一元微积分统考B券
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
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偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
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在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
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微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
高数第一部分5_一元微积分证明题
( ) f '( x) = 4 + 4 ln3 x − 4 = 4 ln3 x − 1 + x x xx
⎧< 0,
f
'(
x
)
⎪ ⎨
=
0,
⎪⎩> 0,
0< x<1 x =1 1< x
由于 lim f ( x)= lim f ( x)=+∞，因此f ( x)无最大值
x→0
x → +∞
f ( x)的最小值为f (1) = 4 − k
定理：若函数f ( x)在[a, b]上连续，在
(a, b)内可导，则存在ξ ∈ (a, b)，使得
f (b) − f (a) = f '(ξ )(b − a);
(II)证明：若函数f ( x)在x = 0处连续，
在(0,δ )(δ > 0)内可导，且 lim f '( x) = A， x → 0+
f ( x)的图形为U型，故其在(0, +∞)零点有三种情形： (1) f ( x)的最小值大于零，即k < 4 ⇒ 无零点 (2) f ( x)的最小值小于零，即k > 4 ⇒ 2零点 (3) f ( x)的最小值等于零，即k = 4 ⇒ 1零点
⎧(1) k < 4时无交点 ⇒ ⎨⎪(2) k > 4时两个交点
2
π
−
0 > k > m ⇒ 2零点
k = m ⇒ 1零点
π2
4
⎞ − 1 ⎟⎟⎠ 或k
>
0
⇒
无零点
(03年数二，12分) 讨论曲线y = 4 ln x + k 与y = 4 x + ln4 x的交点个数.
2016-2017 学年第一学期一元微积分(B 下)试卷 A 答案
（A）
3
gx
9 x2 dx
（B）
3
2 gx
9 x2 dx
0
0 （C）3x来自9 x2 dx0
（D）
3
2 gπx
9 x2 dx .
0
8.
设
f
x 为连续函数，且
f
x
1
x 20
f
t dt
，则
2 _____.
0
2
3. 方程 y 4y 4y 0 的通解为
y (c1 c2x)e2x
.
4. 二阶微分方程 y 4y 5y xe2x 的特解形式为 y* (ax b)e2x
.
二、选择题（每题 4 分，共 32 分）
1. 设 f (x) 在[a, a] 上连续，则 a f (x)dx ( A ). a
为任意常数，则方程的通解是（D）.
（A） c1 y1 c2 y2 y3
（B） c1y1 c2 y2 (c1 c2 ) y3
（C） c1( y1 y2 ) c2 ( y1 y2 ) y3
（D） c1( y1 y3) c2 ( y2 y3) y1 .
5. 微分方程 y ay by 0 （ a,b 是常数）的特征方程的两个根分别是 1 和 2，
x 1
y(x) (x 1)2(x c)
y(0) 1 c 1
解为 y (x 1)3 .
5.
计算星形线
x y
=
a a
cos3 sin3
t, t,
(a
0)
一元微积分高难度习题
第一章、极限与连续 1．求21)]1x x x -→+∞+-。
2。
求n (0≥x )。
3． 设3214lim1x x ax x l x →---+=+，求常数,a l 。
4。
求已知()0lim x f x →存在，且3x →=，求()0lim x f x →．5。
极限sin sin sin lim sin x t xt xt x -→⎛⎫⎪⎝⎭，并记此极限为()f x ，求函数()f x 的间断点并指出其间断类型。
6。
求常数,a b ，使()1,0, 011arctan , 1-1x x f x ax b x x x ⎧<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩在所定义的区间上连续． 7。
设()()21211lim ,1n n n n n x a x f x a x ax +→∞+--=--为常数，求()f x 的分段表达式，并确定常数a 的值，使()f x 在[0,)+∞上连续． 8．设101=x , n n x x +=+61(Λ,3,2,1=n ),试证数列{}n x 极限存在,并求此极限。
第二章、导数1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0),0(,0,)()(x f x x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导，0)0(≠'f ，0)0(=f ，则的是 )( 0x F x =（ ）（A ）连续点； （B ）第一类间断点； （C ）第二类间断点； （D ）不能确定。
2．函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点的个数是（ ）. (A)3； (B)2； (C)1； (D)0。
3．⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,0 ),(,0 ,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）（A ）极限不存在；（B ）极限存在但不连续；（C ）连续但不可导；（D ）可导。
4．设x x x x f -=2)(，则)(x f （ ）（A ）处处不可导；（B ）处处可导；（C ）有且仅有一个不可导点；（D ）有且仅有两个不可导点。
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。
填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。
求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。
证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。
一元微积分应用(物理)资料
2
2 3 2 2
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
y
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
A
y x2
B xy2
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x .
0
0
a2 2 (1 2 cost cos2 t) d t 3 a2. 0
3 极坐标系中平面图形的面积
r r( ) d
O
x
求由曲线r r( ) 及射线r , r ( ) 所围成的平面图 形的面积时, 取 为积分变量, 则积分区间为[, ]. 剩下的问
(3) 计算面积
A 1 [(2 x) x2 ]d x [2x x2 x3 ] 1 4 1 .
2
2 3 2 2
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。
题是求微分元素和计算积分值.
一元微积分竞赛题
一元微积分竞赛题
标题:一元微积分竞赛题
正文:
微积分是数学中非常重要的分支,它在各个领域都有广泛的应用。
为了激发同学们对微积分的兴趣,我们发起了一次一元微积分竞赛。
本次竞赛的题目主要是微积分中的基本概念和公式,要求同学们在限
定的时间内完成比赛。
竞赛题目如下:
1.求函数f(x)的定义域和值域。
2.求函数g(x)的定义域和值域。
3.求函数h(x)的定义域和值域。
4.已知函数f(x)的定义域为[a,b],求函数g(x)的定义域和值域。
5.求函数h(x)的导数。
6.求函数k(x)的导数。
7.已知函数f(x)的定义域为[a,b],求函数g(x)的值域。
8.求函数h(x)的值域。
9.已知函数k(x)的定义域为[a,b],求函数g(x)的定义域和值域。
10.求函数h(x)的值域。
同学们可以自由选择其中一个函数进行竞赛,也可以组合多个函
数进行比赛。
比赛时间限定为1小时,时间到后比赛结束。
比赛结束后,我们将统计比赛成绩,颁发奖品。
竞赛题型包括选择题、填空题、计算题和证明题。
选择题和填空
题主要考察同学们对基本概念和公式的掌握程度,计算题和证明题则要求同学们运用微积分的基本方法和技巧进行求解。
通过这次竞赛,我们希望激发同学们对微积分的兴趣,提高他们的数学素养,同时也希望他们能够在比赛中锻炼自己的计算能力和逻辑思维能力。
(整理)一元微积分数学函数题库有答案
一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题： 1． 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x xf ++=，（x>o ）,则)(x f =x x 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x.二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称. 2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ） （A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x xx g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以： 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五．试讨论函数21121)(+-=x x f 的奇偶性.解：21121)(+-=x x f21121)(+-=--x x f211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v ( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 （B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在． （D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？ 解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ，x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n (F).1)53(lim )32(lim5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x (F) 0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→ 解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31xx x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→xx x arctg x 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.x arctgx x ∞→lim =0 ６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2 =xx n n --∞→11lim 2 =x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-= 解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题： 1． 因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+∙∞→∞→ (T) 3．1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→xxx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim0→=1 3. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=x x x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=xx x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1.5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -∙-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke -6. xx x x )11(lim -+∞→解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=xx x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +∙-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+∙-∞→x x x x =2e . 二、 证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgxx 0lim→=tgA A A 0lim →=1 2.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x x x ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=222)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅= 22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0因为 n n n n 112-<--（n 为自然数）， 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)= nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )，则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-= 2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ， 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .） 所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则 )lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0 （ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ） 5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f . （ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二． 填空题：1．-→ππx xx sin lim (1-)2. =∞→xx x sin lim ( 0 ) 3. =+--+-→123lim 2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三． 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四． 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π 所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五． 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++=∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim )(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a21)1(11lim )(lim)01()01(ba f x x f x x -+-====--→--→ 1-=-⇒b a ∴⎩⎨⎧==10b a .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin lim ln(0xxx →=01ln =4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得.三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得. 四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <. 若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值.)()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f ′ (x)存在，a 为常数，则h a h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a ; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程 是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B ）连续，不可导；（C ）不连续； （D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得 1)1()(lim 1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2)由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim 00==-+++→→h hh x f h f h h .所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim )('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导一． 填空题： 1．曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2．曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3． 设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4． 设xxy 2sin =，则22sin 2cos 2'x x x x y -=.5．设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=.二． 求下列函数的导数.1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y 2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1.x y 2ln 1+=,求'y .解: xx x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2.2ln x tg y =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dtdy. 解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----=2)cos 1(1sin cos t t t ---=.四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求=x dx dy .解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdyx π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一.求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．x e y arcsin =.解： xxe xxe x y arcsinarcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212ttarctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsin x xx y -+=.解： 22422)2(11212arcsin'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin22xx x x ---+=2arcsin x=.5．xey 1sin 2-=.解： xx e x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=xe xx 1sin 222sin-⋅=. 二.求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xxarctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三.求函数x x y ln =的n 阶导数.解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2xy =， 一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四.设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f .解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一.求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxe e y +-=1'其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=.其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二.用对数函数求导法求下列函数的导数'y :1. 22x ctg x tg y =.解： 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解： 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x x x x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 三.求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解： t ab t a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==, t a bt a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=. 2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dxy d =.四.设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明： 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1.已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B) tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2． 一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分条件又非必要条件. 2.函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）.（A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题： 1．已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-.2．)](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三． 利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin 3cos )1803cos(59cos πππππο⋅+≈+= 5151.01802321=⋅+=π. 四． 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差 %3)(3=∆=∆=DVV V s v . 五． 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解： 对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1. 1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）.特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf .而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明（1） 在(a,b)内()0≠x g ；（2） 在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3） 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→ 解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x xsin cos 9sin 321212232+---- =0lim→x xxsin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61- 3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴0lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一． 填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1，3）内单调减少. 4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('xxx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y )188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k e y 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k e y 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23.四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件. 解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''=31px =∴处取得极小值，其值为q p+-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p+23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则 h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πV R = 32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =） 201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''20221-=-+x f x f ξξ 令()(){}21'',''m in )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1. )41( 3223≤≤--=x x x y函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y函数在所给区间内可导，因此可令 018126)(2=--='='x x x f y 解得 )( 1 ,3舍去-==x x 而 33)4( ,47)3( ,15)1(-=-=-=f f f所以函数在区间]4 ,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 解：设宽为)200( <<x x 米，则长为x 220-米，因此，面积为 x x S )220(-=显然，当5=x 时，面积取最大值502m .三、求数项),2,1( =n n n 中的最大项. 解：令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而 332<所以数项),2,1( =n n n中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点.2. )1ln(2+=x y 解：函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且222)1(21)(+-+='='x x x x f y322)1()14)(1(2)(x x x x x f y ++-+=''='' 令0=''y ，解得， ,32 , 32 ,1321+=-=-=x x x因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 3-2 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) 32 ,32(+-∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当 ) ,32(∞++∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，所以曲线有三个拐点 )431 ,32( ),431 ,32( ),1- ,1(+-+----. 并且4121212323=--=--x x y y x x y y所以三个拐点在同一条直线上.一元微积分学题库 (18) 函数图形的描绘一、作下列函数的图形（要求列表之后再画图）：1. 21x xy += 解：函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且222)1(1)(+-='='x x x f y 322)1()3(2)(x x x x f y +-=''=''令0 ,0=''='y y ，解得， ,3 , 3 ,0 1, x ,13=-===-=x x x x。
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩ 确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ .如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim111nnn x x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx e π≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---xy a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)共13页文档
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法 ① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ . 如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim 0111n nn xx x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx eπ≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---x y a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
微积分学 P.P.t 标准课件29-第29讲一元微积分应用(二)
第六章 一元微积分的应用
第三节 曲线的凹凸性, 函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点 二,曲线的渐近线 三,函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? y
?!
.
A
B
.
x
O
f ( x) ↑ ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的"上方"或"下方"的问题 .
在 (∞, 0) 上 ,
x1 + x2 1 f( ) < ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凸的 .
在 (0, + ∞ ) 上 ,
f(
x1 + x2 1 ) > ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凹的 .
y
在 (∞, 0) 上 ,
f ′′(ξ ) ( x x0 ) 2 2!
f ( x1 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 x0 ) +
f ′′(ξ1 ) ( x1 x0 ) 2 2!
f ′′(ξ 2 ) f ( x2 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x2 x0 ) + ( x2 x0 ) 2 2!
其中 , ξ1 在 x0 与 x1 之间, ξ 2 在 x0 与 x2 之间.
于是 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2 f ( x0 ) + ( f ′′(ξ1 ) + f ′′(ξ 2 ))( x1 x0 ) 2
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。
在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。
因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。
题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。
对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。
当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。
当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。
因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。
一元微积分
一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。
在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。
本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。
在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。
更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。
当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。
这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。
导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。
其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。
这些规则使得求导变得更加容易和直观化。
二、微分微分是导数的一种表达方式。
函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。
微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。
三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。
在数学中，积分可以看作是导数的反运算。
给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。
也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。
积分的符号表示为∫，读作“积分”。
它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。
这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。
四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。
它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。
以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。
（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。
当前页有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。
1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。
2012年硕士考试一元微积分题目
2012年硕士考试一元微积分题目数学一(50分)1. 曲线122-+=x xx y 的渐近线的条数为【 】A. 0;B. 1;C. 2;D. 3.2. 设函数)()2)(1()(2n e e e x y nx x x ---= ，其中为n 正整数，则=)0('y 【 】 A ．)!1()1(1---n n ； B. )!1()1(--n n ; C. !)1(1n n --; D. !)1(n n -.4. 设⎰=kex k xdx e I sin 2,3,2,1=k ,则有【 】A. 321I I I <<;B. 123I I I <<;C. 132I I I <<;D. 312I I I <<.9. 若函数)(x f 满足方程0)(2)(')("=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则)(x f =10.=-⎰222dx x x x.15. （本题满分10分）证明：2211cos 11lnx x x x x +≥+-+，)11(<<-x ． 17. (本题满分10分)求幂级数∑∞=+++02212344n nx n n n 的收敛域及和函数.18. (本题满分10分)已知曲线⎩⎨⎧==ty t f x cos )(,)20(π<≤t ,其中函数)(t f 具有连续导数,且0)0(=f ,0)('>t f ,)20(π<<t .若曲线的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数)(t f 的表达式,并求此曲线与x 轴和y 轴围成的无边界区域的面积.数学二（84分）1. 曲线122-+=x xx y 的渐近线的条数为【 】A. 0;B. 1;C. 2;D. 3. 2. 设函数)()2)(1()(2n e e e x y nx xx---= ，其中为n 正整数，则=)0('y 【 】A ．)!1()1(1---n n ； B. )!1()1(--n n ; C. !)1(1n n --; D. !)1(n n -.3. 设0>n a ，),3,2,1( =n ，n n a a a S +++= 21，则数列}{n S 有界是数列}{n a 收敛的【 】A ．充分必要条件；B. 充分非必要条件；C. 必要非充分条件；D. 非充分也非必要条件.4. 设⎰=kex k xdx e I sin 2,3,2,1=k ,则有【 】（注意：网络给的题目错误⎰=πk xk xdx e I 0sin 2！） A. 321I I I <<; B. 123I I I <<; C. 132I I I <<; D. 312I I I <<.9. 设)(x y y =是由方程ye y x =+-12所确定的隐函数,则==022|x dxyd .10. =⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→2222212111lim n n n n n n . 12. 微分方程0)3(2=-+dy y x ydx 满足条件1|1==x y 的解=y .13. 曲线)0(,2<+=x x x y 上曲率为22的点的坐标是 . 15. （本题满分10分）已知函数xx x x f 1sin 1)(-+=，记)(lim 0x f a x →=（1）求a 的值；（2）当0→x 时，a x f -)(与kx 是同阶的无穷小，求常数k 的值。
一元微积分经典习题
5. 曲线
与 x 轴所围图形面积可表示为
(a)
(b)
(c) 解.
(d)
0 由图知(c) 为答案.
1
2
二. 填空题
1. 函数
( x > 0) 的单调减少区间______.
解.
, 所以 0 < x <
.
2. 曲线
与其在
处的切线所围成的部分被 y 轴分成两部分, 这两部分
面积之比是________.
解.
, 所以切线的斜率为 k =
3. 求通过点(1, 1) 的直线 y = f ( x ) 中, 使得 解. 过点(1, 1) 的直线为
为最小的直线方程.
y = kx + 1 －k
所以
F(k) =
=
=
=
k = 2
所求直线方程为
y = 2 x －1
4. 求函数
的最大值与最小值.
解.
, 解得
x = 0,
x =
,
,
=1
所以, 最大值
解. 由联立方程
解得交点坐标
,
由
求得二条法线的斜率分别为
,
. 相应的法线为
, 已知三点求面积公式为
. 解得法线的交点为
.
所以
.
2. 在抛物线 y = x2 上一点 P (a, a 2) 作切线, 问 a 为何值时所作切线与抛物线 y =－x2 + 4 x －1 所围图形面积最小 解. 切线和抛物线的交点为
, 若两个极值点及其对应的两个极值均
(c) 关于直线 y = x 轴对称
(d) 以
解. 假设两个极值点为 x = t 及 x = －t (t 0), 于是 f(t) = －f( －t). 所以
《一元函数微积分》习题解答第一章
《一元函数微积分》 习题1—11．确定下列函数的定义域： （1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1]. （3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=.解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,.2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x xy 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞. 当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么? (1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数.(2) 2sin 21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R ,值域为[-1,1],且)(cos 2sin21)(2x f x xx g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g xxx f ==. 解: 相同因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x xxx f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin 2sin )sin()()(xx x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f 由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f 所以有:82=a 且3=+b a 得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) )1(22x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数. (2)323x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数.(3)2211x x y +-=;解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数. (4))1)(1(+-=x x x y 解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数. (5)1cos sin +-=x x y ; 解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以函数既非奇函数又非偶函数.(6)2xx a a y -+=.解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=--所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞ (1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+= ,. 故)(1x F 是偶函数. (2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--= ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数. 且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L .)(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴即 )()(21x f x f ->- )()(21x f x f < 所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T . (2) x y 4cos =; 解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T . (4) x x y cos =; 解: 非周期函数 (5) x y 2sin =; 解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T . (6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域. (1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞. (2) ua y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞. (3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =; 解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u . (2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数: (1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin yx =. 得反函数: 2arcsinx y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x .得反函数: 21-=-x ay反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-.(3) 122+=x xy .解: 121112112122+-=+-+=+=xx x x x y 由于112>+x, 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x-=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元; 当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元; 当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ; 当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x xy 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式. 解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p . 达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p得282.107165±=p又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-=圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系; (2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数. 由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F) (2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F) 习题1－2 1．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散 2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+nn 1111，即ε1>n 。
一元微积分数学函数题库有答案
一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题： 1． 函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x xf ++=，（x>o ）,则)(x f =x x 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x xx g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是 三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以： 函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界 五．试讨论函数21121)(+-=x x f 的奇偶性.解：21121)(+-=x x f21121)(+-=--x x f211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在 （B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在． （D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？ 解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ，x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31x x x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→xx x arctg x 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim 0++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.x arctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-=解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1． 因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim0→=1 3. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=x x x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=xx x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1.5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke -6. xx x x )11(lim -+∞→解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=xx x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、 证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgxx 0lim→=tgA A A 0lim →=1 2.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x x x ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=222)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= n n 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅= 22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 n n n n 112-<--（n 为自然数）， 所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )， 则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ， 则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二． 填空题：1．-→ππx xx sin lim (1-)2. =∞→x x x sin lim ( 0 )3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三． 求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四． 求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π 所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五． 设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a21)1(11lim )(lim )01()01(ba f x x f x x -+-====--→--→ 1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin lim ln(0xxx →=01ln =4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时 原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得. 四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即 当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B ）连续，不可导；（C ）不连续； （D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim 00==-+++→→h hh x f h f h h .所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意 令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim )('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9） 求导法与复合函数求导一． 填空题：1． 曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2． 曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3． 设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4． 设xxy 2sin =，则22sin 2cos 2'x x x x y -=. 5． 设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二． 求下列函数的导数.1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: xx x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dt dy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求=x dx dy .解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdyx π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．x e y arcsin =.解： x xe xxe x y arcsin arcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212ttarctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsin x xx y -+=.解： 22422)2(11212arcsin'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin22xx x x ---+=2arcsin x=.5．xey 1sin 2-=.解： xx e x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=xe xx 1sin 222sin-⋅=. 二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xxarctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2xy =， 一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=.其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解： 先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解： 先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x x x x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解：t a b t a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==, t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dx y d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明： 原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2． 一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件； （B ）充分条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1． 已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三． 利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin 3cos )1803cos(59cos πππππο⋅+≈+= 5151.01802321=⋅+=π. 四． 已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解： 我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差%3)(3=∆=∆=DVV V s v . 五． 求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解： 对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）.特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明（1） 在(a,b)内()0≠x g ；（2） 在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3） 令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x xsin cos 9sin 321212232+---- =0lim →x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61-3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一． 填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少.4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('xxx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2； 极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k e y 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k e y 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件. 解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''=31px =∴处取得极小值，其值为q p+-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p+23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πV R = 32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''20221-=-+x f x f ξξ 令()(){}21'',''m in )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点.2. )1ln(2+=x y 解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。
清华大学2019-2020学年第一学期《高等数学》本科测试题
n a n b 5 x 2+ 3x 3 x 2+ 5x(n →∞ n - ⎪l n n nn →∞清华大学2019-2020学年第一学期《高等数学》本科测试题考试课程一元微积分（B ）2020 年 10 月 25 日系名 班级姓名学号一．填空题（每空 3 分，共 15 题）（请将答案直接填写在横线上！）e tan x - e sin x1.lim x →0x - sin x= 。
2. lim sin πn →∞n 2 + n )=。
⎛ + ⎫n3. limn →∞⎝ ⎪= 。
2 ⎭n4.lim ⎛ n + ln n ⎫ln n = 。
⎝ ⎭5．当 x → 0 时， f( x ) =-x 的阶为 。
3 5 17 1 + 22n -16.已知 x n = • • • ...• 2 4 16 22 n -1 ，则lim x = 。
n →∞7. 设 x =(1+ a )(1+ a 2 )...(1+ a 2n),其中 a < 1，则lim x=。
8. 已知有整数n (n > 4)使极限 lim ⎡(x n + 7x 4+ 2)α - x ⎤ = A ≠ 0，则α=。
9.⎛ 23 -1 33 -1 43 -1 x →+∞ ⎢⎣⎥⎦ n 3 -1 ⎫ =。
lim 3 3 3... 3 ⎪ n →∞ ⎝2 +13 +14 +1 n +1 ⎭n10.lim ∑n →∞ k =1k 3 + 6k 2 +11k + 5 (k + 3)!= 。
⎛ 11. lim n →∞ ⎝ n 12 3 +12 + 22 n 3 + 22 + ...+ n 2 n 3 + n 2 ⎫ ⎪= 。
⎭ 12. lim 1!+ 2!+ ... + n != 。
n nn n!1+ x 2 2 )(α- β β 7 - 7 + 7 , 7 - 7 + 7 - 7 ,...k =113. 1 x 2+ 1- lim 2 = 。
x →0cos x - e x sin x 2n α=14. 已知limn →∞ n β- (n - 1)β =2017 ，则 。
微积分学p
x sin x d 1 cos2
x x
2
sin x d x 0 1 cos2 x
2
( arctan(cos x))
0
2
4
.
u cos x
第17页
二、定积分分部积分法
定理 设函数 u(x)，v(x) 在[a, b] 上可导，
且 u(x)，v(x) R([a, b])，则
b
u(x)v(x) d
由牛顿 —莱布尼兹公式，得
f
( (t))(t) d t
F ( (t))
F (( )) F (( ))
b
F (b) F (a) a f (x) d x .
证毕
第8页
例2 解
计算
3
5
1 2
x
dx . 1 x2
令
x
1 t
，则
d
x
dt， t2
且 x : 1 3 时，t : 2 5，故
25
0
0
2 cos2n1 t d t 0
(2n)!! . (2n 1)!!
第25页
例15
计算
2 x2 4 x2 d x .
0
解 令 x 2sin t, 则 d x 2 cos t d t ,
且 x: 0 2时, t : 0 , 故
2
2 x2
4 x2 d x
2 4sin2 t 2 cos t 2 cos t d t
0
2
2
0 4
第4页
例1 解
计算 1 1 x2 d x . 0
令 x sin t
0 x 1
0t
先用不定积分求被积函数的一个原函数：
2
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一、填空题：(每空2分，共20分)
1、
函数23()9, 34
x f x x x ≤=-<<⎪⎩的定义域为 ； 2、已知32(1)lim kn n e n -→∞
+=， 则k = ； 3、设2, 0(), 0
x e x x f x k x ⎧-+≠=⎨=⎩在(,)-∞+∞处连续，则k =______ ；
4、设223y x ax a =-+-，则
2dy dx = , dy dx
= ； 5、函数1()s i n c o s 33f x a x x =+在3x π
=处有极值，则
a = ，且()3
f π为极 （小或大）值; 6、设成本函数为2()2500C Q x x =++，当产量为1000时边际成本为 ；
7、若()()f xd x F x C =+⎰，则(25)f x d x +=⎰ ；
8
、已知21x y =⎰，求dy dx
= ； 二、单项选择题：（每小题2分，共10分）
1、当x →+∞时，下列函数为无穷大量的是（ ）
A 1x e -+
B C ln(1)x + D cos x x
2、设)(x f 在点0x 的某邻域内二阶可导，且0)(0'=x f ，则0
).("0>x f
是)(0x f 为)(x f 的极小值的（ ）
A 必要条件
B 充分条件
C 充要条件
D 既非充分条件亦非必要条件
3、设1()f x x
=，则'()f x =（ ） A 1x B 1x - C 21x D 21x
- 4、函数32()4710f x x x x =+--在区间[1,2]-上满足罗尔定理的条件，则定理中的值ξ=（ ）
A 1-
B 2 C
3374±- D 3374+- 5、'(2)x a
f t dt =⎰( ) A 2[()()]f x f a - B (2)(2)f x f a - C 2[(2)(2)]f x f a - D 1[(2)(2)]2
f x f a - 三、计算题：（七个小题，每小题7分，共49分）
1、求极限1()lim x
x
x x e →+∞+；
2、设ln(y x =+，求''
x y
3、讨论函数21,1()23,1x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩
的连续性和可导性； 4、若sin cos()0x xy x y --=，求dy dx
； 5、求不定积分2123
dx x x ++⎰ ；
6、求不定积分2ln xdx ⎰ ；
7
、设11()1ln , 11x f x x x e x
-≤<=⎨+≤≤+⎪⎩，求定积分0()e f x dx ⎰； 四、应用题：（两个小题，共15分）
1、（7分）设商品需求量Q 与价格p 的关系为102
p Q =-，求： （1）价格为3元时的需求价格弹性，并说明其经济意义
（2）当价格3元时，再涨价1 %，总收益是增加还是减少？
2、（8分）设抛物线245y x x =-+与直线2y x =围成平面图形，
(1) 求该平面图形的面积S ；
(2) 求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
五、证明题：（一个小题，共6分）
证明：当1x >
时，13x -。