专题3--变量与函数
变量与函数资料课件
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函数在数学中的应用
01
02
03
代数函数
用于解决代数问题，如求 根、解方程等。
三角函数
用于研究三角形、圆和其 他几何形状的性质。
微积分函数
用于研究函数的极限、连 续性、可导性和积分等概 念。
函数在物理中的应用
力学函数
描述物体运动和力的关系 ，如速度、加速度和位移 等。
热力学函数
描述热现象中的状态和过 程，如温度、压力和熵等 。
二次函数
总结词：判别式
详细描述：判别式 Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次函数的根的性质。当 Δ > 0 时 ，函数有两个不相等的实根；当 Δ = 0 时，有两个相等的实根；当 Δ < 0 时， 函数有两个复数根。
三角函数
总结词：周期性
详细描述：三角函数（如正弦、余弦、正切等）具有周期性，这意味着它们的值会重复出现。例如， 正弦函数的周期为 2π。
变量与函数资料课件
目录
• 变量与函数的基本概念 • 常见函数类型及其性质 • 函数的运算与变换 • 函数的实际应用 • 函数的极限与连续性 • 函数的导数与微分
01
变量与函数的基本概念
变量的定义与分类
总结词
变量的定义与分类
详细描述
变量是数学中表示数量或数值的符号，它可以表示一个具体的数值或者一个数 值的集合。根据变量的取值范围，可以将变量分为离散变量和连续变量。离散 变量只能取整数值，而连续变量可以取任意实数值。
将两个函数相乘，得到一个新 的函数。
除法运算
将一个函数除以另一个函数， 得到一个新的函数。
函数的复合运算
复合函数的定义
数学变量与函数关系
数学变量与函数关系在数学中，变量和函数是两个重要的概念。
变量是一个可以改变的量，而函数则是用来描述变量之间关系的工具。
变量和函数之间的关系是数学中的核心内容之一，它们的研究和应用不仅在数学领域中有重要意义，也在其他学科中发挥着重要作用。
一、变量的概念与分类变量是数学中一个基本的概念，它表示一个可以改变的量。
在数学中，变量可以分为自变量和因变量。
自变量是一个独立的变量，它的取值不受其他变量的影响；而因变量则是一个依赖于其他变量的变量，它的取值由自变量决定。
例如，在一次数学实验中，我们可以将自变量设定为时间，而因变量则是实验结果。
通过改变时间的取值，我们可以观察到实验结果的变化。
这个过程中，时间是自变量，实验结果是因变量。
二、函数的概念与表示函数是数学中描述变量之间关系的工具。
它可以将自变量的取值映射到因变量的取值。
函数通常用符号表示，例如f(x)或者y=f(x)。
其中，x是自变量，y是因变量，f是函数的名称。
函数可以用不同的方式表示，常见的表示方法有图表法、符号法和文字描述法。
图表法是通过绘制函数的图像来表示变量之间的关系。
符号法则是通过使用数学符号和公式来表示函数。
文字描述法则是通过使用自然语言来描述函数的性质和变化规律。
三、变量与函数的关系变量和函数之间存在着密切的关系。
变量是函数的构成要素之一，函数的定义中必然涉及到变量。
变量的取值不同，函数的取值也会有所不同。
例如，考虑一个简单的线性函数f(x) = 2x + 1。
在这个函数中，x是自变量，2x + 1是因变量。
当x取不同的值时，函数的取值也会有所不同。
当x为0时，函数的取值为1；当x为1时，函数的取值为3；当x为2时，函数的取值为5，依此类推。
这个例子说明了变量和函数之间的关系，即变量的取值决定了函数的取值。
四、变量与函数的应用变量和函数的研究和应用在数学中有着广泛的应用。
它们不仅在代数、几何等数学学科中发挥着重要作用，也在物理、经济等其他学科中得到了广泛的应用。
变量与函数教材解析
变量与函数教材解析
变量与函数是计算机科学和数学中的基本概念。
以下是对这两个概念在教材中的解析：
1.变量：
o在计算机科学中，变量是用来存储和表示数据的容器。
它们可以存储各种类型的数据，如数字、文本、布尔值
等。
变量可以通过赋值操作来存储数据，并且可以在程
序中被多次引用和修改。
o在数学中，变量是用来表示未知数或可变的数值。
它们可以表示各种数学问题中的参数或未知量，并用字母或
符号来表示。
变量在数学中常常用于建立方程、解方程
和表示数学关系。
2.函数：
o在计算机科学中，函数是一段封装了特定功能的代码块。
它接收输入参数（也称为参数或实参），通过执行一
系列操作或算法，产生输出结果。
函数可以在程序中被
多次调用和重复使用，提高代码的可重用性和模块化。
o在数学中，函数是一个映射关系，将一个集合的元素（输入）映射到另一个集合的元素（输出）。
函数用符号
表示，并以输入变量的值来确定输出变量的值。
函数可
以描述数学关系、图形变换、物理规律等，是数学中的
基本概念之一。
在教材中，变量和函数通常被介绍为基本的编程和数学概念。
学生通过理解和掌握这些概念，可以进行数据存储、处理和计算，以及建立数学模型和解决问题。
教材会涵盖变量和函数的定义、用法、语法规则以及实际应用案例，以帮助学生建立对这些概念的深入理解和应用能力。
变量与函数大一高数知识点
变量与函数大一高数知识点高等数学是大一大二学生必修的一门基础课程，其中包括了许多重要的知识点。
其中，变量与函数是高等数学中最为基础和重要的概念之一。
一、变量变量是数学中使用的一种概念，它可以表示不同数值的符号或字母。
在数学中，我们常常用字母来表示变量，如x、y、z等等。
变量可以代表任意数的集合，也可以代表某一个具体的数值。
在数学中，我们通常用变量来表示未知数，通过解方程等方法来求解变量的数值。
变量在实际问题中也很常见，我们可以通过设定变量来描述实际问题的各种情况，从而得到数学模型并解决问题。
二、函数函数是数学中另一个重要的概念。
函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合（因变量）。
函数常用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。
函数包含了定义域、值域和对应关系三个重要的概念。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系是自变量和因变量之间的映射关系。
函数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种数学模型，如直线方程、曲线方程等等。
通过函数的性质和图像，我们可以研究函数的增减性、极值、导数等，从而了解函数的行为和特点。
函数可以用来解决各种实际问题，如经济学中的生产函数、物理学中的运动方程等等。
因此，对于函数的理解和掌握是我们学习高等数学的基础。
三、变量与函数的关系变量与函数之间有着密切的关系。
在函数中，自变量常常是一个或多个变量，而函数则是对自变量的一种规定或设定。
变量作为函数中的自变量，它的取值范围和变化规律会影响到函数的性质和行为。
因此，变量的取值是函数研究中一个非常重要的问题。
在实际问题中，我们可以通过设定变量来描述问题的各种情况，从而建立函数模型。
通过分析自变量的取值范围和变化规律，我们可以研究函数的图像、性质和规律。
例如，我们可以用变量来表示一个物体的位置，然后建立位置和时间的函数关系，通过分析函数曲线的形状和变化趋势，我们可以了解物体的运动规律和特点。
变量与函数课件
变量与函数课件变量与函数课件在计算机科学领域中，变量和函数是两个基本概念，它们在编程语言中起着重要的作用。
变量用于存储数据，而函数则用于执行特定的任务。
本文将探讨变量和函数的概念、用法以及它们在实际编程中的应用。
一、变量的概念与用法变量是计算机程序中存储数据的一种方式。
它们可以存储各种类型的数据，如整数、浮点数、字符串等。
在编程中，我们可以通过给变量赋值来存储数据，并在后续的代码中使用这些数据。
例如，在Python编程语言中，我们可以通过以下方式定义一个整数变量：num = 10在这个例子中，我们定义了一个名为"num"的变量，并将其赋值为10。
现在，我们可以在后续的代码中使用这个变量来进行计算或输出。
除了整数，变量还可以存储其他类型的数据。
例如，我们可以定义一个字符串变量：name = "John"在这个例子中，我们定义了一个名为"name"的变量，并将其赋值为"John"。
现在，我们可以在后续的代码中使用这个变量来进行字符串操作。
变量不仅可以存储数据，还可以进行一些基本的操作，比如加法、减法、乘法和除法。
例如，我们可以定义两个整数变量并进行加法操作：num1 = 5num2 = 3sum = num1 + num2在这个例子中，我们定义了两个整数变量"num1"和"num2"，并将它们的和赋值给"sum"变量。
现在，"sum"变量的值为8，我们可以在后续的代码中使用它。
二、函数的概念与用法函数是一段可重用的代码块，用于执行特定的任务。
它们接受输入参数，并返回输出结果。
在编程中，函数可以帮助我们组织代码，并提高代码的重用性和可读性。
在许多编程语言中，函数的定义通常包括函数名、参数列表和函数体。
例如，在Python中，我们可以定义一个简单的函数来计算两个数的和：def add(num1, num2):sum = num1 + num2return sum在这个例子中，我们定义了一个名为"add"的函数，它接受两个参数"num1"和"num2"。
八年级数学变量与函数
目 录
• 变量与函数的定义 • 函数的表示方法 • 函数的性质 • 一次函数 • 二次函数 • 反比例函数
01 变量与函数的定义
变量的概念
变量是可以取不同值 的量，通常用字母表 示，如x、y等。
变量的值可以是确定 的，也可以是不确定 的，取决于具体的情 境和问题。
在数学中，变量可以 表示数量、距离、角 度等可以变化的量。
02
03
变量可以独立存在，而函 数则必须依赖于自变量和 因变量的对应关系。
函数可以用来描述和解 决实际问题，如计算成 本、预测未来等。
04
理解和掌握变量的概念 和函数的关系是解决数 学问题的基础。
02 函数的表示方法
解析式表示法
01
解析式表示法是通过数学公式来 表示函数关系的一种方法。它能 够精确地表达函数的变化规律， 适用于已知函数关系的情况。
一次函数可以用于解决实际问 题，如预测、优化、决策等问 题。
一次函数也是学习其他更复杂 函数的基础，如二次函数、指 数函数等。
05 二次函数
二次函数的定义
二次函数的一般形式为 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、 $b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
二次函数的定义域为全体实数， 即$x in R$。
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图象表示法是通过绘制函数图像来展示函数关系的一种方法。它适用于需要直观 地了解函数变化趋势和规律的情况。
图象表示法具有形象、直观的特点，能够清晰地展示函数的变化趋势和规律，有 助于理解函数的性质和特点。
03 函数的性质
单调性
单调递增
函数值随着自变量的增加而增加。
数学中的变量与函数关系
数学中的变量与函数关系在数学中，变量和函数是两个重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
变量是指在数学问题中可以改变的数值，而函数则是将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。
本文将探讨变量与函数之间的关系，并介绍在数学中常见的变量与函数的应用。
一、变量的概念与特点变量是数学中常见的概念，它表示可以改变的数值。
在数学问题中，我们经常需要考虑各种不同的情况，而这些情况中的数值就可以用变量来表示。
例如，我们可以用字母x表示一个未知的数值，这样就可以通过改变x的值来研究不同的数学关系。
变量的特点主要有以下几个方面：1. 可变性：变量的值可以根据需要进行改变，从而反映不同的情况或条件。
2. 未知性：变量通常代表一个未知的数值，我们需要通过运算或实验来确定其具体的取值。
3. 表示方式：变量通常用字母表示，如x、y、z等，但也可以使用其他符号或字母组合。
二、函数的定义与表示方式函数是一种将一个或多个变量映射到另一个变量的规则。
它描述了输入和输出之间的关系，并可以用数学方式来表示。
通常，一个函数由以下几个要素组成：1. 自变量：函数的自变量是指输入的变量，也就是函数的参数。
它可以是一个或多个变量。
2. 因变量：函数的因变量是指函数的输出，也就是函数的值。
它通常用f(x)来表示，其中f表示函数的名称，x表示自变量。
3. 函数表达式：函数表达式是用来描述函数的数学式子，它由自变量和因变量之间的关系构成。
例如，f(x) = 2x表示一个线性函数，表示自变量x经过乘以2的运算后得到因变量f(x)。
函数可以用不同的表示方式来进行表达，常见的有以下几种形式：1. 显式表达式：函数表达式中直接给出了因变量与自变量之间的关系，如f(x)= 2x。
2. 隐式表达式：函数表达式中未直接给出因变量与自变量之间的关系，而是通过方程或不等式来描述，如x^2 + y^2 = 1表示一个圆的方程。
3. 参数方程：函数表达式中通过参数来描述因变量与自变量之间的关系，如x= cos(t), y = sin(t)表示一个单位圆的参数方程。
变量与函数知识点总结
变量与函数知识点总结在计算机编程领域中，变量和函数是两个十分基础且重要的概念。
本文将对变量与函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、变量变量是一种存储数据的容器。
在编程中，我们可以通过定义变量来存储各种类型的数据，如整数、浮点数、字符等。
以下是变量的相关知识点：1. 变量定义与命名变量的定义需要指定变量名和类型。
变量名是由字母、数字和下划线组成的字符串，不能以数字开头，且要遵循命名规范。
命名规范一般要求变量名具有描述性，能清晰表达变量的含义。
2. 变量的赋值与修改通过赋值操作，可以将某个值存储到变量中。
例如：int age = 25;这行代码将整数25赋值给名为age的变量。
变量的值可以随时修改，只需要通过赋值操作重新赋予新的值。
3. 变量的作用域变量的作用域指的是变量的可访问范围。
在不同的代码块中定义的变量拥有不同的作用域。
全局变量在整个程序中可见，而局部变量只在定义它们的代码块内可见。
4. 变量的数据类型常见的数据类型包括整型、浮点型、字符型等。
数据类型决定了变量能够存储的数据范围和操作方式。
不同编程语言可能支持的数据类型有所差异，需要根据具体语言的规范来选择适合的数据类型。
二、函数函数是一段可重复调用的代码块，用于完成特定的任务。
通过定义函数，可以提高代码的可读性和可维护性。
以下是关于函数的相关知识点：1. 函数的定义与调用函数定义包括函数名、参数列表和函数体。
函数名用于标识函数，参数列表指定函数接收的输入，函数体包含具体的代码实现。
函数的调用通过函数名和参数完成。
2. 函数的返回值函数通常可以返回一个结果，在函数体中使用return语句返回特定的值。
函数的返回类型需要在函数定义时指定。
3. 函数的参数传递函数可以接收多个参数，参数可以是不同的类型。
参数传递可以按值传递，也可以按引用传递。
按值传递是传递参数的副本，而按引用传递直接传递参数的地址。
4. 函数的递归递归是指函数可以直接或间接地调用自身。
变量与函数的概念
变量与函数的概念知识点一函数的概念1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．知识点二函数相等一般地，函数有三个要素：定义域，对应法则与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．特别提醒：两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.无穷大区间的表示：取遍数轴上所有的值3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号． ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．1．集合A ＝{}正方形可以作为某个函数的定义域．( ) 2．若1∈A ，则对于f ：A →B ，f (1)可能不存在．( )3．对于函数f ：A →B ，当x 1，x 2∈A 且x 1>x 2时，可能有f (x 1)＝f (x 2)．( ) 4．区间不可能是空集．( )类型一 函数关系的判断 例1 (1)给出下列四个图形：其中，能表示函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x； ④r ：把x 对应到x .跟踪训练1 (1)下列四个图象中，表示函数图象的序号是________．(2)下列给出的对应关系是不是函数关系？若是函数关系，其定义域是什么？ ①f ：把x 对应到x ＋1；②g ：把x 对应到1x 2＋1；③h ：把x 对应到常数1. 类型二 已知函数的解析式，求其定义域 例2 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ； (3)y ＝2x ＋3－12－x＋1x.跟踪训练2 函数f (x )＝xx －1的定义域为________．类型三 求函数的值域例3 求下列函数的值域．(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝2x －x －1.跟踪训练3 求下列函数的值域． (1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x21＋x 2.类型四 对于f (x )，f (a )的理解例4 (1)已知函数f (x )＝x ＋2，若f (a )＝4，则实数a ＝________. (2)已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)． ①求f (2)，g (2)的值； ②求f (g (2))的值； ③求f (a ＋1)，g (a －1)．跟踪训练4 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．(1)求f (0)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求f (1－x )及f (f (x ))．1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1} D ．{x |0≤x ≤1}3．函数y ＝1x ＋1的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35D ．－355．下列各组函数是同一函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③D ．②③课时对点练一、选择题1．下列各式中是函数的个数为( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )23．已知f (x )＝π(x ∈R)，则f (π2)的值是( ) A ．π2B ．π C.π D ．不确定4．已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．0或15．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16二、填空题7．函数y ＝x －2＋x ＋1的定义域为________．8．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 9．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是________． 10．已知f (2x ＋1)＝4x 2＋4x ＋3，则f (1)＝________. 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (a )； (2)若f (a )＝11，求a 的值．12．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)； (2)求f (－1)，f (12)的值．13．已知A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，求A ∩B .四、探究与拓展14．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3qD ．p 3＋q 215．已知函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018的值．。
变量与函数-知识讲解
变量与函数【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t ，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个【答案】C ；【解析】要判断是否函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2，y 和它对应，对于||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.xx y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数解析式3、求出下列函数的定义域.（1）．52+-=x x y （2）．423x y x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．2y x =+ 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义； （2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P 不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10， 所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4【答案】C ； 【解析】130610643y =⨯-=-=.【总结升华】把13x =代入关系式可求得函数值. 类型四、函数的图象6、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B ；。
变量与函数-PPT课件全文
1、下列关系中，y不是x函数的是（ D ）
A. y x B. y x2 C. y x D. y x
2
2、求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=x-3 （2） y 1 x （3） y 3 2 x
（4）
大千世界万物皆变
行星在宇宙中的位置随时间而变化; 人体细胞的个数随年龄而变化; 气温随海拔而变化; 汽车行驶里程随行驶时间而变化;
……
这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在。
大千世界处在不停的运动变化之 中，如何来研究这些运动变化并寻找 规律呢？
数学上常用变量与函数 来刻画各种运动变化。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自 变量x的值为a时y的函数值。
t
1 2 3 4 ……
S
60 120 180 240 ……
思考下列问题？
（1）y 2x 中的y是x的函数吗 是
（2）一天中的气温是时刻的函数吗？ 是
（3） y x 不是
判断是不是函数，我们可以看它的两个变量之间 是否满足函数的定义
例1求出下列函数中自变量的取值范围
（1）y=2x
（2）
y 3 x2
（3）m n 1 （4）y 3 x 1
（5） h 1 k
k 1
(7) y x 1 x 1
(6) y x2 1
确定函数自变量取值范围的条件：
（1）分母不等于0；【1a（a≠ 0】
（2）开偶数次方中的被开方数必须大
于等于0。【 a（a≥0】
（2）若教室座位共安排15排，座位总数
将达到多少个？
（1）m=25+n-1=n+24， p 25 24 n • n 1 n(n 49)
初中数学--变量与函数
14.1 变量与函数重要知识点讲解1、常量与变量在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，始终不变的量叫做_________。
2、函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说__________是自变量，y是x的__________。
3、在一个函数关系式中，如果当x a=，那么b叫做当自变量的值为a时的=时，y b____________。
4、自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意_______使实际问题有意义。
5、函数的图像（1）对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的_____与________，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的_______。
（2）描点法画函数图像的一般步骤是：①___________；②_____________；③__________；（3）当函数图像从左向右上升时，函数值随自变量的变大而_________；当图像从左向右下降时，函数值随自变量的变大而_________。
（4）函数的表示方法：共有_______种，分别是______法、______法、和______法。
答案：1、变量，常量；2、唯一，x，函数；3、函数值；4、自变量的取值；5、（1）横坐标，纵坐标，图像；（2）列表，描点，连线；（3）变大，变小；（4）3，图像，列表，解析式。
重要知识点讲解知识点一：变量和常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
详解：如在行程问题中，当速度v保持不变时，行走的路程s的长短随时间t的变化而变化，那么在这一过程中，v是常量，而s和t是变量。
当路程s是个定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，那么在这一过程中，s是常量，而v和t是变量。
注意：（1）变量和常量往往是相对的，对于不同的研究过程而言，其中的变量和常量是不、、三者之间；相同的，变量和常量的身份是可以相互转换的，如：s v t（2）区分常量与变量，就是看某个变化过程中，该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）；（3）在讨论常量和变量的关系时要考虑变量的实际意义，如：长度，天数，身高不能为负数，人数必须是非负整数等。
变量与函数关系说课课件
02 电磁学
在电磁学中，变量可以表示电荷、电流和电压等， 函数关系描述电磁场的变化规律。
03 热学
在热学中，变量可以表示温度、压力和体积等， 函数关系描述热力学系统的状态变化。
其他领域的应用
01
学习态度
学生对待学习的态度是否 认真，是否按时完成作业 和积极参与课外学习。
教师自评
教学目标达成度
课堂氛围营造
教师是否达到了预期的教学目标，学 生是否掌握了关键知识点。
教师是否营造了一个积极、互动的课 堂氛围，学生是否感受到学习的乐趣。
教学方法有效性
教师所采用的教学方法是否有效，能 否激发学生的学习兴趣和思考能力。
建议学生多做相关的练习题，加 深对概念的理解和掌握，提高解
题能力。
注重实际应用
提醒学生关注数学在实际问题中 的应用，培养自己的数学应用意
识和能力。
对未来的展望
深入学习函数理论
01
引导学生进一步深入学习函数的性质、定理和证明等方面的知
识。
拓展函数的应用领域
02
鼓励学生将函数应用到其他学科和实际问题中，提高自己的跨
案例教学法
总结词
通过具体案例帮助学生理解变量与函数关系
详细描述
选取具有代表性的实际案例，如气温变化与时间 的关系、股票价格波动等，引导学生分析案例中 的变量与函数关系，加深对概念的理解。
互动式教学法
总结词
增强学生参与度，促进师生互动
详细描述
采用小组讨论、角色扮演等形式，鼓励学生积极参与课堂互动，发表自己的见解，促进学生对 变量与函数关系的思考。
家长反馈
数学中的变量与函数
数学中的变量与函数数学是一门研究数量、结构、空间以及变化规律等概念的科学学科。
在数学中，变量与函数是两个重要的概念，它们在数学理论和实际应用中扮演着重要的角色。
一、变量变量是数学中的一个基本概念，它代表着一个未知的数值或者可以改变的数值。
在数学中，我们通常用字母来表示变量，如x，y，z等。
变量可以表示不同的数值，因此在求解问题时，可以方便地代入不同的数值进行计算和推导。
在代数中，变量用于表示未知数或者可变数，同时也可以用于表示在一个范围内可取不同数值的数。
变量可以与常数进行运算，例如加法、减法、乘法和除法等。
通过变量的使用，我们可以建立方程或者不等式来解决实际问题，从而求解出未知数的值或者确定一个范围内的数。
二、函数函数是数学中的另一个基本概念，它描述了变量之间的依赖关系。
函数由一个自变量和一个因变量组成，自变量是输入的变量，而因变量是根据自变量的取值确定的输出值。
通常来说，我们用f(x)表示函数，其中f是函数的名称，x是自变量。
函数可以通过一个或多个数学表达式来定义。
例如，线性函数可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数；指数函数可以表示为f(x) =a^x，其中a是底数。
函数可以用图像表示，通过绘制自变量和因变量的关系，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
函数在数学中有着广泛的应用。
它可以用来描述物理现象、经济关系、自然规律等各种实际问题。
通过建立函数模型，我们可以预测未来的趋势或者进行优化和决策。
函数还可以用于求解方程和不等式，通过函数的性质和图像，我们可以找到方程或者不等式的解集。
三、变量与函数的关系变量与函数密切相关，它们在数学中起着互相支撑的作用。
变量是函数的基础，函数的定义和性质是由变量决定的。
变量可以作为函数的自变量，通过输入不同的数值来得到相应的函数值。
反过来，函数可以用来表示变量之间的关系，通过函数的定义和性质，我们可以推导出变量的特定取值条件。
在实际问题中，我们常常需要通过变量和函数来描述和解决复杂的情况。
变量与函数的概念以及函数的三种表示方法
变量与函数的概念
变量和常量：
世界是变化的，客观事物中存在大量的变量。
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，称数值变化的量为变量。
函数：
在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，某些变量的变化会引起其他变量的变化。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说，x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a 时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
函数的三种表示方法
(1)列表法
①若自变量的取值范围为有限的几个数值，则将自变量的所有取值和对应的函数值填写在表格中；
②若自变量的取值范围为含无限数值的一个区间，则从自变量的取值范围中选取（有代
(2)解析式法
y=… (x的取值范围，若没有则默认x的取值范围为全体实数)
(3)图像法
函数的图像：
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。
描点法绘制函数图像：
①从x的取值范围中取出一些数值，并计算出y的对应值；
②在平面直角坐标系中描出点（x，y）；
③用平滑曲线连接这些点。
表示函数时，要根据情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用。
《变量与函数》课件
二、函数
1. 函数的定义
函数是一段可重复使用的代码，用于执行特定的任务。它可以接受参数并返回结果。
2. 函数的调用
我们可以通过调用函数来执行其中的代码，并传递参数给函数以获得所需的结果。
3. 函数的返回值
函数的返回值是函数执行完毕后返回给调用者的结果。我们可以通过获取函数的返回值来使 用它。
三、实例演示
《变量与函数》PPT课件
欢迎来到我们的《变量与函数》PPT课件。在本课程中，我们将一起探索变 量和函数的概念，学习它们在编程中的作用以及如何正确使用它们。让我们 开始吧！
一、变量
1. 变量的定义
什么是变量？变量是用于存储数据的容器，可 以在程序中赋过赋值语句，我们可以将值赋给变量并在程 序中使用这些值。
1
1. 变量实例
让我们通过一个实例了解如何定义、赋
2. 函数实例
2
值和使用变量，以及变量在程序中的作 用。
现在，我们将展示一个函数的实例，演
示如何定义函数、调用函数，并解释函
数返回值的概念。
四、总结
1. 变量和函数的区别
变量和函数在编程中有不同的角色和用途，理解它们之间的区别对于编写高效的代码至关重 要。
2. 变量和函数的应用
掌握变量和函数的概念和使用方法后，我们可以将它们应用于解决实际问题和开发创新的程 序。
3. 其他相关知识
除了变量和函数的基本概念外，我们还会介绍全局变量和局部变量、函数的递归调用，以及 在不同编程语言中的差异。
变量与函数的定义及应用
变量与函数的定义及应用变量和函数是编程语言中最基本的概念之一，在编写代码时经常需要使用它们。
本文将介绍变量和函数的定义、用途和应用。
1. 变量的定义和应用变量是用来存储数据的容器，编写程序时必须首先定义变量，然后才能在程序中使用它们。
通常在定义变量时需要为其指定名称和数据类型。
（1）变量的定义在大多数编程语言中，变量的定义语句通常包含变量类型和名称。
例如，要定义一个整数类型的变量，可以使用如下语句：int num;这条语句定义了一个名为num的变量，它的数据类型是整数类型。
如果需要定义多个变量，可以使用逗号隔开，例如：int num1, num2;这条语句定义了两个整型变量num1和num2。
在有些编程语言中，定义变量时需要指定初始值。
例如，要定义一个初始值为10的整型变量，可以使用如下语句：int num = 10;（2）变量的应用定义变量后，可以在程序的任何地方使用它们。
例如，在使用C++编写的程序中，可以在函数中使用定义的变量，例如：int main(){int num = 10;cout << "num的值为：" << num << endl;return 0;在这个例子中，声明了一个名为num的变量，它的数据类型是int，值为10。
在main函数的第二行，输出了num的值。
2. 函数的定义和应用函数是一组预定义好的指令，用于执行特定的操作。
在编写程序时，通常需要多次调用函数，以实现不同的任务。
函数中通常包含输入参数、输出参数和一组操作。
（1）函数的定义函数的定义通常包含函数名称、输入参数、输出参数和操作。
例如，要定义一个名为add的函数，用于计算两个数值的和，可以使用如下语句：int add(int num1, int num2){return num1 + num2;在这个例子中，定义了一个名为add的函数，它接受两个整数类型的输入参数num1和num2，并返回它们的和。
七年级变量与函数知识点
七年级变量与函数知识点在学习数学的过程中，变量与函数是一个非常重要的知识点。
作为初中阶段学习的一部分，七年级的学生需要掌握这些基本概念。
本篇文章主要介绍七年级变量与函数知识点。
一、变量变量是一个数学术语，用于表示一个值可能变化的数。
在数学方程或公式中，变量通常用字母表示。
例如，在下面的公式中：y = 2x + 3x和y都是变量，因为它们的值可以根据需要进行更改。
该方程式意味着y的值是2倍x的值加上3。
在解题过程中，变量在进行运算时会被替换为数值，这称为“代入”。
例如，在y = 2x + 3中，如果我们将x替换为2，则该方程变为y = 2 × 2 + 3，结果为y = 7。
因此，当x等于2时，y等于7。
二、函数函数是描述两个变量之间关系的一种数学工具。
在函数中，一个变量是自变量，另一个变量是因变量。
自变量的值决定了因变量的值，这种关系通常用符号“f（x）”表示。
在函数中，x表示自变量，f（x）表示因变量。
例如，在以下函数中：f（x）= 2x + 1我们可以将x替换为另一个值，例如3：f（3）= 2 × 3 + 1f（3）= 7因此，在x等于3的情况下，f（x）等于7。
三、线性方程线性方程是一种特殊类型的函数，其中自变量的最高次数为1。
这意味着方程中只有一个变量的一次方。
例如，在以下方程中：y = 2x + 1y是因变量，x是自变量，2是斜率，1是截距。
这意味着当x增加1个单位时，y将增加2个单位。
四、解方程解方程式是指找出某个方程中的未知变量的值。
我们可以使用代数解决方程。
要解决方程，您需要根据方程式的要求，如平衡方程中的一侧，使用适当的代数操作，这包括加、减、乘以和除以。
例如，给定以下方程式：2x + 3 = 7我们需要将3与方程式中的另一侧相等，这可以通过减去3来实现：2x = 4然后，我们需要将方程左侧的系数2除以2，以确定未知数x 的值：x = 2因此，方程式的解为x = 2。
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乐恩国际教育学科教师辅导教案讲义编号：2015XXSX00 组长审核：学员编号：20150405xx0142年级：初三课时数：3课时学员姓名：张艺卓辅导科目：数学学科教师：毛亚豪授课主题变量与方程教学目的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质教学重点一次函数、二次函数、反比例函数授课日期及时段2015-4-教学内容一要点回顾1.二次方程根与系数的关系？2.不等式解集的确定？二考点讲解考点一平面直角坐标系1.各象限点的坐标的符号特征第一象限：（+ ， +）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（，）点P（x,y），则第三象限：（，）点P（x,y），则第四象限：（，）点P（x,y），则2.坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点，纵坐标为0；y轴上的点，横坐标为0；原点的坐标为（0 , 0）。
两坐标轴的点不属于任何象限。
3.各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
4.点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是( ), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是( )，纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是( )，横，纵坐标都反号当堂反馈1．点A（2，7）到x轴的距离为，到y轴的距离为；2．若点P（a，b）在第四象限内，则a，b的取值范围是（）A、a＞0，b＜0B、a＞0，b＞0C、a＜0，b＞0D、a＜0，b＜03．如图，在平面直角坐标系中表示下面各点： A（0，3）；B（1，-3）；C（3，-5）；D（-3，-5）；E（3，5）；F（5，7）；G（5，0）；H（-3，5）（1）A点到原点O的距离是；（2）将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点重合；（3）连接CE，则直线CE与y轴是什么关系？（4）点F分别到x、y轴的距离是多少？（5）观察点C与点E横纵坐标与位置的特点；（6）观察点C与点H横纵坐标与位置的特点；（7）观察点C与点D横纵坐标与位置的特点。
4.点A（-2，3）到x轴的距离为，到y轴的距离是。
5．x轴上有A、B两点,A点坐标为(3，0)，A、B之间的距离为5，则B点坐标为。
6．若点N（a+5，a－2）在y轴上，则a= ，N点的坐标为。
7．如果点A（x，y）在第三象限，则点B（－x，y－1）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8．点P在y轴左方、x轴上方，距y轴、x轴分别为3、4个单位长度，点P的坐标是（）A.（3，－4）B.（－3，4）C.（4，－3）D.（－4，3）9．已知点P（x，y）在第二象限，且2=y则点P的坐标为（）x，3=A.(-2，3)B.(2，-3)C.(-3，2)D.(2，3)考点二正比例函数和一次函数 1.正比例函数及性质一般地，形如 (k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.当k>0时，经过一、三象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大； 当k<0时，经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限； k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 2.一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b (k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数。
当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到。
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）增减性： k>0，y 随x 的增大而 ；k<0，y 随x 增大而 . （4）直线y=kx ＋b(k ≠0)与坐标轴的交点． (1)直线y=kx 与x 轴、y 轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx ＋b 与x 轴交点坐标为 ，与 y 轴交点坐标为(0，b)．例题巩固1.一个正比例函数的图象经过点（2，5-），则这个正比例函数的表达式是 ；2.已知一次函数3-=kx y 的图象经过点（3，1-），则k = ；3. 一次函数42-=x y 的图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴交点坐标是 ；图象与坐标轴所围成的三角形面积是 ；5.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。
6.已知y 与x 成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，则当x=3时，y=____ 。
7.点P （a ，b ）在第二象限，则直线y=ax+b 不经过第 象限。
8.已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________。
9.已知点A(-1，a), B(2，b)在函数y=-3x+4的象上,则a 与b 的大小关系是____考点三 反比例函数一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝k ／x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
取值范围： ① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 ; ③函数 y 的取值范围是任意非零实数。
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y 轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
反比例函数的性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y 随x 的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0和 x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0和x>0上同为增函数。
定义域为x ≠0；值域为y ≠0。
例题巩固1.在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．22. 已知点M (－2，3 )在双曲线xky =上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A.(3，-2 )B.(-2，-3 )C.(2，3 )D.(3，2)3. 在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ） A 1k <0，2k >0 B 1k >0，2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号4.如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数 xy 4=(x>0)的图象相交于点 A 、B ，设点A 的坐标为(1x ，2y )，那么长为1x ,宽为2y 的矩形面积和周长分别( )A ．4，12B ．8，12C ．4，6D ．8,65.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在)21,1(C 处，两直角边分别 与y x ,轴平行，纸板的另两个顶点B A ,恰好是直线29+=kx y 与双曲线 )0(>=m xmy 的交点．求m 和k 的值；6.如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数xy 3=的图像交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，则ABCD S 四边形＝ 。
yxONM CABPyx例1图O DCBA考点四二次函数二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般式(已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.)(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为( ) ；顶点式(已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.)(a≠0,a、m、k为常数)，顶点坐标为对称轴为x=交点式(已知图像与轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点顶点抛物线有一个顶点P，坐标为P ( ) ，当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P 在x轴上。
开口二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，开口；当a＜0时，开口。
直线与抛物线的交点1.二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有个交点抛物线与轴相交；②有个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.一次函数的图像L与二次函数的图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有 个交点;②方程组只有一组解时与只有 个交点； ③方程组无解时与没有交点。
2.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与X 轴两交点为，由于、是方程的两个根，故例题巩固1.已知抛物线c bx ax y ++=2与抛物线732+--=x x y 的形状相同，顶点在直线1=x 上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为 。
2. 已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.若关于x 的一元二次方程（x-2）（x-3）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1≠x 2，有下列结论： ①x 1=2，x 2=3；②m ＞14-；③二次函数y=（x-x 1）（x-x 2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 一元二次不等式220ax bx ++>的解是1123x -<<，则a b +的值是 6.函数ky x=与2=-+y kx k （0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）． ABCDxOyxOyxOyxOy7.如图是抛物线型的拱 桥，已知水位在AB 位置时，水面宽64米，水位上升3米就达到警戒水位线CD ，这时水面宽34米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？8.已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA <OC ）是方程2540x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．xy例2图D CBAOyxBDO AE C课后练习1.点P （m ＋3， m ＋1）在直角坐标系的x 轴上，则点P 坐标为（ ） A ．（0，－2） B ．（ 2，0） C ．（ 4，0） D ．（0，－4）2.已知点A （2，－3），线段AB 与坐标轴平行，则点B 的坐标可能是 （ ） A ．（－1，－2） B ．（ 3，－2） C ．（1，2） D ．（－2，-3）3.若点P(2，k-1)在第一象限，则k 的取值范围是_______。