高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.3.2 第二课时 双曲线方程及几何性质的应用

返回
1．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个交点，
则k的值为________．
y＝kx－1， 解析：由 2 2 x －y ＝1，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
当 1－k2＝0 时，即 k＝± 时， 1 方程变为± 2x－2＝0，则 x＝± 1. 此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
返回
当 1－k2≠0 时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0， 解得 k＝± 2. 此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点． 综上所述,k＝± 1，± 2.
答案：± 1,
± 2
返回
x2 2 2．直线 l：x＋y＝1 与双曲线 C： 2－y ＝1(a>0)相交于两个不同 a
5 点 A,B，与 y 轴交于点 P，且 PA＝ PB ，求 a 的值． 12 x2 2 解：将 y＝－x＋1 代入 2－y ＝1(a>0)，得 a
返回
∵P 是线段 AB 的中点， ∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. y1－y2 x1＋x2 ∴ ＝ ＝2. x1－x2 4y1＋y2 ∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－8)， 即 2x－y－15＝0.
返回
4．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，且倾 斜 角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两 点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
[思路点拨]
将l与C的方程联立消去一个未知数，得到
一元二次方程，利用根与系数的关系可求得弦长；由l与C相 交，知Δ>0，从而求出a的范围，可得离心率的范围．
返回
1 [精解详析] (1)当 a＝ 时，双曲线 C 的方程为 4x2－y2＝1. 2
x＋y＝1， 联立 2 2 4x －y ＝1，
∴λ 的取值范围是(－∞，－1]．
返回
x2 2 6．若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 3 －y ＝1 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA· >2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． OB
y＝kx＋ 2， 2 解：由x 消去 y 得 2 3 －y ＝1， (1－3k2)x2－6 2kx－9＝0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1－3k2≠0， Δ＝－6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0 ,
解：∵直线l过点F2且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y＝x－2. 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1),B(x2，y2).
返回
7 ∵x1·2＝－ <0， x 2 ∴A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． 7 ∵x1＋x2＝－2，x1·2＝－ ， x 2 ∴|AB|＝ 1＋12|x1－x2|
消去 y 得 3x2＋2x－2＝0.
设两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2 2 则 x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ ， 3 3 于是|AB|＝ 2· x1＋x2 －4x1x2＝ 2×
2
28 2 14 ＝ . 9 3
返回
x2 2 (2)将 y＝－x＋1 代入 2－y ＝1 中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， a
返回
6 3 2 得 x1＋x2＝－5m，x1x2＝10(m ＋2)． ∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2 36 2 3 2 ＝5[(x1＋x2) －4x1x2]＝5[25m －4×10(m ＋2)]．
2
36 2 ∵|AB|＝ 6，∴ 5 m －6(m2＋2)＝6. ∴m2＝15，m＝± 15. 由(*)式得 Δ＝24m2－240， 把 m＝± 15代入上式，得 Δ>0， ∴m 的值为± 15， ∴所求 l 的方程为 y＝2x± 15.
2
①
返回
3k2＋7 ＝ 2 . 3k －1 3k2＋7 －3k2＋9 于是 2 >2，即 2 >0， 3k －1 3k －1 1 解此不等式得 <k2<3. 3 1 由①②得 <k2<1. 3 3 3 故 k 的取值范围为(－1，－ )∪( ，1)． 3 3 ②
返回
1.研究直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以 后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线
考点一
把握热点考向
2.3
考点二 考点三
第 二 章
2.3. 2
第 二 课 时
应用创新演练
返回
2.3.2
双曲线的简单几何性质
返回
第二课时
双曲线方程及几何性质的应用
返回
返回
返回
[例1]
已知直线y＝kx－1与双曲线4x2－y2＝1.当k为何
值时，直线与双曲线：
(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点？
[思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题，可以
将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的 个数问题．
返回
[精解详析] ＝0.(*)
y＝kx－1， 由 2 4x －y2＝1，
消去 y 得(4－k2)x2＋2kx－2
若 4－k2＝0，即 k＝± 时，方程(*)为一次方程，只有一解. 2 若 4－k2≠0 时，Δ＝4k2＋8(4－k2)＝4(8－k2)． 当 Δ>0 即－2 2<k<2 2时，方程(*)有两个不同的解． 当 Δ＝0 即 k＝± 2时，方程(*)有一解． 2 当 Δ<0 即 k<－2 2或 k>2 2时，方程 (*)无解． 综合以上得：当－2 2<k<2 2时,直线与双曲线有两个公共 点；当 k＝± 或 k＝± 2时,直线与双曲线有一个公共点；当 k< 2 2 －2 2或 k>2 2时,直线与双曲线没有公共点．
返回
[一点通]
一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，① ②
x2 y2 双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)． 把①代入②得 (b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b (1)当 b －a k ＝0，即 k＝± 时，直线 l 与双曲线的渐近 a
2 2 2
线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
返回
返回
[例 2]
x2 y2 斜率为 2 的直线 l 在双曲线 3 － 2 ＝1 上截得的弦长
为 6，求 l 的方程．
[思路点拨]
[精解详析]
设直线l的方程为y＝2x＋m，由题意建立
设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，
关于m的等式，求出m即可．
y＝2x＋m， 2 2 由 x y 得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*) 3 － 2 ＝1， 设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系，
＝ 2· x1＋x22－4x1x2 7 ＝ 2· －2 －4－ ＝6. 2
2
返回
返回
[例 3]
x2 2 已知直线 l： x＋y＝1 与双曲线 C： 2－y ＝1(a>0)． a
1 (1)若 a＝2，求 l 与 C 相交所得的弦长； (2)若 l 与 C 有两个不同的交点，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围．
返回
1 即 k2≠ 且 k2<1. 3 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 －9 6 2k xA＋xB＝ ，xAxB＝ . 1－3k2 1－3k2 由 OA· >2 得 xAxB＋yAyB>2， OB xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋ 2)(kxB＋ 2) ＝(k2＋1)xAxB＋ 2k(xA＋xB)＋2 －9 6 2k ＝(k ＋1)· ＋ 2· k ＋2 1－3k2 1－3k2
1－a2≠0， ∴ 4 4a;a< 2且 a≠1. 1 ＋1， a2
1＋a2 又双曲线的离心率 e＝ a ＝ 6 ∴e> 且 e≠ 2, 2 即离心率 e 的取值范围是( 6 ， 2
2)∪( 2，＋∞)．
返回
[一点通] (1)直线和双曲线的交点问题，可转化为由它们的方程 组成的方程组的解的问题，而方程组的解往往转化为一元
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得 P(0,1)．
5 5 因为 PA＝ PB ，所以(x1，y1－1)＝ (x2，y2－1)． 12 12
返回
5 由此得 x1＝ x2.因为 x1，x2 是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 12 的两根，且 1－a2≠0， 17 2a2 5 2 2a2 所以 x2＝－ x ＝－ 2， 2.消去 x2，得 12 12 2 1－a 1－a 2a2 289 17 － ＝ .由 a>0，解得 a＝ . 13 1－a2 60
与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，
则进一步研究二次方程的判别式Δ，得到直线与双曲线 的交点个数． 2.在解决直线与双曲线的综合问题时，若遇到向量 关系，一般将其转化成坐标运算求解．
返回
点击下图进入“应用创新演练”
返回
返回
x2 2 5．已知双曲线 C： 2 －y ＝1. (1)求双曲线 C 的渐近线方程； (2)已知点 M 的坐标为(0,1)．设 P 是双曲线 C 上的点，Q 是点 P MQ 关于原点的对称点，记 λ＝ MP · .求 λ 的取值范围．
返回
2 2 解：(1)所求渐近线方程为 y－ 2 x＝0，y＋ 2 x＝0. (2)设 P 的坐标为(x0，y0)，则 Q 的坐标为(－x0，－y0)， MQ λ＝ MP · ＝(x0，y0－1)· 0，－y0－1) (－x 3 2 2 2 ＝－x0－y0＋1＝－ x0＋2. 2 ∵|x0|≥ 2，∴λ≤－1.
二次方程的解.讨论一元二次方程根的基本步骤：①观察二