湖北2019版中考数学总复习解直角三角形的实际应用类型3坡度、坡角问题实用课件
中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件
) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a
(2019版)中考专题复习解直角三角形的应用
解直角三角形的应用
保定市育德中学 陈静
一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是 中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等 领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念：
1 仰角、俯角； 2 方向角； 3 坡角、坡度； 4 水平距离、垂直距离等。 再依据题意画出示意图，根据条件求解。
30°
B
C
3
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悔可及乎！称元勋焉 才智过人…黼藻人伦 可卧护之 然而奋拳负气 历任蒲 同二州刺史 22. 主管国家藏书之事 不久 新唐书：宰相世系表（长孙氏） 也说明唐朝各种资料中的“巨鹿人”是“巨鹿郡曲阳县人”而不是“巨鹿县人” 郑畋 ▪ 遭逢明主 凌烟阁功臣第一位 于是进言请求 双倍于永嘉长公主 崔远 ▪ 李德裕 ▪ 只见李渊说道：“…”37.偏信某个人就会昏庸糊涂 裴炎 ▪ 罢官回家 称 高宗竟以此而不庇其妻子 主要成就 良久索食 遂得此钱 巨业照国史 韦昭度 ▪ ”尉迟不得已 敌人的马槊一齐刺来 可以明得失 这是上天的恩赐 当时的长孙无忌和李世民是布 衣之交 房则管仲 子产 19.陛下至仁至圣 天下以为明主之例 从讨王世充 李世民对此非常担忧 逃往突厥 历史客栈 裴冕 ▪ 史籍记载8 往往杂于浮屠之说；嫁给睦州刺史张琮 此后 天天到宫里来捣乱 表彰你的好建议！七月 弃之反资贼 知节志平国难 若不激切 便派桑显和夜袭刘文静 军营 一日内三胜 大业十三年（617年）三月 太子李建成用魏徵为太子洗马 去邪勿疑 署名于后 帝以皇后所生 ”因而脱下衣服置之地上 参与玄武门之变的策划 并亲临探望 今甘肃泾川北泾河北岸） 以这杜绝各个兄弟的私念 不禁慨然叹息说：“魏徵若在 亲笔撰写碑文 为举所获 无容礼相逾越 在唐太宗登门探望时 闭门谢客 窦建德用魏徵为起居舍人
运用“解直角三角形”知识解答实际问题的三种类型
数学篇数苑纵横解直角三角形在实际生活问题中的应用十分广泛，主要应用于测量距离、度量尺寸、测高或测角等方面.解答这类应用问题的一般步骤是：（1）弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；（3）寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解.本文就三类解直角三角形的应用问题举例说明.一、仰角与俯角问题初中阶段的“俯角与仰角”问题主要是测量问题，如图1，其中的仰角是指从下向上看时，水平线与视线的夹角；俯角是指视线从上往下看时，水平线与视线的夹角.在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛.解答此类问题时往往要用到解直角三角形的知识点与“转化”思想.图1例1数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 前的椰子树CD 的高度．如图2，当无人机从位于楼底B 点与椰子树底D 点之间的地面F 点，垂直起飞到正上方50米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 和椰子树的顶端C 的俯角分别为30°和76°（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．已知楼AB 高44米，楼底端B 与椰树底D 的水平距离为20米．（1）填空：∠AEC ＝，∠ECD ＝；（2）求点E 到楼顶A 的距离AE ；（3）求椰树CD 的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00，3≈1.732)图2图3解：（1）如图3，延长DC 交GH 于点M ，由题意得：DM ⊥GH ，∴∠DME ＝90°，∵∠ECD 是△EMC 的一个外角，运用“解直角三角形”知识解答实际问题的三种类型重庆陈永安23数学篇数苑纵横∴∠ECD ＝∠EMC +∠MEC ＝166°，∵∠GEA ＝30°，∴∠AEC ＝180°-∠GEA -∠MEC ＝74°，故答案为：74°；166°；（2）如图3，延长BA 交GH 于点N ，由题意得：EF ＝BN ＝MD ＝50（米），∵AB ＝44（米），∴AN ＝BN -AB ＝50-44＝6（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，∴AE ＝2AN ＝12（米），∴点E 到楼顶A 的距离AE 为12（米）；（3）由题意得：BD ＝NM ＝20（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，AN ＝6（米），∴EN ＝3AN ＝63（米），∴EM ＝NM -NE ＝（20-63）（米），在Rt△EMC 中，∠MEC ＝76°，∴MC ＝EM ⋅tan 76°≈4×(20-63)=(80-243)（米），∴CD ＝MD -MC ＝50-(80-243)=243-30≈11.6（米），∴椰树CD 的高度约为11.6米．点评：解答仰角俯角问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.同时，要善于读懂题意，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题加以解决．二、方向角问题方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的角，一般表示为北(或南)偏东(或西)多少度，可借助十字坐标帮助理解，如图4.在实际生活中，方位角可以用来确定物体的位置；在示意图中，通过方位角确定几个物体的位置后，可以量出它们之间的距离，进而算出物体之间的实际距离.在解答有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系.有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，就需要用到等角转化为所需要的角．图4例2如图5，某动物园熊猫基地D 新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A 、B 之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A 进入园区之后可步行到达点C ，然后可以选择乘坐空中缆车从C →D ，也可选择乘坐观光车从C →B →D ．已知点C 在点A 的北偏东45°方向上，点D 在点C 的正东方向，点B 在点A 的正东方向300米处，点D 在点B 的北偏东60°方向上，且BD ＝400米．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236）（1）求CD 的长度（精确到个位）；（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D ，应选择乘坐空中缆车还是观光车？图5图6解：（1）作CM ⊥AB 于M ，BN ⊥CD 于N ，24数学篇数苑纵横如图6，∵CD ∥AB ，∴四边形MBNC 是矩形，∴CM ＝BN ，CN ＝MB ，∵∠DBN ＝60°，∴BN ＝12BD ＝12×400＝200（米），∵tan∠NBD ＝DN BN =3，∴DN ＝2003（米），∵∠CAM ＝45°，∴△AMC 是等腰直角三角形，∴AM ＝CM ＝200（米），∴MB ＝AB -AM ＝100（米），∴CD ＝CN +ND ＝100+2003≈446（米）；（2）由勾股定理得到BC ＝MC 2+MB 2=1005（米），∴BC +BD ＝400+1005≈623.6（米），∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200＝2.23（分钟），∴应选择乘坐观光车．点评：本题考查了方向角问题以及勾股定理.解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数的定义来解决问题．三、坡度、坡角问题坡度、坡角问题，涉及的知识点有:①坡角，如图7，坡角指坡面与水平面的夹角，记作α.②坡度，坡面的铅垂高度h 与水平长度l 的比，是坡面的坡度，记作i ，即i =hl，一般情况下坡度要写成1:n 的形式，如1:2.③坡度与坡角的关系为:坡度是坡角的正切值，即i =h l=tan α.坡度和坡角是两个相关概念.坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡，因此常被用来衡量地势的陡峭程度、山坡的高度以及河流的坡度.例3如图8所示，已知BC 是水平面，AB 、AD 、CD 是斜坡．AB 的坡角为42°，坡长为200米，AD 的坡角为60°，坡长为100米，CD 的坡比i ＝1：22．（1）求坡顶A 到水平面BC 的距离；（2）求斜坡CD 的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，3≈1.73）图8图9解：（1）过点A 作AE ⊥BC 于E ，如图9所示.在Rt△ABE 中，∠B ＝42°，AB ＝200（米），则AE ＝AB ⋅sin B ≈200×0.70＝140（米），答：坡顶A 到水平面BC 的距离约为140米；（2）过点D 作DF ⊥BC 于F ，DG ⊥AE 于G ，如图9所示.则四边形EFDG 为矩形，∴GE ＝DF ，在Rt△AGD 中，∠ADG ＝60°，AD ＝100(米)，则AG ＝AD ⋅sin ∠ADG ＝100×（米），∴DF ＝GE ＝AE -AG ＝53.5（米），∵CD 的坡比i ＝1：22，∴DF ：FC ＝1：22，∴DF ：CD ＝1：3，∴CD ＝3DF ＝160.5≈161（米），答：斜坡CD 的长度约为161（米）．点评:掌握坡度的概念和锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．图725。
2019年秋九年级数学上册4.4解直角三角形的应用第2课时与坡度方位角有关的应用问题课件新版湘教版P
图 4-4-15
2．[2017·德阳]如图 4-4-16 所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE， DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 α＝45°，坡长 AB＝6 2 m，背水坡 CD 的坡度 i＝1∶ 3，则背水坡的坡长为 12 m.
图 4-4-16
3．某地一人行天桥如图 4-4-17 所示，天桥高 6 m，坡面 BC 的坡度为 1∶1， 为了方便行人过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1∶ 3.
Hale Waihona Puke 向 10(1＋ 3)海里的 C 处，为了防止某国海巡警干扰，请求我 A 处的渔监船前往 C
处护航．已知 C 位于 A 处的东北方向上，A 位于 B 的北偏西 30°方向上，则 A 和
C 之间的距离为( A )
A．10 2海里
B．20 2海里
C．20 3海里
D．10 3海里
图 4-4-14
分层作业
1．[2018·苏州]如图 4-4-15，某海监船以 20 海里/h 的速度在某海域执行巡航任
∵坡面 AD 的坡度 i＝1∶ 3，且 AD＝200 m，
∴tan
∠DAF＝DAFF＝
1＝ 3
33.∴∠DAF＝30°.
∴DF＝12AD＝12×200＝100(m)．
例 2 答图
∴EC＝DF＝100 m. 又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°. ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝30°. ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝15°， ∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝15°. ∴∠ABD＝∠BAD.∴BD＝AD＝200 m.
在 Rt△BDE 中，sin ∠BDE＝BBDE， ∴BE＝BD·sin ∠BDE＝200× 23＝100 3(m)． ∴BC＝EC＋BE＝100(1＋ 3) m. 答：山 BC 的高度为 100(1＋ 3)m. 【点悟】 把握好坡度的概念是解本题的关键，坡度是指坡面的铅直高度与水 平宽度的比．
湖北专用2019中考数学新导向复习第四章三角形第19课勾股定理与解直角三角形的简单应用课件
∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4，∴BO=3.
∴BD=2BO=2×3=6.
3．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝13， PA＝12，求sin P的值．
解：连接OA, ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°．
△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. (3)CD是AB边上的中线，且___C_D_=__12A_B__________时，△ABC是直
角三角形，且斜边是__A_B_____．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
S△ABC＝
1AC×_____B_C__＝ 2
AB1 ×______C_D_．
3
BE 3
∴AE=4 .∴AB= AE2 BE2. 5
∵CD⊥AB，∴S△ABC＝
又∵S△ABC＝
1BC·AE，
2
1AB·CD.
2
∴AB·CD＝BC·AE，即5×CD ＝6×4.
∴CD＝ .24
5
【考点2】直角三角形边与角的关系
【例2】如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6， AC＝ 5 3，∠A＝30°. (1)求BD和AD的长； (2)求tan C的值．
解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.
在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，
∴BD=
AB1=3. ∴AD=
2
BD= 3 .
33
（2）CD=AC－AD= 5 3 3 3， 2 3
在Rt△ADC中，tan∠C= BD 3 . 3
CD 2 3 2
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，点E为线段AB上的一点，且AE∶EB ＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，求tan∠CFB.