2014届高三数学一轮复习导学案：复数的概念及运算
2014版高考数学一轮总复习 第29讲 复数的概念与运算课件 文 新人教A版
1＋ai 5.(2011· 安徽卷)设 i 是虚数单位， 复数 为纯 2－i 虚数，则实数 a 为( A．2 1 C．－2 ) B．－2 1 D.2
1＋ai 1＋ai2＋i 2＋i＋2ai＋ai2 【解析】 因为 ＝ ＝ ＝ 5 2－i 2－i2＋i 2－a＋1＋2ai 2－a 1＋2a ＝ 5 ＋ 5 i 为纯虚数， 5 2－a 1＋2a 所以 5 ＝0 且 5 ≠0，所以 a＝2. 易错点：纯虚数中一定要注意 b≠0.
【解析】由复数运算的几何意义， → → → AB＝OB－OA＝(－4－i)－(3－2i)＝－7＋i， 故选 C. 易错点：向量的运算出错．
2－i 3.(2011· 山东卷)复数 z＝ (i 为虚数单位)在复 2＋i 平面内对应的点所在象限为( A．第一象限 C．第三象限 )
B．第二象限 D．第四象限
一
复数的概念及运算
【例 1】 已知复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i， 当实数 m 为何值时， (1)z 为纯虚数； (2)z 为实数； (3)z 对应的点在复平面的第二象限．
【分析】依据复数分类的条件和代数形式的几何意 义求解．
【解析】 (1)当 m＝3 时，z 为纯虚数． z
5i 【例 2】(1)(2011· 新课标卷)复数 ＝( 1－2i A．2－i C．－2＋i B．1－2i D．－1＋2i
)
(2)(2011· 上海卷)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，z1·2 是实数，求 z2. z
5i1＋2i 5i＋10i2 5i－10 5i 【解析】 (1) ＝ ＝ 2 ＝ 5 ＝ 1－2i 1－2i1＋2i 1－4i －2＋i，故选 C.
高三数学高考第一轮复习第十五章教案复数的概念
第七节 复数的的概念一、复习目标：1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
二、重难点：1.重点：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)。
2.难点：复数的有关概念的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势。
预测2010年高考对本讲的试题难度不会太大，重视对基本问题诸如：复数的四则运算的考查，题目多以选择、填空为主。
（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P148页填空题，教师准对问题讲评）1、复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示2、复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.3、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数04、复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘5、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =,b d =6、复数的模：设oz =bi a +,则向量oz 的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作bi a +. (1)22b a bi a z +=+=；(2)1212Z Z Z Z ∙=∙；(3)2121z z z z =；7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数。
(新课标)高三数学一轮复习 第11篇 复数的概念与运算学案 理
第六十九课时 复数的概念与运算（课前预习案）1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。
2.掌握复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则。
3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。
1．复数：形如 ),(R b a ∈的数叫做复数，其中a , b 分别叫它的 和 ．2．分类：设复数 (,)z a bi a b R =+∈： (1) 当 ＝0时，z 为实数； (2) 当 ≠0时，z 为虚数；(3) 当 ＝0, 且 ≠0时，z 为纯虚数.3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．5．若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 ， 叫虚轴．7．复数z ＝a ＋bi(a, b ∈R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.9. 复数的运算：（1）(a +bi ) ±(c +di )= ； （2）(a +bi )(c +di )= ； （3）(a +bi )÷(c +di )= ；（4）①i 具有周期性:i4n+1= ；i4n+2= ； i4n+3= ； i 4n= ；i n +in+1+in+2+i n+3= （n ∈N ）②(1+i)2＝ ; (1-i)2＝ ; ③i i -+11＝ ；ii=-11＝ .1． i是虚数单位，则11＋i＋i＝________.2．若复数(1＋i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a＝________.3．复数(3＋4i)i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2011·浙江)把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·z等于( ) A．3－i B．3＋iC．1＋3i D．35．(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第六十九课时 复数的概念与运算（课堂探究案）考点1.复数的概念【典例1】 (1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．iC.25D ．0(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1】（1）（2013年高考上海卷（理））设m R ∈,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m=____ （2）（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知a, b ∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i)= bi, 则a + bi = ______.考点2.复数的运算 【典例2】（1）（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设复数z 满足(1)2i z i -=,则=z（ ）A ．i +-1B ．i --1C ．i +1D ．i -1（2）（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））复数的11Z i =-模为 （ ）A ．12B ．2C D ．2（3）（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知i 是虚数单位,则=-+-)2)(1(i i （ ）A ．i +-3B ．i 31+-C ．i 33+-D ．i +-1【变式2】 (1)已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.(2)复数－1＋351＋3i的值是________．(3)已知复数z 满足iz ＋i＝2－i ，则z ＝__________.考点3.复数的几何意义【典例3】（1）（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是 （ ）A ．()2,4B ．()2,4- C ．()4,2-D ．()4,2（2）（2013年高考湖南卷（理））复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）（2013年高考湖北卷（理））在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（4）（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））已知复数z 的共轭复数12z i =+(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式3】 已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．1． (2012·广东)设i 为虚数单位，则复数5－6ii等于( )A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i2． (2012·山东)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i3． (2012·福建)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i4． 若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|等于( )A. 5B. 2C. 3D ．15． (2012·上海)计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)．第六十九课时 复数的概念与运算(课后巩固案)组全员必做题1． (2012·湖北)方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( )A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i2． 设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个3． 对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |4． (2012·湖南)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 5．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．6． (2012·江苏)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．组提高选做题1． 已知复数z 满足1＋2iz＝1－2i ，则复数z ＝____________.2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为_____________________________．3.已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.4．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．5.已知复数z ，且|z |＝2，求|z －i|的最大值，以及取得最大值时的z .第六十九课时复数的概念与运算参考答案1． 答案 12＋12i解析11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝1＋i 2＝12＋12i. 2． 答案 1解析 由(1＋i)(1＋a i)＝(1－a )＋(a ＋1)i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝01＋a ≠0，由此解得a ＝1.3．答案 B解析 由于(3＋4i)i ＝－4＋3i ，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(－4,3)，相对应的点位于第二象限，选B. 4．答案 A解析 (1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i. 5．答案 B解析 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0. 故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.【典例1】【答案】 (1)A (2)A解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i＝＋a＋5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． 【变式1】（1）m=-2. （2）12i +【典例2】（1）A ；（2）B ；（3）B【变式2】答案 (1)14 (2)－16 (3)－15－35i解析 (1)方法一 |z |＝|3＋i|－32|＝12， z ·z ＝|z |2＝14.方法二 z ＝3＋i －＋3＝－34＋i 4， z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－i 4＝14. (2)－1＋351＋3i＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 52⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i＝24·－12－32i 12＋32i ＝－16.(3)由iz ＋i＝2－i ， 得z ＝i2－i－i ＝＋5－i ＝25i －15－i ＝－15－35i.【典例3】（1）C ；（2）B ；（3）D ；（4）D 【变式3】 解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0a －，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．答案 D解析5－6i i＝－i2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i ，故选D.2．答案 A解析 ∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝11＋7i2＋i 2－i2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.3．答案 A解析 方法一 由z i ＝1－i 得z ＝1－i i ＝1i－1＝－1－i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z i ＝1－i ，得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.∴z ＝－1－i.4．答案 A解析 由a1－i＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，所以|a ＋b i|＝ 5.所以选A. 5．答案 1－2i解析 3－i 1＋i ＝－－＋－＝2－4i 2＝1－2i.组全员必做题1．答案 A解析 方法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i，故应选A. 方法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i，故应选A.2． 答案 C解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，… ∴集合中共有3个元素． 3．答案 D解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确； 对于D ，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D 正确．4．答案 10解析 方法一 ∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10.方法二 ∵z ＝(3＋i)2＝9＋6i ＋i 2＝8＋6i ，∴|z |＝82＋62＝10.5．答案 1解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.6．答案 8解析 ∵11－7i 1－2i ＝－＋－＋＝15(25＋15i)＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝8.组提高选做题1． 答案 －35＋45i 解析 z ＝1＋2i 1－2i ＝＋2－＋＝－3＋4i 5＝－35＋45i.2．答案 3 解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 3.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.4．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.5.解 方法一 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4，|z －i|＝|x ＋y i －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋y －2 ＝－y 2＋y －2＝5－2y . ∵y 2＝4－x 2≤4，∴－2≤y ≤2.故当y ＝－2时，5－2y 取得最大值9，从而5－2y 取最大值3，此时x ＝0，即|z －i|取得最大值3时，z ＝－2i.方法二类比实数绝对值的几何意义，可知方程|z |＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z －i|表示圆上的点到点A (0,1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B (0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B 到点A 的距离最大，最大值为3，即当z ＝－2i 时，|z －i|取得 最大值3.。
高考数学一轮总复习 第五章 5.5 复 数
∴ －x＋y＝3，
x＝1，
解得
故 x＋y＝5.
2x－y＝－2，
y＝4，
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则
z1 z2
等于
A.－8－6i
B.－8＋6i
√C.8＋6i
D.8－6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴zz12＝6－－8i i＝6－－i82ii＝8＋6i.
②对角线C→A所表示的复数； 解 ∵C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i ③B点对应的复数. 解 O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相 论即可.
A.20
B.12
√C.2 5
D.2
解析 设z＝＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
a2－b2＝12，
a＝4， a＝－4，
则
解得
或
2ab＝16，
b＝2
b＝－2，
即|z|＝ a2＋b2＝ 16＋4＝2 5.故选 C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M 数m的值为_3_或__6___.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第27讲 复数
[答案] 9
[解析]因因为复数表示的点在直线 y＝x 上，所以 m2－8m＋15＝m2－5m－12，解得 m＝9.．
返回目录
第27讲
复数
• 双 向 固 基 础
3．计算：
3 1 3 1 ＝________. i ＋ － ＋ i 2 2 2 2
[答案] －1
返回目录
第27讲
复数
• 双 向 固 基 础
(4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面， x轴 叫作实轴，______ y轴 叫作虚轴．实轴上的点 其中，______ 纯虚数； 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示_______ 都表示______ 非纯虚数 ． 各象限内的点都表示__________ (5)复数的模
返回目录
第27讲
复数
• 双 向 固 基 础
[答案] (1) 3 (2) 3
10（3＋i） 10 [解析](1)因为a－ ＝a－ ＝a－(3＋i) 3－i （3－i）（3＋i） ＝(a－3)－i为纯虚数，所以a＝3. 3＋bi (2)由 ＝a＋bi，得3＋bi＝(a＋bi)(1－i)＝a＋b 1－i a＋b－3＝0， ＋(b－a)i，即a＋b－3－ai＝0.所以 －a＝0， a＝0， 解得 所以a＋b＝3． b ＝ 3 ，
返回目录
第27讲
复数
• 点 面 讲 考 点
[归纳总结] 当试题与复数的分类有关时，如当复数 为实数、虚数、纯虚数或零时，特别要注意使用实部 和虚部的约束条件解题．
返回目录
第27讲
复数
• 点 面 讲 考 点
变式题 (1)[2013· 上海卷] 设 m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m＝________． z是z (2)[2012· 江西卷改编] 若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， 的共轭复数，则 z2＋z 2 的虚部为________．
高三一轮总复习高效讲义第6章第4节复数课件
(2)几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边
形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2，
→ OZ
＝OZ1＋OZ2，
Z1Z2＝OZ2－OZ1．
(3)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律 ①交换律：z1＋z2＝____z_2＋__z_1____． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝_____z_1_＋__(_z2_＋__z_3)______．
2．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( )
A．1
B． 3
C． 5
D．3
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x＋(y－2)i|＝1，所以 x2＋（y－2）2 ＝1，即x2＋ (y－2)2＝1，
)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：因为11－ ＋ii
＝
（1－i）2 （1＋i）（1－i）
＝－22i
＝－i，11＋－ii
＝（1－（i1）＋（i）1＋2 i）
＝
2i 2
＝i，
所以z＝(－i)2 021＋i2 022＝－i－1＝－1－i，则－z ＝－1＋i．
答案：C
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 复数的运算[典例引领]
－
∴z0＝
z z
＝
3－i 3＋i
＝
3－i2
3＋i
3 2
i，
∴z0在复平面内对应的点为12，－
3 2
，∴z0在复平面内对应的点位于第四象限．
(2)复数z对应的点P的坐标为(－1，2)，所以复数z＝－1＋2i，
所以zi ＝－1＋i 2i ＝－－i－1 2 ＝2＋i，所以复数zi 的虚部为1．
高三数学一轮 13.5 复数1导学案 理 北师大版
§13.5 复 数2014高考会这样考 1.考查复数的基本概念，复数相等的条件；2.考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义．复习备考要这样做 1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义；2.要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b c －dc ＋d c －d＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． [难点正本 疑点清源]1．对于复数z ＝a ＋b i 必须满足a 、b 均为实数，才能得出实部为a ，虚部为b .对于复数相等必须先化为代数形式才能比较实部与虚部．2．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．1．i 是虚数单位，则11＋i＋i ＝________.答案 12＋12i解析 11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝1＋i 2＝12＋12i.2．若复数(1＋i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a ＝________. 答案 1解析 由(1＋i)(1＋a i)＝(1－a )＋(a ＋1)i 是纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝01＋a ≠0，由此解得a ＝1. 3．复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 由于(3＋4i)i ＝－4＋3i ，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(－4,3)，相对应的点位于第二象限，选B.4．(2011·浙江)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z 等于( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3答案 A解析 (1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.5．(2012·北京)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0. 故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.题型一 复数的概念例1 (1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．iC.25D ．0(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件思维启迪：(1)若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝0时，z ∈R ；b ≠0时，z 是虚数；a ＝0且b ≠0时，z 是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解． 答案 (1)A (2)A解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i1－2i ＝＋a＋5＝2－2a 5＋4＋a5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．探究提高 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1(2)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 答案 (1)A (2)2解析 (1)由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A.(2)方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2.方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i2－3i .则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋－2＝2. 题型二 复数的运算例2 已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，求z 2.思维启迪：两种思路解此类问题：一是设出z 1、z 2，然后代入解方程；二是利用整体代换的思想求解． 解 z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ， ∵|z 2|＝52， ∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，∴z 2＝±505＋5i ＝±101＋i＝±(5－5i)．探究提高 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z 时要注意是把z 看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．(1)已知复数z ＝3＋i－32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. (2)复数－1＋351＋3i的值是________．(3)已知复数z 满足iz ＋i＝2－i ，则z ＝__________. 答案 (1)14 (2)－16 (3)－15－35i解析 (1)方法一 |z |＝|3＋i|－32|＝12， z ·z ＝|z |2＝14.方法二 z ＝3＋i －＋3＝－34＋i 4， z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－i 4＝14.(2)－1＋351＋3i＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 52⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i＝24·－12－32i 12＋32i ＝－16.(3)由iz ＋i ＝2－i ，得z ＝i 2－i －i ＝＋5－i ＝25i －15－i ＝－15－35i.题型三 复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →、BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．思维启迪：结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →， ∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.探究提高 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．已知z 是复数，z ＋2i 、z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0a －，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．解决复数问题的实数化思想典例：(12分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .审题视角 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分] 根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝4－a 2＋b 2＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.[9分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋iy ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－iy ＝－1＋i .[12分]温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．要记住一些常用的结果，如i 、－12＋32i 的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度． 失误与防范1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小．4．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 5．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·广东)设i 为虚数单位，则复数5－6ii 等于( ) A ．6＋5i B ．6－5i C ．－6＋5iD ．－6－5i答案 D解析 5－6i i＝－i2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i ，故选D.2．(2012·山东)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i答案 A解析 ∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 3．(2012·福建)若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( ) A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i答案 A解析 方法一 由z i ＝1－i 得z ＝1－i i ＝1i －1＝－1－i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z i ＝1－i ， 得(a ＋b i)i ＝1－i ，即－b ＋a i ＝1－i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝1，a ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴z ＝－1－i. 4．若a1－i＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|等于( ) A. 5B. 2C. 3D ．1答案 A解析 由a1－i ＝1－b i 得a ＝2，b ＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，所以|a ＋b i|＝ 5.所以选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2012·上海)计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)．答案 1－2i解析 3－i 1＋i＝－－＋－＝2－4i2＝1－2i. 6．(2012·江苏)设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．答案 8 解析 ∵11－7i1－2i＝－＋－＋＝15(25＋15i)＝5＋3i ， ∴a ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝8.7．已知复数z 满足1＋2iz＝1－2i ，则复数z ＝____________.答案 －35＋45i解析 z ＝1＋2i1－2i＝＋2－＋＝－3＋4i 5＝－35＋45i.三、解答题(共22分)8．(10分)(2011·上海)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2. 解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.9．(12分)复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a的值．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·湖北)方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是 ( )A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i答案 A解析 方法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i，故应选A.方法二 令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0， 即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i，故应选A.2．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个答案 C解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素．3．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |答案 D解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确； 对于D ，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D 正确． 二、填空题(每小题5分，共15分)4．(2012·湖南)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 答案 10解析 方法一 ∵z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10. 方法二 ∵z ＝(3＋i)2＝9＋6i ＋i 2＝8＋6i ， ∴|z |＝82＋62＝10.5．(2011·江苏)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 答案 1解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ， 得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.6．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 三、解答题7．(13分)已知复数z ，且|z |＝2，求|z －i|的最大值，以及取得最大值时的z . 解 方法一 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，|z－i|＝|x＋y i－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2＋y－2＝－y2＋y－2＝5－2y.∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.故当y＝－2时，5－2y取得最大值9，从而5－2y取得最大值3，此时x＝0，即|z－i|取得最大值3时，z＝－2i.方法二类比实数绝对值的几何意义，可知方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.。
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质复数是数学中的一个重要概念，它包括实部和虚部。
在高考数学中，复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是经常出现的考点。
本文将对这三个内容进行详细的讲解。
一、复数的运算复数的运算主要包括加减法、乘法和除法。
复数的加减法就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(4-2i)-(3+5i)=1-7i。
复数的乘法是将实部与实部相乘然后减去虚部与虚部相乘。
例如，(2+3i)*(4+5i)=7+22i，(4-2i)*(3+5i)=26+10i。
复数的除法需要将分母有理化，将分子与分母乘以共轭复数，再进行简化。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(23-2i)/41。
二、复数方程的解法复数方程是指方程中含有未知数的复数解的方程。
对于一元一次复数方程a+bi=0，解析解为x=-b/a。
对于一元二次复数方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式进行求解。
其中，根的公式为x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
若b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b^2-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b^2-4ac<0，则方程有两个共轭复数根。
三、复数函数的性质复数函数是指函数自变量或者函数取值是复数的函数。
复数函数的性质主要包括奇偶性、周期性和双曲线。
对于函数f(x)，若f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
对于周期性，复数函数f(x)的周期是指存在常数T>0，使得f(x+T)=f(x)成立。
对于双曲线，复数函数f(x)的双曲线是指将复平面看作坐标平面后，函数的图像在复平面上的表示为双曲线。
总结：高考数学中关于复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是需要掌握的重要知识点。
掌握了复数的运算规则，能够灵活运用加减法、乘法和除法进行计算。
高三数学第一轮复习教案第84课时复数的有关概念
第84课时课题：复数的有关概念一．教学目标：1．使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；2．掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；3．掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．4．通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．5．通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．二．教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。
三．教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。
复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。
但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。
基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面第84课时课题：复数的有关概念 1内复数的几何表示及复向量的运算。
主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。
若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。
有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第12章 学案68
学案68数系的扩充与复数的引入导学目标：1。
理解复数的基本概念。
2.理解复数相等的充要条件.3。
了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算。
5。
了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是:________→________→________，用集合符号表示为____⊆____⊆____,实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念(1）复数的概念形如a＋b i (a，b∈R）的数叫复数,其中a,b分别是它的______和______．若______，则a＋b i为实数,若______,则a＋b i为虚数,若____________，则a＋b i为纯虚数．（2）复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔__________(a,b，c，d∈R)．（3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔__________（a,b,c,d∈R）．(4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面．______叫做实轴,________叫做虚轴．实轴上的点表示______;除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示__________．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．（5）复数的模向量错误!的模叫做复数z＝a＋b i的模,记作________或________，即|z|＝｜a＋b i｜＝________.3．复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋（c＋d i)＝____________；②减法：z1－z2＝（a＋b i）－（c＋d i)＝____________；③乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝____________；④除法：错误!＝错误!＝错误!＝__________________________________________________________ _（c＋d i≠0)．（2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2）＋z3＝______________.自我检测1．(2011·山东改编)复数z＝错误!（i为虚数单位)在复平面内对应的点在第________象限．2．（2011·广东改编）设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝________.3．(2011·大纲全国改编)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数,则z错误!－z－1＝________.4．(2011·重庆改编）复数错误!＝________。
2014届高考一轮复习数学11.5复数的概念及运算
= 0,
������ 2 + 5m + 6 ≠ 0, ������ + 3 ≠ 0,
解得 m=3.
(4)若复数 z 对应的点在第二象限, ������ < -3 或-2 < ������ < 3, 则 ⇒ 故 m<-3 或-2<m<3. ������+3 ������ < -3 或������ > -2. ������ 2 + 5m + 6 > 0 < 0,
7 + 4 ������3 2
3 2
2
-i
,
43 2
而 ������-
-i
max
=|������'������|+1=1+
, ������-
3 2
-i
min
=|������'������|-1=
43 2
-1.
故|z- 3| 2+|z-2i| 2 的最大值为 27+2 43,最小值为 27-2 43.
=
( 3+i)(-i) ( 3+i)2
=
(-i)( 3-i) 1 =4 4
−
3 i. 4
目录
退出
在复数的运算过程中,适当地运用一些运算技巧可以简化运算. 复数常用的运算技巧: (1)i 的运算律: i4n=1,i4n +1=i,i4n +2=-1,i4n +3=-i,in+in+1+in +2+in+3=0. (2)(1±i)2=± 2i. (3)
2014高考数学(理)一轮复习总教案：第十五章 复 数
第十五章复数高考导航知识网络15。
1 复数的概念及其运算典例精析题型一复数的概念【例1】（1)如果复数（m2＋i）(1＋m i）是实数，则实数m ＝；(2）在复平面内,复数错误!对应的点位于第象限；（3)复数z＝3i＋1的共轭复数为错误!＝。
【解析】（1）（m2＋i）（1＋m i）＝m2－m＋（1＋m3）i是实数⇒1＋m3＝0⇒m＝－1。
（2）因为错误!＝错误!＝1－i，所以在复平面内对应的点为(1,－1)，位于第四象限。
(3）因为z＝1＋3i,所以错误!＝1－3i.【点拨】运算此类题目需注意复数的代数形式z＝a＋b i(a，b ∈R），并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.【变式训练1】(1）如果z＝错误!为纯虚数，则实数a等于( ) A。
0 B.－1 C。
1 D。
－1或1(2)在复平面内,复数z＝错误!（i是虚数单位）对应的点位于( )A 。
第一象限B 。
第二象限C 。
第三象限D 。
第四象限【解析】（1)设z ＝x i ，x ≠0,则x i ＝错误!⇔1＋ax －（a ＋x )i ＝0⇔⎩⎨⎧=+=+0,01x a ax ⇔⎩⎨⎧-==1,1x a 或⎩⎨⎧=-=.1,1x a 故选D 。
（2)z ＝错误!＝（1－i ）(－i)＝－1－i ，该复数对应的点位于第三象限.故选C.题型二 复数的相等【例2】(1）已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ ;(2）已知错误!＝1－n i ，其中m ,n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝ ;（3）已知关于x 的方程x 2＋（k ＋2i ）x ＋2＋k i ＝0有实根，则这个实根为 ，实数k 的值为 。
【解析】(1)设z ＝x ＋y i （x ,y ∈R ），又z 0＝3＋2i ，代入z ·z 0＝3z ＋z 0得（x ＋y i ）（3＋2i)＝3(x ＋y i)＋3＋2i ， 整理得 （2y ＋3)＋（2－2x ）i ＝0，则由复数相等的条件得⎩⎨⎧=-=+,022,032x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,23,1y x 所以z ＝1－i 23.（2）由已知得m ＝(1－n i)(1＋i)＝(1＋n )＋(1－n )i.则由复数相等的条件得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+=,1,210,1n m n n m 所以m ＋n i ＝2＋i 。
高三一轮复习导学案77 第13章 第06节——数系的扩充与复数的引入
§13.6 数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔______________(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示__________；各象限内的点都表示____________． (5)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作__________或__________，即|z |＝|a ＋b i|＝__________. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )________________________________________.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝________________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________________；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝________________(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________. [难点正本 疑点清源]1．对于复数z ＝a ＋b i 必须满足a 、b 均为实数，才能得出实部为a ，虚部为b .对于复数相等必须先化为代数形式才能比较实部与虚部．2．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题．1．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为________．2．(2011·江苏)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．3．已知复数z 满足1＋2iz ＝1－2i ，则复数z ＝____________.4．在复平面内，复数2i1－i 对应的点的坐标为__________．5．(2011·浙江)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z 等于( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3题型一 复数的分类 例1 已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12＋4i.探究提高 (1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解．(2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数形式的一般表达式．如：对应点在直线x ＝1上，则z ＝1＋b i (b ∈R )；对应点在直线y ＝x 上，则z ＝a ＋a i(a ∈R )，在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限． 题型二 复数的代数运算例2 计算：(1)(2＋2i)4(1－3i)5；(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 010；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i；(4)2＋2i (1－i)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 008.(1)已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.(2)复数(－1＋3i)51＋3i的值是________．(3)已知复数z 满足iz ＋i＝2－i ，则z ＝__________.题型三 复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC ，顶 点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →、BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．(1)(2011·山东)复数z ＝2－i2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 (2)(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i33.用待定系数法解决复数问题试题：(12分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .审题视角 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， [3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分] 根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4－3(a 2＋b 2)＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.[9分]故所求复数为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i y ＝－1＋i. [12分] 批阅笔记 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．3．要记住一些常用的结果，如i 、－12＋32i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度． 失误与防范1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小．4．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 5．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.课时规范训练(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组 一、选择题1．(2011·辽宁)i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i2．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．4C ．－6D ．6 3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题4．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1＋z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 5．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝___________________________________6．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 三、解答题8．已知复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，根据以下要求求实数m 的值或范围： (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数；(3)z 对应的点在复平面的第二象限． B 组 专项能力提升题组 一、选择题1．(2010·浙江)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2x D ．|z |≤|x |＋|y | 2．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >13．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i二、填空题4．若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝1＋b i ，a ，b ∈R ，且z 1＋z 2与z 1·z 2均为纯虚数，则z 1z 2＝___________.5．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．6．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．三、解答题7．(2011·上海)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.8．已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．答案要点梳理1．(1)实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 (2)a ＝c 且b ＝d (3)a ＝c ，b ＝－d (4)x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 (5)|z | |a ＋b i| a 2＋b 22．(2)平面向量OZ →3．(1)①(a ＋c )＋(b ＋d )i ②(a －c )＋(b －d )i ③(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ④ac ＋bdc 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i (2)z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3) 基础自测1．2 2.1 3.－35＋45I 4．(－1,1) 5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)由z ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3. (2)由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3. (3)由z 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.(4)由z ＝12＋4i ，得m (m ＋2)m －1－(m 2＋2m －3)i ＝12＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＝12，－(m 2＋2m －3)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m ＋1＝0，m ≠1，m 2＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1.变式训练1 解 (1)若z 为实数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0m ＋3≠0，解得m ＝－2. (2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3<0m 2＋5m ＋6>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m <－3或－2<m <3m <－3或m >－2， ∴m <－3或－2<m <3.例2 解 (1)原式＝16(1＋i)4(1－3i)4(1－3i)＝16(2i)2(－2－23i)2(1－3i)＝－644(1＋3i)2(1－3i)＝－16(1＋3i)×4＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 005＝i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 005＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.(3)方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i)226＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎡⎦⎤(1＋i)226＋(2＋3i)i (3－2i)i ＝i 6＋(2＋3i)i 2＋3i＝－1＋i.(4)原式＝2＋2i －2i ⎝⎛⎭⎫22i 1 004＝1＋i －i ⎝⎛⎭⎫1i 1 004＝i －11·1＝－1＋i.变式训练2 (1)14(2)－16(3)－15－35i例3 解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i. 变式训练3 (1)D (2)C 课时规范训练 A 组1．A 2.C 3.A 4．－3 5．－2i 6.837．28．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧lg(m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，(m ＋1)(m ＋2)≠0， ∴m ＝3. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或－2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg(m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧0<m 2－2m －2<1，m 2＋3m ＋2>0， ∴－1<m <1－3或1＋3<m <3. B 组1．D 2．A 3.D 4．－85＋65I 5．5 6. 37．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 8．解 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6)．。
高考数学第一轮复习 第84课时 复数的有关概念学案 新人教A版
【高考A计划】2014高考数学第一轮复习第84课时复数的有关概念学案新人教A版课题：复数的有关概念一．教学目标：1．使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；2．掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；3．掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．4．通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．5．通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．二．教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。
三．教学过程：（一）主要知识：1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；2.复数的代数表示与向量表示；3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。
复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。
但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。
基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。
主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。
若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。
有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹方程是.
4.已知复数z= +(a2-5a-6)i(a∈R),
试求实数a分别取什么值时，z分别课外作业——复数的概念及运算姓名：
课题：复数的概念及运算班级姓名：
一：学习目标
理解复数的有关概念；掌握复数相等的充要条件；了解复数代数表示法及几何意义；会进行复数代数形式的四则运算。
二：课前预习
1、复数 的虚部为，共轭复数为。
2、若 为纯虚数，则实数m的值为
3、 _____.
4、若 ， 为正实数，则
5、复数 的模=
6、复数z满足（1+2i） =4+3i，那么z=____
7、复数 在复平面上对应点不可能位于第象限。
三：课堂研讨
例1、已知 ，复数 ，当 为何值时
纯虚数；（3） 对应的点位于复平面的第四象限。
例2、若 ，①解不等式 ；②若 为纯虚数，求 的值。
例3、①已知 ，求z；
②已知 ，求z.
备注
课堂检测——复数的概念及运算姓名：
1.已知a是实数， 是纯虚数，则a=.
1.i是虚数单位， =.
2.已知0＜a＜2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是.
3.设z的共轭复数是 ，若z+ =4，z· =8，则 =.
4.若(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R,i是虚数单位，则a2+b2=.
5.计算下列各题
（1） ；
（2） + .