“角的平分线的性质”第2课时教学案例实录与评析
角的平分线的性质(二)课堂实录 (2)
师：思考问题，能否在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等？
生：应该在角平分线上
学生动手画图
师：角平分线的性质到角两边的距离相等，如果把条件跟结论交换，文字如何描述？
生：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
师：如何把这个命题写出已知条件跟求证问题？
学生思考。
分析：根据角平分线的性质命题的已知跟求证进行类比
师：学生需要掌握证明几何题的步骤
学生齐读并识记
展示已知条件与求证问题。
师：要证明点P在 的平分线上
先要证明什么？
生：
师：那怎么证明这两个角相等
生：证明它所在两个三角形全等
师：选哪个证明方法？
生：HL
师生共同完成证明过程
PPT演示
提问：可以用几何语言说明理由吗？
提高学生的运用能力，发散学生思维
小结。
小组代表发言，
畅谈学生本节课所学知识。
老师总结：角平分线的判定以及简单运用。
剩余时间，完成差异导学稿
呼应情景题，
让学生回答为什么建在角平分线。
得出角平分线的判定方法。
学以致用。
师：先分析题意。点P到三边的距离相等，指的是哪些线段相等？
生：先过点P作垂线段。
作图。
问题变成：证明PE=PF=PD
让学生根据所学知识进行书写几何语言
PPT演示完整过程，让学生订正答案。
变式训练，让学生巩固所学知识。
分析：一个是内角角平分，一个是外角的角平分线。
《 角的平分线的性质(第二课时)》精品教案 2022年公开课一等奖
教学过程设计角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？ ：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOBB AO C证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OCOC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.想及证明，归纳角平分线的判定定理。
学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
教师引导学生分析，思考，写出证明过程。
教师标准书写格式。
学生应用角的平分线判定定理解题。
概括能力。
使学生明确角平分线判定定理的作用。
稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
稳固本节所学。
BD MC N E A G板 书 设 计2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。
五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。
八年级数学上册高效课堂(人教版)12.3.2角的平分线的判定(第二课时)优秀教学案例
（一）导入新课
1.利用现实生活中的实例，如建筑设计中角的平分线应用，引入新课。
2.提出问题：如何判断一个线段是角的平分线呢？引发学生思考，激发学习兴趣。
3.引导学生回顾已学的角平分线的判定方法，结合几何画板软件动态展示，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.学生通过自主学习、探究学习，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生在解决实际问题的过程中，体验到数学知识的实用性和趣味性，增强学习数学的兴趣。
2.学生在探究角的平分线的过程中，培养勇于尝试、坚持不懈的精神，增强自信心。
3.学生通过小组合作，学会尊重他人、倾听他人意见，培养良好的团队合作精神。
（一）情景创设
1.利用现实生活中的实例，创设有趣、富有挑战性的问题情景，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.利用几何画板软件，动态展示角的平分线与角的两边垂直的性质，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.设计具有层次性的问题，引导学生从不同角度、不同层次去观察、思考问题，培养学生全面考虑问题的习惯。
这些亮点体现了本节课的人性化教学理念，关注学生的个体差异，培养学生的自主学习能力、团队协作能力和问题解决能力。在教学过程中，教师运用了多种教学方法和手段，使学生在轻松、愉快的氛围中学习，提高了学习效果。
在教学案例中，我以一个现实生活中的问题为导入：在画一个等边三角形的一个内角平分线时，如何判断这个线段确实是该角的平分线呢？这个问题引发了学生的思考，激发了他们的学习兴趣。接着，我引导学生通过观察、操作、猜测、推理、交流等环节，探索角的平分线的判定方法。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现角的平分线与角的两边垂直的性质。通过几何画板软件的动态展示，让学生直观地感受到角平分线与角的两边垂直的性质，从而加深对知识的理解。同时，我还设计了一系列的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
角平分线教学课录与评析
角平分线教学课堂实录与评析一、学生知识状况分析本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。
二、教学任务分析学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
教学重难点：重点：掌握角的平分线的性质和判定难点：理解性质和判定的互逆关系,并能正确运用它们解决问题三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境温故知新；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业1：情境引入师：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?生：回答2：探究新知（1）引导学生证明性质定理师：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．生：已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．求证：PD=PE ．证明：∵∠1=∠2，OP=OP ，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO ≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)师：我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。
(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．师：（2）你能写出这个定理的逆命题吗?我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗?生：没有加“在角的内部”时，是假命题．(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下：已知：在么AOB 内部有一点P ，且PD 上OA ，PE ⊥OB ，D 、E 为垂足且PD=PE ，求证：点P 在么AOB 的角平分线上．证明：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt △ODP 和Rt △OEP 中OP=OP ，PD=PE ，∴Rt △ODP ≌ Rt △OEP(HL 定理)． 21E D CP O B A∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
人教版数学八年级上册12.3《角的平分线的性质》第二课时参考教案
§12．3 角的平分线的性质〔二〕教学目标〔一〕教学知识点：角的平分线的性质〔二〕能力训练要求1．会表达角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上〞．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．〔三〕情感与价值观要求通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．教学重点：角平分线的性质及其应用．教学难点：灵活应用两个性质解决问题．教学方法：探索、归纳的方法．教学过程一．创设情境，引入新课[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？二．导入新课角平分线的性质即角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如下图的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．问题1：你能用文字语言表达所画图形的性质吗？问题2：〔出示投影片〕能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞这句话．请填下表：学生通过讨论作出以下概括：事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由事项推出的事项：PD=PE．【师】如何证明？请同学们试一试。
证明：略〔详见课本P49页〕。
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？〔出示投影〕问题3：根据下表中的图形和事项，猜测由事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：于是，我们得到角平分线的性质的逆定理：【师】在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【师】你能证明吗？请同学们试一试。
下面请同学们思考一个问题．思考：如下图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路穿插处500m，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？分析：1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？讨论结果展示：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：作法：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以假设遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．三．随堂练习1．课本P50页练习．第1、2题。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版八年级数学上册第12.3节的内容，这部分内容是学生在学习了角的概念、角的运算、垂线的性质等知识的基础上进行学习的。
角的平分线是数学中的一个重要概念，它在几何学习中有着广泛的应用。
本节内容主要介绍了角的平分线的性质，包括角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的平分线垂直于角的对边等。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对角的概念、角的运算、垂线的性质等有一定的了解。
但是，学生对角的平分线的性质的理解可能还不够深入，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解角的平分线的性质，能够运用角的平分线解决一些几何问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角的平分线的性质的理解和运用。
2.角的平分线与垂线的性质的联系和区别。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式来学习和理解角的平分线的性质。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引导学生回顾角的概念、角的运算、垂线的性质等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示角的平分线的定义和性质，引导学生观察和思考，通过实例来帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些有关角的平分线的问题，学生通过合作解决问题，巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
4.巩固（10分钟）教师给出一些有关角的平分线的问题，学生独立解答，教师进行讲解和指导，帮助学生巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
5.拓展（10分钟）教师给出一些有关角的平分线和垂线的性质的问题，学生进行思考和讨论，通过实例来理解角的平分线和垂线的性质的联系和区别。
新人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质(第2课时)优质教案
12.3 角的平分线的性质教学目标1. 角的平分线的性质.2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．重点难点重点：角平分线的性质及其应用．难点：灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1:20 000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III．例题与练习例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、B C、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF，即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．练习：1．课本练习．2．课本习题．强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．Ⅴ．课后作业1、课本习题。
角平分的性质(第二课时)教学实录
11.3角的平分线的性质（第二课时）教学实录多媒体演示师生活动师：上节课我们学习了角的平分线的什么？生：角的平分线的性质师：拿出《学习单》，请用尺规作出∠AOB的平分线OC，并用数学语言描述这一性质。
学生独立作业，教师巡查，个别指导。
用实物投影展示一个比较规范的作法和正确的描述。
并强调此命题的题设和结论。
师：现在我提出一个问题供大家小组交流思考，请看PPT“到一个角两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上？”开始交流讨论。
生：肯定成立（个别学生迫不及待先回答）师：不急，先交流，要能找到充分的理由，再下结论。
学生开始动手尝试作图并推理。
教师参与小组交流，从中发现学生探讨过程中的困难。
师：刚才发现有些小组不知从何下手，同学们看，这是一个命题，要论证它的真假性，需参考“证明命题的步骤”。
先做哪些准备“生：分析命题的题设和结论，并结合它们画出草图，利用图形写出已知和求证。
师：很好，继续你们的探讨。
有困难的小组请举手报告老师。
学生又开始活跃起来，教师继续巡查，进行个别小组指导和交流、质疑。
师：好了，同学们，绝大部分小组已经完成了他们的论证，请一个小组代表上讲台进行你们的陈述，其他同学，请认真听，若有疑问，也请大胆提出来交流。
生：-------（略）师：大家对于这个论述还有什么疑问吗？生：没有师：好，请大家归纳结论，并用数学语言描述这一结论。
学生在归纳总结师：哪位同学能分析出这个结论与角的平分线的性质有何联系？生：积极参与表达（教师要关注学生的表达是否完整，逻辑是否清晰）师：请大家看课件这个例题，看能否利用今天学习。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质(第2课时)教案 (新版)新人教版
角的平分线的性质中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。
人教版八年级数学上册12.3.2《角的平分线的性质(2)》教学设计
人教版八年级数学上册12.3.2《角的平分线的性质(2)》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册12.3.2《角的平分线的性质(2)》继续探讨角的平分线的性质。
在这一节中，学生将学习到角的平分线不仅将角分成两个相等的角，而且从一个角的角平分线和这个角的对边所截得的线段也是相等的。
这是几何中的一个重要性质，也是解决实际问题的重要工具。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了角的概念、角的平分线的定义及其性质。
但角平分线与对边的关系可能较难理解，需要通过大量的实例来加深理解。
此外，学生可能对理论证明的过程还不够熟悉，需要教师的引导和鼓励。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解并证明角的平分线与对边的性质。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神和合作意识。
四. 教学重难点1.重点：角的平分线与对边的性质。
2.难点：角的平分线与对边的性质的证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法。
教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的兴趣。
同时，鼓励学生与他人合作，培养团队精神。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过复习上节课的内容，引导学生回顾角的平分线的定义及其性质。
然后提出问题：“角的平分线与对边有什么关系呢？”让学生思考。
2. 呈现（10分钟）教师通过多媒体展示角的平分线与对边的性质，引导学生观察和发现规律。
同时，教师用语言描述这个过程，帮助学生理解。
3. 操练（10分钟）教师给出几个实例，让学生亲自操作，验证角的平分线与对边的性质。
在这个过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）教师让学生分组讨论，每组设计一个证明题，证明角的平分线与对边的性质。
学生完成后，教师选取几组进行展示和评价。
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质(第2课时)优秀教学案例
3.组织小组竞赛，激发学生的团队精神和竞争意识，提高课堂活力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高自主学习能力。
2.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握程度和能力提高。
3.鼓励学生相互评价，培养学生的评价能力和团队意识。
4.教学内容的系统性与连贯性：教师在教学过程中，既有对角的平分线概念及基本性质的回顾，又有对新知识的讲解和应用。这种教学方式使得学生能够在新旧知识之间建立起联系，形成系统的知识结构，提高学习效果。
5.多元化的教学评价：教师采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，关注学生在课堂中的表现，及时给予反馈和指导。这种多元化的教学评价方式，既有助于教师了解学生的学习情况，又能够激发学生的学习动力，提高教学质量。
本节课的教学内容主要包括两个方面：一是角的平分线的性质及其推论；二是运用角的平分线解决实际问题。在教学过程中，我注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，发现角的平分线的性质，培养学生独立思考和合作交流的能力。同时，我还将利用多媒体课件展示角的平分线的性质，以激发学生的学习兴趣，提高课堂效果。
在教学评价方面，我将采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，关注学生在课堂中的表现，及时给予反馈和指导，以确保每个学生都能在课堂上得到有效的学习和提高。通过本节课的教学，我希望学生能够掌握角的平分线的性质，提高解决问题的能力，为后续学习奠定坚实的基础。
（二）问题导向
1.设计一系列由浅入深的问题，引导学生通过对问题的思考，发现角的平分线的性质。
2.鼓励学生提出问题，培养学生的批判性思维和问题意识。
3.引导学生运用角的平分线性质解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
角的平分线的性质—教学设计及专家点评(获奖版)
角的平分线的性质—教学设计及专家点评
(获奖版)
其记录在表格中，并求出它们的平均值．
整合点2］引导学生总结归纳，提高思维能力
教师让学生自己操作，测量并记录数据，引导学生进行数据分析，通过计算平均值，让学生理解数据的意义和重要性，并提高学生的思维能力。
设计意图］通过实际操作和数据分析，让学生深入理解角平分线的性质，加深对数学知识的理解和应用，提高学生的思维能力和解决实际问题的能力。
活动3．拓展应用
教学内容5］
教师出示实际问题：如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(5,1)，点P在直线x+y=6上，求AP+PB的最小值．
教师引导学生思考，提醒学生利用角平分线的性质，将问题转化为求点P到直线AB的距离最小值的问题，并引导学生用向量法解决问题．
整合点3］巩固知识，提高综合素质
教师引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的综合素质和解决问题的能力，巩固所学知识。
设计意图］通过实际问题的引导，让学生将所学知识应用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力和综合素质。
同时，巩固所学知识，加深对知识的理解和应用。
教师用多媒体展示问题，引导学生观察图形，独立思考并列出三个三角形的面积公式，然后分组讨论，交流解题思路，最后通过实物投影展示自己的解题过程，教师点评。
设计意图］通过例题的讲解，让学生掌握角平分线的性质定理在解决实际问题中的应用，同时培养学生合作交流的能力。
同时，通过多媒体展示，提高学生的视觉体验和理解能力，让学生更好地理解和掌握知识。
人教版八年级上册教案设计：12.3角的平分线的性质(第二课时)
角的平分线的性质(第2课时)学习目标知识与技能:掌握用尺规作已知角的平分线的方法;理解角的平分线的性质并能初步运用.过程与方法:经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养用数学知识解决问题的能力.情感态度与价值观：在自主探究、合作交流的过程中，感数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识重点：掌握用尺规作已知角的平分线的方法;理解角的平分线的性质并能初步运用.难点：经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养用数学知识解决问题的能力.【教法与学法】：教学方法：采用预习导练教学法，以学生为主体，教师起引导作用学习方法：自主预习、合作探究、归纳应用学具：三角板、量角器、直尺学习过程一、自主学习要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线,工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线.出示仪器模型,介绍仪器特点(有两对边相等),将A点放在角的顶点处,AB和AD沿角的两边放下,过AC画一条射线AE,AE即为∠BAD的平分线.二、深化探究1.把简易平分角的仪器放在角的两边时,平分角的仪器两边相等,从几何作图角度怎么画?BC=DC,从几何作图角度怎么画?2.让学生用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一次,折出一个直角三角形(使第一次的折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕.(1)第一次的折痕和角有什么关系?为什么?(2)第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系,它们的长度有何关系?3.按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.先分组讨论、交流,再利用几何画板软件验证结论,并用文字语言阐述得到的性质.(角的平分线上的点到角两边的距离相等)判断正误,并说明理由:(1)如图1,点P在射线OC上,PE⊥OA,PF⊥OB,则PE=PF.(2)如图2,点P是∠AOB的平分线OC上的一点,E,F分别在OA,OB 上,则PE=PF.图1图2(3)如图3,在∠AOB的平分线OC上任取一点P,若P到OA的距离为3 cm,则P到OB的距离也为3 cm.图三、练习巩固【例1】如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.【例2】已知:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.四、深化提高1.已知△ABC中,∠B=90°,∠A,∠C的平分线交于点O,则∠AOC 的度数为.2.角平分线上的点到距离相等.3.∠AOB的平分线上一点M,M到OA的距离为1.5 cm,则M到OB 的距离为.4.在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3cm,BD=5 cm,则BC= cm.五、反思小结这节课你有哪些收获,还有什么困惑?通过本节课你了解了哪些思考问题的方法?1.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到相等.2.在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,则D到AB的距离为.3.如图,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列结论错误的是()A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD布置作业：板书设计：12.3 角的平分线的性质(第2课时)课后反思。
角的平分线的性质第2课时 教案 说课稿 教学反思
11.3角平分线的性质（第2课时）
仲里中学张莹
【教学任务分析】
【教学环节安排】
【猜想与证明】如图11.3-2，在∠
ABC的角平分
求证：点P到三边
EOB FOC
,
=∠,
12
OE OF
=，或证
≅即可．
AOE AOF
ABC中BC．
【课堂达标自测题】 一、填空题
１．如图11.3-7，点Ｐ是BAC ∠的平分线上的一点，BE AC ⊥于Ｅ．已知3PE =，则Ｐ点到ＡＢ的距离是 .
２．如图11.3-8，已知O 为BAC ∠和ACD ∠的平分线的交点，OE AC ⊥于E ，若2OE =，O 到AB 与CD 的距离和为 ．
３．如图11.3-9，在Rt ABC 中，90C ∠=，BD 平分ABC ∠交于AC 于Ｄ，DE AB ⊥于Ｅ，若3AC cm =，则___AD DE +=ｃｍ．
４．如图11.3-10，BE 是ABC ∠的平分线，AD CD =．则___DAB BCD ∠+∠=度．
二、选择题
５．如图11.3-11，DE AB ⊥于D ，CE BC ⊥C ，且DE CE =，下列结论错误的是（ ） Ａ．BE 平分ABC ∠ Ｂ．BE 平分CED ∠ Ｃ．AE DE AC += Ｄ．A ABE ∠=∠ ６．如图11.3-12，120AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，P 是OC 上一点，且3OP cm =，若PM ∥
OB ，PN ∥OA ，则四边形OMPN 的周长是（ ）cm
Ａ．３ Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．12
三、解答题
7.如图，已知在ABC 中，AD 是它的角平分线，Ｐ是AD 上一点，PE ∥AB 交BC 于Ｅ． PF ∥AC 交BC 于Ｆ．求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等．。
部编版人教数学八上《12.3.2 角的平分线性质(2)教学设计及反思》最新精品优秀教案
前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
实用性强。
高质量的教学设计（教案）是高效课堂的前提和保障。
（最新精品教学设计）12.3 角的平分线的性质第2课时角的平分线性质（2）【教学目标】1.掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.2.能应用性质解决一些简单的实际问题.【重点难点】重点：角的平分线的性质及其应用.难点：灵活应用两个性质解决问题.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、创设情境，导入新课问题：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺1∶20000)?依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，复习了角平分线的性质，为后续的学习作好知识上的储备.二、师生互动，探究新知刚才大家对上述问题进行了讨论，并且得出了做法，我们进而从做法中总结出了新的结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这个新结论正确吗？请大家分组讨论、交流.已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，PD＝PE，求证：∠AOC＝∠BOC.由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.追问：这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？结论：可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等.经历实践→猜想→证明→归纳的过程，培养学生的动手操作能力和观察能力，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维.。
人教版数学八年级上册12.3 角的平分线的性质(2课时)教案与反思(2)
12．3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质一、基本目标【知识与技能】1．初步掌握角的平分线的性质定理．2．掌握用尺规作已知角的平分线的方法．3．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．【过程与方法】在利用尺规作图时，让学生在动手操作的过程中深刻理解角平分线的画法及发现角平分线的性质．【情感态度与价值观】在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心．二、重难点目标【教学重点】1．利用尺规作已知角的平分线．2．角平分线的性质的证明及运用．【教学难点】角平分线性质的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P48～P49的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.2．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的题设是角的平分线上的点，结论是此点到角的两边的距离相等.3．一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．4．已知：如图，∠AOB.求作：∠AOB的平分线OC.略环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．【互动探索】(引发学生思考)明确尺规所作的射线AP是∠CAB的平分线．要求∠MAB，只需先求得∠CAB.【解答】∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°.由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝12CAB＝30°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的平分线是解题的关键．【例2】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：CF ＝EB .【互动探索】(引发学生思考)要求CF ＝EB ，需证Rt △DCF ≌Rt △DEB ，而由角平分线的性质可得DE ＝DC ，从而解决问题．【证明】∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥C ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎨⎧ DF ＝BD ，DC ＝DE ，∴Rt △DCF ≌Rt △DEB (为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC .求证：(1)AM ⊥DM ；(2)M 为BC 的中点．【互动探索】(1)要证AM ⊥DM ，可转化为求∠MD ＝90°.由平行线中，同旁内角的角平分线相交成的角等于90°可得结论；(2)要证M 为BC 的中点，即证BM ＝CM 由题意知，需作辅助线MN (如图)，利用角平分线的性质得出结论．【证明】(1)∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ，∴2∠MAD ＋2∠ADM ＝180°，∴∠MAD ＋∠ADM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，即A ⊥DM .(2)过点作NM⊥AD交AD于点N.∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．【互动总结】(学生总结，老师点评)在已知角的平分线的前提下，作角两边的垂线段是常用辅助线之一．角平线的性质是证线相等的另一途径．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时角的平分线的判定一、基本目标【知识与技能】理解角平分线的性质定理的逆定理(即判定定理)，能利用角平分线的判定定理解决实际问题．【过程与方法】经历探究角平分线的性质定理的逆定理的过程，进一步体验证明几何命题的步骤，能够灵活运用性质定理解决实际问题．【情感态度与价值观】在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．二、重难点目标【教学重点】角的平分线的判定定理的证明及应用．【教学难点】角的平分线的判定定理的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P50的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2．(1)三角形的三条角平分线相交于一点，它到三边的距离相等.(2)三角形内，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】已知：如图，△ABC.求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．作法：(提示)作三个内角平分线交于一点P，点P即为所求作的点．【例2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，求证：AD是∠BAC的平分线．【互动探索】(引发学生思考)证明一条射线是角平分线常添加的辅助线是什么？【证明】过点D分别作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．【互动总结】(学生总结，老师点评)在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为点D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是(A)A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法确定2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝(A)A．110° B．120°C．130° D．140°3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA 的平分线．”你认为小明的想法正确吗？请说明理由．解：小明的想法正确．理由如下：作PC⊥OB于点C，设另一把直尺与OA交于点D.∵PC⊥OB，PD⊥OA，PD＝PC，∴射线OP就是∠BOA的平分线．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？如何选？请作简要说明并画出图形．【互动探索】△ABC的内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，那么本题只有一处站址吗？【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点P1满足条件．如图，点P2是△ABC两条外角平分线的交点，过点P2作P2E⊥AB，P2D⊥BC，P2F⊥AC，∴P2E＝P2F，P2F＝P2D，∴P2E＝P2F＝P2D，∴点P2到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点P2到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个，如图P2、P3、P4.综上所述，到三条公路的距离相等的点有4个，故可供选择的地址有4处．【互动总结】(学生总结，老师点评)由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，得三角形内角平分线的交点满足条件，然后利用角平分线的性质，证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，则可供选择的站址有4处．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
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教学内容解析：本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十一章全等三角形第3节角平分线的性质第2课时的内容。
在此之前第1课时学习的角平分线的尺规作图，这为本节课学习角平分线的性质做好了铺垫;本章前面学习的全等三角形的有关知识，为本节课证明角平分线的性质创造了条件;本节课对角平分线性质的探究为今后学习图形对称、等腰三角形奠定了基础;对角平分线性质的证明为学生学会思考问题，注重书写格式，清楚地表达思考的过程提供了方法，使学生体会证明的必要性;角平分线性质的应用为证明线段相等、角相等开辟了新的途径。
教学重、难点基于对本节课教学内容的分析，本节课的重点定为：角平分线性质的理解和应用;难点是：探究角平分线的性质及文字命题的论证。
学习目标知识与技能：1.掌握角平分线线上的点到角的两边距离相等这一的性质;2.能运用角平分线线上的点到角的两边距离相等这一性质解决简单的几何问题;3.初步学会将文字语言转化为图形和符号语言并按步骤进而证明，提高分析问题及逻辑推理能力。
过程与方法：通过实验探究活动，经历角平分线上的点到角的两边距离相这一性质的发现和证明过程。
情感态度与价值观：通过学习，体验获取数学知识的成就感;渗透从不同的侧面认识事物的辩证思维方法。
教学过程实录及评析：一、创设情境、导入新课师(多媒体展示)问题情境：如图1，在公路和铁路交叉所成的角平分线上有一空旷场地，市政府决定利用此空旷地投资修建一个批发市场，那么这个批发市场到公路和铁路的距离哪个更近?生：有的回答一样近。
师：为什么会一样近?本节课我们就带着这个问题走进今天的学习内容。
板书：角平分线的性质。
评析：教师试图通过创设确定在公路和铁路交叉所成的角平分线上有一空旷场地批发市场(点)到公路和铁路(角的两边)的距离关系为问题情境引出角平分线上的点到角的两边距离相等(一样近)的结论，使学生体验到理论来自实际的需要，从而引导学生对学习本课新知识产生强烈的求知欲。
从教学的理念上看这个问题情境的设置体现了新课程从实际生活引入数学学习材料，让学生感受数学来自生活的教学理念。
但从数学学科特点看，课堂上没有从角平分线性质的本质特征(一是角平分线上任一点到角的两边的距离(两条线段)的存在，二是这两条线段的数量关系是相等)给学生造成某种数量关系的认知冲突，学生只是简单答成一样近。
究其原因是因为过于关注形式，淡化了数学的本质。
在课堂教学中，创设的问题情境要蕴含数学知识的本源，抓住数学知识本源和数学思想方法，与新课程理念所倡导的理念有机整合，纠正去数学化倾向，还数学教学本来面目!二、实验探究、学习新知活动一：折纸实验。
师：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。
你有什么办法?生：对拆。
师：再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系?(让五个学生上讲台演示自己的活动成果)。
众生：角平分线。
评析：活动一的教学目的是让学生通过折纸实验初步感知角平线上的点到角的两边距离相等这一事实。
但是，此活动只让学生折出角平分线是一个不完整的活动，学生在折纸过程中没有达到实验探究的效果。
教科书中通过折纸活动得到角平分线上的点到角的两边距离相等的结论是由如图2所示通过两次折纸得到的。
这里只完成了第一次。
而第二次是再折出一个直角三角形并展开后会出现两条折痕，这两条折痕的数量关系如何，此时没有体现出来。
至于在第二种折法中再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的，这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数确被教师忽略了(即角平分线上的点的任意性)，从而导致教学过程变成了信马由缰的活动，学生在蒙和碰中前行，漫无目的。
问题产生的主要原因是教师没有领悟探究角平分线的性质折纸实验的本质是首先寻找到角的两边距离等长的两条折痕，教学抓不住本质就会变得无的放矢。
(注：在课堂上确有学生折出直角三角形来了，可惜教师没有发现或被忽视。
)活动二：探究、猜想角平分线的性质探究步骤：1.如图3，在所折的折痕上取点的三个不位置，分别过点作，，点、为垂足。
2.测量、的长。
3.将三次数据填入下表：测量次数的长的长与的数量关系第一次第二次第三次4.观察每次测量结果, 猜想线段与的有怎样的数量关系，写出结论：生：按老师的要求独立完成实验探究(过程略)。
师：从上面的活动你得出什么结论?生：每次测量出的线段与一样长。
师：其他同学是不是都是这样?众生：是。
师：由此你能得出什么猜想?生：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
评析：虽然学生对角平分线的性质给出了教师期望的比较完美的猜想结果，但从课堂教学的过程看这绝不是学生在理解和感悟的基础上给出的。
学生的回答可能基于两个原因：一是学生确实通过活动二得到角平分线上的点到角的两边距离相等的猜想;二是学生可能受学习角平分线的画法和折纸实验的启发，从而产生了联想;三是学生可能在课前进行了预习，从教科书上直接得到。
从课堂教学的实际效果看，让学生经历角平分线上的点到角的两边距离相这一性质的发现过程这一目标未能得到有效的落实。
师：如何证明角平分线上的点到角的两边的距离相等这一猜想?活动三：验证猜想师板书命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
师(多媒体展示)：证明一个几何中的命题有以下步骤：1.根据题意，画出图形;2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证;3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。
师：结合图3思考：命题的已知、求证是什么?生1：命题的已知、求证是：角平分线上的点到角的两边位置相等。
生2：作的是90的角。
师对学生的回答显得无奈，只好再作提示：首先要明确什么是已知，什么是求证?并用多媒体直接展示：已知：1.角平分线上的点;2.点到角的两边的距离。
求证：这一点到角的两边距离相等。
师提示用数学语言表示为：已知：如图3，平分，点在上。
生：于点，于点。
师肯定：这就是把已知条件中的文字语言转化为数学语言。
师：求证怎样写?生：求证：师：你们能不能证明?生齐答：能。
师：请同学们证明(并请一学生到黑板上板演)生：独立证明。
一学生板演实录：证明：如图4，∵平分。
又∵于点，于点。
在△和△中。
，，。
△≌△。
师：巡视、指导学生完成证明，并有针对性的讲评(略)师：证明一个几何命题的步骤有那些?生答：写出已知、求证并证明。
师：怎样结合图3用数学语言来表述角的平分线的性质?生答师板书：符号语言：如图3，∵是的平分线，点在上，于点，于点。
评析：教师试图通过活动三引导学生对如何证明猜想，并展开探究，呈现角平分线性质的形成过程。
从教学的视角看，这环节有点乱，表面上教学理念新颖，数学活动调动了学生学习的积极性，课堂上学生的参与度高，气氛热烈，教学民主，学生的主体地位得到了很好的体现。
但从数学的视角看，这这环节的教学没有抓住证明命题的本质，特别是当学生的思维离经叛道( 如学生答成：命题的已知、求证是：角平分线上的点到角的两边位置相等;作的是90的角)时，教师显得无奈。
事实上，探究角平分线的性质及文字命题的论证是本课的难点，要突破分析证明命题的途径这一难点需要在学习中逐步培养学生的分析能力，对于文字命题要尽量帮助学生分析并画好了图形，结合图形写出已知、求证及证明过程，三、学以致用、巩固新知师：应用这个性质，必须抓做什么条件?生：角的平分线和角平分线上的点到角的两边的距离。
师(多媒体展示)练习题：1.判断：⑴如图5，为的平分线，则。
( )⑵如图6，于点，于点，则。
( )⑶是的平分线，在上取一点到的距离等于，则到的距离为。
( ) 注：此题教师采用的方法是教师问，学生答的形式，过程略。
2.回答问题情境中提出的问题。
生：批发市场到公路和铁路的距离相等。
3.实践应用：如图7：在△中，，是的平分线，于，在上，。
求证：。
此题抽两个学生上黑板板书解题过程。
生1：证明：∵，。
∵，。
∵是的平分线，。
在△和△中，，，。
△≌△。
生2：证明：∵是的平分线，。
又∵，，∵，。
在△和△中，，。
△≌△。
以下证明与生1相同，略。
师：讲评(过程略)师：比较上面两种证法，哪种方法简单?生：第一种。
4.链接中考如图8，在△中，，平分，于，若，，。
求△的周长。
此时因教学时间关系教师只作了提示，要求学生课后完成。
评析：此环节主要意图是通过课堂练习落实能运用角平分线线上的点到角的两边距离相等这一性质解决简单的几何问题这一知识与技能目标。
从课堂教学过程观察，学生在实践应用过程中还有不少学生象生2的解答哪样，没有用好本课所学的性质。
四、畅谈收获、布置作业师：这节课从知识和方法的角度你有什么收获呢?与你的同伴进行交流。
生：活动交流，畅谈收获，并归纳出本节收获是：在知识上：理解了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质。
在方法上主要学习了：⑴运用观察、测量、猜想、验证等方法获得新知识;⑵解决角平分线的问题的常用方法:从角平分线上的一点向角的两边作(找)垂线段。
⑶证线段相等常用方法：①全等，②角平分线的性质。
作业：略。
综述：在本节课的教学中，教师试图通过三个数学活动，引导学生把角平分线上的点到角的两边距离相等这一性质揭示出来。
通过实验探究的学习和建构，使学生理解和掌握角平分线的性质。
但从课堂教学实际情境看，未能达到教师的教学预设。
主要表现以下不足：1.未能有效的使用教材完成教学任务本节教材为学生的学习活动提供的基本线索是：先介绍作一个角的平分线的方法，再由折纸活动即对的对折，得到第一条折痕是的平分线，再折出一个直角三角形，折叠形成的两条折痕是角的平分线上一点到的两边的距离，猜想这两个距离相等，通过利用三角形全等证明猜想，得到角平分线的两条性质，并运用这两条性质进行证明。
从执教教师对教学内容的安排上，教师将本节内容用三课时的时间来完成，即第一课时学习尺规作图，第二课时就是本节内容，第三课时学习另一条性质。
这样安排教学时间是否合理，值得考虑。
从本课教学过程看，学生折纸时只折出角的平分线，然后在所折的折痕(角平分线)上取点的三个不位置，分别过点作，，再通过测量猜想出角平分线上的点到角的两边距离相等这一结论。
这一改编将角平分线的两条性质割裂，学生准确理解和运用角平分线的性质并没有得到实现。
究其原因是教师领悟教材深度不够，没有抓住角平分线的性质的本质特征组织教学。
这一案例说明了教师只有用心钻研教材，才能准确地理解教材的编写意图，把握所教授内容中的数学本质，从而创造性地使用教材。
并在此基础上设计有效的数学活动，将教材中的知识重新激活，实现书本知识与人类生活世界的沟通，与学生经验、成长需要的沟通，与发现、发展知识的人和历史的沟通，使知识恢复到鲜活的状态，呈现出生命的活力。
2.未能组织有效的教学活动落实教学目标组织有效教学活动，是为了有效地落实教学目标，从本节课学生学习活动的效果观察，在多个环节的活动中学生知其然不知其所以然，教学目标未能有效地得到落实。