高一数学随机事件的概率6
高一数学必修课件随机事件的概率
主要在于样本点发生的可能性是否相等。在古典概型中，每个样本点发 生的可能性相等；而在几何概型中，样本点发生的可能性与其几何度量 成比例。
02
条件概率与独立性
Chapter
条件概率定义及计算
1 2 3
条件概率的定义
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记 作P(B|A)。
样本空间
在一定条件下，并不总是出现，或者 并不总是以确定的方式出现的现象。
随机现象所有基本结果组成的集合。
随机事件
随机现象的某些基本结果组成的集合 。
概率定义及性质
概率定义
非负性
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数 的增加，事件A发生的频率f_n(A)稳定于某 个常数p，则称p为事件A的概率，记为 P(A)=p。
的盈利能力和偿付能力。
赔款计算
在保险事故发生时，依据保险合 同和精算原理，计算应赔付的金
额。
THANKS
感谢观看
协方差和相关系数简介
协方差性质
若两个随机变量的变化趋势一致，则协方差为正；若变化趋势相反，则协方差为 负；若变化趋势无关，则协方差为0。
协方差和相关系数简介
独立随机变量的协方差为0。
相关系数定义：相关系数是协方差与两个随机变量标准差乘积的比值，用于消除量纲影响，更准确地反映两个随机变量的线 性相关程度。
对于任何事件A，有P(A)≥0。
规范性
可加性
对于必然事件S，有P(S)=1。
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
古典概型与几何概型
01
古典概型
如果每个样本点发生的可能性相等，则称这种概率模型为古典概率模型
高一随机事件的概率知识点
高一随机事件的概率知识点概述：随机事件概率是高中数学中的重要内容，通过对随机事件的概率进行研究和计算，可以帮助我们理解事件发生的可能性，以及在实际问题中的应用。
本文将介绍高一阶段涉及的随机事件的概率知识点。
一、基本概念在进一步讨论高一随机事件的概率知识点之前，我们先来了解一些基本概念。
1.1 随机试验随机试验指的是满足以下三个条件的试验：试验进行前无法确定出现的结果，试验的结果有多种可能性，每次试验的结果不会受到上一次结果的影响。
1.2 样本空间与事件在随机试验中，样本空间是指所有可能结果的集合，一般用"S"表示。
而事件是样本空间的子集，是指我们感兴趣的某些结果组成的集合。
1.3 事件的概率事件的概率是指该事件在所有可能结果中出现的可能性大小，通常用"P(A)"表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、概率计算方法在计算随机事件的概率时，可以采用以下几种方法：2.1 等可能性原则当每个事件在样本空间中的出现是等可能的情况下，可以使用等可能性原则来计算事件的概率。
也就是说，如果一个随机试验有n个等可能的结果，而事件A有m个结果，那么事件A发生的概率可以表示为P(A) = m/n。
2.2 排列组合法当样本空间中的结果不是等可能的情况下，可以使用排列组合法来计算事件的概率。
排列和组合是高中数学中的基本概念，通过这些方法可以计算不同情况下事件的出现次数，从而求解事件的概率。
2.3 频率计算法频率计算法是通过实验的方式计算事件发生的概率。
当试验次数足够大时，事件发生次数与总试验次数的比值趋近于事件的概率。
三、概率的性质和应用在了解了概率计算方法之后，我们来探讨一些概率的性质和应用。
3.1 加法定理加法定理是指对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于它们各自的概率之和。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3.2 乘法定理乘法定理是指对于两个相互独立的事件A和B，它们的概率乘积等于它们各自的概率之积。
教案随机事件的概率
富县高级中学备课教案年级：高一科目：数学授课人：孟亚红课题§3.1.1 随机事件的概率第 1课时三维目标1、知识与技能⑪了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；⑫通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2、过程与方法⑪创设情境，引出课题，激发学生的学习兴趣和求知欲；⑫发现式教学，通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高；⑬明确概率与频率的区别和联系，理解利用频率估计概率的思想方法．3、情感态度与价值观目标：⑪学生通过自己动手亲身试验和利用本节所所学习的知识来解释生活中的概率现象，体会数学知识与现实世界的联系；⑫培养学生的辩证唯物观，增强学生的科学意识，培育学生严谨的科学精神．重点通过抛掷硬币了解概率的定义、明确概率与频率的区别和联系备课人孟亚红难点1、如何利用频率去估计概率；2、如何利用所学知识解释生活中的概率事件.教具多媒体投影仪课型新授课课时安排1课时教法讨论、探索法学法动手实践，发现总结规律个人主页教学过程一、新课引入昨天我在抽签决定到底在哪个班授课时，我需要从高一16各班及高二18个班共34各班中随机地抽取一个班级，这是一个什么事件？（学生回答：这是一个随机事件。
）其实我们大家都生活在一个充满机会和风险教学过程的世界里，比如彩票中奖、天气预报、投资风险等。
如何把握机会，减少风险？要解决这些知识需要学习和掌握概率知识。
二、新课学习1、事件的分类观察下列事件，各有什么特点.①明天太阳会升起；.②“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；③“某人射击一次，中靶”；④“如果a＞b，那么a－b＞0”；⑤“掷一枚硬币，出现正面”；⑥“导体通电后，发热”；⑦“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；⑧“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；⑨“没有水份，种子能发芽”；⑩“在常温下，焊锡熔化”；其中为随机事件的是___ _；其中为必然事件的是_____；其中为不可能事件的是______2、三类事件的概念学生：根据上面问题自己总结随机事件的、必然事件、不可能事件的概念3.动手尝试请同学们说一说自己实验的结果：你抛硬币10次，正面朝上的次数是多少？正面出现的频率是多少？学生：说出自己的试验结果。
随机事件的概率知识点高三
随机事件的概率知识点高三随机事件的概率是高中数学中重要的概念之一。
在高三数学学习中，我们需要掌握随机事件的基本概念、计算方法以及与排列组合之间的关系。
通过学习这些知识点，我们能够更好地理解随机事件的发生规律，为我们解决实际问题提供数学的思维工具。
一、基本概念随机事件是指在一次试验中可能出现的不同结果。
在概率论中，我们把每个试验的结果称为样本点，样本空间是指所有可能的样本点的集合。
随机事件是样本空间的子集。
例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，那么“出现正面”的事件可以表示为A={正面}。
二、概率的计算方法在概率理论中，我们用P(A)表示事件A的概率。
概率的计算方法有以下几种常见的形式：1.频率定义：当试验的次数非常多时，事件A发生的频率接近于A的概率，用频率定义计算概率的方法适用于大量试验的情况。
2.古典定义：对于一个有限样本空间的等可能试验，事件A的概率可以使用P(A)=|A|/|S|来计算，其中|A|表示事件A包含的样本点个数，|S|表示样本空间中的样本点个数。
3.几何概率定义：对于一些几何问题，我们可以利用几何概率的定义来计算概率。
例如，投掷一个点在单位正方形中的均匀分布的事件A，可以通过计算事件A所占的面积来求得概率。
4.条件概率定义：当事件A的发生与事件B的发生有关联时，我们可以通过条件概率来计算事件A在事件B发生的条件下的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。
三、排列与组合与概率的关系排列与组合是高中数学中的基础知识点，它们与概率有着密切的关系。
1.排列：排列是从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排列的方式。
表示为A(n,m)。
当考虑概率时，排列可以用来计算有序事件的概率。
2.组合：组合是从n个不同元素中取出m个元素，不考虑排列顺序的方式。
表示为C(n,m)。
当考虑概率时，组合可以用来计算无序事件的概率。
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
随机事件的概率 经典课件(最新)
高中数学课件
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高中数学课件
解：(1)由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8 名．根据分层抽样方法， C 班的学生人数估计为 100×280＝40.
(2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”，i＝1，2，…，5. 事件 Cj 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”，j＝1，2，…，8. 由题意可知，P(Ai)＝15，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝18，j＝1，2，…，8. P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝15×18＝410，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8.
高中数学课件
[强化训练 3.1] (2019 年洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及 相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1
0.04
求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？
(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？
投篮次数 n 8 10 15 20 30 40 50 进球次数 m 6 8 12 17 25 32 38 进球频率mn (1)计算表中进球的频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？ 【思路分析】 (1)利用频率的计算公式即可求解； (2)由频率估计进球的概率．
高中数学课件
【解】 (1)进球的频率分别为68＝0.75，180＝0.8， 1125＝0.8，1270＝0.85，2350≈0.83，3420＝0.8，3580＝0.76. (2)由于这位运动员投篮一次，进球的频率都在 0.8 左右摆动，故这位运动员投篮一 次，进球的概率约是 0.8.
交事件 若某事件发生当且仅当____________________，则称
随机事件的概率与计算知识点总结
随机事件的概率与计算知识点总结概率是数学中一个重要的分支，用于描述事件发生的可能性。
在我们日常生活中，随机事件无处不在，了解概率与计算知识点能够帮助我们更好地理解和分析各种事件的发生概率。
本文将对随机事件的概率与计算知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0到1之间取值，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件E，其概率记作P(E)。
2. 事件的排列与组合在考虑多种事件同时发生的情况下，我们需要了解事件的排列与组合。
排列是指考虑事件中元素的顺序，而组合则只考虑元素的选择与不考虑顺序。
在计算排列与组合中，我们可以使用阶乘、组合数学公式等方法来求解。
3. 加法法则加法法则用于计算多个事件中至少有一个事件发生的概率。
如果事件A和事件B是互斥事件（即两者不能同时发生），则它们的概率可通过简单相加得到：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 乘法法则乘法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是相互独立事件（即一个事件的发生不影响另一个事件的发生），则它们的概率可通过简单相乘得到：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
5. 条件概率在一些情况下，事件的发生可能会受到其他事件的影响。
条件概率用于描述在给定其他事件发生的前提下，某个事件发生的概率。
条件概率可通过P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来计算，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是描述事件的后验概率与先验概率之间关系的数学公式。
它以事件的条件概率为基础，并利用贝叶斯公式来进行计算，即P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)，其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
7. 随机变量与概率分布随机变量是概率论中一个重要的概念，它可以用于描述随机事件的结果。
高一数学随机事件的概率1-202004
＝P(A)＋P(B)－P(AB). 6.条件概率：
7.独立事件同时发生的概率： 若事件A与B相互独立，则 P(AB)＝P(A)P(B).
8.独立重复试验恰好发生k次的概率：
若在每次试验中事件A发生的概率为p，
则在n次独立重复试验中，事件A恰好发
生k次的概率为
，
k＝0，1，2，…，n.
随机事件的概率习题课
பைடு நூலகம்
概率原理 1.古典概型：
P(A)＝事件A所包含的基本事件的个数 ÷基本事件的总数.
2.几何概型：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P(A)＝
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3.对立事件的概率：
4.互斥事件只有一个发生的概率： 若事件A与B互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
例4（09重庆卷文）某单位为绿化环 境，移栽了甲、乙两种大树各2珠，设甲、 乙两种大树移栽的成活率分别为5/6和 4/5，且各株大树是否成活互相不影响， 求移栽的4株大树中： （1）至少有1株成活的概率； （2）两种大树各成活1株的概率.
例5（09江西卷文）某公司拟资助三位大 学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对 每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结 果为“支持”或“不支持”的概率都是0.5. 若某人获得两个“支持”，则给予10万元的 创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资 助．求： (1) 该公司的资助总额为零的概率； (2)该公司的资助总额超过15万元的概率．
应用举例
例1（09全国卷2文）某车间甲组有10 名工人，其中有4名女工人；乙组有10名 工人，其中有6名女工人.现分别从甲、 乙两组中各抽取2名工人进行技术考核. （1）求从甲组抽取的工人中恰有1名女 工人的概率； （2）求抽取的4名工人中恰有2名男工人 的概率.
随机事件的概率与应用知识点总结
随机事件的概率与应用知识点总结随机事件的概率是概率论中的一个重要概念，通过计算事件的概率可以对事件发生的可能性进行估计和预测。
在实际生活中，我们经常会遇到各种随机事件，如抛硬币的正反面、掷骰子的点数、开车遇到红绿灯等等。
而了解随机事件的概率与应用知识点，对我们理解和解决实际问题有很大的帮助。
本文将对随机事件的概率与常见应用知识点进行总结。
一、概率的基本概念概率是指某个随机事件发生的可能性大小。
常用的概率表示方式是以一个介于0和1之间的数值表示，0表示不可能事件，1表示必然事件。
而对于一个随机事件A，一般用P(A)表示事件A发生的概率。
二、事件的互斥与独立性互斥事件是指两个事件不可能同时发生，即事件A和B的交集为空集。
而独立事件是指事件A的发生与否不会影响事件B的发生。
三、加法法则加法法则是计算事件的概率之和的方法，在满足互斥条件下，两个事件A和B的概率之和等于事件A和B的并集的概率。
即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
四、乘法法则乘法法则是计算事件连续发生概率的方法，在满足独立条件下，两个事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生条件下的概率。
即P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。
五、古典概型古典概型是指随机试验的所有可能结果都是等可能发生的情况。
在古典概型下，事件A发生的概率可以通过计算事件A包含的基本事件数目与所有基本事件数目之比来求解。
六、排列组合排列组合是概率论中一个重要的知识点，用于计算事件的样本空间的数量。
在排列组合中，常用的计算方式有排列、组合和重复排列。
七、条件概率与贝叶斯定理条件概率是指事件B在事件A发生条件下发生的概率。
贝叶斯定理是根据已知条件下反向计算条件概率的方法，在实际问题中常用于进行概率的推断和预测。
八、概率分布概率分布是指随机变量各取值或取值范围与其对应的概率之间的联系。
常见的概率分布包括离散分布和连续分布，如二项分布、正态分布等。
高一下数学概率知识点公式
高一下数学概率知识点公式在高一下学期的数学课程中，概率是一个非常重要的知识点。
概率是用来描述随机事件发生的可能性的一种数学工具。
在学习概率知识时，我们需要掌握一些常用的公式，这些公式能够帮助我们计算和解决与概率相关的问题。
下面，我将为大家介绍几个高一下数学概率知识点的公式。
一、基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了一个事件发生的可能性。
假设S是一个样本空间，E是一个事件，那么事件E发生的概率可以用如下公式表示：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)表示事件E的样本点个数，n(S)表示样本空间S的样本点个数。
基本概率公式在统计学中的应用非常广泛，它可以帮助我们计算各种随机事件的概率。
二、互斥事件的概率公式互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
对于两个互斥事件A和B，它们的概率之和等于它们分别发生的概率之和。
互斥事件的概率公式可以表达为：P(A∪B) = P(A) + P(B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
互斥事件的概率公式可以帮助我们计算两个互斥事件的概率。
三、独立事件的乘法公式独立事件是指两个事件之间没有任何关联，一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。
对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于各自发生的概率之积。
独立事件的乘法公式可以表达为：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立事件的乘法公式在概率计算中经常被使用。
四、条件概率公式条件概率是指在已知一部分信息的情况下，某个事件发生的概率。
对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率可以用条件概率公式表示：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
高中数学概率：随机事件的概率知识总结+练习
要求层次重难点事件与概率随机事件的概率 A （1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．②了解两个互斥事件的概率加法公式．（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．随机事件的运算 B两个互斥事件的概率加法公式C古典概型古典概型 B（一）知识内容1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C，，，来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用 表示．例题精讲高考要求概率：随机事件的概率板块一：事件及样本空间（二）典例分析【例1】 下列说法：①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买1000张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次2．其中不正确的说法有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】 下列事件：①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合A B C ，，，满足A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆； ⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”， 画师抽到死签； ⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”； ⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”；⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”；⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化； ⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； ⑸买彩票中一等奖；⑹若平面α平面m β=，n β∥，n α∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； ⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件； ⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．43214321⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水D ．明天该地区降水的可能性为85%【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．（一）知识内容1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ；2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =．4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+ 若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生．6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-．<教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．（二）主要方法解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：板块二：随机事件的概率计算第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件n次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n kn nmP AnP A B P A P BP A B P A P Bn P k C p p-⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件:互斥事件：独立事件：次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）：⑴随机事件的概率，等可能性事件的概率；⑵互斥事件有一个发生的概率；⑶相互独立事件同时发生的概率；⑷n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；⑸n次独立重复试验中在第k次才首次发生的概率；⑹对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k次才发生”等．（三）典例分析【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．①③④D．①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：抽查件数50100200300500合格件数4795192285478根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数810129101660100进球次数68977124574进球频率（1）在表中直接填写进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确命题的序号为．【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A=“取出的球是白球”；⑵B=“取出的球是蓝球”；⑶C=“取出的球是黄球”；⑷D=“取出的球是白球或黄球”．【例6】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，判断A与B是否为独立事件．【例7】设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是（）A．M N+B．M N⋅C．M N M N⋅+⋅D．M N⋅【例8】 判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【例9】 ⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①A 与C ；②B 与E ；③B 与D ；④B 与C ；⑤C 与E ．【例10】 抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D【例11】 每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（ ） A ．正确的 B ．错误的 C ．模棱两可的 D ．有歧义的【例12】 甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．【例13】 已知A B ，是相互独立事件，且()0.3P A =，()0.6P B =，则()P A B ⋅=______．【例14】 某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（ ）A ．120B ．110C ．25D ．35【例15】 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴ 摸出2个或3个白球； ⑵ 至少摸出一个黑球．【例16】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴10件产品中至多有一件废品；⑵10件产品中至少有一件废品．【例17】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例18】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？【例19】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例20】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例21】从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有一个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率【例22】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例23】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为．【例24】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；【例25】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例26】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．【例27】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，A B C，求：⑴()()()，，P A P B P C；⑵1张奖券的中奖概率；⑶1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【例28】把10张卡片分别写上0129，，，，后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A，“抽到小于7的奇数”为事件B，求()P A，()P B和()P A B．【例29】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率．【例30】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型A B AB O该血型的人所占比例（%）2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【例31】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例32】某射手射击一次射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.120.320.270.11，，，，计算这名射手射击一次：⑴射中9环或8环的概率；⑵至少射中7环的概率；⑶至多射中8环的概率．【例33】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例34】在12345，，，，条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着134，，路车的到来．假如汽车经过该站的次数平均来说2345，，，路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．【例35】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例36】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．【例37】甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例38】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例39】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.90.80.7，，．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．【例40】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）【例41】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P-，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例42】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例43】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．【例44】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例45】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A=“刮风”，B=“下雨”，求()()P B A P A B，．【例46】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则P B A=．()_____【例47】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例48】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例49】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|)P B A．P A B与(|)。
随机事件的概率
随机事件的概率概率理论是一门研究随机事件发生的可能性的数学学科。
通过计算和统计，我们可以了解随机事件发生的概率。
在这篇文章中，我们将探讨随机事件的概念、概率的定义和计算方法，以及一些实际问题中与概率相关的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次试验中可能出现的各种结果。
每个结果都有一定的概率发生。
例如，掷骰子时，1到6的点数出现的概率都是相等的，并且总和为1。
我们用事件的符号表示随机事件。
例如，事件A表示掷骰子出现点数为2的结果。
事件B表示掷骰子出现点数为偶数的结果。
事件的发生取决于试验的结果。
如果一个事件发生了，我们称之为该事件发生。
二、概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是0到1之间，0表示不可能发生，1表示肯定会发生。
在数学中，我们用P(A)表示事件A的概率。
例如，P(A)表示掷骰子出现点数为2的概率。
概率的计算需要考虑事件发生的可能性和总体样本空间的大小。
三、概率的计算方法1. 经典概率经典概率是指在一次试验中，每个事件发生的可能性相等的情况下，计算事件发生概率的方法。
假设一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，每种球的数量相等。
从袋子中随机抽取一球，事件A表示抽到红球的结果。
由于每种颜色出现的概率相等，所以P(A) = 1/3。
2. 统计概率统计概率是通过实验和统计数据来计算事件发生概率的方法。
例如，我们抛硬币的实验中，事件A表示出现正面的结果。
通过大量的实验数据，我们可以统计出正面出现的次数与总实验次数的比值，从而得到事件A的概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下，某个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
例如，事件A表示抛一次硬币出现正面的结果，事件B表示抛一次硬币出现的是铜币。
我们知道铜币的一面是正面，因此在已知抛出的是铜币的情况下，事件A发生的概率为1。
四、概率的应用1. 游戏与赌博概率理论在游戏和赌博中扮演着重要的角色。
高一数学随机事件的概率
1 2 3 4
n5
n 50
nH
2 3
1
f
0.4 0.6
nH
f
n 500 nH f
5 1 2
4
5 6 7
0.44 251 22 0.502 1 在 25 处波动较大 0.50 249 0.498 2 0.2 21 0.42 256 0.512 随1.0 n的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 247 0.494 25 0.50 1 在 处波动较小 20.2 24 0.48 0.502 251 0.4 0.8 18 27 0.36 0.54
波动最小 262 0.524
258 0.516
随机事件及其概率
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复 试验，结果如下表 ： 抛掷次数（ ） 正面向上次数 m （频数n ） 2048 4040 12000 24000 30000 72088 1061 2048 6019 12012 14984 36124
随机事件及其概率
下面各事件的发生与否，各有什么特点？ • （1）导体通电时发热；
（2）李强射击一次，中靶； （3）抛一石块，下落； （4）在常温下，钢铁熔化； （5）抛一枚硬币，正面朝上； （6）在标准大气压下且温度低于0℃时， 冰融化．
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事 件
必然事件：在一定条件下必然要发生 的事件． 比如：“（1）导体通电时发热”， “（3）抛一石块，下落”都是必然事件．
随机事件及其概率
（1）必然事件、不可能事件、随机事 件
不可能事件：在一定条件下不可能发生 的事件． 比如：“（4）在常温下，铁能熔化”， “（6）在标准大气压下且温度低于0℃时， 冰融化”，都是不可能事件．
高中第二册(下A)数学随机事件的概率6ppt
例1.袋中有红、黄、白色球各1个,每次任取1个，
有放回地抽三次.求基本事件的个数.计算下列 事件的概率： （1）三次颜色各不相同； （2）三次颜色不全相同； （3）三次取出的球无红色或无黄色
王新敞
奎屯 新疆
解：每次取球都有3种方法，∴共有
3 = 27
3
27 - 3 8 (2)P(C)= = 27 9 3 2 2- 1 5 (3)P7 9
A
3
例2.甲说：“我与乙、丙三人中恰有两人是 同一天生的”，一年按365天计算，求这一事 件的概率
解：三人的生日都有365种情况，∴共有 3 365 种不同结果，
王新敞
奎屯 新疆
三人中恰有两人同一天生，共有
C 365 364 种不同结果，
2 3
．
记事件A= “三人中恰有两人同一天生”，
C
16
设摸奖1000次，赌主获手续费1000元，支付奖金 为：13人获20元，128人获2元，359人获5角， 所以，赌主总共可赚钱 1000-13×20-128×2-359×0.5=304.5
元
练习：“福彩３６选７” 规则如下： 彩民从１～３６中选７个号码，若与摇 奖器摇出的７个号码完全一样则可得一 等奖。求获得一等奖的概率
P(A) = 1 1 = 8347680
C
7 36
作业
P133 11 选作:《名师伴你行》
222~230
10.5
解(1)记事件A= {摸5个棋子，5个都是白的}，
P(A)=
C C
5
8 6
16
1 = ? 1.28% 78
．
(2)记事件B= {摸5个棋子，4个是白的}， 4 1 ´ C8 5 C 8 P(B)= = ? 12.8% 6 39 C16 (3)记事件C={摸5个棋子，3个是白的}， 3 2 ´ C8 C 8 P(B)= ? 35.9% 6
高一数学课件-随机事件的概率课件 最新
[课堂笔记] (1)从10本书中取3本共有
种取法．若设
抽取3本都是语文书、数学书、英语书的事件分别记为A、 B、C，则它们的概率分别为： P(A)＝ P(C)＝ ，P(B)＝ . ，
又因为事件A、B、C是互斥事件，所以所求事件的概率为 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ .
共有________个． 答案：25
准确地理解随机事件的概率，依据定义求一个随机 事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件 发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概 率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化．
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 1 000 90 178 455 906
（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约
是0.9. 探究提高 利用概率的统计定义求事件的概率是求 一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事 件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发 生的频率趋近的常数作为事件的概率.
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接 求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的
击中靶心的次数m 8 19 44 击中靶心的频率
(1)计算表中击中靶心的各个频率； (2)这个运动员击中靶心的概率约是多少？
思维启迪
（1）将m,n的值逐一代入
m n
计算.
(2)观察各频率能否在一常数附近摆动，用多次试验 的频率估测概率. 解 （1）击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88, 0.93,0.89,0.906.
件).
定 互斥事件 若A∩B为 不可能 若A∩B为 不可能