2005年北京大学高等代数真题解答

a1 a 2 a n a1 成为 K 上的线性空间。数域 K 上 n 级矩阵 A = L L a 2 a3
用 U 表示 K 上所有 n 级循环矩阵组成的集合。
a3 a2 L a4
L an L a n−1 称为循环矩阵。 L L L a1
证明： U 是 M n ( K ) 的一个子空间，并求 U 的一个基和维数。 证：
P ∈ π ⇒ 3x + By + z = 0
整理即知， l 到 π 上的正交投影轨迹满足方程 由于
x − 3z + 1 = 0 3 x + By + z = 0
1 1 ≠ ，上述方程表示一条直线，而 2*3 + B − 1 = 0 和 3 + B + 2 = 0 不同时成 3 1 立，因此 l 到 π 上的正交投影轨迹是一条直线
k2 k1 L k3
k3 k2 L k4
L kn L kn−1 = On L L L k1
5． （1）设实数域 R 上 n 级矩阵 H 的 (i, j ) 元为
1 （ n > 1） 。在实数域上 n 维线性空 i + j −1
n
间 R 中，对于 α , β ∈ R n ，令 f (α , β ) = α ′Hβ 。试问： f 是不是 R 上的一个内积，写
点为 (0, 0)
3． 设数域 K 上的 n 级矩阵 A 的 (i, j ) 元为 ai − b j （1）.求 A ; (2).当 n ≥ 2 时， a 1 ≠ a 2 , b1 ≠ b 2 .求齐次线性方程组 AX = 0 的解空间的维数和一
个基。 解： (1) 若 n = 1 ， | A |= a1 − b1 若 n = 2 ， | A |=
i =1 i =1 j =1 2
n
n
n
可得 0 ≤ g ( x ) dx =
0 1
∫
∑∑ ai a j ∫ xi+ j −2 dx = ∑∑
i =1 j =1 0 i =1 j =1
nn1来自nnai a j i + j −1
= f (α , α )
若 g 2 ( x)dx = 0 ，由于 g 2 ( x ) 在 [0， 1] 上连续，则必有 g 2 ( x ) ≡ 0 ， g ( x) ≡ 0
n
出理由。 （2）设 A 是 n 级正定矩阵（ n > 1 ）α ∈ R n ，且 α 是非零列向量。令 B = Aαα ′ ，求 B 的最大特征值以及 B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解： (1) f 是 R 上的一个内积，证明如下： 容易验证 f 是 R 上的一个双线性函数
n n
L an b1 L an−1 b ∈U ，和 B = n L L L L a1 b2
ai ∈ K , bi ∈ K ⇒ ai + bi ∈ K ,
因 此
a1 a A+ B = n L a2
a2 a1 L a3
a3 a2 L a4
L an b1 b2 L an −1 bn b1 + L L L L L a1 b2 b3
2
2
0 < λ < 1 时，1 + λ > 0,1 − λ > 0, −λ < 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对
称点为 (0, 0)
6)
2 1 λ = −1 时，曲线方程为 x* = − ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称 2
直线为 x* = 0 ，即 y = − x 7)
λ > 1 时， 1 + λ > 0,1 − λ < 0, −λ < 0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称
北京大学 2005 数学专业研究生
高等代数与解析几何
博
1． 在直角坐标系中，求直线 l : 迹的方程。 其中 B 是常数 解： 可以验证点 , 0,
2 x + y − z = 0 到平面 π : 3 x + By + z = 0 的正交投影轨 x + y + 2z = 1
1 5
2 1 2 ∈ l , , 0, ∉ π ，从而 l ∉ π 5 5 5
量组 (C1 , C2 ,..., Cn ) 线性表出
k1 n kn 设一组数 ki ∈ K , i = 1, 2,..., n ，满足 ∑ ki Ci = On ，亦即 L i =1 k2
可得 ki = 0, i = 1, 2,..., n ，向量组 (C1 , C2 ,..., Cn ) 线性无关 综上向量组 (C1 , C2 ,..., Cn ) 是 U 的一组基
b3 b2 L b4
L bn a1 + b1 L bn −1 an + bn = L L L L b1 a2 + b2
a2 + b2 a1 + b1 L a3 + b3
a3 + b3 a2 + b2 L a4 + b4
L an + bn L an −1 + bn −1 ∈U L L L a1 + b1
a1 − b1 a1 − b2 a2 − b1 a2 − b2
= (a2 − a1 )(b2 − b1 ) a1 − b3 a2 − b3 O K an − b3 a1 − b3 a2 − b3 O K an − an −1 L L M O L L L M O L a1 − bn a2 − bn M an −1 − bn an − bn a1 − bn a2 − bn M =0 an −1 − an −2 an − an −1
2
1 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线 2
3)
−1 < λ < 0 时，1 + λ > 0,1 − λ > 0, −λ > 0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对
称点为 (0, 0)
4) 5)
曲线方程为 x* + y * = 0 ， 是一个点， 是中心型曲线， 对称点为 (0, 0) λ = 0 时，
可 知 [ β1 , β 2 ,..., β n − 2 ] =
C ， 其 中 En − 2 是 n − 2 阶 单 位 矩 阵 ， C 是 一 个 En − 2
2* (n − 2) 的矩阵，从而 rank ( β1 , β 2 ,..., β n − 2 ) = n − 2
并
0 1
∫
则 ai = 0, i = 1, 2,..., n ， 即α = 0 ， 与 α 是 R 中非零向量矛盾。 所以 g 2 ( x)dx > 0 ，
n 0
∫
f (α , α ) > 0
所以 f 是 R 上的一个内积
' ' (2) 由于 A 正定， α ≠ 0 ，可得 λ = α Aα > 0 ， Aα ≠ 0 ， rankB = rankα α = 1 ， n
从而 l 到 π 上的正交投影轨迹的方程就是
x − 3z + 1 = 0 3 x + By + z = 0
2． 在 直 角 坐 标 系 中 对 于 参 数 λ 的 不 同 取 值 ， 判 断 下 面 平 面 二 次 曲 线 的 形 状 ：
x 2 + y 2 + 2λxy + λ = 0 .
*2
在这个变换下，曲线方程变为 (1 + λ ) x 1)
+ (1 − λ ) y* = −λ
2
λ < −1 时，1 + λ < 0,1 − λ > 0, −λ > 0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称
点为 (0, 0)
2)
λ = −1 时，曲线方程为 y * =
为 y * = 0 ，即 y = x
对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 解：
记T =
正交变换
1 1 , x* x 2 2 ，容易验证 TT ' = E ，因此直角坐标变换 = T 是一个 * 1 1 y y ,− 2 2
a1 a n n 2 ai a j n 对 R 中任意的非零向量 α = M ， f (α , α ) = α ′H α = ∑∑ i =1 j =1 i + j − 1 M an
令 g ( x) =
1
∑ ai xi −1 ，是 R 上的一个多项式函数，有 0 ≤ g 2 ( x) = ∑∑ ai a j xi+ j −2
a1 − b1 a2 − b1 M 若 n > 2 ， | A |= an −1 − b1 an − b1 a1 − b1 a2 − b1 M an −1 − an − 2 an − an −1
a1 − b2 a2 − b2 M an −1 − b2 an − b2 a1 − b2 a2 − b2 M an −1 − an −2 an − an −1
b2 − bn −i ci1 b − b , j =1 c 1 2 i2 b − b β i = M ， cij = 1 n −i , j = 2 ， i = 1, 2,..., n − 2 b2 − b1 M 1, j = n − i cin 0, 其他
Rn − Rn −1 Rn−1 − Rn−2
=
(2) 若 n = 2 ，则 | A |=
a1 − b1 a1 − b2 a2 − b1 a2 − b2
= (a2 − a1 )(b2 − b1 ) ≠ 0 ，方程组 AX = 0 只有零
解，其解空间维数为 0 若 n >= 3 ，则由(1)知道 A 的任意一个 3 级子式的行列式为 0，而 A 的一个 2 级子 式