运筹学第二章
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运筹学第2章
China University of Mining and Technology
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
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运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。
运筹学 胡运权 第二章
《运筹学》 运筹学》
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
《运筹学》 运筹学》
第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
14 December 2010
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
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第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
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第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
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第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
运筹学02-单纯形法
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变
为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
19
第2章
单纯形法
2.3 人工变量法
2.3.1 大M法
在原问题的目标函数中添上全部人工变量，并令其系数 都为-M，
而M是一个充分大的正数。即
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn – M( xn+1 + xn+2 +…+ xn+m )
思路：由一个基本可行解转化为另一个基本可行解。 等价改写为 目标方程 max z max z = 3x1+5x2 z -3x1 -5x2 = 0 z -3x1 -5x2 x1 +x3 x1 +x3 = 8 2x2 +x4 2x2 +x4 = 12 s.t. s.t. 3x1+4x2 +x5 3x1 + 4x2 +x5 = 36 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
6
第2章
单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
(Ⅰ)
用换基运算 将X0 转化为 另一个基本 可行解 X1。
z- 3x1 -5x2 = 0 0 换基运算—— x1 +x3 = 8 ① 方程组的初等变换 目的是把主列变为 22x2 +x4 = 12 ② 单位向量：主元变 3x1 + 4x2 +x5 = 36 ③ 为1，其余变为0。 X0 = ( 0, 0, 8, 12, 36 )T z0 = 0
⑴ 当前基：m阶排列阵
运筹学第二章线性规划的对偶理论
(5.5) (5.6)
4.3 对偶问题的基本性质
证： 设B是一可行基，于是A=(B,N)
max z=CBXB+ CNXN BXB+BXN +Xξ=b X,XB,Xξ ≥0
其中Yξ=(Yξ1, Yξ2)
min ω =Yb YB－Yξ1=CB YN－Yξ2=CN Y, Yξ1 Yξ2 ≥0
(5.5) (5.6)
x1﹐x2 ≥0
关系？
对原模型设： 1 2
A= 4 0 b=(8,16,12)T C=(2，3) 04
X=（x1，x2）T Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
4.1 对偶问题的提出
min ω=8 y1+16y2 +12y3
y1+4y2
≥2
2 y1 +4y3≥3
与
y1 ， y2 ，y3≥0 12
max z＝2x1+3x2 x1＋ 2x2 ≤8
4x1
≤16
4x2 ≤12
x1﹐x2 ≥0
有何关 系？
对愿模型设： A= 4 0 04
b=(8,16,12)T C=(2，3)
X=（x1，x2）T
Y=（y1，y2 ，y3 ） 则可得:
max z=CX AX≤b （5.1） 和
min ω =Yb YA ≥ C （5.2）
120
A=
1 -3
0 2
1 1
1 -1 1
b=(2,3,-5,1)T C=(5,4, 6)
确定约束条件
YA
C
x1 ≥0 ﹐x2≤0, x3 无约束
解：因原问题有3个变 于是 量，4个约束条件， 所以对偶问题4个 变量，3个约束条
运筹学第2章-线性规划的对偶理论
❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0
运筹学第2章单纯形法
==８ ==6
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
运筹学 第二章
8
由例1的求解的过程中，我们观察到如下事实： 由例 的求解的过程中，我们观察到如下事实： 的求解的过程中 1）若某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的 ）若某一个线性规划问题有最优解， 顶点对应一个最优解。 顶点对应一个最优解。 2）线性规划存在有无穷多个最优界的情况。 ）线性规划存在有无穷多个最优界的情况。 如例1中将目标函数改为 如例 中将目标函数改为 max z = 50 x 1 + 50 x 2 , 则代表目标函数 的直线平移到最优位置后， 重合。 的直线平移到最优位置后， 与直线 x 1 + x 2 = 300 重合。 3）线性规划存在无界解，即无最优解的情况。 如 ）线性规划存在无界解，即无最优解的情况。 x2 • 目标函数： 目标函数： max z = x + x , 约束条件： 约束条件： x 1 − x 2 ≤ 1, − 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 6, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 此时称该问题无界！ 原因： 原因：某些约束条件没有考虑到
第二章 线性规划的图解法
几种常见的典型的线性规划问题在管理上的应用: 几种常见的典型的线性规划问题在管理上的应用: 1.合理利用线材问题: 现有一批长度一定的钢管， 1.合理利用线材问题: 现有一批长度一定的钢管， 由于生产的 合理利用线材问题 需要， 需要， 要求截出不同规格的钢管若干。 试问应如何下料， 要求截出不同规格的钢管若干。 试问应如何下料，既满足了 生产的需要，又使得使用原材料钢管最少。 生产的需要，又使得使用原材料钢管最少。 最少 2.配料问题: 用若干种不同价格不同成分含量的原料， 2.配料问题: 用若干种不同价格不同成分含量的原料，用不 配料问题 同的配比混合调配出一些不同的规格的产品， 同的配比混合调配出一些不同的规格的产品， 在原料供应量的限 制和保证产品的成分的含量的前提下，如何获取最大的利润。 制和保证产品的成分的含量的前提下，如何获取最大的利润。 最大的利润 3.投资问题: 从不同的投资项目中选出一个投资方案， 3.投资问题: 从不同的投资项目中选出一个投资方案，使得 投资问题 投资回报为最大 最大。 投资回报为最大。 4.产品生产计划: 合理充分利用厂里现有的人力、物力、财 4.产品生产计划: 合理充分利用厂里现有的人力、物力、 产品生产计划 做出最优的生产计划，使得工厂获利最大 最大。 力，做出最优的生产计划，使得工厂获利最大。
由例1的求解的过程中，我们观察到如下事实： 由例 的求解的过程中，我们观察到如下事实： 的求解的过程中 1）若某一个线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的 ）若某一个线性规划问题有最优解， 顶点对应一个最优解。 顶点对应一个最优解。 2）线性规划存在有无穷多个最优界的情况。 ）线性规划存在有无穷多个最优界的情况。 如例1中将目标函数改为 如例 中将目标函数改为 max z = 50 x 1 + 50 x 2 , 则代表目标函数 的直线平移到最优位置后， 重合。 的直线平移到最优位置后， 与直线 x 1 + x 2 = 300 重合。 3）线性规划存在无界解，即无最优解的情况。 如 ）线性规划存在无界解，即无最优解的情况。 x2 • 目标函数： 目标函数： max z = x + x , 约束条件： 约束条件： x 1 − x 2 ≤ 1, − 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 6, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 此时称该问题无界！ 原因： 原因：某些约束条件没有考虑到
第二章 线性规划的图解法
几种常见的典型的线性规划问题在管理上的应用: 几种常见的典型的线性规划问题在管理上的应用: 1.合理利用线材问题: 现有一批长度一定的钢管， 1.合理利用线材问题: 现有一批长度一定的钢管， 由于生产的 合理利用线材问题 需要， 需要， 要求截出不同规格的钢管若干。 试问应如何下料， 要求截出不同规格的钢管若干。 试问应如何下料，既满足了 生产的需要，又使得使用原材料钢管最少。 生产的需要，又使得使用原材料钢管最少。 最少 2.配料问题: 用若干种不同价格不同成分含量的原料， 2.配料问题: 用若干种不同价格不同成分含量的原料，用不 配料问题 同的配比混合调配出一些不同的规格的产品， 同的配比混合调配出一些不同的规格的产品， 在原料供应量的限 制和保证产品的成分的含量的前提下，如何获取最大的利润。 制和保证产品的成分的含量的前提下，如何获取最大的利润。 最大的利润 3.投资问题: 从不同的投资项目中选出一个投资方案， 3.投资问题: 从不同的投资项目中选出一个投资方案，使得 投资问题 投资回报为最大 最大。 投资回报为最大。 4.产品生产计划: 合理充分利用厂里现有的人力、物力、财 4.产品生产计划: 合理充分利用厂里现有的人力、物力、 产品生产计划 做出最优的生产计划，使得工厂获利最大 最大。 力，做出最优的生产计划，使得工厂获利最大。
运筹学—线性规划第2章
1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
•当 由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且 因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。 一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意 两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸 集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的 顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而 在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵， 对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则 为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学第2章 对偶理论
写出对偶问题
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
2 y1 3 y2 y3 2 3 y1 y2 4 y3 3 5 y1 7 y2 6 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
原—对偶问题的相互变换形式
原问题（或对偶问题） 目标函数 max 约 束 条 件 变 量 m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束 约束条件右端项 目标函数变量的系数 对偶问题（或原问题） 目标函数 min m个 ≥0 ≤0 无约束 n个 ≥ ≤ = 目标函数变量的系数 约束条件右端项 变 量 约 束 条 件
设y1 , y2 , y3分别为三种资源的收费单价，所以 有下式： 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y1 , y2 , y3 0 就目标而言，用下式可以表达： 170 y1 100 y2 150 y3 W
一般而言，W 越小越好，但因需双方满意，故
变为对称形式
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
min W 2 y1 3 y2 5 y3
B
1 0
M-1
-2
最 终 表
cj cB 3 -1 -1 xB x1 x2 x3 检验数 b 4 1 9
3 x1 1 0 0 0
-1 x2
-1 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 2/3 -1/3
I
0 1 0 0
-1/3 1/3-M 2/3- M
所以， X*=（4 , 1 , 9），Z = 2
初 始 表
《运筹学》第二章 对偶问题
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
解：原问题的对偶问题为
mi nW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
20
一组互为对偶的线性规划问题的解之间只有 下列三种情况:
(1)两个规划问题都有可行解(此时,两个规划问题都有最优 解,且最优值相等);
(2)两个规划问题都不可行; (3) 一个规划问题不可行,另一个规划问题有可行解,且具有
无界解。
21
（4）互补松弛性： 在线性规划问题的最优解中，
则 aij xj * = bi ；
bi , 则 y i* = 0 (4)’ 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中， 则 aij yi * = cj ；
>cj , 则 xj* = 0
n
若 y i * >0,
j=1 n
若 a ij xj * <
j=1
m
若 x j * >0,
i=1 m
若 a ij yi*
i=1 22
m
= 证b：i y∵i*
y1 3 y1
2 y2
3 y3 4 y3
3 5
2 y1 7 y2 y3 1
y1
0,
y2
0,
y
无
3
约
束
对偶问题的对 偶还是原问题
14
• 练习 写出下列线性规划问题的对偶问题.
max Z 4x1 3x2 2x3
4x1
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min w = b1y1+ b2y2 +… + bmym 对偶问题： 对偶问题： a11y1+ a21y2 + … + am1ym ≥ c1 min w = Y 'b a12y1+ a22y2 + … + am2ym ≥ c2 A'Y≥C' …… a1ny1+ a2ny2 + … + amnym ≥ cn Y≥0 y1 , y2 , …, ym ≥0 Y=(y1,y2,…,ym)′
一、对偶问题的提出
生产计划问题。 例2.1.1 生产计划问题。 某企业生产A、 、 三种畅销产品 三种畅销产品， 某企业生产 、B、C三种畅销产品，每一件产品所需要的资 源和收益列于表中： 源和收益列于表中： 表 1
资源甲 资源乙 资源丙 资源丁
每件收益（ 每件收益（元）
产品 A 产品 B 产品 C 资源限量
两个线性规划问题的比较中，可以初步发现： 两个线性规划问题的比较中，可以初步发现： (1)原问题的目标函数求极大， 原问题的目标函数求极大， 原问题的目标函数求极大 对偶问题的目标函数求极小； 对偶问题的目标函数求极小； (2)原问题目标函数中的系数 原问题目标函数中的系数 在对偶问题中变为约束条件的右端常数项； 在对偶问题中变为约束条件的右端常数项； (3)约束条件的不等式方向改变了； 约束条件的不等式方向改变了； 约束条件的不等式方向改变了 (4)约束方程的系数矩阵发生了转置； 约束方程的系数矩阵发生了转置； 约束方程的系数矩阵发生了转置 (5)原问题约束数目与对偶问题的变量数相等。 原问题约束数目与对偶问题的变量数相等。 原问题约束数目与对偶问题的变量数相等
3 4 2 600
2 1 2 400
1 3 3 300
1 2 4 200
2000 4000 3000
问：如何安排生产，可以使总利润最大？ 如何安排生产，可以使总利润最大？ 解：利用第一章的知识，设三种产品的生产量分别为x1， 利用第一章的知识，设三种产品的生产量分别为 x2和 x3 ，可以建立线性规划模型如下 可以建立线性规划模型如下:
max z = 2000 x1+4000 x2 +3000 x3 y1 3 x1+4 x2 +2 x3 ≤ 600 2x1+ x2 + 2 x3 ≤ 400 x1+3 x2 +3 x3 ≤ 300 x1+2 x2 +4 x3 ≤ 200 x 1, x 2 , x 3 ≥ 0 假如企业不进行生产， 假如企业不进行生产，而是把全部可利用的资源 转让给其他企业。此时， 转让给其他企业。此时，企业必须考虑一个合适的 资源价格，使得： 有企业愿意接受转让 有企业愿意接受转让； 企业 资源价格，使得：1.有企业愿意接受转让；2.企业 自身没有经济损失。 自身没有经济损失。 设四种资源的价格确定为 y1, y2 , y3 , y4 。
min w =2 y1－ y2 + y3 － 2 y4 y1 － y2 + y3 －2 y4 ≥1 －y1 － y2 + y3 + y4 ≥-2 －y1 － y2 + y3 － y4 ≥ 1 y1 + y2 － y3 + y4 ≥- 1 y1 , y2 , y3 , y4 ≥ 0 （3）还原为原来的参数符号 ） 令 u1 = y1 , u2 = - y2 + y3 , u3 = - y4 min w =2u1 + u2 + 2u3 max z = x1+2 x2 + x3 u1 + u2 + 2u3≥1 x + x －x ≤2
1 2 3
u1－u2 + u3 ≤2 -u1 + u2 + u3 = 1 符号不限， u1≥0, u2 符号不限， u3 ≤0
x1－ x2 + x3 = 1 u2 2x1+ x2 + x3 ≥ 2 u3 x1 ≥ 0, x2 ≤0 , x3自由变量。 自由变量。
u1
四、原始-对偶关系一览表 原始项 目 A b C 原问题（对偶问题） 原问题（对偶问题） 约束系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中的价值系数向量
yi y1 y2 ： ym
xj x1 a11 a21 ： am1
x2 a12 a22
… … …
xn 原始约束 对偶：极小化 w 对偶： ≤ a1n b1 a2n ： ≤ ： amn ≥ cn ≤ b2 ： bm
am2 ≥ c2 …
…
对偶约束 ≥ 原始极大化 z c1
…
说明： 说明：表 2的变量行与参数行相乘组成原始问题的约 的变量行与参数行相乘组成原始问题的约 束条件和目标函数； 束条件和目标函数；表2 的变量列与参数列相乘组成 对偶问题的约束条件和目标函数。 对偶问题的约束条件和目标函数。
原 问 题
min w = 600 y1+ 400 y2 + 300 y3 + 200 y4 3 y1 + 2 y2 + y3 + y4 ≥2000 对 偶 4 y1 + y2 + 3 y3 + 2 y4 ≥ 4000 问 2 y1 + 2 y2 +3 y3 +4 y4 ≥3000 题 y1 , y2 , y3 , y4 ≥0
y4
三、非对称形式的原始-对偶问题 非对称形式的原始非对称形式是指一般情况下的线性规划问题， 非对称形式是指一般情况下的线性规划问题，是目标 函数求极小或求极大；约束条件≥、 、 ；变量≥0、 函数求极小或求极大；约束条件 、=、≤；变量 、≤0 或者无限制的随意组合。 或者无限制的随意组合。 建立非对称形式线性规划问题的对偶模型可采取以 下步骤： 下步骤： （1）通过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 ）通过变换， 的原问题。 的原问题。 。（此时的对偶并 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时的对偶并 ）根据原问题，写出对偶问题。（ 非是原线性规划问题的对偶） 非是原线性规划问题的对偶） （3）通过变量代换等，把参数还原为最初的形式 ）通过变量代换等， 必须做）。 （必须做）。
y2 y3 y4
则有企业愿意接受转让的条件是极小化资源总价， 则有企业愿意接受转让的条件是极小化资源总价，即 w =600 y1+ 400 y2 + 300 y3 + 200 y4 而企业自身没有经济损失的要求可做如下思考： 而企业自身没有经济损失的要求可做如下思考： 生产一件产品，比如A，需要四种资源的量分别为3， 生产一件产品，比如A 需要四种资源的量分别为3 个单位。由于要把生产A 2，1，1个单位。由于要把生产A 产品的这些资源 卖出去，所以， 卖出去，所以，单件总卖值不应比企业自己生产时 的收益（2000） 的收益（2y1 + 2 y2 +
y3
2 y4 ≥ 4000
对产品B 对产品B：4 y1 + y2 + 3 y3 + 对产品C 对产品C ：2 y1 + 2 y2 +3 y3 +4
max z = 2000 x1+4000 x2 +3000 x3 3 x1+4 x2 +2 x3 ≤ 600 2x1+ x2 + 2 x3 ≤ 400 x1+3 x2 +3 x3 ≤ 300 x1+2 x2 +4 x3 ≤ 200 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z =c1x1+ c2x2 +… + cnxn a11x1+ a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1+ a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 …… am1x1+ am2x2 + … + amnxn ≤ bm x1, x2 , …,xn ≥0
原问题： 原问题： max z = C X AX ≤ b X ≥0
第
二
章
线性规划对偶理论与灵敏度分析
教学时数： 学时 教学时数：12学时 教学目的与要求： 教学目的与要求：理解线性规划对偶问题理论与影 价格概念,掌握对偶单纯形法及灵敏度分析技巧 子 价格概念 掌握对偶单纯形法及灵敏度分析技巧 教学内容： 教学内容： 1.线性规划对偶问题及相关理论 线性规划对偶问题及相关理论 2.影子价格 影子价格 3.对偶单纯形法 对偶单纯形法 4.灵敏度分析及参数规划 灵敏度分析及参数规划 教学重点： 教学重点：影子价格及灵敏度分析 教学难点： 教学难点：对偶理论
max z = x1－2 x4 + x5 － x6 x1 － x4 － x5 + x6 ≤ 2 --x1－ x4 － x5 + x6 ≤ - 1 x1 + x4 + x5 － x6 ≤ 1 -2x1+ x4 － x5 + x6 ≤- 2 x1 , x4 , x5 , x6 ≥0 （2）写出上述 ） 对称形式线性规 划问题的对偶。 划问题的对偶。 min w =2 y1－ y2 + y3 － 2 y4 y1 － y2 + y3 －2 y4 ≥1 －y1 － y2 + y3 + y4 ≥-2 －y1 － y2 + y3 － y4 ≥ 1 y1 + y2 － y3 + y4 ≥- 1 y1 , y2 , y3 , y4 ≥ 0
二、对称形式的原始-对偶关系 对称形式的原始对称形式的条件： 对称形式的条件： （1）变量全部具有非负约束； ）变量全部具有非负约束； （2）目标函数求极大值时，约束不等式符号全部 ）目标函数求极大值时， 为≤；目标函数为求极小值时，约束不等式的符号 ；目标函数为求极小值时， 全部为≥。 全部为 。 max z =c1x1+ c2x2 +… + cnxn a11x1+ a12x2 + … + a1nxn ≤ b1 a21x1+ a22x2 + … + a2nxn ≤ b2 st. …… am1x1+ am2x2 + … + amnxn ≤ bm x1, x2 , …,xn ≥0 对偶问题的一般形式为： 对偶问题的一般形式为： (2-1)