压轴题54(学生版)
常规压轴题熟练度训练【学生版】
常规压轴题熟练度训练
要求：多次重复使得你可以在尽可能短的时间内按照以下流程完 成题目 ①读题 ②建立（识别）模型 ③绘（受力分析、过程示意、轨迹）图 ④确定对象（位置或时刻，过程） ，写出原始方程 ⑤联立方程，解出结果 ⑥回顾，对结果进行（完整性、正确性）验证 1．如图所示，质量为 m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角 为 30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为 F 的水平向右的 恒力， 物体可沿斜面匀速向上滑行． 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 当斜面倾角增大并超过某一临界角 θ0 时，不论水平恒力 F 多大，都不 能使物体沿斜面向上滑行，试求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角 θ0 的大小． 2．如图所示，水平桌面上有一薄木板，它的右端与桌面的右端相 齐．薄木板的质量 M＝1.0 kg，长度 L＝1.0 m．在薄木板的中央有一个 小滑块(可视为质点)，质量 m＝0.5 kg，小滑块与薄木板之间的动摩擦 因数 μ1＝0.10，小滑块、薄木板分别与桌面之间的动摩擦因数相等， 且 μ2＝0.20.设小滑块与薄木板之间的滑动摩擦力等于它们之间的最大 静摩擦力．某时刻起对薄木板施加一个向右的拉力使木板向右运动． (1) 若小滑块与木板之间发生相对滑动， 拉力 F1 至少是多大？ (2) 若小滑块脱离木板但不离开桌面，求 拉力 F2 应满足的条件． 3．一长 l＝0.80 m 的轻绳一端固定在 O 点，另一端连接一质量 m ＝0.10 kg 的小球，悬点 O 距离水平地面的高度 H＝1.00 m．开始时小 球处于 A 点，此时轻绳拉直处于水平方向上，如图所示．让小球从静 止释放，当小球运动到 B 点时，轻绳碰到悬 点 O 正下方一个固定的钉子 P 时立刻断裂． 不 计轻绳断裂的能量损失， 取重力加速度 g＝10 2 m/s .求： (1)当小球运动到 B 点时的速度大小； (2)绳断裂后球从 B 点抛出并落在水平地面的 C 点，求 C 点与 B 点之间的水平距离； (3)若 OP＝0.6 m，轻绳碰到钉子 P 时绳中拉力达到所能承受的最 大拉力断裂，求轻绳能承受的最大拉力． 4．如图甲所示，质量足够大、截面是直角梯形的物块静置在光滑
上海第五十四中学七年级下学期 压轴题 期末复习数学试题题
上海第五十四中学七年级下学期 压轴题 期末复习数学试题题一、压轴题1．已知AOD α∠=，OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线．(1)如图1，当160α=︒，若OM 平分AOB ∠，ON 平分BOD ∠，求MON ∠的大小； (2)如图2，若OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，20BOC ∠=︒，60MON ∠=︒，求α．2．借助一副三角板，可以得到一些平面图形（1）如图1，∠AOC ＝ 度．由射线OA ，OB ，OC 组成的所有小于平角的和是多少度？（2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数；（3）利用图3，反向延长射线OA 到M ，OE 平分∠BOM ，OF 平分∠COM ，请按题意补全图（3），并求出∠EOF 的度数．3．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，则以上三个等式两边分别相加得：1111111131122334223344++=-+-+-=⨯⨯⨯． ()1观察发现()1n n 1=+______；()1111122334n n 1+++⋯+=⨯⨯⨯+______．()2拓展应用有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆(如图1)，在每个分点标上质数m ，记2个数的和为1a ；第二次再将两个半圆周都分成14圆周(如图2)，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的12，记4个数的和为2a ；第三次将四个14圆周分成18圆周(如图3)，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的13，记8个数的和为3a；第四次将八个18圆周分成116圆周，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的14，记16个数的和为4a；⋯⋯如此进行了n次．na=①______(用含m、n的代数式表示)；②当na6188=时，求123n1111a a a a+++⋯⋯+的值．4．如图，数轴上点A表示的数为4-，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒(t0)>．()1A，B两点间的距离等于______，线段AB的中点表示的数为______；()2用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______；()3求当t为何值时，1PQ AB2=？()4若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变请直接写出线段MN的长．5．如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且()225350a b++-=．点P 从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．（1）填空：a=，b=；（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）6．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有1CD AB2，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．7．已知：如图数轴上两点A、B所对应的数分别为-3、1，点P在数轴上从点A出发以每秒钟2个单位长度的速度向右运动，点Q在数轴上从点B出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒．（1）若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；（2）若点P比点Q迟1秒钟出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度；（3）在（2）的条件下，当点P和点Q刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C所对应的数，若不存在，试说明理由．8．已知：A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 度；（2）继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在∠AOC 的内部．试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O 按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM 所在直线恰好平分∠BOC 时，时间t 的值为 （直接写结果）． 9．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，C 点表示数c ，b 是最小的正整数，且a 、c 满足|a+2|+（c-7）2=0．（1）a=______，b=______，c=______；（2）若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数______表示的点重合； （3）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ．则AB=______，AC=______，BC=______．（用含t 的代数式表示）. （4）直接写出点B 为AC 中点时的t 的值.10．点A 在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2． (1)如图1点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程2x +1＝12x ﹣5的解，在数轴上是否存在点P 使PA +PB ＝12BC +AB ？若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由； (2)如图2，若P 点是B 点右侧一点，PA 的中点为M ，N 为PB 的三等分点且靠近于P 点，当P 在B 的右侧运动时，有两个结论：①PM ﹣34BN 的值不变；②13PM 24+ BN 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值11．如图，数轴上有A 、B 两点，且AB=12，点P 从B 点出发沿数轴以3个单位长度/s 的速度向左运动，到达A 点后立即按原速折返，回到B 点后点P 停止运动，点M 始终为线段BP 的中点(1)若AP=2时，PM=____；(2)若点A 表示的数是-5，点P 运动3秒时，在数轴上有一点F 满足FM=2PM ，请求出点F 表示的数；(3)若点P 从B 点出发时，点Q 同时从A 点出发沿数轴以2.5个单位长度/s 的速度一直．．向右运动，当点Q 的运动时间为多少时，满足QM=2PM.12．如图，在数轴上从左往右依次有四个点,,,A B C D ，其中点,,A B C 表示的数分别是0,3,10，且2CD AB =.(1)点D 表示的数是 ；（直接写出结果）(2)线段AB 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t （秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时. ①求t 的值;②线段AB 上是否存在一点P ，满足3BD PA PC -=?若存在，求出点P 表示的数x ；若不存在，请说明理由.13．如图，A 、B 、P 是数轴上的三个点，P 是AB 的中点，A 、B 所对应的数值分别为-20和40．（1）试求P 点对应的数值；若点A 、B 对应的数值分别是a 和b ，试用a 、b 的代数式表示P 点在数轴上所对应的数值；（2）若A 、B 、P 三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A 、B 两点相向而行，P 点在动点A 和B 之间做触点折返运动（即P 点在运动过程中触碰到A 、B 任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A 、B 两点相遇，停止运动．如果A 、B 、P 运动的速度分别是1个单位长度/s ，2个单位长度/s ，3个单位长度/s ，设运动时间为t ．①求整个运动过程中，P 点所运动的路程．②若P 点用最短的时间首次碰到A 点，且与B 点未碰到，试写出该过程中，P 点经过t 秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t 的式子表示）；③在②的条件下，是否存在时间t ，使P 点刚好在A 、B 两点间距离的中点上，如果存在，请求出t 值，如果不存在，请说明理由．14．问题一：如图1，已知A ，C 两点之间的距离为16 cm ，甲，乙两点分别从相距3cm 的A ，B 两点同时出发到C 点，若甲的速度为8 cm/s ，乙的速度为6 cm/s ，设乙运动时间为x （s ）， 甲乙两点之间距离为y （cm ）． (1)当甲追上乙时，x = ． (2)请用含x 的代数式表示y ． 当甲追上乙前，y = ；当甲追上乙后，甲到达C 之前，y = ； 当甲到达C 之后，乙到达C 之前，y = ．问题二：如图2，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB=30°．(1)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ；时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ．(2)若从4：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合．15．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，-4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是______；（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）80°；（2）140°【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，再根据角的和差得∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠MON=∠BOM+∠BON，结合三式求解；（2）根据角平分线的定义∠MOC=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC，∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC结合三式求解.【详解】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，∴∠MON=∠BOM+∠BON=12∠AOB+12∠BOD=12(∠AOB+∠BOD).∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，∴∠MON=12×160°=80°；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC，∴∠MON=12∠AOC+12∠BOD -∠BOC=12(∠AOC+∠BOD )-∠BOC.∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠AOC=∠AOB+∠BOC,∴∠MON=12(∠AOB+∠BOC+∠BOD )-∠BOC=12(∠AOD+∠BOC )-∠BOC，∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°,∴60°=12(α+20°)-20°,∴α=140°.【点睛】本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键. 2．（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°.【解析】【分析】（1）根据三角板的特殊性角的度数，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和；（2）依题意设∠2＝x，列等式，解方程求出即可；（3）依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF.【详解】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°，∴∠AOC＝75°，∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°；答：由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是150°；故答案为：75；（2）设∠2＝x，则∠1＝3x+30°，∵∠1+∠2＝90°，∴x+3x+30°＝90°，∴x＝15°，∴∠2＝15°，答：∠2的度数是15°；（3）如图所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°，∵OE 为∠BOM 的平分线，OF 为∠COM 的平分线，∴∠MOF ＝12∠COM ＝82.5°，∠MOE ＝12∠MOB ＝67.5°， ∴∠EOF ＝∠MOF ﹣∠MOE ＝15°．【点睛】本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟记概念是解题的关键. 3．（1）11n n 1-+，n n 1+（2）①()()n 1n 2m 3++②75364 【解析】 【分析】()1观察发现：先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；根据第一空中的猜想计算出结果；()2①由16a 2m m 3==，212a 4m m 3==，320a m 3=，430a 10m m 3==，找规律可得结论；②由()()n 1n 2m 22713173++=⨯⨯⨯⨯知()()m n 1n 22237131775152++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，据此可得m 7=，n 50=，再进一步求解可得． 【详解】()1观察发现：()111n n 1n n 1=-++；()1111122334n n 1+++⋯+⨯⨯⨯+， 1111111122334n n 1=-+-+-+⋯+-+，11n 1=-+， n 11n 1+-=+，nn 1=+； 故答案为11n n 1-+，n n 1+． ()2拓展应用16a 2m m 3①==，212a 4m m 3==，320a m 3=，430a 10m m 3==，⋯⋯()()n n 1n 2a m 3++∴=，故答案为()()n 1n 2m.3++ ()()nn 1n 2a m 61883②++==，且m 为质数，对6188分解质因数可知61882271317=⨯⨯⨯⨯，()()n 1n 2m 22713173++∴=⨯⨯⨯⨯，()()m n 1n 22237131775152∴++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， m 7∴=，n 50=，()()n 7a n 1n 23∴=++，()()n 131a 7n 1n 2=⋅++， 123n1111a a a a ∴+++⋯+ ()()33336m 12m 20m n 1n 2m =+++⋯+++ ()()311172334n 1n 2⎡⎤=++⋯+⎢⎥⨯⨯++⎢⎥⎣⎦31131172n 27252⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭75364=． 【点睛】 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握并熟练运用所得规律：()111n n 1n n 1=-++．4．（1）20,6；（2）43t -+，162t -；（3）t 2=或6时；（4）不变，10，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由数轴上两点距离先求得A ，B 两点间的距离，由中点公式可求线段AB 的中点表示的数；（2）点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发，向右为正，所以-4+3t ；Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，向左为负，16-2t.（3）由题意,1PQ AB 2=表示出线段长度，可列方程求t 的值； （4）由线段中点的性质可求MN 的值不变． 【详解】解：()1点A 表示的数为4-，点B 表示的数为16，A ∴，B 两点间的距离等于41620--=，线段AB 的中点表示的数为41662-+= 故答案为20，6()2点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴点P 表示的数为：43t -+，点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点Q 表示的数为：162t -，故答案为43t -+，162t -()13PQ AB 2=()43t 162t 10∴-+--=t 2∴=或6答：t 2=或6时，1PQ AB 2=()4线段MN 的长度不会变化，点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，1PM PA 2∴=，1PN PB 2= ()1MN PM PN PA PB 2∴=-=-1MN AB102∴==【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，找到正确的等量关系列出方程是本题的关键．5．（1）25-，35（2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次.【解析】【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为x秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.【详解】解：（1）25-，35（2）设运动时间为x秒13x2x2535+=+解得x4=352427-⨯=答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,∵25305-+=，∴点P所在的位置表示的数为5 .（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.6．（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②MNAB的值不变.【解析】【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的13处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝12AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝112AB．【详解】解：（1）由题意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴点P在线段AB上的13处；（2）如图：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=13 AB，∴13 PQ AB=（3）②MNAB的值不变.理由：如图，当点C停止运动时，有CD=12 AB，∴CM=14 AB，∴PM=CM-CP=14AB-5，∵PD=23AB-10，∴PN=1223（AB-10）=13AB-5，∴MN=PN-PM=112AB，当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以111212ABMNAB AB==.【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7．（1）13-；（2）P 出发23秒或43秒；(3)见解析. 【解析】【分析】(1)由题意可知运动t 秒时P 点表示的数为-3+2t ，Q 点表示的数为1-t ，若P 、Q 相遇，则P 、Q 两点表示的数相等，由此可得关于t 的方程，解方程即可求得答案；(2)由点P 比点Q 迟1秒钟出发，则点Q 运动了(t+1)秒，分相遇前相距1个单位长度与相遇后相距1个单位长度两种情况分别求解即可得；(3)设点C 表示的数为a ，根据两点间的距离进行求解即可得.【详解】(1)由题意可知运动t 秒时P 点表示的数为-5+t ，Q 点表示的数为10-2t ；若P ，Q 两点相遇，则有-3+2t=1-t ，解得：t=43， ∴413233-+⨯=-， ∴点P 和点Q 相遇时的位置所对应的数为13-；(2)∵点P 比点Q 迟1秒钟出发，∴点Q 运动了(t+1)秒，若点P 和点Q 在相遇前相距1个单位长度，则()2t 1t 141+⨯+=-， 解得：2t 3=； 若点P 和点Q 在相遇后相距1个单位长度，则2t+1×(t+1) =4+1， 解得：4t 3=， 综合上述，当P 出发23秒或43秒时，P 和点Q 相距1个单位长度； (3)①若点P 和点Q 在相遇前相距1个单位长度， 此时点P 表示的数为-3+2×23=-53，Q 点表示的数为1-(1+23)=-23， 设此时数轴上存在-个点C ，点C 表示的数为a ，由题意得AC+PC+QC=|a+3|+|a+53|+|a+23|，要使|a+3|+|a+53|+|a+23|最小，当点C与P重合时，即a=-53时，点C到点A、点P和点Q这三点的距离和最小；②若点P和点Q在相遇后相距1个单位长度，此时点P表示的数为-3+2×43=-13，Q点表示的数为1-(1+43)=-43，此时满足条件的点C即为Q点，所表示的数为43 ，综上所述，点C所表示的数分别为-53和-43.【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离，从中找到等量关系列出方程是解题的关键.本题也考查了分类讨论思想. 8．（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．【解析】【分析】（1）依据图形可知旋转角=∠NOB，从而可得到问题的答案；（2）先求得∠AOC的度数，然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM与∠NOC的差即可；（3）可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况，然后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可．【详解】（1）由旋转的定义可知：旋转角＝∠NOB＝90°．故答案为：90°（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝60°．∴∠NOC＝60°﹣∠AON．∵∠NOM＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．（3）如图1所示：当OM为∠BOC的平分线时，∵OM为∠BOC的平分线，∴∠BOM＝∠BOC＝60°，∴t＝60°÷5°＝12秒．如图2所示：当OM的反向延长为∠BOC的平分线时，∵ON为为∠BOC的平分线，∴∠BON＝60°．∴旋转的角度＝60°+180°＝240°．∴t＝240°÷5°＝48秒．故答案为：12秒或48秒．【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算，求得三角板旋转的角度是解题的关键．9．（1）-2；1；7；（2）4；（3）3+3t；9+5t；6+2t；（4）3.【解析】【分析】（1）利用|a+2|+（c﹣7）2＝0，得a+2＝0，c﹣7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）分别写出点A、B、C表示的数为，用含t的代数式表示出AB、AC、BC即可；（4）由点B为AC中点，得到AB=BC，列方程，求解即可．【详解】（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，∴a+2＝0，c﹣7＝0，解得：a＝﹣2，c＝7．∵b是最小的正整数，∴b＝1．故答案为﹣2，1，7．（2）（7+2）÷2＝4.5，对称点为7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4．故答案为4．（3）点A表示的数为：－2－t，点B表示的数为：1+2t，点C表示的数为：7+4t，则AB＝t+2t+3＝3t+3，AC＝t+4t+9＝5t+9，BC＝2t+6．故答案为3t+3，5t+9，2t+6．（4）∵点B为AC中点，∴AB=BC，∴3t+3=2t+6，解得：t=3．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．10．(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣92和72；(2)正确的结论是：PM﹣34BN的值不变，且值为2.5．【解析】【分析】（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的点，由此求得12BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣34BN和②12PM+34BN求出其值即可解答．【详解】(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝5．解方程2x+1＝12x﹣5得x＝﹣4．所以BC＝2﹣（﹣4）＝6．所以．设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a，①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3，PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8，解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．(2)设P点所表示的数为n，∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．∵PA的中点为M，∴PM＝12PA＝．N为PB的三等分点且靠近于P点，∴BN＝PB＝×（n﹣2）．∴PM ﹣34BN ＝﹣34××（n ﹣2）， ＝（不变）．②12PM +34BN ＝+34××（n ﹣2）＝34n ﹣（随P 点的变化而变化）． ∴正确的结论是：PM ﹣BN 的值不变，且值为2.5．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．11．(1)5 ；(2)点F 表示的数是11.5或者-6.5；(3)127t =或6t =. 【解析】【分析】（1）由AP=2可知PB=12-2=10，再由点M 是PB 中点可知PM 长度；（2）点P 运动3秒是9个单位长度，M 为PB 的中点，则可求解出点M 表示的数是2.5，再由FM=2PM 可求解出FM=9，此时点F 可能在M 点左侧，也可能在其右侧；（3）设Q 运动的时间为t 秒，由题可知t=4秒时，点P 到达点A ，再经过4秒点P 停止运动；则分04t ≤≤和48t <≤两种情况分别计算，由题可知即可QM=2PM=BP ，据此进行解答即可.【详解】(1)5 ；(2)∵点A 表示的数是5-∴点B 表示的数是7∵点P 运动3秒是9个单位长度，M 为PB 的中点 ∴PM=12PB=4.5，即点M 表示的数是2.5 ∵FM=2PM∴FM=9∴点F 表示的数是11.5或者-6.5(3)设Q 运动的时间为t 秒， 当04t ≤≤时，由题可知QM=2PM=BP ，故点Q 位于点P 左侧，则AB=AQ+QP+PB ，而QP=QM-PM=2PM-PM=12BP ，则可得12=2.5t+12⨯3t+3t=7t ，解得t=127； 当48t <≤时，由题可知QM=2PM=BP ，故点Q 位于点B 右侧，则PB=2QB ，则可得，()()123422.512t t --=-，整理得8t=48，解得6t =.【点睛】本题结合数轴上的动点问题考查了一元一次方程的应用，第3问要根据题干条件分情况进行讨论，作出图形更易理解.12．（1）16；（2）①t 的值为3或143秒；②存在，P 表示的数为314. 【解析】【分析】（1）由数轴可知，AB=3,则CD=6,所以D 表示的数为16，（2）①当运动时间是t 秒时，在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t, C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t ，分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可；②分情况讨论当t=3秒, t=143秒时，满足3BD PA PC -=的点P , 注意P 为线段AB 上的点对x 的值的限制.【详解】（1）16（2）①在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t,C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t.当BC ＝2，点B 在点C 的右边时，由题意得：32-10-2BC t t =+=（），解得：t ＝3，当AD=2，点A 在点D 的左边时，由题意得：16--22AD t t ==，解得：t ＝143． 综上，t 的值为3或143秒 ②存在，理由如下:当t=3时，A 点表示的数为6，B 点表示的数为9，C 点表示的数为7，D 点表示的数为13. 则13-94-6|-7|BD PA x PC x ====，，，-3BD PA PC =，()4--6|-7|x x ∴=，解得：314x =或112， 又P 点在线段AB 上，则69x ≤≤314x ∴=. 当143t =时，A 点表示的数为283，B 点表示的数为373，C 点表示的数为163，D 点表示的数为343. 则37343816-1-|-|3333BD PA x PC x ====，，， -3BD PA PC =， ∴ 28161--|-|33x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得：7912x =或176， 又283733x ≤≤， x ∴无解综上，P 表示的数为314. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t 秒时点A 、B 、C 、D 所表示的数,(2)根据3BD PA PC -=列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程．13．（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t ，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据数轴上两点间的距离公式结合A 、B 两点表示的数，即可得出结论；(2) ①点P 运动的时间与A 、B 相遇所用时间相等，根据路程=速度×时间即可求得；②由P 点用最短的时间首次碰到A 点，且与B 点未碰到，可知开始时点P 是和点A 相向而行的；③点P 与点A 的距离越来越小，而点P 与点B 的距离越来越大，不存在PA=PB 的时候.【详解】解：（1）∵A 、B 所对应的数值分别为-20和40，∴AB=40-(-20)=60，∵P 是AB 的中点，∴AP=60=30，∴点P 表示的数是-20+30=10；∵如图，点A 、B 对应的数值分别是a 和b ，∴AB=b-a ，∵P 是AB 的中点，∴AP=(b-a)∴点P 表示的数是a+(b-a) =(a+b).（2）①点A 和点B 相向而行，相遇的时间为=20（秒），此即整个过程中点P 运动的时间．所以，点P 的运动路程为3×20=60（单位长度），故答案是60个单位长度．②由P 点用最短的时间首次碰到A 点，且与B 点未碰到，可知开始时点P 是和点A 相向而行的．所以这个过程中0≤t≤7.5．P 点经过t 秒钟后，在数轴上对应的数值为10-3t ． 故答案是：10-3t ，0≤t≤7.5．③不存在．由②可知，点P 是和点A 相向而行的，整个过程中，点P 与点A 的距离越来越小，而点P 与点B 的距离越来越大，所以不存在相等的时候．故答案为：（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t ，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析.【点睛】本题考查了数轴上点与点的距离和动点问题.14．问题一、(1)32；（2）3-2x ；2x -3；13-6x ；问题一、（1）35；120；24011. 【解析】【分析】问题一根据等量关系，路程=速度⨯时间，路程差=路程1-路程2，即可列出方程求解。
2024全国名校优质选填压轴题分类汇编 (学生版)
导数1(2024-广东广州-一模)已知直线y =kx 与曲线y =ln x 相交于不同两点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,曲线y =ln x 在点M 处的切线与在点N 处的切线相交于点P x 0,y 0 ,则()A.0<k <1eB.x 1x 2=ex 0C.y 1+y 2=1+y 0D.y 1y 2<12(23-24高三上-浙江温州-期末)已知0<x 1<x 2<x 3<4π,函数f (x )=sin x 在点x i ,sin x i (i =1,2,3)处的切线均经过坐标原点,则()A.tan x 1x 1<tan x 3x 3B.tan x 1x 1>tan x 3x 3C.x 1+x 3<2x 2D.x 1+x 3>2x 23(2024-湖北七市联考)已知函数f (x )=ln ax +13b-x 2+19有零点,当a 2+b 2取最小值时,ba的值为4(2024-湖南长沙一模)已知实数a ,b 分别满足e a =1.02,ln (b +1)=0.02,且c =151,则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b5(23-24高三上浙江宁波-期末)对任意x ∈(1,+∞),函数f (x )=a x ln a -a ln (x -1)≥0(a >1)恒成立,则a 的取值范围为6(2024-全国-模拟预测)巴知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ,若f (x )是奇函数,f (2)=-f (1)≠0,且对任意x ,y ∈R ,f (x +y )=f (x )f ′(y )+f ′(x )f (y ),则()A.f ′(1)=12B.f (9)=0C.20k =1f (k )=1D.20k =1f ′(k )=-17(2024-重庆模拟预测)设点P (异于原点)在曲线C :y =ax 4(a ≠0)上,已知过P 的直线l 垂直于曲线C 过点P 的切线,若直线l 的纵截距的取值范围是34,+∞ ,则a =()A.2B.1C.-1D.±18(2024-江苏徐州-一模)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)+f (x )=f (4),f (2x +1)是奇函数,f 12 =12则()A.17k =1f k -12 =-12 B.17k =1f k -12 =0C.17k =1k f k -12 =-172 D.17k =1k f k -12 =1729(23-24高三下-江西⋅开学考试)142857被称为世界上最神秘的数字,142857×1=142857,142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,142857×5=714285,142857×6=857142,所得结果是这些数字反复出现,若a =e 0.142857,b =ln1.2857142+1,c = 1.285714,则()A.a >b >cB.c >b >aC.b >a >cD.a >c >b圆锥曲线10(2024-广东深圳一一模)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于A,B两点,若|AB|=AF1,且双曲线E的离心率为2,则cos∠BAF1= ()A.-378B.-34C.18D.-1811(2024-江苏-模拟预测)已知点P在曲线x2=2y上运动,过M(0,3)作以P为圆心,1为半径的圆的两条切线MA,MB,则|MA||MB||MP|的值可能是()A.45B.455C.4D.512(2024福建龙岩-一模)斜率为-1的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点,点T是椭圆上的一点,且满足TA⊥TB,点P,Q分别是ΔOAT,ΔOBT的重心,点R是ΔTAB的外心.记直线OP,OQ,OR的斜率分别为k1,k2,k3,若k1k2k3=-18,则椭圆C的离心率为.13(2024浙江⋅模拟预测)设点A,B,C是抛物线y2=4x上3个不同的点,且AB⊥AC,若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分,则点A的横坐标是()A.1B.2C.3D.414(2024-湖北七市联考)已知双曲线C:x2-y23=1的左右顶点分别为A,B,点P是双曲线C上在第一象限内的点,直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,则tanα⋅tanβ=;当2tanα+tanβ取最小值时,ΔPAB的面积为15(2024福建漳州-一模)已知双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线l:y=-153x+153c与双曲线C的右支相交于A,B两点(点A在第一象限),若AF1=|AB|,则()A.双曲线的离心率为62B.BF1=8C.|AB|=347D.b=316(2023高二下-江苏扬州-期中)如图,已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1(-c,0),F2(c,0), A,B,C,D是它们的公共点,且都在圆x2+y2=c2上,直线AB与x轴交于点P,直线CP与双曲线C2交于点Q,记直线AC,AQ的斜率分别为k1,k2,若椭圆C1的离心率为255,则k1⋅k2的值为解三角17(2024・湖北七市联考)能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A.263B.62C.233D.33+1218(23-24高三上-湖北-阶段练习)在锐角ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ΔABC的面积S=bc(1-cos A),则a2bc的取值范围为()A.45,+∞B.45,1615C.45,3235D.3235,161519(2024-浙江-模拟预测)已知ΔABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,()A.若a sin A+C2=b sin A,则B=π3B.若(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C,则A=π6C.若a,b,c成等比数列,则B≤π3D.若a,b,c成等差数列,则tan A2+3tan C2≥220(23-24高三下浙江杭州开学考试)如图,已知BC=3,D,E为ΔABC边BC上的两点,且满足∠BAD=∠CAE,BD⋅BECD⋅CE =14,则当∠ACB取最大值时,ΔABC的面积等于.21(2024湖南九校联考二)在ΔABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b(2cos A+1),则下列结论正确的有A.A=2BB.若a=3b,则ΔABC为直角三角形C.若ΔABC为锐角三角形,1tan B -1tan A的最小值为1D.若ΔABC为锐角三角形,则ca的取值范围为22,23322(23-24高三上-四川南充-阶段练习)ΔABC 的周长为18,若cos A -B 2=2sin C2,则ΔABC 的内切圆半径的最大值为()A.1B.3C.2D.423(2024-安徽蚌埠-模拟预测)已知ΔABC 的角A ,B ,C 满足tan A tan B tan C ≤[tan A ]+[tan B ]+[tan C ],其中符号[x ]表示不大于x 的最大整数,若A ≤B ≤C ,则tan C -tan B =.24(23-24高三上-四川成都-期末)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,且2b sin C -2c cos C =2c sin C cos A .若点H 为ΔABC 的垂心,则SΔABC S ΔHBC的最小值为.数列25(2024高三-江苏-专题练习)已知公差为d 的等差数列a n 前n 项和为S n ,若存在正整数n 0,对任意正整数m ,S n 0⋅S n 0+m <0恒成立,则下列结论一定正确的是()A.a 1⋅d <0B.S n 有最小值C.a n 0⋅a n 0+1>0D.a n 0+1⋅a n 0+2>026(23-24高三下-浙江宁波-阶段练习)已知S n 是公比不为1的等比数列a n 的前n 项和,则“S 2,S 6,S 3成等差数列”是“存在不相等的正整数m ,n ,使得a m ,a mn ,a n 成等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件27(2023-江西景德镇-一模)数列a n 前n 项和为S n ,且满足:∀n ∈N *,a n >0,S n ≠1,a n =S nS n -1,下列说法错误的是()A.a 2=2B.数列a n 有最大值,无最小值C.∀n ∈N *,使得S n ≥n +1D.∃n 0∈N *,使得n 0a n 0>n 0+1 a n 0+14.23-24 高三下-浙江-开学考试)设严格递增的整数数列a 1,a 2,⋯,a 20满足a 1=1,a 20=40.设f 为a 1+a 2,a 2+a 3,⋯,a 19+a 20这19个数中被3整除的项的个数,则f 的最大值为,使得f 取到最大值的数列a n 的个数为.28(23-24高三上-广东・阶段练习)17到19世纪间,数学家们研究了用连分式求解代数方程的根,并得到连分式的一个重要功能:用其逼近实数求近似值.例如,把方程x 2-x -1=0改写成x =1+1x(1),将x 再代入等式右边得到x =1+11+1x ,继续利用(1)式将x 再代入等式右边得到x =1+11+11+1x⋯⋯反复进行,取x =1时,由此得到数列1,1+11,1+11+11,1+11+11+11,⋯,记作a n ,则当n 足够大时,a n逼近实数1+52.数列a n 的前2024项中,满足a n -1+52<0.005的a n 的个数为(参考数据:1+52≈1.618)A.1007B.1009C.2014D.201829(2024高三下-浙江杭州-专题练习)数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯),则()A.当a1=3时,a n为递减数列,且存在M∈R,使a n>M恒成立B.当a1=5时,a n为递增数列,且存在M≤6,使a n<M恒成立C.当a1=7时,a n为递减数列,且存在M≥6,使a n>M恒成立D.当a1=9时,a n递增数列,且存在M∈R,使a n<M恒成立30(2024-山西-模拟预测)如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续.设初始正方形的边长为22,依次构造出的小正方形(含初始正方形)的边长构成数列b n,若a n的前n项和为S n=λn2+(20+λ)nλ<0,n∈N*,令c n=max a n,1b2n,其中max{x,y}表示x,y中的较大值.若c n≥c3恒成立,则实数λ的取值范围是。
挑战中考数学压轴题(学生版)
第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1例2 如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x m=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，m与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1例3 直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2． （1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1例5如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例6 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1例7 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,例8 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝3．D为射线BA上的点（点D不与点10B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1例6 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC 上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例7 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图11.3 因动点产生的直角三角形问题例1如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1例2在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值．例3 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1例4 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1例 7 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图11.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2例 2 如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1例 3 已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例4将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2例6 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2例 7 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1例8 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图11.5 因动点产生的梯形问题例1已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73t a n =∠D P E ，求四边形BDEP 的面积．图1例2 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1例3 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图例 4 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图2例5 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1例 6 已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例7 如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题例 1 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 2 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1例 3 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1例5 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1例 6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E 在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图例7 如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图21.7 因动点产生的相切问题例1 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1例2如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一1.8 因动点产生的线段和差问题例1 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1第二部分 函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例2 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1。
电磁感应中的单双棒问题(学生版)-2024年高考物理压轴题专项训练
压轴题 电磁感应中的单双棒问题1.电磁感应中的单双棒问题在高考物理中占据着举足轻重的地位，是考查学生对电磁感应现象和力学知识综合运用能力的关键考点。
2.在命题方式上，电磁感应中的单双棒问题通常会以综合性较强的题目形式出现，结合电磁感应定律、安培力、牛顿第二定律等知识点，考查学生对电磁感应现象中导体棒的运动状态、受力情况、能量转化等问题的理解和分析。
题目可能要求考生分析导体棒在磁场中的运动轨迹、速度变化、加速度大小等，也可能要求考生求解导体棒产生的感应电动势、感应电流等物理量。
3.备考时，考生应首先深入理解电磁感应的基本原理和单双棒问题的特点，掌握电磁感应定律、安培力、牛顿第二定律等相关知识点的应用。
同时，考生需要熟悉各种类型题目的解题方法和技巧，例如通过分析导体棒受力情况、运用动量定理和能量守恒定律等方法求解问题。
考向一：不含容单棒问题模型规律阻尼式(导轨光滑)1、力学关系：F A =BIl =B 2l 2v R +r ；a =F A m =B 2l 2v m (R +r )2、能量关系：12mv 20-0=Q 3、动量电量关系：-BI l ⋅Δt =0-mv 0；q =n ΔϕR +r =Bl ⋅Δs R +r电动式(导轨粗糙)1、力学关系：F A =B (E -E 反)R +r l =B (E -Blv )R +rl ；a =F B -μmg m =B (E -Blv )m (R +r )l -μg 2、动量关系：BLq -μmgt =mv m -03、能量关系：qE =Q +μmgS +12mv 2m 4、稳定后的能量转化规律：I min E =I min E 反+I 2min (R +r )+μmgv m5、两个极值：(1)最大加速度：v =0时,E 反=0,电流、加速度最大。
I m =E R +r；F m =BI m l ；a m =F m -μmg m （2）最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。
几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(学生版)
2023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8B.45C.10D.45-22(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()A.334B.32C.3D.5433(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()A.213-2B.45-2C.43-2D.215-24(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.2035(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为()A.5B.42C.210D.107(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为()A.4B.42C.25D.58(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1)，连接PD，则2PD+ PC的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+2329(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M 为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-210(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP =x，PB+PE=y，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,422二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN的距离最短，则最短距离是米．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则2PC-PD的最大值是．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD= 4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3cm．点P,Q分别为AB,AD 上的两个定点且BP=AQ=1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为cm．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1，DF=2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC周长的最小值是．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A-1,0两点，交y轴于点C．，B4,0(1)求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是；(3)点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB:y=-x+6分别与x,y轴交于A,B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C-3,0．(1)请直接写出直线BC的关系式：(2)在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD=S△AOD若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D11,0，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA,QD．请直接写出QB-QD的最大值：．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BP CQ的值．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt△ABC中，∠A= 90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN．(1)观察猜想线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2，BC=4，请直接写出PM与PN的积的最大值．25(2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习)在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中A-1，1，，B4，3C4，-1处各有一颗棋子．(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形(BC为底边)，请在图中画出该图形的对称轴．(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且PQ=1(P在Q的左边)，依次连接A，P，Q，B，使得AP+PQ+QB的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．1126(2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末)已知△CDE 与△ABC 有公共顶点C ，△CDE 为等边三角形，在△ABC 中，∠BAC =120°．(1)如图1，当点E 与点B 重合时，连接AD ，已知四边形ABDC 的面积为23，求AB +AC 的值；(2)如图2，AB =AC ，A 、E 、D 三点共线，连接AE 、BE ，取BE 中点M ，连接AM ，求证：AD =2AM ；(3)如图3，AB =AC =4，CE =2，将△CDE 以C 为旋转中心旋转，取DE 中点F ，当BF +34AF 的值最小时，求tan ∠ABF 的值．。
改斜归正秒杀直角类压轴题(全国通用)(学生版)-2024年中考数学重难热点
改斜归正秒杀直角类压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型精讲改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作x ，y 轴的垂线，从而构造一线三直角。
当两直角边相等时，可以得到一线三等角之全等模型，当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线式来解决问题。
(点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。
)具体作法如下：改斜归正之全等模型如图：1-1，在平面直角坐标系中，AB =AB , ∠BAC =90°。
咱们可以把它看作斜直角。
解决这类题目，只需要:(1)如图1-2或1-3，作万能垂线，实现改斜正。
(2)由一线三直角全等模型，易证△ABD ≌△ACE ，可得，BD =AE ,AD =CE ，(3)然后表示出：A ,B ,C ,D ,E ,坐标，利用BD =AE ,AD =CE ，即可轻松得出方程，妙杀大题。
改斜归正之相似模型如图：2-1，在平面直角坐标系中，AB ≠AC (中考数学经典), ∠BAC =90°。
咱们一样可以把它看作斜直角。
解决这类题目：（1）同样只需要如图2-2或2-3，作万能垂线，实现改斜正。
（2）由一线三直角全等模型，易证△ABD ∽△CAE ，可得：AB CA =BD AE=ADCE ，（3）与全等方法类似，只需要表示出：A ,B ,C ,D ,E ,坐标，利用AB CA =BD AE=ADCE ，即可轻松得出方程，从而妙杀大题。
典例分析1如图，已知二次函数y=49x2-4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为5，P为⊙C上一动点．(1)点B，C的坐标分别为B，C．(2)连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．(3)是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．实战训练一、解答题1如图，已知抛物线与x轴交于A-3,0、B1,0两点，与y轴交于点C0,3，对称轴l与x轴交于点D，点E在y轴上，且OE=OB．P是该抛物线上的动点，连结PA、PE，PD与AE交于点F．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)设点P的横坐标为t-3<1<0①求△PAE的面积的最大值；②在对称轴l上找一点M，使四边形PAME是平行四边形，求点M的坐标；③抛物线上存在点P，使得△PEF是以EF为直角边的直角三角形，求点P的坐标，并判断此时△PAE的形状．2如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．3如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-23x2-2x+83交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．(1)如图1，求点D 的坐标；(2)如图2，点P 在第二象限内抛物线上，过点P 作PG ⊥x 轴于G ，点E 在线段PG 上，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交线段DB 于F ，若EF =AE ，设点P 的横坐标为t ，线段PE 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；(3)如图3，在(2)的条件下，点H 在线段OB 上，连接CE 、EH ，若∠CEF =∠AEH ，EH -CE =23AH ，求点P 的坐标．4矩形AOBC 中，OB =4，OA =3．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点(不与B 、C 重合)．过点F 的反比例函数y =kx(k >0)的图象与边AC 交于点E ．(1)当点F 运动到边BC 的中点时，点E 的坐标为；(2)连接EF ，求∠FEC 的正切值；(3)如图2，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G 处，求BG 的长度．5如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O 重合，在其绕原点O 旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y =12x 2相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)．(1)如图1，若点A 、B 的横坐标分别为-3、43，求线段AB 中点P 的坐标；(2)如图2，若点B 的横坐标为4，求线段AB 中点P 的坐标；(3)如图3，若线段AB 中点P 的坐标为(x ,y )，求y 关于x 的函数解析式；(4)若线段AB 中点P 的纵坐标为6，求线段AB 的长．6如图，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m(k>0)交于A(4，1)，B两点，与y轴交于C(0，-1)，直线y=kx+m(k>0)与抛物线对称轴l交于点D．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若AD：BD=3：5，求直线AB的关系式；(3)在(2)的条件下，在直线AB下方的抛物线上求点P的坐标，使△ABP的面积等于4；(4)在(2)的条件下，在对称轴上求点Q，使得△ABQ是直角三角形．7抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A t,0，B8,0两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．8已知二次函数y=-14x2+bx+c图像的对称轴与x轴交于点A(1，0)，图像与y轴交于点B(0，3)，C、D为该二次函数图像上的两个动点(点C在点D的左侧)，且∠CAD=90°．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．9正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动(不与正方形顶点重合)．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．∵(1)如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是；(2)过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；(3)在(2)的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求FGAG的值．10在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象 、1,1、-1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y=x2-2x-3的顶点为P．直线l过点M0,m(m≥-3)，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点(B在A的右侧)，将抛物线L1沿直线L翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．(1)当m=1时，求点D的坐标；(2)连接BC、CD、DB，若∠BCD=90°，求此时L2所对应的函数表达式；(3)在(2)的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．12如图，抛物线y=mx2+m2+3x-(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．13如图，平面直角坐标系中，A (0,4)，C (4,0)，D 是OC 中点，E 是直线AD 上的一动点，以OE 为边作正方形OFGE (逆时针标记)，连FC 交AE 于H ．(1)当D 与E 重合时，求直线FC 解析式；(2)当正方形OFGE 面积最小时，求过O 、F 、C 抛物线的解析式；(3)设点E 的横坐标为t ，若△HFE 与△OAD 相似，请求出t 的值．14已知抛物线y =ax 2+114x -6与x 轴交于A (t ,0)，B (8,0)两点，与y 轴交于点C ，直线y =kx -6经过点B ，点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)填空：a =，k =，t =；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，求CQ +12PQ 的最大值．。
四川数学中考真题压轴题汇编100题(学生版)
③在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线 将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直．接．写出 t 的取值范围.
2．以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直 角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形 EFGH． （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2， 当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°）， ①试用含 α 的代数式表示∠HAE； ②求证：HE=HG； ③四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由．
14．如图，在⊙O 的内接三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过 C 作 AB 的垂
线 l 交⊙O 于另一点 D，垂足为 E．设 P 是 »AC 上异于 A，C 的一个动点，射线 AP 交 l
于点 F，连接 PC 与 PD，PD 交 AB 于点 G． (1)求证：△ PAC∽△PDF；
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（1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△ BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△ BPE∽△CEQ；并求当 BP= a ， CQ= 9 a 时，P、Q 两点间的距离 (用含 a 的代数式表示)．
2 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y 5 x m ( m 为常数)的图象与 x 轴
NP BQ 出该最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，⊙O 的半径 r=25，四边形 ABCD 内接圆⊙O，AC⊥BD 于点 H，P 为 CA 延 长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．
二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
规律变化探究性问题-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
规律变化探究性问题1.压轴题速练一、单选题1(2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，⋯，则第⑦个图形中棋子的颗数为()A.84B.108C.135D.1522(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，⋯和点C1，C2，C3，⋯分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2 (3，2)，则B2021的坐标是()A.(22021,22022)B.(22021,22020)C.(22021-1,22020)D.(22021+1,22020)3(2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习)观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是()A.6074B.6072C.6070D.60684(2022秋·四川资阳·九年级统考期末)如图，直线l的解析式为y=33x，点M10，1，M1N1⊥y轴交直线l于点N1；点M2为y轴上位于M1上方的一点，且M1M2=M1N1，M2N2⊥y轴交直线l于点N2；点M3为y轴上位于M2上方的一点，且M2M3=M2N2，M3N3⊥y轴交直线l于点N3⋯，按此规律，线段N2022N2023的长为()A.31+3 2021B.31+3 2022C.231+3 2021D.231+3 20225(2023·山东德州·模拟预测)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式a +b 2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算a +b 10的展开式中第三项的系数为()A.36B.45C.55D.666(2023·湖南益阳·校考模拟预测)如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，⋯，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为()A.52n -1B.52nC.52n +1D.52n +27(2022春·四川内江·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB 位置如图，∠OBA =90°，点B 的坐标为(1，0)，每一次将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA 1B 1，第二次旋转得到△OA 2B 2，⋯，以此类推，则点A 2022的坐标是()A.(22022，22022)B.(-22021，22021)C.(22021，-22021)D.(-22022，-22022)8(2022秋·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B (0,-2),C(1,-0)，点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4⋯⋯按此作法进行下去，则点P2022的坐标为()A.(0,2)B.(-2,0)C.(2,-4)D.(-2,-2)9(2022秋·八年级单元测试)如图所示，直线y=33x+33与y轴相交于点D，点A1在直线y=3 3x+33上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线y=33x+33相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线y=33x+33相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为()A.2n-1B.2n-2C.2n-1×3D.2n-2×310(2023秋·山东济宁·九年级统考期末)如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作BC⊥AB，使BC=2BA．将ΔABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°．则第2022次旋转结束时，点C的对应点C'落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为()A.-4B.4C.-6D.6二、填空题11(2022秋·山东泰安·八年级校考期末)如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形⋯依此类推，则第2019个三角形的长.12(2023·湖北恩施·统考一模)一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到0,1，然后接着按图中箭头所示方向运动[即0,0→0,1→1,1→1,0→⋅⋅⋅]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是．13(2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模)化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干--甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸--表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是．14(2023·甘肃陇南·校考一模)按一定规律排列的式子：-3ba,8ba3,-15ba5,24ba7，⋯⋯第n个式子是．15(2023·海南省直辖县级单位·统考一模)用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为．16(2023·山东枣庄·校考模拟预测)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有(用含n代数式表示)个．17(2023秋·重庆永川·七年级统考期末)如图是一个电子青蛙游戏盘，已知AB=7，BC=6，AC=5，BP0=3．电子青蛙在AB边上的P0处，第一步跳到P1处，使BP1=BP0，第二步跳到P2处，使CP2=CP1，第三步跳到P3处，使AP3=AP2，⋯⋯，按上述的规则跳下去，第2023步落点为P2023，则P1与P2023之间的距离为．18(2023秋·河南许昌·九年级校考期末)平面直角坐标系中，若干个半径为1，圆心角为60°的扇形组成的图形如图所示，点P从原点O出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，则2021秒时，点P的坐标是．19(2022秋·山东临沂·九年级统考期中)若关于x的一元二次方程x2-3x+m2+m=0m>0，当m=1,2,3,⋯,2022时，相应的一元二次方程的两根分别记为α1,β1;α2,β2;⋯;α2022,β2022,则1α1+1β1+1α2+1β2+⋯1α2022+1β2022的值为．20(2023·江苏扬州·九年级专题练习)如图，在正方形ABCD 中，顶点A -5，0 ，C 5，10 ，点F 是BC 的中点，CD 与y 轴交于点E ，AF 与BE 交于点G ，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点G 的坐标为．三、解答题21(2023·安徽六安·统考二模)观察以下等式：第1个等式：23=12+16；第2个等式：25=13+115；第3个等式：27=14+128；第4个等式：29=15+145；⋯⋯按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第n 个等式，并证明你的结论．22(2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习)先观察，再解题：因为1-12=11×2，12-13=12×3，13-14=13×4，⋯所以(1)15×6=．(2)请接着完成下面的计算：11×2+12×3+13×4+⋯+149×50=1-12 +12-13 +13-14 +⋯+149-150(3)参照上述解法计算11×3+13×5+15×7+⋯+149×51．23(2022秋·安徽宣城·七年级统考期末)如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：(1)请写出第3个等式：；(2)猜想第n个等式为：(用含n的等式表示)；(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？24(2023·安徽·模拟预测)以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推⋯⋯(1)第5个图案中正方形有个，等边三角形有个．(2)第n个图案中正方形有个，等边三角形有个．(3)若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？25(2023·安徽·模拟预测)十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，⋯⋯，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：(1)第10层有个盆栽，第a层有个盆栽，前n层共有个盆栽；(2)计算：1+3+5+⋯⋯+25=；(3)拓展应用：求27+29+⋯⋯+1921的值．26(2022秋·山东济南·七年级统考期中)利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题(1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的12,14,18⋯12n ，根据图示我们可以知道：12+14+18+116+⋯+12n =．(用含有n 的式子表示)(2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的23，然后依次取剩余部分的23，根据图示：计算：23+29+227+⋯+23n =．(用含有n 的式子表示)(3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：13+29+427+881+⋯+2n -13n =．(用含有n 的式子表示)27(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)完成下列填空：(1)已知a 1=11×2×3+12=23，a 2=12×3×4+13=38，a 3=13×4×5+14=415，⋯⋯，依据上述规律，则a 99==．(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形)，可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n ，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是．(3)下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：a 1=12-1+-12；第2个数：a 2=13-1+-12 1+(-1)231+(-1)34；第3个数：a 3=14-1+-12 1+(-1)231+(-1)34 1+(-1)45 1+(-1)56 ；⋯⋯则第n 个数为：．28(2022秋·山西吕梁·七年级统考期中)如图，每张小纸带的长为40cm ，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为3cm ．(1)用2张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为77cm，则用3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为cm．(2)①用n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是cm；②计算用20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．29(2023春·七年级课时练习)观察下列各式(x-1) (x+1)=x2-1(x-1)x2+x+1=x3-1(x-1)x3+x2+x+1=x4-1⋯⋯请根据你发现的规律完成下列各题：(1)根据规律可得(x-1)x n-1+⋯+x+1=(其中n为正整数)；(2)计算：(3-1)×350+349+348+⋯+32+3+1；(3)①计算：22022+22021+22020+⋯+2+1；②计算：(-2)2022+(-2)2021+(-2)2020+⋯+(-2)+1．30(2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习)将正方形ABCD(如图1)作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2)，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有个正方形；(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形；(3)能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．计算3 41+14+142+143+⋯⋯+14n(直接写出答案即可)。
高考压轴题——力学大题专项训练(学生版)
高考压轴题——力学专项训练一、解答题1．如图所示，光滑导轨ABC 固定在竖直平面内，左侧为半径为r 的半圆环，右侧为足够长的水平导轨。
一弹性绳原长为r ，其一端固定在圆环的顶点A ，另一端与一个套在圆环上质量为m 的小球D 相连。
先将小球移至某点，使弹性绳处于原长状态，然后由静止释放小球。
已知弹性绳伸长时弹力的大小满足胡克定律，弹性绳弹性势能满足公式212p E kx =，劲度系数6mg k r =，x 为形变量，重力加速度为g 。
求 （1）释放小球瞬间，小球对圆环作用力的大小和方向；（2）D 球在圆环上达到最大速度时，弹性绳的弹性势能为多大；（3）在水平导轨上等间距套着质量均为2m 的n 个小球，依次编号为1、2、3、4……n ，当小球D 在圆环上达到最大速度时恰好与弹性绳自动脱落，继续运动进入水平光滑导轨，之后与小球发生对心碰撞，若小球间的所有碰撞均为弹性碰撞，求1号球的最终速度及其发生碰撞的次数。
（结果可保留根式）2．如图所示，水平地面上静止一辆带有向后喷射装置的小车，小车的质量为M＝1kg，现给小车里装入10个相同的小球，每个小球质量为m＝1kg。
车上的喷射装置可将小球逐一瞬间向后水平喷出，且相对于地t ＝喷出一个小球。
已知小车运动时受到的阻力为小车和车内面的速度都是v o＝20m/s，每间隔相等时间1s小球总重力的k＝0.2倍，g＝10m/s2.（1）喷出第一个小球时，小车同时也获得一个反向速度，求此时整个系统增加的机械能；（2）求喷出第三个小球后，小车的速度v3；（3）调整第四个及以后的每个小球喷出速度，可使得接下来的每个小球喷出后小车的速度都等于v3。
求第四个小球和第五个小球喷出的速度之比。
3．某传送装置的示意图如图所示，整个装置由三部分组成，左侧为粗糙倾斜直轨道AB ，中间为水平传送带BC ，传送带向右匀速运动，其速度的大小可以由驱动系统根据需要设定，右侧为光滑水平面CD ．倾斜轨道末端及水平面CD 与传送带两端等高并平滑对接，质量分别为2m 、3m ……1n m -、n m 的1n -个物块在水平面CD 上沿直线依次静止排列．质量为1m 物块从斜面的最高点A 由静止开始沿轨道下滑，已知A 点距离传送带平面的高度 2.5m h =，水平距离1 3.5m L =，传送带两轴心间距27m L =，物块与倾斜直轨道、传送带间的动摩擦因数均为0.2μ=，取重力加速度210m/s =g 。
板块模型--高考物理压轴题专项训练 学生版
板块模型1.目录一、考向分析⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1二、题型及要领归纳⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2热点题型一结合牛顿定律与运动学公式考察不受外力板块模型中的多过程运动⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2热点题型二结合牛顿定律与运动学公式考察受外力板块模型中的多过程运动⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6热点题型三结合新情景考察板块模型思想的迁移运用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9类型一以竖直面为情境构板块模型考动力学知识及相对运动的理解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9类型二结合斜面模型综合考查板块模型中的多过程多运动问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10类型三综合能量观点考查板块模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13类型四电磁学为背景构建板块模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15三、压轴题速练⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20一考向分析1.概述：滑块和滑板叠加的模型简称为“板块模型”这两个简单的“道具”为考查学生的物质观念、运动与相互作用观念能量观念展现了丰富多彩的情境，是高中物理讲、学、练、测的重要模型之一。
无论是高考还是在常见的习题、试题中“板块模型”的模型的身影都随处可见，而且常考常新。
对于本专题的学习可以比较准确地反映学生分析问题、解决问题的能力和学科核心素养。
2.命题规律滑块-滑板模型，涉及摩擦力分析、相对运动、摩擦生热、多次相互作用，属于多物体多过程问题，知识综合性较强，对能力要求较高，所以高考试卷中经常出现这一类型。
3.复习指导分析滑块-滑板类模型时要抓住一个转折和两个关联。
一个转折--滑块与滑板达到相同速度或者滑块从滑板上滑下是受力和运动状态变化的转折点。
两个关联--转折前、后受力情况之间的关联和滑块、滑板位移与板长之间的关联。
一般情况下，由于摩擦力或其他力的转变，转折前、后滑块和滑板的加速度都会发生变化，因此以转折点为界，对转折前、后进行受力分析是建立模型的关键。
中考数学备考必胜系列 压轴题精选圆50道题(第二季)学生版
【备考2020】中考数学备考必胜系列压轴题精选圆50道题（第二季）1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．2.如图，已知、是的两条割线，与交于两点，过圆心且与交于两点，平分.（1）求证：；（2）过点的切线交于，若，求的值.[提示：]3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径.AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E.交⊙O于点D，连接BD.（1）求证:∠BAD=∠CBD:（2）若∠AEB=125°.求的长(结果保留π).4.已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB=2∠EHN；（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若0A⊥ME，∠EON=4∠CHN，求证：MP=AB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK:ME=2：3，BC= ，求RG的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且，连接FB，FD，FD 交AB于点N.（1）若AE=1，CD=6，求⊙O的半径；（2）求证：△BNF为等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M.求证：ON·OP=OE·OM.6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E 作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD.（1）求证：EF是△CDB的中位线；（2）求EF的长.7.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan∠ACD的值.8.如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度.9.如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE.（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长.10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O 于点D，连接BD.（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）.11.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(-3，0)，B(0，3).（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2: y＝3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆.①当点Q与点C重合时，求证: 直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点, 连结QM，QN. 问:是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.12.如图1，O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F.（1）求证：BD=BE.（2）当AF：EF=3:2，AC=6时，求AE的长。
北京第五十四中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
北京第五十四中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．已知在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4．P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF⊥BD，交射线BC 于点F ．联结AP ，画∠FPE=∠BAP，PE 交BF 于点E ．设PD=x ，EF=y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求△ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC ，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD 的长．2．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形． （3）设平移的距离为cm(0662)x x <≤+，两张纸条重叠部分的面积为2cm s ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．3．已知：如图，抛物线2134y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：34y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，ACE △的外心是P ．（1）求m ，n 的值．（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）4．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．5．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '．①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．6．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠，使点A 落在CD 边上点E 处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C 再次折叠，使得点B 落在边CD 上点B′处，如图③，两次折痕交于点O ；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB 、OE 、OC 、FD ，如图④．（探究）（1）证明：OBC ≌OED ；（2）若AB ＝8，设BC 为x ，OB 2为y ，是否存在x 使得y 有最小值，若存在求出x 的值并求出y 的最小值，若不存在，请说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 A (-1，0) ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，点D 为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式；（2）已知经过点A 的直线y ＝kx +b (k >0)与抛物线在第一象限交于点E ，连接AD ，DE ，BE ，当2ADE ABE S S ∆∆=时，求点E 的坐标．（3）如图2，在（2）中直线AE 与y 轴交于点F ，将点F 向下平移233+到Q ，连接QB ．将△OQB 绕点O 逆时针旋转一定的角度α（0°<α<360°）得到OQ B''，直线B Q''与x轴交于点G．问在旋转过程中是否存在某个位置使得OQ G'是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．9．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2， 求12S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由11．如图，在ABCD 中，E 为边BC 的中点，F 为线段AE 上一点，连结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ，设AD EF x AB AF==．（1）当1x =时，求:AG AB 的值；（2）设GDH EBAS y S =△△，求y 关于x 的函数关系式； （3）当3DH HC =时，求x 的值．12．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD 边打台球，该球桌长AB =4m ，宽AD =2m ，点O 、E 分别为AB 、CD 的中点，以AB 、OE 所在的直线建立平面直角坐标系。
数学-2024高考数学压轴题特训(解答题)学生版
=
n i =1
n
ai2j
j =1
2
=
22 + 42 + 32 + 52 = 3 6 .弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要
的应用.
1 0 0
0 2 0
(1) n N*
，
n
3 ，矩阵
Bnn
=
0
0
3
0 0 0
(2) n N* ， n 3 ，，矩阵 Cnn =
0
0
0
，求使
BF
3
原卷及解答见Q群：新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495
本《压轴特训单选、多选、填空、解答》四种全套原题及解析见QQ群
ln n + 2 0 0 0 n +1
2
2
ln
n +1 n
2
ln
n +1 n
2
00
(3)矩阵
Dmn
=
，证明： n N* ， n 3 ，
5．（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系 O− xyz 中，任何一个平面的方程都能表示
成 Ax + By + Cz + D = 0 ，其中 A, B,C, D R ，A2 + B2 + C2 0 ，且 n = ( A, B,C ) 为该平面的法
向 量 . 已 知 集 合 P = ( x, y, z) x 1, y 1, z 1 ， Q = ( x, y, z) x + y + z 2 ，
线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数
y
=
1 2x
北京第五十四中学八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
北京第五十四中学八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．2．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.3．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．4．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）5．请按照研究问题的步骤依次完成任务．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D ．（简单应用）（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P 的度数（可直接使用问题（1）中的结论）（问题探究）（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ， 若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P 的度数为 ；（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=x ，∠B=y ，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为 （用x 、y 表示∠P ） ；（5）在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、D 的关系，直接写出结论 ．6．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．7．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？8．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．9．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．10．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 为ABC ∆内一点，且BD AD =．（1）求证：CD AB ⊥；（2）若15CAD ∠=︒，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =．①求BDC ∠的度数．②若点M 在DE 上，且DC DM =，请判断ME 、BD 的数量关系，并说明理由． ③若点N 为直线AE 上一点，且CEN ∆为等腰∆，直接写出CNE ∠的度数．11．对x y 、定义一种新运算T ，规定：()()(),2T x y mx ny x y =++（其中mn 、均为非零常数）．例如：()1,133T m n =+．（1）已知()()1,10,0,28T T -==．①求mn 、的值； ②若关于p 的不等式组()()2,244,32T p p T p p a ⎧->⎪⎨-≤⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围； （2）当22x y ≠时，()(),,T x y T y x =对任意有理数,x y 都成立，请直接写出mn 、满足的关系式．学习参考：①()a b c ab ac +=+，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②()()a b m n am an bm bn ++=+++，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．12．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．13．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：（1）取特殊情况，探索讨论：当点E 为AB 的中点时，如图（2），确定线段AE 与DB 的大小关系，请你写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”），并说明理由．（2）特例启发，解答题目：解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你将剩余的解答过程完成） （3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC上，且ED EC =，若△ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你画出图形，并直接写出结果）．14．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．15．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。
北京第五十四中学七年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
北京第五十四中学七年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P 到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3．问题解决：(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的d追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N表示的数是_____(用含a的代数式表示)；(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为t(t>0)．①当b=4时，问t为何值时，点A到点B的d追随值d[AB]=2；②若0<t≤3时，点A到点B的d追随值d[AB]≤6，求b的取值范围．2．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，∠BO N= ；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）3．已知：如图，点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点，OC平分∠MON，在∠CON 的内部取一点P（点A、P、B三点不在同一直线上），连接PA、PB．（1）探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系，并证明你的结论；（2）设∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分线PQ交OC于点Q，求∠OQP的度数（用含有x、y的代数式表示）．4．如图，A 、B 、P 是数轴上的三个点，P 是AB 的中点，A 、B 所对应的数值分别为-20和40．（1）试求P 点对应的数值；若点A 、B 对应的数值分别是a 和b ，试用a 、b 的代数式表示P 点在数轴上所对应的数值；（2）若A 、B 、P 三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A 、B 两点相向而行，P 点在动点A 和B 之间做触点折返运动（即P 点在运动过程中触碰到A 、B 任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A 、B 两点相遇，停止运动．如果A 、B 、P 运动的速度分别是1个单位长度/s ，2个单位长度/s ，3个单位长度/s ，设运动时间为t ．①求整个运动过程中，P 点所运动的路程．②若P 点用最短的时间首次碰到A 点，且与B 点未碰到，试写出该过程中，P 点经过t 秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t 的式子表示）；③在②的条件下，是否存在时间t ，使P 点刚好在A 、B 两点间距离的中点上，如果存在，请求出t 值，如果不存在，请说明理由．5．已知：如图，点M 是线段AB 上一定点，12AB cm =，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1/cm s 、2/cm s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）()1若4AM cm =，当点C 、D 运动了2s ，此时AC =________，DM =________；（直接填空）()2当点C 、D 运动了2s ，求AC MD +的值．()3若点C 、D 运动时，总有2MD AC =，则AM =________（填空）()4在()3的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN BN MN -=，求MN AB的值．6．已知：∠AOB 是一个直角，作射线OC ，再分别作∠AOC 和∠BOC 的平分线OD 、OE ．（1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE 的度数；（2）如图②，若射线OC 在∠AOB 内部绕O 点旋转，当∠BOC=α时，求∠DOE 的度数.（3）如图③，当射线OC 在∠AOB 外绕O 点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE 的度数．7．阅读下列材料，并解决有关问题： 我们知道，(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，例如化简式子|1||2|x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x =（称1-、2分别为|1|x +与|2|x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：（1）1x <-；（2）1-≤2x <；（3）x ≥2．从而化简代数式|1||2|x x ++-可分为以下3种情况：（1）当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+；（2）当1-≤2x <时，原式()()123x x =+--=；（3）当x ≥2时，原式()()1221x x x =++-=-综上所述：原式21(1)3(12)21(2)x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你类比解决以下问题：（1）填空：|2|x +与|4|x -的零点值分别为 ；（2）化简式子324x x -++．8．如图，已知线段AB=12cm ，点C 为AB 上的一个动点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中点．（1）若AC=4cm ，求DE 的长；（2）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC 取何值（不超过12cm ），DE 的长不变； （3）知识迁移：如图②，已知∠AOB=α，过点O 画射线OC ，使∠AOB:∠BOC=3:1若OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，试探究∠DOE 与∠AOB 的数量关系．9．如图，己知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上一点，且AB=22．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)写出数轴上点B 表示的数____，点P 表示的数____（用含t 的代数式表示）；(2)若动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q?（列一元一次方程解应用题）(3)若动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问 秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2（直接写出答案）(4)思考在点P 的运动过程中，若M 为AP 的中点，N 为PB 的中点.线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长.10．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC ＝30°，将一直角三角板（其中∠P ＝30°）的直角顶点放在点O 处，一边OQ 在射线OA 上，另一边OP 与OC 都在直线AB 的上方．将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）如图2，经过t 秒后，OP 恰好平分∠BOC ．①求t 的值；②此时OQ 是否平分∠AOC ？请说明理由；（2）若在三角板转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分∠POQ ？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC 平分∠POB ？（直接写出结果）．11．已知线段30AB cm（1）如图1，点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动，同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动，几秒钟后，P Q 、两点相遇？（2）如图1，几秒后，点P Q 、两点相距10cm ？（3）如图2，4AO cm =，2PO cm =，当点P 在AB 的上方，且060=∠POB 时，点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q 沿直线BA 自B 点向A 点运动，假若点P Q 、两点能相遇，求点Q 的运动速度．12．已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点分别为A ，B ，C ，且满足（a-1）2+|ab+3|=0，c=-2a+b ．（1）分别求a ，b ，c 的值；（2）若点A 和点B 分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动，设运动时间为t 秒．i ）是否存在一个常数k ，使得3BC-k•AB 的值在一定时间范围内不随运动时间t 的改变而改变？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．ii ）若点C 以每秒3个单位长度的速度向右与点A ，B 同时运动，何时点C 为线段AB 的三等分点？请说明理由．13．问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律. 探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；边长为2的正三角形一共有1个.探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为2的正三角形共有个.探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？（仿照上述方法，写出探究过程）结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？（仿照上述方法，写出探究过程）应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个.14．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x 1，x 2，x 3，称为数列x 1，x 2，x 3．计算|x 1|，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列x 1，x 2，x 3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，()212+-=12，()2133+-+=43，所以数列2，-1，3的最佳值为12．东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为12；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列-4，-3，1的最佳值为（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为，取得最佳值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，-9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a的值．15．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒．16．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM、ON，然后提出如下问题：求出∠MON的度数．特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON、OD、OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON的度数为°．图3中∠MON的度数为°．发现感悟解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：小明：由于图1中∠AOC 和∠BOD 的和为90°，所以我们容易得到∠MOC 和∠NOD 的和，这样就能求出∠MON 的度数．小华：设∠BOD 为x °，我们就能用含x 的式子分别表示出∠NOD 和∠MOC 度数，这样也能求出∠MON 的度数．（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON 的度数．类比拓展受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠AOC 、∠BOD 的平分线OM 、ON ，他们认为也能求出∠MON 的度数．（3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON 的度数；若不同意，请说明理由．17．已知AOD α∠=，OB 、OC 、OM 、ON 是AOD ∠内的射线．(1)如图1，当160α=︒，若OM 平分AOB ∠，ON 平分BOD ∠，求MON ∠的大小；(2)如图2，若OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，20BOC ∠=︒，60MON ∠=︒，求α．18．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A ，B 在数轴上分别对应的数为a ，b (a <b )，则AB 的长度可以表示为AB =b －a ． 请你用以上知识解决问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A 点，再向右移动3个单位长度到达B 点，然后向右移动5个单位长度到达C 点．（1）请你在图②的数轴上表示出A ，B ，C 三点的位置．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒．①当t=2时，求AB和AC的长度；②试探究：在移动过程中，3AC－4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．19．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c-10）2=0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后．再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为8？请说明理由．20．如图，数轴上有A、B两点，且AB=12，点P从B点出发沿数轴以3个单位长度/s的速度向左运动，到达A点后立即按原速折返，回到B点后点P停止运动，点M始终为线段BP的中点(1)若AP=2时，PM=____；(2)若点A表示的数是-5，点P运动3秒时，在数轴上有一点F满足FM=2PM，请求出点F 表示的数；(3)若点P从B点出发时，点Q同时从A点出发沿数轴以2.5个单位长度/s的速度一直．．向右运动，当点Q的运动时间为多少时，满足QM=2PM.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1)1＋a或1－a；(2)12或52；(3)1≤b≤7.【解析】【分析】(1)根据d追随值的定义，分点N在点M左侧和点N在点M右侧两种情况，直接写出答案即可；(2)①分点A在点B左侧和点A在点B右侧两种情况，类比行程问题中的追及问题，根据“追及时间=追及路程÷速度差”计算即可；②【详解】解：(1)点N在点M右侧时，点N表示的数是1+a；点N在点M左侧时，点N表示的数是1-a；(2)①b=4时，AB相距3个单位，当点A在点B左侧时，t=(3-2)÷(3-1)=12，当点A在点B右侧时，t=(3+2)÷(3-1)=52；②当点B在点A左侧或重合时，即d≤1时，随着时间的增大，d追随值会越来越大，∵0<t≤3，点A到点B的d追随值d[AB]≤6，∴1-d+3×(3-1)≤6，解得d≥1，∴d=1，当点B在点A右侧时，即d>1时，在AB重合之前，随着时间的增大，d追随值会越来越小，∵点A到点B的d追随值d[AB]≤6，∴d≤7∴1<d≤7，综合两种情况，d的取值范围是1≤d≤7.故答案为(1)1＋a或1－a；(2)①12或52；②1≤b≤7.【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离和动点问题.2．（1）60°；（2）射线OP是∠AOC的平分线；（3）30°．【解析】整体分析：(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算；(2)计算出∠AOP的度数，再根据角平分线的定义判断；(3)根据∠AOC，∠AON，∠NOC，∠MON，∠AOM的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM之间的数量关系．解：(1)如图②，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=30°，又∵∠NOM=90°，∴∠BOM=90°﹣30°=60°，故答案为60°；(2)如图③，∵∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，∴∠AOP=12∠AOC，∴射线OP是∠AOC的平分线；(3)如图④，∵∠AOC=120°，∴∠AON=120°﹣∠NOC，∵∠MON=90°，∴∠AON=90°﹣∠AOM，∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，即∠NOC﹣∠AOM=30°．3．（1）见解析；（2）∠OQP=180°+12x°﹣12y°或∠OQP=12x°﹣12y°．【解析】【试题分析】（1）分下面两种情况进行说明；①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，（2）分两种情况讨论，如图3和图4.【试题解析】（1）分两种情况：①如图1，点P在直线AB的右侧，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，证明：∵四边形AOBP的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO；②如图2，点P在直线AB的左侧，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，证明：延长AP交ON于点D，∵∠ADB是△AOD的外角，∴∠ADB=∠PAO+∠AOD，∵∠AP B是△PDB的外角，∴∠APB=∠PDB+∠PBO，∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO；（2）设∠MON=2m°，∠APB=2n°，∵OC平分∠MON，∴∠AOC=∠MON=m°，∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠APB=n°，分两种情况：第一种情况：如图3，∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ，即∠OQP=m°+x°+n°①∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°，∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ，即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②，①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°，∴∠OQP=180°+x°﹣y°；第二种情况：如图4，∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO，即∠OQP+n°=m°+x°，∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①，∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，∴2n°=2m°+x°+y°②，①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°，∴∠OQP=x°﹣y°，综上所述，∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°．4．（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据数轴上两点间的距离公式结合A、B两点表示的数，即可得出结论；(2)①点P运动的时间与A、B相遇所用时间相等，根据路程=速度×时间即可求得；②由P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，可知开始时点P是和点A相向而行的；③点P与点A的距离越来越小，而点P与点B的距离越来越大，不存在PA=PB的时候.【详解】解：（1）∵A、B所对应的数值分别为-20和40，∴AB=40-(-20)=60，∵P是AB的中点，∴AP=60=30，∴点P表示的数是-20+30=10；∵如图，点A 、B 对应的数值分别是a 和b ，∴AB=b-a ，∵P 是AB 的中点，∴AP=(b-a)∴点P 表示的数是a+(b-a) =(a+b).（2）①点A 和点B 相向而行，相遇的时间为=20（秒），此即整个过程中点P 运动的时间．所以，点P 的运动路程为3×20=60（单位长度），故答案是60个单位长度．②由P 点用最短的时间首次碰到A 点，且与B 点未碰到，可知开始时点P 是和点A 相向而行的．所以这个过程中0≤t≤7.5．P 点经过t 秒钟后，在数轴上对应的数值为10-3t ． 故答案是：10-3t ，0≤t≤7.5．③不存在．由②可知，点P 是和点A 相向而行的，整个过程中，点P 与点A 的距离越来越小，而点P 与点B 的距离越来越大，所以不存在相等的时候．故答案为：（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t ，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析.【点睛】本题考查了数轴上点与点的距离和动点问题.5．（1）2AC cm =，4DM cm =；（2）6AC MD cm +=；（3）4AM =；（4）13MN AB =或1． 【解析】【详解】（1）根据题意知，CM=2cm ，BD=4cm ．∵AB=12cm ，AM=4cm ，∴BM=8cm ，∴AC=AM ﹣CM=2cm ，DM=BM ﹣BD=4cm ． 故答案为2，4；（2）当点C 、D 运动了2 s 时，CM=2 cm ，BD=4 cm ．∵AB=12 cm ，CM=2 cm ，BD=4 cm ，∴AC+MD=AM ﹣CM+BM ﹣BD=AB ﹣CM ﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm ；（3）根据C 、D 的运动速度知：BD=2MC ．∵MD=2AC ，∴BD+MD=2（MC+AC ），即MB=2AM ．∵AM+BM=AB ，∴AM+2AM=AB ，∴AM=13AB=4． 故答案为4；（4）①当点N 在线段AB 上时，如图1．∵AN﹣BN=MN．又∵AN﹣AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4，∴MNAB=412=13；②当点N在线段AB的延长线上时，如图2．∵AN﹣BN=MN．又∵AN﹣BN=AB，∴MN=AB=12，∴MNAB=1212=1．综上所述：MNAB=13或1．【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．6．（1）45°；（2）45°；（3）45°或135°.【解析】【分析】（1）由∠BOC的度数求出∠AOC的度数，利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数，相加即可求出∠DOE的度数；（2）∠DOE度数不变，理由为：利用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半，∠COE为∠COB的一半，而∠DOE=∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度数为45度；（3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°．【详解】（1）如图，∠AOC=90°﹣∠BOC=20°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=∠AOC=10°，∠COE=12∠BOC=35°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；（2）∠DOE 的大小不变，理由是：∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠COB=12（∠AOC+∠COB ）=12∠AOB=45°； （3）∠DOE 的大小发生变化情况为：如图③，则∠DOE 为45°；如图④，则∠DOE 为135°，分两种情况：如图3所示，∵OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，∴∠COD=12∠AOC ，∠COE=12∠BOC ， ∴∠DOE=∠COD ﹣∠COE=12（∠AOC ﹣∠BOC ）=45°； 如图4所示，∵OD 、OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，∴∠COD=12∠AOC ，∠COE=12∠BOC ， ∴∠DOE=∠COD+∠COE=12（∠AOC+∠BOC ）=12×270°=135°．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．7．(1) 2x =-和4x = ;(2) 35(4)11(43)35(3)x x x x x x --<-⎧⎪+-≤<⎨⎪+≥⎩【解析】【分析】（1）令x +2=0和x -4=0,求出x 的值即可得出|x +2|和|x -4|的零点值,（2）零点值x =3和x =-4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:x ＜-4、-4≤x ＜3和x ≥3．分该三种情况找出324x x -++的值即可．【详解】解：（1）2x =-和4x =,（2）由30x -=得3,x =由40x +=得4x =-,①当4x <-时,原式()()32435x x x =---+=--,②当4-≤3x <时,原式()()32411x x x =--++=+,③当x ≥3时,原式()()32435x x x =-++=+,综上所述：原式()35(4)11(43)353x x x x x x ⎧--<-⎪=+-≤<⎨⎪+≥⎩,【点睛】本题主要考查了绝对值化简方法,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值化简方法.8．(1)DE=6;(2) DE=2a ,理由见解析；（3）∠DOE=12∠AOB ，理由见解析 【解析】试题分析：（1）由AC=4cm ，AB=12cm ，即可推出BC=8cm ，然后根据点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，即可推出AD=DC=2cm ，BE=EC=4cm ，即可推出DE 的长度，（2）设AC=acm ，然后通过点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，即可推出DE=12（AC+BC ）=12AB=2a cm ，即可推出结论， （3）分两种情况，OC 在∠AOB 内部和外部结果都是∠DOE=12∠AOB 试题解析：（1））∵AB=12cm ，∴AC=4cm ，∴BC=8cm ，∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点，∴CD=2cm ，CE=4cm ，∴DE=6cm;(2) 设AC=acm ，∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点， ∴DE=CD+CE=12（AC+BC ）=12AB=6cm ， ∴不论AC 取何值（不超过12cm ），DE 的长不变;(3)①当OC 在∠AOB 内部时，如图所示：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠NOC=12∠BOC，∠COM=12∠COA．∵∠CON+∠COM=∠MON，∴∠M ON=12（∠BOC+∠AOC）=12α；②当OC在∠AOB外部时，如图所示：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12（∠AOB+∠BOC），∠CON=12∠BOC．∵∠MON+∠CON=∠MOC，∴∠MON=∠MOC-∠CON=12（AOB+∠BOC）-12∠BOC=12∠AOB=12α．【点睛】本题主要考察角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．9．（1）－14，8－4t（2）点P运动11秒时追上点Q（3）103或4（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11【解析】【分析】（1）根据AB长度即可求得BO长度，根据t即可求得AP长度，即可解题；（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC-BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；(4)分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．【详解】（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，∴点B表示的数是8-22=-14，∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，∴点P表示的数是8-4t．故答案为-14，8-4t；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，∵AC-BC=AB，∴4x-2x=22，解得：x=11，∴点P运动11秒时追上点Q；(3) ①点P、Q相遇之前，4t+2+2t =22，t=103，②点P、Q相遇之后，4t+2t -2=22，t=4，故答案为103或4（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=12AP+12BP=12（AP+BP）=12AB=12×22=11②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=12AP﹣12BP=12（AP﹣BP）=12AB=11∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．【点睛】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．10．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；（3）t＝703秒．【解析】【分析】（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．【详解】（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,∵OP平分∠BOC，∴∠COP＝12∠BOC＝75°,∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°, t＝15÷3＝5；②是，理由如下：∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，∴OQ平分∠AOC；（2）∵OC平分∠POQ，∴∠COQ＝12∠POQ＝45°．设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，解得：t＝5，当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，解得：t＝65，∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；（3）设经过t秒后OC平分∠POB，∵OC平分∠POB，∴∠BOC＝12∠BOP，∵∠AOQ+∠BOP＝90°，∴∠BOP＝90°﹣3t，又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，∴180﹣30﹣6t＝12（90﹣3t），解得t＝70 3．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键.11．（1）6秒钟;（2）4秒钟或8秒钟；（3）点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s ．【解析】【分析】（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇，根据题意可得方程2330t t +=，解方程即可求得t 值；（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，分相遇前相距10cm 和相遇后相距10cm 两种情况求解即可；（3）由题意可知点P Q 、只能在直线AB 上相遇，由此求得点Q 的速度即可.【详解】解：（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇．依题意，有2330t t +=，解得：6t =．答：经过6秒钟后，点P Q 、相遇；（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，由题意得231030x x ++=或231030x x +-=，解得：4x =或8x =．答：经过4秒钟或8秒钟后，P Q 、两点相距10cm ；（3）点P Q 、只能在直线AB 上相遇，则点P 旋转到直线AB 上的时间为：()120430s =或()1201801030s +=， 设点Q 的速度为/ycm s ，则有4302y =-，解得：7y =；或10306y =-，解得 2.4y =，答：点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s ．【点睛】本题考查了一元一次方程的综合应用解决第（2）（3）问都要分两种情况进行讨论，注意不要漏解.12．（1）1，-3，-5（2）i ）存在常数m ，m=6这个不变化的值为26，ii ）11.5s【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求得a 、b 、c 的值即可；（2）i ）根据3BC-k•AB 求得k 的值即可；ii ）当AC=13AB 时，满足条件． 【详解】（1）∵a、b满足（a-1）2+|ab+3|=0，∴a-1=0且ab+3=0．解得a=1，b=-3．∴c=-2a+b=-5．故a，b，c的值分别为1，-3，-5．（2）i）假设存在常数k，使得3BC-k•AB不随运动时间t的改变而改变．则依题意得：AB=5+t，2BC=4+6t．所以m•AB-2BC=m（5+t）-（4+6t）=5m+mt-4-6t与t的值无关，即m-6=0，解得m=6，所以存在常数m，m=6这个不变化的值为26．ii）AC=13 AB，AB=5+t，AC=-5+3t-（1+2t）=t-6，t-6=13（5+t），解得t=11.5s．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．13．探究三：16,6；结论：n²,;应用：625，300.【解析】【分析】探究三：模仿探究一、二即可解决问题；结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2的正三角形共有个；应用：根据结论即可解决问题.【详解】解：探究三：如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有个；边长为2的正三角形有个.结论：连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有个，共有个；边长为2的正三角形，共有个.应用：边长为1的正三角形有=625（个），边长为2的正三角形有（个）.故答案为探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.【点睛】本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．14．（1）3；（2）12；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10．【解析】【分析】（1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可；（2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|−3＋2|＝1，由此得出答案即可；（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．【详解】（1）因为|−4|＝4，-4-32＝3.5，-4-312+＝3，所以数列−4，−3，1的最佳值为3．故答案为：3；（2）对于数列−4，−3，2，因为|−4|＝4，432--＝72，432||2--＋＝52，所以数列−4，−3，2的最佳值为52；对于数列−4，2，−3，因为|−4|＝4，||422-＋＝1，432||2--＋＝52，所以数列−4，2，−3的最佳值为1；对于数列2，−4，−3，因为|2|＝2，224-＝1，432||2--＋＝52，所以数列2，−4，−3的最佳值为1；对于数列2，−3，−4，因为|2|＝2，223-＝12，432||2--＋＝52，所以数列2，−3，−4的最佳值为1 2∴数列的最佳值的最小值为223-＝12，数列可以为：−3，2，−4或2，−3，−4．。
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压轴题专项训练54
1．将图①，将一张直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合，这时DE 为折痕， △CAE 、△CBE 均为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE 的对称轴EF 折叠，这时得 到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成 的无缝隙、无重叠的矩形）．象这样将一个三角形经过若干次折叠，得到的两个满足 上述条件的矩形我们称这样两个矩形为“叠加矩形” ．
（1）如图②，将正方形网格中的△ABC 折叠成“叠加矩形”，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC 为一边，画出一个斜三角形ABC ，使其
顶点A 在格点上，且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，直接写出它必须满足的条件．
图① 图② 图③
2.在△ABC 中，AB=AC ．
（1）如图1，若∠A=90°，求∠B 的度数；
（2）设∠BAC=α，点D 是BC 上一动点（不与B 、C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针
旋转α后到达AE 位置，连接DE 、CE ，设∠BCE=β，如图2所示．
①当点D 在线段BC 上运动时，试找出αβ与
之间的关系，并说明理由； ②当点D 在线段BC 的反向延长线上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请 加以说明；若不成立，试找出αβ与之间的新关系，并说明理由.
备用图 图1 图2 E B B C A A C B
B。