物理竞赛中的数学知识
2023年全国中学生物理竞赛内容提要修订版
全国中学生物理竞赛内容提纲2023年2月修订版。
一、理论基础力学1、运动学参照系。
质点运动的位移和路程,速度,加速度。
相对速度。
矢量和标量。
矢量的合成和分解。
矢量的标积和矢积匀速及匀速直线运动及其图象。
运动的合成。
抛体运动。
圆周运动。
刚体的平动和绕定轴的转动。
2、牛顿运动定律力学中常见的几种力牛顿第一、二、三运动定律。
惯性参照系的概念。
摩擦力。
弹性力。
胡克定律。
惯性力的概念。
万有引力定律。
均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不规定导出)。
开普勒定律。
行星和人造卫星的运动。
3、物体的平衡共点力作用下物体的平衡。
力矩刚体的平衡。
重心。
物体平衡的种类。
4、动量冲量。
动量。
质点与质点组的动量定理。
动量守恒定律。
质心,质心运动定理。
反冲运动及火箭。
5、冲量距角动量。
质点与质点组的角动量定理(不引入转动惯量)。
角动量守恒定律。
6、机械能功和功率。
动能和动能定理。
重力势能。
引力势能。
质点及均匀球壳壳内和壳外的引力,势能公式(不规定导出)。
弹簧的弹性势能。
功能原理。
机械能守恒定律。
碰撞。
恢复系数。
7、流体静力学静止流体中的压强。
浮力。
8、振动简揩振动[ x=Acos(ωt+α)]。
振幅。
频率和周期。
位相。
振动的图象。
参考圆。
振动的速度υ=-Asin(ωt+α)]和加速度。
由动力学方程拟定简谐振动的频率,简谐振动的能量。
同方向同频率简谐振动的合成。
阻尼振动。
受迫振动和共振(定性了解)。
9、波和声横波和纵波。
波长、频率和波速的关系。
波的图象。
平面简谐波的表达式y= Acos(t-x/v)波的干涉和衍射(定性)。
驻波,声波。
声音的响度、音调和音品。
声音的共鸣。
乐音和噪声。
多普勒效应。
热学1、分子动理论原子和分子的量级。
分子的热运动。
布朗运动。
温度的微观意义。
分子力。
分子的动能和分子间的势能。
物体的内能。
2、热力学第一定律热力学第一定律。
3、热力学第二定律热力学第二定律。
可逆过程和不可逆过程。
4、气体的性质热力学温标。
物理竞赛——小量近似方法应用两则
④
由②④两式得
当小球运动方向水平向右时速度最大,此时两分运动速度方向相同
小球距边界AC的距离最大
讨论 那么小球实际运动的轨迹到底是怎样的呢?
从以上求解过程容易联想到生活中的物理模型-—无滑动的纯滚动车轮轮缘上一个质点的运动轨迹情况,下面来分析这个问题:
如图2,建立平面直角坐标系xoy
设M为车轮圆心,R为半径,车轮以速度v匀速直线行驶。考虑车轮边缘上的某一点P,其初始位置在坐标原点,θ为运动过程中转过的角度,设t时刻位置坐标为(x,y)。
⑵对于m ⑥
对于M ⑦
联立④⑤⑥⑦得
例2长分别为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的m1和m2,如图5所示,原先它们处于静止状态。突然,连接两绳的中间小球受到水平向右的冲击,短时间内获得水平向右的初速度v0,求这一瞬间连接m2的绳的拉力为多少?
分析与解小球m1受到冲击获得初速度v0,由于受到上端固定在O点的绳L1的牵制,而绕O点做圆周运动,此刻的加速度竖直向上,大小为 。下面的小球m2此刻相对于地面的速度为零,但以m1为参照,m2的速度为v0,方向向左,且绕m1做圆周运动,这时m2受到三个力的作用:竖直向下的重力mg,绳子的拉力T2,惯性力 ,方向竖直向下,如图6所示。由牛顿第二定律和向心力公式可得
即
故
通过这样两道例题我们可以发现,引入惯性力以后,可以使一些动力学问题的求解变得简单,从而给解题带来很大的方便,因此在学习过程中,我们应该很好地掌握这种方法。
练习如图7所示,一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度ω转动,细杆与竖直轴夹角θ保持不变。一个相对细杆静止的小环自离地面h高处沿细杆下滑,求小球滑到细杆下端时的速度。(参考答案: )
一、欧拉公式
十八世纪著名数学家欧拉,曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系: ,其中F1代表我们所用的力,F2代表我们所要对抗的力,e代表数2.718…(自然对数的底), 代表绳和桩子之间的摩擦系数, 代表绕转角,也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。
物理竞赛大纲
竞赛大纲中学生物理竞赛大纲:全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行) 说明:.本次拟修改的部分用楷黑体字表示,新补充的内容将用“※”符号标出,作为复赛题和决赛题增补的内容;※※则表示原属预赛考查内容,在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
一.理论基础力学1. 运动学:参考系坐标系直角坐标系※平面极坐标质点运动的位移和路程速度加速度矢量和标量矢量的合成和分解※矢量的标积和矢积匀速及匀变速直线运动及其图像运动的合成与分解抛体运动圆周运动※曲线运动中的切向加速度和法向加速度相对速度伽里略速度变换刚体的平动和绕定轴的转动角速度和角加速度2.牛顿运动定律力学中常见的几种力牛顿第一、二、三运动定律惯性参考系摩擦力弹性力胡克定律※应力和应变(旧称胁强和胁变)※杨氏模量和切变模量万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式(不要求导出) 视重※非惯性参考系※平动加速参考系(限于匀变速直线和匀速圆周运动)中的惯性力※匀速转动参考系中的惯性离心力3.物体的平衡共点力作用下物体的平衡力矩※平行力的合成重心刚体的平衡条件物体平衡的种类4.动量冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心※质心运动定理反冲运动及火箭5.※冲量矩※角动量※质点和质点组的角动量定理(不引入转动惯量) ※角动量守恒定律6.机械能功和功率动能和动能定理重力势能引力势能质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式(不要求导出) 弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律碰撞恢复系数7.在万有引力作用下物体的运动开普勒定律行星和人造天体的圆轨道运动和※※椭圆轨道运动8.流体静力学静止流体中的压强浮力9.振动简谐振动振幅频率和周期相位振动的图像参考圆振动的速度准弹性力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成阻尼振动受迫振动和共振(定性了解) 10 波和声横波和纵波波长频率和波速的关系波的图像※平面简谐波的表示式※※波的干涉和衍射(定性) ※驻波声波声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声※多普勒效应热学1.分子动理论原子和分子的数量级分子的热运动布朗运动※气体分子速率分布律(定性)温度的微观意义分子力分子的动能和分子间的势能物体的内能2.气体的性质热力学温标气体实验定律理想气体状态方程普适气体恒量理想气体状态方程的微观解释(定性) 3.热力学第一定律理想气体的内能热力学第一定律在理想气体等容、等压、等温过程中的应用定容热容量和定压热容量等温过程中的功(不推导) 绝热方程(不推导)※热机及其效率致冷机和致冷系数4.※热力学第二定律※热力学第二定律的定性表述※可逆过程与不可逆过程※宏观过程的不可逆性※理想气体的自由膨胀※热力学第二定律的统计意义5.液体的性质液体分子运动的特点表面张力系数※球形液面下的附加压强浸润现象和毛细现象(定性) 6.固体的性质晶体和非晶体空间点阵固体分子运动的特点7.物态变化熔化和凝固熔点熔化热蒸发和凝结饱和气压沸腾和沸点汽化热临界温度固体的升华空气的湿度和湿度计露点8.热传递的方式传导※和导热系数对流辐射※黑体辐射※斯忒番定律9 热膨胀热膨胀和膨胀系数电学1.静电场电荷守恒定律库仑定律静电力常量和真空介电常数电场强度电场线点电荷的场强场强叠加原理匀强电场※无限大均匀带面的场强(不要求导出)均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式(不要求导出) 电势和电势差等势面点电荷电场的电势公式(不要求导出) 电势叠加原理均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式(不要求导出) 静电场中的导体静电屏蔽电容平行板电容器的电容公式※球形电容器电容器的连接电容器充电后的电能电介质的极化介电常量2.稳恒电流欧姆定律电阻率和温度的关系电功和电功率电阻的串、并联电动势闭合电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律※基尔霍夫定律电流表电压表欧姆表惠斯通电桥补偿电路3.物质的导电性金属中的电流欧姆定律的微观解释※※液体中的电流※※法拉第电解定律※※气体中的电流※※被激放电和自激放电(定性)真空中的电流示波器半导体的导电特性p型半导体和n型半导体※P-N结晶体二极管的单向导电性※及其微观解释(定性)三极管的放大作用(不要求机理) 超导现象4.磁场电流的磁场磁感应强度磁感线匀强磁场长直导线、圆线圈、螺线管中的电流的磁场分布(定性)※长直导线电流的磁场表示式、圆电流轴线上磁场表示式、无限长螺线管中电流的磁场表示式(不要求导出)真空磁导率安培力洛伦兹力电子荷质比的测定质谱仪回旋加速器霍尔效应5.电磁感应法拉第电磁感应定楞次定律※反电动势※感应电场(涡旋电场)※电子感应加速器自感和互感自感系数6.交流电交流发电机原理交流电的最大值和有效值纯电阻、纯电感、纯电容电路感抗和容抗※电流和电压的相位差整流滤波和稳压理想变压器三相交流电及其连接法感应电动机原理7.电磁振荡和电磁波电磁振荡振荡电路及振荡频率电磁场和电磁波电磁波谱电磁波的波速赫兹实验电磁波的发射和调制电磁波的接收、调谐、检波光学1. 几何光学光的直进反射折射全反射光的色散折射率与光速的关系平面镜成像球面镜球面镜成像公式及作图法※球面镜焦距与折射率、球面镜半径的关系薄透镜成像公式及作图法眼睛放大镜显微镜望远镜2.波动光学光程光的干涉双缝干涉光的衍射单缝衍射(定性)※分辩本领(不要求推导)光谱和光谱分析近代物理1.光的本性光电效应爱因斯坦方程光的波粒二象性光子的能量与动量2.原子结构卢瑟福实验原子的核式结构玻尔模型用玻尔模型解释氢光谱玻尔模型的局限性原子的受激辐射激光的产生(定性)和它的特性3. 原子核原子核的量级天然放射现象原子核的衰变半衰期放射线的探测质子中子原子核的组成核反应方程质能方程裂变和聚变4.粒子“基本”粒子※夸克四种作用※实物粒子的波粒二象性※德布罗意波※不确定关系5.※狭义相对论爱因斯坦假设时间膨胀和长度收缩相对论动量相对论能量相对论动量能量关系6.※太阳系,银河系,宇宙和黑洞的初步知识. 数学基础1.中学阶段全部初等数学(包括解析几何). 2.矢量的合成和分解,极限、无限大和无限小的初步概念. 3.※初等函数的微分和积分全国中学生物理竞赛内容提要--实验(2013年开始实行) 说明:.本次拟修改的部分用楷黑体字表示,新补充的内容将用“※”符号标出,作为复赛题和决赛题增补的内容;※※则表示原属预赛考查内容,在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
高中物理竞赛的知识与分类
高中物理竞赛的知识与分类物理竞赛需要哪些知识?物理竞赛力学部分需要哪些数学?首先,为了理解力学一开始的匀加速直线运动和变加速直线运动,对于一元函数的简单微积分是必不可少的,当然主要集中在多项式函数的求导和积分上,实际操作起来十分容易。
此后,当运动范围被拓展到二维,运动形式成为曲线时,矢量代数、解析几何、参数方程、斜率、曲率半径等数学概念被融入到物理模型中,用来理解抛体、圆周、一般曲线运动。
这时微积分的应用也被拓展到更为复杂的函数范围,例如三角函数。
随着运动和力的关系——牛顿第二定律的引入,我们逐渐意识到光理解运动是不够的,运动背后的机理——力的作用,以及力的效果,才是我们要研究的。
动量定理、动能定理的引入,实际上反映了力在时空的积累效果,而牛顿方程本身,也是物理学家特别喜欢的形式——微分方程。
对于矢量和微积分更综合的运用体现在一种伴随物理学发展史的特殊运动形式——简谐振动当中。
而振动在介质当中的扩散效应——波动,又引出了波动方程、波函数这一时空函数的概念。
总结下来,力学部分所需要的数学是一元函数的微积分、矢量代数、解析几何、常微分方程、对二元函数的运用。
物理竞赛热学部分需要哪些数学?虽然高中热学部分涉及气体定律和热力学第一定律的内容比较容易,一般不需要微积分,但如果深入学习,热力学过程、各种态函数(内能、熵)、热力学第二定律,那么由于热力学体系变量多,适当的偏微分基础知识是必要的。
热力学是宏观的理论,而其背后有着分子动理论作为基础,它们之间的联系是通过对大量粒子系统的统计来实现的,因此,概率统计的知识就显得十分必要了。
总结下来,热学部分所需要的数学是简单的偏微分和概率统计。
物理竞赛电磁学部分需要哪些数学?依照往年的经验,电磁学是最容易让高考学生放弃物理、竞赛学生放弃物理竞赛的困难内容。
原因是因为数学不到位,非但理解不了场的概念,而且容易产生记忆模型和公式,套例题做习题的固有思维模式,最终对于电磁学可谓是“一点没学会”!从静电场开始,如果仅仅按高中的要求来学习,对于场的理解是空洞的,仅仅是唯像的概念,对于电场线、电势、静电平衡、介质极化等概念无法做到深入掌握,那就更别提解答赛题了。
运用数学知识,解决物理问题
2 0 1 3年 第 1 5期
运用数学知识 ,解 决物理 问题
陈扶 秀 甘肃省靖远县城 关 中学
在物理竞赛辅导中要挖掘学生的潜能 , 就必须强化能力 的培养。其 中很重要 的一条就是培养学生运用数学知识分
析、 解 决物 理 问题 的能力 。笔者认 为 , 可从 将物 理 问题转 化
某些与图形有关的复杂物理问题 , 可先利用几何知识构 建几何图形 , 使抽象问题变得具体、 形象。将物理问题转化为
[ 责任编辑 :李冰 ]
还学 习了 “ 小数的认识”方面的知识 。
2 . 用数 学思 维解 决 实际 问题
这—特陛为班级修理课桌、 板凳, 有效地培养了学生的实践能力。
总 之 ,数 学知 识离 不开 生活 。教 师要积 极地 创造 条件 ,
数学教学仅停留在让学生掌握知识这一层面还远远不够, 必须让学生学会用数学的思维分析解决实际问题。 在教学 “ 三 角形稳定 陛”时, 教师列举了大量运用这一陛质的范例 , 让学 生小组合 作讨论解决 ,找出其 中的原 因, 并进 而要求学生利用
们 自己根 据 已知条 件分 析 出电路 的连 接情 况 , 找 到解决 问题 的方 法 。
R - 为定值电阻 : 利用 P = 构造函数 u =√ 雨 第—种情况 R 1 的电功率为 9 W; 第二种情况 R l 的电功率为 1 6 W; 或P -I 2 R构造 =
P 2  ̄ P 1
飞机 的速度 。
找到解决问题 的方法以后 ,利用相应 的电路特点和概
念 ,就 可列 出电学方 程组 。
解 :如图设 A A解: 利用 P 1 =I 2 l R I 和串联电路的特点得出9 = ( — = _ ) R 。 ;
(完整版)高中物理竞赛中的高等数学
高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成. §1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,c x,cos2x π,ln x ,x e 等等.在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x==,则当0x x =时,00()c f x x =.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0与坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了.(3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 与U 成正比. 应当指出,任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 与R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()UI I R R==,(A .16)即I 与R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:232()1x x y f x x --==-,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:从上表看,x →1时f (x )的极限值. 其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也与它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆与t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少与t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5).(2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v (t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t +∆-∆==∆∆,(A .21) 举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数). 对于一般的变速运动,a 也是与t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取vt∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()lim lim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量与变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)与此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,(A .27) 可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、d dx等其它形式.导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:22dv d sa dt dt==,(A .31);水渠坡度:dh k dx =,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:10tan MP y P M xα∆==∆. 如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x xαα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率. §3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C C y f x x x ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()limlim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆; (4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()limlim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆011lim x x x x x∆→-+∆=∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆;(6)y =f (x )000()()()limlim x x x f x x f x y f x x ∆→∆→∆→+∆-''====∆limlimx x ∆→∆→===上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,1n n dx y nx dx-'==,(n 为任何数),(A .33). 例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx '==; 当2n =时,2()y f x x ==,22dx y x dx '==; 当3n =时,3()y f x x ==,323dx y x dx '==; 当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x ===1212y x -'===利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx∆→∆∆=+=+∆∆.定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆ 20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求23251x y x -=+的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数.解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d x x xdy d d x x x x x dx dx x xdx dx dx x x x x -⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dvv a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+.例8.求y =解:令21v x =-,()y u v ==2dy du dv x dx dv dx =⋅=例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=- §4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38)一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40)在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 与dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx,则该式化为du du dvdx dv dx =⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆.下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 与1MP 的交点为N ,则0tan MNMNNP M xPM ∠==∆,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x 小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l l l l l∆=+=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得101()()m m m f x ma x x ∞-='=-∑;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M阶导数有()0()!M M fx M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43).若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.函数 展开式收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤52(1)x ± 234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 12(1)x -± 234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <32(1)x -± 234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <1(1)x -±2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < 2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < sin x3573!5!7!x x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ cos x24612!4!6!x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞x e 23411!2!3!4!x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ln(1)x + 234234x x x x -+-+⋅⋅⋅11x -<≤ ln(1)x -234()234x x x x -++++⋅⋅⋅11x -≤<§55.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而1()ni i v t t=∆∑则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t 越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即01lim ()ni t i n s v t t ∆→=→∞=∆∑,(A .47). 当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()ni i F s s =∆∑;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即01lim ()ni t i n A F s s ∆→=→∞=∆∑,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时1()ni i f x x =∆∑的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()b at t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理,常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易,而需要靠判断和试探.例如,知道了Ф(x )=x 3的导数Ф′(x )=3x 2,也就知道了F (x )=3x 2的逆导数是Ф(x )=x 3;这时,如果要问函数f (x )=x 2的逆导数是什么,那么就不难想到,它的逆导数应该是x 3/3;这里要指出一点,即对于一个给定的函数f (x )来说,它的逆导数并不是唯一的.Ф1(x )=x 3/3是f (x )=x 2的逆导数,Ф2(x )=x 3/3+1和Ф3(x )=x 3/3-5也都是它的逆导数,因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2.一般说来,在函数f (x )的某个逆导数Ф(x )上加一任意常量C ,仍旧是f (x )的逆导数.通常把一个函数f (x )的逆导数的通式Ф(x )+C 叫做它的不定积分,并记作()f x dx ⎰,于是()()f x dx x C =Φ+⎰,(A .54).因在不定积分中包含任意常量,它代表的不是个别函数,而是一组函数.。
初中的学科竞赛知识点归纳
初中的学科竞赛知识点归纳在初中阶段,学科竞赛对于学生的学习、思维能力和解决问题的能力有着积极的促进作用。
无论是学科奥赛、数学竞赛还是英语竞赛,都需要学生熟练掌握各学科的知识点。
以下是各学科常见的竞赛知识点的归纳。
一、数学竞赛知识点归纳1. 数与式- 自然数、整数、有理数与无理数的性质- 分数的计算与比较- 除数、倍数与公倍数、公约数与最大公约数、最小公倍数的计算- 代数式的基本性质和化简2. 等式与方程- 一次方程的解法和应用- 二次根式的计算- 一元一次方程组和二元一次方程组的解法3. 几何基础- 线段、角的概念和性质- 平行线与垂直线的性质- 三角形、四边形的性质- 相似三角形的判定与性质4. 几何关系- 镜面对称、轴对称的判定和性质- 直角三角形与勾股定理的应用- 圆的周长与面积的计算5. 统计与概率- 数据的收集与整理- 平均数、中位数、众数的计算- 事件概率的计算二、物理竞赛知识点归纳1. 力学基础- 物体运动的描述与分析- 力的作用、力的合成与分解- 牛顿三定律的运用- 弹力与斜面上的物体2. 电学基础- 电路的构成与电流的定义- 并联电路与串联电路- 电阻与电流的关系- 电压的定义与计算3. 光学基础- 光的传播与反射定律- 凸透镜与凹透镜的成像原理- 光的折射与光密介质、光疏介质之间的关系 - 球面镜与反射望远镜的成像原理4. 热学基础- 温度与热能的传递- 热平衡与热传导- 热膨胀与热收缩- 热量计算和热效率计算三、化学竞赛知识点归纳1. 物质与变化- 物质的性质与分类- 常见物质的溶解与凝固- 物质的化学变化与化学反应- 典型的酸碱中和反应2. 元素与化合物- 原子结构与元素周期表- 元素间的化学键和化合物的性质- 碳及其化合物的性质和应用- 金属与非金属元素的性质与反应3. 反应反应速率- 化学方程式与反应热- 反应速率与活化能- 酸碱滴定反应的应用- 电解质的电离和电解质溶液的电解4. 化学能与电化四、生物竞赛知识点归纳1. 细胞与生物- 细胞的基本结构和功能- 镜下观察- 细胞的分裂与遗传- 调节和保持动态平衡2. 植物的生殖与发育- 植物的多样性与分类- 植物的营养与代谢- 植物的生殖和发育- 环境与植物的适应3. 动物的生殖与发育- 动物的结构与生活方式- 动物体内外的调节- 动物的生殖与发育- 进化和生物技术的应用4. 生物与环境的关系- 生物与物质循环- 生物多样性和生物保护- 生物与人类的利益和协调- 生态系统的保护和管理以上是初中各学科竞赛中常见的知识点的归纳。
高中物理竞赛微积分基础
高中物理竞赛微积分基础-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、常用等价无穷小关系(0x →) 小量近似①sin x x = ;②tan x x = ;③211cos 2x x -= ;④()ln 1x x += ;⑤1x e x -= 2、基本函数的导数公式 小量比值(1)y =f (x )=C (常量)(2)y=f (x )=x(3)y =f (x )=x 2⑴ 导数的四则运算①d(u±v)d t =du d t ± dv d t ③d(u v )d t = du d t ·v - u ·dv d t u v v 2②d(u ·v)d t =du d t ·v + u ·dv d t u v ⑵ 常见函数的导数①dC dt =0(C 为常数); ②dt n dt =nt n-1 (n 为实数); ③dsint dt =cost ; ④ dcost dt =-sint ;⑶ 复合函数的导数在数学上,把u=u(v(t))称为复合函数,即以函数v(t)为u(x)的自变量。
du(v(t))d t =du(v(t))d v(t) ·dv(t)d t导数的数学意义:变化率导数的几何意义:图线切线斜率导数的物理意义:定义物理量(速度、加速度等)3、定积分 小量累计函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限。
f(x)是Ф(x)的导数,Ф(x)是f(x)的逆导数或原函数。
求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数(不定积分)。
4、不定积分通常把求一个导函数f(x)的逆导数的通式Ф(x)+C叫做它的不定积分。
物理竞赛初中数学试卷答案
一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个物理量在国际单位制中的单位是千克?()A. 力B. 速度C. 时间D. 质量答案:D解析:质量在国际单位制中的单位是千克(kg)。
2. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动,加速度为2m/s²,3秒后它的速度是多少?()A. 6m/sB. 9m/sC. 12m/sD. 18m/s答案:B解析:根据公式 v = at,代入 a = 2m/s²,t = 3s,得v = 2m/s² × 3s = 6m/s。
3. 一个物体在水平面上受到一个斜向上的拉力,如果拉力与物体所受摩擦力的合力为0,则下列哪个说法是正确的?()A. 物体一定处于静止状态B. 物体一定处于匀速直线运动状态C. 物体的运动状态可能改变D. 物体的运动状态一定不变答案:D解析:当拉力与摩擦力的合力为0时,根据牛顿第一定律,物体可能处于静止状态或匀速直线运动状态,但运动状态不会改变。
4. 下列哪个物理现象属于光的折射?()A. 彩虹B. 镜子成像C. 日食D. 月食答案:A解析:彩虹是由于光在雨滴中发生折射和反射而形成的。
5. 一个电阻的电阻值为10Ω,通过它的电流为2A,则该电阻的电压是多少?()A. 5VB. 10VC. 20VD. 50V答案:B解析:根据欧姆定律 U = IR,代入I = 2A,R = 10Ω,得U = 2A × 10Ω =20V。
二、填空题(每题10分,共30分)6. 物体的质量是3kg,受到的合力是15N,则物体的加速度是______m/s²。
答案:5解析:根据牛顿第二定律 F = ma,代入F = 15N,m = 3kg,得 a = 15N / 3kg = 5m/s²。
7. 一个物体在水平面上做匀速直线运动,受到的摩擦力是5N,则该物体所受的推力是______N。
答案:5解析:由于物体做匀速直线运动,根据牛顿第一定律,物体所受的推力与摩擦力大小相等,方向相反,所以推力也是5N。
小学物理竞赛参考
小学物理竞赛参考物理是一门关于自然界现象和规律的科学,是培养学生观察、实验、推理和解决问题能力的重要学科之一。
参加物理竞赛不仅可以增加对物理知识的理解和掌握,还可以培养学生的科学思维和实验技能。
在这篇文章中,我将介绍小学物理竞赛的参考内容与技巧。
一、力学1. 物体的运动:学生们需要了解静止和运动的基本概念,如速度、位移、时间等,并能运用数学方法进行简单的问题求解。
2. 力和运动:学生们需要学习力的基本概念和力的作用效果,如摩擦力、重力、弹力等,并能运用力的知识解释和分析一些实际问题。
3. 杠杆原理:学生们需要了解杠杆的基本原理,如杠杆的三要素、杠杆的平衡条件等,并能通过实例理解和应用。
二、热学1. 温度和热量:学生们需要了解温度和热量的基本概念,并能运用公式计算具体问题。
2. 物体的热膨胀:学生们需要了解物质受热时膨胀的基本原理和应用,并能通过实验验证膨胀的规律。
三、光学1. 光的传播:学生们需要了解光的传播原理和光传播的方式,并能用光的传播规律解释一些常见现象。
2. 反射和折射:学生们需要了解反射和折射的基本概念和规律,并能应用反射和折射知识解释光线的传播和成像。
四、电学1. 电是什么:学生们需要了解电的基本概念、电的来源和电的作用,并能应用电的知识解释一些实际问题。
2. 电流和电路:学生们需要了解电流的概念和电路的基本组成,并能通过构建简单电路解决一些问题。
3. 电的导体和绝缘体:学生们需要了解导体和绝缘体的基本特点和区别,并能判断某些物体是导体还是绝缘体。
以上是小学物理竞赛中常见的知识点,学生们在备考过程中需要充分理解和掌握这些内容。
下面是一些备考技巧供学生们参考:1. 做好复习计划:合理安排复习时间,掌握复习进度,确保每个知识点都能得到足够的复习。
根据自身情况,制定一份详细的复习计划,并严格按照计划进行。
2. 多做习题:通过大量的练习,可以巩固对知识点的理解和掌握。
选取一些代表性的习题进行针对性的练习,同时也要注重对一些经典例题的分析和总结。
数学物理竞赛知识点总结
数学物理竞赛知识点总结一、数学竞赛知识点总结1. 不等式(1) 已知不等式性质(2) 不等式的计算(3) 不等式的应用(如证明、应用)2. 函数(1) 函数的性质(2) 函数的运算(如复合函数、反函数)(3) 函数的图像与性质(如一次函数、二次函数、三角函数)3. 数列(1) 等差数列和等比数列的性质(2) 数列的求和(3) 数列的应用(如证明、应用)4. 极限(1) 极限的概念及性质(2) 极限的运算规则(3) 极限的应用(如证明、变量法)5. 微分与积分(1) 微分的概念及性质(2) 积分的概念及性质(3) 微分与积分的应用(如证明、变量法)6. 组合与排列(1) 组合与排列的概念及性质(2) 组合与排列的公式与计算(3) 组合与排列的应用(如证明、变量法)7. 概率(1) 概率的概念及性质(2) 概率的计算公式(3) 概率的应用(如证明、变量法)8. 数论(1) 数论的基本概念(2) 数论的性质与定理(3) 数论的应用(如证明、变量法)9. 平面几何(1) 平面几何的基本概念(2) 平面几何的性质与定理(3) 平面几何的应用(如证明、变量法)10. 空间几何(1) 空间几何的基本概念(2) 空间几何的性质与定理(3) 空间几何的应用(如证明、变量法)11. 解析几何(1) 解析几何的基本概念(2) 解析几何的性质与定理(3) 解析几何的应用(如证明、变量法)12. 复变函数(1) 复变函数的基本概念(2) 复变函数的性质与定理(3) 复变函数的应用(如证明、变量法)13. 加速度表达式(1) 加速度表达式的概念及性质(2) 加速度表达式的计算规则(3) 加速度表达式的应用(如证明、变量法)14. 群论(1) 群论的基本概念(2) 群论的性质与定理(3) 群论的应用(如证明、变量法)15. 常数(1) 常数的概念及性质(2) 常数的计算规则(3) 常数的应用(如证明、变量法)二、物理竞赛知识点总结1. 运动学(1) 位移、速度、加速度的等物理量的概念及性质(2) 运动图象的绘制及分析(3) 运动规律的应用2. 动力学(1) 牛顿定律的表述及应用(2) 动量、动能、功率的概念及计算(3) 动力学定律的应用3. 静力学(1) 物体的平衡条件(2) 施力与受力的关系(3) 静力学的应用(如证明、变量法)4. 物态方程(1) 理想气体状态方程的概念及性质(2) 理想气体状态方程的计算及应用(3) 理想气体状态方程的变化规律5. 热力学(1) 热力学的基本概念(2) 热力学的性质与定理(3) 热力学的应用(如证明、变量法)6. 电学(1) 电荷、电场、电势的概念及性质(2) 电路、电流、电阻的计算(3) 电学的应用(如证明、变量法)7. 光学(1) 几何光学与波动光学的基本概念(2) 光学现象的分析与计算(3) 光学的应用(如证明、变量法)8. 声学(1) 声波的基本概念(2) 声学现象的分析与计算(3) 声学的应用(如证明、变量法)9. 原子物理(1) 原子结构的基本概念(2) 原子核的结构及性质(3) 原子物理的应用(如证明、变量法)10. 核物理(1) 核反应的基本概念(2) 放射性物质的性质及应用(3) 核物理的应用(如证明、变量法)11. 量子物理(1) 量子力学的基本概念(2) 量子物理的性质与定理(3) 量子物理的应用(如证明、变量法)12. 统计物理(1) 统计物理的基本概念(2) 统计物理的性质与定理(3) 统计物理的应用(如证明、变量法)13. 电磁学(1) 电场、磁场、电磁感应的基本概念(2) 电磁学现象的应用与计算(3) 电磁学的应用(如证明、变量法)14. 物理实验(1) 实验的设计及操作(2) 实验结果的分析及应用(3) 实验的应用(如证明、变量法)15. 分子物理(1) 分子结构的基本概念(2) 分子物理的性质及应用(3) 分子物理的应用(如证明、变量法)总结:数学物理竞赛知识点包括数学和物理两个方面,内容涉及不等式、函数、数列、极限、微分与积分、组合与排列、概率、数论、平面几何、空间几何、解析几何、复变函数、加速度表达式、群论、常数等数学知识,运动学、动力学、静力学、物态方程、热力学、电学、光学、声学、原子物理、核物理、量子物理、统计物理、电磁学、物理实验、分子物理等物理知识。
2023年大同杯物理竞赛专题专题运动
专题8 运动【知识补充】1. 速度是描述物体运动快慢的物理量。
速度v=s/t。
2. 相对运动。
两物体同向运动,相对速度为其速度之差;两物体反向运动,相对速度为其速度之和。
3. 平均速度是指在某段时间内物体运动的路程与所用时间的比值。
△s/△t = 平均速度。
但假如是匀变速运动,那么尚有一种公式=(初速度+末速度)/24. 加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值(△V/△t),是描述物体速度改变快慢的物理量,通常用a表达,单位是m/s2。
5.初速为0的匀变速运动的路程公式。
S=1/2 at26.速度的合成:当一个物体受多个力在几个方向都有速度时,合速度遵循平行四边形法则。
【例题】1.降落伞在无风时以4米/秒的速度匀速下降,假如吹起水平方向的风,风速为3米/秒,则降落伞落地时的速度大小为_____________。
2. (2023大同杯预赛)小轿车匀速行驶在公路上,坐在副驾驶位置的小青观测到轿车速度盘的指针始终在100km/h位置处,在超越相邻车道上同向匀速行驶的另一辆普通轿车的过程中,小青发现该轿车通过自己的时间恰好为1秒,则该轿车的车速范围为()A.15~20m/s B.20~25 m/s C.25~30 m/s D.30~35 m/s3.(2023大同杯复赛)一列车由北向南在雨中行驶,坐在窗口的乘客看到雨滴相对车窗竖直下落,则()A.窗外有风,但无法判断风的方向B.窗外有风,并且是由北向南的风C.窗外有风,并且是由南向北的风D.窗外没有风,站在铁轨边的人看到雨滴是竖直下落的4. (2023大同杯预赛)下列数据中最接近实际情况的是()A.人正常步行的平均速度为10米/秒B.光在真空中的传播速度为340米/秒C.无线电波在空气中的传播速度约为3×108米/秒D.“神舟七号”飞船进入太空轨道时的速度约为3×108米/秒5.(2023大同杯预赛)如图所示,杠杆上有两个质量不等的球m1>m2,杠杆在水平位置平衡,杠杆自重不计.假如两球以相同的速度向支点运动,则杠杆()A.仍能平衡B.不能平衡,右侧将下沉C.不能平衡,左侧将下沉D.条件不够,无法判断6.(2023大同杯预赛)某人骑车向正东方向行驶,看到插在车上的小旗向正南方向飘动,假设风速保持不变,骑车人沿正南方向行驶时,小旗的飘动方向也许的是()A.正东方向B.正北方向C.东偏南方向D.东偏北方向7.(2023大同杯预赛)著名数学家苏步青年轻时有一次访问德国,本地一名数学家在电车上给他出了一道题:甲、乙两人相对而行,相距50千米.甲每小时走3千米,乙每小时走2千米.甲带一条狗,狗每小时走4千米,同甲一起出发,碰到乙后又往甲方向走,碰到甲后它又往乙方向走,这样连续下去,直到甲乙两人相遇时,这条狗一共走了()A.50千米B.40千米C.30千米D.20千米8.(2023大同杯预赛)一般情况下,河水越靠近河的中央,水速越大;越靠近河岸,水速越小,如图所示.假设水速与离河岸的距离成正比,一艘船船头始终垂直河岸方向(船相对水的速度不变),从河岸A点向对岸驶去并到达对岸下游处的B点.则在下列示意团中,能合理描述其行进途径的是()A.B.C.D.9. (2023大同杯复赛)摩托车做奔腾障碍物的表演时为了减少落地时向前翻车的危险,则落地时应采用的措施是()A仅前轮制动B仅后轮制动C前、后两轮均制动D前、后轮均不制动10. (2023大同杯复赛)2023年9月25日21时10分“神舟”七号飞船载着三名航天员飞上蓝天,实行太空出舱活动等任务后于28日17时37分安全返回地球。
高二物理竞赛课件光波的数学描述
于角谱的模和幅角。
惠更斯—菲涅耳原理
“波前上的每一个面元都可以看作是一个次 级扰动中心,它们能产生球面子波”,并且, “后一时刻的波前的位置是所有这些子波前 的包络面。”
——《论光》,惠更斯 , 1690
“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作 是一个频率(或波长)与入射波相同的子波 源;在其后任何地点的光振动,就是这些子 波叠加的结果。”
dS
h P, P0
1 K e jkr
j
r
U P U P0 h P, P0 dS
若孔径在x0y0平面,而观察平面在xy平面,上式可进一步表示为
U x, y U x0 , y0 h x, y; x0, y0 dx0dy0
这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分;因此光波的传播现象可以 看作是一个线性系统!
在傍轴近似下,K 1 ,则上述线性系统的脉冲响应函数简化为,物理意义
h x, y; x0, y0
1 j
e jkr r
1 j
exp
jk
z2
x
x0
2
y
y0
2
z2 x x0 2 y y0 2
h x x0, y y0
脉冲响应函数具有空间不变的函数形式,也就是说光波在衍射孔径后的传播现象 可看作线性不变系统。这为我们用线性不变系统理论分析衍射现象提供了依据。
r
2
r
dS
其中,P是照明孔径的点光源,P0是孔径上某 一点,P为孔径后面某一观察点,r和r分别P 和P到P0的距离(图3-3)。上式称为菲涅耳— 基尔霍夫衍射公式,它为惠更斯—菲涅耳原 理提供了更可靠的波动理论基础。
速度瞬心法初中物理竞赛题目
速度瞬心法是一种用于测量速度的方法。
它是通过在物体运动过程中测量物体的位移和时间来计算速度的。
在初中物理竞赛中,可能会出现以下有关速度瞬心法的题目:小明坐在滑梯上,从顶端开始滑落。
经过3秒后,他的位移为12米。
问小明的平均速度是多少?小红和小张在跑步比赛。
小红从起点出发,经过8秒后到达终点,跑了40米。
小张从起点出发,经过6秒后到达终点,跑了30米。
问谁的平均速度更快?小李坐在电动车上,从A地出发,经过20分钟后到达B地,行驶了10公里。
问小李的平均速度是多少?如果你需要更多关于速度瞬心法的帮助,可以再提出具体问题。
速度瞬心法是一种用于解决运动学问题的数学方法。
其基本思想是:在一段时间内,物体的运动路径是一条直线,速度则是沿这条直线的分段函数。
因此,可以使用速度瞬心法来求解物体的位置、速度和加速度的函数关系。
下面是一道关于速度瞬心法的初中物理竞赛题目:题目:求解以下运动学问题:物体从原点出发,在 $t=0$ 秒时,其速度为$v_0=10\text{ m/s}$,加速度为 $a=2\text{ m/s}^2$。
求物体在$t=4$ 秒时的位置 $x$。
解法:首先,根据速度瞬心法的基本思想,我们知道,在$t=0$ 秒时,物体的位置为 $x=0$。
而在 $t=4$ 秒时,根据速度瞬心法的公式:$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$ 可得,物体在$t=4$ 秒时的位置为:$$x=0+10\times4+\frac{1}{2}\times2\times4^2=32\text{ m}$$ 因此,物体在 $t=4$ 秒时的位置为 $x=32\text{ m}$。
注意:速度瞬心法是运动学中的基本方法,在解决运动学问题时经常使用。
它的基本思想是:在一段时间内,物体的运动路径是一条直线,速度则是沿这条直线的分段函数。
因此,可以使用速度瞬心法来求解物体的位置、速度和加速度的函数关系。
在使用速度瞬心法求解运动学问题时,需要注意以下几点:需要确定物体的初始位置、速度和加速度,这些参数可以通过题目给出的信息得到。
高中物理竞赛中高等数学
高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成. §1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,c x,cos2x π,ln x ,x e 等等.在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定及自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x==,则当0x x =时,.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量及变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0及坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了.(3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 及U 成正比. 应当指出,任意常量及变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 及R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()UI I R R==,(A .16)即I 及R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:从上表看,x →1时f (x )的极限值. 其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也及它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆及t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少及t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5). (2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立及v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v (t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t ∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t+∆-∆==∆∆,(A .21)举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数). 对于一般的变速运动,a 也是及t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取vt∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()lim lim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量及变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)及此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,(A .27) 可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、d dx等其它形式.导数及增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:,(A .31);水渠坡度:dhk dx=,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线及横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线及横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线及横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:.如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x xαα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率. §3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C C y f x x x ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()limlim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆; (4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()limlim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆; (6)y =f (x )x 000()()()limlim lim[]x x x f x x f x x x x x x x x x xy f x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆-+∆+''====∆+∆+limlimx x ∆→∆→===上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,,(n 为任何数),(A .33).例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx'==; 当2n =时,2()y f x x ==,;当3n =时,3()y f x x ==,;当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x === 利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx∆→∆∆=+=+∆∆.定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim ()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数.解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d x x xdy d d x x x x x dx dx x x dx dx dx x x x x -⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dvv a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+.例8.求y =解:令21v x =-,()y u v ==2dy du dv x dx dv dx =⋅= 例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=- §4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38)一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40)在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 及dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx ,则该式化为du du dvdx dv dx=⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆. 下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y 0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 及1MP 的交点为N ,则,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x 小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l l l l l∆=+=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M 阶导数有()0()!M M f x M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43). 若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.函数 展开式 收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 52(1)x ±234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤12(1)x -±234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <32(1)x -±234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 1(1)x -± 2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅ 1x < 2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅ 1x < sin xx <∞cos xx <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ x ex <∞ln(1)x + 11x -<≤ ln(1)x -11x -≤<§55.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t 越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即,(A .47).当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力及物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()bat t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理,常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易,而需要靠判断和试探.例如,知道了Ф(x )=x 3的导数Ф′(x )=3x 2,也就知道了F (x )=3x 2的逆导数是Ф(x )=x 3;这时,如果要问函数f (x )=x 2的逆导数是什么,那么就不难想到,它的逆导数应该是x 3/3;这里要指出一点,即对于一个给定的函数f (x )来说,它的逆导数并不是唯一的.Ф1(x )=x 3/3是f (x )=x 2的逆导数,Ф2(x )=x 3/3+1和Ф3(x )=x 3/3-5也都是它的逆导数,因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2.一般说来,在函数f (x )的某个逆导数Ф(x )上加一任意常量C ,仍旧是f (x )的逆导数.通常把一个函数f (x )的逆导数的通式Ф(x )+C 叫做它的不定积分,并记作()f x dx ⎰,于是()()f x dx x C =Φ+⎰,(A .54).因在不定积分中包含任意常量,它代表的不是个别函数,而是一组函数.函数()f x 不定积分()f x dx ⎰ 函数()f x不定积分()f x dx ⎰ (1)n x n ≠-当1n =时,1x x = 22x C + 当2n =时,2x当3n =时,3x44x C + 当2n =-时,221x x -= 当12n =时,12x x = 当12n =-时,当32n =-时,sin x cos x C -+ cos xsin x C +1x ln x C + x e x e C +上面所给的例子太简单了,一眼就能猜到逆导数是什么.在一般的情况下求逆导数,首先要求对各种函数的导数掌握得很熟练,才能确定选用那一种形式的函数去试探.此外,掌握表A -4中给出的基本不定积分公式和其后的几个有关积分运算的定理,也是很重要的.(表中的公式可以通过求导运算倒过来验证,望读者自己去完成)下面是几个有关积分运算的定理.定理一 若()()f x au x =(a 是常量),则()()f x dx a u x dx =⎰⎰,(A .55).定理二 若()()()f x u x v x =±,则()()()f x dx u x dx v x dx =±⎰⎰⎰,(A .56).这两个定理的证明是显而易见的,下面利用这两个定理和表A -4中的公式计算两个例题.例10.求25x dx ⎰.。
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物理竞赛中的数学知识一、重要函数 1. 指数函数2. 三角函数3. 反三角函数反正弦Arcsin x ,反余弦Arccos x ,反正切Arctan x ,反余切Arccot x 这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。
二、数列、极限 1. 数列:按一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
数列的一般形式可以写成 a 1,a 2,a 3,…,a n ,a (n+1),… 简记为{an },通项公式:数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2. 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
通项公式a n =a 1+(n-1)d ,前n 项和11(1)22n n a a n n S n na d +-==+ 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示。
通项公式a n =a 1q(n-1),前n 项和11(1)(1)11n n n a a q a q S q q q--==≠--所有项和1(1)1n a S q q=<-3. 求和符号4. 数列的极限:设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作A a n n =∞→lim否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.三、函数的极限:在自变量x 的某变化过程中,对应的函数值f (x )无限接近于常数A ,则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。
设f (x )在x>a (a >0)有定义,对任意ε>0,总存在X >0,当x>X 时,恒有| f (x )-A |<ε,则称常数A 是函数f (x )当x →+∞时的极限。
记为+∞→x lim f (x )=A ,或f (x ) → A (x →+∞)。
运算法则lim x x →[f (x )± g (x )]=0lim x x →f (x ) ±0lim x x →g (x )lim x x →[f (x ) ⋅ g (x )]=0lim x x →f (x ) ⋅0lim x x →g (x ))(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x xx x x →→→=,其中0lim x x →g (x )≠ 0.四、无穷小量与无穷大量1.若0)(lim 0=→x f x x ,则称)(x f 是0x x →时的无穷小量。
(若,)(lim 0∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量)。
或:若0lim x x →α(x )=0 ,则称α(x )当x → x 0时为无穷小。
在自变量某变化过程中,|f (x )|无限增大,则称f (x )在自变量该变化过程中为无穷大。
记为lim ().f x =∞2.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量;无穷大量的倒数是无穷小量。
3.无穷小量的运算性质(i )有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。
(ii )无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。
(iii )有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。
4.无穷小的比较定义:设0lim →x α (x )=0,0lim →x β (x )=0,1)若)()(lim0x x x αβ→=0,则称当x → x 0时β (x )是比α (x )高阶无穷小。
2)若)()(lim0x x x αβ→=∞,则称当x → x 0时β (x )是比α (x )低阶无穷小。
3)若)()(lim0x x x αβ→=C (C ≠0),则称当x → x 0时β (x )与α (x )是同阶无穷小,4)若)()(lim0x x x αβ→=1,则称当x → x 0时β (x )与α (x )是等价无穷小。
5.常用的等价无穷小为:当x →0时: sin x ~x ,tan x ~x ,arcsin x ~x ,arctan x ~x ,1-cos x ~221x , 11-+n x ~x n1。
等价无穷小可代换五、二项式定理1. 阶乘: n!=1×2×3×……×n2. 组合数:从m 个不同元素中取出n (n≤m )个元素的所有组合的个数,叫做从m 个不同元素中取出n 个元素的组合数3. 二项式定理即六、常用三角函数公式sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α sin (π/2+α)=cos α cos (π/2+α)=—sin α tan (π/2+α)=-cot αsin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()c o sc o ss i n sA B A B A B -=+ sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 22tan tan 21tan AA A=-sin2A =cos 2A = s i n t a n 21c o sA A A ==+ 和差化积公式sin sin 2sincos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin22a b a ba b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin22a b a ba b +--=-⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b++=⋅积化和差公式()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n c o s s i n s i n 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s s i n s i n s i n 2a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦ 万能公式22tan2sin 1tan 2aa a=+ 221tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n2t a n 1t a n2aa a=-典型物理问题数列极限等应用1. 蚂蚁离开巢穴沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心距离L 1=1m 的A 点处时,速度是V 1=2cm/s 。
试问蚂蚁继续由A 点到距巢中心L 2=2m 的B 点需要多长时间? 2.3常见近似处理1. 人在岸上以v 0速度匀速运动,如图位置时,船的速度是多少?2. 如图所示,顶杆AB 可在竖直滑槽K 内滑动,其下端由凹轮M 推动,凸轮绕O 轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时,OA=r ,凸轮轮缘与A 接触,法线n 与OA 之间的夹角为α,试求此瞬时顶杆AB 的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)3.三个芭蕾舞演员同时从边长为L 的正三角形顶点A,B,C 出发,速率都是v ,运动方向始终保持着A 朝着B,B 朝着C,C 朝着A 。
经过多少时间三人相遇?每人经过多少路程?4. 如图所示,半径为R 2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R 1的圆柱上,母线互相垂直,设两圆柱间动摩擦因数足够大,不会发生相对滑动,试问稳定平衡时,R 1与R 2应满足什么条件?5.一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑,一只猎犬以不变的速率2υ追击,其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处,猎犬在D 处,FD ⊥AB ,且FD=L ,如图14—1所示,求猎犬的加速度的大小.解析:猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变,故猎犬做匀速率曲线运动,根据向心加速度r ra ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径,因为r 不断变化,故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化,题目要求猎犬在D 处的加速度大小,由于2υ大小不变,如果求出D 点的曲率半径,此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动,其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内,猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧,设其半径为R ,则加速度 =a R22υ其方向与速度方向垂直,如图14—1—甲所示.在t ∆时间内,设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与,猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是:1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ,R=L 2υ/1υ所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L6.如图所示,半径为R ,质量为m 的圆形绳圈,以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时,绳中的张力为多大?解析 取绳上一小段来研究,当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时,有近似关系式.sin θθ∆≈∆ 若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象,设这段绳所对应的圆心角为θ∆,这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T (方向见图14—3—甲),因为绳圈匀速转动,无切向加速度,所以A T 和B T 的大小相等,均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力,设这段绳子的质量为m ∆,根据牛顿第二定律有:R m T 22sin 2ωθ∆=∆;因为L ∆段很短,它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m 代入上式得绳中的张力为πω22Rm T =7. 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC ,光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C 处所需时间,恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧,可确保小球无碰撞的拐弯,且拐弯时间可忽略不计. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道,每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成,交接处都有极小圆弧(作用同上),轨道均从A 点出发到C 点终止,且不越出该直角三角形的边界,试求小球在各条轨道中,由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值. 解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为 1l 、2l 、3l ,如图14—4—甲所示,小球从A 到B 的时间 记为1T ,再从B 到C 的时间为2T ,而从A 直接沿斜边到C所经历的时间记为3T ,由题意知321T T T =+,可得1l :2l :3l =3:4:5, 由此能得1T 与2T 的关系.因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l :2l =3:4,所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中,经各垂直线段所需时间之和为11T t =,经各水平段所需时间之和记为2t ,则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=,最短的2t 对应t 的下限min t ,最长的2t 对应t 的上限.m ax t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动,同一水平段路程放在低处运动速度大,所需时间短,因此,所有水平段均处在最低位置(即与BC 重合)时2t 最短,其值即为2T ,故min t =.35121T T T =+2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置,实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆,便接一段水平小量2l ∆,这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆,角α即为∠ACB ,水平段到达斜边边界后,再下降一小量并接一相应的水平量,如此继续下去,构成如图所示的微齿形轨道,由于1l ∆、2l ∆均为小量,小球在其中的运动可处理为匀速率运动,分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联:αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ,即得:.37cot 111max T T T t =+=α这样:max t min t =7:5求导与微分一、导数的概念1.导数定义设y=f(x)在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ∆,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000 存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x 0点的导数,此时称y=f(x)在x 0点可导,用⎥⎦⎤⎢⎣⎡===''000)(,,)(x x dx x df x x dyx dyx x y x f 或或或表示.若)(x f y =在集合D 内处处可导(这时称f(x)在D 内可导),则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作⎪⎭⎫⎝⎛''dx x df dxdy y x f )(,,)(或或或. 2.导数的几何意义若函数f(x)在点x 0处可导,则)(0x f '就是曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-.当)(0x f '=0,曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==. 若f(x)在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0.1.几个基本初等函数的导数 ⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-2.导数的四则运算 (1))(])([x u c x u c '⋅='⋅; (2))()(])()([x v x u x v x u '+'='±;(3))()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅;(4))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、微分1.微分的概念设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ∆,相应的函数值的改变量y ∆可以表示为).0()(0)()(00→∆∆+∆=-∆+=∆x x x A x f x x f y其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为.0x A x x dfx x dy∆====x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00x x f x x dy ∆'==.当x x f =)(时,可得x dx ∆=,因此.)(,)(00dx x f dy dx x f x x dy'='==由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.(2)微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2.微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则)()()()()()()().()()()()]()([).()()]()([.0)(),())((2x v x dv x u x du x v x v x u dx du x v x dv x u x v x u d x du x du x v x u d c d x cdu x cu d -=+=⋅±=±==三、不定积分1.不定积分概念【定义】(原函数) 若对区间I 上的每一点x ,都有,)()()()(dx x f x dF x f x F =='或则称F (x )是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性 若函数f(x)有一个原函数F(x ),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F (x )+C 的形式,其中C 是任意常数.【定义】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作⎰dx x f )(.若F(x)是f(x)的一个原函数,则⎰+=)()()(是任意常数C Cx F dx x f2.不定积分的性质(1)积分运算与微分运算互为逆运算.()()⎰⎰⎰⎰+=+='==.)()()()(,)()()()(C x F x dF C x F dx x F dx x f dx x f d x f dx x f dxd或或(2)⎰⎰≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 常数(3)⎰⎰⎰±=±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f3.基本积分公式kdx kx c =+⎰ 11x x dx c μμμ+=++⎰c o s s i n xd x x c=+⎰ sin cos xdx x c =-+⎰四、定积分【定义】(定积分) 函数)(x f 在区间[a,b ]上的定积分定义为∑⎰=→∆∆==ni iix baxf dx x f I 1)(lim)(ξ,【定理】(牛顿-莱布尼茨公式) 若函数)(x f 在区间[a,b ]上连续,)(x F 是)(x f 在[a,b ]上的一个原函数,则)()()()(a F b F abx F dx x f ba-==⎰.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式.常见应用1. 一石砌堤,堤身在基石上,高为h ,宽为b ,如图所示。