2003年全国高中数学联合竞赛试卷及评分标准

2003年全国高中数学联合竞赛试卷及评分标准

一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是

A．2046B．2047 C．2048 D．2049 答（）2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是

A B

答（）3．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B 两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于

A．

3

16

B．

3

8

C．

3

3

16

D．3

8

答（）

4．若)

3

,

12

5

(

π

π

-

-

∈

x，则)

6

cos(

)

6

tan(

)

3

2

tan(

π

π

π

+

+

+

-

+

=x

x

x

y的最大值是

A．

5

2

12

B．

6

2

11

C．

6

3

11

D．

5

3

12

答（）

5.已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数

2

29

9

4

4

y

x

u

-

+

-

=的最小值是

A．

5

8

B．

11

24

C

7

12

．D．

5

12

答（）

6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝3，直线AB与CD的距离为2，夹角为

3

π

，则

四面体ABCD的体积等于

A．

2

3

B．

2

1

C．

3

1

D．

3

3

答（）

二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 | x | 3－2x 2－4| x | ＋3 < 0 的解集是____________________．

8

．设F 1，F 2是椭圆14

92

2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．

9．已知A ＝{x ｜x 2－4x ＋3＜0，x ∈R }，B ＝{x ｜21－

x ＋a ≢0，x 2－2(a ＋7)＋5≢0，x ∈R }，

若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________________．

10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且4

5log 23log ==d b c a ，，若a －c ＝9，则b －d ＝ ．

11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．

12．设M n ＝{(十进制)n 位纯小数n a a a 21.0｜a i 只取0或1（i ＝1，2，…，n －1，a n ＝1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则n

n

n T S ∞

→lim

＝_______．

三．解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．设

2

3

≢x ≢5，证明不等式1923153212<-+-++x x x ． 14．设A ，B ，C 分别是复数Z 0＝ai ，Z 1＝2

1

＋bi ，Z 2＝1＋ci （其中a ，b ，c 都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线

Z ＝Z 0cos 4t ＋2Z 1cos 2t sin 2t ＋Z 2sin 4t （t ∈R ） 与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．

15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

2003年全国高中数学联合竞赛加试试卷

一．（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠

PBC ．求证：∠DBQ ＝∠P AC ．

二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l ，m ，n ，且l ＞m ＞n ，已知

}103{}103{}103{444n

m l ==，其中{x }＝x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．

P

A

B

C Q