力学基本模型——轻绳、轻杆和轻弹簧综合练习

年级高一学科物理编稿老师张晓春课程标题力学基本模型——轻绳、轻杆和轻弹簧一校黄楠二校林卉审核薛海燕一、考点突破绳、杆和弹簧是力学部分常见的三种模型，从它们自身特点来讲，其力学特点都非常明显，所以这三种模型的相关试题备受历次考试的关注，特别是弹簧模型的相关试题，更是每年高考必考的。

以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒等，此类命题几乎每年的高考试卷均有所见，应引起足够重视。

高考考纲中，对轻质弹簧的力学特性的要求为B级，而对其能量特征的要求为A级。

本讲将重点针对弹簧模型进行研究。

二、重难点提示1. 掌握三种模型的特点和区别。

2. 掌握三种模型力的特点，做好这几种模型所对应情景的过程分析。

3. 归纳常见题型的解题方法和步骤。

在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，现将它们的特点归类，供同学们学习时参考。

1. 轻绳（或细绳）中学物理中的绳（或线），是理想化的模型，具有以下几个特征：①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。

由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等；②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。

由此特点可知，绳（或线）与其他物体相互间的作用力的方向总是沿着绳子；③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳（或线）的长度不变。

由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。

2. 轻杆轻杆也是一种理想化的模型，具有以下几个特征：①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。

由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等；②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其受力的方向不一定沿着杆的方向；③轻杆不能伸长或压缩。

3. 轻弹簧中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型，具有以下几个特征：①轻：即轻弹簧的质量和重力可以视为等于零。

由此特点可知，同一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等；②轻弹簧既能承受拉力也能承受压力，其受力方向与弹簧的形变方向相反； ③轻弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。

当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时弹簧的形变相对应。

在题目中一般应从弹簧的形变入手分析，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。

④因轻弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，则在瞬间内的形变量可以认为不变。

因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不发生突变。

能力提升类例1 如图所示，斜面与水平面间的夹角θ=30，物体A 和B 的质量分别为m kg A =10、m kg B =5。

两者之间用质量可以不计的细绳相连。

求：（1）如A 和B 对斜面的动摩擦因数分别为μA =06.，μB =02.时，两物体的加速度各为多少？绳的张力为多少？（2）如果把A 和B 位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少？ （3）如果斜面光滑，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少？ 一点通：解答该题的关键在于对物体进行受力分析，连接物体的绳子中是否存在拉力是分析的难点所在，所以首先必须对物体的运动过程进行分析，判断A 、B 两物体的运动快慢，当A 运动的速度大于B 时，则两物体有共同的速度，绳子绷紧且有张力，反之则绳子松弛，绳子中的张力为0。

解答：（1）设绳子的张力为F T ，物体A 和B 沿斜面下滑的加速度分别为a A 和a B ，根据牛顿第二定律：对于A 有m g F m g m a A T A A A A sin cos θμθ--= ① 对于B 有m g F m g m a B T B B B B sin cos θμθ+-= ②设F T =0，即假设绳子中没有张力，联立①②式求解得g a a A B B A cos ()θμμ-=-，因μμA B >，故a a B A >说明物体B 运动得比物体A 快，绳松弛，所以F T =0的假设成立。

故有，a g m s A A =-=-(sin cos )./θμθ01962，因与实际不符，则A 静止。

a g m s B B =-=(sin cos )./θμθ3272（2）如B 与A 互换位置，则g a a A B B A cos ()θμμ-=->0，即B 物体运动得比A 快，所以A 、B之间有拉力且共速，用整体法可得m g m g m g m g m m a A B A A B B A B sin sin cos cos ()θθμθμθ+--=+代入数据求出a m s =0962./，用隔离法对B 进行分析，可得：m g m g F m a B B B T B sin cos θμθ--=，代入数据求出F N T =115.（3）如斜面光滑不计摩擦，则A 和B 沿斜面的加速度均为2，故两物体间无作用力。

例2 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有一质量为m 的小球，下列关于杆对球的作用力F 的判断中，正确的是（ ）A. 小车静止时，F mg =sin θ，方向沿杆向上B. 小车静止时，F mg =cos θ，方向垂直杆向上C. 小车向右以加速度a 运动时，一定有F ma =/sin θD. 小车向左以加速度a 运动时，F ma mg =+()()22，方向 斜向左上方，与竖直方向的夹角为α=arctan(/)a g答案：D一点通：对物体进行受力分析的过程中，确定杆的弹力的方向是难点，它可以是沿杆的方向，也可以不沿杆方向，所以首先计算出弹力沿着杆的方向时所对应的临界加速度，再来比较运动时间和临界加速度的关系。

解答：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向为竖直向上，且大小等于球的重力mg 。

小车向右以加速度a 运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为α，如下图所示，根据牛顿第二定律有：F ma sin α=，F mg cos α=，两式相除得：tan /α=a g 。

只有当球的加速度a g =tan θ且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有F ma =/sin θ。

小车向左以加速度a 运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg 和杆对球的作用力F 的合力大小为ma ，方向水平向左。

根据力的合成知F ma mg =+()()22，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为：α=arctan(/)a g 。

例3 如图所示，a 中的A 、B 用轻绳相连系于天花板上；b 中的C 、D 用轻杆相连置于水平面上；c 中的E 、F 用轻弹簧相连置于水平面上；d 中的G 、H 用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。

现在剪断a 中系于天花板的绳；在b 、c 中撤掉支持面；剪断d 中系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大？一点通：解此类问题的关键是判断轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力是发生突变还是发生渐变。

只要抓住绳、杆、弹簧的特点就可以准确解题。

解答：在a 、b 两种情景中，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，A 、B 、C 、D 均做自由落体运动，故有A B C D a a a a g ====。

在c 情景中，解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能可发生突变，仍为原来的值（这是由于弹簧恢复原状需要时间），E 受到的合力仍为零，F 受到的合力为2mg ，故0E a =，2F a g =。

在d 情景中，解除外界约束的瞬间，G 受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为2mg ，而系于G 、H 之间的弹簧的弹力不可能发生突变，仍为原来的值，则H 受到的G H综合运用类例1 用如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上运动时的加速度。

该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装了一个压力传感器a 和b 。

用两根相同的轻弹簧夹着一个质量m ＝2.0kg 的滑块，滑块可无摩擦滑动；两弹簧的另一端分别压在a 、b 上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。

当弹簧作用在传感器上的力为压力时，示数为正；当弹簧作用在传感器上的力为拉力时，示数为负。

现将装置沿汽车运动方向固定在汽车上。

汽车静止时，a 、b 的示数均为10N （取g ＝10m/s 2）。

⑴若传感器b 的示数为14N ，a 的示数应该是多少？⑵当汽车以什么样的加速度运动时，传感器b 的示数为零？ ⑶若传感器b 的示数为－5N ，汽车的加速度大小和方向如何？一点通：该题以压力传感器为栽体，考查涉及到弹簧弹力的牛顿运动定律的计算。

解答：⑴由题意知：F a0＝F b0＝kx 0＝10N ， F b ＝k （x 0＋Δx ）＝14N 解之得：ΔF b ＝kΔx ＝4N 代入得：F a ＝k （x 0－Δx ）＝10N －4N ＝6N⑵传感器b 的示数为零时，ΔF b ′＝10N 则F a ′＝F a0＋ΔF b ′＝10N ＋10N ＝20N 对m 应用牛顿第二定律得F a ′＝m a得a ＝.220=m F m/s 2＝10m/s 2 加速度的方向向左。

⑶若当F b ′＝ －5N 时，ΔF b ″＝15N则F a ″＝F a0＋ΔF b ″＝10N ＋15N ＝25N m 受到的合力大小为F′＝ F a ″＋'b F ＝25N ＋5N ＝30N ， 此时m 的加速度为：230'==m F a m/s 2＝15m/s 2 方向向左。

例2 将金属块用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中，如图所示，在箱的上顶板和下底板安有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动，当箱以a ＝2.0m/s 2的加速度做竖直向上的匀减速运动时，上顶板的传感器显示的压力为6.0N ，下底板的传感器显示的压力为10.0N （g ＝10m/s 2）⑴若上顶板的传感器的示数是下底板的传感器示数的一半，试判断箱的运动情况。

⑵要使上顶板传感器的示数为0，箱沿竖直方向的运动可能是怎样的？一点通：该题和例1类似，也是涉及到压力传感器的问题，其解题要点仍然在于通过对研究对象的受力分析，应用牛顿运动定律求解其加速度，从而判断箱子的运动情况。

解答：（1）取向下为正方向，设金属块质量为m ，由ma mg F F =+-下上 将a ＝2.0m/s 2代入解得 m ＝0.5kg因上、下传感器都有压力，所以弹簧长度不变，弹簧弹力仍为10N ，上顶板对金属块压力为.52N F =='上根据1'ma mg F F =+-'下上解得a 1＝0，即箱子处于静止或做匀速直线运动状态。

（2）要使上顶板无压力，弹簧只能等于或小于目前长度，则下底板压力只能等于或大于10N ，即ma mg F =-下 ，F 下≥10N 解得a ≥10m/s 2。