Chapt_6 拉普拉斯变换.
拉普拉斯变换ppt课件
20
6.3 Laplace 变换的基本性质
21
Laplace 变换F(s) 的特性：
（1） F(s) 在 Re(s)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | s | ,
s 平面
|Arg s| /2 - ε (ε > 0) 时：
o
F(s) 存在，
且满足 lim F(s) 0 s
当 f (t)et dt为有限值时，函数f (t)u(t)et 0
满足傅立叶变换的要求:
f (t)et 1 F ()eitd
2
F () 1 [ f (t)u(t)et ]eitdt
2
1
[
f
(t
)et
]eit
dt
第六章 拉普拉斯变换
1
本章基本要求
• 理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换
• 掌握有理分式反演法
• 掌握延迟定理，位移定理和卷积定理
• 理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法 求解微积分方程。
2
6.1 拉普拉斯变换的概念
3
一 Laplace 变换的定义
1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件
28
九 像函数积分定理
F(s) d s
s
ℒ
f
第六章 拉普拉斯变换
2梅林反演公式和展开定理
2015/11/18
第六章
12
1反演问题 1)位移定理:若 ( p) (t ),λ是一复常数则 ( p ) (t )et 由定义证. [例1]求 ( p)
cost p
2
p (是常数，是正数) 的原函数. 2 2 ( p )
d 2p t sin t 2 2 2 dp p 1 ( p 1) 2
即 t sint
2015/11/18
2p ( p 2 1) 2
(Re p 0)
第六章 14
3) 像函数的积分定理:若 p ( z)dz (Re p s0 )且 ( p) (t ) 收敛,则
2 (t ) 2 ( p), 则
c11(t ) c22 (t ) c11( p) c22 ( p) (其中c1, c2为复常数)
由定义易证. 例
1 it e (Rep 0) p i 1 it it sin t (e e ) 2i e it 1 (Rep 0) pi
证： p ( z )dz p
p
( z )dz
(t )
t
(t )e zt dt dz (t )dt e zt dz (t ) e pt dt (t ) 0 0 p 0 t t
第6章拉普拉斯变换.ppt
若X(s)有极点或零点在 s=a，那么X ( 极点或零点在s s0 a ，即 s a s0
s
源自文库
s
0
)一定有
4、时域尺度变换（a为实）
x(t) X (s) ROC=R
x(at) 1 X ( s ) aa
ROC=aR
ROC=aR 表示“边界的变化”
a为负值时，ROC要增加关于 jw轴的反转。 特例： x(t) X (s) ROC=-R
T1
T1
对所有s ， T2 x(t) e-t dt 成立 T1
即ROC为整个S平面
• 性质4：如果x(t)是右边信号，且如果
Re{s}= 0位于ROC内，那么Re{s}> 0 的
全部s值都一定在ROC内。
右边信号：指 t T1 时，x(t)=0
证明：因为x(t)的拉氏变换对 0 收敛，
t x()dτ L 1 X (s)
s
ROC包括R∩{ Re{s}>0}
t
证明： x(τ)dτ u(t)*x(t)
u(t)L 1 s
Re{s}>0
所以 u(t)* x(t) L 1 X (s) s
ROC包括R∩{ Re{s}>0}
换和拉氏变换
解：
X ( j) eat e jt dt 1
6-拉普拉斯变换
第六章拉普拉斯变换
§6.1 Laplace 变换
（一）Laplace 变换的定义
Fourier 变换要求函数f (x ) 在(-∞ , ∞ )有定义，在任意有限区间上满足狄里希利条件，并要求这是一个相当强的条件。
许多常用函数不满足上述条件，如多项式、三角函数等。
,
|)(|∞<⎰
∞
∞
-dx x f
提出Laplace 变换
应用于初值问题：已知f (t )|t =0=f 0, 求t >0 时，f (t )的数值
[ f (t )满足一定的微分方程]，因此可假定f (t )|t <0=0。
)
()()(t H t f e
t g σt
-=⎩⎨
⎧<>=-0
,00
),()(t t t f e t g σt
1.定义：
令σ足够大，以保证g (t )是绝对可积的。由Fourier 变换可得：
⎰⎰∞+-∞∞--==0
)(d )(21d )(21)(t e t f t e t g G t
i t i ωσωππω
令p =σ+i ω, 则
,2/)()(πωp f G ≡⎰
⎰
∞
+-∞
∞
--=
=
)(d )(21d )(21
)(t
e
t f t e
t g G t
i t
i ωσωπ
π
ω(6.1.3)
,)()(0
⎰∞
-=dt e t f p f pt
⎰
∞
-0
)(dt e t f pt
——Laplace 积分
)(p f ：f (t )的Laplace 变换函数
(6.1.3)：)
()(p f t f →Laplace 变换
-pt e
——Laplace 变换核
由Fourier 逆变换可推得Laplace 逆变换公式
《拉普拉斯变换 》课件
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果 (a) 和 (b) 是常数，且 (f(t)) 和 (g(t)) 是时域函数，则 (L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)])
积分性质
如果 (f(t)) 是时域函数，则 (L[int f(t) dt] = frac{1}{s} L[f(t)])
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
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详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
时移性质
如果 (f(t)) 是时域函数，且 (t_0) 是常数 ，则 (L[f(t-t_0)] = e^{-st_0} L[f(t)])
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。
1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：
F(s) = 1/s
2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：
F(s) = 1/s
3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：
F(s) = 1/(s + a)
4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：
F(s) = ω/(s^2 + ω^2)
5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：
F(s) = s/(s^2 + ω^2)
6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：
F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )
7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：
F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )
8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：
F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )
9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：
F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )
10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：
数学物理方法 6 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
双边拉普拉斯变换 s i f (t )存在于整个区间 t
傅里叶变换 s i f (t)存在于整个区间 t
拉普拉斯变换 s i f (t )为因果信号 f (t ) 0, t 0
傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊 情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。
f (t ) Me 0t , 0 t
则 L [ f (t )] f ( p) 在半平面 Re p 0 上存在且解析．
f ( p) f (t )e pt dt 存在．由 证明：证明 0
0
f (t )e
pt
dt Me
0
0 t
dt
0
f ( t )e ( i ) t dt
0
f ( t )e pt dt ,
( p i )
上式即可简写为
f ( p)
0
f (t )e pt dt
这是由实函数 f (t ) 通过一种新的变换得到的复变函数，
e pt 为核. 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．
u(t )e t ( 0) 之后再作傅氏 广义是指函数 f (t ) 要乘上
变换．
第六章-拉普拉斯变换.
L[
t
( )d ]
1 L[ (t)].
0
p
L[ f (at)] 1 f ( p). aa
L[et f (t)] f ( p ).
L[ f (t t0 )] e pt0 f ( p).
F[
(x)
pL[ f (t)] f (0).
其中 lim e pt f (t) 0. Re P 0 t
高阶导数的
L[ f (n) (t)] pnL[ f (t)] pn1 f (0) pn2 f '(0)
pf (n2) (0) f (n1) (0)
(3) 积分定理
L[
t
( )d ]
1 L[ (t)].
2i
2i
11
1
[
2i p i
]
p i
p2
2.
Re P 0
L[cost]
p2
p
2.
(2) 导数定理 L[ f '(t)] pL[ f (t)] f (0).
证明
L[ f '(t)]
f '(t)e ptdt
0
e pt df
0
(t)
[e pt
f
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的定义如下：
对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：
F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt
其中，s是复变量，表示变换域的频率。f(t)是定义在非负实数轴上的函数。拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。下面介绍几个常用的性质：
1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：
L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)
其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：
L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)
其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，
那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：
L{ag(t)} = aG(s)
其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用
1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。通
第6章 拉普拉斯变换
−
1 t RC
)
输入输出关系中含有微分，求解不便
二、拉普拉斯变换
为了简化输入输出关系的求解过程 引入拉普拉斯变换的概念
F ( s ) = L[ f (t )] = ∫
+∞
0
f (t )e dt
− st
s = σ + jω
f (t )
F ( s)
原函数
单值函数， 单值函数，一一对应关系
象函数
三、拉氏变换的主要运算定理
（1）起点斜率
1 m= T
r(t) 1
T 对于一阶系统， 过渡时间大约为3~5T， 到达稳态值的95%~99.3%
0
63.2%
（2）过渡时间
86.5%
2T
95% 3T
98.2% 4T
六、二阶系统
第六章 拉普拉斯变换
一、概念引入
例1.求RC电路的输入输出关系
ui (t ) = Ri(t ) + uo (t )
R
由
dq(t ) Cduo (t ) i (t ) = = dt dt Cduo (t ) ui (t ) = R + uo (t ) dt
Ui
C
Uo
得 uo (t ) = uc (t ) = ui (t )(1 − e
1.叠加定理
L[ f1 (t ) ± f 2 (t )] = L[ f1 (t )] ± L[ f 2 (t )]
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
理解
拉普拉斯变换(Laplace transformation)是在积分变换中把连续时变信号转换成正负无穷大范围的指数型时定信号的单边变换，它是一种统计与信号分析的重要算法，建立在Fourier变换的基础上，被广泛应用于数学、电子、通讯及其他领域。拉普拉斯变换的核心思想是用一个类似函数的谱线替换一个时变函数，解决复杂的求解问题，能够将难以求解的时变函数拆分成一组解析函数，利用标准函数轻松地求解出结果，从而提高求解算法的效率。
拉普拉斯变换具有以下性质：
（1）线性性质：在拉普拉斯变换中，加性和乘性定律成立，也即可以用拉普拉斯变换把复合函数分解成基本函数的叠加，且变换后的结果是它们变换的乘积的和。
（2）卷积性质：拉普拉斯变换能够有效地把连续时变信号的卷积操作转换成简单的乘法操作，拉普拉斯变换可以将连续时变函数的卷积操作转换为拉普拉斯变换之后函数的乘积操作。
（3）滞后性质：拉普拉斯变换的结果，只与函数的滞后的部分有关，因此可以使用拉普拉斯变换来实现信号的滞后处理。
（4）收敛性质：拉普拉斯变换的结果受被变换函数的收敛性的影响，而不受其具体形式的影响。因此，对收敛的函数，可以通过拉普拉斯变换将其变换为正负无穷大范围的指数函数，使其受到解析处理，然后得到函数解析形式的结果。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制
系统、电路分析等领域。它可以将时间域中的函数转换为复频域中的
函数，为我们分析和处理信号提供了很大的便利。本文将介绍拉普拉
斯变换的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、定义
拉普拉斯变换可以将一个实函数 f(t) 转换为复函数 F(s)，其中 t 表
示时间，s 表示复频率。拉普拉斯变换定义如下：
F(s) = L[f(t)] = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt
其中，e 是自然常数，s 是复变量。拉普拉斯变换的积分区间是从 0 到正无穷，表示了信号在整个时间轴上的变化。
二、性质
拉普拉斯变换具有一些重要的性质，可以简化我们对信号的分析。
下面介绍几个常用的性质：
1. 线性性质：对于任意的常数 a 和 b，有 L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s)。拉普拉斯变换可以线性叠加。
2. 积分性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数
的积分的拉普拉斯变换是1/s·F(s)。该性质对于求解微分方程非常有用。
3. 导数性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数
的导数的拉普拉斯变换是 s·F(s) - f(0+)。这个性质也对求解微分方程十
分重要。
除了上述性质，拉普拉斯变换还具有平移性质、卷积性质和初值定
理等，这些性质使得我们可以快速、方便地进行信号分析和处理。
三、应用举例
拉普拉斯变换在实际应用中有着广泛的应用。下面举例几个常见的
应用场景：
1. 信号处理：对于一个时域的信号，通过拉普拉斯变换可以将其转
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换是一种傅里叶变换的扩展，广泛应用于信号处理和控制系统的分析。它将时间域中的函数转换到复平面的变换域中，可以有效地处理复杂的微分和积分方程。拉普拉斯变换有许多重要的性质和公式，下面将对其中的一些进行总结。
1.拉普拉斯变换定义
F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt
其中，s为复变量，t为时间，e为自然常数。
2.拉普拉斯变换的收敛条件
要使拉普拉斯变换存在，函数f(t)必须满足一定的收敛条件。常见的收敛条件为：函数f(t)是因果（即f(t)在t<0时为零）和指数增长边界条件（即函数f(t)e^(-αt)在t趋于正无穷时有界）。
3.常见的拉普拉斯变换公式
3.1常函数的拉普拉斯变换：
L[1]=1/s
3.2单位阶跃函数的拉普拉斯变换：
L[u(t)]=1/s
3.3单位冲激函数的拉普拉斯变换：
L[δ(t)]=1
3.4指数函数的拉普拉斯变换：
L[e^(at)] = 1/(s-a)，其中a为常数
3.5高斯函数的拉普拉斯变换：
L[e^(-at^2)] = sqrt(π/a) × e^(s^2/4a)
3.6正弦和余弦函数的拉普拉斯变换：
L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)
L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)
3.7常见微分和积分公式的拉普拉斯变换：
L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)
L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)
4.拉普拉斯反变换公式
f(t) = L^(-1)[F(s)] = 1/(2πj) × ∫[-j∞,j∞] e^(st)F(s) ds
拉普拉斯变换原理
拉普拉斯变换原理
引言：
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、电路分析、控制理论等领域。它通过将函数转换到复平面上的复数域，将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。本文将介绍拉普拉斯变换的原理及其应用。
一、拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换是一种线性、一一对应的变换，将一个函数f(t)转换为一个复变量函数F(s)，其中s为复变量。拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫(0到∞) e^(-st) f(t) dt
二、拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、尺度变换性、频移性、微分性、积分性等。
1. 线性性：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则对于任意常数a和b，有a*f(t) + b*g(t)的拉普拉斯变换为a*F(s) + b*G(s)。
2. 时移性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(-at)*f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)。
3. 尺度变换性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(at)的拉普拉斯
变换为(1/a)*F(s/a)。
4. 频移性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
5. 微分性：若f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉普拉斯变换为s*F(s) - f(0)。
6. 积分性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则∫(0到t) f(u) du的拉普拉斯变换为(1/s)*F(s)。
三、拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换在信号与系统、电路分析、控制理论等领域有广泛的应用。下面将分别介绍其在这些领域中的应用。
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其中
f (0)
0
( )d 0;
0
1 [
p
(t)]
f
(t)
t
0
(
)d
即：
t
0
(
)d
1 [ (t)]
p
－原函数对 t 的积分 变成像函数与 p 相除
——黎曼-梅林反演公式
3
写作： f ( p) [ f (t)]; f (t) 1[ f ( p)]
= = 或 f ( p)
• •
f (t)
f (t) • f ( p)
•
f(t)：原函数; f ( p) ： 像函数
Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第 一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的， （2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t <
g
(t
)
e t
f (t),
t
0
0,
t 0
g(t) et f (t)H (t)
1
足够大，以保证g(t)是绝对可积的。 由Fourier 变换可得：
G() 1 g(t)eitdt 1 f (t)e( i)tdt
2
2 0
令 p=+i, G() f ( p) / 2 ,则
f
(t) |0
p
e pt
0
f
(t)dt
取 Re p 0
有 lim e pt f (t) 0. t
于是
[ f ' (t)] pf ( p) f (0)
同样有：
[ f (n) (t)] pn f ( p) pn1 f (0) pn2 f ' (0) pf (n2) (0) f (n1) (0)
0
e( ps)tdt
0
(
p
1
s)2
.
(Rep Res)
同理
[t n e st
]
(
p
n! s)n1
.
(Re p Res)
8
例5 求[tf (t)]
解：
df ( p) e-pt (t) f (t)dt
dp 0
从而
[tf (t)] (1) df ( p) dp
类推
[t n
f
(t)]
(1)n
dn f ( p) dpn
9
（二）Laplace 变换的基本性质
Laplace 变换 f ( p) 的特性：
（1） f ( p) 在 Re(p)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | p | ,
|Arg p|/2-ε (ε>0) 时：
p
f ( p) 存在，
), 有 | f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都 满足这个充分条件
4
p 平面
o
0+i
• 0
0-i
5
例1 Heaviside阶越 函数:
1, t 0
H
(t)
0,
t0
[ f (t)] 1 eptdt 1 ;
[est ] e( ps)tdt 1
0
ps
(Rep Re s)
7
例4 f (t) test
解： [test ]
te( ps)tdt
1
td e( ps)t
0
ps 0
1 ps
te( ps)t
1 1
2i p i
1
p i
p2 2
,
(Rep
0)
[cost]
1 2
[eit ] [eit ]
p2
p
2
(Rep 0) 11
（2）原函数导数定理:
[ f '(t)]
e pt
0
f
' (t)dt
e pt
o
解
析
0•
区 域
且满足 lim f ( p) 0 p
10
Laplace 变换的重要性质： (1) 线性定理：与 Fourier 变换一样。
[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1 f1( p) c2 f2 ( p)
例6 [sint] 1 [eit ] [eit ] 2i
12
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在应用
中非常重要！ 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
13
（3）原函数积分定理:
Βιβλιοθήκη Baidu
t
0
(
)d
1 [ (t)]
p
考虑 f (t)
t
( )d ;
0
对f(t)应用导数定理 [ f ' (t)] pf ( p) f (0)
第六章：拉普拉斯变换
§6.2 Laplace 变换
（一） Laplace 变换的定义
意义：Fourier 变换要求函数在(, ) 上绝对可积
| f (x) | dx
问题：许多函数不满足上述条件，如多项式、三角函数等。
引入Laplace 变换
应用一：定初的值微问分题方的程解]，：因已此知可f(假t)|t定=0=ff(0t,)|求t<0=t>00。时， f(t)的数值 [ f(t)满足 • 定义： 令
0
p
(Rep 0)
例2 线性函数 f(t)=t (t>0):
[ f (t)] teptdt 1 td(ept )
0
p0
1 p
te pt
0
1 p
e ptdt 1
0
p
e ptdt
0
1 p2
(Rep 0)
6
例3 指数函数 est
g(t) G()eitd 1 f ( i)eitd
2
即
f (t) 1 f ( i)e( i)td
2
由 i p d 1 dp
i
f (t) 1 i f ( p)e ptdp
2i i
f ( p) f (t)e ptdt, (6.2.3) 0
f (t)eptdt ——Laplace积分 0 f ( p) : f (t) 的Laplace 变换函数 2
(6.2.3)： f (t) f ( p) Laplace变换
e-pt ——Laplace变换核
由 Fourier 逆变换可推得 Laplace逆变换公式