2015步步高理科数学专题一
2015步步高理科数学5.1
§5.1平面向量的概念及线性运算三角形3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.( × ) (4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( √ ) (5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立． ( √ )2．(2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选项易知C 满足题意． 3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案 A解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →.4．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________． 答案 －2解析 如图所示，由AP →＝λPD →，且P A →＋BP →＋CP →＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.5．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．答案 －1解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1.题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键． 答案 ②③解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量． 题型二 平面向量的线性运算例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于 ( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于 ( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．答案 (1)D (2)A解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 (1)A (2)B解析 (1)由2AC →＋CB →＝0得2AO →＋2OC →＋CO →＋OB →＝0， ∴OC →＝－2AO →－OB →＝2OA →－OB →.(2)如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.题型三 共线向量定理及应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于 ( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b (2)已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ， ∴DF →＝13AB →，∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b .(2)∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .② 由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ， 则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[10分]∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[12分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C.2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是 ( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D答案 B解析 BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →⇒BD →∥AB →⇒A 、B 、D 三点共线．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →.如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB的中点，即M 为△ABC 的重心． AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( )A ．1 B.12 C.13 D.23答案 D解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.二、填空题6．设向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．答案 ④解析 AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2，BD →＝CD →－CB →＝3e 1，由向量共线的充要条件b ＝λa (a ≠0)可得A ，C ，D 共线，而其他λ无解．7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案 －14a ＋14b解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 由图知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.三、解答题9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．10. 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． (1)解延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明 由(1)可知BE →＝23BF →， 因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)， 又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ， 则S △ABC S △AOC＝4. 2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →| ＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 3.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.则m ＋n ＝2. 4．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )． 若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，∴t b －a ＝λ[13(a ＋b )－a ]． 化简整理得，(23λ－1)a ＝(13λ－t )b ， ∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理得λ＝32且t ＝12. 故当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上． 5．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A 、P 、B 三点共线，(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.8 函数与方程文档专练 文
§2.8函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系3.二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × ) (5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( √ )(6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12.( × )2．(2013·某某)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.3．(2013·某某)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 4．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)答案 C解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4>0. ∴f (x )在其定义域上是严格单调递增函数．∵f (－14)＝e 41－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 41－2<0，f (12)＝e 21－1>0， ∴f (14)·f (12)<0.5．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________． 答案 3解析 由题意知，当x >1时，f (x )单调递减，因为f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k ＝3.题型一 函数零点的判断和求解例1 (1)(2012·某某)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)设函数f (x )＝x 2＋2x (x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．思维启迪 (1)函数零点的确定问题；(2)f (x )＝f (a )的实根个数转化为函数g (x )＝f (x )－f (a )的零点个数． 答案 (1)C (2)3解析 (1)当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈[0,4]，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y ＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为6. (2)令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a ，整理得：g (x )＝1ax (x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解．思维升华 函数零点的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定，②零点个数的确定，③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法．(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 答案 (1)B (2)B解析 (1)∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0， ∴f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数． 而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0， ∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 题型二 二次函数的零点问题例2 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由．思维启迪 可将问题转化为f (x )＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根，结合二次函数的图象特征转化题中条件．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0， ∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图象列不等式组．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，某某数a的取值X 围．解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0， 由根与系数的关系， 得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)<0， 即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 题型三 函数零点的应用例3若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，某某数a 的取值X 围．思维启迪 方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解． 解 方法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值X 围是(－∞，2－22]． 方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1<x ≤1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则a 的取值X 围是( )A ．(1,5)B ．(0，15)∪[5，＋∞)C ．(0，15]∪[5，＋∞)D ．[15，1]∪(1,5]答案 B解析 依题意知函数f (x )的周期为2，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示，结合图象，可知要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则有0<a <15或a ≥5，即实数a 的取值X 围是(0，15)∪[5，＋∞)．函数与方程思想的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值X 围；(2)确定m 的取值X 围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．思维启迪 (1)y ＝g (x )－m 有零点即y ＝g (x )与y ＝m 的图象有交点，所以可以结合图象求解；(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解． 规X 解答解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，[3分]因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．[6分]方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图．[3分]可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.[6分](2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图．[8分]∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.[10分]故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值X 围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．[12分]温馨提醒 (1)求函数零点的值，判断函数零点的X 围及零点的个数以及已知函数零点求参数X 围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．(2)本题的易错点是确定g (x )的最小值和f (x )的最大值时易错．要注意函数最值的求法.方法与技巧1．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数X 围问题可转化为函数值域问题． 失误与防X1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.A 组 专项基础训练一、选择题1．方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， ∴f (x )＝0在(2,3)有零点，又f (x )为增函数，∴f (x )＝0的零点在(2,3)内． 2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2.4．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b 答案 B解析 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，且f (x )为单调递增函数．故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)． ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2；∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为单调递增函数，∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .5．已知x 0是函数f (x )＝11－x ＋ln x 的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 答案 D解析 令f (x )＝11－x ＋ln x ＝0.从而有ln x ＝1x －1，此方程的解即为函数f (x )的零点．在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象如图所示．由图象易知，1x 1－1＞ln x 1，从而ln x 1－1x 1－1＜0，故ln x 1＋11－x 1＜0，即f (x 1)＜0.同理f (x 2)＞0.二、填空题6．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 答案 3解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 015x ＋log 2 015x 在区间(0，12 015)内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值X围是________． 答案 (0,1) 解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图． 由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0<m <1，即m ∈(0,1)． 8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．答案 {x |－32<x <1}解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为{x |－32<x <1}．三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.证明 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.又函数g (x )在[0，12]上连续，∴存在x 0∈(0，12)，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0.10．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值X 围，并求出该零点． 解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.B 组 专项能力提升 1．已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( )A.1e<x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10答案 A解析 在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e<x 1x 2<1. 2．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0的图象及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.3．若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值X 围是________．答案 (512，34] 解析 作出函数y 1＝4－x 2和y 2＝k (x －2)＋3的图象如图所示，函数y 1的图象是圆心在 原点，半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点)，函数y 2的图象是过定点P (2,3)的直线，点A (－2,0)，k P A ＝3－02－(－2)＝34.直线PB 是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，|3－2k PB |k 2PB ＋1＝2，得k PB ＝512.由图可知当k PB <k ≤k P A 时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根．所以512<k ≤34.4．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值X 围．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56. 即－56<m <－12， 故m 的取值X 围是(－56，－12)． (2)抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等 式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)>0Δ≥00<－m <1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2. 故m 的取值X 围是(－12，1－2]． 5．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值X 围．解 f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0≤a ≤12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为∅.②当－1<－12a <0，即a >12时， 须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－12a )≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值X 围是[1，＋∞)．。
2015步步高理科数学1.1
§1.1集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)2.集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.34.集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . 补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A .1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． ( × ) (2){1,2,3}＝{3,2,1}． ( √ ) (3)∅＝{0}．( × ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) (5)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则M ∩N ＝N .( √ ) (6)若全集U ＝{－1,0,1,2}，P ＝{x ∈Z |x 2<4}，则∁U P ＝{2}．( √ ) 2．(2013·北京)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于 ( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．3．(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．5D ．9答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.4．(2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}答案 A解析 化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，则M ∩N ＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫34，43 解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数， 则这个整数为2， 所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43.即34≤a <43.题型一 集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”． 答案 (1)D (2)2解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ， 当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D.(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条 件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽 略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.答案 (1)C (2)0或98解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2. (2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二 集合间的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形． 答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、V enn 图来直观解决这类问题．(1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 (1)A (2)4解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4， 即A ＝{x |0<x ≤4}， 而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 题型三 集合的基本运算例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(∁R B )等于 ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}(2)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算． 答案 (1)C (2)－1 1解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4} ∴A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．(2)先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解． A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{3}C ．{2,3}D ．{x |－1≤x <2}(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．答案(1)B(2)1或2解析(1)A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>2}，∴A∩B＝{x∈Z|2<x≤3}＝{3}．(2)A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.题型四集合中的新定义问题例4在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4思维启迪解答本题要充分理解[k]的意义，然后对选项逐一验证．答案 C解析因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n＋4|n∈Z}，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a，b属于同一“类”，则有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来，如果a－b∈[0]，也可以得到a，b属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“”，满足XY ＝(∁U X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，X YZ )＝( )A ．(X ∪Y )∪(∁U Z )B ．(X ∩Y )∪(∁U Z )C ．[(∁U X )∪(∁U Y )]∩ZD ．(∁U X )∪(∁U Y )∪Z 答案 D 解析 因为X Y ＝(∁U X )∪Y ，所以Y Z ＝(∁U Y )∪Z ， 所以X (YZ )＝(∁U X )∪(YZ )＝(∁U X )∪(∁U Y )∪Z ，故选D.遗忘空集致误典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 规范解答解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．失误与防范1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性.A组专项基础训练一、选择题1．(2013·重庆)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于() A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}答案 D解析因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.2．下列集合中表示同一集合的是() A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x ＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合．3．已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁S A ＝{3}，则实数a 等于 ( )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．2答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．设集合P ＝{3，log 2a }，Q ＝{a ，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q 等于 ( )A ．{3,0}B ．{3,0,2}C ．{3,0,1}D ．{3,0,1,2}答案 C解析 由P ∩Q ＝{0}，得log 2a ＝0，所以a ＝1，从而b ＝0， P ∪Q ＝{3,0,1}．5．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有 ( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 B解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个．6．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅答案 B解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}， 所以A ＝{x |－1<x <2}．又B ＝{x |－1<x <1}，画出数轴，可得B A .7．(2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于 ( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案 D解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}． 8． 设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ( ) A ．3B ．4C ．7D ．8答案 C解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个． 二、填空题9．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．11．已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x ≤1}，则A ∩B ＝________. 答案 {x |－2≤x ≤1}解析 易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.B 组 专项能力提升1．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8答案 B解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.2．已知集合M ＝{x |xx －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}答案 C解析 由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x (x －1)≥0，∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，M ∩N ＝{x |x >1}．3．已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x∈Z }，则集合{4,5}等于 ( )A ．M ∩NB ．M ∩(∁U N )C ．N ∩(∁U M )D ．(∁U M )∪(∁U N ) 答案 B解析 集合U 为函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1的定义域内的整数集，由9x －1>0，即9－x x>0，解得0<x <9， 又x ∈Z ，所以x 可取1,2,3,4,5,6,7,8，故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集，解|x －4|≤1，得3≤x ≤5，又x ∈Z ，所以x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}．集合N 是使6x为整数的自然数集合， 显然当x ＝1时，6x＝6； 当x ＝2时，6x＝3； 当x ＝3时，6x＝2； 当x ＝6时，6x＝1. 所以N ＝{1,2,3,6}．显然M ⊆U ，N ⊆U .而4∈M,4∈U,4∉N,5∈M,5∈U,5∉N ，所以4∈M,4∈∁U N,5∈M,5∈∁U N ，即{4,5}＝M ∩(∁U N )．二、填空题4．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝________. 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0<y <12}， ∴∁U P ＝{y |y ≥12}＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，因为A⊆B，画出数轴，如右图所示，得c≥1.6．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝b x＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析由于集合B中的元素是指数函数y＝b x的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝b x＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．。
【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第5章 第4讲 平面向量的综合应用]
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第4讲 平面向量的综合应用一、填空题1．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.解析 由|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，可得|CA →|2＝|BC →|2＋|AB →|2，∠B ＝90°，∠C ＝60°，∠A ＝30°，所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2cos 120°＋23cos 150°＋0＝－4. 答案 －42．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析 由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案23．已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析 由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3. 答案 34．已知平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，若(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状为________．解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0.所以|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB→|＝|AC →|，故△ABC 是等腰三角形． 答案 等腰三角形5. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________.解析 AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →) ＝AO →·AC →－AO →·AB→， 因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB→|＝2， 同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC→|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52. 答案 526．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且AB →·CD →＝BC →·AE→，则a 2，b 2，c 2成________数列．解析 由AB →·CD →＝BC →·AE →，得(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)，即CB→2－CA→2＝AC →2－AB →2，所以a 2－b 2＝b 2－c 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列． 答案 等差7．已知点P 是边长为2的正三角形ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________.解析 如图，因为AB→＋AC →＝AD →＝2AO →，△ABC 为正三角形，所以四边形ABDC 为菱形，BC ⊥AO ，所以AP →在向量AD→上的投影为AO →. 又|AO →|＝3，所以AP →·(AB →＋AC →)＝|AO →|·|AD →|＝6. 答案 68．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP→＝－32，则λ＝________.解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP→＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12. 答案 129．设OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，ON →＝(0,1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON→≤1，则z ＝y －x 的最小值是________．解析 由题得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12y ≤1，0≤y ≤1，所以可行域如图所示，所以当直线y －x ＝z 经过点A (1,0)时，z min ＝－1. 答案 －110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中，则a ∘b ＝________. 解析 根据题中给定的两个向量的新运算可知a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a |×|b |×cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，b ∘a ＝|b |cos θ|a |，又由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4可得22<cos θ<1，由|a |≥|b |>0可得0<|b ||a |≤1，于是0<|b |cos θ|a |<1，即b ∘a ∈(0,1)，又由于b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|b |cos θ|a |＝12，即|a |＝2|b |cos θ.① 同理|a |cos θ|b |>22，将①代入后得2cos 2θ>22，又由于a ∘b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以a ∘b ＝2cos 2θ＝n 2(n ∈Z )，于是1<n 2<2，故n ＝3，∴cos θ＝32，|a |＝3|b |，∴a ∘b ＝3|b ||b |×32＝32.答案 32 二、解答题11．已知在锐角△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m ＝(sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，4cos 2B 2－2，且m ∥n .(1)求函数f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间； (2)若b ＝1，求△ABC 的面积的最大值．解 (1)因为m ∥n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos 2B 2－2sin B ＋3cos 2B ＝2sin B cos B ＋3cos 2B＝sin 2B ＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝0，所以B ＝π3.所以f (x )＝sin(2x －B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 于是由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π，k ∈Z . (2)当b ＝1时，由余弦定理，得1＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，所以S △ABC ＝12ac sin π3≤34，当且仅当a ＝c ＝1时等号成立，所以(S △ABC )max ＝34. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c )·BC →·BA →＋cCA →·CB→＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值． 解 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋abc cos C ＝0， 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4，所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →·CB→的最小值为－2.13．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC→|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|， 可得AC→2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC→＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.14．已知M (0，－2)，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足AP →＝PB →，MA →·AP→＝0.(1)当A 点在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过(－2,0)的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )， 则AP →＝(x －x A ，y )，PB →＝(－x ，y B －y )． 由AP →＝PB →得x A ＝2x ，y B ＝2y . 又MA →＝(x A,2)，AP →＝(x －x A ，y )， 即MA→＝(2x,2)，AP →＝(－x ，y )． 由MA →·AP →＝0得x 2＝y (y >0)． (2)易知直线l 的斜率必存在， 故设其直线方程为y ＝k (x ＋2)， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，因为y ′＝2x ，故两切线的斜率分别为2x 1、2x 2.由方程组⎩⎨⎧x 2＝y ，y ＝k (x ＋2)，得x 2－kx －2k ＝0，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2k .由l 1⊥l 2时，4x 1x 2＝－1，∴k ＝18. ∴直线l 的方程是y ＝18(x ＋2).。
步步高2015高考数学(人教A理)一轮讲义：8.3直线、平面平行的判定与性质
§8.3直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅[来源:中_教_网z_z_s_tep]a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (×)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. (√)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)(4)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD. (√)(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)2.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交答案 B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的.3.下列命题中，错误的是()A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确.对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面.，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.答案 2解析因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝12AC，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22，所以EF＝ 2.5.已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是________.答案②解析因为α∥β，a⊂α，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题.在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题.题型一直线与平面平行的判定与性质例1(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维启迪(1)利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.证明(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°. 所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.方法二 如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF. 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°.因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因为∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF.又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点. 连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF.又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC.思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β).如图，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，E ，H 分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH ∥A1D1，过EH 的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F ，G ，求证：FG ∥平面ADD1A1. 证明 因为EH ∥A1D1，A1D1∥B1C1， EH ⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1， 所以EH ∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG ， 所以EH ∥FG ，即FG ∥A1D1.又FG ⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1， 所以FG ∥平面ADD1A1.题型二 平面与平面平行的判定与性质例2 如图，在三棱柱ABC —A1B1C1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG .思维启迪 要证四点共面，只需证GH ∥BC ；要证面面平行，可证一 个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明 (1)∵GH 是△A1B1C1的中位线，∴GH ∥B1C1. 又∵B1C1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面. (2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG.∵A1G 綊EB ，∴四边形A1EBG 是平行四边形，∴A1E ∥GB. ∵A1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A1E ∥平面BCHG.∵A1E∩EF ＝E ，∴平面EFA1∥平面BCHG . 思维升华 证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三 平行关系的综合应用例3 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和 CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪 利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面 形状，再建立目标函数求最值. 解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH. ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形.设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角).又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba (a －x)，∴S ▱EFGH ＝FG·GH·sin α ＝x·b a ·(a －x)·sin α＝bsin αa x(a －x).∵x>0，a －x>0且x ＋(a －x)＝a 为定值，∴当且仅当x ＝a －x 时，bsin αa x(a －x)＝absin α4，此时x ＝a 2，y ＝b 2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大.思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD. 解 在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG.又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD. ∴F 即为所求的点.又PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面PAB. ∴PB ⊥BC.∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2. 设PA ＝x 则PC ＝2a2＋x2， 由PB·BC ＝BE·PC 得： a2＋x2·a ＝2a2＋x2·63a ，∴x ＝a ，即PA ＝a ，∴PC ＝3a.又CE ＝ a2－(63a )2＝33a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a.立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ， AC ，BC ，PB 的中点.(1)求证：DE ∥平面BCP ；(2)求证：四边形DEFG 为矩形； (3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. 思维启迪 (1)利用DE ∥PC 证明线面平行；(2)利用平行关系和已知PC ⊥AB 证明DE ⊥DG ； (3)Q 应为EG 中点. 规范解答(1)证明 因为D ，E 分别是AP ，AC 的中点， 所以DE ∥PC.又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE ∥平面BCP. [3分] (2)证明 因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE ∥PC ∥FG ， DG ∥AB ∥EF.所以四边形DEFG 为平行四边形. 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG.所以四边形DEFG 为矩形. [7分] (3)解 存在点Q 满足条件，理由如下： [8分] 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点， 由(2)知，DF∩EG ＝Q ， 且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN. 与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以Q 为满足条件的点.[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论. 第二步：证明探求结论的正确性. 第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设. (2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.方法与技巧1.平行问题的转化关系线∥线判定性质线∥面判定性质面∥性质判定面2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A.a平行于α内的所有直线B.α内有无数条直线与a平行C.直线a上的点到平面α的距离相等D.α内存在无数条直线与a成90°角答案 A解析若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确.2.若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D3.已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A.a∥b，b⊂α，则a∥αB.a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥βC.a ⊥α，b ∥α，则a ⊥bD.当a ⊂α，且b ⊄α时，若b ∥α，则a ∥b 答案 C解析 A 选项是易错项，由a ∥b ，b ⊂α，也可能推出a ⊂α； B 中的直线a ，b 不一定相交，平面α，β也可能相交； C 正确；D 中的直线a ，b 也可能异面.4.在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则 ( ) A.BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形 B.EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C.HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形D.EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案 B解析 如图，由题意得，EF ∥BD ， 且EF ＝15BD.HG ∥BD ，且HG ＝12BD.∴EF ∥HG ，且EF≠HG . ∴四边形EFGH 是梯形.又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行. 故选B.5.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是 ( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 B解析 ①中易知NP ∥AA′，MN ∥A′B ，∴平面MNP ∥平面AA′B 可得出AB ∥平面MNP(如图). ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP.二、填空题ABC —A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线有________条. 答案 6解析 如图，E 、F 、G 、H 分别是A1C1、B1C1、BC 、AC 的中点，则 与平面ABB1A1平行的直线有EF ，GH ，FG ，EH ，EG ，FH 共6条.，ABCD —A1B1C1D1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A1B1、B1C1 的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 答案223a 解析 ∵平面ABCD ∥平面A1B1C1D1，∴MN ∥PQ.∵M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点，AP ＝a3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a.ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的为________. ①AC ⊥BD ；②AC ∥截面PQMN ； ③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°. 答案 ③解析 ∵PQMN 是正方形，∴MN ∥QP ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故①②正确. 又∵BD ∥MQ ，∴异面直线PM 与BD 所成的角即为∠PMQ ＝45°，故④正确. 三、解答题9.如图，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝AC ＝5，BB1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA1和B1C 的中点.(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积.(1)证明 取BC 中点G ，连接AG ，EG.因为E 是B1C 的中点，所以EG ∥BB1，且EG ＝12BB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D 是AA1的中点，所以EG 綊AD ， 所以四边形EGAD 是平行四边形.所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC.(2)解 因为AD ∥BB1，所以AD ∥平面BCE ，所以VE －BCD ＝VD －BEC ＝V A －BCE ＝VE －ABC ，由(1)知，DE ∥平面ABC.所以VE －ABC ＝VD －ABC ＝13AD·12BC·AG ＝16×3×6×4＝12. E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A1B1C1D1的棱BC 、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG ∥平面BB1D1D ；(2)平面BDF ∥平面B1D1H.证明 (1)取B1D1的中点O ，连接GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB1D1D.(2)由题意可知BD ∥B1D1.如图，连接HB 、D1F ，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B1D1H.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )A.m ∥β且l1∥αB.m ∥l1且n ∥l2C.m ∥β且n ∥βD.m ∥β且n ∥l2答案 B解析 对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m 可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D ，由于n ∥l2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意.综上选B.2.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________.答案 24或245解析 根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24. ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是________.答案 (8,10)解析 设DH DA ＝GH AC＝k ， ∴AH DA ＝EH BD＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周长的范围为(8,10).α内有△ABC ，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝7，梯形BCDE 的底DE ＝2， 过EB 的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA 、DC 于A1、C1，求△A1B1C1的面积.解 ∵α∥β，∴A1B1∥AB ，B1C1∥BC ，又因∠A1B1C1与∠ABC 同向.∴∠A1B1C1＝∠ABC.又∵cos ∠ABC ＝52＋82－722×5×8＝12，∴∠ABC ＝60°＝∠A1B1C1.又∵B1为EB 的中点，∴B1A1是△EAB 的中位线，∴B1A1＝12AB ＝52， 同理知B1C1为梯形BCDE 的中位线，∴B1C1＝12(BC ＋DE)＝5.则S △A1B1C1＝12A1B1·B1C1·sin 60°＝12·52·5·32＝258 3.故△A1B1C1的面积为258 3.，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点.(1)求三棱锥A —PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由.解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD.又因ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.因PD∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高.因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝⎛⎭⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，所以VA —PDE ＝13AD·S △PDE ＝13×2×4＝83.(2)取AC 中点M ，连接EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的 中点，所以EM ∥PA.又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，所以PA ∥平面EDM.所以AM ＝12AC ＝ 5. 即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.。
【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题 详解)中档题目强化练参数方程专项基础训练
参数方程1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________． 2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t 为参数)． (2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况： 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a2＝1(a >b >0)的参数方程是____________，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .(t 为参数)．1．(课本习题改编)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的离心率为________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.4．(课本习题改编)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________.题型一 参数方程与普通方程的互化例1 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．(2013·广东)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．题型二 参数方程的应用例2 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (2,2)，倾斜角α＝π3.(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|P A |·|PB |的值．思维升华 根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 2M |及中点坐标)．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，则|MN |的最小值为________．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·湖北)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以|AB |＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．3．经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22；②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22；③|AB |＝|t 2－t 1|；④|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. 失误与防范在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅要把其中的参数消去，还要注意其中的x ，y 的取值范围．也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的倾斜角为________．2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)化为普通方程为________________． 3．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．4．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______________．5．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点(m ，12)，则m ＝________.6．(2013·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.7．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.8．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝________.9．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.10．若直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝32，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．B 组 专项能力提升1．已知抛物线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t (t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线经过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r ＝________.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为________．6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α (α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________________．7．(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)C 1与C 2交点的极坐标为________；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，则a ，b 的值分别为________．答案基础知识自主学习 要点梳理1．任意一点 这条曲线上 参数 普通方程2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ夯基释疑1．－32 2.215 3.4 4.50° 5.M 1题型分类深度剖析 例1 ⎝⎛⎭⎫1，255解析 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255.跟踪训练1 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.例2 解 (1)由圆C 的参数方程可得其标准方程为x 2＋y 2＝16.因为直线l 过点P (2,2)，倾斜角α＝π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3，即⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入圆C ：x 2＋y 2＝16中，得(2＋12t )2＋(2＋32t )2＝16，t 2＋2(3＋1)t －8＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1t 2＝－8，即|P A |·|PB |＝8. 跟踪训练2 解 (1)x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16，并整理得t 2＋33t －9＝0.设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9. |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37.例312解析 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0.圆心到直线l 的距离d＝|2＋3|1＋3＝52，此时，直线与圆相离，所以|MN |的最小值为52－2＝12. 跟踪训练363解析 椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎨⎧|m |2＝b a 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63.练出高分 A 组 1．150°解析 由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°. 2．x －3y －5＝0，x ∈[2,77]解析 化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 3．3解析 椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则0＝3－a ，∴a ＝3.4.⎩⎨⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ0≤θ<π解析 由题意得圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝⎝⎛⎭⎫122，设圆与x 轴的另一交点为Q ，则Q (1,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则OP ＝OQ cos θ＝cos θ.∴⎩⎨⎧x ＝OP cos θ＝cos 2θ＝12＋12cos 2θ，y ＝OP sin θ＝cos θ·sin θ＝12sin 2θ0≤θ<π.5．±154解析 将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点(m ，12)代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.6．16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝|8－(－8)|＝16.7．2解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝⎛⎭⎫－p 2，±6p ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．8．±2解析 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2.9.32解析 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解． ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1. 方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32， 将⎝⎛⎭⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a ＝32. 10．32＋1解析 ρcos(θ－π4)＝32，∴ρcos θ＋ρsin θ＝6， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝6.由圆C 的参数方程知圆C 的圆心为C (0,0)，半径r ＝1.圆心C (0,0)到直线l 的距离为62＝3 2.∴d min ＝32＋1. B 组1. 2解析 抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y ＝x －2，即x －y －2＝0.圆ρ＝r 的圆心是极点、半径为r ，直线x －y －2＝0与该圆相切，则r ＝|0－0－2|2＝ 2. 2．2解析 将参数方程化为普通方程求解．将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0； 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．3．(1,1)解析 化参数方程为普通方程然后解方程组求解．C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．4.⎝⎛⎭⎫52，52 解析 化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求t 值．射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3. 当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．所以AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，52. 5.2105解析 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－2t ，y＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22 ＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.6．(－1,1)和(1,1)解析 ∵y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos α，y ＝1＋sin α得x 2＋(y －1)2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋(y －1)2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．7．(1)⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4 (2)－1,2解析 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.。
【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题一 高考中的导数应用问题文档强练 文 新人
专题一 高考中的导数应用问题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ， 由题意，得函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0<b <12.故选D.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20， 所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值X 围是__________． 答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上， 故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1].题型一 利用导数研究函数的单调性 例1设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值X 围．思维启迪 求出f ′(x )，分析函数的单调性，得出结论．解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0. 若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值X 围为(－∞，1]．思维升华 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )>0或f ′(x )<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．(2)若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，某某数c 的取值X 围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下： x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )↗ 极大值↘极小值↗所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值X 围是[11，＋∞)． 题型二 利用导数研究与不等式有关的问题 例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．思维启迪 (1)求f ′(x )，讨论参数t 求最小值； (2)分离a ，利用求最值得a 的X 围；(3)寻求所证不等式和题中函数f (x )的联系，充分利用(1)中所求最值． 解 (1)由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1et ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． (2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．(1)若f (x )≤g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a .若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立．若0<a <1，存在x 0∈(0，π2)，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意， 结合f (x )与g (x )的图象可知a ≤0显然不合题意， 综上可知，a ≥1.(2)证明 当a 取(1)中的最小值1时，g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)单调递减．所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，即x －sin x －16x 3≤0(x ≥0)，即x －sin x ≤16x 3(x ≥0)．所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.题型三 利用导数研究方程解或图象交点问题 例3已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值X 围． 思维启迪 (1)通过讨论a 确定F (x )的符号；(2)将方程f (x )＝g (x )变形为a ＝2ln x x 2，研究φ(x )＝2ln xx 2图象的大致形状．解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)． ∴φ(x )min ＝φ(e)， 如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有 φ(x )min ＝ln 22， 故a 的取值X 围为ln 22≤a <1e.思维升华 对于可转化为a ＝f (x )解的个数确定参数a 的X 围问题，都可以通过f (x )的单调性、极值确定f (x )的大致形状，进而求a 的X 围．已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0)．(1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值X 围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．解 (1)f (x )＝|x －2|＋b ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2).①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋b x .由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2.②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.综合①，②得b 的取值X 围是{b |b ≥2}． (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x (0<x <2a)，ax －2＋ln x －1x (x ≥2a).当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2.∵0<x <2a ，∴1x >a2.则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0.即g ′(x )>0，∴g (x )在(0，2a )上是递增函数．当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ，g ′(x )＝a ＋1x ＋1x2>0.∴g (x )在(2a ，＋∞)上是递增函数．又因为函数g (x )在x ＝2a 有意义，∴g (x )在(0，＋∞)上是递增函数． ∵g (2a )＝ln 2a －a2，而a ≥2，∴ln 2a ≤0，则g (2a )<0.∵a ≥2，∴g (1)＝a －3. 当a ≥3时，g (1)＝a －3≥0， ∴g (x )＝0在(0,1]上解的个数为1. 当2≤a ≤3时，g (1)＝a －3<0，∴g (x )＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋ (b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43.2．已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)某某数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1. 因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3， 所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，即k <x ＋x ln x x －1对任意x >1恒成立．令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)． 当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值为3. 3．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值X 围． 解 (1)若a ＝0，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)． ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求．综上可得a 的取值X 围为(－∞，12]． 4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)．令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13， 故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值． 故公共点只有一个． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 如图，求导h (x )可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图， h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 5．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f ′(x )是偶函数；③f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝4ln x －m ，若存在x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，某某数m 的取值X 围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，(*)由f ′(x )是偶函数得b ＝0，①又f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，∴f ′(0)＝c ＝－1，②将①②代入(*)得a ＝13， ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)由已知得，若存在x ∈[1，e]，使4ln x －m <x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >(4ln x －x 2＋1)min .设M (x )＝4ln x －x 2＋1，x ∈[1，e]，则M ′(x )＝4x －2x ＝4－2x 2x， 令M ′(x )＝0，∵x ∈[1，e]，∴x ＝ 2. 当2<x ≤e 时，M ′(x )<0，∴M (x )在(2，e)上为减函数；当1≤x ≤2时，M ′(x )>0，∴M (x )在[1，2]上为增函数，∴M (x )在[1，e]上有最大值且在x ＝2处取到．又M (1)＝0，M (e)＝5－e 2<0，∴M (x )的最小值为5－e 2.∴m >5－e 2.6．(2013·某某)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －xx ＋2a ； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a (x ＋2a )2<0， f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0， f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a4＋2a ； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a(x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空． 因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1， 即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，12.。
【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)6.4 数列求和文档专练 文
§6.4 数列求和1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解.例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2.常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案 A解析 利用裂项相消法求和.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A.2n ＋n 2－1B.2n ＋1＋n 2－1 C.2n ＋1＋n 2－2D.2n ＋n 2－2 答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A.200B.－200C.400D.－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5.3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________. 答案 4－n ＋42n解析 设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－(12)n －1]1－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n .题型一 分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解.解 由已知得，数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n ) ＝n (2＋3n －1)2＋2(1－2n )1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋122＋…＋12n )]n 个＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. 若q ≠1，将上式两边同乘以q 有 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{}对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×的前n 项和的方法.这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练. (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用X 围.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立.综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪 第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和. 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列.∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列. (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2， b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2012·某某)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .S n ＝－12n 2＋kn 及S n 最大值为8S n 是n 的二次函数 n ＝k 时(S n )max ＝S k ＝8(根据S n 的结构特征确定k 值) k ＝4，S n ＝－12n 2＋4n利用a n 、S n 的关系 a n ＝92－n9－2a n 2n ＝n2n －1根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1①①式两边同乘以22T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②错位相减T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.规X 解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 失误与防X1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用X 围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5nn ＋1 答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 2.已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A.20B.17C.19D.21答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A.0B.100C.－100D.10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.故选B.4.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A.31B.120C.130D.185答案 C解析 a 1＋...＋a k ＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130.5.数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A.－10B.－9C.10D.9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.二、填空题6.数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________. 答案 n (n ＋1)2＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18， 6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n ) ＝n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . 7.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________. 答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 8.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830. 三、解答题9.已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{}满足＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{}的前n 项和S n .解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N *)， 又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *).(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)， 所以＝(3n －2)×(14)n (n ∈N *). 所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ， 于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. 两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N *). 10.若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)若S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ，所以S 1·S 4＝S 22.所以a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.所以2a 1d ＝d 2.因为公差d ≠0.所以d ＝2a 1.所以q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4. (2)因为S 2＝4，所以2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，所以a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.(3)因为b n ＝3(2n －1)(2n ＋1)＝32(12n －1－12n ＋1)， 所以T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32.要使T n <m 20对所有n ∈N *都成立， 则有m 20≥32，即m ≥30. 因为m ∈N *，所以m 的最小值为30.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A.2 008B.2 010C.1D.0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2.(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n 的三边长分别为a n 、b n 、，△A n B n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝＋a n 2，＋1＝b n ＋a n 2，则( ) A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列答案 B解析 因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13； 故S 1＝ 3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1，S 2＝ 3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a 12＝1312a 1， c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1， S 3＝ 3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3.(2013·某某)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则： (1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116(2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1， ∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n . 当n 为偶数时，a n －1＝－12n ， 当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ， ∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116. 根据以上{a n }的关系式及递推式可求. a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…， ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. (1)解 当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ，则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2，∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2， 当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝14＋14(1－12n )1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1， 当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0， ∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12. 5.直线l n ：y ＝x －2n 与圆：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意，知圆的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ， 半径r n ＝2a n ＋n ，所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1). 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1) ＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1). 而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－n 2＋23(2n －1)(n 为偶数)，n 2＋n 2＋13(2n －2)(n 为奇数).。
【步步高】(广东专用)2015高考数学大一轮复习 1.1 集合的概念与运算导学案 理
集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．设全集为U，则∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C ．M ＝{4,5}，N ＝{5,4}D ．M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)} 答案 C2．(2009·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－5<x <5} B ．{x |－3<x <5} C ．{x |－5<x ≤5} D ．{x |－3<x ≤5} 答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x的图象有两个交点，所以A ∩B 包含两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2010·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)． 又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0. ∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．(2011·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一 集合的基本概念例1 (2011·沈阳模拟)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值． 解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MN D ．M ∈N解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．答案 A解析 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R}＝{x |x ≥1}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R}＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R}，则下列关系中成立的是( )A ．PQ B ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ 答案 A解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0. ∴Q ＝{m |－1<m ≤0}． ∴PQ .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 (2011·阜阳模拟)已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}． (2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3.∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用例 (12分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； [2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12. [4分]故所求集合为{0，13，－12}． [6分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； [8分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[10分]故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}． [12分] 【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x}，{x |y ＝2x}，{(x ，y )|y ＝2x}表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，可以利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅的情况，然后取补集．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．8答案 B解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．2．(2011·杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．6答案 B解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.3．(2010·北京)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M等于( ) A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3}答案 B解析由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．4．(2010·天津)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( )A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}答案 C解析由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.5．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}答案 C解析 题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为 {x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·绍兴模拟)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是________．答案 4解析 由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}． 7．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}．8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____. 答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·烟台模拟)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B .解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0} ＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分)如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R.(9分)A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(12分)10．(12分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时， 若B ⊆A ，如图， 则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，(5分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(7分)当a >0时，如图，若B ⊆A ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，(9分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(11分)综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(12分)11．(14分)(2011·岳阳模拟)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解 由x －5x ＋1≤0， 所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分) (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分) 所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分) (2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，(12分)所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8. 此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.(14分)。
2015步步高理科数学压轴题目突破练
压轴题目突破练——平面解析几何A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)答案 C解析 直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π4＋π12，即⎝⎛⎭⎫π6，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3). 2.若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是 ( )A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]答案 A解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为|4×3－3×(－5)－2|42＋32＝5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y ＝±3xB.y ＝±33xC.y ＝±2xD.y ＝±22x答案 A解析 设点P (x 0，y 0).依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24； ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3， 因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ＝±3x .4.已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B.y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1D.y 23－x 22＝1 答案 C解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2aa 2＋b2＝455，∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C.5.已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53B.23C.23D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53.二、填空题6．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为________，渐近线方程为________． 答案 x 24－y 232＝1 y ＝±22x解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝4，即a ＝2，e ＝ca ＝3，则c ＝6，b ＝42，所以双曲线的标准方程为x 24－y 232＝1，渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x .7.若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. 答案 2解析 设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.8.已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________. 答案 2 3解析 由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB 为直径的圆的半径为r ，则|AB |＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－(r －1)2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3. 三、解答题9.已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的轨迹方程；(2)是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由． 解 (1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点， 长半轴长为2的椭圆， 故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)存在△AOB 面积的最大值．因为直线l 过点E (－1,0)，可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1.整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. 由Δ＝(2m )2＋12(m 2＋4)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4，y 2＝m －2m 2＋3m 2＋4.则|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4.因为S △AOB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3.设g (t )＝t ＋1t，t ＝m 2＋3，t ≥ 3.则g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数．所以g (t )≥433.所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时取等号， 即(S △AOB )max ＝32. 所以存在△AOB 面积的最大值，S △AOB 的最大值为32. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.1B.2 2C.7D.3答案 C解析 如图所示， 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长， MQ 为圆M 的半径，长度为1， |PQ |＝|PM |2－|MQ |2 ＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7.2.在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A.(－2，－9)B.(0，－5)C.(2，－9)D.(1，－6)答案 A解析 当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1.由题意得6(a －2)2＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9， 顶点坐标为(－2，－9).3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________. 答案63解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a2， 代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63. 4.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则|AF |＋4|BF |的最小值为________. 答案 92解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋4|BF |＝x 1＋p 2＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据基本不等式|AF |＋4|BF |＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.5.已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且满足OM →·ON →＝－3. (1)求抛物线Ω的方程；(2)若直线y ＝x 与抛物线Ω交于A ，B 两点，在抛物线Ω上是否存在异于A ，B 的点C ，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)依题意，设抛物线Ω的方程为x 2＝2py (p >0)， 则F (0，p 2)，由直线l 的斜率存在，设为k ， 得l 的方程为y ＝kx ＋p2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p2，消去y 并整理， 得x 2－2pkx －p 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－p 2， 又y 1y 2＝(kx 1＋p 2)(kx 2＋p2)＝k 2x 1x 2＋12kp (x 1＋x 2)＋p 24＝k 2·(－p 2)＋12kp ·2kp ＋p 24＝p 24.所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－p 2＋p 24＝－3，因为p >0，解得p ＝2，故所求抛物线Ω的方程为x 2＝4y .(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ，可求得A (0,0)，B (4,4)，假设抛物线Ω上存在异于A ，B 的点C ，且设C 的坐标为(t ，t 24)(t ≠0，t ≠4)，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线，令圆心为E (a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧|EA |＝|EB |，|EA |＝|EC |，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝(a －4)2＋(b －4)2，a 2＋b 2＝(a －t )2＋(b －t 24)2， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，4a ＋tb ＝2t ＋t 38，解得⎩⎨⎧a ＝－t 2＋4t 8，b ＝t 2＋4t ＋328.①因为抛物线Ω在点C 处的切线斜率k ′＝y ′|x ＝t ＝t2(t ≠0，t ≠4)，又该切线与EC 垂直，所以b －t 24a －t ·t2＝－1，即2a ＋bt －2t －t 34＝0.②将①代入②得，2(－t 2＋4t 8)＋t ·t 2＋4t ＋328－2t －t 34＝0，即t 3－2t 2－8t ＝0，因为t ≠0，t ≠4，解得t ＝－2. 故存在点C 且坐标为(－2,1).。
【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套课件：专题一 第1讲 集合与常用逻辑用语
解析
因为 (x ， y ， z) 和 (z ， w ， x) 都在 S 中，不妨
令x ＝2，y＝3，z＝4，w＝1，
则 (y ， z ， w) ＝ (3,4,1)∈S ， (x ， y ， w) ＝ (2,3,1)∈S ，
故 (y ， z ， w)∉S ， (x ， y ， w)∉S 的说法均错误，可 以排除选项A、C、D，故选B. 答案 B
热点三 例3
逻辑联结词、量词
(1) 已知命题 p ： ∃ x∈R ， x － 2>lg x ， 命题 q ： )
思维启迪
∀x∈R，sin x<x，则(
A.命题 p∨q是假命题
B.命题 p∧q是真命题 C.命题 p∧(綈q)是真命题
先判断命题 p 、 q 的真假，
再利用真值表判断含逻辑联
结词命题的真假；
D.命题 p∨(綈q)是假命题
解析
对于命题p，取x＝10，则有10－2>lg 10，即
8>1，故命题p为真命题；
π π 对于命题q，取x＝－ ，则sin x＝sin(－ )＝－1， 2 2
此时sin x>x，故命题q为假命题，
因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，命题
p∧( 綈 q) 是真命题，命题 p∨( 綈 q) 是真命题，故选
C．5 解析
D．9
－2，－1，0，1，2 x－y∈
.
热点二 例2
四种命题与充要条件
(1)(2014· 天 津 ) 设 a ， b∈R ， 则 “a>b” 是 )
思维启迪 要明确四种命题 的真假关系；
“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)4.6 正弦定理、余弦定理及解
§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sinB，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值X 围是(3，2)．( √ )(3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2．(2013·某某)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3．(2013·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为() A ．0 B ．1 C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的X 围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值． 解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规X ． 规X 解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响．方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinB ·sinC ·cos A ，可以进行化简或证明． 3．合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防X1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的X 围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150° 答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0， 所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3．(2012·某某)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12， 依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.17B.15C.152D ．3 答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0，即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152. 二、填空题6．(2013·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________.答案 2π3 解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3. 7．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________. 答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4， 根据正弦定理，有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B， 所以AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B＝50×2212＝50 2. 三、解答题9．(2013·)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A， ∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63 则c 2－8c ＋15＝0.∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾． ∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·某某)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值X 围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B .因为0<B <π，所以sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝3，即B ＝π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因为a ＋c ＝1，cos B ＝12， 所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22 ＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12. 又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1. B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a等于( )A ．23B ．22C.3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3．(2013·某某)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.答案 63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC . 在Rt △ACM 中，有CM AM＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ， 所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )． 化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1.所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2. 再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. 4．(2012·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2. (2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝2，A ＝π4， 得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. 5．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。
【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)7.4 合情推理与演绎推理文档
§7.4合情推理与演绎推理1.推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)3.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结构①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.“三段论”的表示①大前提——M是P.②小前提——S是M.③结论——S是P.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( × ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( √ )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N ＋).( × ) (6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a＝6ba(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6.( √ ) 2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A.28B.32C.33D.27 答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， 推出x －20＝12，所以x ＝32.3.观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的后四位数字为( ) A.3125B.5625C.0625D.8125 答案 D解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 011＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125，故选D. 4.(2013·某某)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一 归纳推理例1 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.思维启迪 解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，∵f (x 1)＋f (x 2)＝131x ＋3＋132x ＋3＝(31x ＋3)＋(32x ＋3)(31x ＋3)(32x ＋3)＝31x ＋32x ＋23321x x +＋3(31x ＋32x )＋3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x )＋2×3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x ＋23)＝33.思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的X 围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.(1)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为________________________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有______.答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).题型二 类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维启迪 等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. 答案 n －m d n c m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －man －m ，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.(1)给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A.0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________. 答案 (1)B (2)a 2＋b 2＋c 22解析 (1)①②错误，③正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三 演绎推理例3已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f (x )＝－a a x ＋a (a >0且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称.(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )， 它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y ).由已知得y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称.(2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数. 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1). 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013·某某)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2， 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.思维启迪 从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N (n ，k )，然后求N (10,24).解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000. 答案 1 000(2)(5分)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________. 思维启迪 直接类比可得. 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案x 0x a 2－y 0yb 2＝1 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)].相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2).类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为________. 思维启迪 根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证.解析 类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)，…，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)].以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2) ＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3). 答案14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.方法与技巧1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失误与防X1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规X性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2012·某某)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于()A.nB.n＋1C.n－1D.n2答案 A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1).又∵1*1=1，∴n*1＝n3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提.5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{}是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋nB.d n ＝c 1·c 2·…·nC.d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD.d n ＝n c 1·c 2·…· 答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列； 若{}是等比数列，则c 1·c 2·…·＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 二、填空题6.仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2， 易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7.若函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，且f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则f 3(x )＝________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________.答案 x 7x ＋8x (2n －1)x ＋2n解析 ∵f 1(x )＝x x ＋2，f n (x )＝f [f n －1(x )](n ≥2)， ∴f 2(x )＝f (x x ＋2)＝xx ＋2(x x ＋2＋2)＝x 3x ＋4. f 3(x )＝f [f 2(x )]＝f (x 3x ＋4)＝x3x ＋4(x 3x ＋4＋2)＝x 7x ＋8. 由所求等式知，分子都是x ，分母中常数项为2n ，x 的系数比常数项少1，为2n －1，故f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n. 8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________.答案 BE EA ＝S △BCD S △ACD解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等，故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCD S △ACD. 三、解答题9.已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律.解 (1)由于a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4). (2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解 如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”.其中类比结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.2.设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A 对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A.自然数集B.整数集C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________.答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域. 4.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *).证明： (1)数列{S n n}是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故{S n n}是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2).(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)5.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心； (2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013). 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1). (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)， 所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2， f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。
【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)9.6 双曲线文档专练 文 新
§9.6双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质X围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).( √ ) 2.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5B.5C.2D.2 答案 A解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为bc a 2＋b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝ 5.3.(2013·某某)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455 答案 C解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y ＝±12x 的距离d ＝25＝255.4.(2012·某某)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.5.(2012·某某)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________. 答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 2|＝x (x >0)，|PF 1|＝2＋x ，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1， 所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3.题型一 双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________. (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.思维启迪 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a 、b 、c ；根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件)答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 24＝1(3)x 2－y28＝1(x ≤－1)解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.(3)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支.(1)(2012·某某)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 (2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 答案 (1)A (2)A解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.① 又双曲线渐近线方程为y ＝±bax ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .② 由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.题型二 双曲线的几何性质例2 (1)(2013·某某)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62(2)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( ) A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.[－74，＋∞)D.[74，＋∞)思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率e ，可以求出a ，c 的关系式，进而求出e . (2)在圆锥曲线中求某一量的值或X 围，一定要注意圆锥曲线本身的x ，y 的取值X 围. 答案 (1)D (2)B解析 (1)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.(2)由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )，∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.思维升华 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的X 围问题.(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12x D.y ＝±x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.2D. 5答案 (1)C (2)C解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)如图，∵FB →＝2F A →， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2.题型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，某某数k 的取值X 围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，某某数k 的值. 思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解.解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值X 围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2). (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值X 围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值X 围.解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点.(3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，21－3k 2).设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值X 围为(－∞，－22).忽视“判别式”致误典例：(12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误. 规X 解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0).①[6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点.[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.(2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程.(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.方法与技巧1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程. 失误与防X1.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1).3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.(2013·)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±ba x ，y ＝±2x .2．(2013·某某)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 答案 D解析 双曲线C 1、C 2的焦距均为sin 2θ＋cos 2θ＝1.3.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2B.3C.2D.3 答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A.x 2＋y 2－10x ＋9＝0B.x 2＋y 2－10x －9＝0C.x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D.x 2＋y 2＋10x －9＝0答案 A解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4， 所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆.即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.5.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值X 围是( )A.(1，＋∞)B.(1,2)C.(1,1＋2)D.(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)， 因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0， 整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.二、填空题6.已知双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，且双曲线过点M (4，3)，则双曲线的方程为________.答案 x 24－y 2＝1 解析 ∵双曲线过点M (4，3)，M 在y ＝x 2下方， ∴双曲线焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，又b a ＝12， 因此设a ＝2k ，b ＝k (k >0)，∴x 24k 2－y 2k 2＝1， 代入M (4，3)解得k ＝1，a ＝2，b ＝1，∴方程为x 24－y 2＝1. 7.已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率是3，则n ＝________. 答案 4解析 根据双曲线方程得n (12－n )>0，∴0<n <12，∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12，则双曲线的离心率e ＝c a ＝12n＝3，∴n ＝4. 8.(2013·某某)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________.答案 3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 三、解答题9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积. (1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上.(3)解 21MF F S ＝12×43×|m |＝6.10.直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)某某数k 的取值X 围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0. 解得k 的取值X 围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0).则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)， 可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2B. 3C.3＋12D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c， ∴b a ·(－b c)＝－1， 整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 2.(2013·某某)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角X 围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A.4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋1 答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ， △MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D. 4.(2013·某某)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________.答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53. 6.已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积.解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 且满足⎩⎨⎧ a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1. (2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0).将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去).∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33). 当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)， 即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1， 得2x 2＋15x ＋25＝0.所以x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴. ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。
【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)9.1 直线的方程文档专练 文
9.1 直线的方程1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的X 围为[0°，180°). (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2.直线方程的五种形式名称 方程 适用X 围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用3.过P 1(x 11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.4.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(6)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示.( × ) (7)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示.( × )(8)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ )2.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________________________________. 答案 45°或135°解析 由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.4.直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点.则直线l 的倾斜角的取值X 围为____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 5.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 答案 x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点.设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值X 围分别为________，________.思维启迪 本题考查斜率求解公式以及k 与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论. 答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则 k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时， α＝0，k >0时，α为锐角. 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值X 围为α∈[0，π4]∪[3π4，π).思维升华 直线倾斜角的X 围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的X 围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0).(1)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B.－13C.－32D.23(2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的X 围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 答案 (1)B (2)B解析 (1)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.(2)由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.思维启迪 本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍. 解 (1)设直线l 在x 、y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用例3已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 思维启迪 先求出AB 所在的直线方程，再求出A ，B 两点的坐标， 表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值. 解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1 (a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k )≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立.即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值X 围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)解 由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k ).依题意得⎩⎨⎧－1＋2kk <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(5分)与点M (4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________. 思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解. 解析 当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，∵点M (4,3)与所求直线的距离为5， ∴|4＋3－a |2＝5，∴a ＝7±5 2.∴所求直线方程为x ＋y －7－5 2 ＝0或x ＋y －7＋52＝0.当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. 同理可得|4k －3|1＋k 2＝5，∴k ＝－43.∴所求直线方程为y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0. 答案 x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0 温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有 (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况； (2)选用截距式时，忽视截距为零的情况； (3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值X 围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2.求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割， 牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法. 失误与防X1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的X 围；二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ) A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.2.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1 答案 D解析 由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1.3.已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A.3B.－3C.0D.1＋ 3 答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.4.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合.5.设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的X 围是( )A.[0，π)B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4答案 C解析 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的X 围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C.二、填空题6.直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________.答案 －23解析 设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)，∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2，∴P (－2,1)，∴k ＝1＋1－2－1＝－23. 7.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值X 围是________________.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－a a ＋1<0即可， 解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值X 围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 8.若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________. 答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0. 根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号.即ab 的最小值为16.三、解答题9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程. 解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3).又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1.直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( )A.－13B.－3C.13D.3 答案 A解析 结合图形可知选A.2.直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3B.⎝⎛⎭⎫12，3C.⎝⎛⎭⎫12，－3D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立，∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3，定点为(－12，－3). 3.经过点P (1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A.x ＋2y －6＝0B.2x ＋y －6＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0答案 B解析 方法一 直线过点P (1,4)，代入选项，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.方法二 设所求直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 将(1,4)代入得1a ＋4b＝1， a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4a b)≥9， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y 6＝1，即2x ＋y －6＝0. 4.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________. 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.5.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值X 围是________. 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小 值和最大值.∴b 的取值X 围是[－2,2].6.直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点.(1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程.解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负.设l ：y －4＝k (x －1)(k <0).令y ＝0，可得A (1－4k，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k ). (1)|P A |·|PB |＝ (4k)2＋16·1＋k 2 ＝－4k (1＋k 2)＝－4(1k＋k )≥8.(注意k <0) ∴当且仅当1k＝k 且k <0即k ＝－1时， |P A |·|PB |取最小值.这时l 的方程为x ＋y －5＝0.(2)|OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k)≥9. ∴当且仅当k ＝4k且k <0，即k ＝－2时， |OA |＋|OB |取最小值.这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.。
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专题一 高考中的导数应用问题1． 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)答案 D解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2． 已知函数f (x )＝a sin 2x －13sin 3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 的值为( ) A ．1B ．0C.12D ．－12答案 A解析 ∵f ′(x )＝2a cos 2x －cos 3x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2a cos 23π－cos π＝0， ∴a ＝1，经验证适合题意．3． 函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20， 所以t 的最小值是20.4． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x ·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.5． 已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________． 答案 [－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上， 故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1].题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝x 2e－ax，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程． (2)讨论f (x )的单调性．思维启迪 (1)先求切点和斜率，再求切线方程； (2)先求f ′(x )，然后分a ＝0，a >0，a <0三种情况求解．解 (1)因为当a ＝1时，f (x )＝x 2e －x ，f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝(2x －x 2)e －x ，所以f (－1)＝e ，f ′(－1)＝－3e.从而y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －e ＝－3e(x ＋1)，即y ＝－3e x －2e. (2)f ′(x )＝2x e－ax－ax 2e－ax＝(2x －ax 2)e－ax.①当a ＝0时，若x <0，则f ′(x )<0，若x >0，则f ′(x )>0.所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，由2x －ax 2<0，解得x <0或x >2a ，由2x －ax 2>0，解得0<x <2a.所以当a >0时，函数f (x )在区间(－∞，0)，(2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，2a )上为增函数．③当a <0时，由2x －ax 2<0，解得2a <x <0，由2x －ax 2>0，解得x <2a或x >0.所以，当a <0时，函数f (x )在区间(－∞，2a )，(0，＋∞)上为增函数，在区间(2a ，0)上为减函数．综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f (x )在(－∞，0)，(2a ，＋∞)上单调递减，在(0，2a )上单调递增；当a <0时，f (x )在(2a ，0)上单调递减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上单调递增．思维升华 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )>0或f ′(x )<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．(2)若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下： 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 题型二 利用导数研究与不等式有关的问题 例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．思维启迪 (1)求f ′(x )，讨论参数t 求最小值； (2)分离a ，利用求最值得a 的范围；(3)寻求所证不等式和题中函数f (x )的联系，充分利用(1)中所求最值． 解 (1)由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1et ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． (2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．(1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a .若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立．若0<a <1，存在x 0∈(0，π2)，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意， 结合f (x )与g (x )的图象可知a ≤0显然不合题意， 综上可知，a ≥1.(2)证明 当a 取(1)中的最小值1时，g (x )－f (x )＝x －sin x . 设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)单调递减．所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，即x －sin x －16x 3≤0(x ≥0)，即x －sin x ≤16x 3(x ≥0)．所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.题型三 利用导数研究方程解或图象交点问题 例3 已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围． 思维启迪 (1)通过讨论a 确定F (x )的符号；(2)将方程f (x )＝g (x )变形为a ＝2ln x x 2，研究φ(x )＝2ln xx 2图象的大致形状．解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． ②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)．∴φ(x )min ＝φ(e)， 如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有 φ(x )min ＝ln 22， 故a 的取值范围为ln 22≤a <1e.思维升华 对于可转化为a ＝f (x )解的个数确定参数a 的范围问题，都可以通过f (x )的单调性、极值确定f (x )的大致形状，进而求a 的范围．已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0)．(1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值范围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．解 (1)f (x )＝|x －2|＋b ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2). ①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋b x .由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2.②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx ，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.综合①，②得b 的取值范围是{b |b ≥2}． (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x (0<x <2a )，ax －2＋ln x －1x (x ≥2a).当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2.∵0<x <2a ，∴1x >a2.则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0.即g ′(x )>0，∴g (x )在(0，2a )上是递增函数．当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ，g ′(x )＝a ＋1x ＋1x2>0.∴g (x )在(2a ，＋∞)上是递增函数．又因为函数g (x )在x ＝2a 有意义，∴g (x )在(0，＋∞)上是递增函数． ∵g (2a )＝ln 2a －a2，而a ≥2，∴ln 2a ≤0，则g (2a )<0.∵a ≥2，∴g (1)＝a －3. 当a ≥3时，g (1)＝a －3≥0， ∴g (x )＝0在(0,1]上解的个数为1. 当2≤a ≤3时，g (1)＝a －3<0，∴g (x )＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.1． 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋ (b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43.2． 已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1. 因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3， 所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，即k <x ＋x ln x x －1对任意x >1恒成立．令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)． 当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，当x >x 0时，h (x )>0， 即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值为3. 3． 设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)若a ＝0，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立， 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)．∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x(e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求． 综上可得a 的取值范围为(－∞，12]．4． 已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)． 令y ＝x 3＋x 2－x －2， 求导得y ′＝3x 2＋2x －1， 令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值．故公共点只有一个．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 如图，求导h (x )可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图， h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 5． 定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f ′(x )是偶函数；③f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝4ln x －m ，若存在x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，求实数m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，(*)由f ′(x )是偶函数得b ＝0，①又f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，∴f ′(0)＝c ＝－1，②将①②代入(*)得a ＝13， ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)由已知得，若存在x ∈[1，e]，使4ln x －m <x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >(4ln x －x 2＋1)min .设M (x )＝4ln x －x 2＋1，x ∈[1，e]，则M ′(x )＝4x －2x ＝4－2x 2x， 令M ′(x )＝0，∵x ∈[1，e]，∴x ＝ 2. 当2<x ≤e 时，M ′(x )<0，∴M (x )在(2，e)上为减函数；当1≤x ≤2时，M ′(x )>0，∴M (x )在[1，2]上为增函数，∴M (x )在[1，e]上有最大值且在x ＝2处取到．又M (1)＝0，M (e)＝5－e 2<0，∴M (x )的最小值为5－e 2.∴m >5－e 2.6． (2013·湖南)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －x x ＋2a； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a (x ＋2a )2<0， f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0， f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a， 故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a 4＋2a ； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a (x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1.亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝⎛⎭⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空． 因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1， 即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.。