法、乘法和求逆等运算，满足交换律、结合律和分配律。

复数的几何意义可以帮助我们理解和应用它们。

复数在数学和实际应用中都有重要的意义。

初中数学复数总结

初中数学复数总结复数是数学中的一个重要概念，它在初中数学中也是一个重要的内容。

在学习复数时，我们需要掌握复数的定义、运算以及在实际问题中的应用。

本文将对初中数学复数进行总结，以帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、复数的定义复数是由实数和虚数部分构成的数，它的一般形式为$a+bi$，其中$a$为实数部分，$b$为虚数部分，$i$为虚数单位，满足$i^2=-1$。

实数部分可以看作是复数的实部，虚数部分可以看作是复数的虚部。

二、复数的表示形式1. 代数形式：即一般形式$a+bi$，其中$a$和$b$都是实数。

例如，$2+3i$就是一个代数形式的复数。

2. 模长和辐角形式：将复数表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$的形式，其中$r$为模长，$\theta$为辐角。

模长表示复数到复平面原点的距离，辐角表示与实轴的夹角。

模长可以使用勾股定理计算：$r=\sqrt{a^2+b^2}$，辐角可以使用反正切函数计算：$\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$。

三、复数的运算1. 加减法：将实部和虚部分别相加减，得到结果的实部和虚部。

例如，$(2+3i)+(4-5i)=6-2i$。

2. 乘法：将实部和虚部分别相乘，得到结果的实部和虚部。

需要注意的是，虚数单位$i$的平方为$-1$。

例如，$(2+3i)\times(4-5i)=23-2i$。

3. 除法：将被除数和除数都乘以除数的共轭复数，然后按照乘法的规则进行计算。

例如，$\frac{2+3i}{4-5i}=\frac{(2+3i)\times(4+5i)}{(4-5i)\times(4+5i)}=\frac{23+22i}{41}$。

四、复数在实际问题中的应用1. 代数方程的解：复数可以用来解决无解或多解的代数方程。

例如，方程$x^2+1=0$在实数范围内没有解，但是通过引入虚数单位$i$，可以得到复数解$x=\pm i$。

复数基础知识及其运算规律

复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。

二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。

三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。

f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。

g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。

2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。

四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。

五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。

复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案－1考点一复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0，则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2，所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。