1.1锐角三角形(1)教案
锐角三角函数(第一课时)教案
第2课时 锐角三角函数（1）讲课人：陈海森一、板书课题：（1分钟）锐角三角函数二、学习目标：（1分钟）展示、齐读1、了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。
2、熟练求出直角三角形锐角的四个三角函数值。
三、回顾导入：上一节，我们利用相似三角形的知识计算旗杆的高度。
按一定的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？四、教学过程：（28分钟）聚焦学习目标一：1、自学内容：认真看课本P88——89例1前的内容。
2、自学时间： 10分钟3、自学要求：⑴联系相似三角形的知识自学锐角三角函数的定义，明确在Rt △ABC 中，只要一个锐角的度数不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是一个固定值。
⑵记住正弦、余弦、正切、余切各自的定义。
4、自学后完成下面练习：（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=a 、AC=b 、AB=csinA ＝ cosA ＝ tanA ＝ cotA ＝（2）对于锐角三角函数sinA 、cosA 、 tanA 、cotA 来说，自变量A 的取值范围是： ；正弦函数sinA 、余弦函数cosA 、正切函数tanA 、余切函数cotA 的取值范围是：。
（3）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=a 、AC=b 、AB=csinA ＝ cosA ＝ ；sin 2A +cos 2A= =1；若sinA=53，则cosA ＝ ；若cosA ＝135，则sinA ＝ 。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案2
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案2一. 教材分析《锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册的教学内容，本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。
通过学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在实际问题中的应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从已有的知识出发，逐步过渡到锐角三角函数的学习。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义及概念。
2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在实际问题中的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义及应用。
2.难点：正弦、余弦、正切函数的定义及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生从已有的知识出发，探索锐角三角函数的定义及其应用。
3.互动式教学法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的表达能力和合作能力。
4.练习法：通过大量的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义及应用。
2.练习题：准备相关的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具：准备三角板、直尺等教学工具，方便学生直观地理解锐角三角函数。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入锐角三角函数的概念，例如：在直角三角形中，如何求解一个锐角的正弦、余弦、正切值？2.呈现（15分钟）讲解锐角三角函数的定义，引导学生从已有的知识出发，理解正弦、余弦、正切函数的定义。
通过示例，展示这三个函数在直角三角形中的几何意义。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，运用锐角三角函数解决实际问题。
沪科版数学(教案)23.1.1 锐角的三角函数(第1课时)
第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.1 锐角的三角函数第1课时锐角的三角函数（1）教学目标：1、掌握锐角的正切的概念，能用直角三角形中两边的比表示锐角的正切。
2、了解坡度的概念，知道坡度越大，坡面越陡。
3、利用正切的有关知识解决问题。
重点：1、掌握锐角的正切的概念，能用直角三角形中两边的比表示锐角的正切。
2、了解坡度的概念，知道坡度越大，坡面越陡。
难点：利用正切的有关知识解决实际生活中的问题。
教学资源：ppt教学过程：一、学生自学教材二、教师概括本节主要内容三、提出问题、探究新知问题1怎样描述山坡陡的程度呢？问题2在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？交流问题1有两个直角三角形，直角边AC与DF表示水平面，AB与DE表示两个不同的坡面，坡面AB 与DE哪个更陡？你是怎么判断的？交流问题2 交流问题3 1002010030 8030100303040交流问题4BC/AC,B1C1/A1C1，B2C2/A2C2有什么关系？从中你能得到什么结论？ 在这些直角三角形中，当锐角A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与邻边的比值总是一个固定的值。
定义：如图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent),记作tanA,即注意：1. tanA 是一个完整的符号，不表示tan 乘以∠A 。
2.它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号∠。
3. tanA 没有单位，它表示一个比值。
B 1C 1 B 2 C 2斜边c∠A 的邻边b∠A 的对边aba AC BC ==tanA= A A ∠∠的对边的邻边四、教学小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.。
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
北师大版初三下册数学 1.1 锐角三角函数 教案(教学设计)
1．1 锐角三角函数第1课时锐角的正切函数教学目标1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．重点从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．难点难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学过程一、创设情境，导入新课用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决．二、合作交流，探究新知用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？[生]梯子AB 比梯子EF 更陡．[师]你是如何判断的？[生]从图中很容易发现∠ABC >∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[生]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC ，FD 的长度即可知哪个梯子陡．BC <FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡．[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB 和EF 哪一个更陡呢？[生]AC BC ＝41.5＝83，ED FD ＝3.51.3＝3513.∵83<3513， ∴梯子EF 比梯子AB 更陡．想一想：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB 1C 1，和Rt△AB 2C 2是相似的．因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2∥B 1C 1，Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.[生]相似三角形的对应边成比例，得B 1C 1B 2C 2＝AC 1AC 2，即B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2. 如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B 2C 2A ∽Rt△B 1C 1A ，仍能得到B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2.因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外), B 1C 1AC 1＝B 2C 2AC 2总成立． [师]也就是说无论B 2在梯子的什么位置(A 除外)，∠A 的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？[生]∠A 的大小改变，∠A 的对边与邻边的比值会改变．[师]你又能得出什么结论呢？[生]∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1，B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边. 注意：(1)tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．(2)tan A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比．(3)tan A 不表示“tan”乘以“A ”．(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．思考：(1)∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？[生](1)∠B 的正切记作tan B ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边. (2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tan A 的值越大；反过来，tan A 的值越大，梯子越陡．三、运用新知，深化理解例1(教材示例) 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．解：甲梯中， tan α＝ ∠α的对边∠α的邻边＝48＝12. 乙梯中，tan β＝∠β的对边∠β的邻边＝5132－52＝512. 因为tan α＞tan β，所以甲梯更陡．[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m ，就升高60 m ，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tan α)就是tan α＝60100＝35. 这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．例2 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC 的值．分析：先证明△ACD ≌△BCE ，再根据tan∠ADC ＝tan∠BEC 即可求解．解：根据题意可得AC ＝BC ＝12＋22＝5，CD ＝CE ＝12＋32＝10，AD ＝BE ＝5，∴△ACD ≌△BCE (SSS)．∴∠ADC ＝∠BEC .∴tan∠ADC ＝tan∠BEC ＝13. 例3 已知一水坝的横断面是梯形ABCD ，下底BC 长14 m ，斜坡AB 的坡度为3∶3，另一腰CD 与下底的夹角为45°，且长为4 6 m ，求它的上底的长(精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．分析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据已知条件求出AE ＝DF 的值，再根据坡度求出BE ，最后根据EF ＝BC －BE －FC 求出AD .解：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F .∵CD 与BC 的夹角为45°，∴∠DCF ＝45°，∴∠CDF ＝45°.∵CD ＝4 6 m ，∴DF ＝CF ＝4 62＝4 3(m)，∴AE ＝DF ＝4 3 m ．∵斜坡AB 的坡度为3∶3，∴tan∠ABE ＝AE BE ＝33＝3，∴BE ＝4 m ．∵BC ＝14 m ，∴EF ＝BC －BE －CF ＝14－4－43＝10－4 3(m)．∵AD ＝EF ，∴AD ＝10－4 3≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1 m.四、课堂练习，巩固提高1．教材P4“随堂练习”．2．《探究在线·高效课堂》相关作业．五、反思小结，梳理新知本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．第2课时正弦、余弦1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦.2. 用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. 它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边BC 与斜边AB 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA ＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边AC 与斜边AB 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=_ _____.3、锐角A 的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A 的三角函数.温馨提示B 1B 2AC 1 C 2（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.B通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6 ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.精品文档用心整理3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.八、课堂小结1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的, ∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA, 均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.资料来源于网络仅供免费交流使用。
锐角三角函数(第一课时)教学设计
《锐角三角函数》（第1课时）教学设计【教材内容】1.内容：正弦的概念2.内容解析：本章在前面已经研究了直角三角形三边之间关系、两个锐角之间的基础上，通过引进锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，使学生全面掌握直角三角形的组成要素（边、角）之间的关系，并综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决与直角三角形有关的度量问题。
【设计思想】1、指导思想：教学中要充分体现数学教学是数学活动（研究与应用）、学生是数学学习主人的观念，以培养学生自主学习能力和促进探究意识为重点，以诱思探究理论为指导思想。
2、设计理念：在数学教学中渗透数学思想方法，发展思维能力，形成空间观念，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，培养学生的实践能力与创新意识。
3、学情分析：本节的内容的学习涉及到直角三角形和相似三角形方面的知识，这些内容学生掌握情况良好，教师应在解决实际问题中提出，然后让他们自主探究解决问题的方法。
【教学目标】1、了解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都是固定值这一事实；2、通过实例是学生理解并认识锐角三角函数的概念；3、正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示；4、学会根据定义求锐角的正弦值。
【教学重点】锐角的正弦的定义。
【教学难点】理解直角三角形中的一个锐角与其他对边及斜边比值的对应关系。
【教法准备】多媒体课件、三角板。
【教学过程】一、创设情境，导入新课如图：意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m，1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍峨屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m。
问题1用“塔身中心线与垂直中心线所称的角 （如图）”来描述比萨斜塔的倾斜程度，你能完成吗？师生活动：多媒体动画展示“垂直中心线”“塔身中心线”“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”显示相关数据，并提出问题，激励学生观察、思考。
设计意图：利用多媒体展示意大利比萨斜塔图片创设情境，引起学生的认知冲突，是学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望。
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
1.1 锐角三角形定义(1)
∵坡度i＝１： 3 BC 1 ∴ AC 3 则AC=
B
C
A
20 3 米.
2=40米 ) 20 3
又∵AB2=BC2+AC2
∴AB=√202+(
课内练习
1.如图,△ABC是等腰直角三角形, 你能根据图中所给数据求出tanC吗？
A
B 1.5 ┌ D
C
2.如图,某人从山脚下的点A走了 200m后到达山顶的点B.已知山顶B 到山脚下的垂直距离是55m,求山坡 的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
┌ C
课内练习
3.鉴宝专家—--是真是假：
(1).如图 (1) (2).如图 (2) (3).如图 (2) (4).如图 (2)
B C A
B
7m ┍ 10m C (2)
(5).如图 (2) tan A = 0.7 ( √ ).
BC tan A AC AC tan A BC BC tan A AB 10 tan B 7
小结 1.正切的定义:
拓展
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
A的对边 A的邻边 B
∠A的对 ┌边 ∠A的邻边 C
A
课后作业
A:配套练习册1.1（16)
B:配套练习册1.1全 部
B
tanA=
A的对边 A的邻边
A ห้องสมุดไป่ตู้A的邻 边
∠A的对 ┌边 C
想一想
如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗? 与∠A有关吗? 与tanA有关:tanA的值越大,梯子 AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越 陡.
A B2
(完整版)人教版九年级锐角三角函数全章教案
第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数（1）教学目标：1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算。
2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦341米10米二、探索新知 【活动一】问题的引入【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比ABBC，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22。
1.1锐角三角函数教案
实例:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断 的？
归纳法，师 生共同小 结，强调注 意要点，并 应用三角函 数值解决简 单的实际问 题。
实例:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎 样判断的？
2
继续深化， 继续挖掘锐 角三角函数 的更深含义。
（二）知识运用：
3
四、探究新知 （1-5 分钟）
6
初中部 数学 科备课格式
第周
年级 组别：
组长：
教师姓名
授课时间
月日
课 型
新授课
课题
1.1 锐角三角函数
课时数 第 1 课时
1.掌握三角函数的定义。 教学目标 2.能够根据三角函数的定义由已知边求三角形的未知边长。 （按课时制定）
教学重点 能够根据三角函数的定义由已知边求三角形的未知边长
教学难点 能运用三角函数的定义知识解决实际问题。
八、作业布置 （1 分钟）
九、板书设计
以考试课作业为主
1.1 锐角三角函数 1. 定义 2. 解题思路：
(1)找直角三角形（构造） (2)用三角函数（正弦，余弦，正切） (3) 列式计算
在课件中给 出错解，让 学生能更清 晰的了解到 解题中易犯 错的地方， 以免解题时 出现错误。 归纳小结， 梳理提升.
教学步骤
教学过程设计
tan A ______
sin A ______
一、课堂预习
（1-2 分钟） cos A ________
教学方法与 设计意图
预习并导入 本节的内容
二、新课导入 （1-2 分钟）
1
有生活实际 引入
本节的内容
三、课程讲授 （一）梯子问题讲解 （10-12 分钟）
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》教学设计一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版九年级数学下册第一章的第一节内容。
本节主要介绍正弦、余弦、正切三个锐角三角函数的定义及它们之间的关系。
通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系，为后续解决三角形及三角恒等式等问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于锐角三角函数这一概念，学生可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要结合具体实例和实际问题，引导学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
2.能够运用锐角三角函数解决一些实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念，正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
2.难点：理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例和实际问题，引导学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。
2.合作学习法：引导学生分组讨论和交流，培养学生的合作交流能力。
3.启发式教学法：教师提问，引导学生思考和探索，激发学生的创新思维。
六. 教学准备1.课件：制作课件，包括锐角三角函数的定义、性质、实际问题等内容。
2.教学素材：准备一些与锐角三角函数相关的实际问题，用于课堂练习和巩固。
3.板书设计：设计板书，突出锐角三角函数的重点知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角形相关的实际问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）介绍锐角三角函数的概念，讲解正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
通过具体实例和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。
九年级数学下册-第1课时 正切与坡度精选教案
1.1 锐角三角函数第1课时正切与坡度教学目标:1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答：图的台阶更陡，理由二、探索活动1、思考与探索一：除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？①可通过测量BC与AC的长度，②再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.③讨论：你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答：________________________.A 2C1 BBCA131BAC352、思考与探索二：（1）如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB 1C 1，RtAB 2C 2， RtAB 3C 3……，那么有：Rt △AB 1C 1∽_____∽____…… 根据相似三角形的性质，得：111AC C B ＝_________＝_________＝…… （2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。
3、正切的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看. 4、牛刀小试根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A 、∠B 的正切值。
1.1锐角三角函数(第一课时)课件(共17张PPT)浙教版数学九年级下册
cosA=
=
∠的邻边
温馨提醒：以正弦为例
sinA（省去角的符号），
30°的正弦表示为sin30°，比值 叫做∠A的正切值，记做tanA，即
斜边
∠BAC的正弦表示为sin∠BAC
，∠1的正弦表示为:sin∠1.
tanA=
∠的对边
∠的邻边
=
概念运用
①BC=8，AC=6
概念
cosA=
= ，
tanA=
4
3
sinA=
4
5
3
= ，
5
= .
解后反思：在直角三角
形中，已知什么条件可
以求三角函数值?
课堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于
点D，若BC=5，BD=4，求sin∠A.
C
A
B
思路1：求AB的长
思路2：等角转化
△BCD∽△BAC
B"
P
C" Q
图（1）
图（2）
角为30°
’’ 1
""
=
= =
’’ 2
"
’’
3 "
=
=
=
’’
2
"
’’
3 ""
=
=
=
’’
3
"
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
边的比值为定值
探索规律
当∠PAQ发生改变时，刚才所获得的发现是否还成立呢？
解:设AB=5k，AC=3k，
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》教案
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》教案一. 教材分析《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》这一节主要介绍了正切函数的概念及其应用。
通过生活中的实例——梯子的倾斜程度，引导学生理解正切函数的概念，并学会用正切函数解决实际问题。
教材通过具体的例子，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学知识，对函数有一定的理解。
但是，对于正切函数的理解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生活中的实例，让学生直观地理解正切函数的概念，并通过大量的练习，让学生熟练运用正切函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解正切函数的概念，掌握正切函数的定义；2.学会用正切函数解决生活中的实际问题；3.培养学生的数学应用能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.正切函数的概念理解；2.用正切函数解决实际问题。
五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和练习法。
通过生活中的实例，引导学生理解正切函数的概念，并通过大量的练习，让学生熟练运用正切函数解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，如梯子的倾斜程度；2.准备PPT，展示正切函数的定义和应用；3.准备练习题，让学生巩固所学知识。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一张梯子倾斜的图片，引导学生思考：如何计算梯子的倾斜程度？从而引出正切函数的概念。
2. 呈现（15分钟）教师通过PPT呈现正切函数的定义，并用生活中的实例解释正切函数的含义。
让学生理解正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。
3. 操练（15分钟）教师引导学生进行正切函数的计算练习。
让学生分组合作，互相讨论，教师巡回指导。
4. 巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用正切函数解决。
如：一个直角三角形，已知斜边为10cm，对边为6cm，求邻边的长度。
5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考：正切函数在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，并进行讨论。
《锐角三角函数》(第一课时)教学设计
一、教材分析 （一）、教材的地位与作用
本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形 的第一节锐角三角函数（第一课时）。锐角三角函数反映了直角三角 形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之 下，正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使 学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的 联系。感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，为一般性的学习 锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。 （二）、学情分析
1、从学生的年龄特征和认知特征来看 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究 活动经历和应用数学的意识。 2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运 用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。 3、从学生有待于提高的知识和技能来看 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、 交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会 锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。
玩？”
2、通过截取两段过山车的滑道，提炼出以下数学问题：
下列图形中的每一个小格为正方形，三角形的三个顶点均在格点
上.
问题 1 比一比哪个滑道长？
问题 2 你能判断出哪个滑道陡吗？
B
E
C
A
D
F
学生能直观的发现倾斜角越大滑道越陡.还有其它方法吗？细心
的同学观察出通过边来进行判断：“当高等时，底边越短滑道越陡.”
（3）若 BC=2AB,求 tanB
问题 4：如图，平面直角坐标系中点 P（3， - 4），OP 与 x 轴的夹角为∠1，求 tan∠1 的值.
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备课时间：上课时间：
课型：新授课课时：1课时
1.1锐角三角形
教学流程安排
课前准备
教具学具
补充材料
电脑、课件、课件资料问题与情境师生行为设计意图
[活动1]
创设情境引入课题[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题
在活动1中教师应重点
关注:
(1) 学生是否能从实际生
活中发现并提出数学问题。
(2)学生的审美意识及对演
示图片倾注的情感。
通过熟悉的物体（梯子），
不仅让学生感受到生活中数
学无处不在，也为后面的探究
活动作好了情感准备。
[活动2]
梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？
“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?
从而引出正切的定义
教师通过引导学生观
察、讨论，通过步步设
问，引发学生思考。
定义在在Rt△ABC中，锐
角A的对边与邻边的比叫做
∠A的正切，记作tanA，即
tanA=∠A的对边/∠A的邻
边
利用这个梯子模型引入，
可以帮助学生直观理解正切
的概念。
同时，通过学生主动
的活动，让学生亲眼目睹数学
过程形象而生动的性质，亲身
体验如何“做数学”，从中感
受到数学的力量，促使学生乐
于学习。
让学生在讨论过程中学会与
他人交流，养成良好的学习品
质。
[活动3]判断对错:图1，(1) tanA=BC/AC（）tanA=AC/BC（）
图1
tanA=0.7m ( ) tanA=0.7 ( )
图2
注意：
1.tanA是一个完整的
符号，它表示∠A的正切，
记号里习惯省去角的符号
“∠”.
2.tanA没有单位，它表
示一个比值，即直角三角形
中∠A的对边与邻边的比.
3.tanA不表示“tan”
乘以“A”.
4.初中阶段，我们只学
习直角三角形中，∠A是锐
角的正切.
5．tanA的大小只与∠A
的大小有关，而与直角三角
形的大小无关。
通过这组练习，既复习了
正切的定义，又以探究的形式
将知识进一步延伸，拓广了学
生的思维，同时为以后学习三
角函数埋下了伏笔。
正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.
如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切——就是tanα)
[例2] 在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
教师出示探究题，引导
学生思考。
在学生独立思考
的基础上，组织学生讨论交
流。
在活动4中教师要重点
关注：
（1）学生独立思考、解
决问题的能力。
（2）学生在探究过程中
与他人的合作交流意识和
情感。
（3）学生对知识的应用
拓展能力。
使学生感受到数学与现实
世界的联系，鼓励他们有条理
地进行表达和思考，特别关注
他们对概念的理解.
[例1]分析：比较甲、乙两
个自动电梯哪一个陡，只需分
别求出tanα、tanβ的值，比
较大小。
正切值越大，扶梯就
越陡。
我们学习数学就是为了更好
地应用数学.
正切在日常生活中的应用
很广泛.例如建筑，工程技术
等.
正切是生活当中用的最多
的三角函数，如刻画物体的倾
斜程度，山的坡度等都往往用
正切，
[例2] 让学生利用直角三
角形中两边的比，并能够根据
直角三角形的边角关系进行
计算，培养学生的创新能力。
[活动5]
归纳小结整理反思小结：
本节课你有哪些收获？
学生分组小结，各组代
表发言交流，教师及时给予
肯定、赞扬。
在活动5中教师应重点
关注:
（1）不同层次学生对本节
知识的掌握情况。
（2）学生对本节课不同方
面的感受。
让学生自己小结，有利于
培养学生的概括能力，使学生
自主构建知识体系，养成良好
的学习习惯。