Chapt_6 拉普拉斯变换.
第六章 拉普拉斯变换
记作： ( p) L (t ), 或
( p) (t )e dt (Re p s0 ) 0 称为 (t )的Laplace变换式； ( p ) 称为 (t ) 的变换像函数， (t ) 称为 ( p ) 的变换原函数.
pt
( p) (t )或 (t ) ( p)
(Rep 0)
1 n 1 n! p
(n 0,1,2 ; Rep 0)
第六章 10
5)延迟定理：若 (t ) ( p)，则 (t ) e p ( p) 由定义作换元 t 积分即得.
e p [例] H(t ) p (Re p 0)
第六章 17
（证明从略P98,99）
2015/11/18
3)展开定理:设像函数是单值的，而且在 0 arg p 2 上有
( p) 0 ( p ) ,则
(t )
全平面
pt Res [ ( p ) e ] (t 0)
2015/11/18
第六章
18
cosh[( l x) p ] (l,x都是常数，且0<x<l)的原函数. [例5]求 ( p ) p cosh( l p )
2015/11/18 第六章
( p)
(t ) 或 (t )
(t ) L1 ( p)
( p )
4
( p )存在、解析且 1.定理一:在Re p s0 的右半平面上，
1 (t 0) 2.阶梯(跃)(或亥维赛单位阶跃)函数 H(t ) 0 (t 0)
1 1 1 1 sin t (Rep 0) 2 2i p i p i p 1
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中广泛应用的数学工具。
它将一个函数从时域转换到频率域，可以用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，用于将函数从时域表示转换为频域表示。
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s是一个复数，而f(t)是原始函数。
在上述公式中，∫[0,∞]表示对t从0到正无穷之间的所有值进行积分。
e^(-st)是指数函数，s是一个复数参数，t是自变量。
f(t)是原始函数，也被称为拉普拉斯变换的原函数。
通过拉普拉斯变换公式，我们可以将一个函数从时域转换到频域。
这意味着我们将原始函数用复指数函数（e^(-st)）的积分来表示。
在复平面上，s可以表示为s = a + jb，其中a和b都是实数，a是实部，b是虚部。
拉普拉斯变换公式可以用于解决许多信号和系统分析的问题。
例如，我们可以使用拉普拉斯变换来解决线性微分方程。
通过将微分方程转换为拉普拉斯域，我们可以将微分方程转换为代数方程，从而更容易地解决。
此外，利用拉普拉斯变换可以方便地计算系统的冲激响应和频率响应。
在应用拉普拉斯变换时，有几点需要注意。
首先，原始函数f(t)必须满足一定的条件，如函数在一个有界的时间段内存在或函数在正向无穷大时的极限存在。
其次，拉普拉斯变换是线性的，即对于给定的常数a和b，拉普拉斯变换遵循以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
此外，拉普拉斯变换公式还有许多相关的性质和定理，如初始值定理、最终值定理、微分定理和频移定理等。
这些性质和定理为我们在实际应用中提供了方便和灵活性。
总结起来，拉普拉斯变换公式是将一个函数从时域表示转换到频域表示的基本公式之一、它在信号和系统分析中广泛应用，用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换及其性质共35页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
拉普拉斯变换及其性质
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6、黄金时代是在我圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
拉普拉斯变换-维基百科
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换(又名拉式转换)。
基本定义
如果定义：
∙是一个关于t的函数，使得当时候，；
∙是一个复变量；
∙是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分
；是的拉普拉斯变换结果。
则的拉普拉斯变换由下列式子给出：
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换，是已知，求解的过程。
用符号表示。
拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的；
是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有的个别点的实部值。
拉普拉斯变换的存在性
关于一个函数的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。
也就是说，必须是在对于的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当趋于无穷大的时候，
是指数阶地变化。
拉普拉斯变换的基本性质
∙线性叠加
∙微分
∙时域
∙频域
∙积分
∙初始值定理
∙终值定理
, 所有极点都在左半复平面。
终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。
如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值是
不定义的(例如：或)。
∙s移动
∙t移动
注: 表示阶跃函数.
∙n次幂移动
∙卷积
变换简表
原函数转换后函数
收敛区域
在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。
下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。
1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/(s + a)4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= s*F(s) - f(0)11. 给定函数f(t)的不定积分Laplace变换：∫f(t)dt 的 Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= 1/s*F(s)12. Laplace变换与乘法定理：L{f(t) g(t)} = F(s)G(s)13. Laplace变换与移位定理：L{f(t-a) u(t-a)} = e^-as F(s)14. Laplace变换与初值定理：f(0+) = lims→∞ sF(s)f'(0+) = lims→∞ s^2F(s) - sf(0+)f''(0+) = lims→∞ s^3F(s) - s^2f(0+) - sf'(0+)15. Laplace变换与终值定理：limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)limt→∞ f'(t) = lims→0 s^2F(s) - sf(0+)limt→∞ f''(t) = lims→0 s^3F(s) - s^2f(0+) -sf'(0+)这是完整版的拉普拉斯变换表，其中列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式，以及常见的拉普拉斯变换定理和公式。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
拉普拉斯变换-PPT
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表第一篇：拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在工程、物理、经济等领域都有重要的应用。
拉普拉斯变换可以将一个复杂的函数转换成另一个更易于处理的函数，从而为解决实际问题提供了便利。
1. 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换是一种线性运算，它将一个函数f(t)转换成另一个函数F(s)，数学上可以表示成：F(s)=∫0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s 是一个复数，称为变换参数。
实际上，s 的实部和虚部分别对应于指数函数e^(-st)中的衰减因子和频率。
2. 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和使用拉普拉斯变换。
(1) 线性性质拉普拉斯变换是一种线性运算，即对于任意常数a和b，有：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)(2) 平移性质拉普拉斯变换具有平移性质，即：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)(3) 尺度变换性质拉普拉斯变换还具有尺度变换性质，即：L{f(at)}=1/aF(s/a)(4) 求导性质拉普拉斯变换对时间的一阶和二阶导数的变换分别为：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)L{f''(t)}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)(5) 初值定理和终值定理拉普拉斯变换有两个重要的极限定理，分别是初值定理和终值定理。
初值定理描述了原函数在t=0 时的值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→+∞)sF(s)=f(0)终值定理则描述了原函数在t 趋近于无穷时的极限值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→0)sF(s)=lim_(t→∞)f(t)3. 常见函数的拉普拉斯变换下面是几种常见函数的拉普拉斯变换：(1) 矩形波函数rect(t)L{rect(t)}=1/s(2) 单位阶跃函数u(t)L{u(t)}=1/s(3) 指数衰减函数e^(-at)L{e^(-at)}=1/(s+a)(4) 三角函数sin(at)L{sin(at)}=a/(s^2+a^2)(5) 三角函数cos(at)L{cos(at)}=s/(s^2+a^2)第二篇：拉普拉斯变换表1下面是一份拉普拉斯变换表，其中包含了一些常见函数的拉普拉斯变换。
数学物理方法 6 拉普拉斯变换
拉普拉斯（Laplace）变换在光学等工程技术与科学领域 中有着广泛的应用．由于它的像原函数f(x)要求的条件比傅里
叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的
适用面要广．
本章首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换
的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积
分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最
dt
0
f ( t )e ( i ) t dt
0
f ( t )e pt dt ,
( p i )
上式即可简写为
f ( p)
0
f (t )e pt dt
这是由实函数 f (t ) 通过一种新的变换得到的复变函数，
e pt 为核. 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的条件．
性质1 线性定理
若 则
,
为任意常数，且
f1 ( p) L [ f1 (t )], f 2 ( p) L [ f 2 (t )]
L [ f1 (t ) f 2 (t )] L [ f1( t )] L [ f 2 ( t )]
证明
L [ f1 (t ) f 2 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]e pt dt
0
0
f1 (t )e dt
pt
0
f 2 (t )e pt dt
L [ f1 (t )] L [ f 2 (t )]
例6 求 L [shat ], L [chat ]
0
拉普拉斯变换法
3.导函数
df (t ) F (t ) dt
df (t ) df (t ) L dt e df (t ) e dt dt
st
st
0
0
df (t ) L f (0) s e f (t )dt dt
st
0
二、 简单函数L氏变换
1. 常数
f（t）=A
A L( A) e Adt S
st
0
2. 指数函数 f（t）= e-at
L(e ) e (e )dt e
at
st
at
( s a ) t
0
0
1 dt sa
A L( Ae ) sa
at
若
则 LF ' (t ) sf ( S ) F (0) sLF (t ) F (0)
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t Ae-at L氏变换，f（s） A/s 1/s2 A/(s+a) A/s(s+a)
A at bt (e e ) ba
Ate-at
方程终解 X k (1 e ) K
0 k t
2.
静脉注射
dX kX dt
( t=0,
X=X0)
sL[ X (t )] X (0) kL[ X (t )]
s X X (0) k X
Hale Waihona Puke X0 X sk kt X X 0e
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
(完整)拉普拉斯变换公式总结,推荐文档
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种常用于处理连续时间系统的数学工具，它将一个函数从时域（时间域）转换到频域（复频域），使得用复频率来研究连续时间系统变得更加方便。
拉普拉斯变换在信号处理、控制工程、通信系统等领域中都有广泛的应用。
设时域函数为f(t)，其中0≤t≤∞，则其拉普拉斯变换为F(s)，其中s为复变量。
拉普拉斯变换公式如下：F(s) = ∫[0,∞]f(t)e^(-st)dt通过拉普拉斯变换，我们可以将函数从时域转换到频域，可以得到函数在复频率域的频谱表示。
例如，对于一个连续时间系统的单位阶跃响应函数h(t)，我们可以通过拉普拉斯变换将其变换为H(s)，即H(s)=L[h(t)]。
1.时间平移定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(at)f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
这个定理表示，如果时域函数f(t)右移或者左移a个单位，则其拉普拉斯变换在复频域中左移或者右移a个单位。
2.频率平移定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(st)f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
这个定理表示，如果时域函数f(t)乘以指数函数e^(st)，则其拉普拉斯变换在复频域中右移s个单位。
3.初值定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(0+)的值等于F(∞)。
这个定理表示，拉普拉斯变换函数在复频域中的极限为时域函数在时刻t=0+的值。
4.终值定理：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则lim(s→0)sF(s) =lim(t→∞)f(t)。
这个定理表示，拉普拉斯变换函数在复频域中的极限为时域函数在过去无限远到未来无限远的时刻t=∞处的值。
5.单位脉冲响应函数与系统频率响应函数的关系：设h(t)为系统的单位脉冲响应函数，即系统在输入为单位脉冲信号时的响应。
如果H(s)为系统的拉普拉斯变换，即H(s)=L[h(t)]，则系统的频率响应函数为H(jω)，即将变量s替换为jω，其中j为虚数单位，ω为频率。
拉普拉斯变换
• 上式中Cm+1、Cm+2、…、Cn为单根部分分式待定系数， 可按照相应公式计算。而重根待定系数C1、C2、…、 Cm则按下式计算：
m C m = lim s − s i） F ( s ) （ s → s1
d C m −1 = lim [( s − s i ) m F ( s )] s → s1 ds 1 d ( m −1 ) C1 = lim [( s − s i ) m F ( s )] ( m − 1)! s → s1 ds ( m −1 )
• 将这些待定系数求出后代入F(s)式,取反变换即可 求f(t):
Cm Cm−1 C 1 f（） L [ t = + +⋯+ m m−1 （ −s1） （ −s1） s s s −s1
−1
Cm+1 Cn + +⋯+ ] s −sm+1 s −sn Cm m−1 Cm−1 m−2 sit s1t =[ t + t +⋯+C2t +C ]e + ∑Cie 1 （ −1 m ）！ （ −2 m ）！ i=m+1
拉普拉氏变换
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
0 A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )e st dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )
s0
例2：
R
(t)
校验：
+
u
uc (0 ) 0 du RC u (t ) dt
1 SRCU ( S ) U ( S ) S 1 U(S) S (1 SRC )
- C
1 1 u(0 ) lim S lim 0 s S (1 SRC ) s (1 SRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 SRC )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c j st f (t ) c j F (s)e ds 2j
设：
注
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e st F ( s )
0
f ( t t0 ) 0 当 t t0
证：
令t t0
f(t - t )
0
t f ( t t0 )e
0
0
f ( t t0 )e st dt
拉普拉斯变换的数学方法PPT优选文档
其拉氏变换为：
L [sit]n 0 sin te sd t ts22
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost1(ejt ejt)
2
L [co t] s0 cots e sd t ts2 s2
2.3 典型时间函数的拉氏变换
7 幂函数（作业） 其拉氏变换为：
0 (t) f (t)dt f (0)
单位脉冲函数的拉氏变换为：
L[(t)](t)esd t test 1
0
t0
2.3 典型时间函数的拉氏变换
3 单位斜坡函数
定义为：
f
(t)
0,t t,t
0 0
单位斜坡函数的拉氏变换为：
L[t]
testdtt est
(est)dt
0
s0 0 s
e st 0s
L [f'(t)]sF (s)f(0)
（ 2 － 8 ）
其 中 f(0)是 时 间 正 向 趋 近 于 零 时 的 f(t)值 。
利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉 氏变换的线性性质和延时定理：
F(s)L[f(t)]T2 4s2T2 4s2esT 2T2 4s2esT 2T2 4s2esT T2 4s2(12esT 2esT)
2.4 拉氏变换的性质
3. 周期函数的拉氏变换 设f(t)是以T为周期的周期函数，即： f(tnT)f(t)
拉普拉斯变换的数学方法PPT
提纲
2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程
拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。 是分析研究线性动态系统的有力工具。
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12
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在应用
中非常重要！ 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
13
（3）原函数积分定理:
t
0
(
)d
1 [ (t)]
p
考虑 f (t)
t
( )d ;
0
对f(t)应用导数定理 [ f ' (t)] pf ( p) f (0)
g(t) G()eitd 1 f ( i)eitd
2
即
f (t) 1 f ( i)e( i)td
2
由 i p d 1 dp
i
f (t) 1 i f ( p)e ptdp
2i i
——黎曼-梅林反演公式
3
写作： f ( p) [ f (t)]; f (t) 1[ f ( p)]
= = 或 f ( p)
• •
f (t)
f (t) • f ( p)
•
f(t)：原函数; f ( p) ： 像函数
Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第 一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的， （2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t <
[est ] e( ps)tdt 1
0
ps
(Rep Re s)
7
例4 f (t) test
解： [test ]
te( ps)tdt
1
td e( ps)t
0
ps 0
1 ps
te( ps)t
g
(t
)
e t
f (t),
t
0
0,
t 0
g(t) et f (t)H (t)
1
足够大，以保证g(t)是绝对可积的。 由Fourier 变换可得：
G() 1 g(t)eitdt 1 f (t)e( i)tdt
2
2 0
令 p=+i, G() f ( p) / 2 ,则
f ( p) f (t)e ptdt, (6.2.3) 0
f (t)eptdt ——Laplace积分 0 f ( p) : f (t) 的Laplace 变换函数 2
(6.2.3)： f (t) f ( p) Laplace变换
e-pt ——Laplace变换核
由 Fourier 逆变换可推得 Laplace逆变换公式
1 1
2i p i
1
p i
p2 2
பைடு நூலகம்
,
(Rep
0)
[cost]
1 2
[eit ] [eit ]
p2
p
2
(Rep 0) 11
（2）原函数导数定理:
[ f '(t)]
e pt
0
f
' (t)dt
e pt
o
解
析
0•
区 域
且满足 lim f ( p) 0 p
10
Laplace 变换的重要性质： (1) 线性定理：与 Fourier 变换一样。
[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1 f1( p) c2 f2 ( p)
例6 [sint] 1 [eit ] [eit ] 2i
), 有 | f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都 满足这个充分条件
4
p 平面
o
0+i
• 0
0-i
5
例1 Heaviside阶越 函数:
1, t 0
H
(t)
0,
t0
[ f (t)] 1 eptdt 1 ;
类推
[t n
f
(t)]
(1)n
dn f ( p) dpn
9
（二）Laplace 变换的基本性质
Laplace 变换 f ( p) 的特性：
（1） f ( p) 在 Re(p)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | p | ,
|Arg p|/2-ε (ε>0) 时：
p
f ( p) 存在，
0
p
(Rep 0)
例2 线性函数 f(t)=t (t>0):
[ f (t)] teptdt 1 td(ept )
0
p0
1 p
te pt
0
1 p
e ptdt 1
0
p
e ptdt
0
1 p2
(Rep 0)
6
例3 指数函数 est
第六章：拉普拉斯变换
§6.2 Laplace 变换
（一） Laplace 变换的定义
意义：Fourier 变换要求函数在(, ) 上绝对可积
| f (x) | dx
问题：许多函数不满足上述条件，如多项式、三角函数等。
引入Laplace 变换
应用一：定初的值微问分题方的程解]，：因已此知可f(假t)|t定=0=ff(0t,)|求t<0=t>00。时， f(t)的数值 [ f(t)满足 • 定义： 令
其中
f (0)
0
( )d 0;
0
1 [
p
(t)]
f
(t)
t
0
(
)d
即：
t
0
(
)d
1 [ (t)]
p
－原函数对 t 的积分 变成像函数与 p 相除
0
e( ps)tdt
0
(
p
1
s)2
.
(Rep Res)
同理
[t n e st
]
(
p
n! s)n1
.
(Re p Res)
8
例5 求[tf (t)]
解：
df ( p) e-pt (t) f (t)dt
dp 0
从而
[tf (t)] (1) df ( p) dp
f
(t) |0
p
e pt
0
f
(t)dt
取 Re p 0
有 lim e pt f (t) 0. t
于是
[ f ' (t)] pf ( p) f (0)
同样有：
[ f (n) (t)] pn f ( p) pn1 f (0) pn2 f ' (0) pf (n2) (0) f (n1) (0)