高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.3.2 第二课时 双曲线方程及几何性质的应用
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高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程第一课时教学课件 (共18张PPT)

取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上 各选择一点,分别固定在点F1、F2上,把笔尖放在拉 链头M处,拉动拉链,笔尖运动的轨迹是什么?
问题:你能类比求椭圆标准方程的方法,建 立适当的坐标系求双曲线的标准方程吗?
练一练1
1、双曲线 x 2 yபைடு நூலகம்2 1的焦点坐标是 (3,0)
45
2、双曲线 y2 x2 1的焦点坐标是 (0,5)
是该有的生活!无论未来的每一天,是什么样子,都是我自己的选择,按照自己的选择来生活,是送给自己最好的礼物。
1.类比椭圆,用规范术语说出双曲线定义, 并推导出标准方程; 2.记忆标准方程形式,识别焦点所在的轴,
区分椭圆与双曲线; 3.利用所给条件写出双曲线的标准方程。
问题:椭圆的定义是什么?
平面内与两个定点F1、F2的距离的差和等于常数(大于|F1F2| )
点的轨迹叫做椭?圆 。 数学 实验
解: ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) .
拓展变式3
已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲 线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6,求双 曲线的标准方程。 3、只将划线部分改为:双曲线过点 p (6, 4 3 )
F(±c,0) F(0,±c)
c2=a2-b2
F(±c,0) F(0,±c)
c2=a2+b2
练一练2
1焦点在x轴上,且a 4, b 3 的椭圆的标准方程为
x2 y2 1 __1__6 ____9 ______,
焦点坐标为__(___7_,_0_) _
.
(2)焦 点 在 x轴 上 ,且 a4, b3 的 双 曲 线 标 准 方 程 为
问题:你能类比求椭圆标准方程的方法,建 立适当的坐标系求双曲线的标准方程吗?
练一练1
1、双曲线 x 2 yபைடு நூலகம்2 1的焦点坐标是 (3,0)
45
2、双曲线 y2 x2 1的焦点坐标是 (0,5)
是该有的生活!无论未来的每一天,是什么样子,都是我自己的选择,按照自己的选择来生活,是送给自己最好的礼物。
1.类比椭圆,用规范术语说出双曲线定义, 并推导出标准方程; 2.记忆标准方程形式,识别焦点所在的轴,
区分椭圆与双曲线; 3.利用所给条件写出双曲线的标准方程。
问题:椭圆的定义是什么?
平面内与两个定点F1、F2的距离的差和等于常数(大于|F1F2| )
点的轨迹叫做椭?圆 。 数学 实验
解: ∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) .
拓展变式3
已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲 线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6,求双 曲线的标准方程。 3、只将划线部分改为:双曲线过点 p (6, 4 3 )
F(±c,0) F(0,±c)
c2=a2-b2
F(±c,0) F(0,±c)
c2=a2+b2
练一练2
1焦点在x轴上,且a 4, b 3 的椭圆的标准方程为
x2 y2 1 __1__6 ____9 ______,
焦点坐标为__(___7_,_0_) _
.
(2)焦 点 在 x轴 上 ,且 a4, b3 的 双 曲 线 标 准 方 程 为
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件

2 y2 x 1 , 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6,
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2
2 x (2)①双曲线C1: y 2 1,左顶点 A( 2 ,, 0) 渐近线方程: 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x , y 2x , 4 解方程组 得 y 1, y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点,经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案:②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ,所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程,可解得 b 1 , P( 6 , 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5[(x1+x2)2-4x1x2]=16 将①式代入②,解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 , ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2
二数学人教A版选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》课件

练习2: 1.求下列条件的双曲线的 标准方程:
(1)焦点在x轴上, a 4, b 3; (2)与椭圆 x2 y2 1有相同的焦点,且双曲线上任
25 9 意一点到两点距离差的 绝对值为6; (3)焦点为(0,6),(0,6),且经过点(2, 5);
(4)经过两点(-7,6 2),(2 7,3)
练习2:
2 .已知方程 x2 y2 1 , 讨论方程 3m m1
表示何种曲线 ?
例2: 已知A , B两地相距800m , 在 A地听到炮弹爆
炸声比在B地晚2s , 且声速为340m/s , 求炮弹爆炸 点的轨迹方程
P
A
B
例3:
点A、B的坐标分别是(5,0),(5,0), 直线AM、BM 相交于M , 且它们的斜率之积是 4 , 试求点M的轨迹方程 .
2、
练习1:
3、与圆C1:(x+3)2+y2=1及圆C1:(x-3)2+y2=9都 外切的动圆的圆心M在( )
A. 一个椭圆上
B. 双曲线的一支上
C. 一条抛物线上 D. 一个圆上
例 1: 已知平面内 两定点F1(5,0), F2(5,0), 该
平面内有一动点 P到F1、F2距离差的绝对值等于 6, 求点P的轨迹方程,其轨迹是 什么图形?
时, P在双曲线左支上;
b
a
F1 ( c ,0)
a b
x
F2 (c,0)
坐标法:
(1)焦点在x轴上:ax22
y2 b2
1
(a 0, b 0, a2 b2 c2 )
(2)焦点在y轴上:ay22
x2 b2
1
(a 0, b 0, a2 b2 c2 )
坐标法:
高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.1-1 双曲线及其标准方程课件(共16张PPT)

(第一课时)
一、知识回顾
椭圆的定义: 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于
常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0 ).
M
F1
F2
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数的点的轨迹是什么呢?
二、新知探究
①如图(A),
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
M
F1
F2
三、双曲线的定义
如果定义中去掉“绝对值” 三个字会有什么影响?
表示双曲线的一支
如果把定义中的“差的绝对值”和 “常数”变为下列情况,轨迹是什么?
①2a = 2c:两条射线 ②2a > 2c: 不表示任何轨迹
F1 F2
③2a = 0: 线段F1F2的垂直平分线
F1 F2
四、双曲线的标准方程
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52-32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
五、精典例题
变式1 已知点 F1(-5,0)、F2(5,0), 点P满足|MF1| - |MF2|= 6, 求动点P的轨迹方程.
四、双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
F1 O
F2 x
焦点在y轴上
y M
F2 x
O
F1
四、双曲线的标准方程
双曲线的标准方程的特点:
y
M
F1 O F2 x
一、知识回顾
椭圆的定义: 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于
常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0 ).
M
F1
F2
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数的点的轨迹是什么呢?
二、新知探究
①如图(A),
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
M
F1
F2
三、双曲线的定义
如果定义中去掉“绝对值” 三个字会有什么影响?
表示双曲线的一支
如果把定义中的“差的绝对值”和 “常数”变为下列情况,轨迹是什么?
①2a = 2c:两条射线 ②2a > 2c: 不表示任何轨迹
F1 F2
③2a = 0: 线段F1F2的垂直平分线
F1 F2
四、双曲线的标准方程
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52-32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
五、精典例题
变式1 已知点 F1(-5,0)、F2(5,0), 点P满足|MF1| - |MF2|= 6, 求动点P的轨迹方程.
四、双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
F1 O
F2 x
焦点在y轴上
y M
F2 x
O
F1
四、双曲线的标准方程
双曲线的标准方程的特点:
y
M
F1 O F2 x
选修2-1双曲线的标准方程精品PPT教学课件

2020/12/6
CP
P A
13
作业:P55练习T3 P61A组T1、T2 学海第8课时
2020/12/6
14
感谢你的阅览
Thank you for reading
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日期:
演讲者:蒝味的薇笑巨蟹
k(2,5)
2020/12/6
4
课堂练习
1. 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲 线是焦点在y轴上的双曲线,则 k (-1, 1) .
2.已知双曲线8kx2 ky2 2 的一
个焦点为( 0 , 3 ) ,求k的值.
2
2020/12/6
k=-1
5
题型一:求双曲线的方程
例2.求适合下列条件的双曲线的标准 方程: 待定系数法
y C
改“都外切为都内切”
改为“都相切”又如何?
C1 2020/12/6
C2 x
8
例4: 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声 的时间比在B处晚2s.
(1)爆炸点应在什么样的曲线上?
(2)已知A、B两地相距800m,并且此时声速
为340m/s,求曲线方程。
y
解:(1)由声速及A、B两
P
处听到爆炸声的时间差,可
2a=680,a=340
y
又|AB|=800 ∴2c=800,c=400
P
∴b2=c2-a2=44400
∵|PA|-|PB|=680>0
∴x>0线方程为
x2
y2
1(x0)
2020/12/611564040400
高中数学第2章2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A选修21.ppt

【解】 (1)由已知设双曲线的标准方程为xa22-by22 =1(a>0,b>0).则 2a=8,∴a=4.
由 e=ac=54得 c=5. ∴b2=c2-a2=52-42=9. ∴所求双曲线方程为1x62 -y92=1. (2)当焦点在 x 轴上时,
设所求双曲线方程为xa22-by22=1(a>0,b>0).
知新益能
双曲线的几何性质
标准方程
xa22-by22=1 (a>0,b>0)
ay22-xb22=1 (a>0,b>0)
图形
范围
__|x_|≥__a__
__|y_|_≥__a_
_)、__F__2(_c_,0_)_ _F_1_(_0_,-__c_)_、__F_2_(0_,_c_) _A_1_(-__a_,_0_)_、__A_2_(a_,_0_) _A_1_(_0_,-__a_)_、__A_2_(0_,_a_)
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8,离心率 是54; (2)焦距为 20,渐近线方程为 y=±12x; (3)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点
M(2,-2).
【思路点拨】 分析双曲线的几何性质 → 求a,b,c
→ 确定讨论焦点位置 → 求双曲线的标准方程
例4 已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点 F2,与双曲线交于A、B两点,且倾斜角为45°, 试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上?并 求出线段AB的长. 【思路点拨】 先写出直线方程,代入双曲线方 程,利用根与系数的关系判断.
【解】 ∵a=1,b= 3,c=2, 又直线 l 过点 F2(2,0),且斜率 k=tan 45°=1, ∴l 的方程为 y=x-2. 由y3=x2-x-y22=3 消去 y 并整理得 2x2+4x-7=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
人教版选修2-1【数学】1双曲线定义与标准方程 (共33张PPT)教育课件

人
的
一
生
说
白
了
,
也
就
是
三
万
余
天
,
贫
穷
与
富
贵
,
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
,
对
生
活
从
来
就
没
有
过高Biblioteka 的奢望,
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
,
芸
芸
众
生
皆
是
客
,
时
光
深
处
,
流
年
似
水
,
转
瞬
间
,
光
阴
就
会
老
去
,
留
在
心
头
的
,
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
,
淡
看
流
年
,
掬
一
捧
岁
月
,
握
一
份
懂
得
,
红
尘
口
罗
不
■
电
(x c)2y2(x c)2y2 2 a
2
2
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
高中数学人教版A选修2-1教学课件:《双曲线及其标准方程》

首先出示例1由学生分析,在赞赏学生之余, 请同学们对照课本,完善步骤,掌握运用待定 系数法求双曲线标准方程的方法,此时我再抛 一题“双曲线标准方程的确立,由什么决定?” 带着这一问题,我出示以下抢答竞赛题,激发 学生兴趣.
(2)以法答题
抢答1、求平面内到定点F1(-5,0)F2(5,0) 的距离之差的绝对值等于8的曲线方程.
动点P的轨迹中,为双曲线的是( )
|| PF1 | | PF2 || 5 D、 || PF1 | | PF2 || 4 C、 A、 || PF1 | | PF2 || 3 B、 | PF1 |2 | PF2 |2 4
尝试分析:
1、轨迹是什么; 2、如何求轨迹方程。
针对例2,我给出以下变式:
变式一、“两地距离800m”改为“两地距离 1000m”;
变式二、“两地距离800m”改为“两地距离 600m”;
变式三、将“在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s” 改为“在AB两地听到炮弹爆炸声的时间
差为2s”.
通过变式让学生理解双曲线定义中绝对值及a<c 的限制的重要性,及其标准方程》
说课教案
《双曲线及其标准方程》说课教案
各位老师: 你们好!今天我说课的内容是人教A版选修2-1第二章 第二节双曲线的第一课时——“双曲线及其标准方程” , 本节课我将分以下七部分完成:
一、教材分析 二、教具:双曲线形成演示板 三、教法分析 四、学法指导 五、教学程序 六、小结(由学生自己完成) 七、作业与探究
3.重点、难点
重点:双曲线的定义及标准方程的求解. 难点:双曲线标准方程的推导; 利用待定系数法求双曲线的标准方程.
处理方法:采用让学生动手操作、尝试探究等方法 来 突出重点,突破 难点.
湖南省临澧县第一中学高二人教A版数学选修2-1课件:2.3.1双曲线及其标准方程

轨迹方程是 A.1x62 -y92=1(x≤-4) C.1x62 -y92=1(x≥4)
B.x92-1y62 =1(x≤-3) D.x92-1y62 =1(x≥3)
( D)
课堂达标检测
双曲线及其标准方程
4.若方程10x-2 k+5-y2 k=1 表示双曲线,则 k 的取值范围是( A )
A. (5,10)
焦点在 y 轴上
图形
标准方程 焦点 焦距
统一形式:
xa22-by22=1(a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0)
mx2+ny2=1(mn<0)
ay22-xb22=1(a>0,b>0)
F1 (0,-c) ,F2 (0,c)
|F1F2|=2c,c2= a2+b2
哪项为正,焦点就在哪个轴上.
探究
为 340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解 如图,建立直角坐标系 xOy,设爆炸点 P 的坐标为(x,y),
则|PA|-|PB|=340×4=1 360,即 2a=1 360,a=680. 又|AB|=2 000,所以 2c=2 000,c=1 000,b2=c2-a2=537 600. 因为|PA|-|PB|=340×4=1 360>0,所以 x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为462x2400-537y2600=1 (x>0). (2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2
所以 102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,
S ∴ F1PF2 =12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=12×64× 23=16 3.
高中数学人教A版选修2-1配套课件:2.3.1双曲线及其标准方程

(a>0,b>0) ________________ ,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y2 x2 ________________________ . a2-b2=1(a>0,b>0)
4.在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为__________. a2+b2=c2
5 .对比是学习数学中常用的有效的学习方法,应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识,深化对新知识的理解的作
C.||PF1|-|PF2||=7
[答案] A
D.||PF1|-|PF2||=0
[解析]
A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故
运点P的轨迹是双曲线; B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,∴动点P的轨迹是以F1或 F2为端点的射线(含端点);
C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,∴动点P的轨迹不存在;
[答案] C [解析] 由条件知a2-9=4+3,∴a2=16,
)
B. 10 D.10
∵a>0,∴a=4.
4.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 双曲线的一个焦点坐标是 (0 ,- 6) ,经过点 A( - 5 , 6).________ x 2 y2 (2)与椭圆16+25=1 共焦点, 且过点(-2, 10). ________ x2 y 2 (3) 与 双 曲 线 16 - 4 = 1 有 公 共 焦 点 , 且 过 点 (3 2 , 2).________
2.定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”. (1)在双曲线的定义中,条件0<2a<|F1F2|不应忽视,若2a= 两条射线 ;若2a>|F1F2|,则动点的轨 |F1F2|,则动点的轨迹是__________ 不存在 . 迹是__________ 绝对值 ”,若去掉定义 (2)双曲线定义中应注意关键词“________ 绝对值 ”三个字,动点轨迹只能是_____________ 双曲线的一支 . 中“________
【数学】2.3.2《双曲线几何性质》课件(新人教A版选修2-1)

一.复习引入
1.双曲线的定义是怎样的?
2.双曲线的标准方程是怎样的?
x y - 2 =1 2 a b
2 2
y2 x2 - 2 = 1 2 a b
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ? 对称性; 顶点; ①范围; ②对称性 ③顶点 范围 ④离心率等 回想:我们是怎样研究上述性质的? 回想:我们是怎样研究上述性质的? 双曲线是否具有类似的性质呢?
直线x= + a,和y=+b所围成的矩形里
对称性 关于X轴、Y轴、原点都对称。 (-a,0),B(0,b),B1(0,-b) 顶点 A(a,0) A1 c e (0<e<1) 离心率 = a 准线
一.双曲线的简单几何性质 1.范围:2.对称性: 3.顶点: 实轴,虚轴 y
N Q M B2 A1
4.渐进线: (1)渐进线的确定:对角线
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
2 2
五,
例2.求一渐进线为 求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点 一个焦点
的双曲线的标准方程. 为(5,0)的双曲线的标准方程 的双曲线的标准方程
x,y)到定点 到定点F 例3:点M(x,y)到定点F(5, 0)的距离和它到定直线 l:x=16/5的距离的比是常数5/4, 的距离的比是常数5/4 l:x=16/5的距离的比是常数5/4, 求点M的轨迹。 求点M的轨迹。
x y - 2 =1 2 a b
2 2
y
N Q B2 A1 O M
4.渐进线:
(1)渐进线的确定:矩形的对角线
b
b A2 a
B1
(2)直线的方程: y=±-x a
x
1.双曲线的定义是怎样的?
2.双曲线的标准方程是怎样的?
x y - 2 =1 2 a b
2 2
y2 x2 - 2 = 1 2 a b
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ? 对称性; 顶点; ①范围; ②对称性 ③顶点 范围 ④离心率等 回想:我们是怎样研究上述性质的? 回想:我们是怎样研究上述性质的? 双曲线是否具有类似的性质呢?
直线x= + a,和y=+b所围成的矩形里
对称性 关于X轴、Y轴、原点都对称。 (-a,0),B(0,b),B1(0,-b) 顶点 A(a,0) A1 c e (0<e<1) 离心率 = a 准线
一.双曲线的简单几何性质 1.范围:2.对称性: 3.顶点: 实轴,虚轴 y
N Q M B2 A1
4.渐进线: (1)渐进线的确定:对角线
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
2 2
五,
例2.求一渐进线为 求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点 一个焦点
的双曲线的标准方程. 为(5,0)的双曲线的标准方程 的双曲线的标准方程
x,y)到定点 到定点F 例3:点M(x,y)到定点F(5, 0)的距离和它到定直线 l:x=16/5的距离的比是常数5/4, 的距离的比是常数5/4 l:x=16/5的距离的比是常数5/4, 求点M的轨迹。 求点M的轨迹。
x y - 2 =1 2 a b
2 2
y
N Q B2 A1 O M
4.渐进线:
(1)渐进线的确定:矩形的对角线
b
b A2 a
B1
(2)直线的方程: y=±-x a
x
人教版高中数学选修2-1---第二章---2.3.1-双曲线及其标准方程ppt课件

a2+b2=6, 则有25 4 2 - 2=1, b a
2 a =5, 解得 2 b =1,
x2 故双曲线的标准方程为 -y2=1. 答案:A 5
x2 y2 2.求与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双 曲线方程.
x2 y2 解:法一:设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 由题意易求得 c=2 5. 3 22 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12- 8 =1.
y2 x2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 3 52 4 2 a2 -b2=1, ∵P1,P2 在双曲线上,∴ 4 72 2 3 4 =1, 2- b2 a 1 1 a2=9, 解得 1 1 = , b2 16
即 a2=9,b2=16.
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 16
法二:∵双曲线的焦点位置不确定, ∴设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0). ∵P1,P2 在双曲线上,所以 45 4m+ 4 n=1, 16×7m+16n=1, 9 1 m=-16, 解得 n=1. 9
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 16
M,M满足什么条件?
提示:|MB|-|MA|=1 020.
双曲线的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的 点的轨迹叫做双曲线.这 做双曲线的焦距. 两焦点间的距离 差的绝对值 等于常数 (小于|F1F2|)的 两个定点 叫
叫做双曲线的焦点,
在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(3,0),C(0,
2 a =5, 解得 2 b =1,
x2 故双曲线的标准方程为 -y2=1. 答案:A 5
x2 y2 2.求与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双 曲线方程.
x2 y2 解:法一:设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 由题意易求得 c=2 5. 3 22 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12- 8 =1.
y2 x2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 3 52 4 2 a2 -b2=1, ∵P1,P2 在双曲线上,∴ 4 72 2 3 4 =1, 2- b2 a 1 1 a2=9, 解得 1 1 = , b2 16
即 a2=9,b2=16.
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 16
法二:∵双曲线的焦点位置不确定, ∴设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0). ∵P1,P2 在双曲线上,所以 45 4m+ 4 n=1, 16×7m+16n=1, 9 1 m=-16, 解得 n=1. 9
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 9 16
M,M满足什么条件?
提示:|MB|-|MA|=1 020.
双曲线的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的 点的轨迹叫做双曲线.这 做双曲线的焦距. 两焦点间的距离 差的绝对值 等于常数 (小于|F1F2|)的 两个定点 叫
叫做双曲线的焦点,
在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(3,0),C(0,
人教版A版高中数学选修2-1双曲线及其标准方程_优秀课件2

y
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤:
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解: a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为:
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤:
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解: a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为:
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
人教A版高中数学选修2-1课件第二章《双曲线及其标准方程》2

Ex1、已知双曲线定义中的常数为,线段 2a AB为双曲线右支上过焦点F2的且AB=m, ABF1 ________ F1为另一焦点,则的周长为
•
例2:k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1 所表示的曲线是()
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的双曲线
x y Ex 2. 3 m 5是方程 2 1 m5 m m6 表示双曲线的(_________) A.充分非必要条件 C .充要条件 B .必要非充分条件 D.不充分也不必要条件
•
2
2
例3、已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、
F2(5,0),和双曲线上一点P,
( 3 5 ,8)
•
1.椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a(2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
M x, y
F1 c , 0
O
F2 c , 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?
•
①如图(A), |MF1|-|MF2|=2a ②如图(B), |MF1|-|MF2|=-2a 由①②可得: ||MF1|-|MF2||=2a (差的绝对值)
不存在
•
•
( x c) 2 y 2
( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
y
2
2
2a
( x c)
2
y
2
2
cx a 2 a
( x c) 2 y 2
人教版高中数学选修2-1(A版)课件:第二章 2.3 2.3.1双曲线及其标准方程 (共64张PPT)

一个人想要平庸,阻拦他(她)的人很少;一个人想要出众,阻拦他(她)的人就很多。那些与周围关系融洽的人,大都很平庸,与周围人 关系紧张的人,大都很出众。人都允许一个陌生人的发迹,却不能容忍一个身边人的晋升,因为同一层次的人之间存在着对比、利益的冲突 ,而与陌生人不存在这方面的问题。 每个人身上都有惰性和消极情绪,成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性,并像太阳一样照亮身边的人,激励身边的人。 掉进知识情网中的人,时时品尝着知识的甜蜜。 一份耕耘,份收获,努力越大,收获越多。 人生如棋,走一步看一步是庸者,走一步算三步是常者,走一步定十步是智者。 只要还有明天,今天就永远是起跑线。 只有想不到的事,没有做不到的事。 天才是由于对事业的热爱感而发展起来的,简直可以说天才。 有志者自有千方百计,无志者只感千难万难。 当你飞黄腾达的时候,你的朋友知道你是谁;当你穷困潦倒的时候,你才知道你的朋友是谁。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 读书以过目成诵为能,最是不济事。 一个今天胜过两个明天。 宁可自己去原谅别人,莫等别人来原谅自己。 如果你看到面前的阴影,别怕,那是因为你的背后有阳光。 第一个青春是上帝给的;第二个的青春是靠自己努力的。 在你发怒的时候,要紧闭你的嘴,免得增加你的怒气。—开拓了一条创造之路。 如果为了安全而不和大海在一起,船就失去了存在的意义。 每件事情都必须有一个期限,否则,大多数人都会有多少时间就花掉多少时间。
高中数学人教A版选修21PPT课件:.1双曲线及其标准方程1

焦点在x轴上:x a
2 2
y2 b2
1a
0, b 0
(2) 焦点在y轴上:ay22
x2 b2
1a
0, b 0
高 中 数 学 人 教A版选 修21P PT课件 :.1双 曲线及 其标准 方程1
高 中 数 学 人 教A版选 修21P PT课件 :.1双 曲线及 其标准 方程1
典型例题
例2 已知A、B两地相距800m,在A地听到
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
第二课时
复习巩固
1.双曲线的定义是什么?
M
平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于
F1
F2
常数(小于|F1F2|)的点的轨
迹叫做双曲线.
复习巩固
(1)双曲线的定义特征是||MF1|-|MF2||=2a (2a<|F1F2|),若去掉绝对值符号,则满足 |MF1|-|MF2|=2a(2a<|F1F2|)的点M的轨迹 是什么?
当A>0,B>0,A=B时,表示圆; 当A>0,B>0,A≠B时,表示椭圆; 当AB<0时,表示双曲线.
典例讲评
例1 若方程 x2 y2 1表示的曲线是双
k 5 k 2
曲线,求k的取值范围.
k (2,5)
练习3:如果方程 x2 y2 1表示双曲
2m m1
线,求m的取值范围.
由(2 m)(m 1) 0得m 2或m 1
mn
点坐标是什么?
(0, m n)
探究新知
4.在什么条件下,方程Ax2-By2=1表示双 曲线?
AB>0
5.在什么条件下,方程Ax2+By2=1表示双 曲线?
AB<0
探究新知
6.当A、B变化时,方程Ax2+By2=1可以 表示哪些类型的曲线?
【人教.高中.数学】选修2-1:第二章2.3-2.3.1双曲线及其标准方程【PPT课件】

3),F2(0,3). 设双曲线方程为ay22-xb22=1(a>0,b>0), 将点 A(4,-5)代入双曲线方程得2a52-1b62=1.
又 a2+b2=9,解得 a2=5,b2=4. y2 x2
所以双曲线的标准方程为 5 - 4 =1.
法二:||AF1|-|AF2||=| 20- 80|=2 5=2a,
()
A.14
B.35
C.34
D.45
解析:(1)因为由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|
=2a=2 2,
所以|PF1|=2|PF2|=4 2,
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
则 cos ∠F1PF2=
2|PF1|·|PF2|
=
(3)定值:根据题目的条件建立相关系数的方程,解 出系数,代入所设方程.
[变式训练] 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)
与
双
曲
线
x2 16
-
y2 4
=
1
有相同的焦点,且经过点
(3 2,2);
(2)过点 P3,145,Q-136,5且焦点在坐标轴上.
y2 x2 所以双曲线的标准方程为 9 -16=1.
x2 y2 法二:设双曲线方程为m+ n =1,mn<0.
m9 +1262n5=1, 因为点 P,Q 在双曲线上,所以295m6+2n5=1,解得
m=-16, n=9.
所以双曲线的标准方程为y92-1x62 =1.
故所求双曲线的标准方程为x72-y72=1. 8
归纳升华 用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤
(1)定位:确定双曲线的焦点位置,如果题目没有建 立坐标系,一般把焦点放在 x 轴上.
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1.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个交点,
则k的值为________.
y=kx-1, 解析:由 2 2 x -y =1,
得(1-k2)x2+2kx-2=0.
当 1-k2=0 时,即 k=± 时, 1 方程变为± 2x-2=0,则 x=± 1. 此时直线与双曲线渐近线平行,有且只有一个交点.
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当 1-k2≠0 时,Δ=4k2+8(1-k2)=0, 解得 k=± 2. 此时直线与双曲线相切,有且只有一个公共点. 综上所述,k=± 1,± 2.
答案:± 1,
± 2
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x2 2 2.直线 l:x+y=1 与双曲线 C: 2-y =1(a>0)相交于两个不同 a
5 点 A,B,与 y 轴交于点 P,且 PA= PB ,求 a 的值. 12 x2 2 解:将 y=-x+1 代入 2-y =1(a>0),得 a
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∵P 是线段 AB 的中点, ∴x1+x2=16,y1+y2=2. y1-y2 x1+x2 ∴ = =2. x1-x2 4y1+y2 ∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8), 即 2x-y-15=0.
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4.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点F2,且倾 斜 角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两 点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.
[思路点拨]
将l与C的方程联立消去一个未知数,得到
一元二次方程,利用根与系数的关系可求得弦长;由l与C相 交,知Δ>0,从而求出a的范围,可得离心率的范围.
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1 [精解详析] (1)当 a= 时,双曲线 C 的方程为 4x2-y2=1. 2
x+y=1, 联立 2 2 4x -y =1,
∴λ 的取值范围是(-∞,-1].
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x2 2 6.若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 3 -y =1 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA· >2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. OB
y=kx+ 2, 2 解:由x 消去 y 得 2 3 -y =1, (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3k2≠0, Δ=-6 2k2+361-3k2=361-k2>0 ,
解:∵直线l过点F2且倾斜角为45°,
∴直线l的方程为y=x-2. 代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2).
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7 ∵x1·2=- <0, x 2 ∴A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1·2=- , x 2 ∴|AB|= 1+12|x1-x2|
消去 y 得 3x2+2x-2=0.
设两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 则 x1+x2=- ,x1x2=- , 3 3 于是|AB|= 2· x1+x2 -4x1x2= 2×
2
28 2 14 = . 9 3
返回
x2 2 (2)将 y=-x+1 代入 2-y =1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0, a
返回
6 3 2 得 x1+x2=-5m,x1x2=10(m +2). ∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 36 2 3 2 =5[(x1+x2) -4x1x2]=5[25m -4×10(m +2)].
2
36 2 ∵|AB|= 6,∴ 5 m -6(m2+2)=6. ∴m2=15,m=± 15. 由(*)式得 Δ=24m2-240, 把 m=± 15代入上式,得 Δ>0, ∴m 的值为± 15, ∴所求 l 的方程为 y=2x± 15.
2
①
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3k2+7 = 2 . 3k -1 3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 解此不等式得 <k2<3. 3 1 由①②得 <k2<1. 3 3 3 故 k 的取值范围为(-1,- )∪( ,1). 3 3 ②
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1.研究直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以 后的方程的二次项系数,即若二次项系数为0,则直线
考点一
把握热点考向
2.3
考点二 考点三
第 二 章
2.3. 2
第 二 课 时
应用创新演练
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2.3.2
双曲线的简单几何性质
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第二课时
双曲线方程及几何性质的应用
返回
返回
返回
[例1]
已知直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1.当k为何
值时,直线与双曲线:
(1)有两个公共点;(2)有一个公共点;(3)没有公共点?
[思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题,可以
将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的 个数问题.
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[精解详析] =0.(*)
y=kx-1, 由 2 4x -y2=1,
消去 y 得(4-k2)x2+2kx-2
若 4-k2=0,即 k=± 时,方程(*)为一次方程,只有一解. 2 若 4-k2≠0 时,Δ=4k2+8(4-k2)=4(8-k2). 当 Δ>0 即-2 2<k<2 2时,方程(*)有两个不同的解. 当 Δ=0 即 k=± 2时,方程(*)有一解. 2 当 Δ<0 即 k<-2 2或 k>2 2时,方程 (*)无解. 综合以上得:当-2 2<k<2 2时,直线与双曲线有两个公共 点;当 k=± 或 k=± 2时,直线与双曲线有一个公共点;当 k< 2 2 -2 2或 k>2 2时,直线与双曲线没有公共点.
返回
[一点通]
一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0),① ②
x2 y2 双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0). 把①代入②得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
b (1)当 b -a k =0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近 a
2 2 2
线平行,直线与双曲线 C 相交于一点.
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[例 2]
x2 y2 斜率为 2 的直线 l 在双曲线 3 - 2 =1 上截得的弦长
为 6,求 l 的方程.
[思路点拨]
[精解详析]
设直线l的方程为y=2x+m,由题意建立
设直线 l 的方程为 y=2x+m,
关于m的等式,求出m即可.
y=2x+m, 2 2 由 x y 得 10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*) 3 - 2 =1, 设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系,
= 2· x1+x22-4x1x2 7 = 2· -2 -4- =6. 2
2
返回
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[例 3]
x2 2 已知直线 l: x+y=1 与双曲线 C: 2-y =1(a>0). a
1 (1)若 a=2,求 l 与 C 相交所得的弦长; (2)若 l 与 C 有两个不同的交点,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.
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1 即 k2≠ 且 k2<1. 3 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 -9 6 2k xA+xB= ,xAxB= . 1-3k2 1-3k2 由 OA· >2 得 xAxB+yAyB>2, OB xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 6 2k =(k +1)· + 2· k +2 1-3k2 1-3k2
1-a2≠0, ∴ 4 4a;a< 2且 a≠1. 1 +1, a2
1+a2 又双曲线的离心率 e= a = 6 ∴e> 且 e≠ 2, 2 即离心率 e 的取值范围是( 6 , 2
2)∪( 2,+∞).
返回
[一点通] (1)直线和双曲线的交点问题,可转化为由它们的方程 组成的方程组的解的问题,而方程组的解往往转化为一元
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易得 P(0,1).
5 5 因为 PA= PB ,所以(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 12
返回
5 由此得 x1= x2.因为 x1,x2 是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 12 的两根,且 1-a2≠0, 17 2a2 5 2 2a2 所以 x2=- x =- 2, 2.消去 x2,得 12 12 2 1-a 1-a 2a2 289 17 - = .由 a>0,解得 a= . 13 1-a2 60
与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,
则进一步研究二次方程的判别式Δ,得到直线与双曲线 的交点个数. 2.在解决直线与双曲线的综合问题时,若遇到向量 关系,一般将其转化成坐标运算求解.
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x2 2 5.已知双曲线 C: 2 -y =1. (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知点 M 的坐标为(0,1).设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P MQ 关于原点的对称点,记 λ= MP · .求 λ 的取值范围.
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2 2 解:(1)所求渐近线方程为 y- 2 x=0,y+ 2 x=0. (2)设 P 的坐标为(x0,y0),则 Q 的坐标为(-x0,-y0), MQ λ= MP · =(x0,y0-1)· 0,-y0-1) (-x 3 2 2 2 =-x0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ≤-1.
二次方程的解.讨论一元二次方程根的基本步骤:①观察二
1.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个交点,
则k的值为________.
y=kx-1, 解析:由 2 2 x -y =1,
得(1-k2)x2+2kx-2=0.
当 1-k2=0 时,即 k=± 时, 1 方程变为± 2x-2=0,则 x=± 1. 此时直线与双曲线渐近线平行,有且只有一个交点.
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当 1-k2≠0 时,Δ=4k2+8(1-k2)=0, 解得 k=± 2. 此时直线与双曲线相切,有且只有一个公共点. 综上所述,k=± 1,± 2.
答案:± 1,
± 2
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x2 2 2.直线 l:x+y=1 与双曲线 C: 2-y =1(a>0)相交于两个不同 a
5 点 A,B,与 y 轴交于点 P,且 PA= PB ,求 a 的值. 12 x2 2 解:将 y=-x+1 代入 2-y =1(a>0),得 a
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∵P 是线段 AB 的中点, ∴x1+x2=16,y1+y2=2. y1-y2 x1+x2 ∴ = =2. x1-x2 4y1+y2 ∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8), 即 2x-y-15=0.
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4.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点F2,且倾 斜 角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两 点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.
[思路点拨]
将l与C的方程联立消去一个未知数,得到
一元二次方程,利用根与系数的关系可求得弦长;由l与C相 交,知Δ>0,从而求出a的范围,可得离心率的范围.
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1 [精解详析] (1)当 a= 时,双曲线 C 的方程为 4x2-y2=1. 2
x+y=1, 联立 2 2 4x -y =1,
∴λ 的取值范围是(-∞,-1].
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x2 2 6.若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 3 -y =1 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA· >2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. OB
y=kx+ 2, 2 解:由x 消去 y 得 2 3 -y =1, (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3k2≠0, Δ=-6 2k2+361-3k2=361-k2>0 ,
解:∵直线l过点F2且倾斜角为45°,
∴直线l的方程为y=x-2. 代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2).
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7 ∵x1·2=- <0, x 2 ∴A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1·2=- , x 2 ∴|AB|= 1+12|x1-x2|
消去 y 得 3x2+2x-2=0.
设两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 则 x1+x2=- ,x1x2=- , 3 3 于是|AB|= 2· x1+x2 -4x1x2= 2×
2
28 2 14 = . 9 3
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x2 2 (2)将 y=-x+1 代入 2-y =1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0, a
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6 3 2 得 x1+x2=-5m,x1x2=10(m +2). ∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 36 2 3 2 =5[(x1+x2) -4x1x2]=5[25m -4×10(m +2)].
2
36 2 ∵|AB|= 6,∴ 5 m -6(m2+2)=6. ∴m2=15,m=± 15. 由(*)式得 Δ=24m2-240, 把 m=± 15代入上式,得 Δ>0, ∴m 的值为± 15, ∴所求 l 的方程为 y=2x± 15.
2
①
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3k2+7 = 2 . 3k -1 3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 解此不等式得 <k2<3. 3 1 由①②得 <k2<1. 3 3 3 故 k 的取值范围为(-1,- )∪( ,1). 3 3 ②
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1.研究直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以 后的方程的二次项系数,即若二次项系数为0,则直线
考点一
把握热点考向
2.3
考点二 考点三
第 二 章
2.3. 2
第 二 课 时
应用创新演练
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2.3.2
双曲线的简单几何性质
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第二课时
双曲线方程及几何性质的应用
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[例1]
已知直线y=kx-1与双曲线4x2-y2=1.当k为何
值时,直线与双曲线:
(1)有两个公共点;(2)有一个公共点;(3)没有公共点?
[思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题,可以
将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的 个数问题.
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[精解详析] =0.(*)
y=kx-1, 由 2 4x -y2=1,
消去 y 得(4-k2)x2+2kx-2
若 4-k2=0,即 k=± 时,方程(*)为一次方程,只有一解. 2 若 4-k2≠0 时,Δ=4k2+8(4-k2)=4(8-k2). 当 Δ>0 即-2 2<k<2 2时,方程(*)有两个不同的解. 当 Δ=0 即 k=± 2时,方程(*)有一解. 2 当 Δ<0 即 k<-2 2或 k>2 2时,方程 (*)无解. 综合以上得:当-2 2<k<2 2时,直线与双曲线有两个公共 点;当 k=± 或 k=± 2时,直线与双曲线有一个公共点;当 k< 2 2 -2 2或 k>2 2时,直线与双曲线没有公共点.
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[一点通]
一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0),① ②
x2 y2 双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0). 把①代入②得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
b (1)当 b -a k =0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近 a
2 2 2
线平行,直线与双曲线 C 相交于一点.
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[例 2]
x2 y2 斜率为 2 的直线 l 在双曲线 3 - 2 =1 上截得的弦长
为 6,求 l 的方程.
[思路点拨]
[精解详析]
设直线l的方程为y=2x+m,由题意建立
设直线 l 的方程为 y=2x+m,
关于m的等式,求出m即可.
y=2x+m, 2 2 由 x y 得 10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*) 3 - 2 =1, 设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系,
= 2· x1+x22-4x1x2 7 = 2· -2 -4- =6. 2
2
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[例 3]
x2 2 已知直线 l: x+y=1 与双曲线 C: 2-y =1(a>0). a
1 (1)若 a=2,求 l 与 C 相交所得的弦长; (2)若 l 与 C 有两个不同的交点,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.
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1 即 k2≠ 且 k2<1. 3 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 -9 6 2k xA+xB= ,xAxB= . 1-3k2 1-3k2 由 OA· >2 得 xAxB+yAyB>2, OB xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 6 2k =(k +1)· + 2· k +2 1-3k2 1-3k2
1-a2≠0, ∴ 4 4a;a< 2且 a≠1. 1 +1, a2
1+a2 又双曲线的离心率 e= a = 6 ∴e> 且 e≠ 2, 2 即离心率 e 的取值范围是( 6 , 2
2)∪( 2,+∞).
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[一点通] (1)直线和双曲线的交点问题,可转化为由它们的方程 组成的方程组的解的问题,而方程组的解往往转化为一元
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易得 P(0,1).
5 5 因为 PA= PB ,所以(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 12
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5 由此得 x1= x2.因为 x1,x2 是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 12 的两根,且 1-a2≠0, 17 2a2 5 2 2a2 所以 x2=- x =- 2, 2.消去 x2,得 12 12 2 1-a 1-a 2a2 289 17 - = .由 a>0,解得 a= . 13 1-a2 60
与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,
则进一步研究二次方程的判别式Δ,得到直线与双曲线 的交点个数. 2.在解决直线与双曲线的综合问题时,若遇到向量 关系,一般将其转化成坐标运算求解.
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x2 2 5.已知双曲线 C: 2 -y =1. (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知点 M 的坐标为(0,1).设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P MQ 关于原点的对称点,记 λ= MP · .求 λ 的取值范围.
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2 2 解:(1)所求渐近线方程为 y- 2 x=0,y+ 2 x=0. (2)设 P 的坐标为(x0,y0),则 Q 的坐标为(-x0,-y0), MQ λ= MP · =(x0,y0-1)· 0,-y0-1) (-x 3 2 2 2 =-x0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ≤-1.
二次方程的解.讨论一元二次方程根的基本步骤:①观察二