第八章 直线及其方程1

第八章 解析几何初步

第一节 直线及其方程

第 课时 总第 课时 2010年 月 日

教学目标：

【知识与技能】

（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； （3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 （4）明确直线方程一般式的形式特征； 【过程与方法】

体会用分类讨论的思想方法解决问题的策略。培养学生观察能力、运算能力、探索及运用数学语言表达能力， 【情感态度与价值观】

培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．进一步培养学生数形结合的思想，使学生能用联系的观点看问题。 【教学重点】

直线的点斜式方程；两点式方程 【教学难点】

直线方程的求法及应用。 直线方程形式的选择应用。 【教学方法】启发、引导、讨论 【教学用具】三角板 多媒体 教学过程：

一、 基础知识梳理 1、直线倾斜角与斜率

(1) 倾斜角：x 轴的正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的

倾斜角.规定直线与轴平行或重合时的倾斜角为零度角，倾斜角的

范围是 πα<≤0

(2) 斜率：当一条直线的倾斜角为α时，斜率可以表示为αtan =k ，其

中2

π

α≠

.

斜率公式：1

212x x y y k --= （即：1

212tan x x y y k --=

=α）

2、直线方程的几种形式

（1）点斜式 )(00x x k y y -=- （有斜率，稍加变形就是b kx y +=） （2）两点式))(())((121121y y x x x x y y --=-- （ 竖记横用） （3）一般式 Ax+By+C=0 (02

2

≠+B

A )

二 典例分析

直线的倾斜角和斜率

设倾斜角为α 当 )2

,0(πα∈时0>k ，当),2

(ππ

α∈时0

如图变化：

例题：已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜

角的一半，求l 的斜率．

分析：先用斜率公式求出直线AB 的斜率，然后利用三角函数公式求直线l 的斜率．

解： 设直线l 的倾斜角为α，

则直线AB 的倾斜角为2α，由题意知

4

3tan

1tan 24

3)1(3)5(22tan 2

=

-∴

=

-----==α

ααAB k

整理得03tan 8tan 32

=-+αα

解得

.

450,9020,04

32tan ,3tan ,3

1tan

<<∴<<∴>=

-==

ααααα或

.

31.

3

1tan ,0tan 的斜率为

故直线l =∴>∴αα

2、求直线的方程

求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.

若不确定，

则需分类讨论。

例题：求适合下列条件的直线的方程：

（1）在y 轴的截距为-5，倾斜角的正弦值时53

(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

分析：寻找确定直线的两个独立条件，根据不同的形式建立直

线方程．

解：（1）设直线倾斜角为α，则53sin =

α，.4

3tan ,5

4cos ±

==±

=∴ααk

又直线在y 轴上的截距式-5.， 由斜截式得直线方程为 54

3-±

=x y

（2）方法一：

若截距为0，即l )0,0(过点),2,3(和l ∴,3

2x y =

的方程为即032=-y x

若截距不为0，由已知的直线斜率为-1，则设l 05=-+y x 的方程为，综上可知，直线l 的方程为032=-y x 或05=-+y x 方法二：由题意，所求直线的斜率存在且不为0，

设直线方程为),3(2-=-x k y 令,0=y

,23k

x -

=得令0=x 得,32k y -= k

k

3223-=-

由已知，3

21=

-=ork k 解得

∴直线l 的方程为：

y －2＝－(x －3)或y －2＝(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.

规律总结：用待定系数法求直线方程的步骤：

(1)设所求直线方程的某种形式．

(2)由条件建立所求参数的方程(组)． (3)解这个方程(组)求参数．

(4)把所求的参数值代入所设直线方程．

3、直线方程几种形式的灵活运用

利用直线方程解决问题，可灵活选用直线的形式，以便简化运算．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．

另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式．

提醒：(1)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中要求直线的斜率存在．

(2)“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可

以是0.

例题： 如图，过点P(2,1)作直线l ，分别交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点．

(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；