2010-2018高考真题理科数学分类汇编解析版第8讲导数的综合应用

专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．12．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．3．(2016全国I) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为x xx xA ．B ．C ．D ． 4．（2015四川）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，那么mn 的最大值为A ．16B ．18C ．25D ．8125．（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞6．（2015新课标Ⅰ）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e7．（2014新课标Ⅱ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为A ．321122y x x x =--B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+- 9．（2014新课标Ⅱ）设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足 ()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 A ．()(),66,-∞-⋃+∞ B ．()(),44,-∞-⋃+∞C ．()(),22,-∞-⋃+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A ．3131255y x x =-B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+ 11．（2014辽宁）当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--12．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln x x e e x x ->-B ．2121ln ln x x e e x x -<-(千米)x -6y =-C ．1221x x x e x e >D ．1221x x x e x e <13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与2322y a x ax x a =-++ ()a R ∈的图像不可能．．．的是 14．（2013新课标Ⅱ）已知函数，下列结论中错误的是A ．B ．函数的图像是中心对称图形C ．若是的极小值点，则在区间单调递减D ．若是的极值点，则15．（2013四川）设函数()f x =a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线xy sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是A ． ]e ,1[B ．]11e [1，--C ． [1e 1+，]D ． [1e 1e 1--+，]16．（2013福建）设函数的定义域为R ，是的极大值点，以下结论一定正确的是A ．B ．是的极小值点C ．是的极小值点D ．是的极小值点17．（2012辽宁）函数的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+)D ．(0,+) 18．（2012陕西）设函数，则A ．为的极大值点B ．为的极小值点B()32f x x ax bx c =+++∃()00,0x R f x ∈=()y f x =0x ()f x ()f x ()0,x -∞0x ()f x ()0'0f x =()f x 00(0)x x ≠()f x 0,()()x R f x f x ∀∈≤0x -()f x -0x -()f x -0x -()f x --x x y ln 212-=∞∞()x f x xe =1x =()f x 1x =()f xC ．为的极大值点D ．为的极小值点19．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 20．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D21．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为 A ．1 B ．12 C．2 D．2二、填空题22．（2015安徽）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==．23．（2015四川）已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）．对于不相等的实数 21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=，2121)()(x x x g x g n --=，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ；③对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =；1x =-()f x 1x =-()fx④对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=．其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．24．（2015江苏）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程 1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ．25．（2011广东）函数32()31f x x x =-+在x =______处取得极小值．三、解答题26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x =-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x ． 27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数2()e =-x f x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ；(2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．29．(2018北京)设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．30．(2018天津)已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >． (1)求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln a x g x a+=-；(3)证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．(2018江苏)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；(2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值； (3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x =．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．32．(2018浙江)已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；(2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)x x f x aea e x =+--． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．34．（2017新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．35．（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =--．(1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．36．（2017浙江）已知函数()(x f x x e -=1()2x ≥．（Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．37．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围． 38．（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],p x x q ∈ 满足041||p x q Aq -≥． 39．（2017山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =-()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．40．(2016年山东)已知． （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立． ()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈()f x 1a =()3()'2f x f x +＞[]1,2x ∈41．(2016年四川) 设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()x f x e x ->-在区间(1,)+∞内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．42．(2016年天津)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II)若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41．43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．44．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数2()e 2x x f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x --> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．45．(2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．46．（2016年浙江高考）已知3a ≥，函数()F x =2min{2|1|,242}x x ax a --+-，其中 min{,}p q =,>p p q q p q ⎧⎨⎩，≤ ． （I ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（II ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a ．47．(2016江苏) 已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值．48．(2015新课标Ⅱ）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围．49．(2015山东)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．50．（2015湖南）已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞．记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点．证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列；（2）若a ≥，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立．51．（2014新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．52．(2014山东）设函数())ln 2(2x x k x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围． 53．（2014新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围． 54．（2014山东）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数．（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．55．(2014广东) 已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得． 56．(2014江苏)已知函数，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：是R 上的偶函数； （Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．57．（2013新课标Ⅰ）已知函数，曲线()y f x =在点处切线方程为． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．321()1()3f x x x ax a R =+++∈()f x 0a <011(0,)(,1)22x ∈01()()2f x f =x x x f -+=e e )()(x f x )(x mf 1e-+-m x),0(+∞m a ),1[0+∞∈x )3()(030x x a x f +-<1e -a 1e -a2()()4x f x e ax b x x =+--(0,(0))f 44y x =+,a b ()f x ()f x58．（2013新课标Ⅱ）已知函数．（Ⅲ）求的极小值和极大值；（Ⅲ）当曲线()y f x =的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围． 59．（2013福建）已知函数（，为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点处的切线平行于轴，求的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．60．(2013天津)已知函数2()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ） 证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =． （Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t <<． 61．（2013江苏）设函数()ln f x x ax =-，()xg x e ax =-，其中a 为实数．（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求的取值范围；（Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论． 62．（2012新课标）设函数()2xf x e ax =--．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 63．（2012安徽）设函数1()(0)x xf x ae b a ae =++>． （Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；2()xf x x e-=()f x l l x ()1x af x x e=-+a R ∈e (1,(1))f x a 1a =:1l y kx =-()y f x =k a（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =，求,a b 的值． 64．（2012山东）已知函数ln ()xx kf x e+=（为常数，是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与轴平行． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '是()f x 的导数．证明：对任意的0x >，2()1g x e -<+．65．（2011新课标）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 66．（2011浙江）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a ． （Ⅲ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．67．（2011福建）已知a ，b 为常数，且0a ≠，函数()ln f x ax b ax x =-++，()2f e =（e=2.71828…是自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =时，是否同时存在实数m 和M (m M <)，使得对每一个t ∈[,]m M ，直线y t =与曲线()y f x =(x ∈[1e，e ])都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．68．（2010新课标）设函数2()(1)xf x x e ax =--．k 71828.2=e x k（Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用答案部分1．A 【解析】∵21()[(2)1]x f x x a x a e-'=+++-，∵(2)0f '-=，∴1a =-，所以21()(1)x f x x x e-=--，21()(2)x f x x x e-'=+-，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，所以当(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为11(1)(111)1f e-=--=-，选A ．2．D 【解析】由导函数的图象可知，()y f x =的单调性是减→增→减→增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知，()y f x =的极值点一负两正，所以D 符合，选D ． 3．D 【解析】当0x时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f '=->，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D ．4．B 【解析】（解法一）时，抛物线的对称轴为．据题意，当时，即．2262m nm n +⋅≤≤18mn ∴≤．由且得．当时，抛物线开口向下，据题意得，即．2292m n m n +⋅≤≤812mn ∴≤．由且得2m ≠82n x m -=--2m >822n m --≥-212m n +≤2m n =212m n +=3,6m n ==2m <8122n m --≤-218m n +≤2n m =218m n +=，故应舍去.要使得取得最大值，应有．所以，所以最大值为18．选B ．（解法二）由已知得()(2)8f x m x n '=-+-，对任意的1[,2]2x ∈，()0f x '≤，所以1()02()0f f x ⎧'⎪⎨⎪'⎩≤≤，即0,021822m n m n m n ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤．画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn t =，则当0n时，0t ，当0n ≠时，tm n=，由线性规划的相关知识，只有当直线212m n +=与曲线t mn 相切时，t 取得最大值，由212192tn tn n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得6n ，18t ，所以max ()18mn =，选B ．5．A 【解析】令()()f x h x x，因为()f x 为奇函数，所以()h x 为偶函数，由于 2()()()xf x f x h x x'-'=，当0x 时，'()()xf x f x - 0<，所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减，根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增，又(1)0f -=，(1)0f ，数形结合可知，使得()0f x 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-．6．D 【解析】由题意可知存在唯一的整数0x ，使得000(21)-<-xe x ax a ，设()(21)=-x g x e x ，()=-h x ax a ，由()(21)x g x e x '=+，可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，作出()g x 与()h x 的大致图象如图所示，92m =>mn 218m n +=(2,8)m n <>(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=故(0)(0)(1)(1)>⎧⎨--⎩h g h g ≤，即132<⎧⎪⎨--⎪⎩a a e ≤，所以312a e ≤． 7．D 【解析】∵()ln f x kx x =-，∴1()f x k x'=-，∵()f x 在(1,)+∞单调递增， 所以当1x > 时，1()0f x k x '=-≥恒成立，即1k x≥在(1,)+∞上恒成立，∵1x >，∴101x<<，所以k ≥1，故选D ．8．A 【解析】法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y x =-，在(2，0)处的切线方程为36y x =-，以此对选项进行检验．A 选项，321122y x x x =--，显然过两个定点，又2312y x x '=--， 则02|1,|3x x y y ==''=-=，故条件都满足，由选择题的特点知应选A ．法二 设该三次函数为32()f x ax bx cx d =+++，则2()32f x ax bx c '=++由题设有(0)0(2)0(0)1(2)3f f f f =⎧⎪=⎪⎨'=-⎪⎪'=⎩，解得11,,1,022a b c d ==-=-=．故该函数的解析式为321122y x x x =--，选A ．9．C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x满足0()f x =，则22x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>，其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．-a当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立， 故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >． 10．A 【解析】设所求函数解析式为()y f x =，由题意知(5)2,52f f =--=（），且(5)0f '±=，代入验证易得3131255y x x =-符合题意，故选A ． 11．C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1t x=，则[1,)t ∈+∞，3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<，()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤． 显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--．12．C 【解析】设()ln xf x e x =-，则1()x f x e x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()x e g x x =，2(1)()x e x g x x-'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．13．【解析】B 当0a =，可得图象D ；记2()2a f x ax x =-+，232()2g x a x ax =-+ ()x a a R +∈，取12a =，211()(1)24f x x =--，令()0g x '=，得2,23x =，易知()g x 的极小值为1(2)2g =，又1(2)4f =，所以(2)(2)g f >，所以图象A 有可能；同理取2a =，可得图象C 有可能；利用排除法可知选B ．14．C 【解析】若则有，所以A 正确．由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间0(,)x -∞单0c =(0)0f =32()f x x ax bx c =+++32()f x c x ax bx -=++32y x ax bx =++32()f x x ax bx c =+++(0,)c 0x ()f x 0x调递减是错误的，D 正确．选C ．15．A 【解析】法一：由题意可得，00sin y x =[1,1]∈-，而由()f x =0[0,1]y ∈， 当0a =时，()f x∴0[0,1]y ∈时，0()[1f x ∈．∴0(())1f f y >．∴ 不存在0[0,1]y ∈使00))((y y f f =成立，故B ，D 错； 当1a e =+时，()f x当0[0,1]y ∈时，只有01y =时()f x 才有意义，而(1)0f =， ∴ ((1))(0)f f f =，显然无意义，故C 错．故选A ．法二：显然，函数()f x 是增函数，()0f x ≥，从而以题意知0[0,1]y ∈．于是，只能有00()f y y =．不然的话，若00()f y y >，得000(())()f f y f y y >>， 与条件矛盾；若00()f y y <，得000(())()f f y f y y <<，与条件矛盾． 于是，问题转化为()f t t =在[0,1]上有解．由t =2t t e t a =+-，分离变量，得2()ta g t e t t ==-+，[0,1]t ∈因为()210tg t e t '=-+>，[0,1]t ∈，所以，函数()g t 在[0,1]上是增函数，于是有1(0)()(1)g g t g e ==≤≤， 即[1,]a e ∈，应选A ．16．D 【解析】A ．，错误．是的极大值点，并不是最大值点；B ．是的极小值点．错误．相当于关于y 轴的对称图像，故应是的极大值点；C ．是的极小值点．错误．相当于关于x 轴的对称图像，故应是的极小值点．跟没有关系；D ．是的极小值点．正确．相当于先关于y 轴的对称，再关于x 轴的对称图像．故D 正确．0,()()x R f x f x ∀∈≤00(0)x x ≠()f x 0x -()f x -()f x -()f x 0x -()f x -0x -()f x -()f x -()f x 0x ()f x -0x -0x -()f x --()f x --()f x17．B 【解析】∵21ln 2y x x =-,∴1y x x'=-,由0y '，解得11x -，又0x >，∴01x<故选B ．18．D 【解析】，()(1)xf x e x '=+，恒成立，令()0f x '=，则当时，()0f x '<，函数单调减，当时，()0f x '>，函数单调增， 则为的极小值点，故选D ．19．D 【解析】2()1222f x x ax b '=--，由(1)0f '=，即12220a b --=，得6a b +=．由0a >，0b >，所以2()92a b ab +=≤，当且仅当3a b ==时取等号．选D ．20．D 【解析】若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则易知a c =，∵选项A ，B 的函数为2()(1)f x a x =+，∴[()][()()](1)(3)x x xf x e f x f x e a x x e '=+=++， ∴1x =-为函数()xf x e 的一个极值点满足条件；选项C 中，对称轴02bx a=->， 且开口向下，∵0,0a b <>，∴(1)20f a b -=-<，也满足条件； 选项D 中，对称轴02bx a=-<，且开口向上，∴0,2a b a >>， ∴(1)20f a b -=-<，与题图矛盾，故选D ．21．D 【解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x=-，令'()0h x =解得2x =，因(0,)2x ∈时，'()0h x <，当)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当x =时，||MN 达到最小．即t =22．①③④⑤ 【解析】 令32(),()3f x x ax b f x x a '=++=+，当0a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上单调递增函数，此时30x ax b ++=仅有一个实根，所以(4)(5)对；当3a =-时，由2()330f x x '=-<得11x -<<，所以1x = 是()f x 的极小值点．()x f x xe =0>x e 1-=x 1-<x 1->x 1x =-()f x由(1)0f >，得31310b -⋅+>,即2b >，(3)对．1x =- 是()f x 的极大值点， 由(1)0f -<，得3(1)3(1)0b --⋅-+<，即2b <-，(1)对．23．①④【解析】（1）设12x >x ，函数2x 单调递增，所有122>2x x，120x x ，则m =1212()()f x f x x x --=121222x x x x >0，所以正确；（2）设1x >2x ，则120x x ->，则1212()()g x g x nx x 22121212()x x a x x x x12121212()()x x x x a x x a x x ，可令1x =1，2x =2，4a =-，则10n =-<，所以错误；（3）因为mn ，由（2）得：2121)()(x x x f x f --12x x a =++，分母乘到右边，右边即为12()()g x g x -，所以原等式即为12()()f x f x -=12()()g x g x -， 即为12()()f x g x -=12()()f x g x ，令()()()h x f x g x =-，则原题意转化为对于任意的a ，函数()()()h x f x g x =-存在不相等的实数1x ，2x 使得函数值相等，2()2x h x x ax =--，则()2ln 22x h x x a '=--，则()2(ln 2)2xh x ''=-，令0()0h x ''=，且012x <<，可得0()h x '为极小值． 若10000a =-，则0()0h x '>，即0()0h x '>，()h x 单调递增，不满足题意， 所以错误．（4）由(3) 得12()()f x f x -=12()()g x g x -，则1122()()()()f x g x g x f x +=+， 设()()()h x f x g x =+，有1x ，2x 使其函数值相等，则()h x 不恒为单调．2()2x h x x ax =++，()2ln 22x h x x a '=++，()2()2ln 220x h x ''=+>恒成立， ()h x '单调递增且()0h '-∞<，()0h '+∞>．所以()h x 先减后增，满足题意，所以正确． 24．4【解析】当01x ≤时，()ln f x x ，()0g x ，此时方程|()()|1f x g x即为ln 1x 或ln 1x ，故x e 或1xe ，此时1x e符合题意，方程有一个实根． 当12x时，()ln f x x ，22()422g x x x ，方程|()()|1f x g x即为2ln 21x x 或2ln 21x x ，即2ln 10x x 或2ln 30x x ，令2ln 1yx x ，则120yx x，函数2ln 1y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时0y ，所以当12x 时，方程2ln 10x x 无解；令2ln 3yx x ，则120yx x，函数2ln 3y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时20y，2x 时ln 210y ，所以当12x 时，方程2ln 30x x 有一个实根．当2x ≥时，()ln f x x ，2()6g x x ，方程|()()|1f x g x 即为2ln 61x x 或2ln 61x x ，即2ln 70x x 或2ln 50x x ，令2y ln 7x x ，则120yx x，函数2y ln 7x x 在[2,)x 上单调递增，且2x时ln 230y ，3x 时ln 320y ，所以当2x ≥时方程2ln 70x x有1个实根；同理2ln 50x x 在[2,)x 有1个实根．故方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个．25．2【解析】由题意2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =．因0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<． ∴2x =时()f x 取得极小值．26．【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-． （i ）若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =．当2()2a a x +∈+∞时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>．所以()f x在，)+∞单调递减，在单调递增．(2)由(1)知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由(1)知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 27．【解析】(1)当1=a 时，()1≥f x 等价于2(1)e10-+-≤xx ．设函数2()(1)1-=+-xg x x e，则22()(21)(1)--=--+=--x x g'x x x e x e ．当1≠x 时，()0<g'x ，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0=g ，故当0≥x 时，()0≤g x ，即()1≥f x ． (2)设函数2()1e -=-xh x ax ．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0≤a 时，()0>h x ，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)∈x 时，()0<h'x ；当(2,)∈+∞x 时，()0>h'x ．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e=-ah 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0>h ，即2e 4<a ，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0=h ，即2e 4=a ，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0<h ，即2e 4>a ，由于(0)1=h ，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由(1)知，当0>x 时，2e >x x ，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)=-=->-=->a a a a a h a a a． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4=a ．28．【解析】(1)当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+． 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+． 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g =≥，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=． 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．(2)（i ）若0a ≥，由(1)知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ++->=≥，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． （ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++． (0)0f =由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <， 故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以不是()h x 的极大值点．如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点 综上，16a =-． 29．【解析】(1)因为2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++，所以2()[2(41)][(41)43]xxf x ax a e ax a x a e '=-++-+++（x ∈R ） =2[(21)2]xax a x e -++．(1)(1)f a e '=-．由题设知(1)0f '=，即(1)0a e -=，解得1a =． 此时(1)30f e =≠． 所以a 的值为1．(2)由(1)得2()[(21)2](1)(2)x xf x ax a x e ax x e '=-++=--．0x =0x =若12a >，则当1(,2)x a∈时，()0f x '<； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()0f x <在2x =处取得极小值． 若12a ≤，则当(0,2)x ∈时，20x -<，11102ax x --<≤， 所以()0f x '>．所以2不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是1(,)2+∞．30．【解析】(1)由已知，()ln xh x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-．令()0h x '=，解得0x =．由1a >，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞．(2)证明：由()ln xf x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a ．由1()ln g x x a'=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a．因为这两条切线平行，故有121ln ln x a a x a =，即122(ln )1x x a a =．两边取以a 为底的对数，得21log 2log ln 0a a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-． (3)证明：曲线()y f x =在点11(,)xx a 处的切线1l ：111ln ()xxy a a a x x -=⋅-．曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线2l ：2221log ()ln a y x x x x a-=⋅-． 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1和l 2重合．即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a-+++=． ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于1x 的方程③有实数解． 设函数12ln ln ()ln ln ln x x au x a xa a x a a=-+++， 即要证明当1ee a ≥时，函数()y u x =存在零点．2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )21()10(ln )a u a a '=-<， 故存在唯一的0x ，且00x >，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a-=．由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减．()u x 在0x x =处取得极大值0()u x ．因为1ee a ≥，故ln(ln )1a -≥， 所以0000012ln ln ()ln ln ln xxau x a x a a x a a=-+++02012ln ln 22ln ln 0(ln )ln ln a ax x a a a+=++≥≥． 下面证明存在实数t ，使得()0u t <．由(1)可得1ln xa x a +≥，当1ln x a>时， 有12ln ln ()(1ln )(1ln )ln ln au x x a x a x a a+-+++≤ 2212ln ln (ln )1ln ln aa x x a a=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =．所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．【解析】(1)函数()f x x =，2()22g x x x =+-，则()1f x '=，()22g x x '=+．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“S 点”． (2)函数2()1f x ax =-，()ln g x x =， 则1()2()f x ax g x x'='=，． 设0x 为()f x 与()g x 的“S 点”，由00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“S 点”．因此，a 的值为e 2． (3)对任意0a >，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且()h x 的图象是不间断的，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0h x =．令03002e (1)x x b x =-，则0b >．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由()()f x g x =且()()f x g x ''=，得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩，（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数()f x 与()g x 在区间(0,1)内的一个“S 点”． 因此，对任意0a >，存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”． 32．【解析】(1)函数()f x的导函数1()f x x'=， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． (2)令(||)a k m e -+=，2||1()1a n k+=+，则 ()||0f m km a a k k a -->+--≥，()))0a f n kn a n k n k n --<---<≤ 所以，存在0(,)x m n ∈使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及(0,)k ∈+∞，直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得ln x ak x--=．设ln ()x ah x x-=，则22ln 1()12()x ag x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2g x x =-． 由(1)可知()(16)g x g ≥，又34ln 2a -≤， 故()1(16)134ln 2g x a g a a --+--+=-++≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln 2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-．当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增． （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点．（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+． ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<． 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20nnnnf n a a n n n =+-->->->． 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)．34．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥． 因为(1)0g =，()0g x ≥，故(1)0g '=，而1()g x a x'=-，(1)1g a '=-，得1a =． 若1a =，则1()1g x x'=-．当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g =≥．综上，1a =．（2）由（1）知2()ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--． 设()22ln h x x x =--，则1()2h x x'=-． 当1(0,)2x ∈时，()0h x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>．所以()h x 在1(0,)2单调递。