理论力学 第十章 动量定理

第十章 动量定理
[思考题] 如图所示，轮Ⅱ由系杆 O1O2 带动在固定轮 I 上无滑动滚动，两轮半径分别为R1、R2。若系杆和轮Ⅱ
的质量均为m，且系杆的角速度为ω 。
轮Ⅱ动量的大小？ 方向？
系统动量的大小？ 方向？
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第十章 动量定理
§10-3 质心运动定理
一、质心（质量中心）
——表征质点系质量分布状况的一个重要概念。
p = mAv A + mBvB = mv A + mvB
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第十章 动量定理
p = mvA + mvB
y vA
建立图示Oxy坐标系，则
A
yA = 2lsinϕ
xB = 2lcosϕ
ωC
vA = y&A = 2lϕ&cos ϕ = 2lωcos ϕ vB = x&B = −2lϕ&sin ϕ = −2lωsin ϕ O ϕ
Oω
vC
vC
ω
C
C
C
(a)
(b)
(c)
解：(a) 长为 l、质量m的均质细杆，角速度为ω 。
则其动量为
p=
mvC
= m⋅ l ω
2
=
ml ω
2
方向与质心速度方向相同。
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第十章 动量定理
Oω
vC
vC
C
C
vC = 0
ω
C
(a)
(b)
(c)
(b) 质量为m的均质滚轮，质心的速度为vC 。
p = mvC
积分形式
t2
∫ m v 2 − m v1 = F d t = I
t1
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第十章 动量定理
积分形式
t2
∫ m v 2 − m v1 = F d t = I t1
d (mv) = F dt
在某一时间间隔内，动量变化等于力在该时间内的冲量。
投影形式
d dt
( mv
x)
=
Fx
d dt
( mv
y)
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第十章 动量定理
[例10-2] 椭圆规机构
vA
已知：OC＝AC＝CB＝l；滑块 A A和B的质量均为m，曲柄OC和
连杆AB的质量忽略不计；曲柄
以等角速度ω绕O轴旋转；图示
ωC
位置时，角度 ϕ 为任意值。
Oϕ
求：图示位置时系统的总动量。
vB
B
解：将滑块A和B看作两个质点，则整个系统即为两个 质点组成的质点系。
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第十章 动量定理
§10-1 动量与冲量
一、动量
1.质点的动量 ——质点的质量与速度的乘积 mv。
z 瞬时矢量；
z 方向与 v 相同；
z 单位：kg⋅m/s 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例如：枪弹：质量小，但速度大，动量可以很大；
船：速度小，但质量大，动量可以很大。
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第十章 动量定理
∴v
=
m M+
m
vr x
∴S
=
m M+
m
Sr x
解题步骤：
= m (a − b) M +m
1. 选取研究对象； 2. 进行受力分析，画出受力图； （只需考虑外力） 3. 进行运动分析； （所有运动量均为绝对量）
4. 应用质点系动量定理（守恒定律）建立方程， 求解未知量。
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第十章 动量定理
[例10-4] 斜向抛一物体，在最高点炸裂成两块，一块沿 原轨道返回抛射点，另一块落地点水平距离则是未炸裂 时应有水平距离的两倍。求物体炸裂后两块质量之比。
这些定理以简明的数学形式， 建立了两种量之间 的关系，一种是与运动特征相关的量（ 动量、动量矩、 动能等），另一种是与力相关的量（ 冲量、力矩、功 等） ，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。 在一定条件下，用它们来解答动力学问题非常方便简捷 。
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第十章 动量定理
第十章 动量定理
§10–1 动量与冲量 §10–2 动量定理 §10–3 质心运动定理
二、质心运动定理
∑ 质点系的动量定理： d p = dt
F (e) i
将 p = m v C 代入，并当质点系质量不变时，有
∑ m aC =
F (e) i
或
——质心运动定理
∑ m &r&C =
F (e) i
即：质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质
点系所有外力的矢量和（外力系的主矢）。
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第十章 动量定理
方向与质心速度方向相同，水平向右。
(c) 质量为m的均质轮，绕中心转动，角速度为ω 。
p = mvC = 0
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第十章 动量定理
3.刚体系统的动量
设第i个刚体 M i , vCi ，则整个系统的动量：
∑ p = M ivCi
∑ ∑ px = M vi Cix = M i x&Ci ∑ ∑ py = M vi Ciy = M i y&Ci ∑ ∑ pz = M ivCiz = M i z&Ci
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第十章 动量定理
质点系的动量守恒形式
∑ d p =
dt
F (e) i
若
∑ F (e) i
=
0
，则
p=
p0
=
常矢量；
∑ 若
F (e) ix
=0
，则
px
=
p0 x
=
常量。
——质点系动量守恒定律
注意：内力虽不能改变 整个质点系的动量，但 可以引起系统内各质点 动量的传递。
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第十章 动量定理
[例10-3] 质量为M 的大三角形柱体，放于光滑水平面 上，斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求小三角 形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。
vB
Bx
px = −2lmωsinϕ py = 2lmωcosϕ
p = −2lmωsinϕ i + 2lmωcos ϕ j
说明：也可以先确定系统的质心，并求出质心的速度，
然后再计算系统的总动量。 16
第十章 动量定理
思考：在上例中，若曲柄OC和连杆AB均为均质杆，且 质量分别为 m1 和 2m1，则系统的总动量又为多少？
讨论：
∑ maC =
F (e) i
1. 质心运动定理是矢量式，应用时应取投影形式。
直角坐标轴
自然轴
∑ maCx =
F (e) x
∑ maCy =
F (e) y
∑ maCz =
F (e) z
∑ m d vC = dt
Ft(e)
∑ m vC2 =
ρ
F (e) n
∑ 0 =
F (e) b
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第十章 动量定理
解：选整个系统为研究对象。
受力分析：如图所示
∑ F (e) x
=
0
运动分析：小三角块的绝对速度
va = v + vr
由质点系动量守恒定律，有 v px = p0x = 0
M (−v) + m(vr x − v) = 0
Mg mg vr
FN
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第十章 动量定理
M (−v) + m(vr x − v) = 0
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第十章 动量定理
2.质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和。
∑ p = mivi
= mvC
即：质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积。 它在直角坐标轴上的投影为
px = mvCx = mx&C py = mvCy = my&C pz = mvCz = mz&C
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第十章 动量定理
[例10-1] 试计算图示三种情形刚体的动量。
A
ωC Oϕ
B
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二、冲量
第十章 动量定理
冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应 的度量。 例如：推动车子时，较大的力作用较短的时间， 与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。
1. 力 F 是常矢量 I = F (t2 − t1)
2. 力 F 是变矢量 （包括大小和方向的变化）
元冲量： d I = F d t
)
=
dp dt
∑ d p =
dt
F (e) i
——质点系的动量定理
即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系 所有外力的矢量和（外力系的主矢）。
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第十章 动量定理
∑ 结论：只有外力才能改变质点系的动 d p =
量，内力不能改变整个质点系的动量。 d t
F (e) i
微分形式
∑ ∑ d p =
根据质心的运动轨迹及需要
vC
堆积土石块的位置，可以设计质
α
心的初始发射倾角和速率大小。
再根据爆炸力学原理设计钻
=
Fy
d dt
( mv
z)
=
Fz
t2
∫ mv2x − mv1x = Fx d t =I x
t1
t2
∫ mv2 y − mv1y = Fy d t =I y
t1
t2
∫ mv2z − mv1z = Fz d t =I z
t1
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第十章 动量定理
质点的动量守恒形式
d (mv) = F dt
若 F = 0 ，则 mv = 常矢量，质点作惯性运动； 若 Fx = 0 ，则 mvx = 常量，质点沿 x 轴的运动是
dt
F (e) ix
=
F (e) x
∑ ∑ d p y =
dt
F (e) iy
=
F (e) y
∑ ∑ d p z =
dt
F (e) iz
=
F (e) z
∑ p2 − p1 =
I (e) i
∑ p2x − p1x =
I
(e) x
∑ p2 y − p1y =
I (e) y
∑ p2z − p1z =
I
(e) z
∑∑ ∑ rC =
m i ri = mi
m i ri m
z
C
rC
mi
∑ xC =
mi xi m
x
O
ri
yC zC
zi xC xi y
∑ yC =
mi yi m
yi
z 质心在动力学中具有重要地位；
∑ zC =
mi zi m
z 质心与重心是两个不同的概念，
在均匀重力场中两者位置重合。
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第十章 动量定理
若不爆炸，则物块应落在 B0，爆炸后第一块落到B，第 二块落回O。因落下时间相同， v2 故水平距离应正比于水平速度。
v
v1
∴ v1 = 3v
v1 : v = A0B : A0B0 = 3 :1
v2 = v
(m1 + m2 )v = 3m1v − m2v
m1 = m2
由上例可解释炮筒的反座现象。
[思考] 在冰上拔河结果会如何？绳子拉力取决于什么？ 30
2. 与质点动力学基本方程的比较
质心运动定理：
∑ maC =
F (e) i
质点动力学基本方程：
ma = ∑ Fi
可见：假想把整个质点系的质量集中于质心，且作用于 质点系上的全部外力也都集中于质心，则质点系质心的 运动相当于一个质点的运动。
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第十章 动量定理
例如： 定向爆破
在尚无碎石落地前，所有土石块为一个质点系，其 质心运动与一抛射质点的运动一样，此质点的质量等于 质点系的全部质量，作用于此质点的力是质点系中各质 点重力的总和。
t2
冲量： I = ∫ F d t t1 18
第十章 动量定理
t2
I = ∫F dt
t1
t2
t2
∫ ∫ I x = Fx d t , I y = Fy d t ,
t1
t1
t2
∫ I z = Fz d t t1
3. 合力的冲量 ——等于各分力冲量的矢量和。
∑ F R =
Fi
t2
t2
t2
I = ∫ FR d t = ∫ ∑ Fi ⋅ d t = ∑ ∫ Fi d t = ∑ I i
第十章 动量定理
理 论 力 学(I)
第三部分 动 力 学
第十章 动量定理
2009年11月19日
1
第十章 动量定理
动力学普遍定理概述
z 质点动力学问题 —— 建立质点运动微分方程求解
z 质点系动力学问题 理论上：n个质点可列出3n个微分方程， 联立求解即可。 实际上：
1. 联立求解微分方程非常困难（尤其是积分问题） ； 2. 大量的问题中，不需要了解每个质点的运动情况，
t1
t1
t1
单位： N⋅s = kg⋅m/s2 ⋅s = kg⋅m/s 与动量单位相同。
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第十章 动量定理
§10-2 动量定理
一、质点的动量定理
d (mv) = F dt
——质点的动量定理
即：质点的动量对时间的一阶导数等于作用于质点的力。
微分形式
d( m v ) = F d t = d I
（动量的微分等于力的元冲量）
F (e) i
d
t
=
d
I (e) i
质点系动量的微分等于作用于质点系所有外力元冲 量的矢量和。
积分形式
∑ p 2 − p1 =
I (e) i
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于该段
时间内作用于质点系所有外力冲量的矢量和。
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第十章 动量定理
投影形式
∑ d p =
dt
F (e) i
∑ ∑ d p x =
惯性运动。
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——质点动量守恒定律
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第十章 动量定理
二、质点系的动量定理
对质点系内任一质点i
：
d dt
(mivi )
=
Fi
=
F (e) i
+
F (i) i
∑ ∑ ∑ 对整个质点系：
d dt
(mivi
)
=
F (e) i
+
F (i) i
∑ Q Fi(i) = 0
∑ ∑ d dt
(mivi
)
=
d dt
(mivi
解：选整个物体为研究对象。
设物体炸裂后两块质量分
v
别为m1和m2。
受力分析：爆炸力为内力 v2
v1
∑ Q
F (e) x
=
0
∴ px = p0x
运动分析： v2 = −v
由动量守恒定律，有
(m1 + m2 )v = m1v1 − m2v2 29
第十章 动量定理
(m1 + m2 )v = m1v1 − m2v2
仅需要研究质点系整体的运动情况。
2
第十章 动量定理
在太空中拔河，谁胜谁负？
3
第十章 动量定理
4
第十章 动量定理
5
第十章 动量定理
人造卫星的溜溜消旋
6
第十章 动量定理
从本章起，将要讲述求解动力学问题的其它方法。 首先要讨论的就是动力学普遍定理，它包括动量 定理、动量矩定理、动能定理以及由此推导出来的其 它一些定理。