考研数学讲座
武忠祥教授高等数学考研第一章第一节
(二)函数的性质
1. 单调性
定义2 如果对于区间 I 上的任意两点 x1 x2 恒有
f ( x1) f ( x2 ) f ( x1) f ( x2 ) 2. 奇偶性
单调增加 单调减少
定义3 设 y f ( x) 的定义域 D 关于原点对称,x D
3)如果对任意的 M 0 , 至少存在一个 x0 X , 使得 f ( x0 ) M , 则 f ( x) 为 X 上的无界函数.
(三)常见函数
1. 复合函数
定义7 设 y f (u) 的定义域为 D f , u g( x) 的定义域为 Dg 值域为 Rg , 若 D f Rg , 则称函数 y f [g( x)] 为函数
f ( x) f (x)
偶函数
【注】奇
f (x) f (x)
奇函数
sin x, tan x,arcsin x,arctan x, ln 1 x , ln( x
1 x
ex ex
1, 1
f
( x)
f
( x)
1 x2 ),
偶 x2 , x ,cos x, f ( x) f ( x)
注:1) 2) f 1[ f ( x)] x,
f [ f 1( x)] x.
3. 基本初等函数
定义8 将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本
初等函数.了解它们的定义域,性质,图形.
幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
y x
( 为实数);
y ax
( a 0, a 1 )
2)奇函数的图形关于原点对称, 且若 f ( x) 在 x 0 处有定义, 则 f (0) 0 ;偶函数的图形关于 y 轴对称.
考研数学第20讲
第20讲第20讲. 论证不能想当然微积分的基本概念“连续”,“可导”,都是逐点定义的,微局部意义的。
一元微分学讨论问题最讲究条件分析,目的在于夯实基础。
定义是最基本的游戏规则。
要揣测摩其微局部意义,尽可能深入理解定义,按定义思考,用定义推理。
切记不能想当然。
较简单而又较深刻的一个题目含于第9讲例46,值得重复一下.问题1 下两命题”谁是谁非?(A)函数f(x)在任意区间(0,b)连续,则f(x)在(0,+∞)连续。
(B)函数f(x)在任意区间(0,b)有界,则f(x)在(0,+∞)有界。
分析连续是逐点定义的。
“每点连续,区间连续。
区间连续则逐点连续。
”要证f(x)在(0,+∞)连续,必须且只需证明,在其内任取一点,f(x)连续。
在(0,+∞)内任取一点x 0 ,它必在某个区间(0,b)内。
(A)对。
“有界”的背景是区间。
不是微局部意义的概念。
虽然函数f(x)在任意区间(0,b)有界,但对于不同的b,相应的“界”可以不同。
显然,随着b的增大,“界”可能会越来越大。
(决不会减小。
)“问题连无穷,主动想极限。
”这就生成一个新的数列极限问题。
有可能没有极限,是无穷大。
例 199已知函数f(x)在x≥b 时连续,且当 x → +∞ 时f(x)有极限A ,试证明此函数有界。
分析用综合法走一步:本题即证,∣f(x)∣≤ C大家只学过,“闭区间上连续的函数一定有界。
”随便选一个充分大的数x 0,函数在有限(长)的 [b,x 0]上有界。
在那无穷的尾巴上,怎么估计函数的绝对值呢?已知条件表明,需要从数值上体念极限。
(高级动作!)x → +∞ 时函数有极限A ,即x → +∞ 时,函数的绝对值无限靠近数A的绝对值。
这就是说,我们可以取到充分大的数x 0 ,使x>x 0 时,恒有∣f(x)∣≤∣A∣ + 1 (潜台词:没什么理论!只需捉摸,体验“无限靠近”。
)在闭区间 [b,x 0] 上函数有最大值M,最小值m ,三个正数,∣A∣ + 1,∣M∣,∣m∣中,最大的那个就是我们需要的C(画外音:啊,我们“构造”出了函数的一个上界。
张雪峰讲数学与应用数学考研
张雪峰讲数学与应用数学考研近年来,数学与应用数学专业的考研竞争越来越激烈,众多考生都在为了实现自己的理想而努力奋斗。
在备考过程中,张雪峰的数学与应用数学考研系列讲座备受考生们的关注与喜爱。
张雪峰是一位数学博士,拥有丰富的教学经验,他的讲座内容既系统又易于理解,为广大考生提供了宝贵的备考资料。
一、数学考研备考重点张雪峰在讲义中提到,数学考研的备考重点包括数学分析、高等代数、概率论与数理统计、线性代数和常微分方程等几个方面。
数学分析作为数学的基础学科,是数学考研中的重中之重。
高等代数也是数学考研的重点科目之一,其重点内容包括矩阵论、线性空间、线性变换等。
概率论与数理统计则是数学考研的一门应用数学学科,也是数学考研的难点之一。
线性代数和常微分方程也是备考中需要重点关注的内容。
二、数学备考方法与技巧在数学备考过程中,张雪峰提出了一些备考方法与技巧,帮助考生高效备考。
首先,明确自己的备考目标,制定合理的备考计划。
其次,注重基础知识的学习,建立扎实的数学基础。
同时,加强对经典习题的练习,提高解题能力。
此外,切忌只死磕一种题型,要广泛学习各类题型,注重题型之间的联系。
最后,做好时间管理,合理安排备考时间,坚持每天的复习和练习。
三、应用数学考研备考指导应用数学是数学的一门重要分支,备考应用数学也需要特别的方法与技巧。
张雪峰在讲义中提到,应用数学的备考需要重点关注数学物理方程、泛函分析、数值分析等内容。
对于数学物理方程的备考,需要注意掌握方程的推导和应用,解题时要注意运用数学物理方程的相关知识。
泛函分析是应用数学中的重要理论之一,备考泛函分析时,需要从理论和应用方面进行综合学习。
数值分析是应用数学中的实用学科,备考数值分析时需要掌握数值计算和数值方法的基本原理和应用技巧。
四、张雪峰讲座的价值与意义张雪峰讲座不仅提供了备考的内容和方法,更重要的是他的讲座体现了他对学生的关心和指导。
他讲解的内容既丰富又系统,让学生能够更好地掌握数学与应用数学的知识。
智轩2022考研数学第4专题讲座--泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧
0 泰勒公式与泰勒中值定理的系统理论与使用技巧一、理论系统与考点f ( x ) = ∑ k =0 f (k )(x ) k ! + R n = f ( x 0 ) + f '( x )( x - x ) + 1 f 0 0 2!'( x 0 )( x - x 0 ) + ... + R n 。
其中:R n 称为余项。
余项的形式需要掌握以下两种:(1) R n = f (n +1) (ξ ) ( x - x 0 ) n +1称为拉格朗日余项,其相应的定理形式表达如下:(n +1)! n f (k ) (x ) f (n +1) (ξ ) n +1f ( x )在区间(a , b )上具有直到 n +1 阶导数,那么f ( x ) = ∑ 0 + ( x - x 0 ) 。
• ξ 介于x 0和x 之间,但不一定等于它们。
k =0k !(n +1)!• 注意x 0与x 都不能保证取到区间的端点值,即 x 0 ∈(a , b ), x ∈(a , b )。
• 由于ξ - x 与x - x 同号,且0<ξ - x 0<1,如令θ ∈(0, 1) ⇒ ξ = x + θ ( x - x ) = x + θ h = x + θ ( x ) h ,其中h = x - x ;x - x 00 0 0 0 0n f (k ) (x ) f (n +1) (ξ ) + n f (k ) (x ) f (n +1) ( x + θ (h ))f ( x ) = ∑ 0 + ( x - x )n 1 =∑ 0 + 0 h n +1。
k =0 k ! (n +1)! 0k =0 k ! (n +1)!• 只要求在开区间(a , b )有直到n +1阶导数, 它并不要求f ( x )在[a , b ]上连续,而且不要求f (n +1)( x )的连续性。
拉格朗日余项中值定理的两个常用加强型(重要考点)(a )如果增加条件f ( x )在[a , b ]连续 ⇒ x 0 ∈(a , b ), x ∈[a , b ],即x 可以取端点值,x 0不一定能取端点值。
[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课(汤家凤)2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课,主要讲授定积分部分。
3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。
著名考研辅导专家,南京大学博士,南京工业大学教授,江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。
凭借多年从事考研阅卷工作的经验,通过自己的归纳总结,在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出,融会贯通,让学生真正掌握正确的解题方法。
4、讲义:6页(电子版)文都网校2011年5月27日公开课二:定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =,求],[b a t ∈上物体走过的路程。
(1)取b t t t a n =<<<= 10,],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= , 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-; (2)任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ,ini it f S ∆≈∑=)(1ξ;(3)取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ,则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=,由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形,求其面积。
(1)取b x x x a n =<<<= 10,],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= , 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-; (2)任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ,ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ;(3)取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ,则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。
二、定积分理论(一)定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数,(1)取b x x x a n =<<<= 10,],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= , 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-; (2)任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ,作ini ix f ∆∑=)(1ξ;(3)取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ,若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在,称)(x f 在],[b a 上可积,极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分,记⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。
数学教研小讲座
一、讲座背景随着我国教育事业的不断发展,数学作为基础学科,其教学质量和教育水平备受关注。
为了提升数学教学品质,促进学生全面发展,我们特此举办本次数学教研小讲座,旨在为广大数学教师提供交流、学习、提高的平台。
二、讲座目的1. 深入探讨数学教学中的热点问题,提高教师的教学素养;2. 分享优秀数学教学经验,促进教师之间的交流与合作;3. 探索数学教学的新思路、新方法,提高课堂教学效率;4. 培养学生的数学思维能力和创新能力,促进学生全面发展。
三、讲座内容(一)数学教学中的热点问题1. 如何激发学生的学习兴趣2. 如何培养学生的数学思维能力3. 如何提高数学课堂效率4. 如何应对新课程改革下的教学挑战(二)优秀数学教学经验分享1. 创设情境,激发兴趣2. 注重学生个体差异,因材施教3. 引导学生自主学习,培养合作精神4. 运用现代教育技术,丰富教学手段(三)数学教学新思路、新方法1. 问题引导教学2. 合作学习3. 案例教学4. 素质教育背景下的数学教学四、讲座重点1. 如何激发学生的学习兴趣(1)关注学生生活,创设情境:将数学问题与学生的生活实际相结合,让学生在解决实际问题的过程中学习数学。
(2)运用多媒体技术,丰富教学手段:利用多媒体技术展示数学知识,激发学生的学习兴趣。
(3)开展趣味数学活动,激发学生热情:组织数学游戏、竞赛等活动,让学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
2. 如何培养学生的数学思维能力(1)引导学生质疑,培养问题意识:鼓励学生提出问题,引导学生学会思考。
(2)加强数学思维训练,提高解题能力:通过设计不同层次的数学题目,培养学生的逻辑思维、空间想象、抽象概括等能力。
(3)注重数学思想方法的教学,提高学生数学素养:教授数学的基本思想方法,如化归、类比、归纳等,提高学生的数学素养。
3. 如何提高数学课堂效率(1)优化教学设计,合理安排教学内容:根据学生的认知特点,设计合理的教学方案,提高课堂教学效果。
考研数学基础串讲讲义
考研数学的命题特点1. 基础性【例一】极限定义1、lim x →∙是什么?(lim n →∞是什么?)①lim x →∙1)“x →∙”存在六种情形 (1)0x x →00,0,x x εδ∃><-< (2)0x x +→00,0,x x εδ∃><-<(3)0x x -→00,0,x x εδ∃><-<(4) x →∞0,,X x X ∃>> (5) x →+∞0,,X x X ∃>> (6) x →-∞0,,X x X ∃><-2极限趋向的“过程性”——若lim x →∙f(x)∃,则f(x)在x →∙时处处有定义(命题A ⇒B ,则B ⇒A )故有:若f(x)在x →∙时至少一点无定义,⇒lim x →∙f(x)不存在。
(2016)求0lim x →1sin sin()1sin()x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】x →∙,xsin(1x)→0x ~0, sinx ~x. 狗~0,sin 狗~狗xsin(1x )→0, xsin(1x )~sin(xsin(1x))故原式=1知道为什么这么做不对吗?来看看正解吧!【正解】当x=π1k ,|k|充分大,xsin(1x )=0。
还记得极限的定义吗?0x →时可以取到0嘛?答案当然是不可以!但是却可以取到除零外任意小的点,例如取x=π1k ,此时xsin(1x )的极限=0。
所以xsin(1x)在时0x →不能叫0→,而叫做无穷小量。
故f(x)= 1sin(sin())1sin()x x x x在x=π1k 处无定义,⇒原极限不∃ ②lim n →∞n →∞只有一种情形,专指n →+∞∃N>0, n>N(注意n 是自然数,没有负的,而且都是整数,所以是离散的) 2、极限定义 ①函数极限的定义 若0lim x x →f(x)=A ⇔∀ε>0, ∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时,|f(x)-A|<ε②数列极限的定义。
华中科技大学研究生数学矩阵论练习和习题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
L L{1,2,···,m }
W
W1+W2
矩 矩阵AF m×n,两个子空间
不不变子空间
线线性变换旳数量关系:
➢线性变换旳表达 ➢线性变换旳数量关系 ➢主要旳线性变换
第1章习题选讲
P31,习题一 1(3),2,4,9,10,11 ,17,20, 23(4),26,29,30
第2章推荐习题
P58 1,2,3,6,8,9,11, 12, 13,16,19,20
第2章习题选讲
P58 1,3,6,8,9,11, 13,16, 19,20
线性空间旳问题
线性空间旳表达形式:
集合表达形式:Vn(F)={ 满足旳性质} 向量生成形式:L{1,2,···,m }
子空间类型:
L{1,2,···,m } W1+W2 矩阵AF m×n,两个子空间 不变子空间
线性空间旳数量关系与矩阵
线性变换旳数量关系
线性变换旳给定方式 线性变换旳变换矩阵 空间分解与矩阵分解
复习与习题
2023 级矩阵论考试信息
考试时间:第16周六(12月22日),
考试地点:西12楼(详见网上告知) 答疑时间:第16周三、四、五:下午 答疑地点:逸夫科技楼(北)913#
矩阵论复习(07)
要点:
线性空间旳问题 线性变换旳数量关系 JA,mA() ,f() =|I-A | 之间旳关系 A与f(A)在Jordan原则形上旳关系 正规矩阵旳性质与应用 向量范数与矩阵范数 矩阵幂级数和矩阵函数
试题旳构造
习题选讲
P31,习题一 2,4,10,11 ,17, 23(4),26,29,30 P57,习题二 3,6,11,13, 20
试题旳构造
填空题 25% 计算题60% 证明题 15% 试题样板
数学考研经验交流会讲稿优秀课件
7
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心理调整
• 要踏实。做事不要眼高手低。譬如平时做习题时 要自己尝试着一步一步演算,而不是简单的看懂 就了事了。做真题训练时,要自己严格把握考试 时间,把每一次模拟当作真正的考试,认真写出 答题过程,这些在复习的过程中都是尤为重要的 。
10
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心理调整
• 注重细节。可以用一个能随身携带的小笔记本, 随时记下自己当时的感触、担忧,列出自己的每 日计划,记下自己易错的知识点、不熟悉的知识 点等,不时翻翻收获潜移默化。睡前可以回忆一 天所学。早起决定一天所要完成的任务等。
11
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不想学习怎搞?
• 适当放松一下…不过不能天天都不想学习啊!这 种只能靠自己的克制力和同学的监督(这里要提到 寻找一些自制力很强的研友一起自习将会对你提 升不少)
8
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心理调整
• 要耐心,当比别人进度慢时不要心急,按自己的 进度静下心复习。去年当我高数书还没看完的时 候,很多人复习全书都快看完了。这没什么啊, 只要进度在自己的计划内就行啊。
9
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心理调整
• 要持之以恒,去年暑假在大家逸夫楼自习的状态 都特别好,要是那个时候考试估计我都排倒数。 但暑假结束,因为各种事情大家不能如暑假那般 有学习热情,有自信,导致后半程的复习效率低 下。
论各一道) • 解答题和证明题(8道题,高数4道,线代2道,
概率论2道)
3
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复习规划
• 数学考查非常注重基础,因此一定要注重打牢基础。 不可与其他同学盲目比速度。
• 总体复习进度安排: • 8月份之前,将本科所学高等数学、线代、概论书籍
2013张宇讲座讲义
2013年张宇考研数学内部讲义————科学备战 决胜考研 【编者按】全国著名考研辅导专家 张宇老师简介【1】张宇博士是全国著名考研数学辅导专家,高数辅导第一人,考研数学“题源教学法”创始人,在北京、上海、长沙、南京、广州、济南、青岛、烟台、杭州等全国最大规模的考研辅导班授课。
他是教育部高等教育出版社、北京理工大学出版社、西安交通大学出版社等考研数学系列用书主编。
他编著的《考研数学高等数学18讲》等书在全国畅销,在上海创造3个小时销售800册以上的佳绩。
【2】张宇老师根据多年考研辅导的经验,总结出一套全国绝无仅有的独特数学教学方法,让学生能够轻松地认识数学、爱上数学、攻克数学。
其教学过程科学严谨、大气磅礴、高屋建瓴,却又贴近考生、风趣幽默、深入浅出。
让学生学到真正的数学概念、思想与方法,从而全面决胜考研数学。
“听张宇老师讲课,是一种真正的享受,回味无穷。
”—这是众多考生的心声。
【3】张宇老师全程答疑地址—新浪微博:/zhangyumaths【4】张宇老师郑重声明:在长沙市为启航考研独家授课。
◇张宇2013年考研数学辅导系列丛书◇《考研数学高等数学18讲》,张宇编著. 北京理工大学出版社《考研数学线性代数10讲》,张宇,姜晓千编著. 北京理工大学出版社《考研数学概率统计8讲》,张宇,张伟编著. 北京理工大学出版社《考研数学新复习全书》,张宇总主编.清华大学出版社《考研数学大纲解析》,教育部考试中心,张宇(高数部分)高等教育出版社 《考研数学命题规律探析与解题思路点拨》,张宇编著. 高等教育出版社《考研数学考试大纲配套试题解析》,张宇编著.高等教育出版社《考研数学题源探析经典1000题》,张宇主编. 北京理工大学出版社《考研数学历年真题分析与演练》, 张宇主编. 北京理工大学出版社《考研数学最后冲刺28招》, 张宇编著. 北京理工大学出版社《高等数学(同济六版)习题解析与考研指导》张宇总主编 北京邮电大学出版社第一讲 告诉你一个真正的考研数学当2011年1月16日8点30分开考铃声响起的时候,二零一零年考研数学的试卷终于露出她的庐山真面. 下面,请你认真跟着我看看试卷的第一题,我坚信,你能够从这个问题的详细分析中了解一个真正的考研数学. 我们开始.(一)从一个最新考题说起【2011年考研真题】已知当时,0x →()3sin sin 3f x x x =−与是等价无穷小,则( )k cx (A ) (B ) (C )1,4k c ==1,4k c ==−3,4k c == (D )3,4k c ==− 不管你是否已经忘记了函数极限计算的方法,请先浏览一下此题的解答,该题如果用洛必达法则求解如下:由题意,有细数一下,我们用了三次洛必达法则才得出了答案,这就是最新的一个考研数学题. 做完这个题,是不是就可以说我们了解了考研数学呢?远远不够. 且再看一题:【2009年考研真题】已知当时,0x →()sin f x x ax =−与是等价无穷小,则( )2()ln(1)g x x bx =−(A )11,6a b ==− (B )11,6a b == (C )11,6a b =−=− (D )11,6a b =−= 请你对比看,这两个题目何其相似!我们能不能从这两个几乎一样的题目中去寻找考研数学背后那“不以人的意志为转移的规律”呢?请注意下面的分析思路.以上的分析至少给了我们两个重要启发:(1)考研数学题是有规律可循的,且这种规律“不以人的意志为转移”,抓住这种规律,你就抓住了复习的方向;(2)考研数学题有“基础性”的解法(比如上面的洛必达法则);也有“技术性”的解法(比如上面的泰勒公式),在把握“基础性”解法的条件下,掌握“技术性”解法,才能够技压群雄,稳操胜券.(二)考研数学复习的三种境界接着上一节的分析,我们以“用洛必达法则求函数的极限”为例,把大家在考研复习过程中对一个知识掌握的程度分成三种境界.第一种境界,叫“朦胧地感知”,感知(feeling )往往是指当你复习到一个概念、公式或者结论时,只是形式上知道或者了解它而已. 比如,你了解到的洛必达法则是——在某种,也就是可以通过分子分母同时求导去解决,仅此而已. 举个例子, 00cos sin lim lim 11x x x x e x e x x →→−+=洛 这就解决问题了.第二种境界,叫“清晰地再现”, 再现(reappearance )的前提是忠实于事实本身,不可以有任何的偏差和走样. 我们至少要达到这种境界,才有可能顺利通过考试. 继续研究洛必达法则,看个例子,如何计算201sinlim x x x x →⋅?如果我们只知道通过分子分母同时求导去解决,则20011sin2sin cos lim lim 1x x x x 1x x x x→→⋅⋅−= 右边这个极限是不存在的,所以得出结论201sin lim x x x x →⋅不存在. 这显然是错误的,因为事实上,根据“无穷小与有界量的积是无穷小”,则01sin lim 1sinlim 020=⋅=⋅→→xx x x x x x 是存在的.我们看到,如果使用洛必达法则,算出来是不存在;而事实上人家是存在的,怎么会出现矛盾呢?果)()(lim x F x f a x ′′→不存在也不为,是不能推出∞)()(lim x F x f a x →不存在也不为∞的,简单一点说就是:对于))((lim )()(x F x f x F x f a x a x ′′=→→lim,“右存在,则左存在;但左存在,并不意味着右一定存在”. 这是一个很细致,很隐蔽的问题,稍不注意就可能出错.看懂了这一段话,我们引入一个更为重要的问题,请回看本讲最开始2011年考研真题的解法:由03sin sin 3lim 1k x x x cx →−=,则 原式13003cos 3cos324lim lim 1(1)(2)k k x x x x ckx ck k k x −−→→−=−−洛洛洛 这里“=1”是没有依据的,你看出来了吗?于是,我们可以明确指出,虽然答案是对的,但是这个解法是错误的,如果是解答题,是会被严重扣分的.第三种境界,叫“灵活地融通”,融通(communicating and grasping thoroughly ),就是能够将各个方面的知识融会贯通,做好知识的串联和总结,形成一种强大的解题能力.这才是考研复习的最高境界.根据上面的分析,我们看出,洛必达法则并不一定是求解函数极限最好的办法,尤其对于含有未知参数或者抽象函数这样的研究对象(因为你不知道求导之后极限是否会存在). 事实上,我们在复习完函数极限计算后,应该形成一个好的思路:对于 “A B ±”型的函数极限计算,首选的方法是——泰勒公式!根据前面的分析,当时,0x →()331sin 6x x x o x =−+,()()331336sin 3x x o x x =−+, 于是,()()()()()333313sin sin 333461336x o x x x o x x x x x o x ⎡⎤⎡⎤+−−+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−=−33 则 0303sin sin 3lim lim 14kx x x x cx c x x →→−=k =,立即可得3,4k c ==. 对比洛必达法则看来,这是一个多么清爽的过程,多么给力的方法!请大家一定要比照自己,“对号入座”,在今后的复习中,时刻想到我们在这里归纳的三种境界,从而检验自己对问题的把握程度.(三)考研数学复习的方法根据考研数学的命题规律和同学们自身的特点,我们给出几个基本的复习方法:一、根据考试大纲要求,全面复习基础知识,达到“清晰地再现”;本书从第二讲开始的每一讲都在开篇给出了教育部考试中心《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的考试内容和要求,请同学们准确把握这个大纲,通读本书的知识讲解,仔细耐心地全面复习,一定要做到:忠实于数学事实本身,无偏差,不走样,这是整个复习的基石,来不得半点马虎. 开始起步可能会慢一些,困难多一些,这都没关系,万事开头难,只要保持好心态,持之以恒,就会越走越顺,越来越快.二、通过知识的复习和题目的练习,形成知识结构,达到“灵活地融通”;数学知识的理解,是要通过大量经典题目的练习来实现的. 所以,在读完知识后,要做一些好的精彩的题目,本书的典型例题分析和精制习题训练就起到了这个作用,都是精心编写、挑选的,能够帮助大家好好理解消化知识. 更重要地是通过这些题目的操练,我们要多思考,多总结,形成优秀的知识结构.本书在讲解过程中给出了高等数学中几乎所有的知识结构,但还是希望大家自己做有心人,努力地去理解,把握,修正,甚至改变我们给大家提供的已有的知识结构.三、紧紧抓住真题,多做知识的串联真题是教育部考试中心一届又一届命题组的老师们集体智慧的结晶,题目既精彩,又经典,有规律可循,举例如下:① 1996年考了一个大题:设变换可把方程⎩⎨⎧+=−=,,2ay x v y x u 0622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂vu z ,求常数a ; ② 在时隔14年的2010年,又考了一个大题:设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式222224125u u u x x y y∂∂∂++∂∂∂∂0=,确定的值,使等式在变换,a b ,x ay x by ζη=+=+下简化为20u ζη∂=∂∂. 你看到了吗?这不是同一个问题么?这种例子不一而足.四、紧紧抓住大纲,但绝不拘泥于大纲考试大纲是官方文件,是法定文件,命题必须在考试大纲要求的范围内. 但是,这并不意味着我们的复习过程中“不可越雷池一步”,我们始终认为,要想战胜考研,你的知识集合必须包含考研的知识集合(当然这个复习范围的尺度要我们把握好),如果你和考研的知识集合是相等的,势均力敌,是很难战胜考研的. 举个例子给大家看.在数学上有个著名的不等式,叫做Young 不等式(杨氏不等式),即设110,0,0,0,1x y p q p q >>>>+=,则p qx y xy p q≤+. 在考研题中,就出过这样一个大题:设q p ,是大于1的常数,且111=+q p ,证明0>∀x ,都有.11x qx p p ≥+ 本题就是杨氏不等式的一个特殊情况,即1y =且q p ,均大于1,所以本题可以根据杨氏不等式的证明方法,并令即可证得. 此种例子也有很多.1y =本书在该方面作了很好地处理,紧扣大纲,掌握好范围和难易的尺度,把问题的内涵和外延彻底讲清楚,一切目的都是为了让同学们学懂学透,从而驾驭考试.五、紧紧抓住近几年高等数学考试的特点这几年,高等数学考试出现了一些值得注意的特点:(1)高等数学试题的难度明显高于线性代数和概率论与数理统计试题的难度;(2)高等数学坚持重点内容重点考,侧重于一元微积分的考查;(3)命题组命制的数学一、二、三三套试卷,共用题的比例逐年提高,且经典问题在不同的年份可能出现在不同的试卷上,比如几年前数学一的考题,稍加改造就成为了今年数学三的考题;把握以上特点,大家要高度重视高等数学的复习,给出足够的复习时间,且加强对于一元微积分复习的力度.(四)考研数学的卷种和试卷结构(一)数学一、三 考试科目:高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学 56%(82分)线性代数 22%(34分)概率论与数理统计22%(34分)四、试卷题型结构试卷题型结构为:单选题8小题,每题4分,共32分填空题6小题,每题4分,共24分解答题(包括证明题)9小题,共94分(二)数学二 考试科目:高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学 78%(116分)线性代数 22% (34分)四、试卷题型结构试卷题型结构为:单选题8小题,每题4分,共32分填空题6小题,每题4分,共24分解答题(包括证明题)9小题,共94分【注】考非数学专业学校自主命题的考研数学的高数(甲)、(乙),或者高数(A)、(B)等的同学,你们的考试大纲与教育部考试中心的全国统考考研数学高度一致,你可针对自己的具体问题发你所报考学校的数学考试大纲或者历年真题给我,我给你参考一下(邮箱:zhangyukyfd@)。
考研数学及复习方法与规划PPT课件
础知识的理解。
多做基础练习题
03
通过大量的基础练习题,巩固基础知识,提高解题速度和准确
性。
多做真题,掌握考试规律
熟悉考试形式和题型
通过做真题,熟悉考研数学的考试形式和题型,了解考试难度和 出题规律。
分析错题原因
对于做错的题目,要深入分析错题原因,找出自己的薄弱环节和 易错点。
反复练习真题
对于重要的真题,可以进行反复练习,加深对解题方法和技巧的 掌握。
考研数学的重要性
01
考研数学是衡量学生数学水平的 重要标准之一,也是学生进入优 秀研究生院的重要参考。
02
考研数学成绩的高低对于学生未 来的学术研究和职业发展都有一 定的影响。
考研数学考试内容与形式
考研数学的考试形式一般为闭卷笔试,考试时间为180分钟 ,满分一般为150分。
考试内容分为选择题、填空题和解答题三种类型,其中选择题 和填空题的分值约占40%,解答题的分值约占60%。
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冲刺复习阶段
总结词
模拟考试与查漏补缺
详细描述
在冲刺复习阶段,考生应注重模拟考试,通过模拟考试发现自己的不足之处, 并针对性地进行查漏补缺,同时调整考试状态,做好应试准备。
模拟考试阶段
总结词
全真模拟与调整状态
详细描述
在模拟考试阶段,考生应进行全真模拟考试,体验真实考试环境和考试流程,调整好自己的考试状态 ,做好最后的应试准备。
第三轮复习(7-9个月)
做真题和模拟题,查漏补缺,熟悉考试节奏。
ABCD
第二轮复习(4-6个月)
深化理解,开始做有难度的题目,建立解题思路 和方法。
第四轮复习(10-12个月)
进行全真模拟考试,调整心态,准备考试。
智轩考研数学第二专题讲座--数列极限的6大性质的正确理解
数列极限的6大性质的正确理解1.唯一性{}n x 收敛,则极限唯一。
如{}()n x n ®¥®¥,在考研数学范畴,视极限不存在,因为¥是个变量,违背极限的唯一性。
极限存在的充要条件是左右极限存在并相等,例如[][]00lim 0, lim 1x x x x +-®®==-,故[]0lim x x ®不存在。
21)022222122)022x x x x x x x x x x x ìéù>®-<×£ïêúïëûéù-<£Þíêúëûéùï<®->׳êúïëûî, ()lim 2x 2x ®¥-=,利用夹逼定理得:02lim 2x I x x ®éù==êúëû。
5.单调有界数列必有极限本定理中,函数有界一般是指既有上界也有下界,但是在单调增加情形下可以只有上界,在单调减少情形下可以只有下界。
本定理中的单调也可以是单调不增或单调不减。
例如设()1117,1,2,na a n+<<==L,求此极限。
〖解〗采用数学归纳法证明limna存在,若果直接求出,这类题型是不能等分的。
考研高数讲解新高等数学上册辅导讲解第一章上课资料
第一章函数与极限第 1 页第一节映射与函数一、集合常用数集:自然数集:整数集:有理数集:实数集:开区间:闭区间:半开区间:;邻域:去心邻域:二、函数定义:都有唯一与之对应,记为。
三、函数性质讨论函数:,讨论区间:1、有界性有界:假设,使得,称在区间上有界无界:对,总,使得,那么称在区间上无界上界、下界:假设,使得,,称在区间上有上界;假设,使得,,称在区间上有下界定理:假设在区间上有界在区间上有上界也有下界。
2、单调性严格单调增〔减〕:假设,且,恒有广义单调增〔减〕:假设,恒有,3、奇偶性偶函数:奇函数:常见奇函数:等常见偶函数:等4、周期性周期函数:,对,有,且,那么称为周期为周期函数。
常见周期函数:等【例1】〔87二〕是〔〕(A)有界函数. 〔B〕单调函数.〔C〕周期函数. 〔D〕偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数设定义域为,定义域为,值域为,且,在定义域上有复合函数。
【例2】〔88一二〕,且,求并写出它定义域.2、反函数将函数称为直接函数,函数称为反函数。
与图形关于直线对称。
五、初等函数第二节数列与函数极限一、数列极限定义数列:,,称为整标函数。
其函数值:叫做数列〔序列〕。
数列每一个数称为项,第项称为数列一般项。
简记数列为数列极限:已给数列与常数,如果对于,都,使得对于,不等式恒成立,那么称当时,以为极限,或收敛于,记为或。
反之,假设无极限,说发散。
二、函数极限定义〔1〕:设函数在内有定义,为一常数,假设对于,都,使有,那么称当时,以为极限,记为或。
单侧极限:左极限:。
右极限:定理:〔2〕:设函数在充分大时有定义,为一常数,假设对于,都,使都有,那么称当时,以为极限,记为或。
单侧极限:;定理:【例1】设〔为常数〕,求值,使得存在。
三、极限性质性质1 〔极限唯一性〕数列——假设存在,那么极限值是唯一。
函数——假设存在,那么其极限值是唯一。
性质2 〔有界性〕数列——如果收敛,那么一定有界。
代数推理专题讲座
代数推理专题讲座
代数推理作为数学的核心部分,不仅在学术界,而且在日常生活和科技领域都有广泛的应用。
本次讲座将带您深入了解代数推理的奥秘和魅力。
代数推理,简而言之,就是使用代数方法进行推理和证明。
它不仅是数学严谨性的基石,也是解决复杂问题的重要工具。
从古代的数学家们,如欧几里得和阿基米德,到现代的数学大师,如费马和欧拉,代数推理一直是他们研究的核心。
本次讲座将通过实例和案例分析,展示代数推理在实际问题中的应用。
我们将深入探讨如何运用代数技巧进行逻辑推理,以及如何从给定的条件中推导出隐藏的结论。
此外,我们还将介绍一些重要的代数推理方法,如消元法、反证法等。
通过本次讲座,您将了解到代数推理的重要性,以及如何运用代数技巧解决实际问题。
无论您是数学爱好者,还是专业研究者,或是教育工作者,都能从本次讲座中获得启发和收获。
让我们共同探索代数推理的奥秘,感受数学的魅力。
相信通过这次讲座,您会对代数推理有更深入的理解和认识,能够更好地应用它来解决实际问题,开拓您的思维视野。
考研高数及专业课复习经验PPT课件
目 录
• 考研数学(高数部分)复习方法 • 专业课复习策略 • 高效学习法分享 • 备考过程中的常见问题及应对措施 • 成功考研案例分享 • 总结与展望
01 考研数学(高数部分)复 习方法
基础知识回顾
总结词:巩固基础 总结词:系统梳理 总结词:查漏补缺
详细描述:在开始复习考研数学之前,建议先回顾一遍 高数的基础知识,包括极限、导数、积分等,确保对这 些基本概念有清晰的理解。
短期突破方法
总结词
合理安排时间,注重各科目的平衡发展,不要偏科。
详细描述
在备考过程中,要合理安排时间,注重各科目的平衡发展。不要因为某一科目难度较大而放弃或减少 复习时间,要全面提高自己的综合素质和能力。同时,要根据自己的实际情况和目标要求,有所侧重 地进行复习,突出重点和优势科目。
短期突破方法
详细描述
参加考研辅导班、模拟考试等备考活动,可以了解考试动 态和趋势,提高自己的应试能力。同时,与其他考生交流 经验、互相鼓励支持,可以缓解备考过程中的压力和焦虑 情绪,增强信心和动力。
短期突破方法
总结词
短期突破需要集中精力,注重重点和难点知识的复习,同时保持良好的心态和状态。
详细描述
在备考时间紧迫的情况下,要集中精力,注重重点和难点知识的复习。可以通过做真题、模拟考试等方式,快速 检验自己的掌握情况,找出薄弱环节,有针对性地进行巩固和提高。同时,要保持良好的心态和状态,不放弃努 力,积极应对挑战。
总结词
长期备考需要坚持不懈、持之以恒地努力。
详细描述
考研是一场持久战,需要坚持不懈、持之以 恒地努力。在备考过程中,要保持积极的心 态和状态,不断调整自己的学习方法和策略, 保持高效的学习效率和效果。同时,要注重 身心健康和平衡发展,合理安排休息和娱乐 时间,保持充沛的精力和良好的状态。
考研数学经验交流发言稿
大家好!今天,我很荣幸能够站在这里,与大家分享我在考研数学备考过程中的心得体会。
考研数学作为考研的重要科目之一,对于许多同学来说都是一大挑战。
在这里,我将从以下几个方面与大家进行经验交流。
一、明确目标,制定合理计划1. 确定目标:在备考初期,首先要明确自己的考研目标,包括目标院校、目标专业以及目标分数。
这样有助于我们更有针对性地进行复习。
2. 制定计划:根据自己的实际情况,制定一份详细的备考计划。
计划应包括每日学习时间、每周学习内容、每月复习进度等。
同时,要确保计划的可执行性,避免过于紧张或过于宽松。
3. 调整计划:在备考过程中,要根据自己的学习进度和效果,适时调整计划。
如果发现某些知识点掌握不牢固,要增加复习时间;如果发现某些知识点过于简单,可以适当减少复习时间。
二、掌握学习方法,提高学习效率1. 理解基础知识:数学是一门注重基础知识的学科,因此,在备考过程中,我们要重视基础知识的学习。
对于基础概念、公式、定理等,要熟练掌握,并能够灵活运用。
2. 做好笔记:在学习过程中,要做好笔记,记录重点、难点以及易错点。
这样有助于我们回顾和巩固所学知识。
3. 做题训练:数学是一门实践性很强的学科,做题是提高数学能力的有效途径。
在备考过程中,要注重做题训练,通过做题来检验自己的学习成果,并找出自己的不足之处。
4. 分析错题:在做题过程中,要重视错题分析。
对于错题,要找出错误原因,是概念理解错误、公式运用错误还是解题思路错误等。
通过分析错题,我们可以更好地掌握知识点,提高解题能力。
5. 总结归纳:在备考过程中,要善于总结归纳,将所学知识点进行系统化整理。
这样有助于我们更好地理解和掌握知识点。
三、合理安排时间,保持良好心态1. 合理安排时间:在备考过程中,要合理安排时间,确保充足的睡眠和休息。
避免熬夜,以免影响学习效果。
2. 保持良好心态:考研是一个漫长而艰辛的过程,要保持良好的心态,相信自己能够成功。
遇到困难和挫折时,要学会调整心态,积极面对。
2022考研高等数学强化讲义(重点题型解析)
2022考研高等数学强化讲义第一章函数极限连续重点题型一函数的性态【类型一与方法】有界性的判定例1下列函数无界的是 1(A )f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞1(B )f x x x ()sin ,(0,)x =∈+∞ 11(C )f x x ()sin ,(0,)x x =∈+∞x 0sin t(D )f x dt x (),(0,2022)t=∈∫【详解】【类型二与方法】导函数与原函数的奇偶性与周期性例2【2002,数二】设函数f x ()连续,则下列函数中,必为偶函数的是2x0()f t dt (A )∫x20()f t dt (B )∫x[0()()t f t f t dt −−](C )∫x [0()()t f t f t dt +−](D )∫【详解】重点题型二极限的概念例3【2003,数一、数二】设{a n },{b n },{c n }均为非负数列,且lim →∞a n =0n ,lim →∞b n =1n , →∞c n =∞n lim , 则必有(A )a n <b n 对任意n 成立(B )b n <c n 对任意n 成立→∞a n c n (C )极限n lim 不存在→∞b nc n (D )极限n lim 不存在【详解】例4【2014,数三】设lim →∞a a n =,且a ≠0,则当n n 充分大时有(A ) 2a a n >(B )2aa n <(C )a a n >−n 1【详解(D )a a n <+n 1】x f x g x 例5【2000,数三】设对任意的x ,总有ϕ()()()≤≤,且lim ()()0x[g x x →∞−=ϕ],则lim ()→∞x f x (A )存在且等于零(C )一定不存在【详解(B )存在但不一定为零(D )不一定存在】重点题型三函数极限的计算【类型一与方法】003sin 6()例6【2000,数二】若limx xf x x x →0+26()=0,则lim f x xx →0+为(C )36 (D )(B )6∞(A )0【详解】′′′++=3x满足初始条=()是二阶常系数微分方程例7【2002,数二】设y y x y py qy e 件y y (0)(0)0′的特解,则当x →0==时,函数 ln(1)+x y x ()2的极限(A )不存在(B )等于1 (C )等于2 (D )等于3【详解】[](1cos )ln(1tan )例8【2009,数二】求极限limsin 4x−−+x →0x x x .【详解】【类型二与方法】∞∞2(1)(21)(21)x xx x e e 例9lim e e x x →+∞+−=__________+2.【详解】1例10【2007,数三】lim (sin cos ) 2x x x 32→+∞++x x +=__________x +x 3.【详解】121(1)12ln 1x t e t dt x x例11【2014,数一、数二、数三】求极限limx →+∞t−−+∫.【详解】【类型三与方法】0 ∞1x e 例12lim ln(1)ln(1)x+x →0++=__________.【详解】【类型四与方法】∞−∞321例13求极限lim ln 2x x x x x →∞+−−1.【详解】【类型五与方法】00与∞011ln 例14【2010,数三】求极限lim 1xx x x→+∞−.【详解】【类型六与方法】1∞1x cos sin 例15【2012,数三】lim(tan )x xπ−=x →4__________.【详解】12例16求极限lim (0,)a a a a n N nx x +++ >∈x →0 nxx.【详解】重点题型四已知极限反求参数【方法】例17【1998,数二】确定常数a b c sin ,,的值,使limln(1)x b ax xt 3dtx →t 0−+=≠c c (0)∫.【详解】重点题型五数列极限的计算【类型一与方法】数列未定式例18设11,x n e 1−n nn =+−∈n N,求→∞x n n lim .【详解】【类型二与方法】通项由递推公式n n x f x +1=()给出x 例19【2002,数二】设031<<,n x n,证明数列{x +1==1,2,)n }的极限存在,并求此极限.【详解】例20【2011,数一、数二】(111ln 1I )证明:对任意正整数n ,都有1n n n<+< + ;1112n n(II )设a n nln (1,2,)=+++−=,证明数列{a n }收敛.【详解】【类型三与方法】n 项和的数列极限2sin sin 例21【1998,数一】求lim 1112n n n n ππsin π +++→∞ n +n n ++.【详解】例22【2017,数一、数二、数三】求2lim ln 1nn k kk =1→∞nn+∑.【详解】重点题型六无穷小量阶的比较【方法】例23【2002,数二】设函数f x ()在x =0的某邻域内具有二阶连续导数,且f (0)0≠,f ′(0)0≠,f ′′(0)0,,,使得当h →0≠.证明:存在唯一的一组实数λλλ123时,123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ是比h 2高阶的无穷小++−.【详解】例24【2006,数二】试确定A ,B ,C 的值,使得x(1)1()e Bx Cx Ax o x++=++23,其中o x ()3是当x →0时比x 3高阶的无穷小量.【详解】−⋅⋅x x x 与ax n 为等价无穷小,求n 与a 例25【2013,数二、数三】当x →0时,1cos cos 2cos3的值.【详解】重点题型七间断点的判定x例26【2000,数二】设函数f x ()=a ebx在(,)−∞+∞+内连续,且→−∞f x =,则常数x lim ()0a b ,满足(A )a <0,b <0(C )a ≤0,b >0【详解(B )a >0,b >0(D )a ≥0,b <0】第二章一元函数微分学重点题型一导数与微分的概念例1【2000,数三】设函数f x ()在点x a =处可导,则函数 在点f x ()x a =处不可导的充分条件是 ′=且(A )f a ()0f a ()0(B )f a =()0 ′=且f a ()0 ≠′>且(C )f a ()0f a ()0′<且(D )f a >()0f a ()0<【详解】例2【2001,数一】设f (0)=0,则f (x )在x =0处可导的充要条件为 1(A )lim (1cosh)2f h →0h − 1(B )lim (1)f e −h h →0h存在 1(C )lim (sinh)存在2f h h →0h−存在1[(D )lim (2)()f h f h ]h →0h −存在【详解】2.当自变量x 在x =−1处取得增量x ∆=−0.1时,相例3【2002,数二】设函数f u ()可导,y f x =()应的函数增量∆y 的线性主部为0.1,则f ′(1)=(A )−1【详解(B )0.1 (C )1 (D )0.5】例4【2004,数一、数二】设函数f x ()连续,且f ′(0)0>,则存在δ>0,使得(A )f x ()在(0,) δ内单调增加(B )f x ()在(−δ,0)内单调减少 (C )对任意的x ∈(0,δ),有f x f ()(0)>(D )对任意的x ∈(−δ,0),有f x f ()(0)>【详解】 2()(1)(2)()xx例5【2012,数一、数二、数三】设函数f x e e e n ,其中n 为正整数,则f ′(0) =−−−nx = n −1(A )(1)(1)!nn (B )−−(1)(1)!n−−−n −1(C )(1)!n −n (D )(1)!n 【详解】,0,≤ 例6【2016,数一】已知函数f x ()=x x 111<≤= x n ,1,2, +1n n n ,则(A )x =0是f x ()的第一类间断点(C )f x ()在x =0处连续但不可导【详解(B )x =0是f x ()的第二类间断点(D )f x ()在x =0处可导】重点题型二导数与微分的计算【类型一与方法】分段函数1=例7【1997,数一、数二】设函数f x ()连续,ϕ()()0x f xt dt ∫f x ,且lim()x=A (A 为常数),求ϕ′x →0()x ,x 在x =0处的连续性并讨论ϕ′().【详解】【类型二与方法】复合函数11x x ≥例8【2012,数三】设函数f x ()= <x −,y f f x =(())21,,求x edydx ==__________.【详解】【类型三与方法】隐函数−=x y =()由方程例9【2013,数一】设函数y f x y x e (1)−确定,则1lim 1→∞n n n f−=__________.【详解】y −1例10【2007,数二】已知函数f u ()具有二阶导数,且f ′=(0)1,函数y y x 1=()由方程y xe −=所确定.设z f y x =−(ln sin ),求dz dxx =0,22d zdx x =0.【详解】【类型四与方法】反函数=()在(−∞,+∞)内具有二阶导数,且y ′≠0,x x y =()是y y x 例11【2003,数一、数二】设函数y y x 的反函数=().I )试将(x x y =()所满足的微分方程2dx (sin )0d x3y x dy dy 2++=变换为y y x =()满足的微分方程;(II )求变换后的微分方程满足初始条件y (0)03=,y ′(0)=2的解.【详解】【类型五与方法】参数方程例12【2008,数二】设函数y y x 0() t ln(1)2==()由参数方程x x t =+确定,其中x t ()y u du ∫是初值问题 dx te −x−=dt20 x t =0=|0的解,求2d y 2dx .【详解】【类型六与方法】高阶导数n (0)==−ln(12)在x =0处的n 阶导数y 例13【2010,数二】函数y x ()__________.【详解】2例14【2015,数二】函数f x x ()2x在x =0处的n 阶导数f =⋅()n (0)=__________.【详解】例15【2017,数一】已知函数f x ()=1+1x2,则f (3)(0)=__________.【详解】重点题型三导数应用求切线与法线【类型一与方法】直角坐标y f x =()表示的曲线0arctan x e−t 例16【2002,数一】已知两曲线y =f (x )与y =∫2dt 在点(0,0)处的切线相同,写出此切线2 方程,并求极限lim→∞n n nf.【详解】例17【2000,数二】已知f x ()是周期为5的连续函数,它在x =0的某个领域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x xx 是当x →0时比x 高阶的无穷小,且f x (),其中α+−−=+α()在x =1处可导,求曲线y f x =()在点(6,(6))f 处的切线方程.【详解】=()x x t 【类型二与方法】参数方程 y y t =()表示的曲线1−t −µ02 例18【1999,数二】曲线 x e du=−22ln(2)= y t t ∫在(0,0)处的切线方程为__________.【详解】【类型三与方法】极坐标r r =()θ表示的曲线=θ例19【1997,数一】对数螺线r e 在点2,e ππ2处切线的直角坐标方程为__________.【详解】重点题型四导数应用求渐近线【方法】例20【2005,数二】曲线y =的斜渐近线方程为__________.【详解】例21【2014,数一、数二、数三】下列曲线中有渐近线的是 (A )y x x 2=+sin sin(B )y x x =+2sin x 1(C )y x =+sin x 1【详解(D )y x =+】1例22【2007,数一、数二、数三】曲线ln(1)y e x x=++渐近线的条数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】重点题型五导数应用求曲率【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)22741 例23【2014,数二】曲线 x t =+=++上对应于t =1y t t的点处的曲率半径是(A (B (C )(D )【详解】重点题型六导数应用求极值与最值【方法】例24【1997,数二】已知函数y f x []2=()对一切x 满足()3()1xf x x f x e ′′′ −x .+=−若′f x x ()0(0)00=≠,则(A )f x ()(B )f x 0是f x ()的极大值()0是f x ()的极小值x f x 00是曲线(C )(,())y f x =()的拐点x f x 00也不是曲线0不是f x ()的极值,(,())y f x (D )f x ()【详解=()的拐点】[] 2例25【2000,数二】设函数f x ()满足关系式f x f x x ′′′,且f ′()()+=(0)0=,则(A )f (0)是f x ()的极大值(B )f (0)是f x ()的极小值(C )点(0,(0))f 是曲线y f x =()的拐点 (D )f (0)不是f x ()的极值,点(0,(0))f 也不是曲线y f x =()的拐点【详解】′′例26【2010,数三】设函数f x (),g x ()具有二阶导数,且g x ()0 <.若()g x a 0=是g x ()的极值,则f g x (())在x 0取极大值的一个充分条件是 (B )f a ′>()0(C )f a ″<()0(A )f a ′<()0【详解(D )f a ″>()0】322+++=60确定,求f x ()的极值=()由方程例27【2014,数一】设函数y f x y xy x y .【详解】重点题型七导数应用求凹凸性与拐点【方法】例28【2016,数二、数三】设函数f x ()在(,)−∞+∞内连续,其导函数的图形如图所示,则(A )函数f x ()有2个极值点,曲线y f x =()有2个拐点 (B )函数f x ()有2个极值点,曲线y f x =()有3个拐点 (C )函数f x ()有3个极值点,曲线y f x=()有1个拐点(D )函数f x ()有3个极值点,曲线y f x=()有2个拐点【详解】22例29【2001,数二】曲线y x x =−−(1)(3)的拐点个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3【详解】 例30【2011,数一】曲线(1)(2)(3)(4)y x x x x 234=−−−−的拐点是 (B )(2,0)(C )(3,0)(D )((A )(1,0)【详解4,0)】重点题型八导数应用证明不等式【方法】例31【2000,数一、数二】设f x (),g x ()是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ′′ −<,则当a x b <<时,有(A )()()()()f x g b f b g x(B )>()()()()f x g a f a g x>(C )()()()()f x g x f b g b (D )>()()()()f x g x f a g a >【详解】 例32【2017,数一、数三】设函数f x ()可导,且f x f x ()()0′ >,则(A )f f (1)(1)(B )f f >−(1)(1)<−(C ) f f (1)(1)>−(D )f f (1)(1)<−【详解】例3【2002,数二】设0<<a b,证明不等式2ln ln a b a a b b a−<<22+−【详解】重点题型九 导数应用求方程的根【方法】例34【2003,数二】讨论曲线4ln y x k 与y x x =+4ln 4的交点个数=+.【详解】x 1()2例35【2015,数二】已知函数xf x =+∫∫,求f x ()零点的个数.【详解】重点题型十微分中值定理证明题【类型一与方法】证明含有ξ一个点的等式1例36【1999,数三】设函数f x ()在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f f (0)(1)0==,2f=1.试证:(12I )存在η∈,1,使f ()ηη =;(II )对于任意实数λ,必存在ξη[′∈(0,),使得f f ()()1]ξλξξ−−=.【详解】例37设f x ()在[,]a b 上连续,在(,)=,a >0.证明:存在ξ∈a b 内可导,f a ()0(,)a b ,使得f f ()()aξb ξξ−′=.【详解】例38设函数f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f (1)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f (ξ)+ξf ′(ξ)=0.【详解】,【类型二与方法】证明含有ξη两个点的等式=,f (1)=31例39【2010,数二】设函数f x ()在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f (0)0.证明:存在ξ∈20,21,η∈1,1,使得f f ′′()()ξηξη+=+22.【详解】【类型三与方法】证明含有高阶导数的等式或不等式例40设f x ()在[−1,1]上有三阶连续的导数,f (1)0=,f ′−=,f (1)1(0)0ξ(1,1)=,证明∃∈−,使得f ′′′()3ξ=.【详解】第三章一元函数积分学重点题型一定积分的概念=()在区间[−−3,2],[2,3]例1【2007,数一、数二、数三】如图,连续函数y f x 上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周.()()x=设F x f t dt ∫,则下列结论正确的是 3(A )F F 4(3)(2)=−− 5(B )F F 4(3)(2)=3(C )F F 4(3)(2)−=5(D )F F 4(3)(2)−=−−【详解】2008,数二、数三】如图,曲线段的方程为y f x =()例2【,函数f x ()在区间[0,a ]上有连续的导数,则定积分axf x dx ∫′()等于(A )曲边梯形ABOD 的面积(B )梯形ABOD 的面积(C )曲边三角形ACD 的面积(D )三角形ACD 的面积【详解】x1sin t例3【2009,数三】使不等式t∫dt x >ln 成立的x 的范围是(B )1, 2π (C ) π2,π(D )(,)(A )(0,1)【详解π+∞】40tan πxx例4【2003,数二】设I 1=∫x 4dx ,I 2=0∫tan πx dx ,则(B )1>>I I 12(A )I I 12>>1(C )I I 21>>1【详解(D )1>>I I 21】重点题型二不定积分的计算【类型一与方法】分段函数例5求∫max(,,1)32x x dx .【详解】1x2x 4+例6求+∫1dx .【详解】【类型三与方法】无理函数例7【2009,数二、数三】计算不定积分 +>∫ln 1dx x (0).【详解】ln(1)【类型四与方法】指数有理式例8【2000,数二】设f x (ln )+xx =,计算∫f x dx ().【详解】1例9求∫sin cos x x 3dx .【详解】1例10求∫++x x 1sin cosdx .【详解】(2)∫sin cos 24x xdx 例11求(.1)∫sin 4cos 2cos3x x xdx 1【详解】()1sin 4cos 2cos3(sin 6sin 2)cos3211sin 6cos3sin 2cos32211115sin 4444x x xx x x x x x xx x x x=+=+ sin 9sin 3sin =++−141111 cos9cos5cos3cos 3620124Ix x x x dx x x x x C=++−∫=−−−++(sin 9sin 5sin 3sin )(2)24211cos 211cos 4sin cos sin 2(1cos 2)1(1cos 2cos 4cos 2cos 4)161111cos 2cos 4cos 616321632x x x x x +−x x xx xx x x =⋅=+4282=+−−=+−−1111163216321111 sin 2sin 4sin 6cos 2cos 4cos 6166464192x x x dx x x x x C I =+−− ∫=+−−+ 【类型六与方法】被积函数含有对数函数、反三角函数例12求.【详解】重点题型三定积分的计算【类型一与方法】分段函数,0x x 1≥例13设f x ()= 1+1x,0 <2 1+e x(1)f x dx ,求−∫. 【详解】【类型二与方法】对称区间例14设f x (),g x ()在[−l l ,]上连续,f x f x A ()()+−=,g x ()为偶函数.(()()()lllf xg x dx A g x dx 1)证明:−=∫∫;22xsin arctan xe dx ππ(2)计算−∫;222sin1xππ−(3)计算∫【详解x dx +−e .】【类型三与方法】周期函数100+π2100x x dx sin 2(tan 1)例15 求⋅+∫.【详解】【类型四与方法】被积函数含有变限积分函数或抽象函数的导数0例16【2013,数一】计算∫x 1ln(1)t +dt ,其中f x ()=t ∫.【详解】bf x a()f xg x ()()【类型五与方法】形如+∫dx 的积分例17 求下列积分(20xe sin dx e e sin cos x x π1)+∫(2).【详解】40ln(1tan )π例18 求+∫x dx .【详解】重点题型四反常积分的计算【方法】例19【1998,数二】计算积分【详解】重点题型五反常积分敛散性的判定【方法】1x x (1)a b+∞例20【2016,数一】若反常积分+∫dx 收敛,则(A )a <1且b >1(C )a <1且a b +>1【详解(B )a >1且b >1(D )a >1且a b +>1】重点题型六变限积分函数sin ,0x x x πππ≤<例21【2013,数二】设函数f x ()= 2, 2≤≤0()()x =,F x f t dt ∫,则(A )x =π是函数F x ()的跳跃间断点(B )x =π是函数F x ()的可去间断点(C )F x ()在x =π处连续但不可导(D )F x ()在x =π处可导【详解】例22【2007,数二】设f x ()是区间0,4π上的单调,可导函数,且满足0cos sin sin cos t tf x ()f t dt tdtt t−−1()=x+∫∫其中f−1是f 的反函数,求f x ().【详解】重点题型七 定积分应用求面积【方法】例23【1998,数二】曲线y x x x 322与x 轴所围成的图形的面积A ==−++__________.【详解】66ππcos3θθ例24【2013,数二】设封闭曲线L 的极坐标方程为r =−≤≤,则L 所围平面图形的面积是__________.【详解】=−t (sin )x a t t≤≤=−(1cos )例25求摆线 y a t (02)π与x 轴所围的图形面积.【详解】重点题型八定积分应用求体积【方法】=(),使得由曲线例26【2002,数二】求微分方程xdy x y dx +−=(2)0的一个解y y x y y x =()与直线x =1,x =2以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小. 【详解】例27【2003,数一】过原点作曲线y x =ln 及x 轴围成平面图形D =ln 的切线,该切线与曲线y x .(I )求D 的面积A ;(II )求D 绕直线x e 【详解=旋转一周所得旋转体的体积V .】重点题型九 定积分应用求弧长【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)例28求心形线r a a =+>θ(1cos )(0)的全长.【详解】22020002l d a a d a t dt a tdt a πππ2ππθθθ==2cos 4cos 8cos 8θ===∫∫∫∫∫重点题型十定积分应用求侧面积【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)例29过原点作曲线y =的切线,求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.【详解】设切点为x 0(,切线方程为 )y −0x x ,代入(0,0),得x 0=2,y 0=1x故切线方程为y =2.由曲线y x =≤≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为1126S 1)πππ 1=−∫∫ 1(02)绕x 由yx x 2=≤≤轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为0πS 2==2∫12π因此,所求旋转体的表面积为S S S =+=61).重点题型十一定积分物理应用【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)例30设星形线x a t y a t 33==cos ,sin 上每一点处线密度的大小等于该点到原点的距离的三次方,求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力.x y 处长为ds 的小段到原点的距离【详解】点(,)为r=,线密度为r 3,质量为3r ds ,其中ds a t tdt 3sin cos .32r ds 该小段对质点的引力为dF G Grds r == x ,水平分量为dF dF Gxds x r ⋅,垂直分量为ydF dF Gyds y r=⋅=,故323222cos 3sin cos 0.6,sin 3sin cos 0.6x y F Ga t a t tdt Ga F Ga t a t tdt Ga ππ=⋅==⋅=∫∫重点题型十二证明含有积分的等式或不等式【方法】()cos x=例31【2000,数二】设函数S x t dt ∫.I )当n 为正整数,且n x n (ππn S x n ≤+≤<+(1)时,证明2()<2(1);S x x ()(II )求lim x→+∞.【详解】例32【2014,数二、数三】设函数f x (),g x ()在区间[a b ,]上连续,且f x ()单调增加,0()1g x ≤≤.证明:I )(0(),,xag t dt x a x a b []≤≤−∈∫;()()()a a g t dt b()aaf x dx f xg x dx+∫≤b(II )∫∫.【详解】第四章常微分方程重点题型一一阶微分方程【类型一与方法】可分离变量y1y xx 2∆=()在任意点x 处的增量∆=+ +x 0α,且当∆→时,例1【1998,数一、数二】已知函数y y x α是∆x 的高阶无穷小,y (0)=π,则y (1)等于(B )π (C )e 4ππ(A )2π【详解(D )πe 4】例2【2002,数二】已知函数f x ()在(0,)+∞内可导,f x ()0>,→+∞f x =,且x lim ()1满足1f x hx lim h()f x () h →01=e +x,求f x ().【详解】【类型二与方法】一阶齐次例3【1999,数二】求初值问题0(0)|x =1(+−=>y dx xdy x=0的解 y .【详解】【类型三与方法】一阶线性例4【2010,数二、数三】设y y ,12是一阶线性非齐次微分方程y p x y q x′+=()()的两个特解.若,使λµy y 常数λµ12 是该方程的解,λµy y +12−是该方程对应的齐次方程的解,则(B )λ=−21,µ=−2(A )λ=21,µ=211 3,µ=31(D )λ=23,µ=32(C )λ=2【详解】22例5【2016,数一】若(1)y x =+22(1)y x =++′+=y p x y q x ()() 的两个解,则q x () +(A )3(1)x x 2x x 2(B )−+3(1)(C )1+x x 221x(D )−+x【详解】例6【1999,数三】设微分方程y y x ′−=ϕ2()2,1x ,其中ϕx ()<x =0,1>,试求在(,)−∞+∞内的连续函数y y x=(),使之在(,1)+∞内都满足所给方程,且满足条件y −∞和(1,)(0)0=.【详解】【类型四与方法】伯努利方程(数一掌握,数二、数三大纲不要求)例7求解微分方程 4y y x ′x−.【详解】令z =21,则2z z x ′x −=2,得222211dx 22x x z e x e dx Cx x C − dx +=+=∫∫∫12x Cx 32,其中C 为任意常数+.【类型五与方法】全微分方程(数一掌握,数二、数三大纲不要求)例8求解下列微分方程:22(1)(231)(2)0yyxe x dx x e y dy +−+−=;(2)2223x y x y y −34dx dy +=0.2y【详解】(1)法一:设P x y xe x (,)2312+−(,)2y,Q x y x e y =−,则PQ2xe yyx∂∂==∂∂,方程为全微分方程.u u设存在u x y (,),使得du x y dx dy P x y dx Q x y dy x y∂∂(,)=+=+(,)(,)∂∂,得y y 223u x y xe x dx x e x x y (,)(231)ϕ()=+−=+−+∫∂u由y=+x e y2y ϕ′(),得ϕ′()2∂y y=−2,方程的,ϕ()=−y y 通解为232y +−−=x e x x y C .法二:由232232(231)(2)(2()()()(22)0yy y 22)(31)(2)yyxe x dx x e y dy xe dx x e dy x dx y dyy d x e d x x d y d x e x x y +−+−=++−+−=+−+−=+−−=232y+−−=得x e x x y C .2x (2)设P x y (,)y =y x 4322y −3,Q x y (,)=,则 46P x Qy y x∂∂=−=∂∂.当y ≠0时,方程为全微分方程.2243131xyy x 122x 2 u x y xdx x C y y y−(,)2=+dy x =−++−=∫∫2233方程的通解为x y y Cy −+=.重点题型二二阶常系数线性微分方程【类型一与方法】解的性质与结构1=−32x x ,例9【2013,数二】已知y e xe y e xe 2=−x x 2,y xe 3=−2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件yx =0=0,y ′x =0=1的解为y =__________.【详解】 ′′例10【2004,数二】微分方程y y x x +=++21sin 的特解形式可设为 2∗(A )(sin cos )y ax bx c x A x B x =++++ (2∗(B )sin cos )y x ax bx c A x B x =++++ 2∗(C )sin y ax bx c A x =+++2∗(D )cos y ax bx c A x =+++ 【详解】 2x′′′−+=+例11【2017,数二】微分方程y y y e x 48(1cos 2) 的特解可设为y *=22xx ++(A )Ae e B x C x (cos 2sin 2)22x x ++(B )Axe e B x C x (cos 2sin 2)22xx ++(C )Aexe B x C x (cos 2sin 2)22x x ++(D )Axe xe B x C x (cos 2sin 2)【详解】【类型二】已知微分方程的解反求微分方程11223x x 例12【2015,数一】设y e x e=+−′′′++=是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x 的一个特解,则(A )a =−3,b =2,c =−1(C )a =−3,b =2,c =1(B )a =3,b =2,c =−1(D )a =3,b =2,c =1【详解】 【类型三】解二阶常系数线性微分方程′′′例13【2012,数一、数三】已知函数f x ()满足方程f x f x f x ()()2()0′′+−=及f x f x e ()()2+=x.(I )求f x ()的表达式;22x(II )求曲线y f x f t dt =−()()∫的拐点.【详解】重点题型三高阶常系数线性齐次微分方程【方法】例14求解微分方程y (4)−3y ′′−4y =0.【详解】特征方程为r r 42−−=340,得r 1,2=±2,r i3,4=±,方程的通解为x x −y C e C e C x C x 22cos sin =+++1234.重点题型四二阶可降阶微分方程【方法】(数一、数二掌握,数三大纲不要求)2例15求微分方程()y x y y ″+′=′满足初始条件y y (1)(1)1=′=的特解.′=,则y p 【详解】本题不含y ,令y p ′′′=2′(),原方程化简为p x p p +=,转化为反函数1dx −=dp dp ppdp px p ,得x e e pdp C p p C − =∫∫∫+=+().由p y (1)(1)1=′=,得C =0,从而xp ′=2,于是y =322,得3y x C =+1.由y (1)13221=,得C 1=31,故y x 33=+.重点题型五欧拉方程【方法】(数一掌握,数二、数三大纲不要求)2′′′++=2sin ln 例16求解微分方程x y xy y x .=t,原方程转化为【详解】令x e D D y Dy y t (1)−++=2sin ,即2d y2+dty t =2sin .特征方程为r 2+=10,得λ=±i ,齐次方程的通解为y C t C t =+12cos sin .∗=+(cos sin ),代入方程,得A =−1,B =0,故令y t A t B t y t t ∗=−cos .因此原方程的通解为12y C x C x x x cos ln sin ln ln cos ln =+−⋅.重点题型六差分方程【方法】(数三掌握,数一、数二大纲不要求)+1−=⋅2t的通解为__________例17【1997,数三】差分方程t t y y t . 【详解】齐次方程的通解为y C t =.令t y At B *=+()2t,代入方程,得A =1,B =−2,故t y t*=−(2)2t.因此原方程的通解为y C t t =+−(2)2t. 2y y x x 5的通解为__________例18【2018,数三】差分方程∆−=. 【详解】121121()()()22x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y ++++++∆=∆∆=∆−=−−−=−+原方程化简为y y x x ++21−=25,转化为y y x x x =2x+1−=25.齐次方程的通解为y C .令x y A x*=,代入方程,得A =−5,故y x *=−5.因此原方程的通解为y C x =−25.重点题型七变量代换求解二阶变系数线性微分方程2例19【2005,数二】用变量代换x t t =<<cos (0)x y xy y ′′′π化简微分方程(1)−−+=0,并求其x =0=,y ′满足y |1|2x =0=的特解.【详解】重点题型八微分方程综合题【类型一】综合导数应用2001,数二】设L 是一条平面曲线,其上任意一点P x y x 例20【(,)(0)>到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y 轴上的截距,且L 经过点 12,0,求曲线L 的方程.【详解】【类型二】综合定积分应用例21【2009,数三】设曲线y f x=(),其中f x ()是可导函数,且f x ()0>.已知曲线y f x=()与直线y =0,x =1及x t t =>(1)所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt 倍,求该曲线的方程.【详解】【类型三】综合变限积分例22【()()()1xx−f x t dt x t f t dt e x 2016,数三】设函数f x ()连续,且满足−=−+−∫∫,求f x ().【详解】【类型四】综合多元复合函数x例23【2014,数一、数二、数三】设函数f u ()具有二阶连续导数,z f e y =(cos )满足 ∂∂22z e y e 2x x z z+=+(4cos )∂∂x y22=,f ′若f (0)0(0)0=,求f u ()的表达式.【详解】【类型五】综合重积分例24【1997,数三】设函数f t ()在[0,+∞)上连续,且满足方程x y t 222f t e 4πt f dxdy 2+≤4 ()=+∫∫求f t ().【详解】第五章多元函数微分学重点题型一多元函数的概念【方法】例1【2007,数二】二元函数f x y (,)在点(0,0)处可微的一个充分条件是 ](A )(,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y [f x y f →−=f x f (B )lim(,0)(0,0)x x →0− f y f =0,且lim(0,)(0,0)yy →0−=0(C)(,)limx y→=0[f x f (D )lim (,0)(0,0)0x x ],且′′x →0−=lim (0,)(0,0)0f y f y y ′′y →0−=【详解】例2【2012,数一】如果函数f x y (,)在点(0,0)处连续,那么下列命题正确的是f x y (A )若极限lim (,)x yx →0存在,则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微 f x y (B )若极限lim (,)x y22x →0存在,则f x y (,)在点(0,0)y →0+处可微f x y (C )若f x y (,)在点(0,0)处可微,则极限lim (,)x y x →0y →0+存在f x y (D )若f x y (,)在点(0,0)处可微,则极限lim (,)x y22x →0y →0+存在【详解】例3【2012,数二】设函数f x y (,)可微,且对任意x y ,都有∂f x y x(,)>0,∂f x y (,)<0,则使不等∂y∂式f x y f x y 1122(,)(,)<成立的一个充分条件是(A )x x 12 ,y y >12(B )x x <12,y y >12>(C )x x 12<,y y 12(D )x x <12<,y y 12>【详解】例4【2012,数三】设连续函数z f x y =(,)满足x →0y →=0,则dz (0,1)=__________.【详解】重点题型二多元复合函数求偏导数与全微分【方法】例5【2001,数一】设函数z =f (x ,y )在点(1,1)处可微,且f (1,1)1=,∂(1,1)xf=2∂,∂(1,1)yf =3∂,x f x f x x ϕ()(,(,))=,求dx ϕ3dx ()x =1.【详解】例6【2011,数一、数二】设z f xy yg x =(,()),其中函数f 具有二阶连续偏导数,函数g x ()可导,且在x =1处取得极值g (1)1=,求2x 11y z==∂∂∂x y.【详解】重点题型三多元隐函数求偏导数与全微分【方法】例7【2005,数一】设有三元方程xy −z ln y +e xz =1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A )只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z x y =(,)(B )可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和z z x y =(,)(C )可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y x z =(,)和z z x y =(,)(D )可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z =(,)和y y x z =(,)【详解】例8【1999,数一】设y y x =(),z z x =()是由方程z xf x y =+()和F x y z (,,)0=所确定的函数,dz其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dx.【详解】重点题型四变量代换化简偏微分方程【方法】例9【2010,数二】设函数u f x y 222=(,)具有二阶连续偏导数,且满足等式2241250u u ux y∂∂∂++=∂∂x y ∂∂.确定a bξη∂2u=0,的值,使等式在变换ξ=+x ay ,η=+x by 下简化为∂∂.【详解】重点题型五求无条件极值【方法】222(,)例10【2003,数一】已知函数f x y (,)在点(0,0)的某个邻域内连续,且lim()f x y xyx yx →0y →0−=1+,则(A )点(0,0)不是f x y (,)的极值点(B )点(0,0)是f x y (,)的极大值点(C )点(0,0)是f x y (,)的极小值点(D )根据所给条件无法判别点(0,0)是否为f x y (,)的极值点。
收敛半径的数学故事张宇
收敛半径的数学故事张宇
10月22日晚上六点半,上海建桥学院继续教育学院邀请到了考研数学老师中的大咖――张宇,他为大二、大三正在准备考研的同学带来了一场意义非凡的考研数学讲座。
到场的领导和嘉宾有建桥学院校长助理、学生处处长陈伟副教授,上海建桥学院继续教育学院院长翁国瑞副教授,星空海天教育集团董事长张晓龙先生和星空海天教育集团总经理王蒙先生。
讲座由继续教育学院王毅老师主持。
六点半左右,大礼堂就基本坐满了人,上海建桥学院、上海机电学院、上海海洋大学、上海海事大学的一些同学都来到现场。
张宇老师向同学们说明考研要趁早的必要性。
当今社会的激烈竞争以及大学生数量的急剧增加,考研人数也在急剧增加,以后考研的压力也会越来越大。
张宇老师以幽默诙谐的语气给同学们带来了几道数学考研真题
解析,教同学们如何把数学笔记做的生动、活泼,比如在笔记本上画小人等,现场气氛十分活跃。
讲座的最后,张宇老师现场随机抽取五十位同学,赠送《张宇
18讲》。
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Thank You !
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演讲结束,谢谢大家支持
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-----------------基础不牢,地动山摇-------------------
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第四部分 复习时间安排与应对策略
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2.第二阶段(4月中旬到十月底)
此阶段针对考研题特点,系统全面地一章一章地 复习,多做典型练习题,尤其对一些基础性运算要非 常熟练,使知识模块化,解题方法格式化,并掌握各种 题型的解题方法和技巧.这方面可以求教有经验的 老师或参加有信誉的辅导班.一定要有答疑的机会.
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第三部分 数学卷考试特点分析
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计算性
概念性
推理性
单选题
要求对数学 概念、数学 性质的理解
要求能简单的推理、判定和 比较
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分线也要注意单科线。
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第一部分 考研情况介绍
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- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第三部分
数学卷考试特点分析
一、数学命卷原则
根据数学大纲考察数学基本概念、基本方法 和基本原理为主,加强考察考生的运算能力、抽 象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力和 综合所学知识解决实际问题能力.具体遵循四原 则:科学性与公平性、覆盖全面、控制难易度、 控制题量(一般23 题,其中8个单项选择题, 6个 填空题,9 个解答题)。
级数敛散性证明
线性相关与 线性无关 随即变量的不相关与独立 性,估计的无偏性
矩阵的秩的证明
第三部分
例1.
数学卷考试特点分析
二、数学样题分析
设 f ( x) ln(1 t 2 )dt, g ( x) x3 x 4 , 则x 0时f ( x)是g ( x)的[
第四部分 复习时间安排与应对策略
二、复习时间安排
1.第一阶段(进入大三后的寒假开始到4月中旬) 此阶段复习应该注重基础,把大一大二的三门课 程的教材找出来,按照大纲要求对数学基本概念、 基本公式、定理和方法准确把握,做例题和挑选几 个作业题. -----------------基础不牢,地动山摇-------------------
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如何应对考研数学复习
二○一一年十一月
理学院曹菊生
报告内容
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考研情况简介
数学三考试内容 数学卷考试特点分析
复习时间安排与应对策略
第一部分
一、考研历史
考研情况介绍
八十年代开始研究生入学考试国家就实行了全国三门 基础课统考:数学,英语,政治,另加一门专业基础课.随着 国家对”高素质人才”的需求不断增加和”就业形势”的严 峻,近年”考研”的竞争程度不断加剧. 目前学士型硕士仍然考四门,专业型硕士今年个别院 校试点实行英语,综合考试,专业基础三门,另外加强面试 分数的比例。
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]
(A) 高阶无穷小. (C) 等价无穷小.
(B) 低阶无穷小.
(D) 同阶无穷小但非等价无穷小.
第三部分
例2.
数学卷考试特点分析
记 I1
x2 y2 1
3
1 x y dxdy, I2
第四部分 复习时间安排与应对策略
2.第二阶段(4月中旬到十月底) 此阶段针对考研题特点,系统全面地一章一章地 复习,多做典型练习题,尤其对一些基础性运算要非 常熟练,使知识模块化,解题方法格式化,并掌握各种 题型的解题方法和技巧.这方面可以求教有经验的 老师或参加有信誉的辅导班.一定要有答疑的机会. -----------------曲不离口,拳不离手-----------------
第四部分 复习时间安排与应对策略
4.加强应用意识,不仅要重视几何应用,也 要重视经济应用中的弹性、边际等.
5.训练大脑思维的耐力,考试时间长达三个小 时,题量多达23个,广度和深度远超期末考试. 6.提高计算的准确性,不仅与计算有关的填空 题与单选题不容许出错,而且中大型题若发生错误, 不光要扣去当步分,后面的步骤得分不会超过一半.
2 2
1 x2 y2 2
3
1 x y dxdy, I3
2 2
2 x2 y 2 3
3
1 x y dxdy,
2 2
则下列关系成立的是 (A) I1 I2 I3 .
(B) I2 I1 I3 .
(C) I1 I2 I3 .
[ ] (D) I2 I1 I3 .
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第一部分
二、考试课程设置
数学 150分
考研情况介绍
专业基础 150分
英语 100分
政治 100分
真所谓”得数学者得天下”,据统计数学成绩对于工 学,经济学各专业考生是否被录取至关重要。除了总 分线也要注意单科线。
第一部分
三.数学卷构成
高等数学
线性代数 概率统计
考研情况介绍
56 %
22%
高数
线代 高数 概率
第四部分 复习时间安排与应对策略
4.第四阶段(12月中旬到考试) 此阶段要求考生三天做一套模拟卷(共十套),针 对模拟中出现的问题做最后的补习,查缺补漏,以便 以最佳的状态参加考试. -----------------保持兴奋,充满自信-----------------
祝愿 大家 心想事成
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第三部分
概念性
数学卷考试特点分析
计算性 推理性
单选题
要求对数学 概念、数学 性质的理解
要求能简单的推理、判定和 比较
第三部分
数学卷考试特点分析
简单的计算题
考察”三基” 和数学性质
填空题
扩大试卷覆盖面
难度中等偏下
第三部分
不等式
数学卷考试特点分析
介值定理与零点定理 微分中值定理
定积分不等 式证明
证明题
第四部分 复习时间安排与应对策略
3.第三阶段(11月初到12月中旬) 此阶段要求考生全面快速地再回一遍,熟悉的选 个别题做一下,不熟悉的重点做一遍,考生一定要总 结题型、归纳解题方法,并掌握各种题型的解题方 法和技巧(即每章过后一定要花十来分钟想一下). 这样才能彻底巩固住. -----------------题海无涯,题型有限-----------------
第四部分 复习时间安排与应对策略
一、数学复习应对策略六点
1.深化对数学基本概念的掌握,把握数学基本原理和基 本方法,这是”以不变应万变”的基本功,平时要重视各章节的” 反问题”的训练,以检验数学概念、基本原理和方法掌握是 否牢固. 2.重视数学综合问题(几个知识点),提高分析能力,处理 综合问题的关键点是通过分析选准切入点. 3.提高逻辑推理能力,每年均有一个证明题,且难度有综 合微分与积分的趋势.
22%
N,
第二部分 数学三考试内容
一、高等数学
1.函数、极限、连续(不考极限数学定义) 2.一元函数微分学及其应用(不要曲率及Taylor公式) 3.一元函数积分学及其应用(不要物理应用) 4.常微分方程(不要伯努利方程全微分方程和可降阶二阶方程) 5.差分方程 6.多元函数微分学及其应用(不要方向导数梯度和几何应用) 7.二重积分 8.数项级数与幂级数(不要傅叶级数)
第三部分
例5.
数学卷考试特点分析
设 f ( x) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且满足 f (1) 2 xe1 x f ( x)dx. 证明至少存在一点
1 2 0
(0,1), 使得 f ( )
N,
第二部分 数学三考试内容
一、线性代数
1.行列式 2.矩阵 3.向量 4.线性方程组 5.特征值与特征向量 6.二次型
N,
第二部分 数学三考试内容
一、概率统计
1.随机事件及其概率 2.随机变量及其概率分布 3.多维随机变量及其分布 4.随机变量的数字特征 5.大数定律与中心极限定理 6.统计量的分布 7.矩估计与最大似然估计
数学卷考试特点分析
设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 x32 2x1 x2 2x1x3 2ax2 x3 , 通过正交变换化为标准型 f 2 y12 2 y22 by32 , 求常数 a, b 及所用正交变换矩阵 Q. 若 xT x 3, 求 f 的最大值.
第三部分
例3.
数学卷考试特点分析
dx x x 1
2
1
______________________.
第三部分
例4.
数学卷考试特点分析
2u 2u 1 u 设 u u( x2 y 2 ) 具有二阶连续偏导数, 且满足 2 2 u x2 y 2 , 求 u 的表 x y x x 达式.