函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念

用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3.

法一法二

函数y＝A sin(ω＋φ)＋b图象画法

例1](1)已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

①求f(x)的解析式；

②用五点法作f(x)在一个周期内的图象；

③由y＝sin x经过怎样的变换可得到f(x)的图象？

练习

1．若本例(1)条件不变，作出f (x )在x ∈0，π]内的图象．

2．将本例(2)变为：由y ＝sin 2x 如何变换得到y ＝sin x －3cos x 的图象．

由三角函数图象求解析式

例3] (1)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )

A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6

B ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝3π

4 C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4 D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π

6

(2)(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )

A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6

B ．y ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π3

C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π6

D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π3

·典例

1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，且|φ|＜π

2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π

12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π12，7π12 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π12，5π12 2．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则该函数的解析式为________．

3. (2017·山东枣庄质检)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛

⎭⎪

⎫ωx －π6－2cos 2ωx

2，x ∈R (其中ω＞0)． (1)求函数f (x )的值域；

(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π

2，求函数f (x )的单调递增区间．

高考真题体验]

1．(2016·高考全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2－x 的最大值为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

2．(2015·高考课标卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )

A.⎝ ⎛

⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1

4，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 3．(2016·高考四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的

图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π

3个单位长度 B ．向右平行移动π

3个单位长度 C ．向上平行移动π

3个单位长度 D ．向下平行移动π

3个单位长度

4．(2016·高考浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )

5．(2016·高考北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4，t 向左平移s (s ＞0)

个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π

6 B ．t ＝32，s 的最小值为π

6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π

3

6．(2016·高考全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．

课后巩固训练

1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )

A ．向左平移π

12个单位 B ．向右平移π

12个单位 C ．向左平移π

3

个单位

D ．向右平移π

3

个单位

2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6等于( )

A ．2或0

B ．－2或2

C ．0

D ．－2或0

3．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π

12对称的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2＋π3

B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 2－π3

C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π3 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π3 4．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π6，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )

的图象，则函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π

12

B ．x ＝π

4