高三理科数学一轮总复习第三章 导数及其应用

第三章导数及其应用

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3.1 导数的概念与运算

典例精析

题型一 导数的概念

【例1】 已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ， 求0

Δlim

→x f (1－2Δx )－f (1)

Δx 的值.

【解析】由导数的定义知：

0Δlim

→x f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－20

Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)

－2Δx ＝－2f ′(1)＝－20.

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率Δy

Δx 的极限.

【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可以近似地表示为f (t )＝t 2

100

，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.1

5

mm/min B.1

4 mm/min C.1

2

mm/min

D.1 mm/min

【解析】选A. 题型二 求导函数

【例2】 求下列函数的导数.

(1)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x ； (3)y ＝

3x 1－x

. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则. (1)y ′＝

1x ＋1＋x

2(x ＋1＋x 2

)′ ＝

1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2

.

(2)y ′＝(2x －2)e 2x ＋2(x 2－2x ＋3)e 2x

＝2(x 2－x ＋2)e 2x . (3)y ′＝13(x 1－x 32

)-1－x ＋x (1－x )2

＝13(x 1－x 32)-1

(1－x )2 ＝13

x 32

- (1－x ) 3

4-

【变式训练2】如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝ ；0

Δlim

→x f (1＋Δx )－f (1)

Δx ＝ (用数字作答).

【解析】f (0)＝4，f (f (0))＝f (4)＝2， 由导数定义0

Δlim

→x f (1＋Δx )－f (1)

Δx ＝f ′(1).

当0≤x ≤2时，f (x )＝4－2x ，f ′(x )＝－2，f ′(1)＝－2. 题型三 利用导数求切线的斜率

【例3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.

【解析】由l 过原点，知k ＝y 0x 0 (x 0≠0)，又点P (x 0，y 0) 在曲线C 上，y 0＝x 3

0－3x 20＋2x 0， 所以

y 0x 0＝x 2

－3x 0＋2. 而y ′＝3x 2－6x ＋2，k ＝3x 2

0－6x 0＋2.

又 k ＝y 0

x 0

，

所以3x 20－6x 0＋2＝x 2

0－3x 0＋2，其中x 0≠0，

解得x 0＝32

.

所以y 0＝－38，所以k ＝y 0x 0＝－1

4

，

所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－3

8

).

【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.

【变式训练3】若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 【解析】设切点为P (x 0，y 0)，则由 y ′＝3x 2－3得切线的斜率为k ＝3x 20－3.

所以函数y ＝x 3－3x ＋4在P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(3x 20－3)(x －x 0). 又切线经过点(－2,2)，得

2－y 0＝(3x 2

0－3)(－2－x 0)，①

而切点在曲线上，得y 0＝x 30－3x 0＋4， ② 由①②解得x 0＝1或x 0＝－2. 则切线方程为y ＝2 或 9x －y ＋20＝0.

总结提高

1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数通常有以下两种求法： (1) 导数的定义，即求0Δlim

→x Δy

Δx ＝0

Δlim →x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的值；

(2)先求导函数f ′(x )，再将x ＝x 0的值代入，即得f ′(x 0)的值. 2.求y ＝f (x )的导函数的几种方法： (1)利用常见函数的导数公式； (2)利用四则运算的导数公式； (3)利用复合函数的求导方法.

3.导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)，就是函数y ＝f (x )的曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率.

3.2 导数的应用(一)

典例精析

题型一 求函数f (x )的单调区间

【例1】已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间. 【解析】函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)的定义域是(1，＋∞). f ′(x )＝2x －a －a

x －1＝2x (x －a ＋22)

x －1

，

①若a ≤0，则a ＋2

2≤1，f ′(x )＝2x (x －a ＋2

2)

x －1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤0时，f (x )的增区间为(1，

＋∞).

②若a ＞0，则a ＋2

2

＞1，

故当x ∈(1，a ＋2

2]时，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)

x －1≤0；

当x ∈[a ＋2

2，＋∞)时，f ′(x )＝2x (x －a ＋2

2)

x －1

≥0，

所以a ＞0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22]，f (x )的增区间为[a ＋2

2

，＋∞).

【点拨】在定义域x ＞1下，为了判定f ′(x )符号，必须讨论实数a ＋2

2与0及1的大小，分类讨论是解本

题的关键.

【变式训练1】已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围. 【解析】因为f ′(x )＝2x ＋1

x －a ，f (x )在(0,1)上是增函数，

所以2x ＋1

x －a ≥0在(0,1)上恒成立，

即a ≤2x ＋1

x

恒成立.

又2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝2

2时，取等号).

所以a ≤22，

故a 的取值范围为(－∞，22].

【点拨】当f (x )在区间(a ，b )上是增函数时⇒f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立；同样，当函数f (x )在区间(a ，b )上为减函数时⇒f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

题型二 求函数的极值

【例2】已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；

(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 【解析】(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .