2018年高考数学考点通关练第一章集合与常用逻辑用语1集合试题文

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2018年高考数学试题分类汇编集合与常用逻辑用语1 精品

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一、集合与常用逻辑用语一、选择题一.(重庆理2)“x <-1”是“x 2-1>0”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要【答案】A2.(天津理2)设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案】A3.(浙江理7)若,a b 为实数,则“01m ab <<”是11a b b a <或>的 A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A4.(四川理5)函数,()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 A .充分而不必要的条件 B .必要而不充分的条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要的条件 【答案】B【解析】连续必定有定义,有定义不一定连续。

5.(陕西理一)设,a b 是向量,命题“若a b =-,则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是A .若a b ≠-,则∣a ∣≠∣b ∣B .若a b =-,则∣a ∣≠∣b ∣C .若∣a ∣≠∣b ∣,则a b ≠-D .若∣a ∣=∣b ∣,则a = -b【答案】D6.(陕西理7)设集合M={y|y=2cos x —2sin x|,x ∈R},N={x||x —1i为虚数单位,x ∈R},则M ∩N 为 A .(0,一) B .(0,一]C .[0,一)D .[0,一]【答案】C7.(山东理一)设集合 M ={x|260x x +-<},N ={x|一≤x ≤3},则M ∩N =A .[一,2)B .[一,2]C .( 2,3]D .[2,3] 【答案】A8.(山东理5)对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要【答案】B9.(全国新课标理一0)已知a ,b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是(A ) 14,p p (B ) 13,p p (C ) 23,p p (D ) 24,p p 【答案】A一0.(辽宁理2)已知M ,N 为集合I 的非空真子集,且M ,N 不相等,若 N ð=M I ∅,则=N M(A )M (B )N (C )I(D )∅【答案】A一一.(江西理8)已知1a ,2a ,3a 是三个相互平行的平面.平面1a ,2a 之间的距离为1d ,平面2a ,3a 之间的距离为2d .直线l 与1a ,2a ,3a 分别相交于1p ,2p ,3p ,那么“12PP=23P P ”是“12d d =”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C一2.(湖南理2)设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件 【答案】A一3.(湖北理9)若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =,则称a 与b互补,记(,),a b a b ϕ=-,那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的A .必要而不充分的条件B .充分而不必要的条件C .充要条件D .即不充分也不必要的条件【答案】C一4.(湖北理2)已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =A .1[,)2+∞B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .()0,+∞D .1(,0][,)2-∞+∞【答案】A一5.(广东理2)已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数,且}221x y +=,(){,B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B ⋂的元素个数为A .0B .一C .2D .3【答案】C一6.(福建理一)i 是虚数单位,若集合S=}{1.0.1-,则A .i S ∈B .2i S ∈ C .3i S ∈D .2S i ∈【答案】B 一7.(福建理2)若a ∈R ,则a=2是(a-一)(a-2)=0的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件 C .既不充分又不必要条件 【答案】A 一8.(北京理一)已知集合P={x ︱x 2≤一},M={a }.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 A .(-∞, -一] B .[一, +∞) C .[-一,一]D .(-∞,-一] ∪[一,+∞) 【答案】C 一9.(安徽理7)命题“所有能被2整聊的整数都是偶数”的否定是 (A )所有不能被2整除的数都是偶数 (B )所有能被2整除的整数都不是偶数 (C )存在一个不能被2整除的数都是偶数 (D )存在一个能被2整除的数都不是偶数 【答案】D20.(广东理8)设S 是整数集Z 的非空子集,如果,,a b S ∀∈有ab S ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的.若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集,,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是A .,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B .,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C .,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D .,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 【答案】A 二、填空题2一.(陕西理一2)设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = 【答案】3或422.(安徽理8)设集合{}1,2,3,4,5,6,A =}8,7,6,5,4{=B 则满足S A ⊆且S B φ≠ 的集合S 为 (A )57 (B )56(C )49(D )8【答案】B 23.(上海理2)若全集U R =,集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤ ,则U C A = 。

全国通用2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用1_1集合课时作业文北师大版

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第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合基础巩固题组(建议用时:25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )A.A=B B.A∩B=∅C.A B D.B A解析∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( ) A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3} D.{1,2}解析由于B={x|x2<9}={x|-3<x<3},又A={1,2,3},因此A∩B={1,2}.答案 D3.(2017·宝鸡模拟)已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则( ) A.A∩B≠∅B.A∪B=RC.B⊆A D.A⊆B解析由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),∴A∪B=R.答案 B4.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.[1,+∞)C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P,得a2≤1,解得-1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1) B.(0,1)C.(-1,+∞) D.(0,+∞)解析由y=2x,x∈R,知y>0,则A=(0,+∞).又B={x|x2-1<0}=(-1,1).因此A∪B=(-1,+∞).答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则(∁U P )∪Q =( ) A .{1} B .{3,5} C .{1,2,4,6}D .{1,2,3,4,5}解析 ∵U ={1,2,3,4,5,6},P ={1,3,5},∴∁U P ={2,4,6},∵Q ={1,2,4},∴(∁U P )∪Q ={1,2,4,6}.答案 C7.若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12,2,3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A .1 B .3 C .7 D .31解析 具有伙伴关系的元素组是-1,12,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,2,⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,2.答案 B8.已知全集U =R ,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( )A .{x |x ≥0} B.{x |x ≤1} C .{x |0≤x ≤1} D.{x |0<x <1} 解析∵A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},∴A ∪B ={x |x ≤0或x ≥1},在数轴上表示如图. ∴∁U (A ∪B )={x |0<x <1}. 答案 D 二、填空题9.已知集合A ={x |x 2-2x +a >0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是________.解析 ∵1∉{x |x 2-2x +a >0},∴1∈{x |x 2-2x +a ≤0},即1-2+a ≤0,∴a ≤1. 答案 (-∞,1]10.(2016·天津卷)已知集合A ={1,2,3},B ={y |y =2x -1,x ∈A },则A ∩B =________.解析 由A ={1,2,3},B ={y |y =2x -1,x ∈A },∴B ={1,3,5},因此A ∩B ={1,3}. 答案 {1,3}11.集合A ={x |x <0},B ={x |y =lg[x (x +1)]},若A -B ={x |x ∈A ,且x ∉B },则A -B =________.解析 由x (x +1)>0,得x <-1或x >0, ∴B =(-∞,-1)∪(0,+∞), ∴A -B =[-1,0). 答案 [-1,0)12.(2017·合肥质检)已知集合A ={x |x 2-2 016x -2 017≤0},B ={x |x <m +1},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是________.解析 由x 2-2 016x -2 017≤0,得A =[-1,2 017], 又B ={x |x <m +1},且A ⊆B , 所以m +1>2 017,则m >2 016. 答案 (2 016,+∞)能力提升题组 (建议用时:10分钟)13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ={x |(x -2)(x -3)≥0},T ={x |x >0},则(∁R S )∩T =( ) A .[2,3] B .(-∞,-2)∪[3,+∞) C .(2,3)D .(0,+∞)解析 易知S =(-∞,2]∪[3,+∞),∴∁R S =(2,3), 因此(∁R S )∩T =(2,3). 答案 C14.(2016·黄山模拟)集合U =R ,A ={x |x 2-x -2<0},B ={x |y =ln(1-x )},则图中阴影部分所表示的集合是( )A .{x |x ≥1}B .{x |1≤x <2}C .{x |0<x ≤1}D .{x |x ≤1}解析 易知A =(-1,2),B =(-∞,1),∴∁U B =[1,+∞),A ∩(∁U B )=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )={x |1≤x <2}. 答案 B15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N 14≤2x≤16,B ={x |y =ln(x 2-3x )},则A ∩B 中元素的个数是________.解析 由14≤2x≤16,x ∈N ,∴x =0,1,2,3,4,即A ={0,1,2,3,4}. 又x 2-3x >0,知B ={x |x >3或x <0}, ∴A ∩B ={4},即A ∩B 中只有一个元素. 答案 116.已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),则m +n =________.解析 A ={x ∈R ||x +2|<3}={x ∈R |-5<x <1}, 由A ∩B =(-1,n )可知m <1,则B ={x |m <x <2},画出数轴,可得m =-1,n =1.所以m +n =0. 答案 0。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 Word版含答案

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真题演练集训.命题“∀∈,∃∈*,使得≥”的否定形式是( ).∀∈,∃∈*,使得<.∀∈,∀∈*,使得<.∃∈,∃∈*,使得<.∃∈,∀∈*,使得<答案:解析:根据含有量词的命题的否定的概念可知,选..命题“∀∈*,()∈*且()≤”的否定形式是( ).∀∈*,()∉*且()>.∀∈*,()∉*或()>.∃∈*,()∉*且()>.∃∈*,()∉*或()>答案:解析:写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃,并且否定结论,注意把“且”改为“或”..设命题:∃∈,>,则綈为( ).∃∈,≤.∀∈,>.∀∈,≤.∃∈,=答案:解析:因为“∃∈,()”的否定是“∀∈,綈()”,所以命题“∃∈,>”的否定是“∀∈,≤”.故选..若“∀∈,≤”是真命题,则实数的最小值为.答案:解析:由题意,原命题等价于≤在区间上恒成立,即=在上的最大值小于或等于.又=在上的最大值为,所以≥,即的最小值为.课外拓展阅读利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围以逻辑联结词为工具,与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现,题型为选择题或填空题.给定命题:对任意实数都有++>成立;:关于的方程-+=有实数根.如果“∨”为真命题,“∧”为假命题,那么实数的取值范围为.(-∞,)∪当为真命题时,“对任意实数都有++>成立”⇔=或(\\(>,,Δ<,))所以≤<.当为真命题时,“关于的方程-+=有实数根”⇔Δ=-≥,所以≤.因为“∨”为真命题,“∧”为假命题,所以,一真一假.若真假,则<<;若假真,则<.综上,实数的取值范围为(-∞,)∪.根据命题的真假求参数取值范围的方法步骤:()求出当命题,为真命题时,所含参数的取值范围;()判断命题,的真假性;()根据命题的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围.考法总结含分式不等式的命题的否定对于含分式不等式的命题的否定,一定要注意,除了改变不等式的符号,还要加上分式无意义的情况,如果要彻底避免这类问题引发的错误,我们可以先求出命题所表示的范围,再对范围进行否定.设函数()=的定义域为,若命题:∈与命题:∈有且只有一个为真命题,求实数的取值范围.由题意,可知,两个命题一真一假,命题等价于{≤<},命题等价于<)))).()若真假,则需满足(\\(≤<,<()或≥))⇒∈∅.()若假真,则需满足(\\(<或≥,,()≤<))⇒∈∪[).综上所述,的取值范围为∪[).点评对于含分式不等式的命题的否定,有两种解法,一是先写出否定形式,再求范围,二是先求范围,再对范围进行否定,但解法一容易遗漏分式无意义的情况,推荐使用解法二进行解题.。

高考数学考前刷题大卷练1 集合与常用逻辑用语(文)(含解析)-人教版高三全册数学试题

高考数学考前刷题大卷练1 集合与常用逻辑用语(文)(含解析)-人教版高三全册数学试题

大卷练1 集合与常用逻辑用语一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A ={0,2},B ={-2,-1,0,1,2},则A ∩B =( ) A .{0,2} B .{1,2}C .{0}D .{-2,-1,0,1,2} 答案:A解析:A ∩B ={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.[2019·某某肃南月考]已知集合P ={2,3,4,5,6},Q ={3,5,7}.若M =P ∩Q ,则M 的子集个数为( )A .5B .4C .3D .2 答案:B解析:因为P ∩Q ={3,5},所以集合M 的子集个数为4.故选B.3.[2017·全国卷Ⅰ文,1]已知集合A ={x |x <2},B ={x |3-2x >0},则( )A .A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32B .A ∩B =∅C .A ∪B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 D .A ∪B =R 答案:A解析:由题意知A ={x |x <2},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32.由图易知A ∩B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32,A ∪B ={x |x <2},故选A.4.[2019·某某一检]已知集合M 是函数y =11-2x的定义域,集合N 是函数y =x 2-4的值域,则M ∩N =( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-4≤x <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ,y ⎪⎪⎪x <12且y ≥-4D .∅ 答案:B解析:由题意得M =⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12,N =[-4,+∞),所以M ∩N =⎣⎢⎡⎭⎪⎫-4,12. 5.[2019·某某某某模拟]已知集合A ={0,1,2},若A ∩∁Z B =∅(Z 是整数集合),则集合B 可以为( )A .{x |x =2a ,a ∈A }B .{x |x =2a,a ∈A } C .{x |x =a -1,a ∈N } D .{x |x =a 2,a ∈N } 答案:C解析:由题意知,集合A ={0,1,2},可知{x |x =2a ,a ∈A }={0,2,4},此时A ∩∁Z B ={1}≠∅,A 不满足题意;{x |x =2a,a ∈A }={1,2,4},则A ∩∁Z B ={0}≠∅,B 不满足题意;{x |x =a -1,a ∈N }={-1,0,1,2,3,…},则A ∩∁Z B =∅,C 满足题意;{x |x =a 2,a ∈N }={0,1,4,9,16,…},则A ∩∁Z B ={2}≠∅,D 不满足题意.故选C.6.[2019·某某某某联考]设集合M ={x |x <4},集合N ={x |x 2-2x <0},则下列关系中正确的是( )A .M ∩N =MB .M ∪(∁R N )=MC .N ∪(∁R M )=RD .M ∩N =N 答案:D解析:由题意可得N =(0,2),M =(-∞,4),N ⊆M .故选D.7.已知集合A ={4,a },B ={x ∈Z |x 2-5x +4≥0},若A ∩(∁Z B )≠∅,则实数a 的值为( ) A .2 B .3 C .2或6 D .2或3 答案:D解析:因为B ={x ∈Z |x 2-5x +4≥0},所以∁Z B ={x ∈Z |x 2-5x +4<0}={x ∈Z |1<x <4}={2,3}.若A ∩(∁Z B )≠∅,则a =2或a =3,故选D.8.[2019·某某市高三第二次教学质量检测]命题p :∀a ≥0,关于x 的方程x 2+ax +1=0有实数解,则綈p 为( )A .∃a <0,关于x 的方程x 2+ax +1=0有实数解 B .∃a <0,关于x 的方程x 2+ax +1=0没有实数解 C .∃a ≥0,关于x 的方程x 2+ax +1=0没有实数解 D .∃a ≥0,关于x 的方程x 2+ax +1=0有实数解 答案:C解析:根据全称命题的否定可知,綈p 为∃a ≥0,关于x 的方程x 2+ax +1=0没有实数解,故选C.9.[2019·某某五校联考]已知命题p :“a >b ”是“2a>2b”的充要条件;q :∃x 0∈R ,|x 0+1|≤x 0,则( )A .(綈p )∨q 为真命题B .p ∨q 为真命题C .p ∧q 为真命题D .p ∧(綈q )为假命题 答案:B解析:由函数y =2x是R 上的增函数,知命题p 是真命题.对于命题q ,当x +1≥0,即x ≥-1时,|x +1|=x +1>x ;当x +1<0,即x <-1时,|x +1|=-x -1,由-x -1≤x ,得x ≥-12,无解,因此命题q 是假命题.所以(綈p )∨q 为假命题,A 错误;p ∨q 为真命题,B 正确;p ∧q 为假命题,C 错误;p ∧(綈q )为真命题,D 错误.选择B.10.[2019·东北师大附中、某某师大附中、某某省实验中学联考]对于实数x ,y ,若p :x +y ≠4,q :x ≠3或y ≠1,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案:A解析:由于命题“若x =3且y =1,则x +y =4”为真命题,可知该命题的逆否命题也为真命题,即p ⇒q .由x ≠3或y ≠1,但x =2,y =2时有x +y =4,即qD p .故p 是q 的充分不必要条件.故选A.11.[2019·某某某某第一次调研]设有下面四个命题:p 1:∃n ∈N ,n 2>2n ;p 2:x ∈R ,“x >1”是“x >2”的充分不必要条件;p 3:命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题是“若sin x ≠sin y ,则x ≠y ”; p 4:若“p ∨q ”是真命题,则p 一定是真命题.其中为真命题的是( ) A .p 1,p 2 B .p 2,p 3 C .p 2,p 4 D .p 1,p 3 答案:D解析:∵n =3时,32>23,∴∃n ∈N ,n 2>2n,∴p 1为真命题,可排除B ,C 选项.∵(2,+∞)⊂(1,+∞),∴x >2能推出x >1,x >1不能推出x >2,x >1是x >2的必要不充分条件,∴p 2是假命题,排除A.故选D.12.[2019·某某某某长安区质量检测大联考]已知命题p :∀x ∈R ,不等式ax 2+22x +1<0解集为空集,命题q :f (x )=(2a -5)x在R 上满足f ′(x )<0,若命题p ∧(綈q )是真命题,则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52,3 B .[3,+∞) C .[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2,52∪[3,+∞) 答案:D解析:由题意命题p :∀x ∈R ,不等式ax 2+22x +1<0解集为空集,a =0时,不满足题意.当a ≠0时,必须满足:⎩⎨⎧a >0,Δ=222-4a ≤0,解得a ≥2.命题q :f (x )=(2a -5)x在R 上满足f ′(x )<0,可得函数f (x )在R 上单调递减,∴0<2a -5<1,解得52<a <3.∵命题p ∧(綈q )是真命题,∴p 为真命题,q 为假命题.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2,a ≤52或a ≥3,解得2≤a ≤52或a ≥3,则实数a 的取值X 围是[3,+∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2,52.故选D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2,a ,b a =⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2,a 2,a +b ,则a 2 018+b 2 018的值为________.答案:1解析:因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2,a ,b a =⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2,a 2,a +b ,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,a ,b a ={0,a 2,a +b },所以⎩⎪⎨⎪⎧b a =0,a 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0(舍去),故a2 018+b2 018=1.14.某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的有________人.答案:26解析:设只爱好音乐的人数为x ,两者都爱好的人数为y ,只爱好体育的人数为z ,作Venn 图如图所示,则x +y +z =55-4=51,x +y =34,y +z =43,故y =(34+43)-51=26.故答案为26.15.[2019·某某玉山一中月考]已知命题p :关于x 的方程x 2-mx -2=0在[0,1]上有解;命题q :f (x )=log 2x 2-2mx +12在[1,+∞)上单调递增.若“綈p ”为真命题,“p ∨q ”为真命题,则实数m 的取值X 围为______.答案:⎝⎛⎭⎪⎫-1,34 解析:对于命题p :令g (x )=x 2-mx -2,则g (0)=-2,∴g (1)=-m -1≥0,解得m ≤-1,故命题p :m ≤-1.∴綈p :m >-1.对于命题q :⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1,1-2m +12>0,解得m <34.又由题意可得p 假q 真,∴-1<m <34,即实数m 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫-1,34.16.[2019·某某闽侯二中模拟]设命题p :|4x -3|≤1;命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值X 围是________.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12 解析:由|4x -3|≤1,得12≤x ≤1;由x 2-(2a +1)·x +a (a +1)≤0,得a ≤x ≤a +1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件,∴p 是q 的充分不必要条件.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1[a ,a +1].∴a ≤12且a +1≥1,两个等号不能同时成立,解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0},B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }. (1)若A ∩B =[0,3],某某数m 的值; (2)若A ⊆∁R B ,某某数m 的取值X 围. 解析:由已知得A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |m -2≤x ≤m +2}.(1)∵A ∩B =[0,3],∴⎩⎪⎨⎪⎧m -2=0,m +2≥3.∴m =2.(2)∁R B ={x |x <m -2或x >m +2},∵A ⊆∁R B , ∴m -2>3或m +2<-1,即m >5或m <-3. 所以实数M 的取值X 围是{m |m >5,或m <-3}. 18.(本小题满分12分)设集合A ={x |132≤2-x ≤4},B ={x |x 2-3mx +2m 2-m -1<0}.(1)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集的个数; (2)若B ⊆A ,求m 的取值X 围.解析:化简集合A ={x |-2≤x ≤5},集合B 可写为B ={x |(x -m +1)(x -2m -1)<0}. (1) x ∈Z ,∴A ={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A 中含有8个元素,∴A 的非空真子集数为28-2=254(个).(2)当B =∅即m =-2时,B ⊆A . 当B ≠∅即m ≠-2时.(ⅰ)当m <-2 时,B =(2m +1,m -1),要B ⊆A ,只要⎩⎪⎨⎪⎧2m +1≥-2,m -1≤5⇒-32≤m ≤6,所以m 的值不存在;(ⅱ)当m >-2 时,B =(m -1,2m +1),要B ⊆A ,只要⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥-2,2m +1≤5⇒-1≤m ≤2.综上可知m 的取值X 围是:{m |m =-2或-1≤m ≤2}. 19.(本小题满分12分)[2019·某某某某第一中学第二次检测]若集合A ={(x ,y )|x 2+mx -y +2=0,x ∈R },B ={(x ,y )|x -y +1=0,0≤x ≤2},当A ∩B ≠∅时,某某数m 的取值X 围.解析:∵集合A ={(x ,y )|x 2+mx -y +2=0,x ∈R }={(x ,y )|y =x 2+mx +2,x ∈R },B ={(x ,y )|x -y +1=0,0≤x ≤2}={(x ,y )|y =x +1,0≤x ≤2},∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2+mx +2,y =x +1在x ∈[0,2]上有解,即x 2+mx +2=x +1在[0,2]上有解,即x 2+(m -1)x +1=0在[0,2]上有解,显然,x =0不是该方程的解,从而问题等价于-(m -1)=x +1x在(0,2]上有解.又∵当x ∈(0,2]时,1x +x ≥2当且仅当1x=x ,即x =1时取“=”,∴-(m -1)≥2,∴m ≤-1,即m ∈(-∞,-1].20.(本小题满分12分)[2019·某某陵县一中月考]已知命题p :x 1和x 2是方程x 2-mx -2=0的两个实根,不等式a 2-5a -3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈[-1,1]恒成立;命题q :不等式ax 2+2x -1>0有解.若命题p 是真命题,命题q 是假命题,某某数a 的取值X 围.解析:因为x 1,x 2是方程x 2-mx -2=0的两个实根,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=m ,x 1x 2=-2,所以|x 1-x 2|=x 1+x 22-4x 1x 2=m 2+8.所以当m ∈[-1,1]时,|x 1-x 2|max =3.由不等式a 2-5a -3≥|x 1-x 2|对任意实数m ∈[-1,1]恒成立,得a 2-5a -3≥3,解得a ≥6或a ≤-1,所以命题p 为真命题时,a ≥6或a ≤-1. 命题q :不等式ax 2+2x -1>0有解, ①a >0时,显然有解; ②当a =0时,2x -1>0有解;③当a <0时,因为ax 2+2x -1>0有解,所以Δ=4+4a >0,解得-1<a <0. 所以命题q 为真命题时,a >-1. 又因为命题q 是假命题,所以a ≤-1.所以命题p 是真命题且命题q 是假命题时,实数a 的取值X 围为(-∞,-1]. 21.(本小题满分12分)[2019·某某某某模拟]命题p :实数a 满足a 2+a -6≥0,命题q :函数y =ax 2-ax +1的定义域为R ,若命题p ∧q 为假,p ∨q 为真,某某数a 的取值X 围.解析:当命题p 为真时,即a 2+a -6≥0,解得a ≥2或a ≤-3; 当命题q 为真时,可得ax 2-ax +1≥0对任意x ∈R 恒成立, 若a =0,则满足题意;若a ≠0,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=a 2-4a ≤0,解得0<a ≤4,∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假,p ∨q 为真,∴“p 真q 假”或“p 假q 真”,①当p 真q 假时,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤-3,a >4或a <0,∴a >4或a ≤-3;②当p 假q 真时,则⎩⎪⎨⎪⎧-3<a <2,0≤a ≤4,∴0≤a <2.∴实数a 的取值X 围是(-∞,-3]∪[0,2)∪(4,+∞). 22.(本小题满分12分)[2019·某某潍坊联考]已知m ∈R ,设p :∀x ∈[-1,1],x 2-2x -4m 2+8m -2≥0成立;q :∃x ∈[1,2],log 12(x 2-mx +1)<-1成立.如果“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,某某数m的取值X 围.解析:若p 为真,则对∀x ∈[-1,1],4m 2-8m ≤x 2-2x -2恒成立. 设f (x )=x 2-2x -2,配方得f (x )=(x -1)2-3, ∴f (x )在[-1,1]上的最小值为-3,∴4m 2-8m ≤-3,解得12≤m ≤32,∴p 为真时,12≤m ≤32.若q 为真,则∃x ∈[1,2],x 2-mx +1>2成立,即m <x 2-1x成立.设g (x )=x 2-1x =x -1x ,则g (x )在[1,2]上是增函数,∴g (x )的最大值为g (2)=32,∴m <32,∴q 为真时,m <32.∵“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时,⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32,m ≥32,∴m =32;当p 假q 真时,⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32,m <32,∴m <12.综上所述,实数m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <12或m =32。

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档:第一章

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档:第一章

第一章集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.②在具体情境中,了解全集与空集的含义.(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.2.常用逻辑用语(1)理解命题的概念.(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.(5)理解全称量词和存在量词的意义.(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.1.1 集合及其运算1.集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________,把一些元素组成的总体叫做________. (2)集合中元素的三个特性:______,______, _______. (3)集合常用的表示方法:________和________. 2.常用数集的符号(1)元素与集合之间存在两种关系:如果a 是集合A 中的元素,就说a ________集合A ,记作________;如果a 不是集合A 中的元素,就说a ________集合A ,记作________.(2)集合与集合之间的关系:⊆A ,B≠12n 有________个.4.两个集合A 与B 之间的运算5.(1)①A∩B________A;②A∩B________B;③A∩A=________;④A∩=________;⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B;③A∪A=________;④A∪=________;⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)=________;②∁U U=________;③∁U=________;④A∩(∁U A)=____________;⑤A∪(∁U A)=____________.(4)①A∩B=A⇔________⇔A∪B=B;②A∩B=A∪B⇔____________.(5)记有限集合A,B的元素个数为card(A),card(B),则:card(A∪B)=____________________________;card=________________________.自查自纠1.(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2.N N*(N+) Z Q R C3.(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n-1 2n-24.A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5.(1)①⊆②⊆③A④⑤=(2)①⊇②⊇③A④A⑤=(3)①A②③U④⑤U(4)①A⊆B②A=B(5)card(A)+card(B)-card(A∩B)card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)(2016·北京)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=( ) A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5}解:易知A∩B=(2,3).故选C.(2015·陕西)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ) A.B.(0,1]C.解:因为M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},所以M∪N=.故选A.(2016·山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1) B.(0,1)C.(-1,+∞) D.(0,+∞)解:易知A=(0,+∞),B={x|-1<x<1},所以A∪B=(-1,+∞).故选C.设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x的值为________.解:当x2=4时,x=±2,若x=2,则不满足集合中的元素的互异性,所以x≠2;若x =-2,则A={1,4,-4},B={1,4},满足题意.当x2=2x时,x=0或2(舍去),x=0满足题意,所以x=0或-2.故填0或-2.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是________.解:由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},由于A⊆B,如图所示,则a>4.故填(4,+∞).类型一 集合的概念(1)若集合A ={-1,1},B ={0,2},则集合M ={z |z =x +y ,x ∈A ,y ∈B }中的元素的个数为( )A .5B .4C .3D .2解:当x =-1,y =0时,z =-1;当x =-1,y =2时,z =1;当x =1,y =0时,z =1;当x =1,y =2时,z =3.故z 的值为-1,1,3,所以所求集合M ={-1,1,3},共有3个元素.故选C .(2)已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________.解:由题意得m +2=3或2m 2+m =3,则m =1或m =-32,当m =1时,m +2=3,2m 2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m =-32时,m +2=12,2m 2+m =3,综上知,m =-32.故填-32.【点拨】(1)用描述法表示集合,首先要弄清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.(2)含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)已知集合S ={x |3x +a =0,a ∈R },如果1∈S ,那么a 的值为( )A .-3B .-1C .1D .3解:因为1∈S ,所以3+a =0,a =-3.故选A .(2)已知a ∈R ,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1={a 2,a +b ,0},则a 2 017+b 2 017=________.解:由已知得ba=0及a ≠0,所以b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1,又根据集合中元素的互异性可知a =-1,所以a2 017+b2 017=-1.故填-1.类型二 集合间的关系已知集合A ={x |x 2-3x -10≤0}.(1)若B ={x |m +1≤x ≤2m -1},B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (2)若B ={x |m -6≤x ≤2m -1},A =B ,求实数m 的取值范围; (3)若B ={x |m -6≤x ≤2m -1},A ⊆B ,求实数m 的取值范围. 解:由A ={x |x 2-3x -10≤0},得A ={x |-2≤x ≤5},(1)若B ⊆A ,则①当B =,有m +1>2m -1,即m <2,此时满足B ⊆A ;②当B ≠,有⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.由①②得,m 的取值范围是(-∞,3].(2)若A =B ,则必有⎩⎪⎨⎪⎧m -6=-2,2m -1=5,解得m ∈,即不存在实数m 使得A =B .(3)若A ⊆B ,则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1>m -6,m -6≤-2,2m -1≥5,解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为.【点拨】本例主要考查了集合间的关系,“当B ⊆A 时,B 可能为空集”很容易被忽视,要注意这一“陷阱”.集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1}.(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集的个数;(3)当x ∈R 时,若A ∩B =,求实数m 的取值范围. 解:(1)①当m +1>2m -1,即m <2时,B =,满足B ⊆A . ②当m +1≤2m -1,即m ≥2时,要使B ⊆A 成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤5,可得2≤m ≤3.综上,m 的取值范围是(-∞,3].(2)当x ∈Z 时,A ={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以A 的非空真子集个数为28-2=254. (3)因为x ∈R ,且A ∩B =,所以当B =时,即m +1>2m -1,得m <2,满足条件;当B ≠时,有⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1>5,或⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,2m -1<-2, 解得m >4.综上,m 的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).类型三 集合的运算(1)已知全集U =R ,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )等于( ) A .{x |x ≥0} B .{x |x ≤1} C .{x |0≤x ≤1}D .{x |0<x <1}解:易知A ∪B ={x |x ≤0或x ≥1}, 所以∁U (A ∪B )={x |0<x <1}.故选D .(2)已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩(∁U B )=________.解:因为U ={1,2,3,4},∁U (A ∪B )={4},所以A ∪B ={1,2,3}.又因为B ={1,2},所以{3}⊆A ⊆{1,2,3}.又∁U B ={3,4},所以A ∩(∁U B )={3}.故填{3}.(3)已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),则m =________,n =________.解:A ={x ∈R ||x +2|<3}={x ∈R |-5<x <1},由A ∩B =(-1,n ),可知m <1,由B ={x |m <x <2},画出数轴,可得m =-1,n =1.故填-1,1.【点拨】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时需注意端点值的取舍.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(1)设集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1,N ={x |-1≤x ≤3},则N ∩(∁R M )=( )A .(1,+∞)B .(-∞,-1)C .D .(1,3)解:因为M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1={x |x >1},则∁R M ={x |x ≤1},且N ={x |-1≤x ≤3},所以N∩(∁R M)=.故选C.(2)(2015·唐山模拟)集合M={2,log3a},N={a,b},若M∩N={1},则M∪N=( )A.{0,1,2} B.{0,1,3}C.{0,2,3} D.{1,2,3}解:因为M∩N={1},所以log3a=1,即a=3,所以b=1.所以M={2,1},N={3,1},M∪N={1,2,3}.故选D.(3)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁U A)∩B=,则m的值是________.解:A={-2,-1}.由(∁U A)∩B=,得B⊆A.x2+(m+1)x+m=(x+m)(x+1),所以当m=1时,B={-1},合要求,当m≠-1时,B={-1,-m},故只能有m=2.所以m=1或2.故填1或2.类型四Venn图及其应用设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为:M-P={x|x∈M,且x∉P},则M-(M-P)等于( )A.P B.M∩P C.M∪P D.M解:作出Venn图.当M∩P≠时,由图知,M-P为图中的阴影部分,则M-(M-P)显然是M∩P.当M∩P=时,M-(M-P)=M-M={x|x∈M,且x∉M}==M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题,属于应用性开放问题.“M-P”是我们不曾学过的集合运算关系,根据其元素的属性,借助Venn图将问题简单化.已知集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是________.解:B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合,该集合为{-1,4}.故填{-1,4}.类型五 和集合有关的创新试题在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为,即={5n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2 017∈;②-3∈;③Z =∪∪∪∪;④“整数a ,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈”.其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4解:因为2 017=403×5+2,所以2 017∈,结论①正确;-3=-1×5+2,所以-3∈,-3∉,结论②不正确;整数可以分为五“类”,这五“类”的并集就是整数集,即Z =∪∪∪∪,结论③正确;若整数a ,b 属于同一“类”,则a =5n +k ,b =5m +k ,a -b =5(n -m )+0∈,反之,若a -b ∈,则a ,b 被5除有相同的余数,故a ,b 属于同一“类”,结论④正确,综上知,①③④正确.故选C .【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题,常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型,解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题.(2)正确理解创新定义,分析新定义的表述意义,把新定义所表达的数学本质弄清楚,转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题之中,这是解决问题的基础.对任意两个实数对(a ,b )和(c ,d ),规定:(a ,b )=(c ,d ),当且仅当a =c ,b =d ;运算“○×”为:(a ,b ) ○× (c ,d )=(ac -bd ,bc +ad );运算“⊕”为:(a ,b ) ⊕(c ,d )=(a +c ,b +d ).设p ,q ∈R ,若(1,2) ○× (p ,q )=(5,0),则(1,2)⊕(p ,q )=( ) A .(0,-4) B .(0,2) C .(4,0)D .(2,0)解:因为(1,2) ○× (p ,q )=(p -2q ,2p +q )=(5,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧p -2q =5,2p +q =0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧p =1,q =-2,所以(1,2) ⊕(p ,q )=(1+p ,2+q )=(2,0).故选D .1. 首先要弄清构成集合的元素是什么,如是数集还是点集,要明了集合{x |y =f (x )}、{y |y =f (x )}、{(x ,y )|y =f (x )}三者是不同的.2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错.3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助Venn 图实施;对连续的数集间的运算,常利用数轴进行;对点集间的运算,则往往通过坐标平面内的图形求解.这在本质上是数形结合思想的体现和运用.4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽视空集是任何元素的子集.5.五个关系式A ⊆B ,A ∩B =A ,A ∪B =B ,∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )=是两两等价的.对这五个式子的等价转换,常使较复杂的集合运算变得简单.6.正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题,在解题时要调整思路,考虑问题的反面,探求已知与未知的关系,化难为易、化隐为显,从而解决问题.例如:已知A ={x |x 2+x +a ≤0},B ={x |x 2-x +2a -1<0},C ={x |a ≤x ≤4a -9},且A ,B ,C 中至少有一个不是空集,求a 的取值范围.这个问题的反面即是三个集合全为空集, 即⎩⎪⎨⎪⎧1-4a <0,1-4(2a -1)≤0,a >4a -9,解得58≤a <3,从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a <58或a ≥3.1.(2016·四川)设集合A ={x |-2≤x ≤2},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A .3B .4C .5D .6解:由题意,A ∩Z ={-2,-1,0,1,2},则元素的个数为5.故选C . 2.设集合M ={-1,0,1},N ={x |x 2≤x },则M ∩N =( ) A .{0}B .{0,1}C .{-1,1}D .{-1,0,1}解:因为N ={x |0≤x ≤1},M ={-1,0,1}, 所以M ∩N ={0,1}.故选B .3.(2015·浙江)已知集合P ={x |x 2-2x ≥0},Q ={x |1<x ≤2},则(∁R P )∩Q =( )A .C .(1,2)D .解:由题意得∁R P =(0,2),所以(∁R P )∩Q =(1,2).故选C .4.设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R|1x <1,B ={x ∈R |2x <1},则( ) A .A ⊇BB .A =BC .A ⊆BD .A ∩B =解:易知A ={x |x >1或x <0},B ={x |x <0},所以B ⊆A .故选A .5.设全集U 为整数集,集合A ={x ∈N |y =7x -x 2-6},B ={x ∈Z |-1<x ≤3},则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A .3B .4C .7D .8 解:A ={x ∈N |y =7x -x 2-6}={x ∈N |7x -x 2-6≥0}={x ∈N |1≤x ≤6},由题意知,图中阴影部分表示的集合为A ∩B ={1,2,3},其真子集有:,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.故选C .6.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a +b ∈A ,且a -b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论:①集合A ={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A ={n |n =3k ,k ∈Z }为闭集合;③若集合A 1,A 2为闭集合,则A 1∪A 2为闭集合.其中正确结论的个数是( )A .0B .1C .2D .3解:①(-4)+(-2)=-6∉A ,不正确;②设n 1,n 2∈A ,n 1=3k 1,n 2=3k 2,k 1,k 2∈Z ,则n 1+n 2∈A ,n 1-n 2∈A ,正确;③令A 1={n |n =5k ,k ∈Z },A 2={n |n =2k ,k ∈Z },则A 1,A 2为闭集合,但A 1∪A 2不是闭集合,不正确.故选B .7.设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a 的值为________. 解:由题意得a +2=3,则a =1.此时A ={-1,1,3},B ={3,5},A ∩B ={3},满足题意.故填1.8.(2016·天津)已知集合A ={1,2,3,4},B ={y |y =3x -2,x ∈A }, 则A ∩B =________. 解:因为A ={1,2,3,4},所以B ={1,4,7,10},则A ∩B ={1,4}.故填{1,4}.9.(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ={0,1,2,…,q -1},集合A ={x |x =x 1+x 2q +…+x n q n -1,x i ∈M ,i =1,2,…,n },当q =2,n =3时,用列举法表示集合A .解:当q =2,n =3时,M ={0,1},A ={x |x =x 1+2x 2+4x 3,x i ∈M ,i =1,2,3}={0,1,2,3,4,5,6,7}.10.设全集是实数集R ,A ={x |2x 2-7x +3≤0},B ={x |x 2+a <0}.(1)当a =-4时,求A ∩B 和A ∪B ;(2)若(∁R A )∩B =B ,求实数a 的取值范围.解:(1)A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3, 当a =-4时,B ={x |-2<x <2},A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x <2,A ∪B ={x |-2<x ≤3}. (2)∁R A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <12或x >3, 当(∁R A )∩B =B 时,B ⊆∁R A ,即A ∩B =.①当B =,即a ≥0时,满足B ⊆∁R A ;②当B ≠,即a <0时,B ={x |--a <x <-a },要使B ⊆∁R A ,只须-a ≤12,解得-14≤a <0. 综上可得,实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥-14. 11.已知集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0,a ∈R }.(1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并把这个元素写出来;(3)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.解:(1)A 是空集,即方程ax 2-3x +2=0无解,得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0,Δ=(-3)2-8a <0, 所以a >98, 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98,+∞. (2)当a =0时,A 中只有一个元素23; 当a ≠0时,Δ=0,得a =98,此时方程有两个相等的实数根,A 中只有一个元素43, 所以当a =0或a =98时,A 中只有一个元素,分别是23和43. (3)A 中至多有一个元素,包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结果,得a =0或a ≥98,即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a =0或a ≥98.已知集合A ={x |x 2+4x =0,x ∈R },B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a ∈R ,x∈R }.若A ∪B =A ,试求实数a 的取值范围.解:由题意得A ={0,-4},因为A ∪B =A ,所以B ⊆A ,又A 的子集为,{0},{-4},{0,-4}.①若B =,则Δ<0,即4(a +1)2-4(a 2-1)<0,解得a <-1;②若B ={0},则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=0,2(a +1)=0, 解得a =-1; ③若B ={-4},则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=16,2(a +1)=8, 此时a 不存在; ④若B ={0,-4},则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=0,2(a +1)=4, 解得a =1, 综上所述,实数a 的取值范围为(-∞,-1]∪{1}.。

2018年高考数学考点通关练第一章集合与常用逻辑用语1集合试题文

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考点测试1 集合一、基础小题1.集合A={1,2,3,4},B={x∈N*|x2-3x-4<0},则A∪B=( )A.{1,2,3} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4} D.(-1,4]答案 B解析∵B={x∈N*|-1<x<4}={1,2,3},∴A∪B={1,2,3,4},故选B.2.若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A的真子集的个数是( )A.16 B.8 C.4 D.3答案 D解析集合A中有两个元素,则集合A的真子集的个数是22-1=3,故选D.3.下列六个关系式:①{a,b}⊆{b,a},②{a,b}={b,a},③{0}=∅,④0∈{0},⑤∅∈{0},⑥∅⊆{0},其中正确的个数为( )A.6 B.5 C.4 D.3答案 C解析①正确,任何集合是其自身的子集.②考查了元素的无序性和集合相等的定义,正确.③错误,{0}是单元素集合,而∅不包含任何元素.④正确,考查了元素与集合的关系.⑤集合与集合的关系是包含关系,错误.⑥正确,∅是任何非空集合的子集,故选C.4.已知集合A、B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},A∩(∁U B)={3},则B=( )A.{1,2} B.{2,4} C.{1,2,4} D.∅答案 A解析结合韦恩图(如图)可知B={1,2}.5.设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={y|y=log3(x-1),x∈A},则集合(∁U A)∩(∁U B)=( )A.{0,2,4,5} B.{0,4,5} C.{2,4,5} D.{1,3,5}答案 D解析由已知得∁U A={0,1,3,5},B={0,2},∁U B={1,3,4,5},故(∁U A)∩(∁U B)={1,3,5}.6.已知集合A={x|y=ln (1-x)},B={y|y=x2},则A∩B=( )A.(-∞,1] B.[0,+∞) C.(0,1) D.[0,1)答案 D解析∵A={x|x<1}=(-∞,1),B=[0,+∞),∴A∩B=[0,1).7. 设集合U=R,A={x|x=3k+1,k∈N*},B={x|x≤5,x∈Q}(Q为有理数集),则图中阴影部分表示的集合是( )A .{1,3,4,5}B .{2,4,5}C .{2,5}D .{1,2,3,4,5}答案 B解析 ∵集合A ={x |x =3k +1,k ∈N *},∴A ={2,7,10,13,4,19,22,5,…},∵B ={x |x ≤5,x ∈Q },题中Venn 图阴影部分表示A 、B 两集合的交集,∴A ∩B ={2,4,5},∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}.故选B.8.已知A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |ax -2=0},若A ∩B =B ,则实数a 的值为( ) A .0或1或2 B .1或2 C .0 D .0或1 答案 A解析 由题意A ={1,2},当B ≠∅时,∵B ⊆A ,∴B ={1}或{2}.当B ={1}时,a ·1-2=0,解得a =2;当B ={2}时,a ·2-2=0,解得a =1.当B =∅时,a =0.故a 的值为0或1或2.9.已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,2]B .(2,4]C .[2,4]D .(-∞,4] 答案 D解析当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2;当B ≠∅时,若B ⊆A .如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上有m ≤4,故选D.10.已知集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a =________. 答案 4解析 根据并集的概念,可知{a ,a 2}={4,16},故只能是a =4.11.若A ={(x ,y )|y =x 2+2x -1},B ={(x ,y )|y =3x +1},则A ∩B =________. 答案 {(2,7),(-1,-2)}解析 A ∩B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ,y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y =x 2+2x -1,y =3x +1={(2,7),(-1,-2)}. 12.已知集合A ={x |x 2-2x -8≤0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)≤0,m ∈R },若A ∩B =[2,4],则实数m =________.答案 5解析 由题知A =[-2,4],B =[m -3,m ],因为A ∩B =[2,4],故⎩⎪⎨⎪⎧m -3=2,m ≥4,则m =5.二、高考小题13.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5},则A ∩B =( ) A .{1,3} B .{3,5} C .{5,7} D .{1,7} 答案 B解析 因为A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5},所以A ∩B ={3,5},故选B. 14.[2015·陕西高考]设集合M ={x |x 2=x },N ={x |lg x ≤0},则M ∪N =( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1) D .(-∞,1] 答案 A解析 ∵x 2=x ,∴x =0或1,∴M ={0,1}.∵lg x ≤0,∴0<x ≤1,∴N =(0,1],∴M ∪N =[0,1],故选A.15.[2016·天津高考]已知集合A ={1,2,3},B ={y |y =2x -1,x ∈A },则A ∩B =( ) A .{1,3} B .{1,2} C .{2,3} D .{1,2,3} 答案 A解析 A ={1,2,3},B ={1,3,5},A ∩B ={1,3}.故选A.16.[2016·浙江高考]已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则(∁U P )∪Q =( )A .{1}B .{3,5}C .{1,2,4,6}D .{1,2,3,4,5}答案 C解析 ∵U ={1,2,3,4,5,6},P ={1,3,5}, ∴∁U P ={2,4,6},∵Q ={1,2,4},∴(∁U P )∪Q ={1,2,4,6}.17.[2015·全国卷Ⅰ]已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( )A .5B .4C .3D .2 答案 D解析 集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },当n =0时,3n +2=2,当n =1时,3n +2=5,当n =2时,3n +2=8,当n =3时,3n +2=11,当n =4时,3n +2=14,∵B ={6,8,10,12,14},∴A ∩B 中元素的个数为2,选D.18.[2016·北京高考]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种;②这三天售出的商品最少有________种.答案16 29解析设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素,第三天售出的商品为集合C,则C中有18个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B中有3个元素,后两天都售出的商品有4种,则B∩C中有4个元素,所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.这三天售出的商品种数最少时,第一天和第三天售出的种类重合最多,由于前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,故第一天和第三天都售出的商品可以有17种,即A∩C中有17个元素,如图,即这三天售出的商品最少有2+14+3+1+9=29种.三、模拟小题19.[2017·浙江名校联考]已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁R B)=R,则实数a的取值范围是( )A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2答案 C解析由于A∪(∁R B)=R,∴B⊆A,∴a≥2,故选C.20.[2017·山东青岛质检]设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2},B={x|y=x-1},则( )A.A⊆B B.A∪B=AC.A∩B=∅D.A∩(∁I B)≠∅答案 A解析因为当x>2时,y=log2x>1,所以A=(1,+∞),B=[1,+∞),A⊆B,A∪B=B,A∩B=A,A∩(∁I B)=∅,故选A.21.[2017·云南师大附中月考]已知集合M满足M⊆{0,1,2,3},则符合题意的集合M的子集最多有( )A.16个 B.15个 C.8个 D.4个答案 A解析集合M是集合{0,1,2,3}的子集,为使集合M的子集个数最多,当且仅当M={0,1,2,3}时,M的子集最多,有24=16个,故选A.22.[2017·河南平顶山模拟]已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0},若(∁R B )∩A =∅,则a =( )A .0B .1C .2D .3 答案 B解析 ∵(∁R B )∩A =∅,∴A ⊆B .又A ={0,-4},且B 中最多2个元素,所以B =A ={0,-4},∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=0,-2+a +-+a 2-1=0,∴a =1.故选B.23.[2016·辽宁五校联考]设集合P ={x |x >1},Q ={x |x 2-x >0},则下列结论正确的是( )A .P ⊆QB .Q ⊆PC .P =QD .P ∪Q =R 答案 A解析 由集合Q ={x |x 2-x >0},知Q ={x |x <0或x >1},所以选A.24.[2016·广州调研]若集合A ,B 满足A ={x ∈Z |x <3},B ⊆N ,则A ∩B 不可能是( ) A .{0,1,2} B .{1,2} C .{-1} D .∅ 答案 C解析 依题意A ∩B 的元素可能为0,1,2,也可能没有元素,∴A ∩B 不可能是{-1}.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题1.[2017·河北邯郸一中月考]已知集合A ={x |3≤3x≤27},B ={x |log 2x >1}. (1)分别求A ∩B ,(∁R B )∪A ;(2)已知集合C ={x |1<x <a },若C ⊆A ,求实数a 的取值范围. 解 (1)∵3≤3x≤27,即31≤3x ≤33, ∴1≤x ≤3,∴A ={x |1≤x ≤3},∵log 2x >1,即log 2x >log 22,∴x >2,∴B ={x |x >2}, ∴A ∩B ={x |2<x ≤3},∁R B ={x |x ≤2}, ∴(∁R B )∪A ={x |x ≤3}.(2)由(1)知A ={x |1≤x ≤3},当C 为空集时,a ≤1;当C 为非空集合时,可得1<a ≤3.综上所述,a ≤3.2.[2016·山东聊城月考]已知R 为全集,A ={x |log 12(3-x )≥-2},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5x +2≥1. (1)求A ∩B ;(2)求(∁R A )∩B 与(∁R A )∪B .解 (1)由log 12 (3-x )≥-2,即log 12 (3-x )≥log 124,得⎩⎪⎨⎪⎧3-x >0,3-x ≤4,解得-1≤x<3,即A ={x |-1≤x <3}.由5x +2≥1,得x -3x +2≤0,解得-2<x ≤3,即B ={x |-2<x ≤3}, ∴A ∩B ={x |-1≤x <3}.(2)由(1)得∁R A ={x |x <-1或x ≥3},故(∁R A )∩B ={x |-2<x <-1或x =3},(∁R A )∪B =R . 3.[2017·山西临汾一中月考]函数f (x )=2-x +3x +1的定义域为A ,g (x )=lg [(x -a -1)·(2a -x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ;(2)若B ⊆A ,求实数a 的取值范围. 解 (1)由2-x +3x +1≥0,得x -1x +1≥0, 从而(x -1)(x +1)≥0且x +1≠0,故x <-1或x ≥1, ∴A =(-∞,-1)∪[1,+∞).(2)由(x -a -1)(2a -x )>0,得[x -(a +1)](x -2a )<0, ∵a <1,∴a +1>2a ,∴B =(2a ,a +1).∵B ⊆A ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥12或a ≤-2,而a <1,∴实数a 的取值范围为a ≤-2或12≤a <1.4.[2016·长春实验中学月考]集合A ={(x ,y )|y =-x 2+mx -1},B ={(x ,y )|y =3-x,0≤x ≤3},若A ∩B 是只有一个元素的集合,求实数m 的取值范围.解 集合A 表示抛物线上的点,抛物线y =-x 2+mx -1开口向下且过点(0,-1).集合B 表示线段上的点,要使A ∩B 只有一个元素,则线段与抛物线的位置关系有以下两种,如图:由图1知,在函数f (x )=-x 2+mx -1中,其与x 轴两交点横坐标之积为1,只要f (3)>0即可,即m >103.由图2知,抛物线与直线在x ∈[0,3]上相切,即⎩⎪⎨⎪⎧y =-x 2+mx -1,y =3-x ⇒x 2-(m +1)x +4=0⇒Δ=(m +1)2-16=0.∴m =3或m =-5.当m =3时,切点为(2,1),适合; 当m =-5时,切点为(-2,5),舍去. ∴m =3或m >103.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档:第一章集合与常用逻辑用语1.1含解析

2018版高考数学(理)一轮复习文档:第一章集合与常用逻辑用语1.1含解析

1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)Z Q R2。

集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若A⊆B(或B⊇A)x∈A,则x∈B)真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集A=B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B={x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集A∪B={x|x∈A或x∈B}合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A={x|x∈U且x∉A}【知识拓展】1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.3.A∩∁U A=∅;A∪∁U A=U;∁U(∁U A)=A。

【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.( ×)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×)(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×)(4){x|x≤1}={t|t≤1}.(√)(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(√)(6)若A∩B=A∩C,则B=C.(×)1.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤错误!},a=2错误!,则下列结论正确的是()A.{a}⊆A B.a⊆AC.{a}∈A D.a∉A答案D解析由题意知A={0,1,2,3},由a=2错误!,知a∉A。

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题 第一章 集合与常用逻辑用语 2 含答案 精品

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题 第一章 集合与常用逻辑用语 2 含答案 精品

考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础小题1.命题“若a∉A,则b∉B”的否命题是( )A.若a∉A,则b∉B B.若a∈A,则b∈BC.若b∈B,则a∉A D.若b∉B,则a∈A答案 B解析由原命题与否命题的定义知选B.2.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0答案 D解析写逆否命题只要交换命题的条件与结论,并分别否定条件与结论即可.3.命题“若x2+3x-4=0,则x=-4”的逆否命题及其真假性为( ) A.“若x=-4,则x2+3x-4=0”为真命题B.“若x≠-4,则x2+3x-4≠0”为真命题C.“若x≠-4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=-4,则x2+3x-4=0”为假命题答案 C解析根据逆否命题的定义可以排除A,D,由x2+3x-4=0,得x=-4或1,故选C.4.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数答案 C解析在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,互为逆否的命题是成对出现的,故真命题的个数和假命题的个数都是偶数.5.设A,B是两个集合,则“x∈A”是“x∈(A∩B)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析如果x∈(A∩B),则x∈A且x∈B;但当x∈A,x∉B时,x∉(A∩B),所以“x∈A”是“x∈(A∩B)”的必要不充分条件,故选B.6.下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“已知a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题答案 B解析对于选项A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故选项A为假命题;对于选项B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知选项B为真命题;对于选项C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故选项C为假命题;对于选项D,原命题为真,所以逆否命题为真,逆命题、否命题均为假,故选项D为假命题.综上可知,选B.7.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 因为集合N ={x |0<x ≤2}是M ={x |0<x ≤3}的真子集,故由a ∈M 不能得到a ∈N ,由a ∈N 可以得到a ∈M ,所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件.8.a <0,b <0的一个必要条件为( ) A .a +b <0 B .a -b >0 C .a b >1 D .a b<-1答案 A解析 若a <0,b <0,则一定有a +b <0,故选A.9.在等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ,若a 1<a 3,则a 1(1-q 2)<0,因为a 1>0,所以1-q 2<0,故q >1或q <-1,又a 3-a 6=a 1q 2(1-q 3),若q >1,则a 3<a 6,若q <-1,则a 3>a 6,故充分性不成立.反之,若a 3<a 6,则1-q 3<0,故q >1,则a 1<a 3,必要性成立,故“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的必要不充分条件,选B.10.若命题p 的逆命题是q ,命题p 的否命题是r ,则q 是r 的________.(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)答案 逆否命题解析 由4种命题的相互关系,可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题. 11.若“x ∈或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题,则x 的取值范围是________. 答案 已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线a ,b 相交,设交点为P ,则P ∈a ,P ∈b .又a ⊂α,b ⊂β,所以P ∈α,P ∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a ,b 可能相交,也可能异面或平行.故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.14.设a ,b 是向量,则“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 |a +b |=|a -b |⇔|a +b |2=|a -b |2⇔a ·b =0.而|a |=|b |⇒/ a ·b =0,且a ·b=0⇒/ |a |=|b |,故选D.15.设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n-1+a 2n <0”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件答案 C解析 若对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0,则a 1+a 2<0,又a 1>0,所以a 2<0,所以q =a 2a 1<0;若q <0,可取q =-1,a 1=1,则a 1+a 2=1-1=0,不满足对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0.所以“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0”的必要而不充分条件.故选C.16.设p :实数x ,y 满足(x -1)2+(y -1)2≤2,q :实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x -1,y ≥1-x ,y ≤1,则p 是q 的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 如图作出p ,q 表示的区域,其中⊙M 及其内部为p 表示的区域,△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域,故p 是q 的必要不充分条件.17.“sin α=cos α”是“cos2α=0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 ∵sin α=cos α⇒tan α=1⇒α=k π+π4,k ∈Z ,又cos2α=0⇒2α=2k π+π2或2k π+3π2(k ∈Z )⇒α=k π+π4或k π+3π4(k ∈Z ),∴sin α=cos α成立能保证cos2α=0成立,但cos2α=0成立不一定能保证sin α=cos α成立,∴“sin α=cos α”是“cos2α=0”的充分不必要条件.18.设a ,b 都是不等于1的正数,则“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 “3a >3b>3”等价于“a >b >1”,“log a 3<log b 3”等价于“a >b >1或0<a <1<b 或0<b <a <1”,从而“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件.故选B.三、模拟小题19.已知p :a <0,q :a 2>a ,则綈p 是綈q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 因为綈p :a ≥0,綈q :0≤a ≤1,所以綈q ⇒綈p 且綈p ⇒/ 綈q ,所以綈p 是綈q 的必要不充分条件.20.若p 是q 的充分不必要条件,则下列判断正确的是( ) A .綈p 是q 的必要不充分条件 B .綈q 是p 的必要不充分条件 C .綈p 是綈q 的必要不充分条件 D .綈q 是綈p 的必要不充分条件 答案 C解析 由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ,q ⇒/ p ,由互为逆否命题的两命题等价可得綈q ⇒綈p ,綈p ⇒/ 綈q ,∴綈p 是綈q 的必要不充分条件.故选C.21.设集合A ={x |x >-1},B ={x ||x |≥1},则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A .-1<x ≤1 B .x ≤1 C .x >-1 D .-1<x <1答案 D解析 由题意可知,x ∈A ⇔x >-1,x ∉B ⇔-1<x <1,所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是-1<x <1.故选D.22.已知集合A ={1,m 2+1},B ={2,4},则“m =3”是“A ∩B ={4}”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析 A ∩B ={4}⇒m 2+1=4⇒m =±3,故“m =3”是“A ∩B ={4}”的充分不必要条件.23.若f (x )是R 上的增函数,且f (-1)=-4,f (2)=2,设P ={x |f (x +t )+1<3},Q ={x |f (x )<-4},若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件,则实数t 的取值范围是( )A .t ≤-1B .t >-1C .t ≥3D .t >3答案 D解析 P ={x |f (x +t )+1<3}={x |f (x +t )<2}={x |f (x +t )<f (2)},Q ={x |f (x )<-4}={x |f (x )<f (-1)},因为函数f (x )是R 上的增函数,所以P ={x |x +t <2}={x |x <2-t },Q ={x |x <-1},要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件,则有2-t <-1,即t >3,选D.24.已知函数f (x )=13x -1+a (x ≠0),则“f (1)=1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填写)答案 充要解析 若f (x )=13x -1+a 是奇函数,则f (-x )=-f (x ),即f (-x )+f (x )=0,∴13-x -1+a +13x -1+a =2a +3x1-3x +13x -1=0,即2a +3x-11-3x =0,∴2a -1=0,即a =12,f (1)=12+12=1.若f (1)=1,即f (1)=12+a =1,解得a =12.∴“f (1)=1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题1.已知命题p :对数log a (-2t 2+7t -5)(a >0,a ≠1)有意义;q :关于实数t 的不等式t 2-(a +3)t +(a +2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围;(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解 (1)由对数式有意义得1<t <52.(2)∵命题p 是命题q 的充分不必要条件,∴1<t <52是不等式t 2-(a +3)t +(a +2)<0解集的真子集.解法一:因方程t 2-(a +3)t +(a +2)=0两根为1,a +2,故只需a +2>52,解得a >12.解法二:令f (t )=t 2-(a +3)t +(a +2),因f (1)=0,故只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0,解得a >12.2.已知条件p :|5x -1|>a 和条件q :12x 2-3x +1>0,请选取适当的实数a 的值,分别利用所给出的两个条件作为A ,B 构造命题:“若A 则B ”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题.解 已知条件p 即5x -1<-a 或5x -1>a , ∴x <1-a 5或x >1+a5.已知条件q 即2x 2-3x +1>0,∴x <12或x >1;令a =4,则p 即x <-35或x >1,此时必有p ⇒q 成立,反之不然.故可以选取一个实数是a =4,A 为p ,B 为q ,对应的命题是若p 则q . 3.已知命题p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.解 解法一:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10,∴綈p :A ={x |x >10或x <-2}.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),得1-m ≤x ≤1+m (m >0), ∴綈q :B ={x |x >1+m 或x <1-m ,m >0}. ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件,∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m ≥10,解得m ≥9.解法二:∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件, ∴q 是p 的必要而不充分条件, ∴p 是q 的充分而不必要条件.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),得1-m ≤x ≤1+m (m >0). ∴q :Q ={x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0}. 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10,∴p :P ={x |-2≤x ≤10}.∴P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m ≥10,解得m ≥9.4.已知集合P ={x |x 2-8x -20≤0},S ={x ||x -1|≤m }. (1)若(P ∪S )⊆P ,求实数m 的取值范围;(2)是否存在实数m ,使得“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解 由x 2-8x -20≤0,解得-2≤x ≤10, ∴P ={x |-2≤x ≤10}.由|x -1|≤m ,可得1-m ≤x ≤1+m , ∴S ={x |1-m ≤x ≤1+m }. (1)要使(P ∪S )⊆P ,则S ⊆P . ①若S =∅,此时m <0.②若S ≠∅,此时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0,1-m ≥-2,1+m ≤10,解得0≤m ≤3.综合①②知实数m 的取值范围为(-∞,3].(2)由题意“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件,则S =P ,则⎩⎪⎨⎪⎧1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9,∴这样的m 不存在.。

2018届高考理科数学第1章集合与常用逻辑用语1-3

2018届高考理科数学第1章集合与常用逻辑用语1-3

A组专项基础训练(时间:30分钟)1.已知命题p:所有有理数都是实数;命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A.(綈p)∨q B.p∧qC.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)【解析】不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题.【答案】D2.(2017·开封模拟)已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由“綈p为真”可得p为假,故p∧q为假;反之不成立.【答案】A3.已知命题p:“x>2是x2>4的充要条件”,命题q:“若ac2>bc2,则a>b”,那么()A.“p或q”为真B.“p且q”为真C.p真q假D.p,q均为假【解析】由已知得命题p是假命题,命题q是真命题,因此选A.【答案】A4.(2017·商丘模拟)已知命题p:函数y=a x+1+1(a>0且a≠1)的图象恒过点(-1,2);命题q:已知平面α∥平面β,则直线m∥α是直线m∥β的充要条件.则下列命题为真命题的是()A.p∧q B.(綈p)∧(綈q)C.(綈p)∧q D.p∧(綈q)【解析】由指数函数恒过点(0,1)知,函数y=a x+1+1是由y=a x先向左平移1个单位,再向上平移1个单位得到.所以函数y=a x+1+1恒过点(-1,2),故命题p为真命题;命题q:m与β的位置关系也可能是m⊂β,故q是假命题.所以p∧(綈q)为真命题.【答案】D5.(2017·安徽皖北片区第一次联考)已知p:x≥k,q:3x+1<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(-∞,-1)【解析】∵3x+1<1,∴3x+1-1=2-xx+1<0,即(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,得q:A=(-∞,-1)∪(2,+∞).而p:B=[k,+∞),又∵p是q的充分不必要条件,∴B A,得k>2.故选B.【答案】B6.命题p:∀x∈R,sin x<1;命题q:∃x∈R,cos x≤-1,则下列结论是真命题的是() A.p∧q B.(綈p)∧qC.p∨(綈q) D.(綈p)∧(綈q)【解析】p是假命题,q是真命题,所以B正确.【答案】B7.已知命题p:所有指数函数都是单调函数,则綈p为()A.所有的指数函数都不是单调函数B.所有的单调函数都不是指数函数C.存在一个指数函数,它不是单调函数D.存在一个单调函数,它不是指数函数【解析】命题p:所有指数函数都是单调函数,则綈p:存在一个指数函数,它不是单调函数.【答案】C8.(2017·太原模拟)已知命题p:∃x0∈R,e x0-mx0=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]C.R D.∅【解析】若p∨(綈q)为假命题,则p假q真.命题p为假命题时,有0≤m<e;命题q 为真命题时,有Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时,m的取值范围是0≤m≤2.【答案】B9.命题“∃x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是________.【解析】否定为全称命题:“∀x∈R,x2+2x+5≠0”.【答案】∀x∈R,x2+2x+5≠010.若命题“∃x0∈R,x20+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】因为命题“∃x0∈R,x20+(a-1)x0+1<0”等价于x20+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.【答案】(-∞,-1)∪(3,+∞)11.(2017·昆明模拟)由命题“存在x 0∈R ,使x 20+2x 0+m ≤0”是假命题,求得m 的取值范围是(a ,+∞),则实数a 的值是________.【解析】∵命题“存在x 0∈R ,使x 20+2x 0+m ≤0”是假命题,∴命题“∀x ∈R ,x 2+2x+m >0”是真命题,故Δ=22-4m <0,即m >1,故a =1.【答案】112.下列结论:①若命题p :∃x ∈R ,tan x =1;命题q :∀x ∈R ,x 2-x +1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题;②已知直线l 1:ax +3y -1=0,l 2:x +by +1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是a b=-3; ③命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题:“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”.其中正确结论的序号为________.【解析】①中命题p 为真命题,命题q 为真命题,所以p ∧(綈q )为假命题,故①正确;②当b =a =0时,有l 1⊥l 2,故②不正确;③正确,所以正确结论的序号为①③.【答案】①③B 组 专项能力提升(时间:15分钟)13.已知命题p :∃x ∈R ,x -2>lg x ,命题q :∀x ∈R ,x 2>0,则( )A .p ∨q 是假命题B .p ∧q 是真命题C .p ∧(綈q )是真命题D .p ∨(綈q )是假命题【解析】∵x =10时,x -2=8,lg 10=1,x -2>lg x 成立,∴命题p 为真命题,又x 2≥0,命题q 为假命题,所以p ∧(綈q )是真命题.【答案】C14.四个命题:①∀x ∈R ,x 2-3x +2>0恒成立;②∃x ∈Q ,x 2=2;③∃x ∈R ,x 2+1=0;④∀x ∈R ,4x 2>2x -1+3x 2.其中真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .4【解析】∵x 2-3x +2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,∴当x >2或x <1时,x 2-3x +2>0才成立,∴①为假命题.当且仅当x =±2时,x 2=2,∴不存在x ∈Q ,使得x 2=2,∴②为假命题.对∀x ∈R ,x 2+1≠0,∴③为假命题.4x 2-(2x -1+3x 2)=x 2-2x +1=(x -1)2≥0,即当x =1时,4x 2=2x -1+3x 2成立,∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.【答案】A15.下列结论正确的是( )A .若p :∃x ∈R ,x 2+x +1<0,则綈p :∀x ∈R ,x 2+x +1<0B .若p ∨q 为真命题,则p ∧q 也为真命题C .“函数f (x )为奇函数”是“f (0)=0”的充分不必要条件D .命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的否命题为真命题【解析】∵x 2+x +1<0的否定是x 2+x +1≥0,∴A 错;若p ∨q 为真命题,则p 、q 中至少有一个为真,∴B 错;f (x )为奇函数,但f (0)不一定有意义,∴C 错;命题“若x 2-3x +2=0则x =1”的否命题为“若x 2-3x -2≠0,则x ≠1”,是真命题,D 对.【答案】D16.(2017·江苏如皋检测)已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x +1x -3<0,B ={x |-1<x <m +1}.若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是________.【解析】由题意,得A ={x |-1<x <3}.∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,∴A B ,∴m +1>3.即m >2.【答案】(2,+∞)17.(2017·上海金山中学期中)设p :1≤x ≤3,q :m +1≤x ≤2m +4,m ∈R .若p 是q 的充分条件,则m 的取值范围是________.【解析】因为p 是q 的充分条件,所以[1,3]⊆[m +1,2m +4],则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤1,2m +4≥3,解得-12≤m ≤0. 【答案】⎣⎡⎦⎤-12,0 18.(2017·山东省实验中学第二次诊断性考试)设p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a ≠0;q :实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0.(1)若a =1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由x 2-4ax +3a 2<0,得(x -3a )(x -a )<0.当a =1时,解得1<x <3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,得2<x ≤3,即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)p 是q 的必要不充分条件,即q 可以推出p ,但p 推不出q . 设A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则B 是A 的真子集.又B =(2,3],当a >0时,A =(a ,3a );当a <0时,A =(3a ,a ).所以当a >0时,有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2,3<3a ,解得1<a ≤2; 当a <0时,显然A ∩B =∅,不合题意.所以实数a 的取值范围是(1,2].。

2018版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题

2018版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题

2018版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件真题演练集训 理 新人教A 版1.[2015·山东卷]设m ∈R ,命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是( )A .若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0B .若方程x 2+x -m =0有实根,则m ≤0C .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m >0D .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0答案:D解析:根据逆否命题的定义,命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是“若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0”.故选D.2.[2015·北京卷]设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α,“m ∥β”是“α∥β”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案:B解析:当m ∥β时,过m 的平面α与β可能平行也可能相交,因而m ∥β D ⇒/ α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m ⊂α,所以m ∥β.综上知,“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.3.[2015·重庆卷]“x >1”是“log 12(x +2)<0”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件答案:B解析:∵ x >1⇒log 12 (x +2)<0,log 12 (x +2)<0⇒x +2>1⇒x >-1,∴ x >1是log 12(x +2)<0的充分而不必要条件.4.[2016·四川卷]设p :实数x ,y 满足(x -1)2+(y -1)2≤2,q :实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x -1,y ≥1-x ,y ≤1,则p 是q 的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案:A解析:取x =y =0满足条件p ,但不满足条件q ,反之,对于任意的x ,y 满足条件q ,显然必满足条件p ,所以p 是q 的必要不充分条件,故选A.课外拓展阅读根据充要条件求参数取值范围的方法1.解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决.2.在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时,不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易增解或漏解.[典例] 已知p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),且綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为________.[答案] [9,+∞)[解析] 解法一:由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得 -2≤x ≤10,∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <-2},设A ={x |x >10或x <-2}.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),得1-m ≤x ≤1+m (m >0),∴綈q 对应的集合为{x |x >m +1或x <1-m ,m >0},设B ={x |x >m +1或x <1-m ,m >0}.∵綈p 是綈q 的必要而不充分的条件,∴B A ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m ≤-2,1+m ≥10,且不能同时取得等号,解得m ≥9,∴实数m 的取值范围为[9,+∞).解法二:∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件,∴q 是p 的必要而不充分条件,即p 是q 的充分而不必要条件.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),得1-m ≤x ≤1+m (m >0).∴q 对应的集合为{x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0},设M ={x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10, ∴p 对应的集合为{x |-2≤x ≤10},设N ={x |-2≤x ≤10}.由p 是q 的充分而不必要条件知N M ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m ≤-2,1+m ≥10,且不能同时取等号,解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9,+∞).方法点睛本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.。

2018届高考理科数学第1章集合与常用逻辑用语1-2

2018届高考理科数学第1章集合与常用逻辑用语1-2

A 组 专项基础训练(时间:30分钟)1.(2017·山东聊城期中)已知A 是数集,则“A ∩{0,1}={0}”是“A ={0}”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】若“A ={0}”,可得“A ∩{0,1}={0}”;若“A ∩{0,1}={0}”,可得集合A 中0∈A ,1∉A ,可以取A ={-1,0}也满足题意.所以“A ∩{0,1}={0}”是“A ={0}”的必要不充分条件.【答案】B2.(2017·湖南师大附中第四次月考)“cos α=32”是“cos 2α=12”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】当cos α=32时,cos 2α=2cos 2α-1=12,当cos 2α=12时,可以求得cos α=±32,所以“cos α=32”是“cos 2α=12”的充分不必要条件.故选A. 【答案】A3.(2017·山西康杰中学等校第二次联考)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】当a =0时,f (x )=x (x >0)在区间(0,+∞)内单调递增;当a <0时,f (x )=-(ax-1)x =(-ax +1)x (x >0),因为对称轴为x =12a<0,因此函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递增,充分性成立;反之,若a >0,则函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,12a 和⎝⎛⎭⎫1a ,+∞内单调递增,而在⎝⎛⎭⎫12a ,1a 内单调递减,因此必要性也成立. 【答案】C4.(2017·陕西商洛商南高中二模)在△ABC 中,设命题p :a sin B =b sin C =c sin A,命题q :△ABC 是等边三角形,那么命题p 是命题q 的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】a sin B =b sin C =c sin A ,即2R sin A sin B =2R sin B sin C ,sin A sin C =sin 2B ①;2R sin B sin C =2R sin C sin A,sin A sin B =sin 2C ②.①-②,得(sin C -sin B )(sin A +sin B +sin C )=0,则sin C =sin B ,∴C =B .同理得C =A ,∴A =B =C ,则△ABC 是等边三角形.当△ABC 为等边三角形,即A =B =C 时,a sin B =2R sin A sin B =2R ,b sin C =2R sin B sin C =2R ,c sin A =2R sin C sin A =2R , ∴a sin B =b sin C =c sin A成立,∴命题p 是命题q 的充要条件. 【答案】A5.(2017·云南玉溪一中月考)设p :“lg x ,lg(x +1),lg(x +3)成等差数列”,q :“2x +1-83,2x ,3成等比数列”,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】若p 为真,则x >0且2lg(x +1)=lg x +lg(x +3),∴lg(x +1)2=lg x (x +3),∴(x +1)2=x (x +3),解得x =1.若q 为真,则(2x )2=3⎝⎛⎭⎫2x +1-83,整理得(2x )2-6·2x +8=0,解得2x =2或2x =4,可得x =1或x =2.∵{1}是{1,2}的真子集,∴p 是q 的充分不必要条件.故选A.【答案】A6.(2016·北京卷)设a ,b 是向量.则“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】取a =-b ≠0,则|a |=|b |≠0,|a +b |=|0|=0,|a -b |=|2a |≠0,所以|a +b |≠|a -b |,故由|a |=|b |推不出|a +b |=|a -b |.由|a +b |=|a -b |,得|a +b |2=|a -b |2,整理得a ·b =0,所以a ⊥b ,不一定能得出|a |=|b |,故由|a +b |=|a -b |推不出|a |=|b |.故“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的既不充分也不必要条件.故选D.【答案】D7.(2015·北京)设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】m ⊂α,m ∥β⇒/ α∥β,但m ⊂α,α∥β⇒m ∥β,∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件.【答案】B8.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,-2x +a ,x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A .a <0 B .0<a <12C.12<a <1 D .a ≤0或a >1 【解析】因为函数f (x )过点(1,0),所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y =-2x +a (x ≤0)没有零点⇔函数y =2x (x ≤0)与直线y =a 无公共点.由数形结合,可得a ≤0或a >1.观察选项,根据集合间关系得{a |a <0} {a |a ≤0或a >1},故答案选A.【答案】A9.“若a ≤b ,则ac 2≤bc 2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.【解析】其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.【答案】210.若x <m -1或x >m +1是x 2-2x -3>0的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是________.【解析】由已知易得{x |x 2-2x -3>0} {x |x <m -1或x >m +1},又{x |x 2-2x -3>0}={x |x <-1或x >3},∴⎩⎪⎨⎪⎧-1≤m -1,m +1<3,或⎩⎪⎨⎪⎧-1<m -1,m +1≤3,∴0≤m ≤2. 【答案】[0,2]11.给定两个命题p 、q ,若綈p 是q 的必要而不充分条件,则p 是綈q 的________条件.【解析】若綈p 是q 的必要不充分条件,则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ,其逆否命题为p ⇒綈q但綈q⇒/ p,所以p是綈q的充分不必要条件.【答案】充分不必要12.下列命题:①若ac2>bc2,则a>b;②若sin α=sin β,则α=β;③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是________.【解析】对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b正确;对于②,sin 30°=sin 150°⇒/ 30°=150°,所以②错误;对于③,直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,若l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③正确;④显然正确.【答案】①③④B组专项能力提升(时间:15分钟)13.设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解析】先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”.若a>b≥0,则a2>b2,即a|a|>b|b|;若a≥0>b,则a|a|≥0>b|b|;若0>a>b,则a2<b2,即-a|a|<-b|b|,从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”.若a,b≥0,则由a|a|>b|b|,得a2>b2,故a>b;若a,b≤0,则由a|a|>b|b|,得-a2>-b2,即a2<b2,故a>b;若a≥0,b<0,则a>b.综上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.【答案】C14.(2015·湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(a21+a22+…+a2n-1)(a22+a23+…+a2n)=(a1a2+a2a3+…+a n-1a n)2,则()A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】若p 成立,设a 1,a 2,…,a n 的公比为q ,则(a 21+a 22+…+a 2n -1)(a 22+a 23+…+a 2n )=a 21(1+q 2+…+q 2n -4)·a 22(1+q 2+…+q 2n -4)=a 21a 22(1+q 2+…+q 2n -4)2,(a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n )2=(a 1a 2)2(1+q 2+…+q 2n -4)2,故q 成立,故p 是q 的充分条件.取a 1=a 2=…=a n =0,则q 成立,而p 不成立,故p 不是q 的必要条件,故选B.【答案】B15.(2015·浙江)设A ,B 是有限集,定义:d (A ,B )=card(A ∪B )-card(A ∩B ),其中card(A )表示有限集A 中元素的个数,命题①:对任意有限集A ,B ,“A ≠B ”是“d (A ,B )>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A ,B ,C ,d (A ,C )≤d (A ,B )+d (B ,C ),( )A .命题①和命题②都成立B .命题①和命题②都不成立C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立【解析】命题①成立,若A ≠B ,则card(A ∪B )>card(A ∩B ),所以d (A ,B )=card(A ∪B )-card(A ∩B )>0.反之可以把上述过程逆推,故“A ≠B ”是“d (A ,B )>0”的充分必要条件;命题②成立,由Venn 图,知card(A ∪B )=card(A )+card(B )-card(A ∩B ),d (A ,C )=card(A )+card(C )-2card(A ∩C ),d (B ,C )=card(B )+card(C )-2card(B ∩C ),∴d (A ,B )+d (B ,C )-d (A ,C )=card(A )+card(B )-2card(A ∩B )+card(B )+card(C )-2card(B ∩C )-[card(A )+card(C )-2card(A ∩C )]=2card(B )-2card(A ∩B )-2card(B ∩C )+2card(A ∩C )=2card(B )+2card(A ∩C )-2[card(A ∩B )+card(B ∩C )]≥2card(B )+2card(A ∩C )-2[card((A ∪C )∩B )+card(A ∩B ∩C )]=[2card(B )-2(card(A ∪C )∩B )]+[2card(A ∩C )-2card(A ∩B ∩C )]≥0,∴d (A ,C )≤d (A ,B )+d (B ,C )得证.【答案】A16.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8,x ∈R ,B ={x |-1<x <m +1,x ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是________.【解析】A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8,x ∈R ={x |-1<x <3}, ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,∴A B ,∴m +1>3,即m >2.【答案】(2,+∞)17.设a ,b 为正数,则“a -b >1”是“a 2-b 2>1”的________条件.【解析】∵a -b >1,即a >b +1.又∵a ,b 为正数,∴a 2>(b +1)2=b 2+1+2b >b 2+1,即a 2-b 2>1成立,反之,当a =3,b =1时,满足a 2-b 2>1,但a -b >1不成立.所以“a -b >1”是“a 2-b 2>1”的充分不必要条件.【答案】充分不必要18.(2017·湖北枣阳3月模拟)设p :实数x 满足x 2-5ax +4a 2<0(其中a >0),q :实数x 满足2<x ≤5.(1)若a =1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若綈q 是綈p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当a =1时,若p 为真,则可解得1<x <4,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <4.因p ∧q 为真,则p 真且q 真,又q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤5,所以实数x 的取值范围是(2,4).(2)綈q 是綈p 的必要不充分条件即p 是q 的必要不充分条件,设A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则B A ,由x 2-5ax +4a 2<0,得(x -4a )(x -a )<0,∵a >0,∴A =(a ,4a ),又B =(2,5],则a ≤2且4a >5,解得54<a ≤2.。

2018年高考数学(理)一轮复习文档第一章 集合与常用逻辑用语高考零距离1 集合与常用逻辑用语含答案

2018年高考数学(理)一轮复习文档第一章 集合与常用逻辑用语高考零距离1 集合与常用逻辑用语含答案

集合与常用逻辑用语年份卷别具体考查内容及命题位置2016甲卷集合的表示、集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T2乙卷集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1丙卷集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T12015Ⅰ卷特称命题的否定·T3Ⅱ卷集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T12014Ⅰ卷集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅱ卷集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T11.集合作为高考必考内容,多年来命题较稳定,多以选择题的形式在前3题的位置进行考查,难度较小,命题的热点依然会集中在集合的运算上,常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的频率较低,且命题点分散,其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注,多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等知识命题.题示参数真题呈现考题溯源题示对比(2015·高考全国卷Ⅱ,T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0〈x<3},则A∪B=()A。

(-1,3)B.(-1,0)C。

(0,2)D.(2,3)(2016·高考全国卷丙,T1)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=()A.{4,8}B.{0,2,6}题溯源(必修1 P8例5)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1〈x〈3},求A∪B.题溯源(必修1 P11例8)设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求∁U A,∁U B.题溯源C。

{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}(2016·高考全国卷乙,T1)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )A.错误!B.错误!C。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语近年高考文科真题汇总习题(含答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语近年高考文科真题汇总习题(含答案)

15.(2019 天津文 1)设集合 A 1,1, 2,3,5 , B 2,3, 4 , C {x R |1 x 3},
则(AC) B ( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{-1,2,3}
D.{1,2,3,4}
16.(2020 全国 I 文 1)已知集合 A x|x2 3x 4 0 , B 4,1,3,5 ,则 A B
A.0,1
B.1, 0,1
C.2, 0,1, 2
D.1, 0,1, 2
7.(2019 江苏 1)已知集合 A {1, 0,1, 6}, B {x | x 0, x R},则 A B .
8.(2019 全国Ⅱ文 1)已知集合 A={x | x 1}, B {x | x 2} ,则 A∩B=( )
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 题组 2 充分条件、必要条件的判断
1 1.(2018 上海 14)已知 a R ,则“ a 1”是“ 1 ”的( )
a
A.充分非必要条件 C.充要条件
B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
2.(2019 天津文 3)设 x R ,则“ 0 x 5 ”是“ x 1 1 ”的( )
A.充分而不必要条件 C.充要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2018 天津文 3)设 x R ,则“ x3 8 ”是“|x | 2 ” 的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2018 北京文 4)设 a,b,c, d 是非零实数,则“ ad bc ”是“ a,b,c, d 成等比数列”的( )
A. {x |1 x 2}

高中数学高考2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练课件 第一章 集合与常用逻辑用语 3

高中数学高考2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练课件 第一章 集合与常用逻辑用语 3

∈N,n2≤2n,故选C.
14.[2016·浙江高考]命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得
n≥x2”的否定形式是(
)
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
解析 先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词
2.[2016·浙江金华二模]已知命题p:“存在a>0,使函 数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a ∈R,使∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p∧ q”为真命题,求实数a的取值范围.

若p为真,则对称轴x=-
-4 2a

2 a
在区间(-∞,2]
)
A.p是假命题;綈p:“任意x∈[1,+∞),都有
(log23)x<1” B.p是真命题;綈p:“不存在x0∈[1,+∞),使得
(log23)x0<1”
C.p是真命题;綈p:“任意x∈[1,+∞),都有 (log23)x<1”
D.p是假命题;綈p:“任意x∈(-∞,1),都有 (log23)x<1”
p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是(
)
A.p2,p3 C.p1,p4
B.p1,p2 D.p1,p3
的解集记为
解析 作出不等式组表示的可行域,如图所示,
令z=x+2y,则y=-
1 2
x+
z 2
,平移直线x+2y=0,可
知当过点A(2,-1)时,z有最小值0,无最大值,故p1,p2
解析 x∈(A∩B)即x∈A且x∈B,所以其否定为:x∉A或 x∉B.

最新-2018版高考数学总复习 第1篇 集合与常用逻辑用语

最新-2018版高考数学总复习 第1篇 集合与常用逻辑用语
由根与系数之间的关系,得
解得a=1;②4′
(2)当∅≠BA时,B={0}或B={-4},③6′
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,④8′
此时B={0}满足题意;
(3)当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
⑤10′
综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1.
⑥12′
第一步 读题
根据子集的概念,确定分类讨论的情况.
第二步 分类讨论
(①③⑤)
通过求方程的根,求出集合的元素.
第三步等式(组)求解a的取值范围.
第四步 作出总结
(⑥)
根据上面的解答过程进行总结作答.
通性通法
集合的运算问题是高考中常见题型,对于子集,如B⊆A(其中集合B不确定),则应有B=∅和B=/∅两种情况,分类进行解答.对于数集之间的子集问题,避免出错的一个有效手段是合理利用数轴或韦恩图帮助分析与求解.
(本题满分12分)设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.
规范解答
解题程序
解:∵A={0,-4},∴B⊆A分以下三种情况:
(1)当B=A时,B={0,-4},①2′
由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,

2018届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课时作业1 集合(含解析)文

2018届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课时作业1 集合(含解析)文

课时作业1 集合一、选择题1.(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}解析:由已知可得B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},∴A ∪B={0,1,2,3},故选C.答案:C2.(2016·浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)解析:由于Q={x|x≤-2或x≥2},∁R Q={x|-2<x<2},故得P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3}.故选B.答案:B3.(2017·温州十校联考)已知集合U={x|x≤-1或x≥0},A={x|0≤x≤2},B={x|x2>1},则集合A∩(∁U B)等于( )A.{x|x>0或x<-1}B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x≤2}解析:因为B={x|x2>1}={x|x<-1或x>1},所以∁U B={x|0≤x≤1或x=-1},所以A∩(∁U B)={x|0≤x≤1},故选C.答案:C4.(2017·湖北省仙桃中学月考)满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是( ) A.1 B.2C.3 D.4解析:因为M∪{1}={1,2,3},所以M={2,3}或{1,2,3}.所以符合条件的集合M的个数是2.故选B.答案:B5.(2017·河南省八市重点高中高三质量检测)已知全集U 为R ,集合A ={x |x 2<16},B ={x |y =log 3(x -4)},则下列关系正确的是( )A .A ∪B =R B .A ∪(∁U B )=RC .(∁U A )∪B =RD .A ∩(∁U B )=A解析:因为A ={x |-4<x <4},B ={x |x >4},所以∁U B ={x |x ≤4},所以A ∩(∁U B )=A ,故选D.答案:D6.(2017·湖南省东部六校高三联考)已知全集U =R ,集合A ={x |y =lg(x -1)},集合B ={y |y =x 2+2x +5},则A ∩B =( )A .∅ BC .[2,+∞)D 解析:由x -1>0,得x >1,故集合A =(1=x +2+4≥4=2,故集合B =[2,+∞),所以A ∩B =[2答案:C7)如图,已知R 是实数集,集( )B .[0,1) D .(0,1]解析:由题可知A ={x |1<x <2},B ={x |0<x <32},且题图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )={x |0<x ≤1},故选D.答案:D8.(2017·丹东市高三质检)已知集合A ={x |x ≥2},B ={x |x ≤2m 2},且A ⊆∁R B ,那么m 的值可以是( )A .1B .0C .-1D .- 2解析:由B ={x |x ≤2m 2},得∁R B ={x |x >2m 2},又A ⊆∁R B ,可借助数轴得2m 2<2,即m 2<1.满足条件的只有选项B ,故选B. 答案:B 二、填空题9.设全集U ={n ∈N |1≤n ≤10},A ={1,2,3,5,8},B ={1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B =________.解析:由题意,得U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故∁U A ={4,6,7,9,10},所以(∁U A )∩B ={7,9}.答案:{7,9}10.已知全集为R ,集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1,B ={x |x 2-6x +8≤0},则A ∩(∁R B )=________.解析:A ={x |x ≥0},B ={x |2≤x ≤4},∁R B ={x |x <2或x >4},A ∩(∁R B )={x |0≤x <2或x >4}.答案:[0,2)∪(4,+∞)11.设集合A ={x ,y ,x +y },B ={0,x 2,xy },若A =B ,则实数对(x ,y )的取值集合是________.解析:由A =B ,且0∈B ,故集合B 中的元素x 2≠0,xy ≠0,故x ≠0,y ≠0,那么集合A 中只能是x +y =0,此时就是在条件x +y =0下,{x ,y }={x 2,xy },即⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,x 2=x ,xy =y ,或⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,x 2=y ,xy =x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-1,或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =1.答案:{(1,-1),(-1,1)}12.已知集合M ={x |log 2(x -1)<2},N ={x |a <x <6},且M ∩N =(2,b ),则a +b =________.解析:由M ={x |log 2(x -1)<2}得M ={x |1<x <5},因为M ∩N =(2,b ),所以a =2,b =5,所以a +b =7.答案:71.(2017·辽宁师大附中测试)设全集U ={1,2,3,4,5},若集合A ,B 满足A ∩B ={2},(∁U A )∩B ={4},(∁U A )∩(∁U B )={1,5},则下列结论正确的是( )A .3∉A 且3∉B B .3∈A 且3∉BC .3∉A 且3∈BD .3∈A 且3∈B解析:画出Venn 图,可知B 正确. 答案:B2.已知集合A ={2,0,1,4},B ={k |k ∈R ,k 2-2∈A ,k -2∉A },则集合B 中所有的元素之和为( )A .2 C .0解析:若k 2-2=2,则k =2或k k =-2时,k -2=-4,满足条件;若k 2-2k 2-2=1,则k =±3,显然满足条件;若k 2-2=4B 中的元素为-2,±2,±3,±6答案:B3.定义一种新的集合运算△:A △B ={x |x ∈A ,且x ∉B }.若集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2≤x ≤4},则按运算△,B △A =( )A .{x |3<x ≤4}B .{x |3≤x ≤4}C .{x |3<x <4}D .{x |2≤x ≤4}解析:因为A ={x |1<x <3},B ={x |2≤x ≤4},所以B △A ={x |3≤x ≤4}. 答案:B4.(2017·沈阳二中阶段验收)设[x ]表示不大于x 的最大整数,集合A ={x |[x ]2-2[x ]=3},B ={x |18<2x<8},则A ∩B =________.解析:因为A ={x |[x ]2-2[x ]=3},所以[x ]=-1或3,所以-1≤x <0或3≤x <4,由B ={x |18<2x <8}得B ={x |-3<x <3},则A ∩B ={x |-1≤x <0}.答案:{x |-1≤x <0}5.(2016·北京卷)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店:①第一天售出但第二天未售出的商品有________种;②这三天售出的商品最少有________种.解析:设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素,第三天售出的商品为集合C,则C中有18个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B中有3个元素,后两天都售出的商品有4种,则B∩C中有4个元素,所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.这三天售出的商品种数最少时,第一天和第三天售出的种类重合最多,由于前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,故第一天和第三天都售出的商品可以有17种,即A∩C中有17个元素,如图,即这三天售出的商品最少有2+14+3+1+9=29种.答案:①16 ②29。

2018年高考数学 第一章 集合与常用逻辑用语 专题1 集合考场高招大全

2018年高考数学 第一章 集合与常用逻辑用语 专题1 集合考场高招大全

专题1 集合考点1 集合间的基本关系考场高招1 两法搞定集合间的基本关系 1.解读高招2.典例指引(1)(2017河北唐山模拟)已知集合A={-2,-1,0,2,3},B={y|y=x 2-1,x ∈A },则A ∩B 中元素的个数是( ) A.2B.3C.4D.5(2)(2016河北石家庄质检)设集合M={-1,1},N={x|x 2-x<6},则下列结论正确的是( ) A.N ⊆MB.N ∩M=∅C.M ⊆ND.M ∪N=R【答案】 (1)B (2)C3.亲临考场1.(2013课标Ⅰ,理1)已知集合A={x|x 2-2x>0}, ,则( )A .A∩B=∅B .A ∪B=RC .B ⊆AD .A ⊆B【答案】 B ∵x (x-2)>0,∴x<0或x>2. ∴集合A 与B 可用图象表示为: 由图象可以看出A ∪B=R ,故选B .B={x|- 5<x< 5}2.(2012课标,理1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x-y ∈A },则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10【答案】 D3.(2017河北冀州模拟)已知集合A={x|x 2-7x<0,x ∈N *},则中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 D【解析】由A={x|x 2-7x<0,x ∈N *}={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3,6},可得B 中元素的个数为4. 4.(2017湖南长沙模拟)若集合A={y|y=2x ,x ∈R },B={y|y=x 2,x ∈R },则( ) A.A ⫋B B.B ⫋A C.A=B D.A ∩B=∅【答案】 A【解析】∵2x>0,∴A={y|y>0}.∵x 2≥0,∴B={y|y ≥0}.∴A ⫋B.故选A . 考场高招2 利用两集合的关系求参数的值或取值范围 1.解读高招2.典例指引(1)已知集合A ={1,3,m },B ={1,m },A ∪B =A ,则m =( ) A .0或 3 B .0或3 C .1或 3 D .1或3(2)设集合A={x||x-a|<1,x ∈R},B={x|1<x<5,x ∈R}.若A∩B=∅ ,则实数a 的取值范围是( )B= y 6y ∈N *,y ∈A3A.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2或a≥4}C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4}【答案】(1)B(2)C3.亲临考场(1)设集合A ={x |-1≤x <2},B ={x |x <a },若A ∩B ≠∅,则a 的取值范围是( ) A .-1<a ≤2 B .a >2 C .a ≥-1 D .a >-1【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅,所以集合A ,B 有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a >-1.(2)集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .4 【答案】D【解析】由题意可得{a ,a 2}={4,16},∴a =4.(3)已知集合A ={x |x 2-x -12≤0},B ={x |2m -1<x <m +1},且A ∩B =B ,则实数m 的取值范围为( ) A .[-1,2) B .[-1,3] C .[2,+∞) D .[-1,+∞)【答案】D【解析】由x 2-x -12≤0,得(x +3)(x -4)≤0,即-3≤x ≤4,所以A ={x |-3≤x ≤4}.又A ∩B =B ,所以B ⊆A .①当B =∅时,有m +1≤2m -1,解得m ≥2. ②当B ≠∅时,有⎩⎪⎨⎪⎧-3≤2m -1,m +1≤4,2m -1<m +1,解得-1≤m <2.综上,m 的取值范围为[-1,+∞).(4)已知集合A ={x |y =lg(x -x 2)},B ={x |x 2-cx <0,c >0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围是( ) A .(0,1] B .[1,+∞) C .(0,1) D .(1,+∞)【答案】B【解析】由题意知,A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}=(0,1),B ={x |x 2-cx <0,c >0}=(0,c ).由A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1.(5)已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为__________. 【答案】 -32(6)设不等式4-x x -2>0的解集为集合A ,关于x 的不等式x 2+(2a -3)x +a 2-3a +2<0的解集为集合B .若A ⊇B ,则实数a 的取值范围是________. 【答案】[-2,-1]【解析】由题意知A ={x |(4-x )·(x -2)>0}={x |2<x <4},B ={x |(x +a -2)(x +a -1)<0}={x |1-a <x <2-a }.若A ⊇B ,则⎩⎪⎨⎪⎧1-a ≥2,2-a ≤4,可得-2≤a ≤-1.考点2 集合的基本运算考场高招3 三法(定义法、数轴法、Venn 图法)解决集合的基本运算 1.解读高招52.典例指引(1)已知全集R ,集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1,B ={x |x 2-6x +8≤0},则A ∩(ðR B )=( ) A .{x |x ≤0} B.{x |2≤x ≤4} C .{x |0≤x <2或x >4} D.{x |0<x ≤2或x ≥4}(2)(2017湖北襄阳四校联考)设A ={}2430x x x -+≤,B ={}230x x -<,则图中阴影部分表示的集合为( )A .3(3,)2-- B .3(3,)2- C .3[1,)2 D .3(,3)2【答案】(1)C(2)C3.亲临考场(1)(2017课标1,理1)已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x<},则( )A .{|0}AB x x =<B .A B =RC .{|1}AB x x =>D .AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <,则0x <,即{|0}B x x =<,所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<,{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<,故选A.(2)(2015·课标Ⅱ,1)已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∪B =( ) A .(-1,3) B .(-1,0) C .(0,2) D .(2,3) 【答案】A【解析】集合A ,B 用数轴表示为∴A ∪B ={x |-1<x <3},故选A.(3)(2016·课标Ⅲ,1)设集合A ={0,2,4,6,8,10},B ={4,8},则∁A B =( ) A .{4,8} B .{0,2,6}C .{0,2,6,10}D .{0,2,4,6,8,10} 【答案】C【解析】由Venn 图,可知ðA B ={0,2,6,10}.(4)(2017广东汕头期末)集合)}21ln(|{x y x A -==,}|{2x x x B ≤=,全集B A U =,则=)(B A C U ( )A .)0,(-∞B .]1,21[ C . )0,(-∞]1,21[ D .]0,21(- 【答案】C考场高招4 解决集合中参数问题的规律 1.解读高招72.典例指引4.(1)集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.[-2,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞)(2)设U=R,集合A={x|x 2+3x+2=0},B={x|x 2+(m+1)x+m=0}.若 (ðU A)∩B=∅ ,试求m 的值. 【答案】(1)D ;(2) m=1或23.亲临考场(1)已知集合{|1}A x x =≥,{|}B x x a =>,且()U C A B R =,则实数a 的取值范围是( )A .(,1)-∞B .(,1]-∞C .(1,)+∞D .[1,)+∞ 【答案】A【解析】 由{|1}A x x =≥,得{|1}U C A x x =<,由()U C A B R =,结合数轴知实数a 的取值范围是1a <,故选A .(2)已知集合A ={x|0<ax +1≤5},集合B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-12<x≤2.若B ⊆A ,求实数a 的取值范围. 【解析】当a =0时,显然B ⊆A ; 当a<0时,若B ⊆A ,如图,则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤-12,-1a >2,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a≥-8,a>-12, ∴ -12<a<0;当a>0时,如图,若B ⊆A ,则⎩⎪⎨⎪⎧-1a ≤-12,4a ≥2,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a≤2,a≤2,∴ 0<a≤2.综上知,当B ⊆A 时,-12<a≤2.(3)已知集合A ={x|x 2-2x -3≤0},B ={x|x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }. (1)若A∩B=[0,3],求实数m 的值; (2)若A ⊆ðR B ,求实数m 的取值范围.4.考场秘笈例 已知集合A ={x |x 2-3x -10≤0},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若A ∪B =A ,则实数m 的取值范围为________.考生困惑:①不能确定集合A 、B 的关系;②不明确对哪个字母分类讨论. 解惑绝招:第一步:明确二个转化,做好准备 ①转化集合A ,解不等式x 2-3x -10≤0即可;②转化A ∪B =A ⇔B A ⊆.第二步:根据集合B 的情况,确定讨论标准.根据B A ⊆确定B =∅、B A =、B A 三种情况,进而明确m+1与2m -1大小比较确定讨论标准;第三步:准确把握端点值,顺利求解.对集合B 分三种情况,列出关于m 的等式或不等式组.需注意第三种情况,借助数轴法得到不等式组,两个端点值都能取得.最后对三种情况求并集得到范围.9。

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考点测试1 集合一、基础小题1.集合A={1,2,3,4},B={x∈N*|x2-3x-4<0},则A∪B=( )A.{1,2,3} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4} D.(-1,4]答案 B解析∵B={x∈N*|-1<x<4}={1,2,3},∴A∪B={1,2,3,4},故选B.2.若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A的真子集的个数是( )A.16 B.8 C.4 D.3答案 D解析集合A中有两个元素,则集合A的真子集的个数是22-1=3,故选D.3.下列六个关系式:①{a,b}⊆{b,a},②{a,b}={b,a},③{0}=∅,④0∈{0},⑤∅∈{0},⑥∅⊆{0},其中正确的个数为( )A.6 B.5 C.4 D.3答案 C解析①正确,任何集合是其自身的子集.②考查了元素的无序性和集合相等的定义,正确.③错误,{0}是单元素集合,而∅不包含任何元素.④正确,考查了元素与集合的关系.⑤集合与集合的关系是包含关系,错误.⑥正确,∅是任何非空集合的子集,故选C.4.已知集合A、B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},A∩(∁U B)={3},则B=( )A.{1,2} B.{2,4} C.{1,2,4} D.∅答案 A解析结合韦恩图(如图)可知B={1,2}.5.设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={y|y=log3(x-1),x∈A},则集合(∁U A)∩(∁U B)=( )A.{0,2,4,5} B.{0,4,5} C.{2,4,5} D.{1,3,5}答案 D解析由已知得∁U A={0,1,3,5},B={0,2},∁U B={1,3,4,5},故(∁U A)∩(∁U B)={1,3,5}.6.已知集合A={x|y=ln (1-x)},B={y|y=x2},则A∩B=( )A.(-∞,1] B.[0,+∞) C.(0,1) D.[0,1)答案 D解析∵A={x|x<1}=(-∞,1),B=[0,+∞),∴A∩B=[0,1).7. 设集合U=R,A={x|x=3k+1,k∈N*},B={x|x≤5,x∈Q}(Q为有理数集),则图中阴影部分表示的集合是( )A .{1,3,4,5}B .{2,4,5}C .{2,5}D .{1,2,3,4,5}答案 B解析 ∵集合A ={x |x =3k +1,k ∈N *},∴A ={2,7,10,13,4,19,22,5,…},∵B ={x |x ≤5,x ∈Q },题中Venn 图阴影部分表示A 、B 两集合的交集,∴A ∩B ={2,4,5},∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}.故选B.8.已知A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |ax -2=0},若A ∩B =B ,则实数a 的值为( ) A .0或1或2 B .1或2 C .0 D .0或1 答案 A解析 由题意A ={1,2},当B ≠∅时,∵B ⊆A ,∴B ={1}或{2}.当B ={1}时,a ·1-2=0,解得a =2;当B ={2}时,a ·2-2=0,解得a =1.当B =∅时,a =0.故a 的值为0或1或2.9.已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,2]B .(2,4]C .[2,4]D .(-∞,4] 答案 D解析当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2;当B ≠∅时,若B ⊆A .如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上有m ≤4,故选D.10.已知集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a =________. 答案 4解析 根据并集的概念,可知{a ,a 2}={4,16},故只能是a =4.11.若A ={(x ,y )|y =x 2+2x -1},B ={(x ,y )|y =3x +1},则A ∩B =________. 答案 {(2,7),(-1,-2)}解析 A ∩B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ,y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y =x 2+2x -1,y =3x +1={(2,7),(-1,-2)}. 12.已知集合A ={x |x 2-2x -8≤0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)≤0,m ∈R },若A ∩B =[2,4],则实数m =________.答案 5解析 由题知A =[-2,4],B =[m -3,m ],因为A ∩B =[2,4],故⎩⎪⎨⎪⎧m -3=2,m ≥4,则m =5.二、高考小题13.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5},则A ∩B =( ) A .{1,3} B .{3,5} C .{5,7} D .{1,7} 答案 B解析 因为A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5},所以A ∩B ={3,5},故选B. 14.[2015·陕西高考]设集合M ={x |x 2=x },N ={x |lg x ≤0},则M ∪N =( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1) D .(-∞,1] 答案 A解析 ∵x 2=x ,∴x =0或1,∴M ={0,1}.∵lg x ≤0,∴0<x ≤1,∴N =(0,1],∴M ∪N =[0,1],故选A.15.[2016·天津高考]已知集合A ={1,2,3},B ={y |y =2x -1,x ∈A },则A ∩B =( ) A .{1,3} B .{1,2} C .{2,3} D .{1,2,3} 答案 A解析 A ={1,2,3},B ={1,3,5},A ∩B ={1,3}.故选A.16.[2016·浙江高考]已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则(∁U P )∪Q =( )A .{1}B .{3,5}C .{1,2,4,6}D .{1,2,3,4,5}答案 C解析 ∵U ={1,2,3,4,5,6},P ={1,3,5}, ∴∁U P ={2,4,6},∵Q ={1,2,4},∴(∁U P )∪Q ={1,2,4,6}.17.[2015·全国卷Ⅰ]已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( )A .5B .4C .3D .2 答案 D解析 集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },当n =0时,3n +2=2,当n =1时,3n +2=5,当n =2时,3n +2=8,当n =3时,3n +2=11,当n =4时,3n +2=14,∵B ={6,8,10,12,14},∴A ∩B 中元素的个数为2,选D.18.[2016·北京高考]某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种;②这三天售出的商品最少有________种.答案16 29解析设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素,第三天售出的商品为集合C,则C中有18个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B中有3个元素,后两天都售出的商品有4种,则B∩C中有4个元素,所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.这三天售出的商品种数最少时,第一天和第三天售出的种类重合最多,由于前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,故第一天和第三天都售出的商品可以有17种,即A∩C中有17个元素,如图,即这三天售出的商品最少有2+14+3+1+9=29种.三、模拟小题19.[2017·浙江名校联考]已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁R B)=R,则实数a的取值范围是( )A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2答案 C解析由于A∪(∁R B)=R,∴B⊆A,∴a≥2,故选C.20.[2017·山东青岛质检]设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2},B={x|y=x-1},则( )A.A⊆B B.A∪B=AC.A∩B=∅D.A∩(∁I B)≠∅答案 A解析因为当x>2时,y=log2x>1,所以A=(1,+∞),B=[1,+∞),A⊆B,A∪B=B,A∩B=A,A∩(∁I B)=∅,故选A.21.[2017·云南师大附中月考]已知集合M满足M⊆{0,1,2,3},则符合题意的集合M的子集最多有( )A.16个 B.15个 C.8个 D.4个答案 A解析集合M是集合{0,1,2,3}的子集,为使集合M的子集个数最多,当且仅当M={0,1,2,3}时,M的子集最多,有24=16个,故选A.22.[2017·河南平顶山模拟]已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0},若(∁R B )∩A =∅,则a =( )A .0B .1C .2D .3 答案 B解析 ∵(∁R B )∩A =∅,∴A ⊆B .又A ={0,-4},且B 中最多2个元素,所以B =A ={0,-4},∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=0,-2+a +-+a 2-1=0,∴a =1.故选B.23.[2016·辽宁五校联考]设集合P ={x |x >1},Q ={x |x 2-x >0},则下列结论正确的是( )A .P ⊆QB .Q ⊆PC .P =QD .P ∪Q =R 答案 A解析 由集合Q ={x |x 2-x >0},知Q ={x |x <0或x >1},所以选A.24.[2016·广州调研]若集合A ,B 满足A ={x ∈Z |x <3},B ⊆N ,则A ∩B 不可能是( ) A .{0,1,2} B .{1,2} C .{-1} D .∅ 答案 C解析 依题意A ∩B 的元素可能为0,1,2,也可能没有元素,∴A ∩B 不可能是{-1}.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题1.[2017·河北邯郸一中月考]已知集合A ={x |3≤3x≤27},B ={x |log 2x >1}. (1)分别求A ∩B ,(∁R B )∪A ;(2)已知集合C ={x |1<x <a },若C ⊆A ,求实数a 的取值范围. 解 (1)∵3≤3x≤27,即31≤3x ≤33, ∴1≤x ≤3,∴A ={x |1≤x ≤3},∵log 2x >1,即log 2x >log 22,∴x >2,∴B ={x |x >2}, ∴A ∩B ={x |2<x ≤3},∁R B ={x |x ≤2}, ∴(∁R B )∪A ={x |x ≤3}.(2)由(1)知A ={x |1≤x ≤3},当C 为空集时,a ≤1;当C 为非空集合时,可得1<a ≤3.综上所述,a ≤3.2.[2016·山东聊城月考]已知R 为全集,A ={x |log 12(3-x )≥-2},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5x +2≥1. (1)求A ∩B ;(2)求(∁R A )∩B 与(∁R A )∪B .解 (1)由log 12 (3-x )≥-2,即log 12 (3-x )≥log 124,得⎩⎪⎨⎪⎧3-x >0,3-x ≤4,解得-1≤x<3,即A ={x |-1≤x <3}.由5x +2≥1,得x -3x +2≤0,解得-2<x ≤3,即B ={x |-2<x ≤3}, ∴A ∩B ={x |-1≤x <3}.(2)由(1)得∁R A ={x |x <-1或x ≥3},故(∁R A )∩B ={x |-2<x <-1或x =3},(∁R A )∪B =R . 3.[2017·山西临汾一中月考]函数f (x )=2-x +3x +1的定义域为A ,g (x )=lg [(x -a -1)·(2a -x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ;(2)若B ⊆A ,求实数a 的取值范围. 解 (1)由2-x +3x +1≥0,得x -1x +1≥0, 从而(x -1)(x +1)≥0且x +1≠0,故x <-1或x ≥1, ∴A =(-∞,-1)∪[1,+∞).(2)由(x -a -1)(2a -x )>0,得[x -(a +1)](x -2a )<0, ∵a <1,∴a +1>2a ,∴B =(2a ,a +1).∵B ⊆A ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥12或a ≤-2,而a <1,∴实数a 的取值范围为a ≤-2或12≤a <1.4.[2016·长春实验中学月考]集合A ={(x ,y )|y =-x 2+mx -1},B ={(x ,y )|y =3-x,0≤x ≤3},若A ∩B 是只有一个元素的集合,求实数m 的取值范围.解 集合A 表示抛物线上的点,抛物线y =-x 2+mx -1开口向下且过点(0,-1).集合B 表示线段上的点,要使A ∩B 只有一个元素,则线段与抛物线的位置关系有以下两种,如图:由图1知,在函数f (x )=-x 2+mx -1中,其与x 轴两交点横坐标之积为1,只要f (3)>0即可,即m >103.由图2知,抛物线与直线在x ∈[0,3]上相切,即⎩⎪⎨⎪⎧y =-x 2+mx -1,y =3-x ⇒x 2-(m +1)x +4=0⇒Δ=(m +1)2-16=0.∴m =3或m =-5.当m =3时,切点为(2,1),适合; 当m =-5时,切点为(-2,5),舍去. ∴m =3或m >103.。

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