成人高考—专升本—高等数学(二) 备考 知识点 复习

(4)如果 limx→x0f(x)=a，且 a＞0(或 a＜0)，则必存在点 x0 的某一个邻域(x0 －δ,x0+δ)，在该邻域内，有 f(x)＞0(或 f(x)＜0).
(5)如果在点 x0 的某一去心邻域(x0－δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有 f(x)≥0(或 f(x) ≤0)，且 limx→x0f(x)=a，则必有 a≥0(或 a≤0).
limn→∞Cxn=C·limn→∞xn=CA (C 为常数).
数列极限的四则运算法则的作用在于把求复杂数列的极限的运算化为简
单数列的极限值的代数运算，从而简化计算. 常用的数列极限有
limn→∞c=c limn→∞1nk=0 (k＞0,常数)，
(c 为常数)，
limn→∞qn=0 (|q|＜1),
limn→∞(1+1n)n=e.
二、函数的极限
1.函数极限的定义
(1)x→∞时函数极限的定义 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0， 使当|x|＞X 时， 不等式|f(x) －A|＜ε恒成立,则称常数 A 为 x→∞时函数 f(x)的极限，记为 limx→∞f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→∞时). 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0，使当 x＞X(或 x＜－X)时， 不等式|f(x)－A|<ε恒成立，则称常数 A 为 x→＋∞(或为 x→－∞)时函数 f(x) 的极限，记为 limx→+∞f(x)=A (或 limx→-∞f(x)=A). 定理 1 函数极限 limx→∞f(x)存在且等于 A 的充分必要条件是极限 limx →+∞f(x)和 limx→-∞f(x)都存在且都等于 A，即有 limx→∞f(x)=A limx→+∞
(3)(迫敛性)如果 limx→∞f(x)=limx→∞g(x)=a,a 为常数，且存在正数 M，使 得当|x|＞M 时，有 f(x)≤h(x)≤g(x),则有 limx→∞h(x)=a.
(迫敛性)如果 limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=a,a 为常数，且存在正数δ,使得当 0＜|x－x0|＜δ时，有 f(x)≤h(x)≤g(x),则有 limx→x0h(x)=a.
(2)闭区间上连续函数的性质.
3.试卷内容比例
本章内容约占试卷总分的 15%，共计 22 分左右. 【考点讲解】
一、数列的极限Biblioteka 1.数列极限的定义无穷多个数按一定顺序排列成:x1,x2,…,xn,…称为数列，记为{xn}.其中 xn 称为数列的通项或一般项，正整数 n 称为数列的下标.
设有数列{xn}和常数 A，如果对任意给定的ε＞0(记为 ε＞0),存在正整 数 N=N(ε)(记为 N)，使得当 n＞N 时，不等式
f(x)=limx→-∞f(x)=A. (2)x→x0 时函数极限的定义 如果对于任意给定的ε＞0，存在δ=δ(ε,x0)＞0，使当 0＜|x－x0|＜δ
时，不等式|f(x)－A|＜ε恒成立，则称常数 A 为 x→x0 时函数 f(x)的极限，记 为
limx→x0f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→x0 时). 如果对于任意给定的ε＞0，存在δ=δ(ε,x0)＞0，使当 0＜x－x0＜δ(或 －δ＜x－x0＜0)时，不等式|f(x)－A|＜ε恒成立，则称常数 A 为 x→x0 时函数 f(x)的右极限(或左极限)，记为 limx→0＋f(x)=f(x0+0)=A(右极限)， limx→0-f(x)=f(x0－0)=A(左极限). 定理2 函数极限limx→x0f(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限limx →x-0f(x)与右极限 limx→x+0f(x)都存在且等于 A，即有 limx→x0f(x)=A limx→
3.函数极限的四则运算法则
设 有 函 数 f(x),g(x) ， 如 果 在 自 变 量 x 的 同 一 变 化 过 程 中 ， 有 limf(x)=A,limg(x)=B，则
(1)lim［f(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)=A±B， (2)lim［f(x)g(x)］=limf(x)·limg(x)=A·B， (3)lim［f(x)g(x)］=limf(x)limg(x)=AB(若 B≠0).
x-0f(x)=limx→x+0f(x)=A.
2.极限的性质
(1)(唯一性)如果当 x→∞(或 x→x0)时函数 f(x)的极限存在，则它只有一个 极限.
(2)(局部有界性)如果 limx→∞f(x)=a,a 为常数，则存在某个正数 M，使得当 |x|＞M 时 f(x)有界.
(局部有界性)如果 limx→x0f(x)=a,a 为常数，则存在正数δ,使得当 0＜|x－ x0|＜δ时 f(x)有界.
3.数列极限的四则运算法则
设有数列{xn},{yn}，若 limn→∞xn=A,limn→∞yn=B，则
limn→∞(xn±yn)＝limn→∞xn±limn→∞yn=A±B， limn→∞xnyn=limn→∞xn·limn→∞yn=A·B，
limn→∞xnyn=limn→∞xnlimn→∞yn=AB (B≠0)，
第一章 极限与连续
【考点剖析】
1.极限
(1)函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必 要条件.
(2)极限的性质、极限的四则运算. (3)无穷小量的概念、性质及无穷小量的比较，等价无穷小量代换及其应用. (4)两个重要极限及其应用.
2.连续
(1)函数在一点处连续与间断的概念及连续的判定.
|xn－A|＜ε
恒成立，则称常数 A 为数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于常数 A，记为 limn→∞xn=A 或 xn→A(当 n→∞时). 没有极限的数列称为发散数列.
2.数列极限的性质
(1)有极限的数列，其极限值必唯一. (2)收敛数列一定有界，反之不成立，即有界数列不一定收敛. (3)设 limn→∞yn=limn→∞zn=a，且有 yn≤xn≤zn(n=1,2,3,…)，则数列{xn} 收敛，且 limn→∞xn=a. (4)如果数列{xn}是单调有界的，则{xn}一定有极限.