三角函数的图象与性质练习题及答案

三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．yπ4) D．y＝cos 2x＝2cos2x B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin(2x＋8．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋210．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t=1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.15．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A )A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C )A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2x C ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋210．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t=1001秒时，电流强度是( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z )14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14， ∴k ＝－1， 则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2. (1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx 2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2， 所以ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2， 此时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z . 19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2.(1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域； (2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.(1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12， 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3， 所以2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )， 又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12. 20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1，则A=,1213,22)1(3=-==--b ， 又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1， 将x=6π，y=3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ， 即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f(x)=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x+6π=2π+k π，得x=6π+21k π，k ∈Z ， ∴f(x)=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2， 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象． 于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12. 由22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3， ∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π24，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6. 22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4. (2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6； 当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。