【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用限时集训理

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高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第5章第3讲平面向量的数量积及其应用 Word版含解析

第3讲平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) (5)a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)若a ·b >0，a 和b 的夹角可能为0；若a ·b <0，a 和b 的夹角可能为π. (5)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2解析因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C. 答案 C3.(2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.解析因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3－23×cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32，由于〈a ，b 〉∈[0，π].则向量a ，b 的夹角为π6. 答案 π64.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________.解析∵|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋2|a ||b |cos 2π3＋1＝4－2＋1＝3，∴|a ＋b |＝ 3. 答案 35.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案－26.(2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________.解析 ∵(a ＋b )⊥(a －2b )，∴(a ＋b )·(a －2b )＝0，即|a |2－a ·b －2|b |2＝0，∴5－a ·b －2＝0，∴a ·b ＝3，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝355. 答案 3 355考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A.20 B. 15 C.9 D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58 B.18C.14D.118解析 (1)取AB →，AD →为一组基底.∵BM →＝3MC →，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM→－CN →＝－14AD →＋13AB →， ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD→)＝148(16AB→2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.(2)法一如图所示，根据已知得，DF→＝34AC →，所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →，BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →＝34－12－14×1×1×cos 60°＝18.故选B. 法二建立如图所示的平面直角坐标系.则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，所以BC→＝(1，0). 易知DE ＝12AC ，∠FEC ＝∠ACE ＝60°，则EF ＝14AC ＝14，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，则AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1，0)＝18.故选B.答案 (1)C (2)B规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13BC →，则AE →·BD→＝________. (2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________. 解析 (1)法一因为AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋12AC →.因为AB ⊥AC ，所以AB →·AC →＝0，所以AE →·BD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋12AC →＝－23|AB→|2＋ 16|AC →|2＝－23×22＋16×22＝－2. 法二建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，BD →＝(－2，1)，所以AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23·(－2，1)＝43×(－2)＋23×1＝－2.(2)法一如图，DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝DA →·CB →＋AE →·CB →＝DA →2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·DC → ＝DA →·DC →＋AE →·DC→ ＝AE →·DC →＝|AE →|·|DC→|≤|DC →|2＝1. 法二以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE→＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE →·DC→的最大值为1.法三由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 答案 (1)－2 (2)1 1考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D. (2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 (1)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.由〈BA →，BC →〉∈[0°，180°]，得∠ABC ＝30°.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)A (2)－2考点三平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A.57B.61 C.57 D.61(2)(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 解析 (1)由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.(2)由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12. 答案 (1)B (2)12规律方法 (1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD→|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 解析 (1)设D (x ，y )，由|CD→|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA→＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA→＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB→＝(1，a －x )，32∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB→|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 答案 (1)1＋7 (2)5[思想方法]1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.[易错防范]1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·兰州诊断考试)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝()A.0B.1C.2D. 5解析|a－b|＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1＋4＝ 5.答案 D2.(2015·陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b a，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案 B3.已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝()A.25B.5C.10D.5解析∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1，2)，∴|b |＝（－1）2＋22＝5.故选B. 答案 B4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于( ) A.5 B.4 C.3 D.2解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.答案 A5.(2015·重庆卷)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2 C.2π3D.5π6解析因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3，故选C.答案 C 二、填空题6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23. 答案－237.(2017·台州调研)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，实数m 的取值范围是________；若∠ABC 为钝角时，实数m 的取值范围是________.解析由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC→＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m ). 若AB→∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA→＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ).若∠ABC 为锐角，则由BA →·BC→＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34；若∠ABC 为钝角，则m <－34.由题意知，当m ＝12时，AB→∥AC →，且AB →与AC →同向.故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，当∠ABC 为钝角时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－348.(2017·金华十校联考)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，|a －b |＝6，向量c －a ，c －b 的夹角为2π3，|c －a |＝23，则a 与c 的夹角为________，a ·c 的最大值为________.解析如图，设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|AC →|＝|c －a |＝23，|AB→|＝|a －b |＝6，又∵∠AOB ＝π3，∠ACB ＝2π3，∴O ，A ，B ，C 共圆，由正弦定理得∠ABC ＝∠BAC ＝π6，在△ACO 中，∠AOC＝∠ABC ＝π6，由余弦定理得AC 2＝|a |2＋|c |2－2|a ||c |cos ∠AOC ，即12≥2|a ||c |－3|a ||c |⇒|a ||c |≤12(2＋3)，∴a ·c ＝|a ||c |·cos ∠AOC ≤18＋123，当|a |＝|c |＝32＋6时等号成立，即a ·c 的最大值为18＋12 3.答案π6 18＋12 3 三、解答题9.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. (3)∵AB→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.10.(2017·湖州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(必修4P120 1(6)改编)若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |等于( ) A.2 B.5 C.2或5 D.2或 5解析由于平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于2π3或0°，|a ＋b ＋c |＝（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c当夹角为0时，上式值为5；当夹角为2π3时，上式值为2.故选C. 答案 C12.(2015·山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( )A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2解析在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD→＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos 60°＝a 2＋12a 2＝32a 2. 答案 D13.(2015·浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析 ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ).由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得m ＝52，n ＝32，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y－2)2＋t 2取到最小值1.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 答案 1 2 2 214.在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R ).(1)若m ＝n ＝23，求|OP→|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值. 解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC→＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.15.(2017·杭州联考)已知平面上一定点C (2，0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值.解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y ). 由(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝NP →2－NF →2＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0，1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF→的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值为13－43(此时x 0＝0)，故PE →·PF→的最小值为12－4 3.。

高考数学(浙江版,理)课件：4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用

·|b|·cos<a,b>-2|b|2=0.
又∵|a|= 2 2 |b|,∴ 8 |b|2- 2 2 |b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>= 2 .∵<a,b>
积(或内积),记作a·b=②|a|·|b|·cos θ .
(3)规定:0·a=0. (4)a·b的几何意义 a.一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是非零向量a与b的夹角,则③|a|cos θ 叫做a在b的方向上的投影,|b
|cos θ叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当0°≤θ<90°时,它是正值,当90°<θ≤180°时,它是负值,当θ=90°时,它是0. b.a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
(2)向量a在b方向上的射影为|a|·cos<a,b>= a b |b|
,又a·b=(e1+3e2)·2e1=2e 12
+6e1
·e2=2+6× 1 =5,|b|=|2e1|=2,∴|a|·cos<a,b>= 5 .
2
2
平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|·cos θ求解. (2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.
∴向量 AB在 CD 方向上的投影为| AB |·cos< AB ,C D >= 5 × 3 10 = 3 2 .选A. 10 2
两平面向量的夹角与垂直
典例2 (1)(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= 2 2 |b|,且(a-b)⊥(3a+ 3

2014届高考数学(理,浙江专版)一轮复习4.3《平面向量的数量积及平面向量的应用》

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.
答案：B
2．(教材习题改编)等边三角形 ABC 的边长为 1，BC ＝a，CA
＝b， AB＝c，那么 a·b＋b·c＋c·a 等于
A．3
B．－3
Hale Waihona Puke ()3 C.2D．－32
解析：由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且 a 与 b 的夹角为 120°，
b 与 c 的夹角为 120°，c 与 a 的夹角也为 120°.
(2)建立平面直角坐标系，如图．则 B(2,0)，C52， 23，D12， 23. 令BBMC ＝CCND＝λ，则 M2λ＋2， 23λ， N52－2λ， 23. ∴ AM ·AN ＝2λ＋2·52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6. ∵0≤λ≤1，∴ AM ·AN ∈[2,5]．
注意以下两个重要结论的应用：
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
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1.(2012·江苏高考)如图，在矩形 ABCD 中， AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB·AF ＝ 2，则 AE ·BF 的值是________．
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b) ·c＝30，则x＝________. 解析：由题意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c ＝(3，x)，则18＋3x＝30，解得x＝4. 答案：4
平面向量数量积的运算
[例 1] (1)(2012·天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB＝2.
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(浙江专用)2014高考数学一轮复习方案(双向固基础+点面讲考向+多元提能力+教师备用题)第30讲数列求和课

面讲考
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且 b1＝3，求数
点列b1n的前 n 项和 Tn.
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第30讲数列求和
[思考流程] (1)条件：已知等差数列的两个条件；目标：求出通项公式；方法：列方程组求解基本量．
点面
(2)等比数列的前n项和公式
当q＝1时，Sn＝______；当q≠1时，Sn＝___n_(n_＋__1)_____＝ ____________.(其中a1为首n项2 ，q为公比返)回目录
第30讲数列求和
双
向固
二、几种数列求和的常用方法
基础
1．分组求和法：若一个数列的通项公式是
由若干个等差或等比或可求和的数列组
0
2012年上海 T18(C)
面
2.裂项相消法解答 2011年浙江
讲
求和
(1) T19(A)
考
向
3.错位相减法求和
0
2012年江西 T16(B)
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2009～2012年浙江卷情况．
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第30讲数列求和
► 探究点一分组转化法求和
例 1 [2012·山东卷] 在等差数列{an}中，a3＋a4＋
(1) 等差数列的前 n 项和是用裂项相消法推导
的．( )
(2) 等比数列的前 n 项和是用倒序相加法推导
的．( )
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第30讲数列求和
双
向
[答案] (1)× (2)×
固基
[解析] (1)因为等差数列任意的第 k 项与倒数第 k

2014届《创新设计·高考一轮总复习》数学第八篇立体几何第6讲

抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
证明 (1)连接BG，则 → → → → 1 → → EG＝EB＋BG＝EB＋ (BC＋BD) 2 → → → → → ＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理的推论知：E、F、G、 H四点共面．
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
→ → → 1→ 1→ 1 → → 1 → (2)因为EH＝AH－AE＝ AD－ AB＝ (AD－AB)＝ BD，所以 2 2 2 2 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH＝ BD，同理FG＝ BD， 2 2 → → 所以EH＝FG，即 EH 綉 FG，
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考
所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分． 1→ 1 → → 1 → → 故OM＝ (OE＋OG)＝ OE＋ OG 2 2 2
1 → → 1 → 11 → ＝ OA＋OB＋ OC＋OD 22 22
(
)．
C．充要条件
解析
D．既不充分也不必要条件
则a∥b，a≠λb.
b＝0， a＝λb⇒a∥b，但 a≠0，
答案 A
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
→ → → 5．在四面体OABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，D为BC → 的中点，E为AD的中点，则 OE ＝________(用a，b，c表示)．
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2014高考数学一轮复习课件4.3平面向量的数量积

【尝试解答】 (1)a＋c＝(1，2m)＋(2，m)＝(3， 3m)． ∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)· b＝(3，3m)· (m＋1，1)＝6m＋3 ＝0， 1 ∴m＝－ . 2 ∴a＝(1，－1)，∴|a|＝ 2. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直， ∴(a＋b)· (ka－b)＝0，即ka2＋ka· b－a· 2＝0. b－b ∴k－1＋ka· b－a· b＝0.
4．(2013· 深圳质检)若平面向量α，β满足|α|＝1， 1 |β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α 2 与β的夹角θ的取值范围是________． 1 【解析】由题意知S＝|α||β|sin θ＝ ≤sin θ， 2 π 5 ∵θ∈[0，π]，∴θ∈[ ， π]． 6 6
•第三节平面向量的数量积
•1．平面向量的数量积 •(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量_______________叫做a与b |a|·|b|cos_θ 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量 0 的数量积为______． •(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b |b|cos θ 在a方向上的投影_t，－1)· (1，0)＝t.且0≤t≤1. → → ∴DE·DC的最大值为1.
•【答案】 (1)－16 (2)1 1
1．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算． 2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所 → → → → 求相关向量，如本题(1)中用AM 、MB 表示AB 、AC 等．(2) 注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形． 3．应当注意：(1)向量数量积a· b中的“· ”既不能省略，也不能写成“³”；(2)向量的数量积满足“交换律”、“分配律”，但不满足“结合律”．

人教A版浙江专用2014年高考数学理一轮复习方案--第4单元-平面向量(186张)

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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
• 双向固基础
长度等于用e表示， 1 单位 ________ 1 |e|＝个单位的向量 ________ 向量方向相同或长度平行相反的非 a∥b 相同向量零向量 ________相长度相反相等等且方向 a－ab ＝ ________ 向量的向量任意的说明：零向量的方向是________，规定：零向量与任一平行向量________． ________相向量a的相返回目录相反等，方向
→ CD＝0.(
)
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
• 双向固基础
[答案] (1)√
(2)√
(3)³
→ → → → → → → [解析] (1) AD＝AB＋BD，AD＝AC＋CD，2AD＝ → → → → (AB＋AC)＋(BD＋CD)， → ＋CD＝0，∴AD＝1(AB＋AC)． → → → ∵BD → 2 → (2)取 BC 中点 D，O 为△ABC 重心的充要条件是AO 2→ 2 1 → → 1 → → 1 → → → ＝ 3 AD ＝ 3 ³ 2 (AB ＋AC )＝ 3 (AB ＋AC )＝ 3 (OB －OA ＋OC → → → → －OA)整理即得OA＋OB＋OC＝0. → → (3)当四边形 ABCD 为平行四边形有AB＋CD＝0，反之不真，此时可能 A，B，C，D 四点共线．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
[点评]解决这类与平面向量的概念有 • 点关的命题真假的判定问题，其关键在于透面讲彻理解平面向量的概念，还应注意零向量考的特殊性以及两个向量相等必须满足：(1) 点模相等；(2)方向相同．

高三理科数学第一轮复习§4.3：平面向量的数量积及平面向的应用举例

第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
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第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
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第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
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第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
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第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
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第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及平面向量的应用举例

(浙江专版)高考数学一轮复习 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用限时集训理

(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2012·重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．102．(2012·湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π43．(2013·金华模拟)在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值等于( )A ．0B ．4C ．8D ．－44．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 35．(2013·郑州模拟)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA ＋AB ＋AC ＝0，且|OA |＝|AB |，则CA 在CB 方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3D ．36．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB 的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 27．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·bx 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π38．(2013·义乌模拟)平面向量的集合A 到A 的映射f 由f (x )＝x －2(x ·a )a 确定，其中a 为常向量．若映射f 满足f (x )·f (y )＝x ·y 对x ，y ∈A 恒成立，则a 的坐标不可能是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.10．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.11．(2012·北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为________．12．(2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.13．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，则AO ·BC 等于________．14．已知平面向量α、β(α≠β)满足|α|＝2，且α与β－α的夹角为120°，t ∈R ，则|(1－t )α＋tβ|的取值范围为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．16．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB ＝pm ，AC ＝qn (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．17．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋tb (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．答案[限时集训(二十五)]1．B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B 9．解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ·b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ·b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：110．解析：由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，且e 1·e 2＝12，所以b 1·b 2＝(e 1－2e 2)(3e 1＋4e 2) ＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22 ＝3－2×12－8＝－6.答案：－611．解析：法一：以AB ·AD )为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ·CB ＝－AD 所以DE ·CB =(λAB －AD )·(AD )＝－λAB ·AD ＋AD 2=－λ×0＋1＝1.又DC ＝AB ,所以DE ·AD =(λAB －AD )·AB ＝λAB 2－AD ·AB ＝λ×1－0＝λ≤1，即DE ·DC 的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为t ，00≤t ≤1可得DE ·CB ＝t ，－1·0，－1＝1，DE ·DC ＝t ，－1·1，0＝t ≤1，,故DE ·DC ＝1, DE ·DC 最大值为1.答案：1 112．解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO＝2×32＋0＝18.答案：1813．解析：AO ·BC ＝AO ·(AC －AB )＝AO ·AC －AO ·AB .因为OA ＝OB ，所以AO 在AB 方向上的投影为12|AB |，所以AO ·AB ＝12·|AB |·|AB |＝2，同理AO ·AC ＝12|AC |·|AC |＝92，故AO ·BC ＝92－2＝52.答案：5214．解析：|(1－t )α＋t β| ＝＋|α＋t (β－α)| ＝α2＋2t α·β－α＋t2β－α2＝|β－α|t －12＋3≥ 3.所以|(1－t )α＋tβ|的取值范围是[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)15．解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.16．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ·q ≤p ＋q2，∴p ·q ≤3. ∴p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为 2132×9＝18932. 17．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ·b ＝322，则|m | ＝a ＋t b2＝5＋t 2＋2t a ·b＝t 2＋32t ＋5 ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ，由条件得cos π4＝a －b ·a ＋t b|a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b2＝6，|a ＋t b |＝a ＋tb 2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ，则有5－t 6×5＋t2＝22，且t <5，整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．。

2014版高考数学第四章第三节平面向量的数量积课件

设点P，Q满足 AP AB，AQ (1-λ) AC ，λ∈R，若 BQ CP =- 3 ，则λ=______.
2
(3)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB
边上的动点.则 DE CB的值为____，DE DC 的最大值为____.
【思路点拨】
【规范解答】(1)由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.
结论
几何表示
模
|a|= a a
数量积
a•b=|a||b|cos θ
坐标表示 |a|=___x_12__y_12__
a•b=x1x2+y1y2
夹角 cos θ= a • b
| a || b |
| a || b | 2 2 2
又〈a，b〉∈［0，π］，所以〈a，b〉＝ .
3
答案：
3
考向 1 平面向量数量积的概念及运算
【典例1】(1)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中
x∈(0，π).若|a·b|＝源自a||b|，则tan x的值等于_____.
(2)(2012·天津高考改编)已知△ABC为等边三角形，AB=2，
所以sin x＝cos x，即 x＝故，tan x＝1.
4
答案：1
(2)由题意得 BQ AQ AB 1 AC AB，
CP AP AC AB AC，
又∵ BQ CP且 3， | A〈B || AC〉|=26，0°，AB,AC
2 AB AC | AB || AC | cos 60 2，

2014届高考数学一轮全能优化考评：平面向量的数量积

平面向量的数量积一、选择题1．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－242．若向量a, b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．03．设x ，y ∈R，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．104．已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b 与向量c 的夹角θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8二、填空题6．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．7．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．8．设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．三、解答题9．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．11．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值； (2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2，∴AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →(BC →＋AB →)＝CA →·AC →＝－CA →2＝－25.【答案】 C2．【解析】 ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0，又∵a ∥b ，则设b ＝λa ，∴c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0.【答案】 D3．【解析】 ∵a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c 得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.【答案】 B4．【解析】 ∵(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c＝1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－92， |a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，∴cos θ＝（a ＋b ）·c |a ＋b |·|c |＝－923×3＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.【答案】 D 5．【解析】因为a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝85×2＝45，且θ∈[0，π]，则sin θ＝35，故|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝5×2×35＝6. 【答案】 C二、填空题6．【解析】 (1)∵2a ＋b ＝(3，1)，∴|2a ＋b |＝32＋12＝10.∴与2a ＋b 同向的单位向量2a ＋b |2a ＋b |＝(31010，1010)． (2)∵b －3a ＝(－2，1)，∴|b －3a |＝5，|a |＝1，(b －3a )·a ＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝（b －3a ）·a |b －3a ||a |＝－25＝－255. 【答案】 (1)(31010，1010) (2)－2557．【解析】 (a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋1×2×cos 60°＝2，则a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝2. 【答案】 28．【解析】由题意知OA →＝(－2，1)，OB →＝(4，3)，则|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－555＝－55， ∴sin ∠AOB ＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 【答案】 5三、解答题9．【解】 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53，当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝ma ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ＞－53且λ≠0. 10．【解】 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 11．【解】 ∵A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)|AC →|＝|BC →|， ∴（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12， ∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)，∴OA →＋2OB →＝(1，2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴(sin θ＋cos θ)2＝14， ∴sin θ·cos θ＝－38.。

(浙江专用)2014高考数学一轮复习方案(双向固基础+点面讲考向+多元提能力+教师备用题)第24讲平面向量的

a 与 b 为方向相反的共线向量，∴b＝λa；对于选项 D，若
b＝λa，当 λ>0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当 λ<0 时，可有|a＋b|
＝|a|－|b|，故不正确．
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第24讲平面向量的概念及其线性运算
法二：特值验证排除．先取 a＝(2,0)，b＝－1，0，满
足a＋b＝a－b，但两向量不垂直，故 A 错；再取 a＝
λa
(1)对向量加法的分配律： λ (a＋b)＝__λ_a_＋__λ__b (2)对实数加法的分配律： (λ 1＋λ 2)a＝_λ__1_a_＋__λ_2a
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第24讲平面向量的概念及其线性运算
双向
三、向量的共线定理
固向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使
基础
_b_＝__λ__a__．
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第24讲平面向量的概念及其线性运算
双
向
—— 疑难辨析 ——
固
基础
1．零向量的问题
(1)0 的模为 0，没有方向．( )
(2)零向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂
直．( )
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第24讲平面向量的概念及其线性运算
双
向
固
基础
[答案] (1)× (2)√
[解析] (1)0 是特殊的向量，大小为 0，方向是不确
__长_度_____相等且方向___相__同___的
向量
a＝b
相反向量
__长_度_____相等，方向_相__反_____的
向量
向量a的相反向量是__－__a____
说明：零向量的方向是____任_意__的_，规定：零向量与任一向量____平_行___．

(浙江专用)2014高考数学一轮复习方案(双向固基础+点面讲考向+多元提能力+教师备用题)第56讲排列与组合

骤完成：先排 3 位老师，有 A33种排法；再把三位学生插入
点面讲
老师之间的 4 个空当(包括头尾 2 个位置)，有 A34种排法，根据分步乘法计数原理，不同的排法总数为 A33·A34＝6×24
考点
＝144 种．
(2)属“小集团”排列问题，分为三类：
第 1 类，1 和 3 两个奇数夹着 0，把这 3 个元素看作一
＝，这里m，n∈N*且m≤n.规定这个规定下，组合数公式中的m可以取0.
4．组合数的性质：
＝1，在 .
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第56讲排列与组合
双
向
—— 疑难辨析 ——
固
基础
1．排列数与组合数公式的变形
(1)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )
(2)Amn ＝nAmn－－11.(
)
(3)kCnk＝nCkn－－11.(
础顺序．( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中
的元素完全相同．( )
(3)组合与排列的区别在于：虽然都
是从 n 个不同的元素中取出 m 个不同元
素，但是排列是要考虑“按一定顺序排成
一列”，而组合是“合成一组”，即元素
之间无前后顺序可言．因此两个组合只要
它们的元素相同就是同一个组合，而不必
考虑元素之间的顺序．( )
[答案] (1)C (2)A
[解析] (1)由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，
即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每
点面
个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为 A33·A33·A33·A33
讲＝(3！)4.
考点
(2)第一步排第一列，一定是一个 a、一个 b 和一个 c，

高考数学导与练一轮复习(浙江版)知识梳理第八章第三节平面向量的数量积及应用

第三节平面向量的数量积及应用一、数量积的定义及意义(1)定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,如图所示,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角,也可记作<a,b>=θ.(2)范围向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.(3)垂直关系如果非零向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b. 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b.规定:零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.(1)在平面图形中运算向量的数量积要注意向量夹角的取值,注意区分平面图形中的角和向量夹角的区别.(2)理解数量积的概念可以和物理中功的公式相联系,加深对概念的理解.(3)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线,a,b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线..(1)a在b方向上的投影:|a|·cos θ或a bb(2)|a·b|≤|a||b|,“=”当且仅当a与b共线时取到.二、数量积的性质与运算律(1)e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量,θ为a与e的夹角);(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a 与b 反向时,a ·b=|a||b|,a ·a=|a|2,(4)cos θ=a b a b⋅(θ为a 与b 的夹角).(1)a ·b=b ·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a ·b)=a ·(λb)(λ为实数); (3)(a+b)·c=a ·c+b ·c.已知非零向量a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),θ为向量a,b 的夹角. (1)a ·b=x 1x 2+y 1y 2.(3)cos θ.(1)0·a=0,0·a=0.(2)a ·b=b ·c ⇔b=0或b ⊥(ac). A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB 的中点坐标为(122xx +,122yy +),AB 的两个三等分点坐标为(1223x x +,1223y y+)和(1223x x +,1223yy +).1.对于向量a,b,c 和实数λ,下列命题中正确的是( B ) (A)若a ·b=0,则a=0或b=0 (B)若λa=0,则λ=0或a=0 (C)若a 2=b 2,则a=b 或a=b (D)若a ·b=a ·c,则b=c解析:当a ⊥b 时,a ·b=0,故A 错;当a ⊥b,|a|=|b|=1时,a 2=b 2,故C 错;当a ⊥b,a ⊥c 时,a ·b=a ·c=0,故D 错.故选B.2.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b 满足|a|=1,a ·b=1,则a ·(2ab)等于( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a·(2ab)=2a2a·b=2|a|2a·b.因为|a|=1,a·b=1,所以原式=2×12+1=3.故选B.AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,| AC AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为.解析:因为AP⊥BC,所以AP·BC=0,所以(λAB+AC)·(AC AB)=0,即2ACλ2AB+(λ1)AB·AC=0,又因为AB·AC=3×2×(12)=3,所以49λ3(λ1)=0.所以λ=712.答案:7124.(2019·江苏卷)如图,在△AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是.解析:如图,过点D作DF∥CE交AB于点F,由D是BC的中点,可知F为BE的中点.又BE=2EA,则知EF=EA,从而可得AO=OD,则有AO=12AD=14(AB+AC),EC=AC AE=AC13AB,所以6AO·EC=32(AB+AC)·(AC13AB)=3 2AC212AB+AB·AC=AB·AC,整理可得2AB=32AC,所以AB AC=3.答案:3考点一平面向量数量积的运算[例1] (2018·天津卷)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON= 120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为( )(A)15 (B)9 (C)6 (D)0解析:如图,连接MN.因为BM=2MA,CN=2NA,所以AMAB =13=ANAC,所以MN∥BC,且MNBC =13,所以BC=3MN=3(ON OM),所以BC·OM=3(ON·OM2OM)=3(2×1×cos 120°12)=6.故选C.(1)求两个向量的数量积,有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算,但要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.(2018·嘉兴模拟)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中1t+2t+,则AC·BD等于( A )(A)1 (B)2(C)t (D)2t解析:AC·BD=AC·(AD AB)=AC·AD AC·AB=|AC||AD|cos ∠DAC|AC||AB|cos ∠BAC=2AD2AB=(t+2)(t+1)=1.考点二平面向量的夹角[例2] 已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=13,向量a=3e12e2与b=3e1e2的夹角为β,则cos β= .解析:由已知得e1·e2=1×1×13=13,a·b=(3e12e2)·(3e1e2)=9+29e1·e2=113=8.又因为a2=(3e12e2)2=9+412e1·e2=134=9, 得|a|=3,b2=(3e1e2)2=9+16e1·e2=102=8,得所以cos β=a ba b⋅=答案:223根据平面向量数量积的性质,若a,b 为非零向量,则cos<a,b>=a b a b⋅,a ⊥b ⇔a ·b=0等,可知利用平面向量的数量积可解决有关角度、垂直问题.1.(2019·金丽衢十二校第一次联考)已知向量a=(4, 3),b=3),则a 与b 的夹角为( C )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 解析:cos<a,b>=a b a b⋅19219⋅=12, 所以<a,b>=60°.故选C.2.(2018·浙江台州期末统考)设非零向量a,b,则“a,b 的夹角为锐角”是“|a+b|>|ab|”的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由于|a+b|>|ab|等价于a ·b>0,若a,b 的夹角为锐角,则a ·b>0,所以|a+b|>|ab|成立,反之不一定成立,如a,b 夹角为0,不一定为锐角,所以“a,b 的夹角为锐角”是“|a+b|>|ab|”的充分不必要条件.故选A.考点三平面向量的模[例3] (1)设a,b 为单位向量,若向量c 满足|c(a+b)|=|ab|,则|c|的最大值是( )(A)22 (B)2 (C)2 (D)1(2)(2018·π3,向量b 满足b 24e ·b+3=0,则|ab|的最小值是( ) (A)31 (B)3+1 (C)2 (D)23OA =a,OB =b,OC =c,则a+b=OD ,ab=BA , 由已知得|OC OD |=|BA |,又由|BA|=|OC OD|≥|OC||OD|得|c|=|OC|≤|OD |+|BA |=|a+b|+|ab|,由已知得|a+b|2+|ab|2=2(|a|2+|b|2)=4, 而2a b a b++-≤222a b a b++-=2,故|c|≤22.故选A. 解析:(2)由b 24e ·b+3=0得b 24e ·b+3e 2=(be)·(b3e)=0.设b=OB ,e=OE ,3e=OF , 所以be=EB ,b3e=FB ,所以EB ·FB =0,取EF 的中点为C,则B 在以C 为圆心,EF 为直径的圆上.如图,设a=OA ,作射线OA,使得∠AOE=π3,所以|ab|=|(a2e)+(2eb)|≥|a2e||2eb|=|CA ||BC |≥31.故选A.(1)求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a 2,将模的运算转化为数量积的运算.(2)求模也可将向量置于特殊图形中,利用图形解决向量的模. (2019·温州2月模拟)在平面上,e 1,e 2是方向相反的单位向量,|a|= 2,(be 1)·(be 2)=0,则|ab|的最大值为( D )(A)1(D)3解析:由题意得(be1)·(be2)=0⇒b2b·(e1+e2)+e1·e2=0,e1,e2是方向相反的单位向量,所以e1+e2=0,e1·e2=1,b21=0⇒|b|=1,所以|ab|≤|a|+|b|=3,|ab|的最大值为3.故选D.考点四平面向量的应用[例4] (1)已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|, NA+NB+NC=0,PA·PB=PB·PC=PC·PA,则点O,N,P依次是△ABC的( )(A)重心、外心、垂心(B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心(D)外心、重心、内心(2)(2019·浙江卷)已知正方形A B C D的边长为1,当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+ λ6BD|的最小值是,最大值是.解析:(1)由|OA|=|OB|=|OC|知点O到A,B,C距离相等,为外心;由NA+NB+NC=0,即NA=(NB+NC)知N为△ABC三条中线交点即重心;由PA·PB=PB·PC,即PB·(PA PC)=0得PB·PC=0,即PB⊥PC,同理PC⊥AB,PA⊥BC,即P为垂心,故选C.解析:(2)如图,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则AB =(1,0),AD =(0,1). 设a=λ1AB +λ2BC +λ3CD +λ4DA + λ5AC +λ6BD=λ1AB +λ2AD λ3AB λ4AD +λ5(AB +AD )+λ6(AD AB )=(λ1λ3+λ5λ6)AB +(λ2λ4+λ5+λ6)AD =(λ1λ3+λ5λ6,λ2λ4+λ5+λ6). 故|a|=2213562456()()λλλλλλλλ-+-+-++.因为λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1,所以当λ1λ3+λ5λ6=0,λ2λ4+λ5+λ6=0时,|λ1AB +λ2BC +λ3CD +λ4DA +λ5AC +λ6BD |取得最小值0.考虑到λ5λ6,λ5+λ6有相关性,要确保所求模最大,只需使|λ1λ3+λ5λ6|,|λ2λ4+λ5+λ6|尽可能取到最大值,即当λ1λ3+λ5λ6=2,λ2λ4+λ5+λ6=4时可取到最大值,所以|λ1AB +λ2BC +λ3CD +λ4DA +λ5AC +λ6BD |的最大值为416+=25.答案:(1)C (2)0 25以向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题,通过几何图形的分析,转化为不等式解集或函数值域等问题.已知圆O:x 2+y 2=4上有三个不同的点P,A,B,且满足AP =x OB 12OA (其中x>0),则实数x 的取值范围是 . 解析:因为AP =x OB12OA ,所以OP OA=x OB12OA,即x OB=OP12OA,两边平方得4x2=4+1OP·OA,设<OP,OA>=α,则4x2=54cos α, 因为1<cos α<1,所以1<54cos α<9,即1<4x2<9,因为x>0,所以12<x<32.即实数x的取值范围是(12,32).答案:(12,32)类型一平面向量数量积的运算1.(2019·衢州二中第一次模拟)在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AB=2AD=2DC=4,AC与BD相交于O,过点A作AE⊥BD于E,则AE·AC等于( C )解析:如图,由题意知BD⊥DC,∠ADC=120°,所以∠ADB=30°,∠ACD=30°,由题意得AE∥CD,所以∠EAO=30°,AC=2,AE=1,AE·AC=|AE|·|AC|·cos30°=1×故选C.类型二平面向量的夹角2.(2019·浙江省模拟)设θ是两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,则( B )(A)若θ确定,则|a|唯一确定(B)若θ确定,则|b|唯一确定(C)若|a|确定,则θ唯一确定(D)若|b|确定,则θ唯一确定解析:|b+ta|2=b 2+2ta ·b+t 2a 2,令g(t)=b 2+2ta ·b+t 2a 2,二次函数图象开口向上,所以最小值为222244()4a b a b a -⋅=|b|2|b|2cos 2θ=|b|2sin 2θ=1,故当θ确定,则|b|唯一确定.故选B.3.(2019·余高、缙中、长中5月模拟)已知平面向量a,b 不共线,且|a|=1,a ·b=1,记b 与2a+b 的夹角是θ,则θ最大时,|ab|等于( C )(A)1解析:设|b|=x,则b ·(2a+b)=2a ·b+b 2=x 2+2,(2a+b)2=4a 2+4a ·b+b 2=x 2+8,cos θ=(2)2b a b b a b⋅+⋅+2所以cos 2θ=2222(2)(8)x x x ++ =22211241(2)2x x -++++ =2111412()263x --++,即当x 2=4,x=2时,cos 2θ取到最小值,则θ取到最大值,此时|ab|2= a 2-2a ·b+b 2=12+4=3,所以故选C.类型三平面向量的模△ABC 中,|BC |=10,AB ·AC =16,D 为边BC 的中点,则|AD |等于( D )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:因为AB ·AC =16,BC = AC AB , 所以|BC |=|AC AB |, 所以|AC AB |2=|BC |2=100, 所以2AC +2AB 2AC ·AB =100,所以2AC +2AB =68, 又因为AD =12AB +12AC , 所以|AD |2=14(2AB +2AC +2AB ·AC ) =14×(6832) =9.所以|AD |=3.类型四平面向量的应用5.(2019·浙江三校第一次联考)如图,圆O 是半径为1的圆,OA=12,设B,C 是圆上的任意2个点,则AC ·BC 的取值范围是( A ) (A)[18,3] (B)[1,3] (C)[1,1] (D)[18,1] 解析:由题意,设<OA ,BC >=θ, AC ·BC =(OC OA )·BC =OC ·BC OA ·BC=|OC |·|BC |cos ∠BCO|OA |·|BC |cos θ =212BC |OA |·|BC |cos θ=212BC 12|BC |cos θ,又因为cos θ≤1,所以212BC 12|BC |cos θ ≥212BC 12|BC |=12(|BC |12)218, 又因为|BC |∈[0,2],所以当|BC |=12时,AC ·BC 取到最小值为18, 当|BC |=2,cos θ=1,AC ·BC 取到最大值为3. 故选A.△ABC 满足|AB|=3,|AC|=4,O 是△ABC 的外心,且AO =λAB +12AC λ-(λ∈R),则△ABC 的面积是 . 解析:由AO =λAB +12AC λ-, 得221,21,2AO AB AB AC AB AO AC AB AC AC λλλλ-⎧⋅=+⋅⎪⎪⎨-⎪⋅=⋅+⎪⎩即()()9181,881,AC AB AB AC λλλλ⎧=+-⋅⎪⎨=-+⋅⎪⎩解方程组得8,1,10AB AC λ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩或0,9,AB AC λ=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 当AB ·AC =9时,cos A=34, 所以S △ABC =12×3×4当AB ·AC =8时,cos A=23所以S △ABC =12×3×4所以△ABC 的面积是.答案或。

高考数学(文)一轮复习 4-3平面向量的数量积及应用

高考一轮总复习 ·数学（文）
第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入
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第3讲平面向量的数量积及应用
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高考一轮总复习 ·数学（文）
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
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高考一轮总复习 ·数学（文）
2
2 .
|CD|
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→→ (2)[2015·山东高考]已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝( )
A．－32a2 B．－34a2
C.34a2
D.32a2
→
→
解析如图设BA＝a，BC＝b.
则B→D·C→D＝(B→A＋B→C)·B→A＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2＋a·a·cos60°＝a2＋12a2＝32a2.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
[必会结论] 1．设 e 是单位向量，且 e 与 a 的夹角为 θ，则 e·a＝a·e＝|a|cosθ； 2．当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2 或|a|＝ a2； 3．a⊥b⇔a·b＝0； 4．cosθ＝|aa|·|bb|(θ 为 a 与 b 的夹角)； 5．a·b≤|a||b|.

优化方案2014数学(人教A理)一轮课件：4.3平面向量的数量积及应用举例

O→C＝(1,2)，则O→B·A→C＝( )
A．0
B．2
C．4
D．5
解析：选 A.据题意O→B＝O→A＋O→C，A→C＝O→C－O→A，
∴O→B·A→C＝(O→A＋O→C)·(O→C－O→A)＝|O→C|2－|O→A|2
＝5－5＝0.
考点2 平面向量的数量积与向量的夹角例2 (1)(2013·安徽省“江南十校”联考)若|a|＝2，|b|
第3课时平面向量的数量积及应用举例
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考纲展示
备考指南
1.理解平面向量数量积的含义及
其物理意义．
1.平面向量数量积的运
2.了解平面向量的数量积与向量算是高考考查的重点，
投影的关系．
应用数量积求平面向量
3.掌握数量积的坐标表达式，会的夹角、模及判断向量
进行平面向量数量积的运算．的垂直关系是难点．
【答案】 (1)C (2)18 【名师点评】 (1)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系，在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的． (2)可借助图形，如平行四边形、三角形，再结合解三角形的相关知识解决．
跟踪训练
1．已知平行四边形 OABC 中(O 为坐标原点)，O→A＝(2,1)，
∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
【解析】法一：以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC＝a， DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， P→A＝(2，－x)，P→B＝(1，a－x)， ∴P→A＋3P→B＝(5,3a－4x)， |P→A＋3P→B|2＝25＋(3a－4x)2≥25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.

浙江专版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件

4．在用|a |＝ a2求向量的模时，一定要把求出的 a 2再进行开方．
[小题纠偏] 1．若a ，b 是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a ·b
＝0；②a ＋b ＝a －b ；③|a ＋b |＝|a －b |；④a 2＋b 2＝(a ＋b )2.
其中正确的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为a ，b 是两个互相垂直的非零向量，所以a ·b ＝
0；所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2；(a －b )2＝a 2＋b 2
－2a ·b ＝a 2＋b 2；所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即|a ＋b |＝|a －b |. 故①③④是正确的，②是错误的．答案：C
答案：2
5．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则―A→E ·―B→D
＝________. 解析：选向量的基底为―A→B ，―A→D ，则―B→D ＝―A→D － ―A→B ，
―A→E ＝―A→D ＋12―A→B ，所以―A→E ·―B→D ＝―A→D ＋12
―→ AB
―→ ·( AD
2．(2016·北京高考)已知向量a ＝(1， 3)，b ＝( 3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．
解析：由题意得|a |＝ 1＋3＝2，|b |＝ 3＋1＝2，
a ·b ＝1× 3＋ 3×1＝2 3.
设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝22×32＝ 23.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6.
＝32a 2，故选 D. 答案：D
3．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝ 10，则a ·b ＝________；(2a －b )·(a ＋b )＝__________. 解析：因为 a ＝(－2，－6)，所以|a |＝－22＋－62＝2 10，又|b |＝ 10，向量 a 与 b 的夹角为 60°，所以 a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2 10× 10×12＝10. (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝80＋10－10＝80. 答案：10 80