高三数学复习学案NO.3
高考数学第一轮复习第三章 数列第三课时等比数列教案 人教版 教案
高考数学第一轮复习第三章 数列第三课时等比数列教案教学目的：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．教学重点：等比数列的通项公式及前n 项和公式的的运用。
教学难点：函数与方程思想及等价转化的思想；错位减法的运用。
考点分析及学法指导：等差与等比数列的考察题型即有选择题、填空题，又有解答题；难度即有容易题、中等题，也有难题。
这与每年试卷的结构布局有关。
客观是突出“小而巧”，主观是为“大而全”，着重考察函数与方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法，加强与函数、方程、不等式等支撑数学笠体系的重点内容的结合，在知识网络交汇点设计命题。
数列的应用题，考察的侧重点是现实客观事的确良数学化。
旨在通过阅读，理解命题的背景材料，运用数学的思想和方法分析题目中多种数量之间的关系，构造数列模型，将现实问题转化为数学问题解决。
资料 教学过程： 一、知识讲解：1．m n m n q a a -=2．若q p n m +=+，m 、n 、p 、q ∈N *，则q p n m a a a a =特别地，当p n m 2=+时，2p n m a a a =3．n n n q qa q a q q a S ⋅---=--=111)1(111(q≠1)，则nn q k k S ⋅-=，其中q 为公比，q ≠0，q ≠1，qa k -=11。
4．若首项1a ＞0，公比q ＞1，或首项1a ＜0，公比0＜q ＜1，则数列为递增数列；若首项1a ＞0，公比0＜q ＜1，或首项1a ＜0，公比q ＞1，则数列为递减数列；公比q ＝1，数列为常数列；公比q ＜0，数列为摆动数列．公比q 不等于零是一大特点．5．在等比数列中，下标成等差数列的项构成等比数列； 6．连续相同个数项的积也构成等比数列；7．在等比数列中{}2n a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也成等比数列； 8．若{}n a 为等比数列，则{}n a lg 成等差数列． 二、例题分析 （一）基础知识扫描1．等比数列{}n a 的通项公式为n a =，可推广为 n a =⋅m a ；等比数列前n 项和公式为n S =，其中n ，m ∈N *．2．若等比数列{}n a 中，3021=+a a ，6043=+a a ，则87a a +=. 3．ac b =2是三个数a ，b ，c 成等比数列的() A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20天 5．给出下面五个命题：①若{}n a 是等比数列，且l k n m +=+，则l k n m a a a a +=+②若{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则()()n n n n n S S S S S 2322-⋅=-③{}n a 是等比数列的一个充要条件是()1-⋅=nn b a S ，常数a ≠0，b ≠1；④若{}k n 成等差数列，则{}kn a成等比数列，其中a >0，a ≠1；⑤若{}n a 成等差数列，则{}n a lg 成等比数列。
高三数学复习教案
高三数学复习教案作为一名辛苦耕耘的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编精心整理的高三数学复习教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高三数学复习教案1教学目标知识目标等差数列定义等差数列通项公式能力目标掌握等差数列定义等差数列通项公式情感目标培养学生的观察、推理、归纳能力教学重难点教学重点等差数列的概念的理解与掌握等差数列通项公式推导及应用教学难点等差数列“等差”的理解、把握和应用教学过程由XX《红高粱》主题曲“酒神曲”引入等差数列定义问题：多媒体演示，观察————发现？一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
例1：观察下面数列是否是等差数列：…。
二、等差数列通项公式：已知等差数列{an｝的首项是a1，公差是d。
则由定义可得：a2—a1=da3—a2=da4—a3=d……an—an—1=d即可得：an=a1+（n—1）d例2已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项公式。
分析：知道a1，d，求an。
代入通项公式解：∵a1=3，d=2∴an=a1+（n—1）d=3+（n—1）×2=2n+1例3求等差数列10，8，6，4…的第20项。
分析：根据a1=10，d=—2，先求出通项公式an，再求出a20 解：∵a1=10，d=8—10=—2，n=20由an=a1+（n—1）d得∴a20=a1+（n—1）d=10+（20—1）×（—2）=—28例4：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36，求通项an。
分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36，n=18分别代入通项公式an=a1+（n—1）d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。
数学高三复习教案教案第三章
第三章 导数及其应用高考考纲(1) 导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景， ② 理解导数的几何意义．(2) 导数的运算① 能根据导数定义求函数y C =(C 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =的导数．② 能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数．∙ 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C )′＝0(C 为常数)；(x n )′＝nx n -1，n ∈N +； (sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；(e )e x x '=；()ln x x a a a '=（a ＞0，且a ≠1）； 1(ln )x x '=；1(log )log e a a x x '=（a ＞0，且a ≠1）．∙ 常用的导数运算法则：法则1：[]()()()()u x v x u x v x '''±=±． 法则2：[]()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+．法则3：2()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦．(3) 导数在研究函数中的应用① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) ．(4) 生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题． (5) 定积分与微积分基本定理的含义① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． ② 了解微积分基本定理的含义．第一节 变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数．三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．类型一 利用导数的定义求函数的导数[例1] 用定义法求下列函数的导数．(1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2.[自主解答]根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx .1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．类型二 导数的运算[例2] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；[自主解答]求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；类型三 导数的几何意义[例3]曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答]若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． [自主解答]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．3．(1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12 D ．1易错题思考[典例] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[尝试解题]1.在解答本题时有两个易误点：(1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1，0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系.2.解决与导数的几何意义有关的问题时，应注意：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数、(理)复合函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握.针对训练1．(2012·广州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( ) A.278B ．－2C ．2D ．－2782．已知曲线y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 的切线条数为________．第二节导数在函数中的应用1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．类型一运用导数解决函数的单调性问题[例1]已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．[自主解答]求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．1．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)是否存在a 使函数f (x )为R 上的单调递减函数，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．类型二 运用导数解决函数的极值问题[例2] (2012·江苏高考)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． [自主解答]求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．2．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．类型三 运用导数解决函数的最值问题 [例3] 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答]本题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值． [自主解答]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力．导数的应用问题答题模板[典例] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有公共切线―――――――――――→两曲线在x ＝1处的纵坐标及导数相同⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求a ，b 的值―――――――→需要建立关于a ，b 的方程组将⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)用a ，b 表示即可 3．建联系，找解题突破口解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)―――――――→先求f ′(x )和g ′(x )f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ―――――→将x ＝1代入 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝b ＋1，2a ＝3＋b ，⇒a ＝b ＝31．审条件，挖解题信息观察条件―→a 2＝4b ――――――――――――――――――→可消掉一个参数，使f (x )与g (x )含有同一个参数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋14a 2x2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求函数f (x )＋g (x )的单调区间及其在区间(－∞，－1]上的最大值 ――――――→f (x )＋g (x )含x 3及参数a 应利用导数解决――――――――→由h26−−−−−−−−−−→－及－与－，－的系，求最值讨论区间关[教你准确规范解题]—————————————————[万能模板]———————————用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答： 第一步求函数f (x )的导数f ′(x )第二步求函数f (x )在给定区间上的单调区间 第三步求函数f (x )在给定区间上的极值 第四步求函数f (x )在给定区间上的端点值第五步比较函数f (x )的各极值与端点值的大小，确定函数f (x )的最大值和最小值 第六步反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．如本题的关键点是确定函数f (x )的单调区间；易错点是忽视对参数a 的讨论第三节 导数的综合应用类型一 利用导数研究恒成立问题及参数求解[例1] 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答]利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．类型二 利用导数证明不等式问题[例2] 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答]在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[自主解答]利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0.2．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间；(2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立．类型三 利用导数研究生活中的优化问题[例3] 某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)[自主解答]利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．转化与划归思想在导数研究函数中的应用[典例] (2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋m (a >0)． (1)若a ＝1时函数f (x )有三个互不相同的零点，求实数m 的取值范围；(2)若对任意的a ∈[3,6]，不等式f (x )≤1在[－2,2]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解][题后悟道] 所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．解答本题利用了转化与化归思想，第(1)问中把函数的零点问题转化为g (x )＝－x 3－x 2＋x 与y ＝m 图象的交点；第(2)问中把问题转化为求f (x )在[－2,2]的最大值，利用最大值小于等于1，进一步转化为m ≤9－4a －2a 2在a ∈[3,6]恒成立，从而可求m 的范围．针对训练11 设函数f (x )＝13x 3＋x 2＋x ，g (x )＝2x 2＋4x ＋c .当x ∈[－3,4]时，函数f (x )与g (x )的图象有两个公共点，求c 的取值范围．。
高中数学 第3章 概率章末复习课学案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学学案
第3章 概率章末复习课网络构建核心归纳1.本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和.求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A －)(事件A 与事件A －互为对立事件)求解.3.对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn求出概率.有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序，做到不重不漏.要点一 随机事件的概率 1.有关事件的概念 事件 概念确定性现象在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.【例1】某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.【训练1】 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________.解析 ∵28254×1 534≈169，∴这批米内夹谷约为169石. 答案 169石要点二 古典概型及其应用古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数.这就是我们常说的列举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，保证不重不漏.【例2】 一个盒子中装有完全相同的6个小球，分别标有1～6这六个数字，现在依次随机抽出两个小球，如果： (1)抽出的小球不放回； (2)抽出的小球放回，求这两个小球的数字相邻的概率.解 对于抽出的小球放回的情形，所有基本事件的情况如下表：36－6＝30(个)，满足数字相邻的基本事件有10个，因此两个数字相邻的概率为1030＝13. (2)对于抽出的小球放回的情形，共有表中所列的36个基本事件，两个数字相邻的基本事件共有10个，因此两个数字相邻的概率为1036＝518.【训练2】 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示投掷第1颗正四面体玩具落在底面的数字，y 表示投掷第2颗正四面体玩具落在底面的数字. (1)写出试验的基本事件；(2)求事件“落在底面的数字之和大于3”的概率； (3)求事件“落在底面的数字相等”的概率. 解 (1)这个试验的基本事件列表如下：由表知共有16(2)事件“落在底面的数字之和大于3”包括以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4). 故所求概率P ＝1316.(3)事件“落在底面的数字相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4). 故所求概率P ＝416＝14.要点三 互斥事件与对立事件 1.对互斥事件与对立事件概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.(2)利用集合的观点来看，如果事件A ∩B ＝∅，则两事件是互斥的，此时A ∪B 的概率就可用概率加法公式来求，即为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；如果事件A ∩B ≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式.(3)利用集合的观点来看，如果事件A ∩B ＝∅，A ∪B ＝U ，则两事件是对立的，此时A ∪B 就是必然事件，可由P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1来求解P (A )或P (B ). 2.互斥事件概率的求法(1)若A 1，A 2，…，A n 互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和. 3.对立事件概率的求法P (Ω)＝P (A ＋A －)＝P (A )＋P (A －)＝1，由公式可得P (A )＝1－P (A －)(这里A －是A 的对立事件，Ω为必然事件).4.互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解.【例3】 将一枚均匀正方体骰子(每个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数之和为5的概率； (2)两数中至少有一个奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y ，点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部的概率.解 由列表法可得，将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数(m ，n )的所有等可能基本事件有36种. (1)记“两数之(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件和为5”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，所以P (A )＝436＝19.B 与“两数均为偶数”为对立事件，“两数均为偶数”包含的基本事件有(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9种，所以P (B )＝1－P (B －)＝1－936＝34.(3)记“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部”为事件C ，则需x 2＋y 2＜15，其包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，所以P (C )＝836＝29.【训练3】 投掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为________.解析 由于基本事件总数为6，故P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，从而P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13，又A 与B －互斥，故P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23. 答案 23课堂小结1. 互斥事件不一定是对立事件；但对立事件一定是互斥事件.若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)试验结果是否有限且是等可能的？ (2)试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错.。
高三数学复习学案(第1-5章)(集合、不等式、函数、指数和对数、三角函数)
高三数学复习学案（一）集合知识要点一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：、、．2．集合中元素与集合的关系元素与集合之间的关系有和两种，表示符号为和.3．集合的表示法：、、．二、集合间的基本关系1．集合的子集和真子集具有传递性，即若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；2．对于集合A，B若A∩B＝A∪B，则A＝B.3．要注意∅的特殊性，在写集合的子集时不要忘记空集和它本身．4．若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数是2n－2.三、集合的基本运算常用结论(1)A ∩∅＝∅，A ∪∅＝A ，A ∩A ＝A ，A ∪A ＝A .(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅ 四、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q ，q 是p 的 ． 2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的课前热身1、若1=a ，集合{}2<=x x A ，则下列关系中正确的是（ ）A ．A a ≠⊂B ．{}A a ≠⊂ C ．{}A a ∈ D ．A a ∉2．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝{1,2}，B ＝{－2,1,2}，则A ∪(∁U B )等于( )A ．∅B ．{1}C ．{1,2}D ．{－1,0,1,2} 4．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1}5.已知集合A 有5个元素，它们所有非空子集的个数是（ ） A ．32 B ．31 C ．30 D ．256．已知集合{}{}21,1,0,23A x x B a ===--，且A B ⊆，则a 的值是 ．例题解析[例1]、设集合{}{}{}7,4,1,2,1,4,22=+=+-=B a A a a U ，若U B A = ，则=a 。
《金版新学案》高三数学一轮复习 第三章 第3课时课件 理 新人教A版
1 (2)y＝ 2＋log x＋ tan x. 2 π － x 解析： (1)由函数 1－ 2cos2 ≥0，得 sin
2 x≤ ， 2 利用单位圆或三角函数的图象， 易 得 所 求 函 数 的 定 义 域 是
5π π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z . 4 4
y＝sin x
y＝cos x
【思考探究】 2.正弦函数和余弦函数的图象 的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有 什么关系？
提示：
y＝sin x 与 y＝cos x 的对称轴方程
中的 x 都是它们取得最大值或最小值时相 应的 x， 对称中心的横坐标都是它们的零点．
1． 使函数 y＝1＋3cos 2x(x∈R)取最大值的自变 量 x 的集合为( ) A．{0} B．{x|x＝kπ，k∈Z} C．{x|x＝2kπ，k∈Z}
2．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0， 可用诱导公式将函数变为 y＝－Asin(－ωx－ φ) ， 则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的 减区间，减区间为原函数的增区间． 对于函数 y＝Acos(ωx＋φ)的单调性的讨论与 以上类似．
已知函数 f(x)＝ 3(sin x－cos x)－2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； π π (2)设 x∈－3，3 ， 求 f(x)的值域和单调递增区 间． 解析： (1)∵f(x)＝－ 3(cos2x－sin2x)－ 2sin xcos x π ＝－ 3cos 2x－sin 2x＝－2sin2x＋3 ， ∴f(x)的最小正周期为 π.
π D.x|x＝2kπ＋2，k∈Z
答案： B
π － x 2．函数 y＝tan 的定义域是( 4 π A.x|x≠4，x∈R π B.x|x≠－4，x∈R π x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z ， x ∈ R C. 4 3π x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z ， x ∈ R D. 4
人教课标版高中数学必修3《概率》复习课参考学案
必修3学案第三章《概率》复习课姓名☆学习目标：1.正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；理解事件的包含,并事件,交事件,相等事件,以及互斥事件,对立事件的概念；2.理解概率的概念，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系；理解并掌握概率的三个基本性质；3. 正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系．☆基础知识复习：1. 随机事件的概念（1）必然事件：在条件S下，发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：事件和事件统称为相对于条件S的确定事件；（4）随机事件：在条件S下的事件，叫相对于条件S的随机事件；2.事件的关系与运算①对于事件A与事件B, 如果事件A发生,事件B一定发生, 就称事件包含事件.②如果B⊇A且A⊇B, 那么称事件A与事件B相等.记作A B.③事件A ⋃B发生事件A发生事件B发生.称此事件为事件A与事件B 的并(和).④事件A ⋂B发生当且仅当.称此事件为事件A与事件B的交(积)事件.⑤如果A ⋂B为事件(A ⋂B=∅), 那么称事件A与事件B互斥.⑥如果A ⋂B为不可能事件, 且为必然事件, 那么称事件A与事件B互为独立事件.3. 频率与概率, 概率的基本性质10事件A发生的次数n A与试验总次数n的比值A n叫做事件A的，它具有n一定的稳定性,在某常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,摆动幅度越来越小.这个常数叫做随机事件的，在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的20. 必然事件的概率: ;不可能事件的概率: ; 随机事件的概率:30.当事件A与事件B互斥时, 当事件A与事件B互为对立时,4.古典概型和几何概型（1）古典概型的两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件；20.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同．（2）古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：P A==()（3）几何概型的概念：10.将每个基本事件理解为从某特定的几何，该区域中每一点被取到的机会都一样；20.随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的．（4）几何概型的概率公式：在区域D中随机地取一点, 记事件A=＂该点落在其内部一个区域d内＂,则事件A发生的概率为：P A==.()5. 10 随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验20. 通过随机模拟的方法可以近似地计算不规则图形的面积.☆案例学习：例1例2例3例4 (1)两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．(2) 在直角坐标内,射线OT落在600角的终边上, 现任作一射线OA, 求射线OA落在xOT内的概率．例5在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．参考答案例1例2例3例4(1)记“灯与两端距离都大于2m”为事件A ，则P(A)= 62=31 (2) 记“射线OA 落在xOT ∠内”为事件B, 则P(B)= 006013606=例5分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数1a =RAND ．（2）经过伸缩变换，a =1a *12得到[0，12]内的均匀随机数．（3）统计试验总次数N 和[6，9]内随机数个数N 1（4）计算频率NN 1．记事件A={面积介于36cm 2 与81cm 2之间}={长度介于6cm 与9cm 之间}，则P （A ）的近似值为f n (A)=N N 1．。
福建省平潭县高中数学 第三章复习导学案 新人教A版必修3
授课时间第周星期第节课型复习课主备课人刘百波学习目标1．掌握概率的基本性质2．学会古典概型和几何概型简单运用重点难点重点古典概型、几何概型的相关知识点难点古典概型、几何概型的具体应用学习过程与方法自主学习1.本章的知识建构如下：2.概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；（巧妙的运用这一性质可以简化解题）4）互斥事件与对立事件的区别与联系：我们可以说如果两个事件为对立事件则它们一定互斥，而互斥事件则不一定是对立事件3.古典概型（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A4.几何概型（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．随机事件频率概率，概率的意思义与性质应用概率解决实际问题古典概型几何概型随机数与随机模拟5.古典概型和几何概型的区别相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.精讲互动例1、柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率（1）取出的鞋子都是左脚的;（2）取出的鞋子都是同一只脚的（选作）变式：（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；（2）取出的鞋不成对例2、取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率有多大？达标训练1. 课本p161 复习题三 A组：1 2 3 4 5 62. 教辅资料作业布置1.复习题三 A组：7 、8、 9、10 、112.教辅资料学习小结/教学反思。
高三数学第一轮复习导学教案3
第四课时 基本不等式【学习目标】1． 理解均值定理及均值不等式的证明过程2． 能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题3． 在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。
4． 通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。
【学习重点】应用数形结合的思想理解基本不等式【学习难点】应用基本不等式求最大值和最小值[自主学习]1．基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++若a>b>0,m>0,则 b b m a a m+<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22Sxy 积有最大值（） 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
[课前热身]1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ．3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y +-的最小值是 .4. 已知下列四个结论 ①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时； ③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为[典型例析]例1（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值求22242y x x =--+的最大值.变式训练，求x+y的最小值。
2021学年数学人教A版必修3学案 第3章
第三章概率3.1随机事件的概率3．1.1随机事件的概率[目标] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性以及频率与概率的区别；2.通过实例，正确理解概率的意义，体会概率思想方法及应用价值．[重点]正确理解频率与概率的关系，以及概率在实际中的应用．[难点]概率的意义的正确理解及随机试验结果的随机性与规律性的关系．知识点一事件的分类[填一填]1．确定事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称为必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件．2．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称为随机事件．3．事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．[答一答]1．定义中的“条件S ”是唯一的吗？提示：这里的S 可以是一个条件，也可以是一组条件(可以理解为一个条件的集合)，此处的定义与初中教材中的定义(在一定条件下)有所不同，新定义的表述更加简洁．2．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．(3)若x ∈R ，则x 2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.提示：由题意知：(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．知识点二 频率与概率[填一填]1．频率在相同条件S 下重复n 次试验，观察事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n 为事件A 出现的频率，其取值范围是[0,1]．2．概率(1)定义：一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中某个常数上．这个常数称为事件A 的概率，记为P (A )，其取值范围是[0,1]．(2)求法：由于事件A 发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．[答一答]3．随机事件的频率具有相对的稳定性，在大量重复试验时，频率会在一个常数附近摆动．随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则这个常数一定就是m n 吗？提示：不一定．当试验的次数n 很大时，这个常数才近似地认为是m n .4．频率与试验次数有关吗？概率呢？提示：(1)频率是事件A 发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同．(2)概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验做没做、做多少次完全无关．比如，如果一个硬币是质地均匀的，则掷硬币一次出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关．5．“小概率事件一定不发生，大概率事件一定发生”，这种说法对吗？提示：不对．小概率(接近0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(接近1)事件经常发生，但不代表一定发生．类型一 事件的判断[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解](1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．要判断事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.[变式训练1]下列事件中，随机事件的个数是(C)①某地1月1日刮西北风；②当x是实数时，x2≥0；③一个电影院某一天的上座率超过50%.A．0 B．1C．2 D．3解析：①③是随机事件，②是必然事件．类型二试验结果分析[例2]下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．[解](1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．[一题多变](1)在例2(2)中，从集合A中任取2个元素组成A的子集，有哪些？(2)在例2(2)中集合A换为A＝{a，b，c，d，e}，其他条件不变，则结果如何？[解](1)试验结果有6个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．(2)试验结果有10个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．[变式训练2]袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．解：(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．类型三用频率估计概率[例3]某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.(1)计算并完成表格；(2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？[分析]先根据频率的定义求出各试验的频率，再由频率去估算概率．[解](1)(2)当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.概率的确定方法(1)理论依据：频率在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率．(2)计算频率：频率＝频数试验次数.(3)用频率估计概率．[变式训练3](1)从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据用频率分布估计总体分布的原理，该自动包装的食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为0.25.解析：由频率估计概率，食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的频率是520＝0.25，故所求概率约为0.25.(2)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是16个．解析：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1－15%－45%＝40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．1．有下列现象：①掷一枚硬币，出现正面向上；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则b<a.其中是随机现象的是( B )A ．②B ．①C ．③D ．②③解析：①掷一枚硬币，可能出现反面向上，所以①是随机现象，②③均为必然现象．故选B.2．下面的事件，是不可能事件的有( B )①在标准大气压下，水加热到80 ℃时会沸腾；②a ，b ∈R ，则ab ＝ba ；③一枚硬币连续掷两次，两次都出现正面向上．A ．②B ．①C ．①②D ．③解析：①在标准大气压下，水只有加热到100 ℃时才会沸腾，所以①是不可能事件；②是必然事件；③为随机事件．故选B.3．下列说法正确的是( C )A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A 错，B 、D 混淆了频率与概率的概念，故错误．4．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两个朝上的面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：公平．解析：两枚硬币落地的结果有正反，反正，正正，反反，因此两种情况各占12，是公平的．5．某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.——本课须掌握的两大问题1．概率的性质(1)必然事件的概率为1.(2)不可能事件的概率为0.(3)随机事件A的概率为0≤P(A)≤1.必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形．2．“频率”和“概率”的区别和联系(1)区别：频率反映的是某一随机事件出现的频繁程度，是随机的，而概率是一个客观常数，它反映了随机事件发生的可能性的大小，是一个稳定值．(2)联系：①概率是频率的科学抽象，是某一事件的本质属性，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，概率可看作频率理论上的期望值；②频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即概率可以用频率作近似代替，可以说，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；③只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率；④实践中常用“大量重复试验的前提下的频率值”来估计事件的概率．3．1.2 概率的意义[目标] 1.通过实例，进一步理解概率的意义；2.会用概率的意义解释生活中的实例；3.了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律．[重点] 概率的意义及应用．[难点] 概率意义的理解．知识点一 概率的正确理解[填一填] 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．[答一答]1．掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率是12，那么在掷一百次试验中，是否一定有50次正面向上？提示：不一定，但正面向上的次数应是50次左右．知识点二游戏的公平性[填一填]尽管随机事件发生具有随机性，但是当大量重复这一过程时，它又呈现出一定的规律性，因此利用概率知识可以解释和判断一些游戏规则的公平性、合理性．[答一答]2．在生活中，有时要用抽签的方法来决定一件事情，这样做是否公平呢？提示：我们看到在抽签时虽然有先有后，但每个抽签者中签的概率是相等的，也就是说，不会因为抽签的顺序影响其公平性．例如，在n张相同的票中只有1张奖票，n个人依次从中各抽1张，那么每个人抽到奖票的概率都是1n，也就是说，抽到奖票的概率与抽票的顺序无关．知识点三决策中的概率思想[填一填]如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，是决策中的概率思想．[答一答]3．如果掷一枚硬币100次，结果只有两次正面向上，如果只考虑硬币是否均匀，你的判断更倾向于什么？提示：更倾向于硬币不均匀．如果硬币是均匀的，那么出现正面向上或反面向上的次数应相差不大．知识点四天气预报的概率解释[填一填]天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．[答一答]4．某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，请你结合概率的意义作出正确的解释．提示：“明天本地降水概率为70%”是指本地降水的可能性是70%，而不是本地70%的区域会降水．当然，降水是一个随机事件，随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生，因此降水概率为70%是指降水的可能性为70%，本地不一定下雨，也不一定不下雨．天气预报是气象专家根据观测到的气象资料和经验，经过分析推断得到的．如果本地不下雨，并不能说天气预报是错误的．知识点五试验与发现及遗传机理中的统计规律[填一填]概率知识在科学发展中起着非常重要的作用，奥地利遗传学家孟德尔利用杂交豌豆所做的试验中，得到了显性与隐性的比例接近3 1，分析找出了遗传规律，成为近代遗传学的奠基人．可见，利用概率统计知识，对数据加以分析，有时可以得到意想不到的结论．[答一答]5．孟德尔试验得到的显性与隐性的比例是多少？其遗传机理是什么？ 提示：当这两种豌豆杂交时，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征，于是第一代收获的豌豆的特征是Yy.以此类推，第二代收获的是YY ，Yy ，Yy ，yy ，如图，Y 是显性因子，y 是隐性因子，当显性因子与隐性因子组合时，表现出显性因子的特征，即YY ，Yy 呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特征，即yy 呈绿色．由于下一代的两个特征是从父母辈中各随机选取的，因此在第二代中的YY ，yy 出现的概率都是14，Yy 出现的概率是12 ，所以黄色豌豆(YY 或Yy)绿色豌豆(yy)≈3 1.类型一 概率的正确理解[例1] 下列说法正确的是( )A ．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D ．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1[解析] 一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C 不正确，D 正确．[答案] D随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识.[变式训练1] 每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”这句话( B )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释解析：解答一个选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择正确的概率是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的结果选择正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确．类型二游戏的公平性[例2]有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”请回答问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．[解](1)可以选择B.猜“不是4的整数倍数”或C.猜“是大于4的数”．“不是4的整数倍数”的概率为810＝0.8，“是大于4的数”的概率为610＝0.6，它们都超过了0.5，故应可以尽可能地获胜．(2)为了保证游戏的公平性，应当选择A方案．方案A.猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，因而该游戏是公平的．(3)可以设计为D.猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性(答案不唯一)．利用概率的意义可以制定游戏的规则，在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说游戏是否公平只要看获胜的概率是否相等.如体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才公平.再如每个购买彩票的人中奖的概率应是相等的，这样对每个人才是公平的.[变式训练2]元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看．解：其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1、2、3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．类型三极大似然法的应用[例3]设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，要从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球从哪一个箱子中取出？[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知试验的结果与试验过程大致情况；②由试验结果推断具体的试验过程.解答本题可利用极大似然法．[解]甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是99100.乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的．在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据.因此，在分析、解决有关试验问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学地决策.[变式训练3]深入研究之后，人们发现英文中各个字母被使用的频率相当稳定，例如，下面就是一份统计表.试举例说明这一研究的重要用途是什么？解：在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母，从表中我们可以看出，空格的使用频率最高，鉴于此，这一研究在键盘的设计、信息的编码、密码的破译等方面都是十分有用的．比如，人们在设计键盘时，在方便的地方安排使用频率较高的字母键，空格键不仅所占面积最大，而且放在使用最方便的位置．1．已知某种彩票中奖率为11 000，某人买了1 000份该彩票，则其( D )A ．一定中奖B ．恰有一份中奖C ．至少有一份中奖D ．可能没有中奖 解析：彩票中奖是一个随机事件，中奖率是中奖的可能性，并非一定中奖．2．下列说法一定正确的是( D )A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若他罚球三次，不会出现三投都不中的情况B ．一个骰子掷一次得到2的概率是16，则掷6次一定会出现一次2C ．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万张彩票一定会中奖 D ．随机事件发生的概率与试验次数无关 3．某医院治疗某种疾病的治愈率为1‰ .在2008年医院收治的398个病人中，无一治愈，那么2009年该医院收治的第一个病人可能被治愈．(填“可能”或“不可能”)4．利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的同学有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率是0.615.解析：根据频率与概率的关系及概率的意义知，这名学生戴眼镜的概率为123200＝0.615.5．李东是高一(18)班的一名学生，该班有学生55人，在将要举行的“五四”晚会上，每班要随机抽一名同学作为嘉宾参与电视台节目录制，李东认为他被抽到的概率为155，你认为有道理吗？解：有道理，因为从55位同学中抽取一名同学作为嘉宾，这是一个随机事件，因此，李东被抽到的概率为155.——本课须掌握的两大问题1．概率是从数量上反映随机事件发生的可能性大小的一个数学概念．对大量重复试验来说存在的一种统计规律性，对单次试验来说，随机事件发生与否是随机的．2．生活中的概率(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，游戏是否公平只要看每人获胜的概率是否相等即可．(2)正确理解随机事件概率的意义，掌握日常生活中偶然事件发生的规律，用概率的意义来解释一些日常生活中偶然事件即随机事件发生的概率，可以澄清日常生活中的一些错误认识．但是在用概率思想指导实践活动时，要注意概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并不说明一个事件一定发生或一定不发生，因此应当抱着一种平常的心态对待它．(3)如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法称为极大似然法．3．1.3概率的基本性质[目标]1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念；3.掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率．[重点]事件的关系、运算及概率的基本性质．[难点]概率的基本性质的应用．知识点一事件的关系与运算[填一填]。
高三复习数学教案5篇
高三复习数学教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三复习数学教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
高三复习数学教案1教学准备教学目标解三角形及应用举例教学重难点解三角形及应用举例教学过程一.基础知识精讲掌握三角形有关的定理利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.二.问题讨论思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
一.小结：1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
3.边角互化是解三角形问题常用的手段.三.作业：P80闯关训练高三复习数学教案2排列教学目标(1)正确理解排列的意义。
能利用树形图写出简单问题的所有排列;(2)了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列;(3)掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数;(4)会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;(5)通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。
高中数学第3章概率复习学案苏教版必修3
第41课时7.5复习课3(全章复习)自学评价本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.1、下列事件中，属于随机事件的是 ( D )A ． 掷一枚硬币一次，出现两个正面；B 、同性电荷互相排斥；C 、当a 为实数时，|a|<0；D 、2009年10月1日天津下雨2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ A ）A ①④B ②③C ①②③D ①②③④ 3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ C ） A 、53 B 、51 C 、2512 D 、1253 【精典范例】例1 某射手在同一条件下进行射击结果如下表所示（2）这个射手击中靶心的概率是多少？（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？【解】 (1)0,4,0.4,0.48,0.45,0.45,0.45 (2) 0.45 (3)300例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率: (1)所取的三个球号码完全不同; (2)所取的三个球号码中不含4和5.【解】从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号码再放回,有5种情况;②再从5球中任取一个球,记下号码再放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有基本事件n =5×5×5=125个,(1)记三球号码不同为事件A,这三球的选取仍然为有顺序的三次,第一次取球有5种情况,第二,三次依次有4,3种情况,∴事件A 含有基本事件的个数m =5×4×3=60个,∴6012();12525m P A n ===(2)记三球号码不含4和5为事件B,这时三球的选取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选,因此三次选取的方法种数都是3,∴B 中所含基本事件的个数为m =3×3×3=27个,∴27()125m P B n == 例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率. 【解】在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有286⨯个，两面涂有色彩的有812⨯个，三面涂有色彩的有8个，∴⑴一面涂有色彩的概率为13840.3841000P ==； ⑵两面涂有色彩的概率为2960.0961000P ==； ⑶有三面涂有色彩的概率280.0081000P ==.答：⑴一面图有色彩的概率0.384；⑵两面涂有色彩的概率为0.096；⑶有三面涂有色彩的概率0.008.例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率； （Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率． （精确到01.0）【解】(1)0.875 (2)0.041 (3)0.330例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回）， 求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。
高中数学 第3章《概率》复习 精品导学案 苏教版必修三
江苏省响水中学高中数学 第3章《概率》复习导学案 苏教版必修3一、学习目标：1.理解古典概型及其概率计算公式，会用枚举法计算一些随机事件的概率。
2.了解几何概型的概率计算公式。
二、课前预习：1 ．从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是2．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ,若x 满足||x m ≤的概率为56,则m =__________. 3．将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 .4．如图所示，在半径为1的半圆内，放一个边长为21的正方形，向半圆内投一点，则该点落在正方形内的概率是 ▲ ．三、课堂探究：1． 5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：(1)甲中奖的概率P (A )．(2)甲、乙都中奖的概率P (B )．(3)只有乙中奖的概率P (C )．(4)乙中奖的概率P (D )．2.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设（i,j ）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．四、课堂检测：1．一根绳子长为6米, 绳上有5个节点将绳子6等分, 现从5个节点中随机选一个将绳子剪断, 则所得的两段绳长均不小于2米的概率为 .2．沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是______3．（本题14分）从装有编号分别为b a ,的2个黄球和编号分别为d c , 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率；(2)第2次摸到黄球的概率.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
2021年高中数学第3章导数及其应用阶段复习课学案新人教A版选修13
第三课 导数及其应用[核心速填]1．在x ＝x 0处的导数(1)定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx,称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0 ,f (x 0))处的切线斜率． 2．导函数当x 变化时 ,f ′(x )便是x 的一个函数 ,称为导函数．f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.3．根本初等函数的导数公式 (1)c ′＝0. (2)(x α)′＝αxα－1.(3)(a x)′＝a xln_a (a >0)． (4)(e x)′＝e x. (5)(log a x )′＝1x ln a(a >0 ,且a ≠1)． (6)(ln x )′＝1x.(7)(sin x )′＝cos_x . (8)(cos x )′＝－sin_x . 4．导数的运算法那么(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数．在某个区间(a ,b )内 ,如果f ′(x )>0 ,那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0 ,那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数．①极大值：在点x ＝a 附近 ,满足f (a )>f (x ) ,当x <a 时 ,f ′(x )>0 ,当x >a 时 ,f ′(x )<0 ,那么点a 叫做函数的极大值点 ,f (a )叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近 ,满足f(a)<f(x) ,当x<a时 ,f′(x)<0 ,当x>a 时 ,f′(x)>0 ,那么点a叫做函数的极小值点 ,f(a)叫做函数的极小值．6．求函数y＝f(x)在[a ,b]上的最|大值与最|小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a ,b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a) ,f(b)比拟 ,其中最|大的一个是最|大值 ,最|小的一个为最|小值．[体系构建][题型探究]导数的几何意义函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11 ,g(x)＝3x2＋6x＋12 ,直线m：y＝kx＋9 ,且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y＝f(x)的切线 ,又是y＝g(x)的切线 ?如果存在 ,求出k的值；如果不存在 ,说明理由．[思路探究] (1)求f′x→f′－1＝0→求得a(2)设直线m与y＝g x相切→求出相应切线的斜率与切线方程→检验切线是否与y＝f x相切→得结论[解] (1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a ,且f′(－1)＝0 ,所以3a－6－6a＝0 ,得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9) ,先求过点(0,9) ,且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点为(x0,3x20＋6x0＋12) ,又因为g′(x0)＝6x0＋6.所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)．将点(0,9)代入 ,得9－3x 20－6x 0－12＝－6x 20－6x 0 , 所以3x 20－3＝0 ,得x 0＝±1.当x 0＝1时 ,g ′(1)＝12 ,切点坐标为(1,21) , 所以切线方程为y ＝12x ＋9；当x 0＝－1时 ,g ′(－1)＝0 ,切点坐标为(－1,9) , 所以切线方程为y ＝9.下面求曲线y ＝f (x )的斜率为12和0的切线方程： 因为f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11 , 所以f ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12.由f ′(x )＝12 ,得－6x 2＋6x ＋12＝12 , 解得x ＝0或x ＝1.当x ＝0时 ,f (0)＝－11 ,此时切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时 ,f (1)＝2 ,此时切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝12x ＋9不是公切线． 由f ′(x )＝0 ,得－6x 2＋6x ＋12＝0 , 解得x ＝－1或x ＝2.当x ＝－1时 ,f (－1)＝－18 ,此时切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时 ,f (2)＝9 ,此时切线方程为y ＝9 , 所以y ＝9是公切线．综上所述 ,当k ＝0时 ,y ＝9是两曲线的公切线．1．函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2 ,－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线 ,且经过原点 ,求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直 ,求切点坐标与切线的方程.【导学号：97792173】[解] (1)可判定点(2 ,－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1 ,∴f (x )在点(2 ,－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2) , 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0 ,y 0) ,那么直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1 ,∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0) ,∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16 , 整理得 ,x 30＝－8 , ∴x 0＝－2 ,∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13 ,∴直线l 的方程为y ＝13x ,切点坐标为(－2 ,－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直 ,∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0 ,y 0) ,那么f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4 , ∴x 0＝±1 ,∴⎩⎨⎧x 0＝1 y 0＝－14或⎩⎨⎧x 0＝－1 y 0＝－18.即切点坐标为(1 ,－14)或(－1 ,－18)． 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.利用导数研究函数的单调性函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)假设g (x )＝f (x )e x,讨论g (x )的单调性．[思路探究] (1)利用f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0求解． (2)先求g (x ) ,再求g ′(x )＝0的根 ,最|后确定g (x )的单调性．[解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x . 因为f (x )在x ＝－43处取得极值 ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0 ,解得a ＝12.经检验满足题意．(2)由(1)知g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x,所以g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x. 令g ′(x )＝0 ,解得x ＝0 ,x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时 ,g ′(x )<0 ,故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时 ,g ′(x )>0 ,故g (x )为增函数； 当－1<x <0时 ,g ′(x )<0 ,故g (x )为减函数； 当x >0时 ,g ′(x )>0 ,故g (x )为增函数．综上知 ,g (x )在(－∞ ,－4)和(－1,0)内为减函数 ,在(－4 ,－1)和(0 ,＋∞)内为增函数．2．a ∈R ,函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R )． (1)当a ＝2时 ,求函数f (x )的单调区间；(2)假设函数f (x )在(－1,1)上单调递增 ,求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时 ,f (x )＝(－x 2＋2x )e x,f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )＞0时 ,(－x 2＋2)e x＞0 , 注意到e x＞0 ,所以－x 2＋2＞0 ,解得－2＜x ＜ 2.所以 ,函数f (x )的单调递增区间为(－ 2 ,2)．同理可得 ,函数f (x )的单调递减区间为(－∞ ,－2)和( 2 ,＋∞)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增 ,所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x, 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0 , 注意到e x＞0 ,因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立 ,也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1 , 那么y ′＝1＋1x ＋12＞0 ,即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增 , 那么y ＜1＋1－11＋1＝32, 故a ≥32.即a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32 ＋∞.导数与函数的极值(最|值)及恒成立问题函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3. (1)设a ＝1 ,求函数f (x )的极值；(2)假设a ＞13,且当x ∈[1,4a ]时 ,f (x )≥a 3－12a 恒成立 ,试确定a 的取值范围.【导学号：97792174】[思路探究] (1)先求f ′(x )＝0的根 ,再判断极值点 ,求极值．(2)先求f (x )在x ∈[1,4a ]时的最|小值f (x )min ,再解不等式f (x )min ≥a 3－12a 求a 的范围．[解] (1)当a ＝1时 ,f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1且f ′(x )＝3x 2－6x －9 ,由f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3.当x ＜－1时 ,f ′(x )＞0 ,当－1＜x ＜3时 ,f ′(x )＜0 , 因此x ＝－1是函数的极大值点 ,极大值为f (－1)＝6；当－1＜x ＜3时 ,f ′(x )＜0 ,当x ＞3时 ,f ′(x )＞0 , 因此x ＝3是函数的极小值点 ,极小值为f (3)＝－26. (2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2＝3(x ＋a )(x －3a ) ,a ＞13 ,∴当1≤x ＜3a 时 ,f ′(x )＜0； 当3a ＜x ≤4a 时 ,f ′(x )＞0.∴x ∈[1,4a ]时 ,f (x )的最|小值为f (3a )＝－26a 3. 由f (x )≥a 3－12a 在[1,4a ]上恒成立得－26a 3≥a 3－12a , 解得－23≤a ≤23.又a ＞13 ,∴13＜a ≤23.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤13 23.3．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ,f ′(x )≥m 恒成立 ,求m 的最|大值； (2)假设方程f (x )＝0有且仅有一个实根 ,求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2) , 因为x ∈(－∞ ,＋∞) ,f ′(x )≥m , 即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立 , 所以Δ＝81－12(6－m )≤0 , 得m ≤－34 ,即m 的最|大值为－34.(2)因为当x <1时 ,f ′(x )>0；当1<x <2时 ,f ′(x )<0；当x >2时 ,f ′(x )>0； 所以当x ＝1时 ,f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时 ,f (x )取极小值f (2)＝2－a ； 故当f (2)>0或f (1)<0时 ,方程f (x )＝0仅有一个实根 ,解得a <2或a >52.导数与不等式问题函数f (x )＝ln x ＋kex(k 为常数 ,e ＝2.718 28…是自然对数的底数) ,曲线y ＝f (x )在点(1 ,f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x ) ,其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x ＞0 ,g (x )＜1＋e－2.[思路探究] (1)利用f ′(1)＝0求k . (2)判断f ′(x )的正负． (3)借助(2)的结论 ,构造函数． [解] (1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x, 由 ,f ′(1)＝1－ke ＝0 ,∴k ＝1.(2)由(1)知 ,f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设k (x )＝1x －ln x －1 ,那么k ′(x )＝－1x 2－1x＜0 ,即k (x )在(0 ,＋∞)上是减函数 ,由k (1)＝0知 ,当0＜x ＜1时 ,k (x )＞0 ,从而f ′(x )＞0 , 当x ＞1时 ,k (x )＜0 ,从而f ′(x )＜0.综上可知 ,f (x )的单调递增区间是(0,1) ,单调递减区间是(1 ,＋∞)．(3)证明：由(2)可知 ,当x ≥1时 ,g (x )＝xf ′(x )≤0＜1＋e －2,故只需证明g (x )＜1＋e －2在0＜x ＜1时成立．当0＜x ＜1时 ,e x＞1 ,且g (x )＞0 , ∴g (x )＝1－x ln x －xe x＜1－x ln x －x . 设F (x )＝1－x ln x －x ,x ∈(0,1) , 那么F ′(x )＝－(ln x ＋2) , 当x ∈(0 ,e －2)时 ,F ′(x )＞0 , 当x ∈(e－2,1)时 ,F ′(x )＜0 ,所以当x ＝e －2时 ,F (x )取得最|大值F (e －2)＝1＋e －2. 所以g (x )＜F (x )≤1＋e －2. 综上 ,对任意x ＞0 ,g (x )＜1＋e －2.[规律方法] 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式 ,比拟大小等) ,其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性 ,而证明不等式(或比拟大小)常与函数最|值问题有关.因此 ,解决该类问题通常是构造一个函数 ,然后判断这个函数的单调性 ,结合给定的区间和函数在该区间上的最|值使问题得以求解.[跟踪训练]4．函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R ) ,(1)假设f (x )在x ＝2时取得极值 ,求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x ＞1时 ,12x 2＋ln x ＜23x 3.[解] (1)f ′(x )＝x －a x ,因为x ＝2是一个极值点 ,所以2－a2＝0 ,那么af ′(x )＝x －4x＝x ＋2x －2x,因为f (x )的定义域是(0 ,＋∞) ,所以当x ∈(0,2)时 ,f ′(x )＜0；当x ∈(2 ,＋∞) ,f ′(x )＞0 ,所以当a ＝4时 ,x ＝2是一个极小值点 ,那么a ＝4.(2)因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax ,所以当a ≤0时 ,f (x )的单调递增区间为(0 ,＋∞)．当a ＞0时 ,f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax,所以函数f (x )的单调递增区间为(a ,＋∞)；递减区间为(0 ,a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ,那么g ′(x )＝2x 2－x －1x ,因为当x ＞1时 ,g ′(x )＝x －12x 2＋x ＋1x＞0 ,所以g (x )在x ∈(1 ,＋∞)上为增函数 ,所以g (x )＞g (1)＝16＞0 ,所以当x ＞1时 ,12x 2＋ln x ＜23x 3.导数的实际应用现需要设计一个仓库 ,它由上下两局部组成 ,上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1 ,下部的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图31所示) ,并要求正四棱柱的高O 1O是正四棱锥的高PO 1的4倍．图31(1)假设AB ＝6 m ,PO 1＝2 m ,那么仓库的容积是多少 ?(2)假设正四棱锥的侧棱长为6 m ,那么当PO 1为多少时 ,仓库的容积最|大 ? [思路探究] (1)利用锥体和柱体的体积公式求解；(2)利用锥体和柱体的体积公式建立目标函数 ,结合导数法求解．[解] (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1A 1B 1＝AB ＝6 ,所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)．正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)． 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ,PO 1＝h m ,那么0<h <6 ,O 1O ＝4h .如图 ,连接O 1B 1.因为在Rt△PO 1B 1中 ,O 1B 21＋PO 21＝PB 21 ,所以⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋h 2＝36 ,即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积V ＝V柱＋V锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3) ,0<h <6 ,从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0 ,得h ＝23或h ＝－23(舍去)． 当0<h <23时 ,V ′>0 ,V 是单调递增函数； 当23<h <6时 ,V ′<0 ,V 是单调递减函数． 故当h ＝23时 ,V 取得极大值 ,也是最|大值． 因此 ,当PO 1＝2 3 m 时 ,仓库的容积最|大． [规律方法] 利用导数解答实际问题的一般步骤 1．利用题设中的条件建立目标函数．2．根据题目中所要求解的问题 ,利用导数解答 ,通常是通过判断函数的单调性来求最|值．公众号：惟微小筑[跟踪训练]5．某商场销售某种商品的经验说明 ,该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2,其中3<x <6 ,a 为常数．销售价格为5元/千克时 ,每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)假设该商品的本钱为3元/千克 ,试确定销售价格x 的值 ,使商场每日销售该商品所获得的利润最|大.【导学号：97792175】[解] (1)因为x ＝5时 ,y ＝11 ,所以代入函数y ＝a x －3＋10(x －6)2得a2＋10＝11 ,那么a ＝2.(2)由(1)可知 ,该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2(3<x <6) , 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． 那么f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．所以当3<x <4时 ,f ′(x )>0 ,f (x )为增函数；当4<x <6时 ,f ′(x )<0 ,f (x )为减函数． 故x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点 ,也是最|大值点 ,即当x ＝4时 ,函数f (x )取得最|大值 ,且最|大值等于42.故当销售价格x 为4元/千克时 ,商场每日销售该商品所获得的利润最|大．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝( )
A.1
B.243
C.121
D.122
3
2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3 ＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为________.
3.已知(1＋3x)n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于 121，则展开式中二项式系 数最大的项为________. 考点三 二项展开式的应用
例 4(1)若 x 1 n 的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最
3 x
大的项是( )
3 A.6 x
B. 4 x
6 C.4x x
D.
4
或
6 4x
x
x
(2)若 x2 1 n 的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， x
A.1
B.2
C.3
D.4
2.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C 1100除以 88 的余数为________.
[课时跟踪检测]
1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)
2 x2
x4 3 的展开式中的常数项为(
)
A.－3 2
B.3 2
C.6
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的
和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：
①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数 b∈[0，r)，r 是除数，若利用二项式定理展开变形
后，切记余数不能为负；
②二项式定理的逆用.
[题组训练]
1.使得多项式 81x4＋108x3＋54x2＋12[例 3] (1)(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为( )
A.10
B.20
C.30
D.60
(2)将（x 4 4)3 展开后，常数项是________. x
[解题技法]
求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，把三项的和 a＋b＋c 看成是(a＋b)与 c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r 的展开式中的哪些项和 cr 相乘得到的；
A.－5
B.－15
C.－25
D.25
7.(2018·枣庄二模)若 x2 a x 1 10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于(
)
x
A.1
B.1
C.1
D.2
3
2
8.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且 a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数 m 的值为( )
A.1 或 3
(1)项数为 n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.
(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，
从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项
A.－4
B.－3
C.3
D.4
(2)(2019·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a＝
________. [解题技法]
求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a＋b)m 与(c＋d)n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m 与(c＋d)n 的展开式中的哪些项相 乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
13. x 1 15 展开式中的常数项为________. x
14.已知 x 1 n 的展开式中，前三项的系数成等差数列.
24 x
(1)求 n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项.
5
则 a1＋a2＋…＋an 的值为________. (3)若(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
[解题技法]
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立.因此，可将 x，y 设定为一
些特殊的值.在使用赋值法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”，
B.－3
C.1
D.1 或－3
9.设复数 x＝ 2i (i 是虚数单位)，则 C12 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…＋C22 001199x2 019＝(
)
1－i
A.i
B.－i
C.－1＋i
D.－i－1
10.已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6
D.－6
2.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4的值为(
)
a1＋a3
A.－61 60
B.－122 121
C.－3 4
D.－ 90 121
3.若二项式 x2 a 7 的展开式的各项系数之和为－1，则含 x2 项的系数为(
)
x
A.560
B.－560
C.280
D.－280
高三数学二轮复习学案 NO.49
二项式定理（4 月 8 号，周三用）
一、基础知识
1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)❶； (2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第 k＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0n，C1n，…，Cnn❷. 2.二项式系数的性质
出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r；
第三步，把 r 代入通项公式中，即可求出 Tr＋1，有时还需要先求 n，再求 r，才能求出
Tr＋1 或者其他量. 考法(二) 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例 2] (1)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( )
例 5、设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 018＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
A.0
B.1
C.11
D.12
[解题技法]
利用二项式定理解决整除问题的思路
(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能
被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
＋8a8)2 的值为( )
A.39
B.310
C.311
D.312
11.(2019·唐山模拟)(2x－1)6 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数
字作答)
12.(2019·贵阳模拟) x a 9 的展开式中 x3 的系数为－84，则展开式的各项系数之和为 x
________.
[例 1]
(1)(2018·全国卷Ⅲ)
x2＋2 x
5 的展开式中 x4 的系数为(
)
A.10
B.20
C.40
D.80
1
(2)(2019·合肥调研)若(2x－a)5 的二项展开式中 x3 的系数为 720，则 a＝________.
(3)(2019·甘肃检测)已知
x－
a x
5 的展开式中
x5 的系数为
A，x2 的系数为
B，若
A＋B＝
11，则 a＝________.
[解题技法] 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr，常把字母和系数 分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列
有时也取其他值.如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只
需令 x＝1 即可. (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
2
第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
[题组训练] 1.(2019·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6 的展开式中，x5 的系数是________.(用数字作答)
2. x 1 2 5 (x＞0)的展开式中的常数项为________. 2 x
考点二 二项式系数的性质及各项系数和
4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，
则奇数项的二项式系数和为(
A.29
B.210
) C.211
D.212
4
5.二项式 1 2x2 9 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为(
)
x
A.－671
B.671
C.672
D.673
6.(2018·石家庄二模)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含 x4 项的系数为( )
若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中