三角函数图像及性质,图像变换习题

考点测试20 三角函数的图象和性质

一、基础小题

1．已知f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g(x)＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π2，则f(x)的图象( )

A ．与g(x)的图象相同

B ．与g(x)的图象关于y 轴对称

C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象

D ．向右平移π

2

个单位，得到g(x)的图象

解析 因为g(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选

D.

2．函数y ＝

＋sinx －1的值域为( )

A ．[－1,1]

B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1

C ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－54，1

D ．⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－1，54

答案 C 解析 (数形结合法)y ＝

＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，

从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－54，1.

3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π

3

，－π6

D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π

3

，－π6

答案 C 解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函

数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ(k∈

Z)，即函数y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣

⎢⎡ π3

＋kπ，

⎦

⎥⎤5π

6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π

3

，－π6.

4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．3π

2

答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k∈Z)，故选C.

5．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是( )

A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3

B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2

C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2

，2π3

D ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π3，π

解析 若－π3≤x≤a，则－π6≤x＋π6≤a＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x

＋

π6＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，1，则有π2≤a＋π6≤7π6，即π3≤a≤π，即a 的取

值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π3，π.故选D.

二、高考小题

6．[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－14，kπ＋34，k ∈Z ，k ∈Z

C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1

4

，k ＋34，k ∈Z ，k ∈Z

D 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单

调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故

选D.

7．[2015·四川高考]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )

A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2

B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2

C ．y ＝sin2x ＋cos2x

D ．y ＝sinx ＋cosx

答案 A 解析 选项A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.

三、模拟小题

8．[2016·广州调研]函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内( )

A ．没有零点

B ．有且仅有1个零点

C ．有且仅有2个零点

D ．有且仅有3个零点

答案 B 解析 在同一坐标系中画出函数y ＝sinx 与y ＝－x 的图象，由图象知这两个函数图象有1个交点，∴函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内有且仅有1个零点．

9．[2017·河北邢台调研]已知定义在R 上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx 时，f(x)＝cosx ，当sinx>cosx 时，f(x)＝sinx.

给出以下结论：

①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x ＝2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值； ④当且仅当2kπ－π

20；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.

其中正确的结论序号是________．

答案 ①④⑤解析 易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．函数f(x)在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f(x)的最小值为－

22，当且仅当x ＝2kπ＋5π4(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－π2

0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.

四、模拟大题

10．[2017·江西上饶模拟]设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π

8.

(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调递增区间．

解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0，∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π

4

. (2)由(1)得f(x)＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2kπ≤2x－3π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ， 可解得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k ∈Z.因此y ＝f(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π8＋kπ，5π8＋kπ，k ∈Z.