2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第6篇4-2

第六篇 第4章 第二讲1．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝a2k (k ＝1,2，…，8)，则P (2<ξ≤4)等于 ( )A.316B.1685C.a 16D.1651 [答案] B[解析] 由条件a 2＋a 22＋…＋a 28＝1，∴a ＝256255，P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4) ＝a 23＋a 24＝1685. 2．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( ) A.5216 B.25216 C.31216 D.91216 [答案] D[解析] 解法1：P ＝C 13·⎝⎛⎭⎫161·⎝⎛⎭⎫562＋C 23·⎝⎛⎭⎫162·⎝⎛⎭⎫561＋C 33·⎝⎛⎭⎫163·⎝⎛⎭⎫560＝75216＋15216＋1216＝91216. 解法2：P ＝1－⎝⎛⎭⎫563＝91216.3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( )A ．[0.4,1]B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1) [答案] B[解析] ∵事件A 在一次试验中发生的概率为p ，∴由条件知C 14p (1－p )3≥C 24p 2(1－p )2， 解得p ≤0.4，故选B.4．口袋中有5只乒乓球，编号为1至5号，从袋中任取两只，若以ξ表示取到球中的最小号码，则P (ξ<3)等于 ( )A.910B.710C.310D.15[答案] B[解析]从1、2、3、4、5这5个号码中任取两个，其中最小号码不小于3的只有(3,4)、(3,5)、(4,5)等3种可能，即P (ξ≥3)＝310，故P (ξ<3)＝1－P (ξ≥3)＝1－310＝710.5．在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下第二次也摸出红球的概率为 ( )A.35B.25C.110D.59 [答案] D[解析] 第一次摸出红球后不放回，袋中还有9个球，红球5个，∴第二次摸到红球的概率为59.6．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为 ( )A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8 [答案] C[解析] E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (ξ＝1)＝C 112·⎝⎛⎭⎫12·⎝⎛⎭⎫1211＝3×2－10. 7．设随机变量ξ的分布列如下表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝ ( )A.0.2 C ．－0.2 D ．－0.4 [答案] C[解析] 由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8①又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3② 由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5，∴a －b ＝－0.2，故应选C.8．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为 ( )A.13 B.14 C.16D.18[答案] A[解析] η＝4ξ－2⇒E (η)＝4E (ξ)－2⇒7＝4·E (ξ)－2⇒E (ξ)＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m＋n ＋112＝1，联立求解可得n ＝13，故选A.9．设ξ～N (0,1)，且P (ξ<1.623)＝p ，那么P (－1.623≤ξ≤0)的值是 ( ) A ．p B ．－p C ．p －0.5 D ．0.5－p [答案] C[解析] ∵P (ξ≥1.623)＝1－p ，∴P (－1.623≤ξ≤0)＝12[1－2P (ξ≥1.623)]＝12[1－2(1－p )]＝p －0.5.10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝－1的概率为 ( )A ．C 47⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235B ．C 37⎝⎛⎭⎫233·⎝⎛⎭⎫134 C ．C 47⎝⎛⎭⎫134·⎝⎛⎭⎫233 D ．C 37⎝⎛⎭⎫133·⎝⎛⎭⎫234 [答案] D[解析] 有放回地每次摸取一个球，摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，这是一个独立重复试验．S 7＝－1，说明共摸7次，摸到白球比摸到红球少1次，即摸到白球3次，摸到红球4次，所以S 7＝－1的概率为C 37⎝⎛⎭⎫133·⎝⎛⎭⎫234.二、填空题11．如果ξ～B (20，p )，当p ＝12且p (ξ＝k )取得最大值时，k ＝________.[答案] 10[解析] 当p ＝12时，p (ξ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝⎝⎛⎭⎫1220·C k 20，显然当k ＝10时，p (ξ＝k )取得最大值． 12．已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球．从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，取球次数X 的均值为________．[答案] 145[解析] 依题意，X 的可能取值为2、3、4，P (X ＝2)＝A 24A 26＝25；P (X ＝3)＝(C 12C 14A 22)C 13A 36＝25； P (X ＝4)＝(C 22C 14A 33)C 13A 46＝15，∴E (X )＝2×25＋3×25＋4×15＝145.13．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________.[答案] 23[解析] ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×49＋1×49＋2×19＝23.14．将一枚硬币抛掷6次，设ξ表示正面向上与反面向上的次数之差，则ξ的所有可能的取值为________[答案] 6、4、2[解析] 2、－4、－6.当ξ＝6时，6次正面向上，P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎫126＝164； 当ξ＝4时，5次正面向上，1次反面向上，P (ξ＝4)＝C 56⎝⎛⎭⎫126＝332； 当ξ＝2时，4次正面向上，2次反面向上，P (ξ＝2)＝C 46⎝⎛⎭⎫126＝1564； 当ξ＝0时，3次正面向上，3次反面向上，P (ξ＝0)＝C 36⎝⎛⎭⎫126＝516.由对称性可知P (ξ＝－2)＝P (ξ＝2)，P (ξ＝－4)＝P (ξ＝4)，P (ξ＝－6)＝P (ξ＝6)． 分布列为三、解答题 15．(09·福建)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个． (1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10.求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)． [解析] (1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A .基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31；事件A 包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}； 事件A 包含的基本事件数m ＝3.∴P (A )＝m n ＝331.(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.又P (ξ＝1)＝C 1531＝531，P (ξ＝2)＝C 2531＝1031，P (ξ＝3)＝C 3531＝1031，P (ξ＝4)＝C 4531＝531，P (ξ＝5)＝C 5531＝131，故ξ的分布列为：从而E (ξ)＝1×531＋2×1031＋3×1031＋4×531＋5×131＝8031. 16．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解析] (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C 28＝8×72＝28，这2个产品都是次品的事件数为C 23＝3.∴这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝23，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，∴P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝514×23＋1528×59＋328×49＝712.17．某校高二(1)班的一个研究性学习小组的网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功率为13，该学习小组又分成两个小组进行验证性实验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子)，求他们的实验至少有3次成功的概率．(2)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子)，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下去，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过4次，求第二个小组所做的种子发芽的实验次数ξ的概率分布和期望．[解析] (1)这5次实验是独立的，则至少有3次成功的概率是P ＝C 35(13)3(23)2＋C 45(13)4(23)1＋C 55(13)5＝1781. (2)ξ的分布列为：E (ξ)＝1×13＋2×29＋427×3＋827×4＝6527.18．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相对独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．[解析] 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.6，P (B )＝0.75.(1)解法1：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P 1＝P (A ·B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1.所以该人参加过培训的概率是 P 2＝1－0.1＝0.9.解法2：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是P 3＝P (A ·B －)＋P (A －·B )＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45. 该人参加过两项培训的概率是 P 4＝P (A ·B )＝0.6×0.75＝0.45. 所以该人参加过培训的概率是 P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B (3,0.9)，P (ξ＝k )＝C k 3×0.9k ×0.13－k，k ＝0、1、2、3， 即ξξ。