高三数学复习学案NO.3

A.－4
B.－3
C.3
D.4
(2)(2019·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a＝
________. [解题技法]
求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a＋b)m 与(c＋d)n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m 与(c＋d)n 的展开式中的哪些项相 乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例 1]
(1)(2018·全国卷Ⅲ)
x2＋2 x
5 的展开式中 x4 的系数为(
)
A.10
B.20
C.40
D.80
1
(2)(2019·合肥调研)若(2x－a)5 的二项展开式中 x3 的系数为 720，则 a＝________.
(3)(2019·甘肃检测)已知
x－
a x
5 的展开式中
x5 的系数为
B.－3
C.1
D.1 或－3
9.设复数 x＝ 2i (i 是虚数单位)，则 C12 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…＋C22 001199x2 019＝(
)
1－i
A.i
B.－i
C.－1＋i
D.－i－1
10.已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6
高三数学二轮复习学案 NO.49
二项式定理（4 月 8 号，周三用）
一、基础知识
1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)❶； (2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第 k＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0n，C1n，…，Cnn❷. 2.二项式系数的性质
D.－6
2.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4的值为(
)
a1＋a3
A.－61 60
B.－122 121
C.－3 4
D.－ 90 121
3.若二项式 x2 a 7 的展开式的各项系数之和为－1，则含 x2 项的系数为(
)
x
A.560
B.－560
C.280
D.－280
(1)项数为 n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.
(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，
从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项
有时也取其他值.如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只
需令 x＝1 即可. (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
13. x 1 15 展开式中的常数项为________. x
14.已知 x 1 n 的展开式中，前三项的系数成等差数列.
24 x
(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项.
5
[例 3] (1)(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为( )
A.10
B.20
C.30
D.60
(2)将（x 4 4)3 展开后，常数项是________. x
[解题技法]
求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，把三项的和 a＋b＋c 看成是(a＋b)与 c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r 的展开式中的哪些项和 cr 相乘得到的；
A.1
B.2
C.3
D.4
2.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C 1100除以 88 的余数为________.
[课时跟踪检测]
1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)
2 x2
x4 3 的展开式中的常数项为(
)
A.－3 2
B.3 2
C.6
例 4(1)若 x 1 n 的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最
3 x
大的项是( )
3 A.6 x
B. 4 x
6 C.4x x
D.
4
或Hale Waihona Puke Baidu
6 4x
x
x
(2)若 x2 1 n 的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， x
2
第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
[题组训练] 1.(2019·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6 的展开式中，x5 的系数是________.(用数字作答)
2. x 1 2 5 (x＞0)的展开式中的常数项为________. 2 x
考点二 二项式系数的性质及各项系数和
出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
第三步，把 r 代入通项公式中，即可求出 Tr＋1，有时还需要先求 n，再求 r，才能求出
Tr＋1 或者其他量. 考法(二) 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例 2] (1)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( )
则 a1＋a2＋…＋an 的值为________. (3)若(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
[解题技法]
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立.因此，可将 x，y 设定为一
些特殊的值.在使用赋值法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”，
若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中
(1)各项系数之和为 f(1).
(2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－1. 2
(3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－1. 2
[题组训练]
1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|
＋8a8)2 的值为( )
A.39
B.310
C.311
D.312
11.(2019·唐山模拟)(2x－1)6 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数
字作答)
12.(2019·贵阳模拟) x a 9 的展开式中 x3 的系数为－84，则展开式的各项系数之和为 x
________.
＝( )
A.1
B.243
C.121
D.122
3
2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3 ＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为________.
3.已知(1＋3x)n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于 121，则展开式中二项式系 数最大的项为________. 考点三 二项展开式的应用
的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有 关.如(a＋bx)n 的二项展开式中，第 k＋1 项的二项式系数是 Ckn，而该项的系数是 Cknan－kbk.当
然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.
考点一 二项展开式中特定项或系数问题
考法(一) 求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，
则奇数项的二项式系数和为(
A.29
B.210
) C.211
D.212
4
5.二项式 1 2x2 9 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为(
)
x
A.－671
B.671
C.672
D.673
6.(2018·石家庄二模)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含 x4 项的系数为( )
例 5、设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 018＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
A.0
B.1
C.11
D.12
[解题技法]
利用二项式定理解决整除问题的思路
(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能
被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
A.－5
B.－15
C.－25
D.25
7.(2018·枣庄二模)若 x2 a x 1 10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于(
)
x
A.1
B.1
C.1
D.2
3
2
8.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且 a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数 m 的值为( )
A.1 或 3
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的
和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：
①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数 b∈[0，r)，r 是除数，若利用二项式定理展开变形
后，切记余数不能为负；
②二项式定理的逆用.
[题组训练]
1.使得多项式 81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1 能被 5 整除的最小自然数 x 为( )
A，x2 的系数为
B，若
A＋B＝
11，则 a＝________.
[解题技法] 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr，常把字母和系数 分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列