八年级数学下册 第4章 一次函数 4.5 一次函数与一次方程的联系(第3课时)课件 (新版)湘教版
湘教版八下数学4.5一次函数的应用第3课时一次函数与一次方程的联系说课稿
湘教版八下数学4.5一次函数的应用第3课时一次函数与一次方程的联系说课稿一. 教材分析湘教版八下数学4.5一次函数的应用第3课时，主要讲解了一次函数与一次方程的联系。
本节课的内容是在学生已经掌握了函数和方程的基本概念的基础上进行的，通过实例让学生了解一次函数与一次方程之间的关系，进一步培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了函数和方程的基本概念，对一次函数和一次方程有一定的了解。
但是，学生对一次函数与一次方程之间的联系可能还不够清晰，需要通过实例来进行具体的讲解和分析。
三. 说教学目标1.让学生了解一次函数与一次方程之间的关系。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
四. 说教学重难点1.一次函数与一次方程之间的关系。
2.如何运用一次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用实例教学法，通过具体的例子让学生了解一次函数与一次方程之间的关系。
2.采用问题驱动法，引导学生思考和探索一次函数与一次方程之间的联系。
3.利用多媒体教学手段，展示实例和问题，方便学生理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入一次函数与一次方程的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解：通过具体的例子，讲解一次函数与一次方程之间的关系，让学生理解并掌握。
3.练习：让学生通过练习题，巩固对一次函数与一次方程之间关系的理解。
4.应用：让学生运用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
5.小结：对本节课的内容进行总结，让学生清晰地了解一次函数与一次方程之间的关系。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出一次函数与一次方程之间的关系。
可以设计如下：一次函数：y = kx + b一次方程：ax + b = 0八. 说教学评价通过课堂表现、练习题和应用题的完成情况，评价学生对一次函数与一次方程之间关系的理解和掌握程度。
九. 说教学反思在教学过程中，要注意观察学生的反应，根据学生的实际情况，调整教学方法和手段，以达到最佳的教学效果。
八年级数学下册 4_5 第3课时 一次函数与一次方程的联系教案 (新版)湘教版
第3课时一次函数与一次方程的联系1．掌握一次函数与一次方程的联系；(重点)2．综合应用一次函数与一次方程的关系解决问题．(难点)一、情境导入1．下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.2．下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.二、合作探究探究点一：一次函数与一次方程【类型一】一次函数与一元一次方程一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )A．x＝－1 B．x＝2C ．x ＝0D ．x ＝3解析：∵函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(2，3)(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1，由x ＋1＝0，解得x ＝－1，故选：A.方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值：从图象上看，相当于已知直线y ＝ax ＋b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】 一次函数与二元一次方程组直角坐标系中有两条直线：y ＝35x ＋95，y ＝－32x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交x 轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B .(1)求A 、B 两点坐标；(2)用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，3x ＋2y ＝12；(3)求△PAB 的面积．解析：(1)分别令y ＝0，求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：(1)令y ＝0，则35x ＋95＝0，解得x ＝－3，所以点A 的坐标为(－3，0)，令－32x ＋6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)；(2)如图所示，方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3；(3)AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7，△PAB 的面积为12×7×3＝212. 方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：运用一次函数与方程解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x (种)是推销产品的数量，y (元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x 的取值范围．解析：(1)由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可知选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围．解：(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40，1600)代入解析式，可得k ＝40，解析式为y ＝40x ；设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝20，b ＝600，解析式为y ＝20x ＋600. (2)根据两直线相交可得方程40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．三、板书设计1．一次函数与一元一次方程的联系2．应用一次函数与一次方程解决实际问题对于实际问题中数量之间的相互关系，可以用函数的思想去进行描述，研究其内在联系和变化规律．同时让学生体会到一次函数图象上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x 轴交点的横坐标就是其对应的一次方程的解。
湘教版八年级数学下册4.5 第3课时 一次函数与一次方程的联系教案与反思
第3课时一次函数与一次方程的联系原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！新竹高于旧竹枝，全凭老干为扶持。
出自郑燮的《新竹》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！令公桃李满天下，何用堂前更种花。
出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修1．掌握一次函数与一次方程的联系；(重点)2．综合应用一次函数与一次方程的关系解决问题．(难点)一、情境导入1．下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.2．下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.二、合作探究探究点一：一次函数与一次方程【类型一】一次函数与一元一次方程一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3解析：∵函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(2，3)(0，1)，∴⎩⎨⎧b ＝1，3＝2k ＋b ，解得⎩⎨⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1，由x ＋1＝0，解得x ＝－1，故选：A. 方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值：从图象上看，相当于已知直线y ＝ax ＋b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值．【类型二】 一次函数与二元一次方程组直角坐标系中有两条直线：y ＝35x ＋95，y ＝－32x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B . (1)求A 、B 两点坐标；(2)用图象法解方程组错误!(3)求△PAB 的面积．解析：(1)分别令y ＝0，求出的值即可得到点A 、B 的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：(1)令y ＝0，则35＋95＝0，解得x ＝－3，所以点A 的坐标为(－3，0)，令－32x 6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)； (2)如图所示，方程组的解是错误!(3)AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7，△PAB 的面积为12×7×3＝212. 方法总结：本题查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所应的两条直，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．探究点二：运用一次函数与方程解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x (种)是推销产品的数量，y (元)是付给推销的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看解答下列问题：()求每种付酬方案y 关于x 的函数达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时求x 的取值范围． 解：(1)由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可知选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围．解：(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40，1600)代入解析式，得k ＝4，解析式为y ＝40x ；设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可⎩⎨⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得：⎩⎨⎧a ＝20，b ＝600，解析式为y ＝20x ＋600. (2)根据两直线相交可得方程40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．三、板书设计1．一次函数与一元一次方程的联系2．应用一次函数与一次方程解决实际问题对于实际问题中数量之间的相互关系，可以用函数的思想去进行描述，研究其内在联系和变化规律．同时让学生体会到一次函数图象上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x轴交点的横坐标就是其对应的一次方程的解.【素材积累】先讲一个我个人的经历。
湘教版数学八年级下册教学课件PPT4.5一次函数的实际应用 第3课时 一次函数与一次方程的联系
l2：y＝－
1 2
x－1的交点
坐标为__(_－__4_，__1_)__．
随堂练习
3.若函数y = kx-b的图象如图所示，则关于x的不 等式k(x-l)-b=0的解为( C ) A. x=2 B. x＞21.5C. x=3 NhomakorabeaD. x＞3
课堂小结
一次函数与二元一次方程组
解二元一次方程组 求对应两条
2
下列可能为直线y＝1 x＋b的图象的是(
2
C
)
随堂练习
1. 已知方程kx+b = 0的解是x= 3 ,则函数y = kx + b 的图象可能是( C )
随堂练习
2. (的中解考为·巴中xy＝＝)已1－，知4，二则元在一同次一方平程面组直角xx－＋坐2y＝标y＝－系－5中，2，
直线
l1：y＝x＋5与直线
（2） 画出函数y = 3x - 6的图象，
如图所示：
从图中可以看出，一次函数y = 3x - 6的图象与x 轴交
于点（2，0）， 这就是当y = 0 时，得x = 2，而x = 2
正是方程3x - 6 = 0的解.
课程讲授
2 一次函数与一元一次方程
归纳：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可 以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一次方 程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时， 求自变量x的值.
课程讲授
2 一次函数与一元一次方程
求一元一次方程 kx+b=0的解．
从“函数值” 看
求一元一次方程 kx+b=0的解．
从“函数图 象”看
一次函数y= kx+b
中，y=0时，求x的 值．
湘教版初中数学八年级下册4.5 第3课时 一次函数与一次方程的联系
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！4.5 一次函数的应用第3课时 建立一次函数模型解决预测类型的实际问题要点感知1 一般地，一次函数y=kx+b 的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解，以二元一次方程kx-y+b=0的解为__________的点都在一次函数y=kx+b 的图象上.预习练习1-1 以2x-4+y=0方程的解为坐标组成的图形与下列哪个函数的图象相同( ) A.y=2x-4 B.y=2x+4 C.y=-2x-4 D.y=-2x+4 要点感知2 一般地，一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与x 轴的交点的__________坐标是一元一次方程kx+b=0的解；任何一个一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的__________坐标.预习练习2-1 方程2x+12=0的解是直线y=2x+12( ) A.与y 轴交点的横坐标 B.与y 轴交点的纵坐标 C.与x 轴交点的横坐标 D.与x 轴交点的纵坐标知识点 一次函数与一次方程的联系1.把方程x+1=4y+化为y=kx+b 的形式，正确的是( ) 3xA.y=x+1B.y=x+C.y=x+1D.y=x+ 1316141613142.下列图象中，以方程-2x+y-2=0的解为坐标的点组成的图象是()3.一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( ) A.x=2 B.y=2 C.x=-1 D.y=-14.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b 的图象可能是()5.若方程x-3=0的解也是直线y=(4k+1)x-15与x 轴的交点的横坐标，则k 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.±16.一次函数y=2x-3与x 轴的交点坐标为__________.7.已知关于x 的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n 与x 轴的交点坐标是__________.8.利用函数图象，解方程2x-6=0.9.一次函数y=-x+1的图象与x 轴交点的坐标是( ) 12A.(0，2)B.(0，1)C.(2，0)D.(1，0) 10.如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点P ，能表示这个一次函数图象的方程是( )A.3x-2y+3.5=0B.3x-2y-3.5=0C.3x-2y+7=0D.3x+2y-7=011.直线y=2x+b 与x 轴的交点坐标是(2，0)，则关于x 的方程2x+b=0的解是( )A.x=2B.x=4C.x=8D.x=1012.已知二元一次方程3x-y=1的一个解是那么点P （a,b ）一定不在( ),.x a y b ==⎧⎨⎩A.第一、三象限B.第二、四象限C.第二象限D.坐标轴上13.已知一次函数y=ax+b(a,b 为常数，a ≠0)，x 与y 的部分对应值如下表：那么方程ax+b=0的解是__________.14.点（2，3）（填“在”或“不在”）直线y=2x-1上，故__________(填“是”或23x y ==⎧⎨⎩，“不是”）二元一次方程2x-y=1的一组整数解.15.将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数图象与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则△ABO 为此一次函数的坐标三角形，一次函数y=-x+4的坐标三角形的周长是__________. 4316.一次函数y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=4的解为多少？17.已知二元一次方程y-kx-2k+4=0化为一次函数后，经过画图发现，它与x 轴的交点为-1. (1)请将二元一次方程化为一次函数的形式； (2)这个函数的图象不经过第几象限？(3)求这个一次函数的图象与y 轴的交点坐标.18.一次函数y=kx+3的图象与x 轴交点到原点的距离是6，求k 的值.19.如图，直线l 1:y=x+1与直线l 2:y=mx+n 相交于点P(1，b). (1)求b 的值；(2)不解关于x ，y 的方程组请你直接写出它的解.10,0.x y mx y n -+=-+=⎧⎨⎩参考答案要点感知1 坐标预习练习1-1 D 要点感知2 横 横 预习练习2-1 C1.B2.B3.C4.C5.C6.(，0) 7.(-2，0) 328.令y=2x-6，画出函数y=2x-6的图象，从图中可以看出，一次函数y=2x-6与x 轴交于点(3，0)，这就是当y=0时，x=3，所以方程2x-6=0的解是x=3.9.C 10.D 11.A 12.C 13.x=1 14.在 是15.1216.∵一次函数y=kx+b 过(0,1)，(2,3)，∴解得1,2 3.b k b =+=⎧⎨⎩1,1.b k ==⎧⎨⎩ ∴一次函数解析式为y=x+1.当y=4时，x=3.即kx+b=4的解为x=3.17.(1)由已知可知，一次函数过点(-1，0)，代入二元一次方程，得0=-k ·(-1)-2k+4.解得k=4.故一次函数的形式为：y=4x+4. (2)∵x=0时y=4，y=0时x=-1，∴这个函数的图象不经过第四象限. (3)当x=0时，y=4×0+4=4.故一次函数的图象与y 轴的交点坐标为(0，4).18.一次函数y=kx+3与x 轴相交，交点纵坐标为0，即y=0，则kx+3=0， ∵函数y=kx+3是一次函数， ∴k ≠0.∴x=-. 3k∵一次函数y=kx+3的图象与x 轴交点到原点的距离是6， ∴|-|=6. 3k①当k ＞0时，=6，解得k=； 3k 12 ②当k ＜0时，-=6，解得k=-.3k 12综上所述，k 的值为±.1219.(1)∵(1，b)在直线y=x+1上，∴当x=1时，b=1+1=2.(2)∵直线l 1：y=x+1与直线l 2：y=mx+n 相交于点P(1，b)，∴方程组的解是10,0x y mx y n -+=-+=⎧⎨⎩1,2.x y ==⎧⎨⎩相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
湘教版八年级数学下册课件-一次函数与一次方程的联系
解析：∵直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)， 则x＝2时，y＝0， ∴关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝2.
方法总结 直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0 的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图， 结合图形分析更加直观、方便．
试一试
1.已知：一次函数y=0.8x-2与x轴的交点为（2.5，0）， 你能说出0.8x-2=0的解吗？ x=2.5 2.已知：一次函数y=kx-5与x轴的交点为（3，0）， 那么你能说出kx-5=0的解吗？ x=3 3.已知关于x的一元一次方程mx+n=0的解是-3，则直 线y=mx+n与x轴的交点坐标是（_-_3_，__0_）_.
解：画出两个函数y=5x−1
和y=2x+5的图象． 由图象知，两直线交于 y=2x+5
点 (2，9)，所以原方程
y=5x−1
的解为 x=2．
O
2
x
课堂小结
一次函数与 一次方程
一元一次方程的解为对应一 次函数的值为0时相应的自 变量的值，即一次函数与x 轴交点的横坐标.
二元一次方程的解为对应 一次函数图象上点的坐标
归纳总结
一次函数与一元一次方程的关系
求一元一次方程 kx+b=0的解．
从“函数值”看
一次函数y= kx+b 中y=0时x的值．
求直线y= kx+b
求一元一次方程 从“函数图象”看 与 x 轴交点的横
kx+b=0的解．
坐标．
典例精析
例1:直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关
于x的方程2x＋b＝0的解是x＝____2____．
优质 课件
湘教版(2012)初中数学八年级下册 4.5.3 一次方程与一次函数的关系 教案
教学设计
(续表)
(续表)
(续表)
图4－5－34
的能力. [解析] 由图可知，y随x的增大而减小，故①正确；直线与y轴正半轴相交，
b＞0，故②正确；关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2，故③正确；不等式kx
＋b＞0的解集是x＜2，故④错误．综上所述，说法正确的是①②③.
例5如图4－5－35，观察图象，回答问题：
(1)点D的纵坐标等于__b__；
(2)点A的横坐标是方程__k1x1＋b1＝0__的解；
(续表)
(续表)
活动四：课堂总结反思当堂训练：P139练习T1，T2，T3.
作业布置：P140习题4.5A组T5.
当堂检测，及时
反馈教学效果.
【知识网络】
从全局的角度去
总结，突出教学主要
内容，让学生抓住教
学重点，把握教学难
点.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节导入从化一次方程为一次函数谈起，再结合函数图象，去充分发挥学生
的动手能力，从图形中让学生学会观察、辨别、分析，总结不同函数模型的
解与交点坐标的联系，为学生清楚地学习铺平了道路，简洁的导入让学生学
得更轻松．
②[讲授效果反思]
对于函数图象的交点问题，可以用函数的思想或方程的思想去描述，本节主
要研究交点与一次函数的内在联系和变化规律，让学生体会到一次函数图象
上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x轴交点的
横坐标就是其对应的一元一次方程的解．
③[师生互动反思]
切实反思，积极
上进，加强交流，总
结经验，促进教学水
平与教学能力全面提
高，做一个名副其实
的全能型教师.。
湘教版八年级数学下册课件 4-5 第3课时 一次函数与一次方程的联系
解 画出函数 y = 3x + 9 的图 象（如图所示），直线 y = 3x + 9 与 x 轴交于点（-3， 0），所以 x = -3 时，y = 0.
y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O
–1 –2
y = 3x + 9
1 2 3 4 5x
3. 利用函数图象，解方程 3x - 9 = 0. y
1 2 3 4 5x
这两种解法分别 从“数”与“形”的 角度出发来解决问题.
三 随堂巩固
1. 把下列二元一次方程改写成 y = kx + b 的形式.
（1）3x + y = 7；
（2）3x + 4y = 13.
解 y = -3x + 7
解 y = 3 x 13
44
2. 已知函数 y = 3x + 9，自变量满足什么条件时，y = 0？
湘教版八年级数学下册
第4章 一次函数
4.5 一次函数的应用 第3课时 一次函数与一次方程的联系
一 情景导入
今天数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自 己所在的家庭就坐，这时来了“x + y = 5”.
二元一次方程 一次函数
这是怎么回事？ x + y = 5应该坐在哪 里呢？
二 新课探究
一次函数 y = 5 – x 的图象如图所示. （1）方程 x + y = 5 的解有多少 个？写出其中的几个. （2）在直角坐标系中分别描出 以这些解为坐标的点，它们在一次 函数 y = 5 – x 的图象上吗？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
（3）在一次函数 y = 5 - x 的图 象上任取一点，它的坐标满足方程 x + y = 5吗？
湘教版数学八年级下册 一次函数与一次方程的联系
(2) 当自变量 x 为何值时，函数 y = 2x + 20 的值为 0？
解：(1) 2x + 20 = 0， (2) 当 y = 0 时 ，即
2x = -20，
2x
+
20
=
0，
从“函数值” 的角度看
x = -10.
2x = -20，
x = -10.
两个问题实际上是同一个问题．
一次函数与一元一次方程的关系
求一元一次方程 从“函数值”看 kx + b = 0 的解
一次函数 y = kx+b
中 y = 0 时的 x 值
求一元一次方程 从“函数图象”看 kx + b = 0 的解
直线 y = kx + b
与 x 轴交点的横 坐标
典例精析 例1 直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是(2，0)，则
关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝___2___．
解析：∵直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是(2，0)，
则 x ＝ 2 时，y ＝ 0， ∴关于 x 的方程 2x＋b ＝ 0 的解是 x ＝ 2.
方法总结 直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标就是方 程 kx＋b＝0 的解，反之亦然．所以在解题时，常需作 出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便．
无数个
x 0,x 5, x 2,
y
5； y
0； y
3.
问题2. 等式 x + y = 5 还可以看成一个一次函数，把它 变成 y = kx + b 的形式是__y_=__-_x_+__5____.
新湘教版八下教案：4.5 第3课时 一次函数与一次方程的联系
第3课时 一次函数与一次方程的联系1．掌握一次函数与一次方程的联系；(重点)2．综合应用一次函数与一次方程的关系解决问题．(难点)一、情境导入1．下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？(1)2x ＋1＝3；(2)2x ＋1＝0；(3)2x ＋1＝－1.2．下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？(1)3x ＋2＞2；(2)3x ＋2＜0；(3)3x ＋2＜－1.二、合作探究探究点一：一次函数与一次方程【类型一】 一次函数与一元一次方程一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为()A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3解析：∵函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(2，3)(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1，由x ＋1＝0，解得x ＝－1，故选：A.方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值：从图象上看，相当于已知直线y ＝ax ＋b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值．【类型二】 一次函数与二元一次方程组直角坐标系中有两条直线：y ＝35x＋95，y ＝－32x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交x 轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B .(1)求A 、B 两点坐标；(2)用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，3x ＋2y ＝12；(3)求△P AB 的面积．解析：(1)分别令y ＝0，求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：(1)令y ＝0，则35x ＋95＝0，解得x ＝－3，所以点A 的坐标为(－3，0)，令－32x＋6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)；(2)如图所示，方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3；(3)AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7，△P AB 的面积为12×7×3＝212.方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．探究点二：运用一次函数与方程解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x (种)是推销产品的数量，y (元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x 的取值范围．解析：(1)由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可知选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围．解：(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40，1600)代入解析式，可得k ＝40，解析式为y ＝40x ；设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝20，b ＝600，解析式为y ＝20x ＋600.(2)根据两直线相交可得方程40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．三、板书设计1．一次函数与一元一次方程的联系 2．应用一次函数与一次方程解决实际问题对于实际问题中数量之间的相互关系，可以用函数的思想去进行描述，研究其内在联系和变化规律．同时让学生体会到一次函数图象上所有点的坐标都符合其对应的二元一次方程，一次函数图象与x 轴交点的横坐标就是其对应的一次方程的解.。
2020年春湘教版八年级数学下册同步导学课件：4.5 第3课时 一次函数与一次方程的关系
故方程组
的解为
第3课时 一次函数与一次方程的关系
【归纳总结】两个一次函数图象的交点坐标就是对 应的二元一次方程组的解;反之,二元一次方程组的解 就是对应的两个一次函数图象的交点坐标.
第3课时 一次函数与一次方程的关系 例 4 [高频考题] 某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式:方式 A,以每分钟 0.1 元的价格按上网时间计费;方式 B,除收月基本费 20 元外, 再以每分钟 0.06 元的价格按上网时间计费.假设顾客甲一个月手机上网 的时间为 x(分),上网费用为 y(元).
②如图所示,函数 y=x+2 的图象与 x 轴交于点(-2,0),所
以方程-x+2=4 的解为 x=-2.
第3课时 一次函数与一次方程的关系 【归纳总结】用图象法解形如 kx+b=m 的一元一次方程
第3课时 一次函数与一次方程的关系
目标二 能用两个一次函数图象的交点解决问题
例 3 [教材补充例题] 利用画函数图象的方法解 方程组:
由图象可知:当一个月内上网时间少于 500 分钟时,选择方式 A 省钱;
当一个月内上网时间等于 500 分钟时,选择方式 A,B 一样;当一个月内上
网时间多于 500 分钟时,选择方式 B 省钱.
第3课时 一次函数与一次方程的关系
【归纳总结】利用一次函数图象求不等式 ax+b>0(ax+b<0)解集 的步骤 (1)作出一次函数的图象; (2)找到图象与 x 轴的交点; (3)观察图象在 x 轴上(下)方部分对应的自变量 x 的取值范围,即 是 ax+b>0(ax+b<0)的解集.
第3课时 一次函数与一次方程的关系
【归纳总结】一元一次方程 ax+b=0(a≠0,a,b 为常数)的解就是直线 y=ax+b(a≠0,a,b 为常数) 与 x 轴交点的横坐标.
湘教版八下数学4.5第3课时一次函数与一次方程的联系教学设计
湘教版八下数学4.5第3课时一次函数与一次方程的联系教学设计一. 教材分析湘教版八下数学4.5第3课时一次函数与一次方程的联系，主要让学生理解一次函数与一次方程的内在联系，掌握一次函数的图像与一次方程的解法，能够将一次函数的知识运用到解决实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了二次函数、二次方程的知识，具备了一定的函数和方程的思想，但对于一次函数与一次方程的联系还需进一步引导和深化。
此外，学生对于实际问题的解决，还需要加强引导和实践。
三. 教学目标1.理解一次函数与一次方程的内在联系。
2.掌握一次函数的图像与一次方程的解法。
3.能够将一次函数的知识运用到解决实际问题中。
四. 教学重难点1.一次函数与一次方程的内在联系。
2.一次函数图像的绘制与理解。
3.一次方程的解法及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨，理解一次函数与一次方程的联系，提高解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和实际问题。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入一次函数和一次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）呈现一次函数和一次方程的定义和性质，引导学生理解一次函数与一次方程的内在联系。
3.操练（20分钟）通过PPT课件和练习题，让学生动手操作，加深对一次函数和一次方程的理解。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生解决实际问题，巩固一次函数和一次方程的知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和一次方程在实际生活中的应用，提高学生的解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调一次函数与一次方程的联系。
7.家庭作业（5分钟）布置一道实际问题，让学生回家解决，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要知识点和公式，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间：导入5分钟，呈现15分钟，操练20分钟，巩固10分钟，拓展10分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
新课标湘教版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第四章 一次函数 4.5 第3课时 一次函数与一次方程的联系
第3课时 一次函数与一次方程的联系【学习目标】1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；2.会利用函数图象解二元一次方程组；3.通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性.【课前预习】知识回顾：1.已知2x －y=1，用含x 的代数式表示y ，则y= .2.方程 2x －y=1的解有 个.3.{1x 1y ==是方程2x －y=1的一个解吗？4.（1，1）是否是直线y=2x －1上的一个点？想一想：综合以上几个问题，你能得到哪些启示？通过上述问题的讨论，你认为一次函数与二元一次方程有何关系？学习任务一：阅读课本观察与思考完成下列问题：1.3x-2y=5对应的一次函数（以x 为自变量）是 .2.直线y=－23x-25上任取一点（x ，y ）则（x ，y ）一定是方程3x-2y=5的解吗？为什么？ 3.在同一直角坐标系中画出直线y =-2x +1与y=23x-25的图象，并思考： （1）它们有交点吗？（2）交点的坐标与方程组{1y x 252y -x 3=+=的解有何关系？（3）当自变量x 取何值时，函数y =-2x +1与y=23x-25的值相等？这时的函数值是多少？ 学习任务二：尝试完成150页课后练习题1、2、3.【课中探究】一、通过预习，完成下列小题.1.求直线 y=3x+9 与直线 y=2x-7 的交点坐标 .你有哪些方法？2.已知直线 y=2x 十与直线 y=x-2 的交点横坐标2, 求的值和交点纵坐标 .3.以方程的解为坐标的所有点都在一次函数y =_____的图象上.4.方程组 {1y x 1y -x =+= 的解是________,由此可知,一次函数1y x =-+与1y x =-的图象必有一个交点,且交点坐标是________. 典型例题谈一谈:本节课你学得了哪些知识与方法？。
湘教版八下数学4.5第3课时一次函数与一次方程的联系说课稿
湘教版八下数学4.5第3课时一次函数与一次方程的联系说课稿一. 教材分析湘教版八下数学4.5第3课时一次函数与一次方程的联系，这一节内容是学生在学习了初中数学基础知识之后，进一步深入研究一次函数与一次方程之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解一次函数与一次方程的联系，掌握一次函数的图像与一次方程的解之间的关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了初中数学的基本知识，对一次函数和一次方程有一定的了解。
但是，学生对一次函数与一次方程之间的联系可能还不是很清楚，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一次函数与一次方程的联系，掌握一次函数的图像与一次方程的解之间的关系。
2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与一次方程的联系，一次函数的图像与一次方程的解之间的关系。
2.教学难点：一次函数与一次方程在实际问题中的应用。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探究，提高学生解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解一次函数与一次方程的联系。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出一次函数与一次方程的联系，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：学生自主探究一次函数与一次方程的联系，理解一次函数的图像与一次方程的解之间的关系。
3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的探究成果，互相学习，共同提高。
4.教师讲解：教师对学生的探究成果进行点评，讲解一次函数与一次方程的联系，引导学生深入理解。
5.巩固练习：学生进行课堂练习，巩固所学知识，提高解题能力。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，帮助学生形成知识体系。
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一次函数的应用
一次函数与一次方程的联系
动脑筋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一次函数y = 5 - x的图象如图所示.
（1） 方程x + y = 5 的解有多少个？ 写出其中的几个. （2） 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点， 它们在一次函数y = 5 - x的图象上吗？
（3） 在一次函数y = 5 - x的图象上任取一点，它的 坐标满足方程x + y = 5吗？ （4） 以方程x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的 图象与一次函数y = 5 - x的图象相同吗？
答：x= -3.
3. 利用函数图象， 解方程3x - 9 = 0. 解 画出函数y = 3x + 9的图象，如下图所示，
y 9 6 3 -3
O
-3
3
6
9 x
直线 y = 3x + 9与 x轴交于点（3，0）， 所以方程3x - 9 = 0 的解为x= 3.
小结与复习
1. 举例说明什么是函数，指出其中的自变量和因变量. 2. 函数有哪些表示方法？ 它们各有什么特点？ 3. 什么是一次函数？什么是正比例函数？它们之间有 什么关系？
我们知道二元一次方程x + y = 5的解有无数组， 以这些解为坐标的点在一次函数y = 5 - x的图象上. 将方程x + y = 5化成一次函数的形式：y = 5 - x ， 易知该一次函数的图象上任意一点的坐标也满足 方程x + y = 5. 事实上， 以二元一次方程x + y = 5的解为坐标 的点所组成的图形与一次函数y = 5 - x的图象完全相同.
（1） 方程3x - 6 = 0的解为x = 2.
（2） 画出函数y = 3x - 6的图象（如图），
从图中可以看出，一次函数y = 3x - 6的图象与 x 轴交于点（2，0）， 这就是当y = 0 时，得x = 2， 而x = 2正是方程3x - 6 = 0的解.
一般地，一次函数y = kx + b （k≠0） 的图象 与x 轴的交点的横坐标是一元一次方程kx + b = 0的解. 任何一个一元一次方程kx + b = 0 的解， 就是一次 函数y = kx + b 的图象与x 轴交点的横坐标.
一般地， 一次函数y = kx + b 图象上任意一点 的坐标都是二元一次方程kx-y + b = 0 的一个解，
以二元一次方程kx- y + b = 0的解为坐标的点都在
一次函数y = kx + b的图象上.
动脑筋
你能找到下面两个问题之间的联系吗？
（1） 解方程： 3x - 6 = 0. （2） 已知一次函数y = 3x - 6，问x取何值时，y = 0？
4. 正比例函数y = kx 的图象与一次函数y = kx + b（k≠0）
的图象有何关系？它们各具有什么性质？
5. 举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式. 6. 一次函数与二元一次方程有何关系？
图象法 变量 函数的表示法 列表法 公式法 函数
一次函数的图象 一次函数
一次函数的应用
用待定系数法确定 一次函数表达式
上面这两种解法分别从“数” 与“形” 的角 度出发来解决问题.
练习
1. 把下列二元一次方程改写成y = kx + b的形式. （1） 3x + y = 7； 解 （2） 3x + 4y = 13.
（1） y = -3x+ 7；
3 13 （2） y = x . 4 4
2. 已知函数y = 3x + 9，自变量满足什么条件时，y = 0？
例 题
已知一次函数y = 2x + 6， 求这个函数的图象 与x轴交点的横坐标.
解法一 （1） 令y = 0， 解方程2x + 6 = 0， 得x = -3. 所以一次函数y = 2x + 6的图象与x轴交点 的横坐标为-3.
解法二
画出函数y = 2x + 6的图象（如图），
直线y = 2x + 6与x 轴交于点（-3，0）， 所以该图象与x轴交点的横坐标为-3.
1. 在本章学习中，我们经历了从具体情境中抽象出数学 问题，用函数表达式表示问题中的数量关系，进而得 到函数模型这一过程，注意体会函数是刻画现实世界 数量关系的有效模型.
2. 研究函数问题时，通过函数图象可以数形结合地研究 函数，有助于我们更全面地掌握函数的特征. 3. 在研究函数问题时，要关注函数自变量的取值范围. 函数表达式本身以及实际问题中自变量代表的意义对 自变量有限制.