高等数学基本图形
高等数学公式大全及常见函数图像
高等数学公式大全及常见函数图像文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学中的基本图形
常见曲线 y x2 sin 1
x
y x2 y x2 sin 1 x
o
y x2
y=x2 sin(1/x)
7
常见曲线 y sin x
x
o
y=sinx/x
8
常见曲线 y sin x, y x, y tan x
o
y=sinx, y=x, y=tanx
9
常见曲线
y
1
1 x
x
ye
o
y= (1+1/x)2
10
箕舌线
y
8a 3 x2 4a2
2a
a o
11
蔓叶线 y2 2a x x3
oa
2a
12
阿基米德螺线 r a
o
13
对数螺线 r ea
o
14
2
2
2
星形线 x 3 y 3 a 3
x a cos3 ,
y
a
sin3
.
o
15
三叶玫瑰线 r a sin 3
o
16
三叶玫瑰线 r a cos 3
o
17
四叶玫瑰线 r a sin 2
o
18
四叶玫瑰线 r a cos 2
o
19
心形线 r a(1 cos )
o
20
心形线 r a(1 cos )
o
21
伯努利双纽线 r2 a2 cos 2
o
22
伯努利双纽线 r 2 a2 sin 2
o
23
x2 y2 a2 b2 1
25
旋转抛物面 z x2 y2
26
圆锥面 z2 x2 y2
高等数学(绪论)
基本原理是高等数学的核心，需要熟 练掌握。在学习过程中，要注重对定 理、公式的推导和证明，理解其逻辑 和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点 的理解和掌握，培养解题能力和技巧。 在练习过程中，要注重对题目的理解和 分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般 性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探 索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需 要深入理解。在学习过程中，要注重 对概念的解释和推导，理解其本质含 义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言， 如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流 体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计 量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管 理学等学科的重要基础课程，对于培 养学生的逻辑思维、分析问题和解决 问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学 高等数学在物理学中有广泛应用， 如力学、电磁学、光学等领域都 需要用到高等数学的知识。
计算机科学 计算机科学中，高等数学主要用 于算法设计、数据结构、图像处 理等领域，有助于提高计算机科 学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都 是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效 的方法。
大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所求量U与变量的变化区间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
4
t
cos2
t
dt
3a2
2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2
2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2
1 0
x12dy
1
0
x2
2
dy
1
ydy
1 y4dy 3
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0
高等数学平面与直线
注意事项：在使用点斜式方程时，需要确保已知点和斜率是正确的， 否则可能会得到错误的结果。
直线方程的应用
解析几何：用 于研究几何图 形的形状、大 小和位置关系
物理学应用：在 物理中，直线方 程可以用来描述 力、速度、加速 度等物理量的变
化规律
经济学应用：在 经济学中，直线 方程可以用来描 述成本、收益、 效用等经济变量
垂直关系
平面与直线垂直的定义： 直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则该直 线与该平面垂直。
垂直关系的判定定理： 如果一个平面内的两条 相交直线与另一个平面 垂直，则这两个平面垂 直。
垂直关系的性质：如 果两个平面垂直，则 其中一个平面内的直 线与另一个平面垂直。
垂直关系的ห้องสมุดไป่ตู้用：在几 何学、物理学和工程学 等领域中，垂直关系都 有着广泛的应用。
直线方程的表示： 点斜式、两点式和 截距式
直线方程的求解： 通过已知点坐标和 斜率求解直线方程
直线方程的应用： 求解交点、距离和 角度等问题
平面与直线的度量关系
距离公式
平面与直线之间的距离公式 公式推导过程 公式应用场景 公式注意事项
角度公式
平面与直线之间的夹角公式 直线与直线之间的夹角公式 平面与平面的夹角公式 直线与平面的夹角公式
面积公式
平面面积公式：A=πr²，其中r为圆的半径
直线长度公式：L=|x1-x2|，其中x1、x2为直线上两点的横坐标
平面方程的应用
描述几何图形
计算距离和角 度
解决实际问题
辅助设计
直线方程
一般式方程
定义：一般式方程是直线方程的一种形式，表示直线上任意一点的坐标都满足该方程。 形式：一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为零。 特点：一般式方程包含了所有斜截式、点斜式和两点式方程的特殊情况，可以表示任意直线。 应用：在几何学、物理学、工程学等领域中，一般式方程被广泛应用于描述直线的位置关系和性质。
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
大学高数空间解析几何
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
高等数学公式大全以及初等函数图像
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
高等数学平面及其方程
所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
代入体积式
例6
求过点 M1 (1,1,2), M 2 ( 1,0,3) 且平行于 z 轴的平面方程.
解一 用点法式
设所求平面的法向量为 n M1 M 2 2i j k 则 n M1 M 2 , n k i j k n 2 1 1 i 2j
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量 n { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ). 若取平面的另一法向量 m 此时由于 m // n m n A, B, C
一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做该平 面的法线向量．
z
n
M
M0
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n { A, B , C }, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 ——三点式方程 z3 z1
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
D A , a
D D B , C . b c
高等数学课件完整版
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D. 则称f ( x)为周
期函数, l称为f ( x)的周期. 且f ( x l) f ( x)恒成立.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 , 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
1,
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
高数图形总结知识点
高数图形总结知识点一、平面几何平面几何是研究平面上的图形及其性质的一门数学学科，它是在高等数学中的一个重要分支，对于理解微积分和数学分析等课程有着重要的作用。
在平面几何中，我们将主要涉及到点、线、圆等基本图形以及它们的性质和相关定理。
1.1 点、线、面在平面几何中，点是最基本的图形，它是没有长度、宽度、厚度的，只有位置，通常用大写字母表示。
线是由一些点连成的集合，没有宽度，但有长度，通常用小写字母表示，如\(\overline{AB}\)表示由点A和点B构成的线段。
面是由点和线围成的区域，通常用大写字母表示，如\(ΔABC\)表示由点A、B、C构成的三角形。
1.2 图形的性质在平面几何中，常常需要研究图形的性质，这些性质可以通过观察和证明得出，其中一些性质是基础性的，对于之后的内容有着非常重要的作用。
比如，两条垂直平分线的交点恰好是所分割线段的中点，两条平行线上的对应角相等等。
1.3 直线与圆在平面几何中，直线和圆是两个最基本的图形。
直线是无数个点的集合，具有无限延伸的性质，而圆是由圆心和半径确定的一圈点的集合。
对于直线和圆，我们需要研究它们的性质，如直线的倾斜程度、圆的半径、直线与圆的相交性质等。
1.4 角与三角形在平面几何中，角和三角形是两个重要的图形。
角是由两条射线共同的端点组成的几何图形，我们可以通过角的度量来研究角的大小和性质；三角形是由三条线段组成的图形，有着许多重要的性质和定理，如三角形内角的和为180度、三角形的外心、内心、重心和垂心等。
1.5 多边形与圆在平面几何中，多边形和圆也是两个重要的图形。
多边形是由有限条线段组成的图形，通常我们研究三角形、四边形和多边形的性质，并推导出相关的定理和公式；圆是一个特殊的多边形，它有着许多独特的性质，如圆的周长和面积的计算等。
1.6 坐标表示在平面几何中，我们常常需要利用坐标系来表示图形和计算其性质，如直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是由x轴和y轴构成的平面直角坐标系，我们可以通过坐标来表示点、直线和图形，并计算它们的性质；极坐标系是第二种坐标系，用于表示平面上的点，通常是通过极坐标的极径和极角来表示。
高等数学 C1 PPT课件
常称之存在的某种单值分支形式为由隐函数方程确 定的函数.
2013
表示 x 和y 有依赖关系的方程: F(x, y) 0 例如:
ex y xy y2 x2 sin xy
在自变量的不同变化范围中, 对应关系用不同 算式来表示的函数，对一元函数，称为分段函数； 对二元函数，称为分片函数。
例如， y
2
x
0 x1
1 x x 1
y x2 2 x 1 可化为
是一个分段函数,定义域为
D [0,).
y
x2 2x 1
y
x2
2x
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同
的惯用名称. 例如,
z sin x cos y, x [0,2 ], y [0,2 ]
说明:
1 0.5
0 -0.5
-1 0
2
4
6 4 2 60
二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 )
定义域为 单位闭球
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为一一对应关系, 则存在对应
称此 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
高等数学基本图形
为了方便教与学，对于《高等数学》中经常 出现的基本图形，在此给出了它们的图像.
1
3 立方抛物线 y ax
o
2
2 3 y ax 半立方抛物线
o
3
概率曲线
ye
x2
o
4
1 常见曲线 y sin x
o
y= sin(1/x)
5
1 常见曲线 y x sin x
9
1 常见曲线 y 1 x
x
ye
o
y= (1+1/x)2
10
箕舌线
8a 3 y 2 x 4a 2
2a
a
o
11
蔓叶线 y 2 2a x x 3
o
a
2a
12
阿基米德螺线
r a
o
13
对数螺线
r e a
o
14
星形线 x y a
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 , 3 y a sin .
o
15
三叶玫瑰线 r a sin 3
o
16
三叶玫瑰线 r a cos 3
o
17
四叶玫瑰线
r a sin 2
o
18
四叶玫瑰线 r a cos 2
o
19
心形线 r a(1 cos )
o
y=xsin(1/x)
6
1 常见曲线 y x sin x
2
y x2
1 y x sin x
2
o
y x2
y=x2 sin(1/x)
7
sin x 常见曲线 y x
高等数学简介
十八世纪也是糊里糊涂。
十九世纪以后，由于数学自身的发展， 才有一些数学家作了这方面的工作，以至成 了现在的有严谨理论体系的微积分。
《高等数学》 前8章的知识结构和联系
函数
导 数 与 微 分 导 数 的 应 用
极限与连续
不定 积分
定积分 及 其应用
常 微 方 程
学习方法
课前→课堂→课后
华罗庚讲：学
牛顿
伟大英国数学家、 物理学家、天文学家和 自然哲学家。
牛顿对微积分的研究偏 重物理方向。
莱布尼兹
莱布尼兹是哲学博士、 外交官、法学家、历史学 家 、语言学家、地质学家 、逻辑学家。并在力学、 光学、流体力学、气体力学、 航海学、计算机方面也做了重 要工作。莱布尼兹对微积分的 研究偏重于哲学方向。
七世纪主要是为解决当时求曲线在一点的切线光线穿过凸透镜的一系列问题求最大值最小值炮弹的最大射程行星离开太阳的最远最近距离等求面积体积物体的重心等这四个问题引起了当时大多数科学家的注意他们在研究这些问题的过程中所产生的数学思想方法就是微积分的萌芽
绪论
高等数学发展简史
微积分的基本思想和方法 学习方法
瞬时速度
O
1
x
一、高等数学与初等数学的区别
即常量数学思维.它的方法是孤立的静 止的，属形式逻辑。
初等数学——研究的常量与固定图形，
高等数学Байду номын сангаас— 研究变量和变化的图
形，即变量数学。它的方法是运动 的联 系的，辩证的，属辩证逻辑。
二、微积分历史简介：
我们即将学习的高等数学，它 的主要内容是微积分。——研究函 数的一门学科，它产生于十六.七世 纪，主要是为解决当时4个问题 而创 立的。
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29
双纽线r2=acos2θ
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30
阿基米德螺线r=aθ
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31
三叶玫瑰线r=acos3θ
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32
三叶玫瑰线r=asin3θ
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13
反余切 y=arccot x
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14
y=ln(x+sqrt(x2+1))
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15
y=sin(1/x)
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16
y=xsin(1/x)
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41
双曲抛物面z=x2-y2
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42
柱面x2+y2=2x与球面x2+y2+z2=4
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9
余割 y=csc x
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10
反正弦曲线y=arcsinx
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11
反余弦曲线y=arccos x
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12
反正切 y=arctan x
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17
y=x2sin(1/x)
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18
y=x y=sin x y=tan x
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19
y=sinx/x
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20
y=sinx/x
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21
y=(1+1/x)x
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22
y=(1－cosx)/x2
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23
y=x y=ln (1+x)
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y=ln (1+x)/x
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25
y=ex
y=x+1
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y=(ex－1)/x
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27
摆线
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心形线r=a(1+cosθ)
x2 y
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四叶玫瑰线r=acos2θ
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四叶玫瑰线r=asin2θ
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圆柱面x2+y2=4
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双曲柱面x2-y2=1
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4
正弦曲线y=sinx
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5
余弦曲线y=cosx
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6
正切 y=tanx
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7
余切 y=cot x
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8
正割 y=sec x
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38
抛物面z=x2+5y2-6x+10y+6
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抛物面
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40
锥面z2=x2+y2
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曲线 y=xa(a>0)
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1
曲线 y=xa(a<0)
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2
曲线 y=ax(a>0,a≠1)
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3
曲线 y=logax (a>0,a≠1)
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