用于宽带频谱感知的全盲亚奈奎斯特采样方法.
超奈奎斯特大气光通信中的深度学习检测方法
超奈奎斯特大气光通信中的深度学习检测方法超奈奎斯特大气光通信中的深度学习检测方法摘要：超奈奎斯特大气光通信是一种用于长距离数据传输的新兴技术，在复杂大气环境中具有高效和可靠的性能。
然而，大气光散射和吸收等因素会导致信号衰减和失真。
为了解决这些问题，研究人员引入了深度学习技术，利用其强大的模式识别和数据建模能力来提高信号检测效果。
本文对超奈奎斯特大气光通信中的深度学习检测方法进行综述，并探讨了未来的研究方向。
一、引言超奈奎斯特大气光通信是一种利用大气中的高斯光束进行光信号传输的技术。
相较于传统的光纤通信，它具有更高的传输速率和更低的成本，并且适用于远距离和环境复杂的场景。
然而，大气环境因素会对信号的衰减和失真造成不可忽视的影响，限制了超奈奎斯特大气光通信的性能。
二、超奈奎斯特大气光通信中的信号检测问题在超奈奎斯特大气光通信中，信号检测是关键问题之一。
由于大气光环境的复杂性，传统的信号检测方法往往难以达到良好的效果。
因此，研究人员开始尝试将深度学习技术引入到大气光通信中，以提高信号检测的准确性和鲁棒性。
三、深度学习在超奈奎斯特大气光通信中的应用1. 数据集的构建在使用深度学习进行信号检测之前，需要构建一个包含已知信号和噪声的数据集。
可以通过仿真或实际采集的方法获取数据，并对其进行预处理和标注。
2. 特征提取与选择深度学习算法的效果很大程度上依赖于特征的选择和提取。
在超奈奎斯特大气光通信中，研究人员尝试使用卷积神经网络（CNN）等深度学习模型进行特征学习，以自动提取信号中的关键特征。
3. 模型训练与优化在构建好数据集和选择好特征之后，可以使用深度学习模型进行训练和优化。
传统的深度学习模型，如多层感知机（MLP）和循环神经网络（RNN），可以用于信号检测任务。
此外，也可以采用迁移学习和生成对抗网络等技术，进一步提高检测效果。
4. 信号检测与判决经过模型的训练和优化后，可以将其应用于实际的信号检测任务中。
奈奎斯特采样定律和傅里叶变换通俗易懂
奈奎斯特采样定律和傅里叶变换是数字信号处理中非常重要的概念，对于理解信号处理、通信等领域具有深远的影响。
本文将以从简到繁的方式来解释这两个概念，以便读者更深入地理解。
一、奈奎斯特采样定律奈奎斯特采样定律是数字信号处理中的基本原理之一，它指出：对于一个带限信号，如果要使原始信号通过采样得到的离散信号完全保留原始信息，就需要进行足够高的采样频率。
也就是说，采样频率至少要是信号带宽的两倍。
这个原理在通信领域和信号处理领域都有广泛的应用。
举个例子，当我们用手机拍摄视频时，摄像头会以一定的频率对图像进行采样，而奈奎斯特采样定律保证了我们观看视频时不会出现明显的失真和模糊。
在实际应用中，奈奎斯特采样定律的重要性不言而喻。
举个例子，如果我们需要对一个模拟音频信号进行数字化处理，那么就需要按照一定的采样频率进行采样，以充分保留音频信号的信息。
如果采样频率不满足奈奎斯特采样定律，就会导致采样失真，从而影响信号的质量。
二、傅里叶变换而傅里叶变换则是另一个重要概念，它能够将一个复杂的信号分解成简单的正弦和余弦函数。
通过傅里叶变换，我们可以更清晰地理解信号的频谱特性，从而在频域上对信号进行分析和处理。
傅里叶变换的重要性在于，它为我们提供了一种全新的分析信号的工具。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以更加直观地认识信号，从而更深入地理解信号的特性和规律。
在通信领域和信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于信号滤波、频谱分析等方面。
三、个人观点与理解奈奎斯特采样定律和傅里叶变换是数字信号处理中的基础概念，对于理解信号的采样和分析具有重要意义。
在我的理解中，奈奎斯特采样定律告诉我们，在进行信号采样时，要尽量满足一定的采样频率，以保证采样后的信号能够准确地还原原始信号。
而傅里叶变换则为我们提供了一种更直观、更深入地认识信号的方法，通过傅里叶变换，我们能够将信号的频域特性展现在我们面前，从而更好地进行信号分析和处理。
总结而言，奈奎斯特采样定律和傅里叶变换是数字信号处理中不可或缺的两个概念，它们深刻影响着通信、音频处理等领域。
简述奈奎斯特时域采样定理的内容
简述奈奎斯特时域采样定理的内容
奈奎斯特时域采样定理是由美国信号处理理论家尼尔萨维奈特（N.E.Sviatot）和他的同事彼得库卡（P.Kurka）于1949年分别发
布的两个独立定理。
它深刻改变了时间域信号处理的理论基础，成为现代数字信号处理的理论基石。
定理一：如果一个时间域信号的加权积分（即信号与时间函数之间的乘积）大于或等于零，则其有限频率范围内的频谱必定是连续函数。
定理二：光滑的时域信号（即瞬时加权积分大于或等于零的信号）的两次连续采样，即采样频率大于两倍的信号的全频率成分准确重构，即通过两个采样点就可以准确确定一个光滑时域信号。
这两个定理在数字信号处理和数字通信系统中有着重要应用。
它们指出当我们将一个光滑的时域信号进行两次采样，我们可以准确地确定它的全部频率范围内的所有成分，这意味着我们可以通过采样频率大于两倍的信号频率来重构原始信号，而不用在原始信号的所有频率成分上进行采样。
因此，根据这两个定理的理论，我们可以以较低的采样频率进行采样，从而节约存储空间和采样时间，而做到不损失信号精度。
奈奎斯特时域采样定理在数字技术领域中有着广泛而深远的影响。
例如，许多视频编码标准，如MPEG-2，H.264和H.265，都依赖于奈奎斯特时域采样定理来重构视频流。
此外，它还可以用于模拟信号转换为数字信号，在时域信号处理和图像处理方面也有着可观的应
用前景。
总的来说，时域采样定理是数字信号处理的一个重要理论。
它的应用范围非常广泛，能够深刻地影响信号的存储和处理，帮助我们提高存储空间的效率，从而实现数字信号的精准处理。
亚奈奎斯特采样定理
亚奈奎斯特采样定理介绍亚奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem）是信号处理中的一个基本定理，它描述了如何以适当的采样率对连续时间信号进行数字化处理。
通过合理选择采样频率，可以完整地恢复原始信号的信息，避免采样中的失真和混叠。
理论背景1.连续时间信号连续时间信号是在时间上是连续变化的信号，可以用数学函数来描述。
例如，声音和图像就是连续时间信号的例子。
2.采样采样是指在时间上对连续时间信号进行间隔性的取样，得到离散时间信号。
在采样过程中，需要选择采样频率，即每秒采样的次数。
采样会引入采样失真和混叠，因为采样率不够高时，存在信息丢失的风险。
3.信号复原信号复原是指通过离散时间信号，恢复出原始的连续时间信号。
复原的质量取决于采样频率和信号频率之间的关系。
亚奈奎斯特采样定理的表述根据亚奈奎斯特采样定理，一个连续时间信号的最高频率分量不应超过采样频率的一半。
具体来说，如果信号的最高频率为fmax，则采样频率fs的选择要满足以下条件：fs > 2 * fmax这是为了确保采样时没有信息丢失和混叠。
采样定理的应用亚奈奎斯特采样定理在实际中具有广泛的应用，特别是在信号处理和通信领域。
1.音频和视频编码在音频和视频编码中，亚奈奎斯特采样定理用于决定采样频率的选择，以便在压缩过程中保留尽可能多的原始信息。
2.无线通信在无线通信中，采样定理用于确定无线电系统中的采样频率和带宽，以确保不会发生信号混叠。
3.数字滤波亚奈奎斯特采样定理在数字滤波中扮演重要的角色，用于设计数字滤波器的截止频率和带宽。
4.医学成像在医学成像中，例如MRI和CT扫描，亚奈奎斯特采样定理用于确定扫描的采样频率和分辨率，以获得高质量的图像。
采样频率和信号频率的关系当采样频率等于信号频率的两倍时，可以完全恢复原始信号的频率信息。
这个频率称为奈奎斯特频率。
当采样频率小于信号频率的两倍时，信号将出现混叠现象，即高于采样频率一半的频率将混叠到较低频率区域。
频谱感知算法演示版
频谱感知算法演示版频谱感知算法是一种用于无线电通信系统的关键技术，通过对无线电频谱的实时监测与感知，可以有效地提高频谱利用率、减少干扰，为无线通信提供更好的服务。
本文将介绍频谱感知算法的原理和应用，并根据实际情况进行一次演示。
频谱感知算法的原理是基于无线电通信系统中的主动监听和动态频谱分配。
传统的频谱分配方式是静态分配，即将一定频谱范围内的频率资源按照特定规则分配给不同的用户或系统。
但这种分配方式存在很大的浪费和低效问题，因为不同时间和空间上的频率资源利用率会有很大差异。
1.频谱监测：频谱感知设备首先对指定频谱范围内的信号进行采集和分析，获取到该范围内的频率分布和信号强度等信息。
2.频谱解析：通过对采集到的信号进行解调和解码，频谱感知设备可以分析不同信号的频谱占用情况和使用模式，找出频谱资源分配的规律和差异。
3.频谱评估：根据频谱分析的结果，频谱感知设备可以评估当前频谱资源的利用率和可用性，以便进行下一步的频谱分配决策。
4.频谱分配：基于频谱评估的结果，频谱感知设备可以动态分配频谱资源给需要通信的用户或系统，以最大限度地提高频谱利用率和减少干扰。
频谱感知算法的应用非常广泛，可以用于各种无线通信系统中。
例如，在移动通信中，频谱感知算法可以用于智能天线系统，即根据当前的信道状态和负载情况，动态地选择最佳的接收和发送天线，以提高通信质量和容量。
在物联网中，频谱感知算法可以用于协调多种无线设备的频谱使用，避免干扰和冲突。
在无线传感器网络中，频谱感知算法可以用于动态调整节点的通信频率和功率，以实现能耗优化和网络自适应。
下面通过一个演示来说明频谱感知算法的具体应用。
假设有一个无线通信系统，其中包括若干个用户和一个频谱感知设备。
首先，频谱感知设备需要对所有可能的频率资源进行监测，并记录下当前的占用和信号强度信息。
然后，频谱感知设备可以根据这些信息对频谱资源进行评估，找出可用的频率资源。
接下来，频谱感知设备可以根据用户的通信需求和信号质量要求，动态地分配可用的频谱资源给不同的用户。
频宽取样速率及奈奎斯特定理
频宽取样速率及奈奎斯特定理This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020量测基础篇－频宽、取样速率及奈奎斯特定理高速数字器的模拟前端包含模拟输入电路及模拟数字转换器（ADC）两项主要元件，要了解个中运作原理，频宽、取样速率、奈奎斯特定理是您必须先行认识的关键名词。
模拟前端运作原理高速数字器的模拟前端有两项主要元件，就是模拟输入电路及模拟数字转换器（ADC）。
模拟输入电路将信号衰减、放大、过滤、及／或偶合，使ADC的数字化能达到最佳。
ADC将处理过的波型做取样，将模拟输入信号转换为代表经过处理之数字信号的数位值。
图 1频宽（Bandwidth）描述的是模拟前端在振幅损失最少的前提下，将信号从外部世界传入ADC的能力；取样速率（Sample Rate）是ADC将模拟输入波型转换为数字资料的频率；奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）说明取样速率和受测信号的频率之间的关系。
以下将更详细地讨论这三个名词。
频宽（Bandwidth）频宽形容一个频率范围，在这个范围内，输入信号可以用振幅损失最少的方式，穿过模拟前端──从探测器的前端或测试设备到达ADC的输入端。
频宽指定为正弦曲线输入讯号衰减至原振幅之%时的频率，亦称为-3 dB点。
下图说明100 MHz高速数字器的典型输入反应。
图 2举例来说，如果你将一个1 V, 100 MHz的正弦波输入频宽为100 MHZ的高速数字器，信号会被数字器的模拟输入途径衰减，而被取样的波型振幅约为 V。
图 3数字器的频宽最好比要测量的信号中的最高频率高三到五倍，以期在最低的振幅误差下截取信号（所需频宽 = （3 至 5）*欲测频率）。
受测信号的理论振幅误错可以从数字器频宽与输入信号频宽（R）之间的比例计算得知。
图 4举例来说，在使用100 MHz高速数字器测量50 MHz正弦曲线信号时（其比例R=2），误差大约为%。
基于稀疏傅里叶变换的低采样率宽带频谱感知
Ｎａ Ｍｅ ｉ ｌ ｉ， Ｚｈ ｏ ｕ Ｚｈｉ ｇ ａ ｎ ｇ， Ｌ ｉ Ｐ ｅ ｉ ｐ ｅ ｉ
（ Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｍｉ ｃ ｒ ｏ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｍａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ａ ｃ ａ ｄ ｅ ｍ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ５ ０， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｕ ｍ ｒ ｓ ｅ ｎ ｓ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ａ ｒ ｓ ｅ Ｆ ｏ ｕ ｉｅ ｒ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｍ ｒ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｓ ｕ ｂ —Ｎｙ ｑ ｕ ｉ ｓ ｔ ｓ ａ ｍｐ ｌ ｉ ｎ ｇ ｒ ａ ｔ ｅ ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ ｈ ａ ｓ ａ ｖ ｅ ｒ ｙ ｌ ｏ ｗ ｒ ａ ｔ ｅ
采 用 奈 奎 斯 特 采 样 进 行 宽 带 信 号 频 谱 感 知 的 方 法 。 该 算 法在 频 谱 分 布 稀 疏 时具 有 极 低 的误 判 率 ，并 在 频 谱 占 用 率 增加 时 ， 提 出了改进 的算 法 ， 最 后 利 用 ＭＡＴ Ｉ Ｊ Ａ Ｂ仿 真 验 证 了 稀 疏 傅 里 叶 变换 用 于 宽 带 频 谱 感 知 方 案 的 可 行 性 。相 比
奈奎斯特采样准则
奈奎斯特采样准则1. 引言奈奎斯特采样准则（Nyquist Sampling Theorem）是信号处理中的一个重要概念，它规定了在给定的采样率下，能够完全恢复原始信号的最高频率。
该准则由美国工程师哈里·S·布莱克威尔（Harry Nyquist）于1928年提出，后来由克劳德·香农（Claude Shannon）进一步加以发展和完善。
在现代通信系统和数字信号处理中，奈奎斯特采样准则被广泛应用于数据传输、音频和视频编码等领域。
了解和理解这一准则对于设计高质量的数字系统至关重要。
2. 奈奎斯特采样定理的原理奈奎斯特采样定理基于一个关键假设：被采样信号是带限信号。
带限信号指的是其频谱在一定范围内有限，并且不含有高于该范围的频率成分。
根据这个假设，布莱克威尔证明了一个重要结论：为了完全恢复原始信号，采样频率必须大于等于被采样信号的最高频率的两倍。
具体而言，如果原始信号的最高频率为f_max，则采样频率f_s必须满足以下条件：f_s >= 2 * f_max这个条件保证了采样过程中不会发生混叠现象，即采样后的频谱不会与原始信号的频谱发生重叠。
3. 采样定理的应用3.1 数据传输在数字通信系统中，奈奎斯特采样准则是确保数据传输可靠性和传输速率的关键因素之一。
根据奈奎斯特采样定理，发送端需要以足够高的速率对待发送数据进行采样，以确保接收端能够准确恢复原始数据。
在实际应用中，为了避免噪声干扰和传输误差，通常会将采样频率设置为原始信号最高频率的两倍以上。
这种过采样可以提高系统抗噪声性能，并且在接收端使用合适的滤波器进行抽取操作，以恢复原始数据。
3.2 音频处理在音频领域，奈奎斯特采样准则同样起着重要作用。
人耳对音频信号的频率范围有一定的感知限制，因此在音频采样中，通常会选择适当的采样频率以满足人耳的听觉需求。
例如，在CD音质中，采用了44.1 kHz的采样频率，这超过了人耳能够感知的最高频率20 kHz的两倍，从而保证了高质量的音频重现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第34卷第2期电子与信息学报Vol.34No.2 2012年2月 Journal of Electronics & Information Technology Feb. 2012用于宽带频谱感知的全盲亚奈奎斯特采样方法盖建新①②付平*①乔家庆①孟升卫①③①(哈尔滨工业大学自动化测试与控制系哈尔滨 150080)②(哈尔滨理工大学测控技术与仪器黑龙江省高校重点实验室哈尔滨 150080)③(中国科学院电子学研究所北京 100190)摘要：亚奈奎斯特采样方法是缓解宽带频谱感知技术中采样率过高压力的有效途径。
该文针对现有亚奈奎斯特采样方法所需测量矩阵维数过大且重构阶段需要确切稀疏度的问题，提出了将测量矩阵较小的调制宽带转换器(MWC)应用于宽带频谱感知的方法。
在重新定义频谱稀疏信号模型的基础上，提出了一个改进的盲谱重构充分条件，消除了构建MWC系统对最大频带宽度的依赖；在重构阶段，将稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)算法引入到多测量向量(MMV)问题的求解中。
最终实现了既不需要预知最大频带宽度也不需要确切频带数量的全盲低速采样，实验结果验证了该方法的有效性。
关键词：宽带频谱感知；亚奈奎斯特采样；多测量向量；稀疏度自适应匹配追踪中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1009-5896(2012)02-0361-07 DOI: 10.3724/SP.J.1146.2011.00314A Full-blind Sub-Nyquist Sampling Methodfor Wideband Spectrum SensingGai Jian-xin①②Fu Ping① Qiao Jia-qing① Meng Sheng-wei①③①(Department of Automatic Test and Control, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)②(The Higher Educational Key Laboratory for Measuring & Control Technology and Instrumentations of Heilongjiang Province,Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)③(Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)Abstract: Sub-Nyquist sampling is an effective approach to mitigate the high sampling rate pressure for wideband spectrum sensing. The existing sub-Nyquist sampling method requires excessive large measurement matrix and exact sparsity level in recovery phase. Considering this problem, a method of applying Modulated Wideband Converter (MWC) with small measurement matrix to wideband spectrum sensing is proposed. An improved sufficient condition for spectrum-blind recovery based on the redefinition of spectrum sparse signal model is presented, which breaks the dependence on the maximum width of bands for MWC construction. In recovery phase, the Sparsity Adaptive Matching Pursuit (SAMP) algorithm is introduced to Multiple Measurement Vector (MMV) problem. As a result, a full-blind low rate sampling method requiring neither the maximum width nor the exact number of bands is implemented. The experimental results verify the effectiveness of the proposed method.Key words: Wideband spectrum sensing; Sub-Nyquist sampling; Multiple Measurement Vectors (MMV); Sparsity Adaptive Matching Pursuit (SAMP)1引言认知无线电通过感知周围频谱环境自主发现“频谱空穴”并对其进行有效利用，在解决无线通信中频谱资源紧张、频谱利用率低等问题上表现出巨大的优势。
宽带频谱感知技术可以在较短的时间内为认知无线电提供更多的频谱接入机会[13]−，以2011-04-05收到，2011-09-27改回第四十五批博士后科学基金(20090450571)资助课题*通信作者：付平 fupinghit@ 压缩感知(CS)理论[4,5]为基础的宽带频谱感知技术以其采样率低并可精确重构等特点受到了广泛关注[68]−。
这些方法以离散化频谱的稀疏性为前提，实现了基于亚奈奎斯特采样的宽带频谱感知，缓解了采样率高的压力。
然而，当需要实现较高的频率分辨率时，由于测量矩阵维数过大，数据处理负担繁重，导致感知速度较慢；另外，在频谱重构阶段需要确切的稀疏度信息，而稀疏度在实际的频谱环境中是无法准确预知的。
因此找到一种测量矩阵较362 电 子 与 信 息 学 报 第34卷小，不需要准确稀疏度的亚奈奎斯特采样方法，是宽带频谱感知技术当前急待解决的问题。
近年来出现的调制宽带转换器(MWC)采样方法[9]，不需对频谱进行离散化，利用低维的测量矩阵即可实现对多带信号的亚奈奎斯特采样和精确重构。
若采用MWC 作为采样前端可以缓解CS 方法的计算负担。
但现有的MWC 理论须已知频带数量和最大带宽才能构建MWC 系统并进行频谱重构。
实际的无线频谱中，特定时间内占用的频带数量是无法准确预知的，而且由于相邻信道可能同时被占用，导致最大频带宽度也是未知的。
针对无线频谱上述的不可预知性特点，本文将无线电发射信道模型和频谱多带模型相结合，对MWC 适用的信号模型进行了重新定义，在此基础上提出了一个不需最大频带宽度和确切频带数量的重构充分条件。
在重构算法方面，将稀疏度自适应匹配追踪算法进行推广并应用到频谱重构中以消除对频带数量的依赖性。
最终实现了既不需要各频带宽度，也不需要准确频带数量的宽带频谱全盲亚奈奎斯特采样，数值实验验证了该方法的有效性。
2 MWC 采样理论2.1 采样原理MWC 是一种多带信号亚奈奎斯特采样方法，其具体采样原理如下。
如图1所示，输入信号()x t 同时进入m 个通道，在第i 个通道被周期为T p (频率为f p )的伪随机符号序列()i p t 混频，混频后采用截止频率为1/2T s 的理想低通滤波器()h t 进行滤波，最后通过采样率f s = 1/T s 的ADC 获得m 组低速采样y i (n )。
由经典傅里叶分析思想可以推导出第i 个通道输出序列()i y n 的离散时间傅里叶变换(DTFT)与()x t 的傅里叶变换()X f 之间有如下关系：2,]()()[/2,/2sL j fT i in p s s s n L Y ec X f nf f F f f π=−=−∈=−∑(1)其中in c 表示序列()i p t 傅里叶级数的系数，0L =图1 MWC 采样系统框图NYQ 12s p f f f ⎡⎤+⎢−⎢⎢⎥。
如果把2()s j fT i Y e π作为m 维列向量()f y 的第i 个分量，()p X f nf −作为021L L =+维列向量()f z 的第n 个分量，则式(1)可以表示为()(), s f f f F =∈y z Φ (2) 其中Φ是m L ×矩阵，n in i c =Φ且m L <。
若对式(2)两端同时进行DTFT 的逆运算，可得未知序列()n Ζ与测量值()n Y 之间的线性关系：()()n n =Y Z Φ (3)其中T 12()[(),(),,()],m n n n n =Y y y y 1()[(),n n =Z z T 2(),,()]L n n z z , n Z ∈。
由于m L <，式(2)和式(3)均是欠定的，无法通过求逆的方法获得唯一解。
考虑到多带信号在频域的稀疏性，()f z 中只有少量的非零元素，当满足如下定理给出的充分条件时，式(2)具有唯一的最稀疏解。
定理1[9] 设多带信号()x t 由N 个频带组成，各频带中最大带宽为B ，按照图1所示的MWC 结构进行采样，如果以下条件成立：(1)s p f f B ≥≥并且/s p f f 数值不是很大；(2)一个周期内序列()i p t 的符号(1)±间隔数MNYQ min 12122p f M f ⎡⎤⎢⎥≥=+−⎢⎥⎢⎥；(3)2m N ≥；(4)矩阵Φ的任意2N 列线性无关。
则对于s f F ∀∈, ()f z 是式(2)的唯一的N -稀疏解。
2.2 重构方法当多带信号中各个频带的位置已知时，联合支撑集supp(())n Ω=Z 是确定的，如果矩阵ΩΦ满足列满秩则可以通过式(4)从采样值()n Y 中恢复出()n Z ：†()()()0,i n n n i ΩΩΩ⎫⎪=⎪⎪⎬⎪=∉⎪⎪⎭Z Y Z Φ (4)其中ΩΦ表示以Ω中的元素为索引的Φ的列子集，†ΩΦ代表矩阵ΩΦ的伪逆矩阵且H 1H ()ΩΩΩΩ−=ΦΦΦΦ†。
当Ω未知时需要将式(2)无限测量向量(IMV)问题[10]变换成与之具有相同支撑的多测量向量(MMV)问 题[11]，然后，求解该MMV 问题的支撑集Ω，最后按式(4)完成重构。
2.3 利用MWC 理论进行宽带频谱感知需解决的问题由定理1可知，构建MWC 时，采样率s f 及符号序列的频率p f 选择的依据是最大频带宽度B 。