高三数学,一轮复习,人教A版(文), 三角函数,、解三角形 (9) , 课件

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2023届高三数学一轮复习专题解三角形讲义 (解析版)

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课件(打包7套)文新人教A版

关闭思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知
6π
��
π 2π 20π 34π * 角 α 的象限 , 如何求 k α , ( k ∈ N )所在的象限 ? 第一或第二象限或 (1) �� = 3 + ��π,��∈Z (2) 7 , 21 , 21 (3) �� y 轴的非负半轴
定义
各象限符号
一二三四
-7知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
三角函数
正弦
余弦
正切
三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 有向线段 AT 为余弦线为正切线
-8知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)小于90°的角是锐角. ( ) (2)若sin α>0,则α是第一、二象限的角. ( ) (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( (4)若角α为第一象限角,则sin α+cos α>1. ( )
关闭
由题意知 ,角 α 的终边在第二象限 ,在其上任取一点 P(x,y),则 y=-x,由三角函数的定义得 tan α= = �� -1
�� -��
=-1.
解析
关闭
答案
-12知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ 的终边一定落在第象限.
1 1 �� 180 ��

高三数学第一轮复习知识点

高三数学第一轮复习知识点高三数学第一轮复习知识点总结第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七：押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

高三数学第一轮复习解三角形教案

高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。

在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。

本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。

一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。

2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。

(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。

3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。

二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。

2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。

(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。

三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。

(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。

2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。

(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。

(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。

四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。

2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。

3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。

通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。

高三数学一轮课件第四章三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

=
25.
5
关闭关闭
解析答案
知识梳理双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins��恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos��
=
3 5
,
于是 1
cos ��-sin ��
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3

2025年广东省高三数学第一轮复习第四章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制和三角函数的概念

角度 1 三角函数的定义
例 3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角 α 的顶点与坐标原点 O 重合，始边
与 x 轴的非负半轴重合.若 Pcos π3，1是角 α 终边上一点，则 sin α＝( D )
A.
5 5
B.
3 2
C.12
D.2 5 5
解析依题意，点 P12，1，则|OP|＝ 122＋12＝ 25，
∴sin α＝ 15＝255. 2
索引
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为__25_或__－__52__.
解析由题意得，点 P 与原点间的距离 r＝（－4m）2＋（3m）2＝5|m|，所以 sin α＝53|mm|，cos α＝－5|m4m| ，当 m>0 时，sin α＝53，cos α＝－45，故 2sin α＋cos α＝25；当 m<0 时，sin α＝－35，cos α＝45，故 2sin α＋cos α＝－25.
对于A，tan α－sin α>0，故A正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C错误；
对于D，tan αsin α<0，故D错误.
索引
(2)(多选)(2024·衢州质检)若 sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，则x2可以是( AC )
INNOVATIV E DESIGN
第四章三角函数、解三角形
考试要求
1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数

二、知识结构 1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线 OA 由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置 OB，就形成了角α 。其中射线 OA 叫角α 的始边，射线 OB 叫角α 的终边，O 叫角α 的顶点。 (2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。第一象限角：2kπ ＜α ＜2kπ + ,k∈Z 第二象限角：2kπ + ＜α ＜2kπ +π ,k∈Z 第三象限角：2kπ +π ＜α ＜2kπ + 第四象限角：2kπ +
高考复习指导讲义第二章三角
一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数 y=Asin(wx+ )的简图，理解 A、w、的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx、arccosx、arctgx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。
tg tg 1 tgtg
倍角公式： sin2α =2sinα cosα ， 2 2 2 2 cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ，

高三数学一轮(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课件新人教A版

11 A．－ 4 C．－4
11 B. 4 D．4
3 解析：(1)由|OP| ＝x ＋＝1， 4
2 2
1 得 x＝± ，tan α＝± 3. 2
m 4 (2)由题意可知，cos α＝＝－， 2 5 m ＋9 又 m<0，解得 m＝－4.
答案：（1）B（2）C
[例3] 圆心角．
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的
(
)
－1 1 解析：∵sin α＝＝－，且 α 的终边在第四象限， 2 2 11 ∴α＝ π. 6
答案： B
3．若sin α<0且tan α>0，则α是 A．第一象限角 C．第三象限角
(
)
B．第二象限角 D．第四象限角
解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y
轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方
形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析：设圆半径为 R，则圆内接正方形的对角线长为 2R， 2R ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R ＝ 2.
答案： 2
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度
制下更方便、简捷．
1 1 2 2．记住下列公式： ①l＝αR； ②S＝ lR； ③S＝ αR . 2 2 其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角， S 是扇形面积．
3．已知在半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10， (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小； (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.
解：(1)如图所示，过 O 作 OC⊥AB 于点 C，则 AC＝5，在 Rt△ACO 中， AC 5 1 sin∠AOC＝AO＝＝， 10 2 ∴∠AOC＝30° ，∴α＝2∠AOC＝60° .

高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第一节三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式课

＝tanα.
4.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式.
h
3
•关注热点
•1.三角函数的定义及应用是本节考查重点，注意三角函数值符号的确定．
•2.同角三角函数关系式常用来化简、求值，是高考热点．
•3.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．
•4.主要以选择题、填空题的形式考查.
－α)＝
－.tanα
•(5)公式五
cosα，tan( －c，osαtan(π
sin(π2－α)＝ cosα ，cos(2π－α)＝ sinα .
h
11
(6)公式六 sin(π2＋α)＝ cosα ，cos(2π＋α)＝－sinα .
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号；π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦) 函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即 tanα＝2.
(1)原式＝5ttaannαα－＋42＝5×2－2＋4 2＝－16.
h
32
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sins2iαn＋2α＋2sicnoαsc2αosα ＝tanta2αn＋2α＋2ta1nα＝85.
h
33
化简ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－＋αα](k∈Z)．
终边在 y 轴上的角的集合为{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}；
终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k2π，k∈Z}．
h
14

2024年高三数学一轮复习计划书（五篇）

高三数学一轮复习计划书（一）.明确“主体”，突出重点。

第二轮复习的形式和内容1.形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。

（1）集合、函数与导数。

此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

（2）三角函数、平面向量和解三角形。

此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。

（3）数列。

此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。

（4）立体几何。

此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。

（5）解析几何。

此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。

突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。

（6）不等式、推理与证明。

此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。

（7）排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。

此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。

（（9）高考数学思想方法专题。

此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。

（二）、做到四个转变。

1.选择方法，突出解法的发现和运用.3.变以量为主为以质取胜，突出讲练落实.4.扬长补弱5.重在解题思想的分析，即在复习中要及时将四种常见的数学思想渗透到解题中去;重在知识要点的梳理，即第二轮复习不像第一轮复习，没有必要将每一个知识点都讲到，但是要将重要的知识点用较多的时间重点讲评，及时梳理;重在解题方法的总结，即在讲评试题中关联的解题方法要给学生归类、总结，以达触类旁通的效果;重在学科特点的提炼，数学以概念性强，充满思辨性，量化突出，解法多样，应用广泛为特点，在复习中要展现提炼这些特点;重在规范解法的示范，有些学生在平时的解题那怕是考试中很少注意书写规范，而高考是分步给分，书写不规范，逻辑不连贯会让学生把本应该得的分丢了。

（三）、克服四种偏向。

1.夯实基础。

.____克服速度过快.内容多，时间短，一知半解，题目虽熟悉，却仍不会做.____克服高原现象.第二轮复习“大考”、“小考”不断，次数过多，难度偏大，成绩不理想;形成了心理障碍;或量大题不难，学生忙于应付，被动做题，兴趣下降，思维呆滞.高三数学一轮复习计划书（二）一、夯实基础。

第一方案高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件

•关注热点
•1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进展三角函数式的化简求值是高考常考的内容．
•2.公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变形用)是高考热点．
•3.在选择题、填空题、解答题中都可以考察.
•1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
•2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
•(1)sin2α＝ 2sinαcosα
(2009·陕西高考)若3sinα＋cosα＝0，则
cos2α＋1 sin2α的值为(
)
10
5
A. 3
B.3
2 C.3
D．－2
•【思路导引】 1的变用：1＝sin2α＋cos2α，代入化简即可．
【解析】由已知cosα＝－3sinα， ∴cos2α＋1 sin2α＝coss2iαn2＋α＋2scinoαs2cαosα＝9ssiinn22αα＋－96ssiinn22αα ＝130ssiinn22αα＝130.
2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果是( )
A．4cos4－2sin4
B．2sin4
C．2sin4－4cos4
D．－2sin4
•【思路导引】因为8＝2×4，所以可利用二倍角公式，升幂开方化简即可．
【解析】 2＋2cos8＋2 1－sin8 ＝ 21＋cos8＋2 1－2sin4cos4 ＝ 2×2cos24＋2 sin4－cos42 ＝－2cos4＋2(cos4－sin4) ＝－2sin4.
时，选正、余弦函数；若角范围是(0， π2 )，正、余弦函数均
可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若是(－
π 2
，
π2)，则一般选正弦函数等．
3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始

人教A版高中数学高三一轮 3-7 解三角形学案精品

高三一轮复习3. 7 解三角形学案【考纲传真】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．【知识扫描】知识点1 正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．1．必会结论(1)三角形内角和定理：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，其变式有A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)三角形中的三角函数关系①sin(A ＋B )＝sin C ；②cos(A ＋B )＝－cos C ； ③sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝cos C 2；④cos ⎝⎛⎭⎫A ＋B 2＝sin C2.(3)正弦定理的公式变形a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C . 2．必知联系在三角形中大角对大边，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，余弦值则相反，即在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，若A >B ，则必有sin A >sin B ．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2>a 2，则△ABC 为锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( ) (4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C .( )2．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 63．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 34．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5．(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．规范解答4．正、余弦定理的综合应用(12分)(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【规范解答】 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.5分(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.6分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .8分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.10分由(1)知，AB ＝2AC ，所以AC ＝1.12分【解题程序】第一步：利用面积公式将△ABD 与△ADC 的面积表示出来；第二步：利用面积关系得到AB 与AC 关系，进而求出sin B sin C 的值；第三步：由面积之比得出边之比，求出BD ；第四步：在△ABD 和△ADC 中利用余弦定理将AB 2与AC 2表示出来；第五步：利用cos ∠ADB 与cos ∠ADC 的关系得出边之间的关系，求出AC . 【智慧心语】易错提示：(1)不能正确利用面积公式及∠BAD 与∠DAC 的关系，得不到sin Bsin C 的值．(2)不能够活用余弦定理，忽视cos ∠ADB 与cos ∠ADC 的关系，不能求出AC 的值．防范措施：(1)合理选择面积公式，应用已知条件将三角形的面积之比转化为边长之比． (2)巧用∠ADB 与∠ADC 的关系，结合余弦定理得到三角形的边长之间的关系，利用方程思想求出AC .参考答案1.【解析】 (1)正确．A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b <a 知，B <A .(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确．【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.【解析】由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22，∴c ＝1063.【答案】 C3.【解析】由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4.【解析】 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.【答案】 4 35.【解】 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z)． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。

高三数学一轮复习教案全套人教A版(文)三角函数、解三角形

第三章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ． (2)公式3[小题体验]1．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案D2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35答案B3．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案1．21．注意易混概念的区别象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx．[小题纠偏]1．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝( )A ．513B ．1213C ．512D ．－513答案A2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案四一考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．给出下列四个命题①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<0解析选C ∵π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π．当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，即tan α2>0一定成立，故选C ．3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析所有与45°有相同终边的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．答案－675°或－315°4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上，则角β的集合S ＝____________________．解析如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为 S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}．答案{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 解析选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1．3．扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2．解析由弧长公式l ＝|α|r ，得 r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π．答案360π[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有 (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________．解析∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6， ∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23．答案－23角度二三角函数值的符号判定 2．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．角度三三角函数线的应用3．函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．解析∵3－4sin 2x >0， ∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32．利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)．答案⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z) [通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55．因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析选B 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B ．2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析选B 设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a <0， ∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝|5a |＝－5a ．∴sin α＝3a r ＝－35．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝3．4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案(－1，3)5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析因为sin θ＝y42＋y 2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8．答案－8二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3．2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tanα＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43解析选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0．又cos α＝15x ＝x x 2＋16．解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43．3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2．4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角．5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样． 6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°．答案217°7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案一8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527， ∴α＝5π6．∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518．答案5189．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cosπ4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4．答案⎝⎛⎭⎫π4，5π410．已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ．解设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6．(2)法一∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1．法二∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0解析选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ． 2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．所以y ＝－1＋1－1＝－1． 3．已知sin α＜0，tan α＞0． (1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ． (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α．2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______．答案－452．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值为________．答案21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________．132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________．答案(1)22(2) 3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2解析选C 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0．2．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2．3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________．解析tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33．34．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________．解析∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α) ＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3．答案 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析选D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2． ∴sin 2α－sin αcos α ＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25． 2．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105．答案－105[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125 C ．512D ．－512解析选D 法一因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512．法二因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512．故选D ．2．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析选B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29．又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45 B ．45C ．35D ．－35解析选B 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45．2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3．3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α的值为( ) A ．45B ．－45C ．2D ．－12解析选A 由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45．故选A ． 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________．解析∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43．答案－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________．解析∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12．∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12．答案12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34．又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45． 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析选D ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13． 3．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析选B ∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1．∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3． 4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0 解析选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13， ∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1．5．计算cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C ．32D ． 3解析选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3．6．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________．解析∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25．答案－257．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________．解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55．答案558．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334．答案－3349．求值sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°．解原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2． 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值 (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α．解由已知得sin α＝2cos α． (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16．(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85．三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．解析sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912．答案9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x ． (2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1．第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)．[小题体验]1．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最小正周期为________．答案6π2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数答案D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22．答案－22考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为__________________．解析要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z ．答案⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2．∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2．答案⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法](1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3．2．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤2．∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1． ∴函数的值域为[－1,1]．答案[－1,1][由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22．∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22．∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22．考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有 (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性． [锁定考向][题点全练]角度一三角函数的周期性1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π解析选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π．故选B ．角度二三角函数的对称性2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4．当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4， ∴A 、C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 正确，D 错误．3．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－ 3 cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．－π3D ．π3解析选D ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|<π2，∴θ＝π3．角度三三角函数的单调性4．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________．解析由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z ．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4．答案⎣⎡⎦⎤0，π4 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32．答案32[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析选B 由函数的最小正周期为π，排除C ；由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选B ． 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π．答案⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A ．2．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D ．3．下列各点中，能作为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心的点是( ) A ．(0,0) B ．⎝⎛⎭⎫π5，0 C ．(π，0)D ．⎝⎛⎭⎫3π10，0解析选D 由x ＋π5＝k π2(k ∈Z)，得x ＝k π2－π5(k ∈Z)，当k ＝1时，x ＝3π10，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心的点是⎝⎛⎭⎫3π10，0，故选D ． 4．(2017·湖南六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos xx ∈⎣⎡⎭⎫0，π2的单调递增区间是________．解析化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3．答案⎣⎡⎦⎤0，π35．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______．解析函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案53π4＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C ．⎣⎡⎦⎤π，3π2 D ．⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D ．2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D ．34解析选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34． 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B ．4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6．5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析选A 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A ． 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k ．又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3．答案2或37．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________．解析由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z ．答案⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________．解析由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2．又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12．答案5π129．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．解(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ．故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2．(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32．又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·衡水中学检测)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫π6，2π3B ．⎝⎛⎭⎫π3，5π6 C ．⎝⎛⎭⎫π2，π D ．⎝⎛⎭⎫2π3，π 解析选B ∵x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，∴2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π3<x <k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，5π6，故选B ． 2．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．解(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ． (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6．第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法[小题体验]1．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案D2．函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案23 4π －π43．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______．答案⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，01．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|．[小题纠偏]1．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为________．答案142．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移______个单位长度．答案π6考点一函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．(3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6． (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6．因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6．(3)由数据作出的图象如图所示。

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