2014年高考全程复习构想高三理科一轮复习资料第二章导数及其应用2.3

∴f(x)在[－4,1]上的最大值为 13，最小值为－11.
题型二 不等式恒成立问题 1 2 x 例 2 设函数 f(x)＝2x ＋e －xex. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若当 x∈[－2,2]时，不等式 f(x)＞m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解析：(1)函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， 因为 f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)， 由 f′(x)＝x(1－ex)＞0 得 x＜0，f′(x)＜0 得 x＞0， 则 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0， ＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在[0,2]上单调递减，在[－2,0)上单调递增， 3 3 2 又 f(－2)＝2＋e2，f(2)＝2－e ，且 2＋e2＞2－e2， 所以 x∈[－2,2]时，[f(x)]min＝2－e2， 故 m＜2－e2 时，不等式 f(x)＞m 恒成立．
二、利用导数研究生活中的优化问题 1．生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一 些实际问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
答案：①连续 ②极值 ③端点处
考点自测 1.下列命题中真命题是( ) A．函数的最大值一定是函数的极大值 B．函数的极大值可能会小于这个函数的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间上 的最小值 D．函数在开区间内不存在最大值和最小值
点评：在求实际问题中的最值时，一般先设自变量、因变 量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数求函数 最值的方法求解．但要注意结果应与实际情况相符．
变式探究 3 请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是 边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等 的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点 重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、 F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端 点．设 AE＝FB＝x(cm)．
点评：若 m＜f(x)恒成立，则 m＜[f(x)]min；若 m＞f(x)恒成 立，则 m＞[f(x)]max，因此不等式恒成立问题可转化为函数的最 值来解决．
变式探究 2 设函数 f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)． (1)求 f(x)的最小值 h(t)； (2)若 h(t)＜－2t＋m 对 t∈(0,2)恒成立， 求实数 m 的取值范 围．
4 3 解析：(1)设容器的容积为 V，由题意知 V＝πr l＋3πr ， 4 3 V－ πr 3 80π 80 4 420 又 V＝ 3 ，故 l＝ πr2 ＝3r2－3r＝3 r2 －r. 由于 l≥2r，因此 0＜r≤2. 所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c 420 ＝2πr×3 r2 －r×3＋4πr2c. 160π 2 因此 y＝4π(c－2)r ＋ ，0＜r≤2. r
答案：B
4． 已知函数 f(x)＝x3－12x＋8 在区间[－3,3]上的最大值与 最小值分别为 M，m，则 M－m＝__________.
解析：f′(x)＝3x2－12，令 f′(x)＝0，得 x＝± 2. ∴f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24， 则 M＝24，m＝－8，∴M－m＝32. 答案：32
(2)最值与极值的求法的区别 在闭区间[a， b]上连续， 在开区间(a， b)内可导的函数 f(x)， 它的极值可以通过检查导数 f′(x)在每一个零点两侧的符号来 求得．而 f(x)在[a，b]上的最大(小)值，则可以通过将各极值与 端点的函数值加以比较来求得，其中最大(小)的一个即为最大 (小)值． (3)当 f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最 小值在端点处取得．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 2 2 2 f′ ＝3× 2＋2a× ＋b＝0， 3 3 (1)由题意，得 3 f′1＝3×12＋2a×1＋b＝3.
a＝2， 解得 b＝－4.
所以 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)由(1)知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)． 2 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝ . 3 当 x 变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表：
题型探究 题型一 求已知函数的最值 1 2 例 1 求函数 f(x)＝ln(1＋x)－4x 在[0,2]上的最大值和最小 值．
1 1 解析：f′(x)＝ － x， 1＋x 2 1 1 令 － x＝0，化简为 x2＋x－2＝0. 1＋x 2 解得 x1＝－2(舍去)，x2＝1. 当 0≤x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当 1＜x≤2 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 1 所以 f(1)＝ln2－4为函数的极大值． 又因为 f(0)＝0，f(2)＝ln3－1＞0，f(1)＞f(2)． 所以 f(0)＝0 为函数 f(x)在[0,2]上的最小值， 1 f(1)＝ln2－4为函数 f(x)在[0,2]上的最大值．
5．面积为 S 的一矩形中，其周长最小时的边长是 __________．
S 解析：设矩形的一边边长为 x，则另一边边长为x ， 2S 2S 其周长为 l＝2x＋ x ，x＞0，l′＝2－ x2 ，令 l′＝0，解得 x＝ S，易知，当 x＝ S时，其周长最小． 答案： S
说考点拓展延伸串知识疑点清源 1.函数的最大值与最小值的理解 最值是一个整体性概念， 是指函数在给定区间(或定义域)内所有 函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意以下几 点： (1)最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较．因此，同一函数在某一点 的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值 是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是 有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是 极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极 大值就是最大值，极小值就是最小值．
2．生活中的优化问题 利用导数解决实际问题中的最值问题应注意： (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问 题的意义，不符合实际问题的值应舍去． (2)在实际问题中， 有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)＝0 的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最 大(小)值． (3)在解决实际优化问题时， 不仅要注意将问题中涉及的自 变量的函数关系式给予表示， 还应确定函数关系式中自变量的 定义区间.
题型三 生活中的优化问题 例 3 某企业拟建造如图所示的容器 (不计厚度，长度单位：米)， 其中容器的中间为圆柱形， 左右两端 均为半球形， 按照设计要求容器的容积为 80π 3 立方米，且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已 知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建 造费用为 c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为 y 千元． (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r.
2
160π 8πc－2 3 20 (2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－ r2 ＝ r2 r －c－2， 0＜r≤2. 3 20 20 由于 c＞3，所以 c－2＞0，当 r － ＝0 时，r＝ . c－2 c－2
3
令 m2)．
3
8πc－2 20 ＝m，则 m＞0，所以 y′＝ (r－m)(r2＋rm＋ 2 r c－2
3．函数 f(x)＝x＋2cosx π π π A．0 B. C. D. 6 3 2
π 在0，2上的最大值点为(
)
又
π π 解析： ′(x)＝1－2sinx， ′(x)＝0 在0，2上仅有一解 ， f f 6 π π π π π f(0)＝2，f6＝ ＋ 3，f2＝ ，比较可知 f6为最大值． 6 2
解析：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)， ∴当 x＝－t 时，f(x)取最小值 f(－t)＝－t3＋t－1， 即 h(t)＝－t3＋t－1. (2)令 g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m， 由 g′(t)＝－3t2＋3＝0，得 t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)． 当 t 变化时，g′(t)、g(t)的变化情况如下表： t (0,1) 1 (1,2) 0 g′(t) ＋ － g(t) 递增 极大值 1－m 递减 ∴g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)＝1－m. h(t)＜－2t＋m 在(0,2)内恒成立等价于 g(t)＜0 在(0,2)内恒成立， 即等价于 1－m＜0， ∴m 的取值范围为 m＞1.
(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大， 试问 x 应取 何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解析：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)． 60－2x 由已知得 a＝ 2x，h＝ ，0＜x＜30. 2 (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值． (2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0 得 x＝0(舍)或 x＝20. 当 x∈(0,20)时，V′＞0；当 x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． h 1 1 此时a＝2.即包装盒的高与底面边长的比值为2.
点评：①求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极 大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值 比较即可获得．②当连续的函数的极值点只有一个时，相应的 极值点必为函数的最值．
变式探究 1 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线 f(x) 2 在点(1，f(1))处的切线斜率为 3，且 x＝3时，y＝f(x)有极值． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．
解析：极值是局部问题，而最值是整体问题． 答案：B
2． 函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值是( ) A．－2 B．0 C．2 D．4
解析： f′(x)＝3x2－6x， f′(x)＝0， x＝0， 令 得 x＝2(舍去)． 比 较 f(－1)，f(0)，f(1)的大小知 f(x)max＝f(0)＝2，选 C. 答案：C
2．3 导数的应用(二)
考纲点击 1.会求闭区间上函数的最大值、 最小值(其中多项式函数一 般不超过三次) 2.会利用导数解决某些简单的实际问题．
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、函数的最值与导数 1．函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条 ①______不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的②______. (2)将函数 y＝f(x)的各极值与③______的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
9 ①当 0＜m＜2，即 c＞ 时，当 r＝m 时，y′＝0； 2 当 r∈(0，m)时，y′＜0；当 r∈(m,2)时，y′＞0. 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
9 ②当 m≥2 即 3＜c≤2时，当 r∈(0,2)时，y′＜0，函数单 调递减， 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点． 9 综上所述，当 3＜c≤2时，建造费用最小时 r＝2； 3 20 9 当 c＞2时，建造费用最小时 r＝ . c－2