大学物理学-第4章 守恒定律

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p x m i v ix C1
p y m i v iy C 2 p z m i v iz C 3
( Fxex 0) ( F yex 0) …… ( Fzex 0)
（4-5b）
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C 式中C1 、 2 和C 3 均为恒量。 2．几点说明： (1)动量是与惯性系选取有关的物理量，因此在 计算系统动量时，各质点的动量必须取同一个 惯性系；(2)当系统所受合外力不为零时，虽 然不满足动量守恒条件，但由于垂直合外力方 向上系统受力为零，故系统动量在该方向的分 量将保持不变；(3)在某些碰撞问题中，出于 外力远远小于内力，因而外力可以忽略不计， 此时仍然可以应用动量守恒定律解决问题；
t2 n ex t2 n n n in t1 i 1 i t1 i 1 i i 1 i i 1 i0
F
i 1
n
in
i
0
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设作用于系统的合外力用表示，且系统的初 动量和末动量各为和，那么上式可改写为 n n t F ex dt mi v i mi v i 0 （4-4a） t i 1 i 1 或 （4-4b） I P - P0
t1
t2
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由牛顿第三定律知F12 F21 ，所以系统内两质点 间的内力之和 F12 F21 0 ，故上式为 t

2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m 2 v 2 ) (m1v10 m 2 v 20 )
上式表明，作用于两质点组成系统的合外力 的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，亦 即系统的动量增量。 上述结论容易推广到由个质点所组成的系统。 如果系统内含有个质点，那么式（4-3）可改 写成 ( F )dt ( F )dt mv mv 考虑到内力总是成对出现，且大小相等、方向 相反，故其矢量和必为零，即
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从式（4-4）可以看出，当系统所受合外力为 零，即时，系统的总动量的增量亦为零，即。 这时系统的总动量保持不变，即 p p 0 0 n 恒矢量 p mi v i （4-5a） i 1 这就是动量守恒定律，它的表述为：当系统所 受合外力为零时，系统的总动量将保持不变， 式（4-5a）是动量守恒定律的矢量式。在直角 坐标系中，其分量式为
t2
（4-2）
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显然，质点在某一轴线上的动量增量，仅与该 质点在此轴线上的受的外力的冲量有关。 动量比速度能更恰当地反映物体的运动状态。 2．质点系的动量定理 如图4-1所示，在系统S内有两个质点1和2，它们 的质量分别为m1 和 m 2.系统外的质点对它们作 用的力叫做外力，系统内质点间的相互作用力 则叫内力。设作用在质点上的外力分别是 F1 和 F2 ，而两质点相互作用的内力分别为 F 和 12 F21 根据质点的动量定理，在时间 t t 2 t1 内,两 质点所受力的冲量和动量增量分别为
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动量守恒和能量守恒以及角动量守恒不 仅是力学也是物理学中各种运动所遵循 的普遍规律，本章介绍动量、能量、角 动量等重要概念，以及相应的守恒定律 及其应用。
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4.1 动量守恒 Conservation law of momentum
4.1.1 质点和质点系的动量定理 Particle and particle system conservation law of momentum
在火箭(rocket)发射过程中，燃料不断燃烧变 成热气体，并以高速从火箭尾部向后喷出，因 而推动火箭向前作加速运动。 设火箭在外层空间飞行，火箭在t0 时刻的 速度为 v0 ，火箭(包括燃料)的总质量为 M0 ，热 气体相对火箭的喷射速度为u 。 随着燃料消耗，火箭质量不断减少，火箭速度 不断加快，当燃料用尽后的火箭质量为M，此 时火箭所获得的速度v是多少呢？下面具体计 算。
1. 动量守恒定律 动量守恒定律，是最早发现的一条守恒定律， 它渊源于十六、七世纪西欧的哲学思想，法国 哲学家兼数学、物理学家笛卡儿，对这一定律 的发现做出了重要贡献。 观察周围运动着的物体，我们看到它们中的大 多数终归会停下来。整个宇宙是不是也像一架 机器那样，总有一天会停下来呢？但是，千百 年对天体运动的观测，并没有发现宇宙运动有 减少的现象，十六、七世纪的许多哲学家都认 为，宇宙间运动的总量是不会减少的，只要我 们能够找到一个合适的物理量来量度运动，就 会看到运动的总量是守恒的，那么，这个合适 的物理量到底是什么呢？
t 2
解2：根据动量定理，物体由发射点O运动 到A、B的过程中，重力的冲量分别为 I1 mvAy j mv0y j mv0 sin j
I 2 mvBy j mv0y j 2mv0 sin j
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4.1.2 动量守恒定律 Conservation law of momentum
图4Байду номын сангаас3
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P 解： 0 以Pe、 v 和 PN 分别代表电子、中微 子和新原子核的动量，且 P与 Pv 相互垂直 （ 上图所示）。在原子核衰变的短暂时 间内，粒子间的内力大于外界作用于该 粒子系统上的外力。故粒子系统在衰变 前后的动量是守恒的。考虑到原子核在 衰变前是静止的，所以衰变后电子、中 微子和新原子核的动量之和亦应为零， Pe Pv PN 0 即 由于 Pe与Pv 垂直，有 PN (Pe2 Pv2 )1 / 2 代入已知数据，得 22 2 23 2 1 / 2 1 22 1 PN [(1.2 10 ) (6.4 10 ) ] kg m s 1.3610 kg m s
o o
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例 质量为的人手里拿着一个质量为 的物体，此人用与水平面成角的速率向 前跳去。当他达到最高点时，他将物体 以相对于人为的水平速率向后抛出。问： 由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了 多少？（假设人可视为质点）
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图4-4
解：取如图所示坐标。把人与物体视为一系统， 当人跳跃到最高点处，在向左抛物过程中，满 足动量守恒，故有 m mv0 cos mv mv u 式中v为人抛物后相对地面的水平速度，v－u为 抛出物对地面的水平速度。得 m
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和 t1 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 将上两式相加，有

t2 t1
( F1 F12 )dt m1 v1 m1 v10
t2
图4-1

t2 t1
(F1 F2 )dt (F12 F21 )dt (m1v1 m2 v 2 ) (m1v10 m2 v 20 )
第4章 守恒定律
The conservation law
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本章要点： 1．冲量 、动量定理、动量守恒定律及应用； 2．功、动能定理、功能原理、机械能守恒定 律及应用； 3．动量守恒定律及机械能守恒定律在碰撞问 题中的应用； 4．力矩、角动量、角动量守恒定律及应用； 5．对称性与守恒定律。
v v0 cos
人的水平速度的增量为
m m
u
v v v0 cos
m u m 景德镇高专物理系 m
而人从最高点到地面的运动时间为
所以，人跳跃后增加的距离
v0 sin t g
mv0 sin x vt u m mg
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4.1.3 火箭飞行原理 the principle of rocket fly
e
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图中的 角为 或者新原子核的动量与中微子动量之间的 夹角为 22
Pe 1.2 10 arctg arctg 61.9 o Pv 6.4 10 23
或者新原子核的动量PN 与中微子动量 Pv 之间的夹角为
o
1.811 9.16 081
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(4)动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的 定律之一。 动量守恒定律虽然是从表述宏观物体运动规律 的牛顿运动定律导出的，但近代的科学实验和 理论分析都表明：在自然界中，大到天体间的 相互作用，小到质子、中子、电子等微观粒子 间的相互作用都遵守动量守恒定律；而在原子、 原子核等微观领域中，牛顿运动定律却是不适 用的。因此，动量守恒定律比牛顿运动定律更 加基本，它与能量守恒定律一样，是自然界中 最普遍、最基本的定律之一。 (５)动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才 成立。因此运用它们来求解问题时，要选
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图4-2
分析：重力是恒力，因此，求其在一段时间内的 冲量时，只需求出时间间隔即可。由抛体运动 v0 sin t1 ， 规律可知，物体到达最高点的时间 g 物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到 达最高点时间的两倍。这样，按冲量的定义即 可求出结果。
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另一种解的方法是根据过程的始、末动量， 由动量定理求出。 解1：物体从出发到达最高点所需的时间为 则物体落回地面的时间为 v0 sin t1 g
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定一惯性系作为参考系。 例 设有一静止的原子核，衰变辐射出一个电子 和一个中微子后成为一个新的原子核。已知电 子和中微子的运动方向相互垂直，且电子的动 1 量的值为 23 1.2 10221kg m s，中微子的动量的值 6.4 10 kg m s 为 。问新的原子核的动量的值和 方向如何？
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法国的哲学家笛卡儿曾经提出，质量和速率的 乘积是一个合适的物理量。但速率是个没有方 向的标量。后来，牛顿把笛卡儿的定义略作修 改，即不用质量和速率的乘积，而用质量和速 度的乘积，这样就得到量度运动的一个合适的 物理量，这个量牛顿叫做“运动量”，现在我 们叫做动量，笛卡几由于忽略了动量的矢量性 而没有找到量度运动的合适的物理量，但他的 工作给后来的人继续探索打下了很好的基础。