2020-2021数北师大必修5教师用书：第1章章末综合提升 Word含解析

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2020-2021学年高中数学北师大版必修5课件：第1章 1 第2课时数列的函数特性

“磨刀之石”用精密仪器度量，则每日的质量按日期排在一起，也
可组成一个数列，那么数列如何定义呢？“春起之苗”的高度组成的数列与“磨刀之石”的质量组成的数列又有何特征呢？
• 几种数列的概念
• (1)数列按照项与项之间的大小关系可分为递_增_______数列递，减________
摆数动列，________数常列和_________数列．
(2)利用作商比较法 ①若 an>0 则当aan＋n 1>1 时，数列{an}是递增数列；当aan＋n 1<1 时，数列{an}是递减数列；当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
②若 an<0，则当aan＋n 1<1 时，数列{an}是递增数列；当aan＋n 1>1 时，数列{an}是递减数列． ③当aan＋n 1＝1 时，数列{an}是常数列．
• [解析] ∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝－4<0. • ∴an＋1<an，∴数列为递减数列．
互动探究学案
填
命题方向1 ⇨数列的表示法的应用
•
(1)根据数列的通项公式填表：
n 12…5…
…
n
an
…
… 153 … 3(3＋4n)
• (2)画出数列{an}的图像，其中an＝3n－1.
• 『规律总结』判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数项列之间、的常大数小列关的系定来义确进定行数，列即的通单过调判性断．一个数列{an}的任意相邻两
• (1)利用作差比较法
• ①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； • ②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； • ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．

新版高中数学北师大版必修5课件：第一章数列本章整合

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专题一数列的通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与规律,而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.下面介绍几种常用的求法. 1.辅助数列法利用数列的递推公式,构造一个新的数列(等差或等比数列),由新数列的通项公式求得通项公式.
方法如下:由an+1-an=f(n),得当n≥2时,an-an-1=f(n-1),an-1-an-2=f(n-2),…
a3-a2=f(2),a2-a1=f(1). 将以上n-1个等式叠加,得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1), 所以an=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1. 为了书写方便,也可以用横式来写:
∴an+an-1=3(an-1+an-2)或 an-3an-1=-(an-1-3an-2),
∴{an+an-1}是首项为 a2+a1=7,公比为 3 的等比数列,{an-3an-1}
是首项为 a2-3a1=-13,公比为-1 的等比数列.
∴an+an-1=7×3n-2(n≥2),
①
an-3an-1=(-1)n-2(-13)(n≥2),
解:由an+1-an=3n-n, 得an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), …
a3-a2=32-2,
a2-a1=3-1. 当n≥2时,将以上n-1个等式两端分别相加,得

2021-2022学年高中数学北师大版必修5讲义：第1章 3.1 第2课时等比数列的性质

第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1．结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．2．理解等比数列的性质及应用．(重点) 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)1．通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理素养．2．通过学习等比中项的概念，提升数学运算素养．1．等比数列的单调性阅读教材P 23思考交流以下P 24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n }，通项公式a n ＝a 1·q n －1＝a 1q ·q n．根据指数函数的单调性，可分析当q ＞0时的单调性如下表：a 1 a 1＞0 a 1＜0 q 的范围 0＜q ＜1 q ＝1 q ＞1 0＜q ＜1 q ＝1 q ＞1 {a n }的单调性递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列思考：(1)若等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝12，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 递减数列．(2)等比数列{a n }中，若公比q ＜0，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 数列{a n }不具有单调性，是摆动数列． 2．等比中项阅读教材P 25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫作a ，b 的等比中项． (3)满足关系式：G 2＝ab ．思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？[提示]不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？[提示]不唯一，如2和8的等比中项是4或－4．1．已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()A．－12B．－2C．2 D．12D[由a5＝a2q3，得q3＝a5a2＝142＝18，所以q＝12，故选D．]2．将公比为q的等比数列{a n}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列B[由于a n a n＋1a n－1a n＝a na n－1×a n＋1a n＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以{a n a n＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]3．等比数列{a n}中，若a1＝2，且{a n}是递增数列，则数列{a n}的公比q的取值范围是________．(1，＋∞)[因为a1＝2＞0，要使{a n}是递增数列，则需公比q＞1．]4．4－23与4＋23的等比中项是________．2或－2[由题意知4－23与4＋23的等比中项为±(4－23)(4＋23)＝±16－12＝±2．]等比中项的应用【例1】(2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，则ca ＋ac 的值为________．(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4，当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去，所以x ＝－4．(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c 成等差数列，得 ⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c ，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以c a ＋ac ＝1＋1＝2．]应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零. (2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程.[跟进训练]1．(1)已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b 2的值是( )A ．1或12B ．1或－12C ．1或13 D ．1或－13(2)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________． (1)D (2)4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1[(1)由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b ＝2，所以⎩⎨⎧ ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎨⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－13． (2)由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1．]巧设等比数列解题【例2】 8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8 [由题意设此四个数分别为bq ，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎨⎧2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎨⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8．]灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列设为，a ，aq .(2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq ，aq 3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.[跟进训练]2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．－25，1，－52 [设这三个数分别为aq ，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52．]等比数列的性质及应用[1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·q n －m ．2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p ＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n ． 3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ．【例3】 (1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.(2)设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 020和a 2 021是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________.思路探究：利用等比数列的性质求解．(1)128 (2)2·310 (3)－(－2)n －1 [(1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n ＞0，所以a 4＝2， a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128.(2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，由q >1，得a 2 020＝12，a 2 021＝32，q ＝3，所以a 2 030＋a 2 031＝(a 2 020＋a 2 021)q 10＝2·310.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512，又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝128，a 8＝－4，因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2，故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1.]1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10．[解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4，当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7，当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7．故a 1＋a 10＝－7．2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|． [解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512，故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229＝9．等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n＝a m·q n－m(m，n∈N＋).性质2：若{a n}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则a k·a l＝a m·a n.特别的，若k＋φ＝2m(m，k，φ∈N)，则a k·aφ＝＋性质3：若{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λb n}，仍是等比数列.性质4：在等比数列{a n}中，序号成等差数列的项仍成等比数列.性质5：递增；递减；q＝1⇔{a n}为常数列；q＜0⇔{a n}为摆动数列.1．在解决与等比数列有关的计算问题时，我们首先想到的方法是通法，即通过解方程组求两个基本量首项a1和公比q，求解过程中要注意整体代换方法的应用，但是有些问题合理地选择性质求解，可以减少运算量，提高解题效率．2．解数列的实际应用题时，首先要分清是哪种数列模型，是求某一项，还是求某些项的和，再用相应的公式求解．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{－2n－1}是递减数列．()(2)等比数列{a n}中，a1＞1，q＜0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|a n|，…是递增数列．()(3)若G是a，b的等比中项，则G2＝ab，反之也成立．()[答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G ＝a ＝b ＝0．2．在等比数列{a n }中，a 4＝6，则a 2a 6的值为( ) A ．4 B ．8 C ．36D ．32C [因为{a n }是等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝36．]3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝ ____________________________________________________． 3 [因为a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，所以q 3＝a 891a 888＝813＝27．所以q ＝3．]4．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．[解] 在等比数列{a n }中，由a 3a 4a 5＝a 34＝8，得a 4＝2，又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32．。

2021_2022学年高中数学阶段提升课第一课数列教师用书教案北师大版必修5.doc

阶段复习课第一课数列思维导图·构建网络考点整合·素养提升题组训练一等差、等比数列的判定1.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.证明是等比数列,并求{a n}的通项公式. 【解析】由a n+1=3a n+1得,a n+1+=3a n+=3,又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.a n+=,因此{a n}的通项公式为a n =.2.设S n为数列{a n}的前n项和,对任意的n∈N*,都有S n=2-a n,数列{b n}满足b1=2a1,b n =(n ≥2,n∈N*).(1)求证:数列{a n}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)判断数列是等差数列还是等比数列,并求数列{b n}的通项公式.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,解得a1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-1-a n,即=(n≥2,n∈N*).所以数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列,故数列{a n}的通项公式为a n =.(2)因为a1=1,所以b1=2a1=2.因为b n =,所以=+1,即-=1(n≥2).所以数列是首项为,公差为1的等差数列.所以=+(n-1)·1=,故数列{b n}的通项公式为b n =.判定一个数列是等差或等比数列的方法定义法a n+1-a n=d(常数)⇔{a n}是等差数列=q(非零常数)⇔{a n}是等比数列中项公式法2a n+1=a n+a n+2(n∈N+)⇔{a n}是等差数列=a n a n+2(a n+1a n a n+2≠0)⇔{a n}是等比数列通项公式法a n=pn+q(p,q为常数)⇔{a n}是等差数列a n=cq n(c,q均为非零常数)⇔{a n}是等比数列前n 项和公式法S n=An2+Bn(A,B为常数)⇔{a n}是等差数列S n=kq n-k(k为常数,且q≠0,k≠0,q≠1)⇔{a n}是等比数列提醒:在解答题中证明一个数列是等比(或等差)数列通常用定义法和中项公式法,通项公式法和前n项和公式法常在小题或分析题意时应用.题组训练二数列通项公式的求法1.若数列{a n}是正项数列,且++…+=n2+3n(n∈N*),则a n=.【解析】因为++…+=n2+3n(n∈N*),①所以++…+=(n-1)2+3(n-1)(n≥2),②①-②,得=n2+3n-[(n-1)2+3(n-1)]=2(n+1),所以a n=4(n+1)2(n≥2).又=12+3×1=4,故a1=16,也满足式子a n=4(n+1)2,故a n=4(n+1)2.答案:4(n+1)22.已知在数列{a n}中,a n+1=a n(n∈N+),且a1=4,则数列{a n}的通项公式a n=.【解析】由a n+1=a n,得=,故=,=,…,=(n≥2),以上式子累乘得,=··…···=,因为a1=4,所以a n=(n≥2),因为a1=4满足上式,所以a n=.答案:3.已知数列{a n}满足a1=2,a n-a n-1=n(n≥2,n∈N+),则a n=.【解析】由题意可知,a2-a1=2,a3-a2=3,…,a n-a n-1=n(n≥2),以上式子累加得,a n-a1=2+3+…+n.因为a1=2,所以a n=2+(2+3+…+n)=2+=(n≥2).因为a1=2满足上式,所以a n=.答案:4.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=(a n>0,n∈N+),则a n=.【解析】因为数列{a n}满足a1=2,a n+1=(a n>0,n∈N+),所以log2a n+1=2log2a n,即=2,又a1=2,所以log2a1=1,故数列{log2a n}是首项为1,公比为2的等比数列,所以log2a n=2n-1,即a n=.答案:数列通项公式的求法(1)定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知S n求a n.若已知数列的前n项和S n与a n的关系,求数列{a n}的通项a n可用公式a n=求解.(3)由递推式求数列通项法.对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.(4)待定系数法(构造法).求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.题组训练三公式法求和1.设{a n}为等差数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S7=7,S15=75,T n为数列的前n项和,求T n.【解析】设等差数列{a n}的首项为a1、公差为d,则S n=na1+n(n-1)d,所以即解得a1=-2,d=1,所以=-2+(n-1)=-.而-=-=,所以数列是等差数列,其首项为-2,公差为,所以T n=-2n+·n(n-1)·=n2-n.2.已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.【解析】(1)由已知a1b2+b2=b1,又b1=1,b2=, 所以a1=2,{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,所以a n=2+3(n-1)=3n-1,n∈N+.(2)由(1)及已知,3nb n+1=nb n,即=,所以{b n}是首项为1,公比为的等比数列,记{b n}的前n项和为S n,S n==(-+1),n∈N+.公式法求和注意事项(1)直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论.(2)几类可以使用公式求和的数列①等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求和.②奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为奇数和偶数时,分组求和,分别使用等差数列或等比数列的求和公式.③等差数列各项加上绝对值,等差数列各项乘以(-1)n等.题组训练四裂项相消求和1.已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设{a n}的公比为q,由已知,a1+a4=a1+a1q3=9,a2a3=q3=8,所以a1=1,q=2,所以a n=a1q n-1=2n-1,n∈N+.(2)由(1)及已知,S n===2n-1,b n===-,所以T n=b1+b2+…+b n=++…+=-=1-,n∈N+.2.(2020·邯郸高一检测)已知数列为正项等比数列,满足a3=4,且a5,3a4,a6构成等差数列,数列满足b n=log2a n+log2a n+1.(1)求数列,的通项公式;(2)若数列的前n项和为S n,数列满足c n=,求数列的前n项和T n.【解题指南】(1)先设等比数列的公比为q(q>0),根据a3=4,且a5,3a4,a6构成等差数列,求出q,即可得出的通项公式,再由b n=log2a n+log2a n+1,可得出的通项公式;(2)先由等差数列的前n项和公式求出S n,再由裂项相消法求出T n即可.【解析】(1)设等比数列的公比为q(q>0),由题意,得a5+a6=6a4⇒q+q2=6 解得q=2或q=-3(舍),又a3=4⇒a1=1,所以 a n=a1q n-1=2n-1,b n=log2a n+log2a n+1=n-1+n=2n-1.(2)S n===n2,所以c n==,所以T n==.1.裂项相消法求和的原理及注意问题(1)原理:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.(2)注意:在相加抵消过程中,有的是依次抵消,有的是间隔抵消,特别是间隔抵消时要注意规律性.(3)一般地,若{a n}为等差数列,则求数列的前n项和可尝试此方法,事实上,===·.2.用裂项法求和的裂项原则及规律(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.常见的裂项数列(n为正整数) 裂项方法===-log a=log a(n+1) -log a n(a>0,a≠1)题组训练五错位相减法求和1.已知数列{a n}的首项a1=1,且满足(a n+1-1)a n+a n+1=0(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设c n=,求数列{c n}的前n项和S n.【解析】(1)整理得-=1,所以数列是以首项为1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)=n,所以a n=.(2)由(1)知,c n=n·3n,S n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,①3S n=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n+n×3n+1,②①-②有-2S n=3+32+33+…+3n-n×3n+1,解得S n=×3n+1+.2.(2020·大庆高一检测)已知数列满足na n+1=2a n(n+1),a1=2,设b n=.(1)证明数列为等比数列;(2)求数列的前n项和S n.【解题指南】(1)由b n+1=qb n(q为非零常数)且b1≠0可证得为等比数列.(2)可得a n=n·2n,则可由错位相减法求和.【解析】(1)由na n+1=2a n(n+1),可得=2.而b n=,所以b n+1=2b n.又b1==2,所以数列为首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)得为首项是2,公比是2的等比数列,所以b n=2·2n-1=2n.由b n=可得a n=nb n=n·2n.所以S n=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,则2S n=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1.以上两式相减得-S n=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,所以S n=-2n+1+2+n·2n+1=2n+1+2.错位相减法求和的适用条件及关注点(1)适用条件:如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成,那么这个数列的前n项和可用此法来求.即求数列{a n·b n}的前n项和,其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列.(2)关注点:①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;②在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“S n-qS n”的表达式. 题组训练六分组求和1.已知函数f(n)=且a n=f(n)+f(n+1),记S n表示{a n}的前n项和,则S100= .【解析】当n为奇数时,a n=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1,当n为偶数时,a n=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1,则S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+a6+a8+a10+…+a100)=-2×(1+3+5+7+9+…+99)-50+2×(2+4+6+8+10+…+100)+50=100.答案:1002.已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}是等比数列;(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由已知,a4=a1+3d=12,又a1=3,所以d=3,a n=3n,n∈N+,设{b n-a n}的公比为q,由已知,b1-a1=1,b4-a4=(b1-a1)q3=8,所以q=2,b n-a n=2n-1,b n=2n-1+3n,n∈N+,综上,a n=3n,b n=2n-1+3n,n∈N+.(2)由(1)知,b n=2n-1+3n,数列{2n-1}的前n项和为=2n-1,数列{3n}的前n项和为n(n+1),所以数列{b n}的前n项和为2n+n(n+1)-1,n∈N+.分组求和运用技巧将数列的每一项拆成多项,然后重新分组,将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”,化繁为简.题组训练七数列{|a n|}的前n项和1.数列{a n}的前n项和为S n=n2-6n,则a2= ;数列{|a n|}的前10项和|a1|+|a2|+…+|a10|= .【解析】当n=1时,a1=S1=-5,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7,所以a2=2×2-7=-3,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=5+3+1+1+3+…+13=9+×7=58.答案:-3 582.在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+…+|a n|.【解析】(1)由已知5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或4,所以a n=-n+11,n∈N+或a n=4n+6,n∈N+ .(2)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.所以S n=-n2+n,当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=求数列{|a n|}的前n项和的一般步骤第一步:求数列{a n}的前n项和;第二步:令a n≤0(或a n≥0)确定分类标准;第三步:分两类分别求前n项和;第四步:用分段函数形式下结论;第五步:反思回顾,查看{|a n|}的前n项和与{a n}的前n项和的关系,以防求错结果.题组训练八并项法求和1.在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4+…+(-1)n b n,求T n.【解析】(1)由已知,=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),又d=2,所以a1=2,所以{a n}的通项公式为a n=2n,n∈N+.(2)由(1)及已知,b n==n(n+1),所以b n-b n-1=2n,n≥2,①若n=2k,k∈N+,T n=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-b n-1+b n)=4+8+…+2n==,②若n=2k-1,k∈N+,T n=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-b n)=T n-1+(-b n)=-n(n+1)=-.综上,T n=由(1)及已知,b n==n(n+1),所以b n-b n-1=2n,n≥2,所以T n=-b1+b2-b3+b4+…+(-1)n b n,①-T n=b1-b2+b3-b4+…+(-1)n+1b n,②①-②,得2T n=-b1+[(b2-b1)-(b3-b2)+(b4-b3)+…+(-1)n(b n-b n-1)]-(-1)n+1b n=[-2+4-6+8+…+(-1)n2n]-(-1)n+1n(n+1),若n是偶数,2T n=[-2+4-6+8+…+(-1)n2n]-(-1)n+1n(n+1)=(-2+4-6+8+…+2n)+n(n+1)=2×+n(n+1)=n2+2n=n(n+2),所以T n=;若n是奇数,2T n=[-2+4-6+8+…+(-1)n2n]-(-1)n+1n(n+1)=[-2+4-6+8+…+(-2n)]-n(n+1)=2×-2n-n(n+1)=-n2-2n-1=-(n+1)2,所以T n=-,综上,T n=2.已知数列{a n}的前n项和S n=,n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.【解析】(1)①a1=S1=1,②若n≥2,a n=S n-S n-1=-=n,综上,{a n}的通项公式为a n=n,n∈N+.(2)由(1)及已知,b n=+(-1)n a n=2n+(-1)n n,记数列{b n}的前2n项和为T2n,所以T2n=b1+b2+…+b2n=(21-1)+(22+2)+(23-3)+(24+4)+…+[22n-1-(2n-1)]+(22n+2n)=(21+22+23+24+…+22n-1+22n)+(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=+n=22n+1+n-2,所以{b n}的前2n项和为T2n=22n+1+n-2,n∈N+.并项法求和注意事项(1)应用范围:形如a n=(-1)n f(n)的摆动数列,求其前n项和T n.(2)步骤:先求前2k项和T2k,再借助T2k=T2k-1+a2k求前2k-1项和T2k-1,综合起来,得到前n项和T n. 题组训练九用函数思想解决数列问题1.若数列{a n}的通项公式为a n=n2+λn,且{a n}是递增数列,则实数λ的取值范围是. 【解题指南】利用a n+1>a n求解,或利用函数y=x2+λx的图像求解.【解析】方法一:a n+1-a n=(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)=2n+1+λ,由于{a n}是递增数列,故2n+1+λ>0恒成立,即λ>-2n-1,又n∈N+,-2n-1≤-3,故λ>-3.方法二:由于函数y=x2+λx在上单调递增,结合其图像(图像略)可知,若数列{a n}是递增数列,则a2>a1,即22+2λ>1+λ,即λ>-3.答案:(-3,+∞)2.设数列{a n},{b n}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,若{a n+1-a n}是等差数列,{b n+1-b n}是等比数列.(1)分别求出数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}中最小项及最小项的值.【解题指南】根据等差、等比数列的通项公式求{a n},{b n}的通项公式,然后利用函数的思想求{a n}的最小项及最小项的值.【解析】(1)a2-a1=-2,a3-a2=-1,由{a n+1-a n}成等差数列知其公差为1,故a n+1-a n=-2+(n-1)·1=n-3;b2-b1=-2,b3-b2=-1,由{b n+1-b n}成等比数列知,其公比为,故b n+1-b n=-2·,a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)·(-2)+·1+6=-2n+8=,b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+(b n-2-b n-3)+…+(b2-b1)+b1=+6=2+23-n.(2)因为a n==+,所以n=3或n=4时,a n取到最小值,a3=a4=3.函数思想在数列问题中的应用数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数.运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系,等差数列有n项和公式与二次函数有密切关系,故可用函数的思想来解决数列问题.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修五模块质量检测1及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五模块质量检测(一)(江西专用)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A.1a ＜1b B.－a ＜ b C ．a 2＜b 2D ．|a|＞|b|解析：如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b ＞0，∴1a ＜1b . 答案： A2．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析： ab ≤a ＋b 2＝4，故选B.答案： B3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2解析：由正弦定理，得6sin 120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝2，故选D. 答案： D4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为( ) A ．48 B ．54 C ．60D ．66解析：因为a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝12，所以S 9＝a 1＋…＋a 9＝54. 答案： B5．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．－14D ．14解析：不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，即方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为x ＝－12或13，故⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 答案： C6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2accos B ．由已知，得2accos B ·sin Bcos B ＝3ac ，即sin B ＝32，又B 是三角形的内角，所以B ＝π3或2π3.故选D. 答案： D7．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，若b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．1 B.56 C.16D.130解析： ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2∴{a n }是等差数列又∵a 1＝1，a 2＝2∴a n ＝n又b n ＝1a n ·a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16 ＝1－16＝56，故选B. 答案： B8．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则k ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：作平面区域如图所示，k ＝y －1x ＋1表示点(x ，y)与点(－1,1)连线的斜率，故选D.答案： D9．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝( )A ．(2n－1)2B.13(2n－1) C ．4n－1D.13(4n－1) 解析：由已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，所以a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－a 1＝2，所以公比q ＝2. 又因为a n ＋12a n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2＝4，所以数列{a n 2}是以q 2＝4为公比的等比数列，所以a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案： D10．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( )A.154B.154 3C.2143 D.3543解析：由题可知a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，∴a ＝c ＋4. ∵sin A ＝32，∴A ＝120°. 又cos A ＝cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，整理得c 2－c －6＝0，∴c ＝3(c ＝－2舍去)，从而b ＝5， ∴S △ABC ＝12bcsin A ＝154 3.故选B.答案： B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知x ，y ∈R ＋，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为________．解析：由已知，2＝2x ＋y ≥22xy ＝22c ，所以c ≤12.答案：1212．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．解析：由2x 2＋2x －4≤12＝2－1得x 2＋2x －4≤－1即x 2＋2x －3≤0 ∴－3≤x ≤1∴原不等式的解集为{x|－3≤x ≤1}．答案： [－3,1]13．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11＝4，则数列log 12a n 前19项之和为________．解析：由题意a n ＞0，且a 1·a 19＝a 2·a 18＝…＝a 9·a 11＝a 102，又a 9·a 11＝4，所以a 10＝2，故a 1a 2…a 19＝(a 10)19＝219. 故log 12a 1＋log 12a 2＋…＋log 12a 19＝log 12(a 1a 2…a 19)＝log 12219＝－19.答案：－1914．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析： ∵c 2＝a 2＋b 2－2abcos ∠C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0， ∴(a ＋2)(a －1)＝0 ∴a ＝1 答案： 115．设关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为{x|x ＞1}，则关于x 的不等式ax ＋bx 2－5x －6＞0的解集为________．解析：由题意得：a ＞0且－ba＝1.又原不等式可变为(x －6)(x ＋1)(ax ＋b)＞0，故由右图可知{x|－1＜x ＜1或x ＞6}．答案： {x|－1＜x ＜1或x ＞6}三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)解关于x 的不等式x 2－x －a(a －1)＞0(a ∈R)．解析：原不等式可以化为： (x ＋a －1)(x －a)＞0.若a ＞－(a －1)，即a ＞12时，则x ＞a 或x ＜1－a ；若a ＝－(a －1)，即a ＝12时，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＞0，即x ≠12，x ∈R ；若a ＜－(a －1)，即a ＜12时，则x ＜a 或x ＞1－a.综上所述，原不等式的解集是：当a ＞12时，{x|x ＞a 或x ＜1－a}；当a ＝12时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12，x ∈R；当a ＜12时，{x|x ＜a 或x ＞1－a}．17．(12分)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 000 m 的C 、D 两地(A ，B ，C ，D 在同一平面上)测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)．假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A 、B 两地之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线(精确到0.1 m)？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)解析：在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°， CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，得AD ＝CDsin 45°sin 60°＝23CD. 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，得BD ＝CDsin 30°sin 135°＝22CD.又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝1 00042，而1.2AB ≈7 425.6，则实际所需电线长度约为7 425.6 m. 18．(12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C＝{x|x 2－4ax ＋3a 2＜0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：由x 2＋2x －8＞0，得x ＜－4或x ＞2，所以A ＝{x|x ＜－4或x ＞2}；由6＋x －x 2＞0，即x 2－x －6＜0，得－2＜x ＜3，所以B ＝{x|－2＜x ＜3}．于是A ∩B ＝{x|2＜x ＜3}．由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －a)(x －3a)＜0，当a ＞0时，C ＝{x|a ＜x ＜3a}，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎨⎧a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0即为x 2＜0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ；当a ＜0时，C ＝{x|3a ＜x ＜a}，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎨⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a|1≤a ≤2}．19．(12分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7.(1)求角C ； (2)求a 、b 的值．解析： (1)设x 1，x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a ，x 1·x 2＝－b a ，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4ba ＝4. ∴a 2＋b 2－c 2＝ab. 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.(2)由S ＝12absin C ＝103，∴ab ＝40①由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，即c 2＝(a ＋b)2－2ab(1＋cos 60°)，∴72＝(a ＋b)2－2×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，∴a ＋b ＝13②由①②得：a ＝8，b ＝5.20．(12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，则z ＝6x ＋8y由题意有⎩⎨⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y 均为整数．由图知直线y ＝－34x ＋18z 过M(4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．21．(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n (n ≥1)． (1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是等比数列； (2)设数列{2n a n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n. 试比较A n 与2na n的大小．解析： (1)由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，当n ≥2时，由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n ，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)得a n n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 于是2n a n ＝n ，T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 1T n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. A n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 又2na n ＝2n ＋1n 2，问题转化为比较2n ＋1n 2与2n n ＋1的大小，即2n n 2与n n ＋1的大小．设f(n)＝2n n 2，g(n)＝n n ＋1. ∵f(n ＋1)－f(n)＝2n [n (n －2)－1][n (n ＋1)]2，当n ≥3时，f(n ＋1)－f(n)＞0.∴当n ≥3时，f(n)单调递增，∴当n ≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)＜1， ∴当n ≥4时，f(n)＞g(n)，经检验n ＝1,2,3时，仍有f(n)＞g(n)，因此，对任意正整数n ，都有f(n)＞g(n)，即A n ＜2na n .。

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北师大版高中数学必修五课后习题答案篇一：高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1. 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习(P4) 1、(1) a?14, b?19, B?105?；(2) a?18cm, b?15cm, C?75?.2、(1) A?65?, C?85?, c?22；或A?115?, C?35?, c?13；(2 ) B?41? , A?24? , a?24.练习(P8 ) 1、( 1 ) A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm； (2)B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm.2、 ( 1 ) A?43.5?,B?100.3?,C?36.2? ；( 2 ) A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?.习题1.1 A 组(PIO) 1、(1)a?38cm,b?39cm,B?80?；(2) a?38cm,b?56cm,C?90? 2、(1 ) A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm ( 2 ) B?35?,C?85?,c?17cm；(3 ) A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm ； 3、(1) A?49?,B?24?,c?62cm； (2) A?59?,C?55?,b?62cm； (3) B?36?,C?38?,a?62cm； 4、(1) A?36?,B?40?,C?104?； (2)A?48?,B?93?,C?39?；习题1.1 A组（PIO）1、证明：如图1,设?ABC的外接圆的半径是R,%1当?ABC时直角三角形时，？C?90?时，?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上. BCAC在Rt?ABC 中，?sinA, ?sinBABABab 即?sinA, ?sinB 2R2R 所以a?2RsinA, b?2RsinB 又c?2R?2R?sin90??2RsinC （第 1 题图1）所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC%1当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2）,作过O、B的直径A1B,连接AC, 1?90?, ?BAC??BAC 贝I|?A1BC 直角三角形，？ACB. 11 在Rt?AlBC 中,即BC?sin?BACl, A1Ba?sin?BAC?sinA, 12R所以a?2RsinA,同理：b?2RsinB, c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角，它的外接圆的圆心O在?ABC外（图3）（第1题图2）作过O、B的直径A1B,连接AC.1则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?, ?BAC?180???11在Rt?AlBC 中，BC?2Rsin?BAC, 1即a?2Rsin（180???BAC）即a?2RsinA同理：b?2RsinB, c?2RsinC综上，对任意三角形?ABC,如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB,所以sinAcosA?sinBcosB ,艮sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?,（第1题图3）所以2A?2B,或2A???2B,或2A???2??2B. 即A?B 或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2?•2,或A?B?O即A?B?•2,或A?B,得到问题的结论.1. 2应用举例练习(P13)1、在？ABS 中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile, ?ABS?115?, 根据正弦定理，得AS?ASAB•sin?ABSsin(65??20?)?AB?sin?ABS16.1?sinll5sin(65??20?)S 到直线AB 的距离是d?AS?sin20??16.1?sinll5sin20??7.06 (cm) . .L这艘船可以继续沿正北方向航行.2、顶杆约长1.89 m.练习(P15)1、在?ABP 中，？ABP?180?????,?BPA?180??(???)??ABP?180??(???)?(180?????)????在?ABP中，根据正弦定理,APAB?•sin?ABPsin?APBAPa•sin(180?????)sin(???)a?sin(???)AP?sin(???)asin?sin(???)所以，山高为h?APsin??sin(???)2 、在？ABC 中AC?65.3m, ?BAC?????25?25??17?38??7?47??ABC?90????90??25?25??64?35?ACBC•sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m ??9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习(P16) 1、约63.77?.练习(P18) 1、(1)约168.52 cm2；(2)约121.75 cm2； (3)约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边？【类似可以证明另外两个等式】？2a2a2a习题1.2 A组(P19)1 、在？ABC 中，BC?35?0.5?17.5 nmile, ?ABC?148??126??22?根据正弦定理，??14?8)?, l??BAC?180??110??22??48??ACB?78??(180 ACBC•sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC???8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3 、在?BCD 中，？BCD?30??10??40?, ?BDC?180???ADB?180??45??10 ??125? 1CD?30??10 n mile3CDBD根据正弦定理，？sin?CBDsin?BCD10BDsin?(180??40??125?)sin40?根据正弦定理，10?sin?40sinl?5在?ABD 中，？ADB?45??10??55?, ?BAD?180??60??10??110??ABD?180??110??55??15?ADBDABADBDAB根据正弦定理，，即????sin?ABDsin?BADsin?ADBsinl5?sinllO?sin55?10?sin?40?sinl?5BD?sinl?5?10s?in40???6.8 4n mile AD?sinl?10si?nll0?sin70BD?BD?sin5?5?10s??in40?sin55n mile ??21.6 5sinl?10si??nl5?sin70如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0???60 86.983030即约1小时26分59秒.所以此船约在11时27分到达B 岛.4、约5821.71 m5、在？ABD 中，AB?700 km, ?ACB?180??21??35??124? 700ACBC根据正弦定理，??sinl24?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?, BC?sinl?24sinl24?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsinl?24si?nl24所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m,飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m,飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx?根据正弦定理，sin(81??18.5?)sinl8.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离. d?sinl8.5??tan81??14721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81??sin(81??18.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中,?ATB?21.4??18.6??2.8?, ?ABT?90??18.6?,AB?15 mABAT15?cosl8.6?根据正弦定理,，即AT??sin2.8?cosl8.6?sin2.8?15?cosl8.6?塔的高度为AT?sin21.4???sin21.4??106.19 msin2.8?3267189、AE??97.8 km 60在?ACD中，根据余弦定理：AB?AC??101.235根据正弦定理，（第9题）ADAC•sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD???0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?133??30.9?6?10 2?在？ABC中，根据余弦定理：AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204 sBAC???0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在？ACE中，根据余弦定理：CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235 sAEC???0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0??AEC?(l?8?0?7?5?)?75??64.8?2 18?所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.10、如图，在?ABCAC737515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200???0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.4482 ?BAC?90??43.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?1111、(1) S?acsinB??28?33?sin45??326.68 cm2 22aca36(2)根据正弦定理：，c???sinC??sin66.5? sinAsinCsinAsin32.8?llsin66.5?S?acsinB??362??sin(32.8??66.5?)?1082.58 cm2 22sin32.8?2(3)约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2??c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]2（第13题）篇二：北师大版高一数学必修1课后习题答案12345篇三：北师大版高二数学必修5质量检测题及答案高二数学必修5质量检测题（卷）2009.11本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页.第II卷3至6页.考试结束后.只将第II卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共60分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案, 不能答在试题卷上.一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列3那么A .第12项B .第13项C.第14项D.第15项2.已知数列｛an｝中，an?2an?l (n>2),且al=l,则这个数列的第7 项为A.512B. 256C. 128 D. 64 3.已知等差数列｛an｝中，a6?al0?16,a4?2,则a6 的值是A. 15 B . 10 C. 5 D. 8 4. 数列｛an｝的通项公式是an=3n*(n?N),则数列｛an｝是3n?lA.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定该数列的增减性5.在?ABC 中，?A?60?,AB?16,面积S?,则AC等于A.50B. C.100D. 6.对于任意实数a、b、c、d,以下四个命题中的真命题是A.若a?b,c?0,则ac?bcB.若a?b?0,c?d,则ac?bdC.若a?b测?D.若ac2?bc2,则a?b ab7.在等比数列｛an｝中，S3=l, S6=4,则alO?all?al2 的值是A. 81 B. 64 C. 32 D. 27 8.已知等比数列｛an｝满al?a2?4, a2?a3?12,则a5?A. 64B.81C.128D.243?x2?4x?6,x?09.设函数f?x???,则不等式f?x??f?l?的解集是?x?6,x?0A 1?C 凹1 1???? R????! ??? n ???10.用铁丝制作一个面积为1 m2的直角三角形铁框，铁丝的长度最少是 A. 5.2 mB. 5 m C. 4.8 m D. 4.6 m?x?2?0,?11.已知点P (x, y)在不等式组?y?l?0,表示的平面区域上运动，?x?2y?2?0?则z??A. [-1, -1]B. [-1, 1]C. [1, -1]D. [1, 1]12.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为x米和3千米，测得灯塔A在观察站C的正西方向，灯塔B在观察站C西偏南30,若两灯塔A、B千米，则x的值为二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.把本大题答案填在第II卷题中横线上.13.不等式(x?2)(x?2x?3)?0的解集为14.已知数列an的前n项和Sn?3n2?n,则其通项公式为an?15.在2• •23和之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则插入的2 个数的乘积为9416.已知点(3, 1)和(?1, 1)在直线3x?2y?a?0的同侧，则a 的取值范围是17.若2 + 22 +......+2130, n?N*, 则n的最小值为.n高二数学必修5质量检测题(卷)2009.11第II卷(非选择题)二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.把答案填在题中横线上.13. ;14. . 17..三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分15分）设不等式x?4x?3?0的解集为A,不等式x?x?6?0的解集为B.（1）求AAB；（2）若不等式x?ax?b?0的解集为AAB, 求a,b的值.19.（本题满分15分）在锐角△ ABC中，已知AC?222?A?60.求:⑴BC边的长；（2）分别用正弦定理、余弦定理求?B的度数.AB?20.（本题满分15分）已知a《R,解关于x的不等式：x?x?a?a?02221.（本题满分15分）某种汽车购买时费用为16. 9万元，每年应交付保险费及汽油费共1万元；汽车的维修费第一年为1千元，以后每年都比上一年增加2千元.（I ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为Sn, 试写出Sn的表达式；（II）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.高二数学必修5质量检测题参考答案及评分标准2009.11一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分.1. B （根据石油中学魏有柱供题改编）2. D （根据铁一中张爱丽供题改编）3.C （根据金台高中高二数学组供题改编）4.B （根据铁一中周粉粉供题改编）5.A.（根据十二厂中学闫春亮供题改编）6.D （根据金台高中高二数学组供题改编）7.D （根据石油中学夏战灵供题改编）8. B （根据石油中学高建梅供题改编）9.A （09天津高考题）10. B （根据教材第94页练习改编）11. B （根据铁一中周粉粉供题改编）12. D （根据金台高中高二数学组及斗鸡中学张永春供题改编）二、填空题：13.xx??l或2?x?3 （根据铁一中孙敏供题改编）；14.6n?4 （根据铁一中周粉粉供题改编）；15.• •（根据铁一中孙敏供题改编）；616. {a|a??7或a?5}（根据斗鸡中学张永春、铁一中张爱丽、石油中学高建梅供题改相关热词搜索：。

2020_2021学年高中数学第一章数列3等比数列第2课时等比数列的性质学案(含解析)北师大版必修5

第2课时等比数列的性质Q情景引入ing jing yin ru1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道这是一个等比数列，那么，等比数列中，有什么特殊的性质呢？X新知导学in zhi dao xue1．等比数列的性质：(1)通项公式的推广：a n＝a m·q n－m (m、n∈N＋)．(2)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是等比数列，公比为q .(3)若{a n}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N＋，则a m·a n＝a p·a q .(4)若等比数列{a n}的公比为q，则{1a n }是以1q为公比的等比数列．(5)一组等比数列{a n}中，下标成等差数列的项构成等比数列 .(6)若{a n}与{b n}均为等比数列，则{a n b n}为等比数列 .(7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为q m .(8){a n}是等差数列，c是正数，则数列{ca n}是等比数列．(9){a n}是等比数列，且a n>0，则{log a a n}(a>0，a≠1)是等差数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或aq，a，aq.(2)若四个数成等比数列，可设 a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设a q 3，a q，aq ，aq 3. Y 预习自测u xi zi ce1．在等比数列{a n }中，若 a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( A ) A ．4 B ．32 C ．169D ．3[解析] 解法一：∵a 6＝a 3·q 3， ∴a 3·q 3＝6.a 9＝a 6·q 3，∴q 3＝96＝32.∴a 3＝6q 3＝6×23＝4.解法二：由等比数列的性质，得a 26＝a 3·a 9， ∴36＝9a 3，∴a 3＝4.2．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( D ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．40[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2， ∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.3．如果数列{a n }是等比数列，那么( A ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列[解析] 数列{a 2n }是等比数列，公比为q 2，故选A ． 4．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 9＝9，则a 5＝ 3 . [解析] 由a 25＝a 1·a 9，∴a 25＝9，∴a 5＝±3. 而a 1、a 9均为正值，故a 5也为正值，∴a 5＝3.5．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 12＝ 567 . [解析] 解法一：可知a 4、a 6、a 8、a 10、a 12成等比数列．其公比为 a 6a 4＝217＝3，所以a 12＝a 4·35－1＝7×34＝567.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 6a 4＝q 2＝3. ∴a 12＝a 4·q 8＝7×34＝567.解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝7，a 6＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝7，a 1q 5＝21，两式相比得q 2＝3.∴a 12＝a 1·q 11＝(a 1·q 5)·q 6＝a 6·(q 2)3＝21×33＝567.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨运用等比数列性质解题例题1 在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10.[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q ，再求a 10. [解析] 解法一：设公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 5＝162，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝23q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23q ＝－3.∴a 10＝a 1q 9＝23×39＝13 122或a 10＝a 1q 9＝－23×(－3)9＝13 122.解法二：∵a 6＝a 2q 4，∴q 4＝a 6a 2＝1622＝81，∴a 10＝a 6q 4＝162×81＝13 122.解法三：在等比数列中，由a 26＝a 2·a 10得a 10＝a 26a 2＝16222＝13 122.『规律总结』比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．〔跟踪练习1〕(1)若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( A ) A ．－12B ．12C ．±12D ．14(2)若等比数列{a n } 的各项均为正数，且a 10·a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .[解析] (1)∵1，a 1，a 2,4成等差数列， 3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0， ∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. (2)因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20) ＝ln(a 10·a 11)10＝10ln(a 10·a 11) ＝10·lne 5＝50.命题方向2 ⇨对称法设未知项例题2 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．[解析] 设四个数为2a q －a 、aq、a 、aq ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q ＝162aq－a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8q ＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.『规律总结』 (1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a 、q 表示四个数，也可以据前三个成等差，用a 、d 表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x ，则第二个数为16x ，则第一个数为32x－x ，最后一个数为x 316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x 的方程x 316·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x ＝－128，解之得x ＝±8，则更简捷．〔跟踪练习2〕有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为多少．[解析] 解法一：设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9.d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16. 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16. 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.解法三：设四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由条件有⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋12－y ，12－y2＝y ·16－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16，或15,9,3,1.命题方向3 ⇨有关等比数列的开放探究题例题3 已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }定义为b n ＝1n[lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n －1＋lg(ka n )]，是否存在实数k ，使得数列{b n }为等差数列？并证明你的结论．[分析] 先利用数列{a n }是等比数列，求出数列{b n }的通项公式，再求b n ＋1－b n ，看使它成为常数的条件是什么？[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1，b n ＝1n[lg a 1＋lg(a 1q )＋lg(a 1q 2)＋…＋lg(ka 1q n －1)]，解得b n ＝1n [n lg a 1＋12n (n －1)lg q ＋lg k ]＝lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ，∴b n ＋1－b n ＝[lg a 1＋12n lg q ＋1n ＋1lg k ]－[lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ]＝12lg q －1n n ＋1lg k . 要使数列{b n }为等差数列，只需k ＝1，故存在实数k ＝1，使得数列{b n }成为等差数列．『规律总结』除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条件入手，找到解决问题的突破口．下面的性质要熟悉：①若{a n }是等差数列，c 是正数，则数列{ca n }是等比数列；②若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0，a ≠1)是等差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化．〔跟踪练习3〕在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝1，且a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求数列{a n }的公差d 和数列{b n }的公比q ；(2)是否存在常数a ，b 使得对一切正整数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q1＋7d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝6d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1d ＝0(舍去)．(2)假设存在a ，b 使得a n ＝log a b n ＋b 成立，即有1＋5(n －1)＝log a 6n －1＋b .整理，得(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0. ∵a n ＝log a b n ＋b 对一切正整数n 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧5－log a 6＝04＋b －log a 6＝0，∴a ＝56，b ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为134，求这个等比数列的公比．[误解] 设这四个数为aq －3，aq －1，aq ，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3q －3＝1，①aq －1＋aq ＋aq 3＝134.②由①得a ＝q ，把a ＝q 代入②并整理，得4q 4＋4q 2－3＝0，解得q 2＝12或q 2＝－32(舍去)，故所求的公比为12.[辨析] 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q 2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误．[正解] 设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝1，①aq ＋aq 2＋aq 3＝134.②由①得a ＝q －1，把a ＝q －1代入②并整理，得4q 2＋4q －3＝0，解得q ＝12或q ＝－32，故所求公比为12或－32.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu等比数列的性质⎩⎪⎨⎪⎧等比数列的性质等比数列中的设项方法与技巧等差数列与等比数列的综合应用。

绿色通道北师大版高中必修5数学教学资源第1章归纳总结

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因为 4an＋1－4bn＋1＝3an－bn＋4－(3bn－an－4)＝4an－4bn＋8，所以 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2，数列{an－bn}是首项为 1、公差为 2 的等差数列，an－bn＝2n－1. (2)由(1)可知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2n－1，所以 an＝12(an＋bn＋an－bn)＝21n＋n－12，bn＝12[an＋bn－(an－bn)]＝21n－n＋12.
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3．(2018·全国卷Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn 的最小值．
解 (1)设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d＝－15.由 a1＝－7 得 d＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝2n－9. (2)由(1)得 Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16.
a6 成等比数列，则{an}前 6 项的和为( )
A．－24
B．－3
C．3
D．8
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[解析] ∵等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0，a2，a3，a6 成等比数列， ∴a23＝a2·a6， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，且 a1＝1，d≠0，解得 d＝－2， ∴{an}前 6 项的和为 S6＝6a1＋6×2 5d＝－24.故选 A. [答案] A
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4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m. 解 (1)设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1，由已知得 q4＝4q2，解得 q ＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1. (2)若 an＝(－2)n－1，则 Sn＝1－3－2n. 由 Sm＝63 得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若 an＝2n－1，则 Sn＝2n－1.由 Sm＝63 得 2m＝64，解得 m＝6.综上，m＝6.

2020-2021数北师大必修5教师用书：第1章 2.1 第2课时等差数列的性质 Word含解析

第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1．掌握等差中项的概念及其应用．2．掌握等差数列的项与序号的性质．(重点)3．理解等差数列的项的对称性．(重点)4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)1．通过对等差数列性质的研究与应用，培养逻辑推理与数学运算素养．2．通过学习等差中项的概念，提升数学抽象素养．1．等差数列的单调性与图像阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题(1)等差数列的图像由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d．当d＞0时，{a n}为递增数列，如图(甲)所示．当d＜0时，{a n}为递减数列，如图(乙)所示．当d＝0时，{a n}为常数列，如图(丙)所示．甲乙丙思考：(1)等差数列{a n}中，a3＝4，a4＝2，则数列{a n}是递增数列，还是递减数列？[提示] 因为公差d ＝a 4－a 3＝－2＜0，所以数列{a n }是递减数列．(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．2．等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项．思考：(1)若A 是a 与b 的等差中项，如何用a 和b 表示A?[提示] A ＝a ＋b 2．(2)若数列{a n }中，a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，那么数列{a n }是等差数列吗？为什么？[提示] 是．因为a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，所以a n －1，a n ，a n ＋1成等差数列，故a n －a n －1＝a n ＋1－a n ，由等差数列的定义知数列{a n }是等差数列．1．等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则数列5a 1,5a 2,5a 3，…，5a n 是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为5d 的等差数列C ．非等差数列D ．以上都不对B [由等差数列的定义知a n －a n －1＝d ，所以5a n －5a n －1＝5(a n －a n －1)＝5d ，故选B ．]2．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 7＝18，则公差为( )A ．3B ．13C ．－3D ．－13A [a 7－a 2＝5d ，即5d ＝15，d ＝3．]3．2＋1和2－1的等差中项为________．2 [2＋1＋2－12＝2．] 4．等差数列{a n }中，a 3＝1，则a 2＋a 3＋a 4＝________．3 [a 2＋a 3＋a 4＝(a 2＋a 4)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝3．]等差数列的性质【例1】 n 261048；(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值．[解] (1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d ．由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13．∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23．法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6．由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23．(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)，∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105．等差数列性质的应用,解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2ω，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a ω(m ，n ，p ，q ，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.[跟进训练]1．在公差为d 的等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d ．[解] 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，即4(a 1＋12d )＝48．∴4a 13＝48．∴a 13＝12．(2)化成a 1和d 的方程组如下：⎩⎨⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52，解得⎩⎨⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎨⎧ a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3．法二：(1)由等差数列性质知a 2＋a 24＝a 3＋a 23，又a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48， ∴a 3＋a 23＝24＝2a 13，∴a 13＝12．(2)由等差数列性质知，a 2＋a 5＝a 3＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，∴a 2＋a 5＝17．又∵a 2·a 5＝52，∴⎩⎨⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎨⎧a 2＝13，a 5＝4，∴d ＝13－45－2＝3或d ＝4－135－2＝－3．等差中项及其应用【例2】求此数列．[解] ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3．又a 是－1与b 的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1．又c 是b 与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5．所以，该数列为－1,1,3,5,7．在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起每一项都是它前一项与后一项的等差中项，反之，也成立.[跟进训练]2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．[解] 由m 与2n 的等差中项为4，得m ＋2n2＝4，所以，m ＋2n ＝8，① 由2m 与n 的等差中项为5，得2m ＋n2＝5，所以，2m ＋n ＝10，②①与②两式相加，得3(m ＋n )＝18，所以，m ＋n 2＝3，即m 与n 的等差中项为3．等差数列性质的综合应用[1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，a m 和a n 分别是数列的第m 项和第n 项，怎样用a m ，a n 表示公差d ？在等差数列中，d 的几何意义是什么？[提示] d ＝a m －a n m －n，d 的几何意义是等差数列所在图像的斜率．2．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ，是否有a m ＋a n ＝a p 成立？[提示] a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ，a p ＝a 1＋(p －1)d ＝a 1＋(m ＋n －1)d ，∴a m ＋a n ≠a p ．3．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？[提示] (λa n ＋1＋b )－(λa n ＋b )＝λ(a n ＋1－a n )＝λd (与n 无关的常数)，故{λa n ＋b }为等差数列，公差为λd ．【例3】在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，求数列{a n }的通项公式．思路探究：法一：由条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，可得a n ；法二：利用等差数列的性质求d ，利用a n ＝a m ＋(n －m )d ，求a n ．[解] 法一(方程组法)：由a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，得⎩⎨⎧3a 1＋9d ＝84，a 1＋8d ＝73，解得d ＝9，a 1＝1，故a n ＝1＋9(n －1)＝9n －8．法二(等差数列性质法)：因为a 3＋a 4＋a 5＝3a 4，a 3＋a 4＋a 5＝84，故3a 4＝84，得a 4＝28，又a 9－a 4＝5d ＝45，解得d ＝9．所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝28＋9(n －4)＝9n －8．1．(变条件)在例3中，若条件“a 3＋a 4＋a 5＝84”改为“a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝100”，其余不变，求a n ．[解] 因为a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，故5a 6＝100，a 6＝20，又a 9＝73，故a 9－a 6＝53＝3d ，故d ＝533．所以a n ＝a 6＋(n －6)d ＝20＋533(n －6)＝533n －86．2．(变结论)例3的条件不变，若数列{b n }是等差数列，其公差为3，那么数列{2a n ＋3b n }是等差数列吗？若是，求出其公差．[解] (2a n ＋1＋3b n ＋1)－(2a n ＋3b n )＝2(a n ＋1－a n )＋3(b n ＋1－b n )＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2a n ＋3b n }是等差数列，其公差为27．等差数列的性质,若数列{a n}是公差为d的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)若给出等差数列的第m项a m和第n项a n(n＞m)，则a n＝a m＋(n－m)d或d ＝(3){a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a i＋a n－i＋1＝….(4)若数列{a n}为等差数列，则数列{λa n＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列.(5)若数列{a n}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列.(6)若数列{a n}与{b n}均为等差数列，则{Aa n＋Bb n}(A，B是常数)也是等差数列.1．等差数列{a n}的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关．特别地，如果已知等差数列{a n}的任意两项a n，a m，由a n＝a m＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式，得d＝a n－a mn－m(m≠n)．2．在等差数列{a n}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．()(2)等差数列{a n}中，a3＋a4＝a2＋a5．()(3)任何两个数都有等差中项．()(4)若{a n}是等差数列，且p，q，r是正整数，则点(p，a p)，(q，a q)，(r，a r)共线．() [★答案★](1)×(2)√(3)√(4)√[提示](1)不正确，当公差d＝0时，其图像的连线平行于x轴；(2)(3)(4)正确．2．已知在等差数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5＋a6＝()A．3B．6C．9 D．36B[因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝30，所以a5＋a6＝6．]3．在等差数列{a n}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则a n＝________．15n＋85[因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3，又a2＝2，所以d＝15，a n＝a2＋(n－2)d＝2＋15(n－2)＝15n＋85．]4．已知三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．[解]依题意，设这三个数为a－d，a，a＋d(d＞0)，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，①(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝3a2＋2d2＝116，②由①②得a＝6，d＝2．所以所求三个数为4,6,8．。

2021年北师大版高二数学必修五第一章试题及答案

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分命题人: 宝鸡石油中学高二年级数学学科王蒙高二数学必修五第一章试题第I 卷(选择题，共90分)注意事项:1．答第I 卷前，考生务必将答题卡及第II 卷密封线内项目填写清楚。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能答在试题纸上。

3．非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不按以上要求作答的答案无效。

考生必须保持答题卡的整洁，一、选择题:本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．数列252211，，，，的一个通项公式是A. 33n a n =-B. 31n a n =-C. 31n a n =+D. 33n a n =+ 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．313.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21nn S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n- D.1(41)3n -6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a a a+++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 100009.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64 11.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题:共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有项. 14.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④ {}lg n a15.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .16.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么35a a +=__________. 17. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________18. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，则n a =__________.答题卡:班级:______姓名:_________学号:_______得分:_______二、填空题:13、____________ 14、____________ 15、____________16、____________ 17、____________ 18、____________第II 卷(非选择题，共60分)注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：1.1.1 数列的概念 Word版含解析

第一章数列§1数列1．1数列的概念知识点一数列的概念[填一填]按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…简记为{a n}，其中数列的第一项a1也称为首项，a n是数列的第n项，也叫作数列的通项．[答一答]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项有怎样的性质？提示：数列中的项具有以下性质：(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性．(2)可重复性：数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现(即具有互异性)．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素没有顺序(即具有无序性)．(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素可以代表任何事物，包括数字．知识点二数列的分类[填一填]项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．知识点三数列的通项公式[填一填]如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式．[答一答]2．是否所有数列都有通项公式？数列的通项公式是否唯一？提示：并不是所有数列都有通项公式，数列的通项公式也不唯一，例如，a n ＝(－1)n 也写成a n ＝(－1)n ＋2，还可写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(n 为奇数)1(n 为偶数). 知识点四数列的表示方法[填一填]①数列是一类特殊的函数，它是以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数a n ＝f (n )． ②常见表示方法：列表法表示，图像法表示，通项公式表示，递推公式表示．1．数列相关概念的理解(1)数列中的数是按照一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，则它们是不同的数列，如数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1就是不同的数列，且在定义中没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．(2)数列的项和项数．数列的项是指数列中某一确定的数a n ，而项数是指数列的项对应的位置序号n ，当n 是某个确定的正整数时，a n 表示数列的第n 项，a n －1表示它的前一项，a n ＋1表示它的后一项．2．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内在的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律反映的是项数与该项的值之间的一种函数关系，通常用第n 项a n 与n 之间的关系来表示，即a n 关于n 的表达式．数列的通项公式在研究数列的过程中起着关键作用，应切实掌握求数列通项公式的方法．有些数列的通项公式不止一个，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，或a n ＝cos n π(n ∈N ＋)，或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，n ＝2k －1(k ∈N ＋)．有些数列不存在通项公式，如2的近似值精确到1,0.1，0.01，0.001，…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414，….求数列的通项公式时，仅由前几项归纳出的数列通项公式不唯一，如数列2,4,8，…通项公式可写为：a n ＝2n ，也可写为a n ＝n 2－n ＋2.公式不同，由公式写出的后续项也就不同，因此，通项公式的归纳要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，由此归纳出规律，写出通项公式．类型一求数列的通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式．(1)1,3,7,15，….(2)－2，54，－109，1716，….(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，….(4)－1，32，－13，34，－15，36，….【思路探究】求数列的通项公式的步骤：(1)观察符号及各项的特点；(2)分别找出与项数n 无关的不变因素和与n 有关的变化因素．【解】 (1)注意和2n 进行比较，可得它的一个通项公式为a n ＝2n －1.(2)将数列的项变形为－21，54，－109，1716，…，观察发现，符号是正负交替出现的，分母是一组平方数，分子比分母大1，因此它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·n 2＋1n 2.(3)将数列中的项与1进行比较，就会发现：a 1＝0.9＝1－110，a 2＝0.99＝1－1100＝1－1102，a 3＝0.999＝1－11 000＝1－1103，…，因此它的一个通项公式为a n ＝1－110n .(4)数列中的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n ，各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…，而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·2＋(－1)n n .规律方法 (1)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，蕴含着从特殊到一般的思想，由这种方法得到的结果不一定可靠，要注意代入值检验．(2)根据数列的前几项求一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列来求．(3)根据数列前几项确定出的一个数列的通项公式可能不唯一，如题(4)的通项公式还可以为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1n (n 为正奇数)，3n (n 为正偶数).(4)由数列的前几项归纳得到数列的通项公式的方法，称作不完全归纳法，其正确性还需要用数学归纳法加以证明，在今后的学习中会学习到．根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)1，13，17，115，131，163，…；(3)3,33,333,3 333，….解：(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(2)数列每一项分母加上1为：2,4,8,16,32，…，2n 的形式，故a n ＝12n －1. (3)先来求9,99,999,9 999，…的通项公式，注意到各项分别加1后变为10,100,1 000,10 000，…，则数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n－1，所以1,11,111，1 111，…的一个通项公式为a n ＝19(10n－1)．故原数列的一个通项公式为a n＝39(10n－1)＝13(10n－1)．类型二数列通项公式的应用【例2】已知数列的通项公式为a n＝2n2－n.(1)分别求这个数列的第5项、第10项．(2)试问：15是否是数列{a n}中的项？3是否是数列{a n}中的项？【思路探究】(1)直接将n＝5，n＝10代入通项公式，即得a5，a10.(2)已知通项公式，则直接解方程a n＝15，a n＝3，看n是否为正整数即可．【解】(1)∵a n＝2n2－n，∴当n＝5时，a5＝2×52－5＝45，当n＝10时，a10＝2×102－10＝190.(2)∵a n＝2n2－n，令a n＝15，得2n2－n－15＝0，解得n＝3或n＝－52(舍去)，∴15是该数列的第3项．令a n＝3，得2n2－n－3＝0，该方程不存在正整数解，∴3不是该数列的项．规律方法要判断某一个数是否为数列中的项，实质就是看相应方程是否有正整数解．已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n(n＋2)(n∈N*)，则(1)计算a3＋a4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．解：(1)∵a n ＝1n (n ＋2)， ∴a 3＝13×5＝115，a 4＝14×6＝124， ∴a 3＋a 4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n }中的项，则1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝120，∴n 2＋2n －120＝0，∴n ＝10或n ＝－12(舍)，即1120是数列{a n }的第10项．类型三数列综合应用问题【例3】黑、白两种颜色的正六边形地面砖按下图所示的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖________块．【思路探究】观察给出的图案，归纳、猜想．【解析】观察图案知，每一个黑色地面砖的周边都有6块白色地面砖，且相邻2块黑色地面砖的中间又重叠了2块白色地面砖，于是得第n 个图案中白色地面砖的块数为：a n ＝6n －2(n －1)＝4n ＋2.【答案】 (4n ＋2)规律方法根据数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法观察以下几方面：(1)各项的符号特征；(2)各项能否拆分；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律等．根据下图中各图形及相应的海宝个数，求出第4个、第5个图形中的海宝个数，并写出由海宝个数构成的数列的一个通项公式．解：第1个图形只有1行，共3个海宝；第2个图形是在第1个图形的基础上增加了1行，且每行都增加了1个海宝；第3个图形是在第2个图形的基础上增加了1行，且每行都增加了1个海宝，依此规律可得出结论．根据前3个图形中的海宝排列的规律可知：第4个图形有4行，且每行的海宝个数为6，所以第4个图形有4×6＝24个海宝；第5个图形有5行，且每行的海宝个数为7，所以第5个图形有5×7＝35个海宝．海宝个数组成的数列{a n}的前5项依次为3,8,15,24,35.根据图形及相应海宝排列的规律，数列{a n}的前5项又可以写成1×(1＋2)，2×(2＋2)，3×(3＋2)，4×(4＋2)，5×(5＋2)，故数列{a n}的一个通项公式为a n＝n(n＋2)＝n2＋2n.——多维探究系列——数列通项公式的求法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法．1．累加法【例4】数列{a n}的首项为3，{b n}的通项公式为2n－8，且b n ＝a n＋1－a n(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0 B．3C．8 D．11【思路分析】由已知得a n＋1－a n＝2n－8，所以a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，由累加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a8＝a1＝3.【规范解答】 B2．累乘法【例5】已知数列{a n}中，a1＝1，S n表示{a n}的前n项和，且S n＝n＋23a n.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．【规范解答】(1)由S2＝43a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n>1时，有a n＝S n－S n－1＝n＋23a n－n＋13a n－1，整理得a n＝n＋1n－1a n－1.于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.(1)已知数列{a n }，a 1＝2，且a n ＋1－a n ＝2，则a n ＝____ .(2)已知数列{b n }，b 1＝2，且b n ＋1＝2b n ，则b n ＝________. 解析：(1)n >1时，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝2，相加得a n －a 1＝(n －1)×2，∴a n ＝2n .(2)n ≥2时，b 2b 1＝2，b 3b 2＝2，b 4b 3＝2，…，b n b n －1＝2, ∴b n b 1＝2n －1，∴b n ＝2n . 答案：(1)2n (2)2n一、选择题1．下列叙述正确的是( A )A ．同一个数在数列中可能重复出现B ．数列的通项公式是定义域为正整数集N ＋的函数C ．任何数列的通项公式都存在D ．数列的通项公式是唯一的解析：数列的通项公式的定义域是正整数集N ＋或它的有限子集，选项B 错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C 错误；数列－1，1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，选项D 错误．故选A.2．下列数列的关系是( B )(1)1,4,9,16,25；(2)25,16,9,4,1；(3)9,4,1,16,25.A ．都是同一个数列B ．都不相同C ．(1)，(2)是同一数列D ．(2)，(3)是同一数列解析：三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同．3．以下通项公式中，不是数列3,5,9，…的通项公式的是( D )A ．a n ＝2n ＋1B ．a n ＝n 2－n ＋3C ．a n ＝－23n 3＋5n 2－253n ＋7D ．a n ＝2n ＋1解析：可以用验证法，分别令n ＝1,2,3逐一代入验证，便可知a n ＝2n ＋1不是所给数列的通项公式．二、填空题4．数列1,3,6,10，x,21,28，…中，x 的值是15.5．先填空，再写出每个数列的通项公式．(1)2,1，12，14，…通项公式为：a n ＝12n －2. (2)2，32,1，12，…通项公式为：a n ＝5－n 2.三、解答题6．写出下列数列的一个通项公式．(1)－1，85，－157，249，…(2)112，223，334，445，…解：(1)a n ＝(－1)nn (n ＋2)2n ＋1； (2)a n ＝n (n ＋2)n ＋1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2020-2021数北师大必修5模块综合测评 Word含解析

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12 B ．22 C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12．]2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1)D ．(－1,1]C [由题⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，⇒－1<x <1．]3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A ．32B ．54C ．94D ．4C [由题意知a 1＝S 1＝1，设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2得d ＝2，∴S 4＝16，S 6＝36，∴S 6S 4＝94．]4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]D [∵x >1，∴x －1>0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， (当且仅当x ＝2时取“＝”)，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3．故选D ．] 5．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝ (x ∈R )，则p 、q 的大小关系为( ) A ．p ≥q B ．p >q C ．p <q D ．p ≤qA [p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时等号成立；当且仅当x ＝0时等号成立．显然，p ≥q ．]6．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( ) A ．－14 B ．14 C ．－23D ．23A [由题意知，sin A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ (3k )2＋(2k )2－(4k )22·3k ·2k ＝－14．]7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5．故选A ．]8．已知数列{log 2x n }是公差为1的等差数列，数列{x n }的前100项的和等于100，则数列{x n }的前200项的和等于( )A ．100×(1＋2100)B ．100×2100C ．1＋2100D ．200A [由已知，得log 2x n ＋1－log 2x n ＝1， ∴x n ＋1x n＝2，∴数列{x n }是以2为公比的等比数列．∵数列{x n }的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n }的前200项的和等于100×(1＋2100)．]9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2A [由x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7．]10．等差数列{a n }中，若3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( )A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 10B [设数列{a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0，所以a 20＋a 21＝0，又a 1>0，d <0，故a 20>0，a 21<0，所以S n 中最大的是S 20．] 11．如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直接行驶至海岛C ，则此船沿方向行驶海里至海岛C ( )A ．北偏东60°；10 2B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；10 3D ．北偏东20°；10 2B [由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°， AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝103．]12．若直线ax －y －a ＋3＝0将x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z ＝4x －ay 的最大值是( )A ．－8B ．2C ．4D ．8C [由直线ax －y －a ＋3＝0，得a (x －1)＋(3－y )＝0，此直线恒过点C (1,3)．不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x －y ＋1＝0，解得B (3,4)．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x ＋y －1＝0，解得A (－1,2)，可得C (1,3)是AB 的中点．若直线ax －y －a ＋3＝0，将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M (0,1)，将M (0,1)代入ax －y －a ＋3＝0，解得a ＝2．z ＝4x －ay ＝4x －2y ，即y ＝2x －z 2．易知当y ＝2x －z2经过点B 时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4．故选C ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将★答案★填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝．2 [由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.] 14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝．2n [因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2，所以S n ＝2n ．]15．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为海里．13 [如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD＝13．]16．实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≥02x ＋y －7≤0，若x －2y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是．(－∞，4] [x ，y 满足的平面区域如图：设z ＝x －2y ，则y ＝12x －12z ，当经过图中的A 时z 最小，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0得到A (2,3)，所以z 的最小值为2－2×3＝－4，所以实数m 的取值范围是(－∞，－4]．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4． (1)求证{a n ＋4}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项的和S n ．[解] (1)证明：a n ＋1＝2a n ＋4，变形为a n ＋1＋4＝2(a n ＋4)．又∵a 1＝－2， ∴a 1＋4＝2，∴数列{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋4＝2n ，a n ＝2n －4． (2)由(1)可知，a n ＝2n －4，∴S n ＝2＋22＋ (2)－4n ＝2(1－2n )1－2－4n ＝2n ＋1－4n －2．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b ＝3a sin B ＋b cos A ，c ＝4．(1)求A ；(2)若D 是BC 的中点，AD ＝7，求△ABC 的面积．[解] (1)∵2b ＝3a sin B ＋b cos A ，可得：2sin B ＝3sin A sin B ＋sin B cos A ，由sin B ≠0，可得2＝3sin A ＋cos A ， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1， ∵A ∈(0，π)，可得：A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，∴A ＋π6＝π2，解得：A ＝π3． (2)设BD ＝CD ＝x ，则BC ＝2x ，由于cos A ＝b 2＋16－(2x )28b ＝12，可得：4x 2＝b 2－4b ＋16，① ∵∠ADB ＝180°－∠ADC ， ∴cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，∵7＋x 2－1627x ＋7＋x 2－b 227x ＝0，可得：2x 2＝b 2＋2，②联立①②可得：b 2＋4b －12＝0，解得b ＝2． ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×32＝23．19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？[解] 设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24．所以点A 的坐标为(20,24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800．即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元．20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0．[解] 当a ＝0时，－2x ＋4>0，解集为{x |x <2}．当a ≠0时，原不等式可化为(ax －2)·(x －2)>0，则(1)a <0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)<0，又2a <0<2，所以解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2；(2)a >0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)>0，令2a ＝2，则a ＝1，则 ①当a ＝1时，不等式解集为{x |x ≠2}； ②当a >1时，2a <2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2，或x <2a ； ③当0<a <1时，2a >2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a ，或x <2． 21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，数列{b n }满足b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ．(1)求a n ；(2)设c n ＝b n ·b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝4，S 5＝30， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝45a 1＋5×42d ＝30，解得a 1＝d ＝2．∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ． (2)∵b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ， ∴当n ＝1时，b 1＝a 1＝2；当n ≥2时，b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＝a n －1，∴nb n ＝a n －a n －1＝2，解得b n ＝2n ．∴c n ＝b n ·b n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1．∴数列{c n }的前n 项和22．(本小题满分12分)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．[解] (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x ≥22x ·7 200x ＝240．当且仅当2x ＝7 200x ，即x ＝60时等号成立．从而S ≤－240＋916＝676．故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2．。

【课堂新坐标】（教师用书）2021学年高中数学第一章数列综合检测北师大版必修5(1)

第一章数列(时刻90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．数列1，－3，5，－7，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)C ．a n ＝(－1)n (2n －1)D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)【解析】 1，3，5，7，…是奇数列，通项公式a n ＝2n －1，又因为偶数项为负，奇数项为正，故所求通项公式a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．【答案】 B2．(2021·大连高二检测)设{a n }是等差数列，假设a 2＝3，a 7＝13，那么数列{a n }前8项的和为( )A ．128B ．80C ．64D ．56【解析】 ∵{a n }是等差数列，∴S 8＝a 2＋a 72×8＝3＋132×8＝64. 【答案】 C 3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，那么公比q ＝( ) A ．－12B ．－2C ．2 D.12【解析】由a 5＝14＝a 2·q 3＝2·q 3，解得q ＝12. 【答案】 D4．(2021·海淀高二检测)已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．假设a 1＝2，S 3＝12，那么S 4＝( )A ．10B ．16C ．20D ．24【解析】 ∵S 3＝3a 1＋3×22d ＝6＋3d ＝12，∴d ＝2，∴S 4＝4a 1＋4×32d ＝20.【答案】 C5．等差数列{a n }前m 项和为30，前2m 项和为100，那么前3m 项的和为( )A ．130B ．170C ．210D ．260【解析】 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴2×(100－30)＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.【答案】 C6．(2021·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，那么数列{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】法一设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5.又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.【答案】 B7．在等比数列中，已知a 1a 83a 15＝243，那么a 93a 11的值为( )A ．3B ．9C ．27D ．81【解析】 ∵a 1a 15＝a 82，∴a 85＝243＝35，∴a 8＝3，∴a 93a 11＝a 9·a 7·a 11a 11＝a 9·a 7＝a 82＝9.【答案】 B8．若是数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么那个数列的通项公式是( ) A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n【解析】由a n ＝S n －S n －1＝(32a n －3)－(32a n －1－3)(n ≥2)，得a na n －1＝3，又a 1＝6，∴{a n }是以a 1＝6，q ＝3的等比数列，∴a n ＝2·3n .【答案】 D9．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为( )A ．2n ＋1－nB ．2n ＋1－n －2C ．2n －nD ．2n【解析】 ∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.【答案】 B10．(2021·宜昌高二检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－2 010，S 2 0102 010－S 2 0082 008＝2，那么a 2＝( )A ．－2 008B ．－2 012C ．2 008D ．2 012 【解析】 ∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且首项为－2 010. 又∵S 2 0102 010－S 2 0082 008＝2， ∴公差为1，∴S 22＝－2 010＋1＝－2 009. ∴S 2＝a 1＋a 2＝－2 009×2.即a 2＝－2 008.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11.2＋1与2－1的等比中项是________．【解析】2＋1与2－1的等比中项是±（2＋1）（2－1）＝±1. 【答案】 ±112．(2021·广东高考)已知递增的等差数列{a n }知足a 1＝1，a 3＝a 22－4，那么a n ＝________．【解析】设公差为d ，那么a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，代入a 3＝a 22－4得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝2或d ＝－2(舍去)，∴a n ＝2n －1.【答案】 2n －113．在等差数列{a n }中，a 3＝－12，a 3，a 7，a 10成等比数列，那么公差d 等于________．【解析】由{a n }为等差数列，得a 7＝a 3＋4d ，a 10＝a 3＋7d ，又a 3，a 7，a 10成等比数列，因此a 72＝a 3a 10，即(a 3＋4d )2＝a 3(a 3＋7d )，整理后，得12d ＝16d 2，解得d ＝0或d ＝34. 【答案】 0或3414．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，假设初时含杂质2%，且每过滤一次可使杂质含量减少13，那么要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 【解析】设原有溶液a ，含杂质2%a ，通过n 次过滤，含杂质2%a ×(1－13)n . 要使n 次过滤后杂质含量不超过0.1%，则2%a ×（23）n a ×100%≤0.1%，即(23)n ≤120，n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2＝1＋0.301 00.477 1－0.301 0≈7.387 8，∴至少应过滤8次．【答案】 8三、解答题(本大题共4小题，共50分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)15．(本小题总分值12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，b n ＝12a n －30， (1)求通项公式a n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．【解】 (1)由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4， ∴a n ＝4n －2.(2)由(1)知b n ＝12a n －30＝2n －31. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0，得292≤n ≤312. ∵n ∈N ＋，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值时，T n 最小．可知b 1＝－29，d ＝2，T 15＝－225.16．(本小题总分值12分)购买一件售价为5 000元的商品，采纳分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全数付清．若是月利率为0.8%，每一个月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精准到1元)【解】设每期应付款x 元，那么第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x ·(1＋0.008)11元；第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x ·(1＋0.008)10元；…第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x ·(1＋0.008)元；第十二期付款已没有利息问题，即为x 元．因此各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x .又所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝5 000×1.00812， ∴x ≈439元．答：每期应付款约439元．17．(本小题总分值12分)(2021·青岛高二检测)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且知足4S n ＝(a n ＋1)2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 【解】 ∵4S n ＝(a n ＋1)2，因此S n ＝（a n ＋1）24，S n ＋1＝（a n ＋1＋1）24. 因此S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝（a n ＋1＋1）2－（a n ＋1）24，即4a n ＋1＝a n ＋12－a n 2＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )．因为a n ＋1＋a n ≠0，因此a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，因此a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)， ∵T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝12－12（2n ＋1）. 18．(本小题总分值14分)(2021·山东高考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列，因此a3＋a4＋a5＝3a4＝84，因此a4＝28.设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1，因此a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，假设9m<a n<92m，则9m＋8<9n<92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得b m＝92m－1－9m－1.于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝9×（1－81m）1－81－（1－9m）1－9＝92m＋1－10×9m＋180.。

2020-2021数北师大必修5教师用书：第1章 章末综合提升 Word含解析

2020-2021学年高中数学北师大版必修5课件：第1章 1 第2课时 数列的函数特性

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2021-2022学年高中数学北师大版必修5讲义：第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质