函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈0，＋∞)表示一个振动量时

振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x
－φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω

2π－φ

ω

ωx＋φ
0

π2 π 3π

2
2π

y＝Asin
(ωx＋φ)
0 A 0 －A 0

3.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
法一 法二

函数y＝Asin(ω＋φ)＋b图象画法
例1] (1)已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
①求f(x)的解析式；
②用五点法作f(x)在一个周期内的图象；
③由y＝sin x经过怎样的变换可得到f(x)的图象？
练习
1．若本例(1)条件不变，作出f(x)在x∈0，π]内的图象．

2．将本例(2)变为：由y＝sin 2x如何变换得到y＝sin x－3cos x的图象．
由三角函数图象求解析式
例3] (1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振
幅、周期、初相各是( )

A．A＝3，T＝4π3，φ＝－π6 B．A＝1，T＝4π3，φ＝3π4
C．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4 D．A＝1，T＝4π3，φ＝－π6
(2)(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin2x－π6
B．y＝2sin2x－π3
C．y＝2sinx＋π6
D．y＝2sinx＋π3
·典例
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，且|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)
的一个单调递增区间是( )

A.－7π12，5π12 B.－7π12，－π12
C.－π12，7π12 D.－π12，5π12
2．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则该函数的解
析式为________．

3. (2017·山东枣庄质检)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinωx＋π6＋sin




ωx－

π

6

－2cos2ωx2，x∈R(其中ω＞0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f(x)的
单调递增区间．
高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cosπ2－x的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
2．(2015·高考课标卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单
调递减区间为( )

A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z
B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z
C.k－14，k＋34，k∈Z
D.2k－14，2k＋34，k∈Z
3．(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sinx＋π3的图象，只需把函数y＝sin x的
图象上所有的点( )
A．向左平行移动π3个单位长度

B．向右平行移动π3个单位长度
C．向上平行移动π3个单位长度
D．向下平行移动π3个单位长度
4．(2016·高考浙江卷)函数y＝sin x2的图象是( )
5．(2016·高考北京卷)将函数y＝sin2x－π3图象上的点Pπ4，t向左平移s(s＞0)
个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )
A．t＝12，s的最小值为π6

B．t＝32，s的最小值为π6
C．t＝12，s的最小值为π3
D．t＝32，s的最小值为π3
6．(2016·高考全国丙卷)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象
至少向右平移________个单位长度得到．
课后巩固训练

1．要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移π12个单位 B．向右平移π12个单位
C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位
2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6等于( )
A．2或0 B．－2或2
C．0 D．－2或0

3．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π12对称的是( )

A．y＝sinx2＋π3 B．y＝sinx2－π3
C．y＝sin2x－π3 D．y＝sin2x＋π3
4．已知f(x)＝2sin2x＋π6，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)
的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝π12 B．x＝π4
C．x＝π3 D．x＝π2
5．为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移5π12个单位长度 B．向右平移5π12个单位长度
C．向左平移5π6个单位长度 D．向右平移5π6个单位长度
6．函数y＝32sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．

7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(2)＝________.
8．已知f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)，fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，
无最大值，则ω＝________.
9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π2 π 3π

2

x π3 5π6 2π
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5
0

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图

象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值．

10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f5π6＋θ＝－125，且0＜θ＜π3，求fθ－π3的值．

能力突破
1．若函数f(x)＝sin ωx－3cos ωx，ω＞0，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－

x2|的最小值为3π2，则ω的值为( )

A.13 B.23
C.43 D．2
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则φ
＝( )

A．－π6 B.π6
C．－π3 D.π3
3．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图
象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则φ＝( )
A.5π12 B.π3
C.π4 D.π6
4．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝
sin2x＋π3的图象重合，则φ＝________.
5．已知函数f(x)＝sin xcos xsin φ＋cos2xcos φ＋12cos()π＋φ(0＜φ＜π)，其图象过
点π3，14.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上各点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求

函数g(x)在－π4，2π3上的单调递增区间．