第七章 应力和应变分析 强度理论(2)

解:
450 450
45
o
1 E E 由此得 45 1
1 [ 45o 45o ] E
τ
0
T m 由圆轴扭转应力公式: Wt Wt
所以
d E m Wt 45 16 1
3
o
例 边长为10mm的铝质方块，紧密无隙 地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽 中，如图所示。当铝块受到P=60MPa的 作用时，设钢块不变形。若铝的弹性模量 E=70GPa，v=0.3.求铝块的三个主应力、 三个主应变。
3dydx ~ 3dz
1 dW= 2 1dydz 1dx 1 2dxdz 2dy 2 1 3dxdy 3dz 2 1 1 2 2 3 3 dxdydz
2、应变比能(Strain-Energy Density)

x y xy

sin 2 cos 2 2 2 2

x y xy
二、应变圆
cos 2 sin 2 2 2 2 sin 2 cos 2
x y x y xy


x
y
xy
2
2
2
2
( ) ( ) sin 2 ( ) 2 2 2 2
x y xy
(dl ) dl dx dy dy cos sin cos dl dl dl
x y xy
cos sin sin cos
2 2

x
y
xy
cos 2 sin 2 2 2 2
V1 (1 1 2 3 )dxdydz
于是，单元体单位体积的改变
V1 V 1 2 3 V

2．体积应变与应力的关系
1 2 1 2 3 ( 1 2 3 ) E
3(1 2 ) 1 2 3 m E 3 K
y
1 x y z x E E E 1 x y z
E
E
x
y
z
E
1 z E
y 得出 x 、 和 z 方向的线应变表达式为
1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E
一、任意方位的应变分析
研究正应变
(OB) dx cos
x
x
(OB) dy sin
y
y
(OB) dy cos
xy
xy
(dl ) (OB)
(OB) (OB) (OB)
x y xy
(dl ) dx cos dy sin dy cos
ε zρ

E
( τ ρ τ ρ ) 0
因此，该薄壁圆筒变形后 的厚度并无变化，仍然为 t=10mm.
§7．9 复杂应力状态的应 变密度
变形(应变)比能
1、微元应变能(Strain Energy)
2
1dydz ~ 1dx
1
dy
2dxdz ~ 2dy
3
dx
dz
此题有实际意义，传动轴上所受的外力偶矩m的 大小，有时采用实验方法。测得轴上某个方向的 正应变，再由应变值计算出外力偶矩大小。

解题思路：寻找已知量ε-45o和未知量m间的联 系。
1.本题已知正应变ε-45o,通过广义胡克定律可将 正应变ε-45o和正应力σ-45o (σ45o)联系起来。 2.再通过应力状态分析，找到正应力σ-45o (σ45o)和横截面上的剪应力τ的关系。 3.而τ是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力 偶矩m的大小。
x y

2
x
y
xy

x' y'
1 R 2
x y 4 2 xy
2
R c
x'
应 力 圆
x y
2

应 变 圆
2
R
C(
C

x
y
2
,0)


x y
R (
2
) (
2

xy
2
)
2
三、最大应变与主应变
1 [( ) ( ) ] 2


uv
1 2 2 1 2 3 6E
ud uv u
作
7．26 7．28
变形后，三个棱边的长度变为
dx 1dx (1 1 )dx dy 2 dy (1 2 )dy dz 3 dz (1 3 )dz
由于是单元体，变形后三个棱边仍互相 垂直，所以，变形后的体积为
V1 (1 1 )(1 2 )(1 3 )dxdydz
1 1 1 2 2 3 3 dxdydz dW 2 u dxdydz dV
1 1 1 2 2 3 3 2
3、体积改变比能与形状改变比能
2

2
1
3

+
3
1

1 令 ( 1 2 3 ) 3
• 在小变形及线弹性范围内，线应变 只与正应力有关，而与剪应力无关； • 剪应变只与剪应力有关，而与正应 力无关，满足应用叠加原理的条件。 • 所以，我们利用单向应力状态和纯 剪切应力状态的虎克定律，分别求 出各应力分量相对应的应变， • 然后，再进行叠加。
正应力分量在不同方向对应的应变
z Ex Ey
6
例 壁厚t=10mm、外径D=60mm的圆筒，在 表面上k点与其轴线成45度角和135度角，x、 y两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外 力矩m的作用，发生扭转变形，如图所示。 已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa， v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内，且k 点横截面上的剪应力为 =80MPa，试求圆筒 k点处的线应变 x、 y及变形后的筒壁厚度。
E K 3(1 2 )
称为体积弹性模量
m
1 ( 1 2 3 ) 3
是三个主应力的平均值
体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之 和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与 平均应力成正比，称为体积虎克定律。
例题：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶 矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线 成-45o方向正应变ε-45o，试求力偶矩m之值。 材料的弹性常数E、μ均为已知。
u ud uv
ud uv
: Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion : Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume
ud
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6E
§7．8 广义胡克定律
一、广义胡克定律
1． 单向应力状态的虎克定律
1 E 或 E 轴向拉伸 或压缩时 由于轴向变形还
引起横向变形
E
2． 纯剪切应力状态的虎克定律
G
或
1 G
3．复杂应力状态的广义 虎克定律
一般情况 下，描述 一点处的 应力状态 需要九个 应力分量
y [ y ( z x )] / E 5.2 10
4
4
（2）求变形后的筒壁厚度 由于k点处的径向方向即为z方向，且 z=2=0，所以
z [ z ( x y )] / E 0
薄壁圆筒纯扭转变形时，筒内任一点 都处在纯剪切应力状态。用类似方法 可推知筒壁中任一点处（该点到圆心 的距离为 ）的径向应变为
王培荣
2013年7月9日
教学要求 •1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌 握单元体最大剪应力计算方法。 •2.掌握广义胡克定律及其应用。 •3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状 改变比能和体积改变比能的一些主要结论和 公式。
§7．5 三向应力状态
三向应力状态特例的一般情形
至少有一个主应力及其主方向已知
max 2 2 x y x y xy min
Tan 2
0

xy

x
2 y
y
2

max
1 ( ) ] 2
x xy
四、通常采用测定一点处沿εa、εb、 εc三个方向的线应变的方法，来确定该点处 的主应变εl、ε2及其方向。
εa、εb、εc
εx、εy、γxy
ε1、ε2
yx
y x z
yx xy
y x z
xy
2 1
3

200 50 300
"
'
'''

50

300
50
" '''
'

*§7．6位移与应变分量
自学
*§7．7 平面应变分析

当构件内某 点处的变形 均平行于某 一平面时， 则称该点处 于平面应变 状态。
P 10 10 10 z x y
解：（1）求主应力及主应变
铝块在压力P作用下，上、下两个面及y面 上受到压应力为 P σy 60 106 N m 2 60MPa A 铝块在前、后两个面不受约束，在P的