人教版九年级锐角三角函数全章教案
新人教版九年级数学第28章锐角三角函数(教案)
一、教学内容
新人教版九年级数学第28章锐角三角函数：
1.锐角三角函数的定义与性质；
2.正弦、余弦、正切的定义及互余角的三角函数关系；
3.利用计算器求锐角三角函数值；
4.锐角三角函数在直角三角形中的应用；
5.实际问题中锐角三角函数的运用，如测量物体的高度等。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对锐角三角函数的概念和性质掌握得相对较好，但在实际应用和计算器操作方面还存在一些问题。首先，我在讲授理论知识时，尽量用生动的语言和实例来解释抽象的概念，让学生们能够更好地理解和记忆。这种方式似乎取得了不错的效果，大部分学生能够跟上课堂节奏，但仍有少数学生显得有些吃力。
（4）锐角三角函数在直角三角形中的应用：解决实际问题，如测量物体的高度、计算斜边长度等。
举例：已知直角三角形的斜边和一个锐角，求另一个锐角的函数值以及各边的长度。
2.教学难点
（1）理解锐角三角函数的定义：学生可能难以理解函数值随角度变化而变化的规律，需要通过实例和图示进行讲解。
突破方法：结合直角三角形的动态图示，让学生观察并总结规律。
（2）互余角的三角函数关系：掌握互余角的正弦、余弦、正切函数值之间的关系，并能灵活运用。
举例：若锐角α与β互余，则sinα=cosβ，cosα=sinβ，tanα=cotβ。
（3）利用计算器求锐角三角函数值：熟练掌握计算器操作，快速求解函数值。
举例：使用科学计算器求解sin45°、cos30°、tan60°的值。
二、核心素养目标
1.理解并掌握锐角三角函数的定义、性质及应用，提高数学抽象和逻辑推理能力；
2.通过计算器求锐角三角函数值，培养数据运算和数学建模的核心素养；
人教版九年级锐角三角函数全章教案
人教版九年级锐角三角函数全章教案【教案名称】：人教版九年级锐角三角函数全章教案【教学目标】：1. 了解锐角三角函数的概念和基本性质；2. 掌握锐角三角函数的定义和计算方法；3. 能够应用锐角三角函数解决实际问题；4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
【教学内容】：本教案共包含以下内容：1. 锐角三角函数的引入和概念介绍；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和计算方法；3. 锐角三角函数的性质和关系；4. 锐角三角函数的应用。
【教学步骤】：一、引入和概念介绍1. 通过引导学生观察直角三角形中的角度和边长关系，引入锐角三角函数的概念；2. 介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和符号表示；3. 通过实例演示和练习，让学生掌握锐角三角函数的计算方法。
二、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系1. 通过图像和表格展示正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性、奇偶性和单调性；2. 引导学生观察和总结正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系，如正弦函数与余弦函数的关系、正切函数与正弦函数的关系等；3. 练习题目让学生巩固和应用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系。
三、锐角三角函数的应用1. 通过实际问题引导学生应用锐角三角函数解决实际问题，如测量高楼的高度、计算斜坡的坡度等；2. 练习题目和实例让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
【教学重点】：1. 锐角三角函数的定义和计算方法；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系；3. 锐角三角函数的应用。
【教学扩展】：1. 引导学生探究其他三角函数（割函数、余割函数和余切函数）的定义和性质；2. 给予学生更多的应用题目和实例，提高学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力；3. 鼓励学生自主学习和探索，拓宽数学知识的广度和深度。
【教学评估】：1. 课堂练习：通过课堂练习，检查学生对锐角三角函数的理解和掌握程度；2. 作业布置：布置相关的作业题目，让学生巩固和应用所学知识；3. 个人表现评估：评估学生在课堂讨论、问题解答和实际应用中的表现。
人教版九年级数学下册教案：28.1锐角三角函数
e.关系难点：通过具体例题和图示，帮助学生理解互为余角的三角函数关系，并能够灵活运用。
举例：针对计算难点，可以设计一道题目，要求计算一个非特殊角度（如37°）的正弦值。教师引导学生使用计算器或查表法，并解释这些方法的原理，从而帮助学生突破计算难关。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
e.互为余角的两个角的三角函数关系，sin(90°-α) = cosα，cos(90°-α) = sinα。
举例：在讲解特殊角的三角函数值时，可以通过绘制精确的直角三角形，让学生直观地看到边长比例与函数值之间的关系。
2.教学难点
-难点内容：学生对三角函数概念的理解及其应用，特别是在非特殊角度的计算。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义及特殊角的函数值。对于难点部分，如非特殊角度的计算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室中某物体的高度，演示锐角三角函数的基本原理。
-教学策略：
a.理解难点：通过动态演示或实物模型，帮助学生理解锐角三角函数的概念，特别是在直角三角形中的实际意义。
人教版九年级锐角三角函数全章教案
人教版九年级锐角三角函数全章教案教学目标：本课程旨在通过探究锐角三角函数，使学生掌握当锐角固定时，对边与斜边的比值是固定值的概念，并能正确进行计算。
同时，通过研究锐角三角函数，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力，以及独立思考、勇于创新的精神和良好的研究惯。
教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，掌握当锐角固定时，对边与斜边的比值是固定值的概念。
教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学过程：一、复旧知、引入新课老师通过一个实际问题的引入，让学生了解锐角三角函数的实际应用。
例如，测量旗杆高度的问题。
二、探索新知通过问题引入的方式，让学生探索锐角三角函数的概念和应用。
活动一：问题的引入老师通过引入实际问题，让学生思考如何应用锐角三角函数来解决问题。
例如，在绿化荒山的问题中，通过计算斜坡与水平面所成角的度数和出水口的高度，求解需要准备多长的水管。
活动二：问题的探索老师通过问题的探索，让学生比较、分析并得出结论。
例如，在任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o的问题中，让学生计算∠A的对边与斜边的比，从而得出结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于2.活动三：问题的拓展老师通过问题的拓展，让学生进一步探索锐角三角函数的应用。
例如，在∠A取其他一定度数的锐角时，让学生比较、分析并得出结论：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值。
三、总结归纳老师通过总结归纳，让学生掌握锐角三角函数的概念和应用，以及对边与斜边的比值是固定值的事实。
同时，让学生反思并总结研究锐角三角函数的方法和策略，以便更好地掌握和应用相关知识。
四、作业布置老师布置相关作业，让学生巩固和拓展所学知识。
例如，让学生通过计算和实际应用，进一步掌握锐角三角函数的概念和应用。
同时，让学生思考如何将锐角三角函数与其他数学知识和实际问题相结合，更好地应用所学知识。
九年级锐角三角函数全章教案
通过具体例题，演示如何运用锐角三角函数解决实际问题。
03 教学重点与难点
教学重点
锐角三角函数的定义
01
学生需要掌握锐角三角函数的定义，包括正弦、余弦和正切的
定义。
锐角三角函数的性质
02
学生需要理解并掌握锐角三角函数的性质，如正弦、余弦和正
切的取值范围、周期性、奇偶性等。
锐角三角函数的应用
教学方法是否得当
在锐角三角函数的教学过程中，是否采用了多种教学方法，如讲解、 演示、练习等，是否能够帮助学生更好地理解和掌握知识。
学生参与度如何
在教学过程中，学生的参与度如何，是否能够积极思考和回答问题， 是否能够主动参与到课堂讨论中。
教学效果如何
通过本章节的教学，学生是否能够掌握锐角三角函数的基本概念和性 质，是否能够运用所学知识解决实际问题。
03
学生需要能够运用锐角三角函数解决实际问题，如测量问题、
几何问题等。
教学难点
01
锐角三角函数的图像
学生需要理解并掌握锐角三角函数的图像，包括正弦、余弦和正切的图
像。
02
锐角三角函数的变换
学生需要理解并掌握锐角三角函数的变换，如平移、伸缩等。
03
锐角三角函数与其他知识的综合应用
学生需要能够将锐角三角函数与其他知识进行综合应用，如与几何、代
过程与方法
通过实际操作和观察，掌握锐 角三角函数的计算方法。
通过小组合作和交流，理解锐 角三角函数的意义和应用。
通过实例分析和练习，提高解 决实际问题的能力。
情感、态度与价值观
培养对数学的兴趣和热爱。 培养自主探究和合作学习的精神。
培养解决实际问题的意识和能力。
九年级数学下册(人教版)28.1锐角三角函数教学设计
（3）结合实际例题，让学生运用锐角三角函数知识进行分析和求解。
3.巩固练习
设计不同难度的练习题，让学生在课堂上独立完成，巩固所学知识。同时，针对学生的错误，进行及时指导和纠正。
4.课堂小结
通过师生互动，总结本节课所学的主要内容，强化学生对锐角三角函数的认识。
2.提出问题：引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理，为新课的学习做好知识储备。
3.引入新课：在此基础上，引出本节课的主题——锐角三角函数，激发学生的好奇心和学习兴趣。
（二）讲授新知
1.锐角三角函数的定义：
（1）通过观察直角三角形，引导学生发现锐角三角函数的定义；
（2）结合图形，解释正弦、余弦、正切函数的概念；
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：锐角三角函数的定义、基本关系式以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）锐角三角函数的定义及其在直角三角形中的图形表示；
（2）锐角三角函数的基本关系式的推导和应用；
（3）将实际问题转化为锐角三角函数问题，并运用相关知识进行求解。
（二）教学设想
1.采用情境教学法，引入生活中的实际问题，让学生感受到数学知识的实用价值，激发他们的学习兴趣。
2.通过直观的图形演示，引导学生发现锐角三角函数的定义，培养他们的观察能力和抽象思维能力。
3.运用启发式教学法，引导学生通过自主探究、小组讨论等方式，推导出锐角三角函数的基本关系式，提高他们的逻辑思维能力和团队协作能力。
4.设计具有梯度的问题和练习，针对不同层次的学生进行差异化教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（3）利用计算器或计算工具，验证锐角三角函数的值。
第28章-锐角三角函数-全章教案
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一、在 Rt△ABC 中，∠C =90°： B
a 对边
c 斜边
视，对学习基 A 的对边与斜边的比；
础 较 弱 的 学 求 sinB 就是要确定∠B
生 及 时 给 予 的对边与斜边的比．
指点．
教师引导学
生作知识总
结，不断扩充
培养学生概括的能
学 生 的 知 识 力，使知识形成体系，
结构，学习新 并渗透数学思想方法。
的解题方法．
Cb
A
五、体验 收获
即
sin
A
A的对边 斜边
a c
．
同样 sinB= B的对边 斜边
b c
当∠A=300 时，sinA=？ 当∠A=450 时，sinA=？ 当∠A=600 时，sinA=？
也随之确
定”．但是怎
样证明这个
C
A C1
A!
命题呢？学
生这时的思
经过学生的实验和证明，得出：
维很活跃．对
于这个问题，
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐
部分学生可
角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦
能能解决
（sine）,记作：sinA，
它．因此教师
此时应让学
B
生展开讨论，
独立完成．
a 对边
长 50m，那么斜坡与水平面所成角的度数是多少
呢？
二、探究 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并 教 师 提 出 问 在培养学生动手能力的
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说理
三、感悟 深化
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》教案
2.教学难点
-函数图像的绘制和理解：对于一些空间想象力较弱的学生，理解函数图像可能会存在困难。
-锐角三角函数特殊角的记忆：特殊角的函数值是解决实际问题的关键，但记忆这些值可能对学生来说是一个挑战。
其次，在案例分析环节，我尝试让同学们通过小组讨论的方式，将所学知识应用到实际问题中。这个过程中，同学们表现出了很高的积极性，但也暴露出了一些问题。有些同学在分析问题时，容易陷入死记硬背公式，而忽略了解题思路和方法。针对这一点，我将在后续教学中加强对解题方法的指导，引导同学们如何将实际问题转化为数学模型，并运用所学知识解决问题。
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》教案
一、教学内容
人教版九年级Biblioteka 学下册第二十八章《锐角三角函数》主要包括以下内容：
1.正弦、余弦和正切的定义：引导学生理解锐角三角函数的概念，掌握三个函数的定义。
2.锐角三角函数的图像：让学生通过观察图像，了解三个函数随角度变化的规律。
3.锐角三角函数的值：学习如何查表得到锐角三角函数的值，并掌握一些特殊角的函数值。
-实际问题的解决方法：如何将实际问题转化为数学模型，并运用锐角三角函数解决问题，是学生需要克服的难点。
举例：在讲解函数图像时，可以通过动态演示或实物模型来帮助学生形象地理解函数图像的绘制过程。对于特殊角的记忆，可以引导学生发现这些角度的函数值之间的规律，如30°、45°、60°的特殊角的正弦、余弦、正切值，通过规律记忆而非死记硬背。
针对实际问题的解决方法，可以通过以下步骤帮助学生：
a.分析问题：明确问题中涉及的角度和边长，确定需要使用的三角函数。
人教版九年级下册28.1锐角三角函数(教案)
一、教学内容
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》第1节，内容包括：
1.锐角三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数；
2.锐角三角函数的值：特殊角的正弦、余弦、正切值；
3.锐角三角函数的关系：同角三角函数的关系，诱导公式；
4.锐角三角函数的应用：解决直角三角形问题，实际生活中的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切函数的定义及其在直角三角形中的表示方法；
-锐角三角函数的值：特殊角的正弦、余弦、正切值，以及如何记忆和应用这些值；
-锐角三角函数的关系：同角三角函数的基本关系，如正弦和余弦的平方和等于1，以及正切的定义；
-锐角三角函数的应用：利用函数值解决直角三角形问题，以及在现实生活中的应用。
2.教学难点
-理解锐角三角函数的定义，特别是正切函数的定义，因为正切涉及到两个边的比值，而不仅仅是与斜边的比值；
-记忆特殊角的正弦、余弦、正切值，对于部分学生来说，这些值的记忆可能存在困难；
-掌握同角三角函数之间的关系，尤其是正弦、余弦的平方和等于1的转换使用；
-将锐角三角函数应用于解决实际问题，需要学生具备一定的数学建模和问题分析能力。
举例解释：
-对于正切函数的定义，可以通过动态演示或实际操作，让学生直观感受正切值的变化，理解正切与角度的关系；
-为了帮助学生记忆特殊角的函数值，可以设计一些互动游戏或记忆卡片，通过重复练习和趣味性活动加强记忆；
-在讲解同角三角函数关系时，通过图形演示和实际例题，让学生看到这些关系在简化问题和转换公式中的应用；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长比例关系的数学工具。它们在解决实际问题，如测量、建筑等领域具有重要意义。
(完整版)人教版九年级锐角三角函数全章教案
第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数（1）教学目标：1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算。
2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦341米10米二、探索新知 【活动一】问题的引入【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比ABBC，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22。
人教版九年级数学下册28.1：锐角三角函数(教案)
这些核心素养目标的实现将有助于学生形成完整的数学知识体系，提高数学思维品质，为未来的学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切函数的概念是本节课的核心，需确保学生理解函数定义的几何意义。
在总结回顾环节，我强调了锐角三角函数在实际生活中的应用，希望学生们能够学以致用。但从学生的反馈来看，他们对这部分内容的掌握程度仍有待提高。为此，我计划在下一节课中增加一些与实际应用相关的练习题，让学生们在实践中巩固所学知识。
最后，我认识到教学过程中要关注学生的个体差异，因材施教。在今后的教学中，我会更多地关注每个学生的学习需求，努力提高教学质量，使每位学生都能在课堂上收获满满。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了锐角三角函数的概念和应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，关于导入新课的部分，通过提出与日常生活相关的问题，我发现学生们对锐角三角函数产生了浓厚的兴趣。这样的导入方式有效地激发了学生的好奇心和求知欲，为后续的学习打下了良好的基础。
其次，在新课讲授环节，我尝试以直观的方式解释锐角三角函数的定义和性质，并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。但我也注意到，部分学生对函数名称和函数值之间的对应关系仍存在一定的混淆。在今后的教学中，我需要更加重视这一点，通过丰富多样的教学手段帮助学生更好地理解和记忆。
人教版九年级下册数学教案：28.1锐角三角函数
-锐角三角函数的关系：掌握正弦与余弦、正切与余切的互补关系，能灵活运用关系简化计算。
-锐角三角函数的应用：解决实际问题时，能正确运用三角函数进行边角计算。
2.教学难点
-正弦、余弦、正切函数的区分：学生容易混淆三个函数的定义，需要通过直观的图形和实例进行讲解，加强记忆。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版九年级下册数学教案：28.1锐角三角函数
一、教学内容
人教版九年级下册数学教案：28.1锐角三角函数
本节课将围绕以下内容展开：
1.锐角三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数；
2.锐角三角函数的值：特殊角的正弦、余弦、正切值；
3.锐角三角函数的关系：正弦与余弦的互补关系、正切与余切的互补关系；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义和特殊角的三角函数值。对于难点部分，我会通过直观图形和实际测量来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题，如测量教学楼的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用计算器测量角度并计算对应的三角函数值。
-特殊角的三角函数值记忆：学生可能难以记忆特殊角的函数值，应采用图表、口诀等方法帮助学生记忆。
锐角三角函数全章教案
锐角三角函数全章教案．1 锐角三角函数初三备课组教学目标1．知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点1．重点：正弦三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA 表示正弦，正弦概念．教学过程情境引入比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 m．至今，这座高 m 的斜塔仍巍然屹立．你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求 AB．在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？思考：这些结果，你能得到什么结论？结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为．问题2：如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比．BA的对边BC2斜边AB2如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，计算∠A 的对边与斜边的比A的对边BC3斜边AB2在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角2的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 450角的对边BC2斜边AB2在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 60°，那么不管三角形的大小如何，这个角3的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 600角的对边BC3斜边AB2在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．问题3 任意画 Rt△ABC 和 Rt△ABC，使得∠C =∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么'''B'C'BCAB与 A'B' 有什么关系．你能解释一下吗？解：∵∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇．∴ Rt △ABC ∽Rt △ABCBCBCAB ∴ABBCAB∴BCAB在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即A的对边a斜边c EMBED sin A=B1sin 30°=2，sin 45°=232，sin 60°=2例如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sin A 和 sin B 的值．练习提高，提升能力练习1 如下三幅图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sinA 和 sinB 的值练习2 判断下列结论是否正确，并说明理．在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值也扩大 100AC10倍； 62BC如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B= = 4．反思与小结 1．本节课我们学习了哪些知识？2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？课后作业1．教科书第 64 页练习．2．课外探究：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比是否也是一个固定值．教学反思．2 锐角三角函数B 43 2 C C6 A AC教学目标1．知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、tan A 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点1．重点：正弦、正切三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦、正切，正弦和正切概念．教学过程类比推理，提出概念请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？证明推理，引出概念如图：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠FACDFBCEF=90°， AB 与 DE 相等吗？ AC 与 DF 呢？证明推理，得到概念在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值．在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作 cos A ．在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tan A ．证明推理，得到概念∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．巩固概念如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，tan A 的值. 小结反思1．通过本节课的学习，我们一共学习了哪几种锐角三角函数，它们是如何定义的？ 2．在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？课后作业教科书第 68 页习题第 1 题．教学反思．4 锐角三角函数课型：习题课教学目标：1.主进一步认识锐角三角函数2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别，进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题．学习目标: 1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．学习重点：根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．知识梳理问题 1 锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数．问题2 借助两块三角尺说明 30°， 45°，60°角的三角函数值．典型例题例1 已知，如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC=30°，延长 CA 至 D 点，使AD=AB．求∠D，tan D．例2 已知，如图，⊙O 的半径 OA=4，弦 AB= 43 ，求劣弧 AB 的长．1例3 已知，如图，钝角△ABC 中，AC=12 cm，AB=16 cm，sin A=3 ．求 tan B．小结与反思回顾上述三个例题的解题思路，思考：在解题过程中，求一个锐角的三角函数的实质是求什么？已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？在这一过程中应该注意什么？布置作业1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 10 的⊙A 经过点C和点O，与x 轴交于另一点D，点 B 是优弧 ODC 上一点，求∠OBC 的余弦值．3 2．已知：如图，⊙O 的半径 OA=16 cm，OC⊥AB于 C 点，sin∠AOC=4 ，求 AB及 OC 的长．13．已知：如图△ABC 中，D 为 BC 中点，且∠BAD=90°，tan B=3 ，求∠CAD 三角函数值．教学反思y A O B A A O D C B x B C．1解直角三角形及其应用课型：新授课教学目标1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法． 2．了解解直角三角形的意义和条件；3．能根据已知的两个条件，解直角三角形．教学重点、难点：解直角三角形的依据和方法．教学过程实例引入，初步体验问题1 设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= m， AB= m，求∠A 的度数．概念一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．三边之间的关系a2+b2=c2 ；两锐角之间的关系∠A+∠B=90°；边角之间的关系aba sin A=c ， cos A=c ， tan A=b babsin B=c ， cos B=c ， tan B= a．问题3 从问题1 的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？例题示范，方法探究例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2 ，BC=6，解这个直角三角形．例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．应用迁移，巩固提高练习：编写一道解直角三角形的题并解答．归纳：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素，我们就可以解这个直角三角形．一般有两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角．归纳交流，总结反思1．什么叫解直角三角形？直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？ 2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？ 3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？课后作业教科书第 74 页练习；教科书习题第 1 题．教学反思．2 解直角三角形及其应用课型：习题课教学目标1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算．2. 熟练掌握解直角三角形的方法；3. 能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学重难点灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．知识梳理问题 1 什么叫解直角三角形？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.斜边 c 和一条边锐角∠A 和一个直角边 a 锐角和锐角∠A 两条直角边 a 和 b 两条边直角边 a 和斜边 c ∠B= ，a= ， b=______ ∠B=______，b=______，c=______ c=______，______ 求∠A=______，∠B=______ b=______，______ 求∠A=_____，∠B=______ 典型例题例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： a=3 ，c= 6 ；∠B=60°，b=4；∠A=60°，△ABC 的面积 S= 123 ．例2 在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4，求 AD 的长．例3 在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求 AB 和BC．布置作业1．已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．2．AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求 AD，CD 的长．教学反思．3 解直角三角形及其应用教学目标1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程复习引入，知识储备问题1 如图，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 B，⊙O 的半径为 1 cm，PB= cm，则∠AOB= ，弧AB= ．问题2 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？三种：重叠、向上和向下．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． A应用知识，解决问题问题3 20XX 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少？铅垂线视点视线P B O 仰俯水平线视线从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点．问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？弧PQ的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ．应用知识，解决问题问题4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高？从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→α=30°从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→β=60°热气球与高楼的水平距离为120 m→AD=120 m，AD⊥BC．这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．归纳总结应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：将实际问题抽象为数学问题；根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；得到数学问题的答案；得到实际问题的答案．如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．布置作业教科书习题第 2，3，4 题教学反思．4 解直角三角形及其应用教学目标1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。
人教版初中数学九年级下册第二十八章：锐角三角函数(全章教案)
第二十八章锐角三角函数教材简析本章的内容主要包括：锐角三角函数的概念；30°，45°，60°角的三角函数值；利用计算器求任意锐角的三角函数值及根据三角函数值求出相应的锐角；利用锐角三角函数解直角三角形及三角函数的应用．在学生掌握了直角三角形边、角之间的关系的基础上，引入了锐角三角函数的概念，进而学习解直角三角形，是中学几何的重点与难点．本章是中考的必考内容，主要考查特殊锐角三角函数值的计算和解直角三角形及其应用．教学指导【本章重点】锐角三角函数的概念和直角三角形的解法．【本章难点】综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题．【本章思想方法】1．体会数形结合思想．如：在理解和应用锐角三角函数解决实际问题时，注意数形结合思想的应用，即需根据实际问题画出几何图形，并根据图形寻找直角三角形中边、角之间的关系．2．体会转化思想．如：(1)把实际问题转化成数学问题：把实际问题的情境转化为几何图形；把题中的已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系．(2)把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，需要添加适当的辅助线构造出直角三角形．3．体会方程思想．如：在解决直角三角形的实际问题中，经常设出未知数来表示某一个量，并利用直角三角形的边、角关系建立方程，将几何问题转化为求方程的解．课时计划28．1锐角三角函数4课时28．2解直角三角形及其应用3课时28．1 锐角三角函数第1课时 正弦教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．利用相似的直角三角形，探索直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值，从而引出正弦的概念．2．理解锐角的正弦的概念，并能根据正弦的概念进行计算． 【过程与方法】通过探究锐角的正弦的概念的形成，体会由特殊到一般的数学思想方法，培养学生的归纳、推理能力．【情感态度与价值观】让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐，感悟数学的实用性，培养学生学习数学的兴趣．二、重难点目标 【教学重点】理解正弦的意义，会求锐角的正弦值． 【教学难点】理解直角三角形的锐角确定时，它的对边与斜边的比是固定值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P61～P63的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 ，即sin A ＝a c.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则sin B ＝45.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求sin A 和sin B 的值．【互动探索】(引发学生思考)要求sin A 和sin B 的值，需要分别找出∠A 、∠B 的对边和斜边的比．【解答】详细解答过程见教材P63例1.【例2】已知等腰三角形的一腰长为25 cm ，底边长为30 cm ，求底角的正弦值． 【互动探索】(引发学生思考)转化法：将已知条件转化为几何示意图，再作出辅助线构造出直角三角形求解．【解答】如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D. ∵AB ＝AC ＝25 cm ，BC ＝30 cm ，AD 为底边上的高， ∴BD ＝12BC ＝15 cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝20 cm ， ∴sin ∠ABC ＝AD AB ＝2025＝45.即底角的正弦值为45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值一定要在直角三角形中求，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形解答．活动2 巩固练习(学生独学) 1．如图，sin A 等于( C )A ．2B ．55C.12D ． 52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( B )A.83 B ．6 C ．12D ．83．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD ＝9，DC ＝5，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°. ∵AD ＝9，DC ＝5，∴AC ＝AD 2＋DC 2＝92＋52＝106. ∵E 为AC 的中点， ∴DE ＝AE ＝EC ＝12AC ，∴∠EDC ＝∠C ，∴sin ∠EDC ＝sin C ＝AD AC ＝9106＝9106106.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，求sin ∠ABD 的值．【互动探索】首先根据垂径定理得出∠ABD ＝∠ABC ，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB ＝90°，从而由勾股定理算出斜边AB 的长，再根据正弦的定义求出sin ∠ABC 的值，进而得出sin ∠ABD 的值．【解答】∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ， ∴AC ︵ ＝AD ︵， ∴∠ABD ＝∠AB C. ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10， ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 1．如图，sin A ＝∠A 的对边斜边.2．求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形中，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时锐角三角函数教学目标一、基本目标【知识与技能】1．掌握余弦、正切的定义．2．了解锐角∠A的三角函数的定义．3．能运用锐角三角函数的定义求三角函数值．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．【情感态度与价值观】通过观察、思考、交流、总结等数学活动，体验数学学习充满着探索与发现，培养学生积极思考，勇于探索的精神．二、重难点目标【教学重点】余弦、正切的概念，并会求指定锐角的余弦值、正切值．【教学难点】利用锐角三角函数的定义解决有关问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P64～P65的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cos A ＝bc ；(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即tan A ＝ab .2．锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的锐角三角函数.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝4，则cos B ＝35，tan B ＝43.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，求sin A 、cos A 、tan A.【温馨提示】详细解答过程见教材P65例2.【例2】如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求cos C 的值．【互动探索】(引发学生思考)观察图形，cos C ＝DC AC ，所以需要通过tan ∠BAD ＝34和已知条件求出DC 、AC 的长度，再代入求值．【解答】∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴cos C ＝DC AC ＝513.【互动总结】(学生总结，老师点评)在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义分清它们的边角关系，再根据勾股定理解答．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则cos A ＝( C ) A.513 B ．512C.1213D ．1252．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC 等于( A )A ．6B ．323C ．10D ．123．如图所示，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝12.4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，AC ＝2，CD ＝1，设∠CAD ＝α.(1)求sin α、cos α、tan α的值； (2)若∠B ＝∠CAD ，求BD 的长．解：在Rt △ACD 中，∵AC ＝2，DC ＝1， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝ 5.(1)sin α＝CD AD ＝15＝55，cos α＝AC AD ＝25＝255，tan α＝CD AC ＝12.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC， 而∠B ＝∠CAD ， ∴tan α＝2BC ＝12，∴BC ＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据三角函数定义尝试说明： (1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)sin A ＝cos B ； (3)tan A ＝sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A 、cos A 、cos B 、tan A →计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，而sin A ＝a c ，cos A ＝bc ，∴sin 2A ＋cos 2A ＝a 2c 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. (2)∵sin A ＝a c ，cos B ＝ac ，∴sin A ＝cos B.(3)∵tan A ＝a b ，sin A cos A ＝a c b c ＝ab，∴tan A ＝sin Acos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正弦→对比斜余弦→邻比斜正切→对比邻练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 特殊角的三角函数值教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算． 2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小． 【过程与方法】1．通过探索特殊角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．通过推导特殊角的三角函数值，了解知识间的联系，提升综合运用数学知识解决问题的能力．【情感态度与价值观】在探索特殊角的三角函数值中，学生积极参与数学活动，培养学生独立思考问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】根据30°，45°，60°角的三角函数值进行有关计算． 【教学难点】正确理解与记忆30°，45°，60°角的三角函数值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P65～P67的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．sin 30°＝12，cos 30°2tan 30°32．sin 60°2cos 60°＝12，tan 60°3．sin 45°2cos 45°2tan 45°＝1. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各式的值： (1)cos 260°＋sin 260°； (2)cos 45°sin 45°－tan 45°. 【互动探索】(引发学生思考)熟记特殊角的三角函数值→代入算式求值．【解答】(1)cos 260°＋sin 260°＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)cos 45°sin 45°－tan 45°＝22÷22－1＝0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)特殊角的三角函数值必须熟练记忆，既能由角得值，又能由值得角，记忆这个结果，可以结合直角三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为1，2，3，而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为3，2，1；其正切值分别为1÷3，1,1× 3.【例2】数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B 、C 、E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【互动探索】(引发学生思考)根据正切的定义求出AC →根据正弦的定义求出CF →AF ＝AC －F C.【解答】在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝23，∴EF ＝AC ＝2 3. ∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( A ) A ．20° B ．30° C ．40°D ．50°2．若∠A 为锐角，且tan 2A ＋2tan A －3＝0，则∠A ＝45度． 3．计算．(1)2sin 30°－2cos 45°； (2)tan 30°－sin 60°·sin 30°； (3)(1－3tan 30°)2. 解：(1)0. (2)312. (3)3－1. 4．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4，求BC 的长．解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴BD ＝B C.在Rt △ABC 中，∵tan A ＝tan 30°＝BC AB ，∴BC BC ＋4＝33，解得BC ＝2(3＋1)． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0，试判断△ABC 的形状．【互动探索】根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值→根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数→判断△ABC 的形状．【解答】∵(1－tan A )2＋⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0， ∴1－tan A ＝0，sin B －32＝0， ∴tan A ＝1，sin B ＝32， ∴∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－45°－60°＝75°， ∴△ABC 是锐角三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 特殊角的三角函数值：练习设计请完成本课时对应练习！第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能利用计算器求锐角三角函数值．2．已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角．3．能用计算器辅助解决含三角函数的实际问题．【过程与方法】使用计算器可以解决部分复杂问题，通过求值探讨三角函数问题的某些规律，提高学生分析问题的能力．【情感态度与价值观】通过计算器的使用，了解科学在人们日常生活中的重要作用，激励学生热爱科学、学好文化知识．二、重难点目标【教学重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．【教学难点】用计算器求锐角三角函数值时的按键顺序．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用计算器求sin 24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24°′″37°′″18°′″＝B.24°′″37°′″18°′″sin＝C.2ndF sin24°′″37°′″18°′″＝D.sin24°′″37°′″18°′″2ndF＝2．使用计算器求下列三角函数值．(精确到0.0001)(1) sin 24°≈0.4067；(2)cos 35°≈0.8192；(3)tan 46°≈1.0355.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按要求解决问题：(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)(3)已知tan x＝0.7410，求锐角的值．(精确到1′)【互动探索】(引发学生思考)熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．【解答】(1)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：sin 63°′′′52°′′′41°′′′＝显示结果为0.897 859 012.所以sin 63°52′41″≈0.8979.(2)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：tan 19°′′′15°′′′＝显示结果为0.349 215 633 4.所以tan 19°15′≈0.3492.(3)在角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：SHIFT tan 0.7410＝显示结果为36.538 445 77.再按°′′′，显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．【例2】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(精确到0.01)；(2)∠B的度数(精确到1′)．【互动探索】(引发学生思考)观察图形→作辅助线→利用相似锐角三角函数解直角三角形．【解答】(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H . ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin 48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC ，∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos 48°，∴在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin 48°8－9cos 48°，∴∠B ≈73°32′.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角函数求非直角三角形的边或角，一般情况下要构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是( )A.tan 2÷3＝B.tan 2÷3DMS ＝C.2ndF tan (2÷3)＝D.2ndF tan (2÷3)DMS ＝2．用计算器求下列锐角的三角函数值．(精确到0.0001) (1)tan 63°27′； (2)cos 18°59′27″； (3)sin 67°38′24″； (4)tan 24°19′48″. 解：(1)2.0013. (2)0.9456. (3)0.9248. (4)0.4521. 3．根据下列条件求锐角A 的度数．(精确到1″) (1)cos A ＝0.6753； (2)tan A ＝87.54； (3)sin A ＝0.4553； (4)sin A ＝0.6725.解：(1)47°31′21″. (2)89°20′44″. (3)27°5′3″. (4)42°15′37″. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用计算器求锐角三角函数值⎩⎪⎨⎪⎧求已知角的三角函数值由锐角三角函数值求锐角练习设计请完成本课时对应练习！28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形． 2．掌握解直角三角形的根据． 3．能由已知条件解直角三角形． 【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想． 【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标 【教学重点】 解直角三角形的方法． 【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . (1)两锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°； (2)三边满足勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a .3．Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝10，那么BC ＝8，tan B ＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a＝43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin 45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tan α米．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400 km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°. ∵在Rt△ACD中，CD＝21 m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21 m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)【互动探索】要求AB ，先求出AE 与BE →解直角三角形：Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中，∵∠ADE ＝65°，DE ＝15米， ∴tan ∠ADE ＝AE DE，即tan 65°＝AE15≈2.1，解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝42°，CE ＝CD ＋DE ＝6＋15＝21(米)， ∴tan ∠BCE ＝BE CE，即tan 42°＝BE21≈0.9，解得 BE ≈18.9米．∴AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt △ADE 、Rt △BCE ，利用AB ＝AE －BE 即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值． 【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tan α.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD 的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD， ∴BD ＝AD ·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴CD ＝AD ·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan 55°＝20＋AD ·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)． 而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD ，AD ∥BC ，路基顶宽BC ＝9.8 m ，路基高BE ＝5.8 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.6，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD 的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6，tan β＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6 m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500 m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，根据题意，有∠CAD ＝30°.∵tan ∠CAD ＝CD AD， ∴AD ＝CD tan 30°＝3C D. 在Rt △CBD 中，根据题意，有∠CBD ＝60°.∵tan ∠CBD ＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500 m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433 m.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶ 3 ，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠。
人教版九年级数学下册：28锐角三角函数《锐角三角函数优秀教学案例》教案
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.学会使用三角板和直尺等工具进行角度测量，培养学生的动手操作能力。
4.能够运用信息技术辅助学习，提高学生的信息素养。
（二）过程与方法
1.通过观察、实验、探究等方法，引导学生主动发现锐角三角函数的规律。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：教师通过展示一些实际生活中的图片，如建筑物的设计图、物理实验场景等，让学生观察并思考其中涉及到的角度问题。
2.提问引导：教师向学生提出问题，如“这些图片中的角度是如何计算的？”“你能想到一些与角度相关的实际问题吗？”等，激发学生的思考兴趣。
3.学生回答：鼓励学生积极回答问题，分享自己的观点和思考。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过设置一些与生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计一些具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入锐角三角函数的知识，引导学生主动探究。
3.互动情境：创设轻松、愉快的课堂氛围，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生主动表达自己观点的能力。
2.作业反馈：教师及时批改学生的作业，给予反馈和评价，指出学生的错误和不足，帮助学生提高。
3.学生自我检查：学生对自己的作业进行自我检查，总结自己在作业中的优点和不足，不断提高自己的学习效果。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过展示与学生生活密切相关的实例，如建筑设计、物理实验等，让学生了解锐角三角函数在实际生活中的应用，使学生感受到数学的实用性，激发学生的学习兴趣。这种生活情境的引入，不仅能够引起学生的兴趣，还能够增强学生对知识的理解和记忆。
人教版九年级锐角三角函数全章教案
人教版九年级锐角三角函数全章教案九年级锐角三角函数全章教案一、教学目标：1. 了解锐角三角函数的概念和基本性质。
2. 掌握锐角三角函数的定义和计算方法。
3. 理解锐角三角函数的图像、性质和应用。
4. 能够运用锐角三角函数解决实际问题。
二、教学重点：1. 锐角三角函数的定义和计算方法。
2. 锐角三角函数的图像、性质和应用。
三、教学难点：1. 锐角三角函数的图像和性质。
2. 运用锐角三角函数解决实际问题。
四、教学准备：1. 教材：人教版九年级数学教材。
2. 教具：黑板、粉笔、计算器、投影仪等。
五、教学过程：第一课时：锐角三角函数的定义和计算方法1. 导入（5分钟）通过提问复习九年级学过的三角函数的概念和性质，引出本节课的内容。
2. 介绍（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和计算方法，包括正弦、余弦和正切的定义，以及计算方法的示例。
3. 讲解（20分钟）详细讲解正弦、余弦和正切的计算方法，包括利用三角函数表和计算器进行计算的步骤和注意事项。
4. 练习（15分钟）让学生进行一些基础的计算练习，以巩固所学的知识。
5. 小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调锐角三角函数的定义和计算方法。
第二课时：锐角三角函数的图像和性质1. 导入（5分钟）通过提问复习上节课学过的锐角三角函数的定义和计算方法，引出本节课的内容。
2. 介绍（10分钟）讲解锐角三角函数的图像和性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点和周期性。
3. 讲解（20分钟）详细讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点和性质，包括振幅、周期、对称轴等。
4. 练习（15分钟）让学生进行一些图像分析和性质探究的练习，以巩固所学的知识。
5. 小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调锐角三角函数的图像和性质。
第三课时：锐角三角函数的应用1. 导入（5分钟）通过提问复习上节课学过的锐角三角函数的图像和性质，引出本节课的内容。
2. 介绍（10分钟）讲解锐角三角函数在实际问题中的应用，包括角度的测量、高度的计算等。
人教版数学九年级下册28.1《锐角三角函数》教案
-对于概念的内化，通过重复定义、绘制图形、举例子等多种方式帮助学生加深理解。
-对于计算器操作，组织学生进行小组合作，互相学习和纠正，提高操作熟练度。
-对于实际问题应用，设计贴近学生生活的案例，引导学生通过小组讨论、上台展示等方式，将理论知识与实际情境结合。
-对于锐角三角函数性质的理解，通过动态演示或图表展示，让学生观察、总结规律，提高认识。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
4.培养学生准确使用计算器进行数学运算的习惯，增强数据处理和信息素养。
5.通过实际案例分析，使学生体会数学与生活、科技等领域的密切联系，增强学生的数学文化素养和社会责任感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义是本节课的核心内容，需确保学生能够准确理解和记忆。
-特殊角的锐角三角函数值：30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值是基础且重要的一部分，学生需熟练掌握。
在课程总结环节，我觉得可以进一步加强学生对知识点的巩固。例如，通过设计一些有针对性的练习题，让学生在课堂上即时练习，以便及时发现并解决他们在掌握知识点过程中遇到的问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量窗户高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
人教版九年级下册数学教案：28.1.1锐角三角函数
最后，我觉得在课堂总结环节，需要更加关注学生们的反馈。今天课后，我计划收集学生们对课堂内容的疑问和困惑，以便在下一节课中进行针对性的解答和辅导。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数的概念和应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，我发现学生们在理解锐角三角函数的定义时，普遍存在一定的困难。虽然我通过举例和图示进行了解释，但可能还需要寻找更直观、生动的方式，让学生们更好地把握这些概念。或许在下一节课中，我可以尝试使用教具或实物模型，让学生们亲自观察和测量，从而加深对定义的理解。
-难点二：掌握正弦、余弦、正切之间的关系。学生对这些函数之间的互余关系和相互转换可能感到困惑。
-突破方法：通过具体例子和公式推导，让学生理解并记忆这些关系，如sin²θ + cos²θ = 1。
-难点三：解决实际问题时建立数学模型。学生可能难以将实际问题抽象成数学模型，并运用锐角三角函数求解。
-突破方法：通过案例分析，引导学生逐步建立数学模型，并展示解题步骤，让学生模仿和练习。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的对边、邻边与斜边之间的比值关系。它们在解决实际问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量一个物体的高度，展示正弦、余弦、正切在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
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第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数（1）教学目标：1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算。
2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦341米10米二、探索新知 【活动一】问题的引入【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比ABBC，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22。
【问题三】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1中，∠C=∠C 1=90o ， ∠A=∠A 1=α，那么与有什么关系分析：由于∠C=∠C 1 =90o ，∠A=∠A 1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A 1B 1C 1，，即结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值。
【活动二】认识正弦如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。
记作sinA 。
板书：sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=31）【注意】：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？三、例题讲解例 （教材P63-例1）如课本图28．1-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．教师对题目进行分析：求sinA 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求sinB•就是要确定∠B 的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A 对边的值，所以解题时应先求斜边的高．如图（2）在Rt△ABC 中，(1)34CB A.54sin 53sin 5.34BC AC AB ABC R 12222=====+=+=∆AB AC B AB BC A t ，因此中，），在解：如图（,135sin ==AB BC A 125132222=-=-=BC AB AC 1312sin ==AB AC B 因此四、课堂练习教材P64-练习第1、2题五、课时小结在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
六、布置作业教材P68-习题28.1第1题ABCD28．1 锐角三角函数（2）教学目标：1、知识与技能：了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．教学重点：理解余弦、正切的概念．教学难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．教学过程：一、复习旧知、引入新课 【复习】1、口述正弦的定义2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） AB ．23CD二、探索新知 余弦、正切的定义一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1，∠C=∠C 1 =90o，∠B=∠B1=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C1 =90o，∠B=∠B1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1，即结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA，即锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.三、例题讲解例（教材P65-例2）如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6，sinA=35，求sinA、cosA、tanA的值．教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．解：略四、课堂练习教材P64-练习第1、2题五、课时小结在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．六、布置作业教材P68-习题28.1第1题6 C BA28．1 锐角三角函数（3）教学目标：1、知识与技能：能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．2、过程与方法：让学生经历观察、操作等过程，知道30°，45°，60°角的三角函数值，并且进行运算．3、情感态度与价值观：通过锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．教学重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．教学难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所得结论吗？即01sin302=，sin45=你还能推导出0sin60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？二、探索新知【活动】30°、45°、60°角的三角函数值的推导【探索】1.让学生画30°、45°、60°的直角三角形,分别求出它们的三角函数值。
归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA三、例题讲解例1（教材P66-例3）求下列各式的值：（1）cos260°+sin260°．（2）cos45sin45︒︒-tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．例2（教材P66-例2）（1）如图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，6，3求∠A的度数．（2）如图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB3求a．图28.1-9（1）图28.1-9（2）教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．四、课堂练习教材P67-练习第1、2题五、课时小结本节课应掌握：30°、45°、60°角的三角函数值，并且进行计算；六、布置作业教材P68-习题28.1第3题28．1 锐角三角函数（4）教学目标：1、知识与技能：让学生熟识计算器一些功能键的使用，会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．2、过程与方法：自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值．3、情感态度与价值观：让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．教学重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．教学难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】通过上节课的学习我们知道，当锐角A是特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。
二、探索新知【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用计算器求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37°24′，sin37°23′，cos21°28′，cos38°12′tan52°；tan36°20′；tan75°17′；【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝。