2019版一轮优化探究文数第七章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题练习

一、填空题
1．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
y ≤x ，
x ＋y ≥1，
x ≤2，
则z 的最大值为
________．
解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得 A (2,2)，B (12，1
2)，C (2，－1)．作出目标函数直线y ＝2x －z ，当直线经过点C (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝5. 答案：5
2．在约束条件⎩⎨⎧
0≤x ≤1，
0≤y ≤2
2y －x ≥1
下，(x －1)2＋y 2的最小值为________．
解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所
求的(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离，
可求得(x －1)2＋y 2的最小值为 |1－2×0＋1|12＋(－2)2＝25
5.
答案：255
3．若x 、y 满足 ⎩⎨⎧
x ＋y ≥6
x ≤4
y ≤4
，则z ＝y －1
x －1
的最大值是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包
括边界)．z ＝y －1
x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连
线的斜率．由图可知z ＝
y －1
x －1
的最大值为k AB ＝3.
答案：3
4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧
x ＋y ≤4，
y ≥x ，
x ≥1，
点O 为坐标原点，那么|PO |的
最小值等于________，最大值等于________．
解析：画出约束条件对应的可行域，如图，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)． ∴|PO |min ＝2， |PO |max ＝10. 答案：2
10
5．现要挑选x 名女同学，y 名男同学参加某项游戏活动，其中x 和y 满足约束条
件⎩⎨⎧
x ＋y ≥4，x ＋4≥y ，x ≤4，
则挑选出男女同学总数和的最大值为
________．
解析：画图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(4,0)，(4,8)，(0,4)，把此三点坐标代入z ＝x ＋y ，知点在(4,8)时，z ＝x ＋y 的最大值是4＋8＝12，应填12. 答案：12
6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧
x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，
x ≤a (a 是常数)
所表示的平面区域的面积
是9，那么实数a 的值为________．
解析：由题易知当a ≤－2时，不等式组表示的平面区域不存在；
当a >－2时，不等式组表示的平面区域为三角形ABC ，如图所示，分别求出三条直线的交点坐标：A (a ，a ＋4)，B (a ，－a )，C (－2, 2)，故|AB |＝a ＋4－(－a )＝2a ＋4，点C 到直线AB 的距
离为d ＝a －(－2)＝a ＋2，所以三角形ABC 的面积S ＝1
2(2a ＋4)·(a ＋2)＝9，解得
a ＝1或a ＝－5(舍去)． 答案：1
7．不等式⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≥0，
y ≤－kx ＋4k
(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则
kS
k －1
的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝1
2×4×4k ＝8k . ∵k >1，∴k －1>0.
于是，kS k －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8
k －1，即k ＝2
时取等号． 答案：32
8．设不等式组⎩⎨⎧
x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象
上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________． 解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．
由⎩⎨⎧
x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点 A (2,9)．
对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上． 当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3. 答案：1<a ≤3
9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧
y ≥1，
y ≤2x －1，
x ＋y ≤m ，
若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围
是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．
解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所
示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，联立方程⎩
⎨⎧
y ＝x ＋1，
y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(2,3)，此
时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎨
⎧
y ＝x ＋2，
y ＝2x －1，
可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，所以目标函数的最大值的取值范围是[3,6]． 答案：[3,6] 二、解答题
10．若{(x ，y )|⎩⎨⎧
x －2y ＋5≥03－x ≥0
x ＋y ≥0
}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的范围．
解析：设A ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧
x －2y ＋5≥0
3－x ≥0
x ＋y ≥0
}，B ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |，由 ⎩
⎨⎧
x －2y ＋5＝03－x ＝0， 解得⎩⎨⎧
x ＝3y ＝4，即P (3,4)，
∴|PO |＝5，即m ≥5.
11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率． (1)求a ＋b ＋c ；
(2)求b
a 的取值范围．
解析：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝－1.
(2)由c ＝－1－a －b ，∴f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，
从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎨⎧ g (0)>0g (1)<0，即⎩⎨⎧
a ＋
b ＋1>02a ＋b ＋3<0，
作出可行域如图所示．而b a ＝b －0
a －0
表示可行域中的点(a ，b )与原
点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－1
2，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，∴k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－1
2)．
12．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？ 解析：将已知数据列成下表：
设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，
从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，
于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y
＋126.
∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
12－x －y ≥0
7－x ≥0
8－y ≥0
x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0
，即⎩⎨⎧
x ＋y ≤12
0≤x ≤7
0≤y ≤8
x ＋y ≥7
，
目标函数为z ＝x －2y ＋126.
作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，则x ＝0， y ＝8时总运费最小．
安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．。