高考数学一轮复习方案第30讲等比数列及其前n项和课时作业新人教B版

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高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第30讲等比数列及其前n项和(53张PPT)

向
固
3．关于等比数列的性质的方法技巧
基础
(1)在等比数列{an}中，a3a7＝a10.( )
(2)若等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝12，则a2与a4的等
比中项为14.( ) (3)若等比数列{an}中，a1＝2，a5＝18，则a3＝±6.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
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令cn＝abnn，则cn－1＝abnn－－11.
an 当n≥2时，ccn－n 1＝abn－n 1＝aan－n 1÷bbn－n 1＝qq12，故数列abnn也一
bn－1 定是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（11－－qqn）.
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第30讲等比数列及其前n项和
双
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第30讲等比数列及其前n项和
双
向
—— 链接教材 ——
固
基
础
1．[教材改编]
已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝
384，则该数列的通项公式an＝________．
[答案] 3×2n－3
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第30讲等比数列及其前n项和
双
向
固
基础
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，则 a3＝a1q2＝3，①
(1)求数列{an}的通项公式；
考向
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn>kan－2 对一切 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
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第30讲等比数列及其前n项和
［思考流程］ (1)条件：给出等比数列{an}的递推公
点面讲
式．目标：求数列{an}的通项公式．方法：利用等比数列的定义及递推公式求解．

2019届高考数学一轮回顾第5单元数列第30讲等比数列及其前n项和教案理

和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=
()
A.13
B.-13
C.19
D.-19
[答案] C
[解析] S3=a2+10a1⇒a1+a2+a3=a2+10a1⇒a3=9a1⇒q2 =9,a5=9⇒a3q2=9⇒a3=1⇒a1=��32=19,故选 C.
教学参考
等比中项通项公式
前 n 项和公式
Ga =Gb(G 是 a 与 b 的等比中项)
1 an=a1qn- 或 an=amqn-m(n,m∈N*)
当
q=1
时,Sn=
na1
��1(1-�� )
;
当 q≠1 时,Sn= 1-�� =
��1 -�� 1-��
A.1 盏
B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏
[答案] B
[解析] 设塔的顶层共有 a1 盏灯,根据题意得
��1
(1-27 1-2)=来自81,解得a1=3.教学参考
2.[2015·全国卷Ⅱ] 已知等比数列{an}满足
a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7= ( )
A.21
B.42
课前双基巩固
2.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和.
(1)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有 aman= apaq .
(2)若 q≠-1,或 q=-1 且 m 为奇数,则数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成

2019版高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和学案

第30讲等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的有关概念常数，__同一__起，每一项与它的前一项的比等于__项2第__一般地，如果一个数列从表示．__q __，通常用字母__公比__那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的(2)等比中项2G__，即__b G＝G a __的等比中项，那么b 和a 叫做G 成等比数列，则b ，G ，a 如果三个数__.ab ＝2．等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式__.1－n q·1a __＝n a ，则它的通项公式≠0q ，q ，公比为1a 的首项为{}an 设等比数列(2)等比数列的前n 项和公式≠1q ；当__1na __＝n S 时，1＝q ，当n S 项和为n ，其前≠0)q (q 的公比为{}an 等比数列时，S n ＝__错误!__＝__错误!__.3．等比数列的性质．)*N ∈m ，n __(m－n q·__m a ＝n a 通项公式的推广：(1)(2)若{}an 为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{}an ，{}bn (项数相同)是等比数列，则{}λan (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{}a2n ，{}an·bn ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫an bn 仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{}an 的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，__.nq __其公比为1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)常数列一定是等比数列．( × )(2)等比数列中不存在数值为0的项．( √ )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{}an 为等比数列．( × )(4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(5)若等比数列{}an 的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n.( × )(6)数列{}an 的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝错误!.( × )(7)q ＞1时，等比数列{}an 是递增数列．( × )(8)在等比数列{}an 中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q .( × )解析 (1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列，故错误．(2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正确．(3)错误．当q ＝0时，{a n }不是等比数列，故错误．(4)错误．当G 2＝ab ＝0时，G 不是a ，b 的等比中项，故错误．(5)错误．等比数列的通项公式为a n ＝a 1qn －1，故错误．(6)错误．当a ＝1时，S n ＝n ，故错误．(7)错误．当q >1，a 1<0时，等比数列递减，故错误．(8)错误．若a n ＝1，a 1·a 3＝a 4·a 5＝1，但1＋3≠4＋5，故错误．2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 满足的条件是( D )A ．a ≠1B ．a ≠0或a ≠1。

高考数学一轮复习第五章数列课时达标30等比数列及其前n项和理

2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标30 等比数列及其前n 项和理[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0C ．12D ．24解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C ) A ．13B ．－13C ．12D ．－12解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ·3n －1－16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2，因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2017·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( B )A ．－2B ．－ 2C ．± 2D ． 2解析：根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n－1C ．2n －1D ．2n－1解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D ． 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log3a 1＋log3a 2＋…＋log3a 10＝log3(a 1·a 2·…a 10)＝log3(a 5a 6)5＝log395＝log3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是4. 解析：设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5.解析：由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是，由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log2a 1＋log2a 2＋log2a 3＋log2a 4＋log2a 5＝log2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log232＝5.9．(2017·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝2；前n 项和S n ＝2n ＋1－2.解析：由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q＋q2＝20，a 1q 2＋q2＝40，解得q ＝2，a 1＝2，所以S n ＝a 1－qn1－q＝－2n1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64 ，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3，(舍去)，所以a n＝2n.(2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1，所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.11．(2017·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 11－q 41－q＝4027，解得a 1＝1，所以 a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 11－q n1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .因为n ∈N *，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以0<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <32.12．(2017·湖北华中师大附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1.又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1.令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n]．两式相减得－2S n＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n]，∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋ (3)－(3n －2)×3n] ＝2[(7－6n )·3n－7]．∴S n ＝7＋(6n －7)·3n.。

备战高考数学一轮复习讲义第30讲等比数列及其前n项和

第30讲等比数列及其前n 项和激活思维1. (人A 选必二P29例1改)若等比数列{a n }的第4项和第6项分别为48和12，则a 5等于( C )A. 24B. －24C. 24或－24D. 384或－384解析：方法一：由a 4＝48，a 6＝12，得⎩⎨⎧a 1q 3＝48①，a 1q 5＝12②.由②①，可得q 2＝14，解得q ＝12或－12.把q ＝12代入①，得a 1＝384，此时a 5＝a 1q 4＝384×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝24.把q＝－12代入①，得a 1＝－384，此时a 5＝a 1q 4＝－384×⎝ ⎛⎭⎪⎫－124＝－24.因此，{a n }的第5项是24或－24.方法二：因为a 5是a 4与a 6的等比中项，所以a 25＝a 4a 6＝48×12＝576，所以a 5＝±576＝±24，因此，{a n }的第5项是24或－24.2. 已知数列{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－5x ＋6的零点分别是a 2，a 8，则a 5等于( D )A. 2B. －2C. ±3D. ±6解析：因为函数y ＝x 2－5x ＋6的零点分别是a 2，a 8，所以a 2·a 8＝6，a 2＋a 8＝5，所以a 2＞0，a 8＞0.又数列{a n }是等比数列，所以a 25＝a 2·a 8＝6，所以a 5＝±6，经检验满足要求．3. (人A 选必二P35例7改)已知数列{a n }是等比数列，若a 1＝12，q ＝12，则S 8等于( D )A. －256255B. －255256C. 256255D. 255256解析：因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.4. (人A 选必二P31练习3改)在等比数列{a n }中，已知a 1a 3＝36，a 2＋a 4＝60，则a 1＋q ＝ ±5 .解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由等比数列的性质得，a 1a 3＝a 22＝36，又a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝60，所以a 2>0，a 2＝6，所以1＋q 2＝10，解得q＝±3.当q ＝3时，由a 2＝a 1q ＝6，可得a 1＝2；当q ＝－3时，由a 2＝a 1q ＝6，可得a 1＝－2，所以⎩⎨⎧ a 1＝－2，q ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝3，则a 1＋q ＝±5.5. (多选)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( AD )A. {a 2n }成等比数列B. {a n ＋2}成等比数列C. a 2，a 4，a 8成等比数列D. a 3，a 6，a 9成等比数列解析：设a n ＝a 1qn －1，a 2n ＝a 21q2n －2，a 2n ＋1a 2n ＝q 2，故A 正确；a n ＋1＋2a n ＋2＝a n q ＋2a n ＋2，不是常数，故B 错误；a 24－a 2a 8＝a 21q 6(1－q 2)，不恒为0，故C 错误；a 26－a 3a 9＝a 21q 10－a 21q 10＝0，故D 正确．基础回归1. 等比数列的有关概念 (1) 定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数 (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达为 a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *) .(2) 等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么 G 叫做a 与b 的等比中项，即G 是a 与b 的等比中项⇔ G 2＝ab .2. 等比数列的有关公式 (1) 通项公式：a n ＝ a 1q n －1 ；(2) 前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3. 等比数列几个常用结论已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *)．(1) 若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；(2) 数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3) 数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)； (4) 若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 4. 常用结论(1) 若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． (2) 在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.举题说法等比数列的基本运算例1 (1) (2022·全国乙卷)已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6等于( D )A. 14B. 12C. 6D. 3解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0.若q ＝1，则a 2－a 5＝0，与题意矛盾，所以q ≠1，则⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝168，a 2－a 5＝a 1q －a 1q 4＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝96，q ＝12，所以a 6＝a 1q 5＝3.(2) (2022·汕头一模)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，则a 1等于( A )A. 52－5B. 52＋5C. 5 2D. 5解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，a 1≠0，则由题意可得⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15，4a 3＝4a 1＋a 5，解得q 2＝2，所以q ＝2，所以a 1＝52－5.解决等比数列基本问题的常用思想：(1) 方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解；(2) 分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q. 变式 (1) (2022·淄博一模)已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2＝4，S 3＝14，则a 3＝ 2或8 .解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，S 3＝14，所以a 1＋a 3＝10，即a 2q ＋a 2q ＝10，所以2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以当q ＝2时，a 3＝8；当q ＝12时，a 3＝2.综上，a 3＝2或a 3＝8.(2) 数列{a n }共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列为 20,40,80,96,112或180,120,80,16，－48 .解析：设前三项的公比为q ，后三项的公差为d ，则数列的各项依次为80q 2，80q ，80,80＋d,80＋2d ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧80q ＋(80＋d )＝136，80q 2＋(80＋2d )＝132，解得⎩⎨⎧q ＝2，d ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝23，d ＝－64，所以这个数列是20,40,80,96,112或180,120,80,16，－48.等比数列的判定与证明例2 (2022·深圳一模)已知数列{a n }的首项a 1＝2，且满足a n ＋1＋a n ＝4×3n . (1) 求证：{a n －3n }是等比数列；【解答】由a n ＋1＋a n ＝4×3n ，得a n ＋1－3n ＋1＝－(a n －3n )．又a 1＝2，则a 1－3＝－1，且a n ＋1－3n ＋1＝－(a n －3n )≠0，所以a n ＋1－3n ＋1a n －3n ＝－1，所以数列{a n －3n}是以－1为首项，－1为公比的等比数列．(2) 求数列{a n }的前n 项和S n .【解答】由(1)可知a n －3n＝(－1)n，所以a n ＝3n＋(－1)n，所以S n ＝3(1－3n )1－3＋(－1)·[1－(－1)n ]1－(－1)＝3n ＋1－(－1)n ＋12－2.等比数列的常用判定方法：(1) 定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列；(2) 中项公式法：在数列{a n }中，若a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列；(3) 通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列；(4) 前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．前两种方法是常用方法，用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．变式已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n 2－a n .(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列；【解答】由a n ＋1＝a n 2－a n 可得1a n ＋1＝2－a n a n ＝2a n －1，故1a n ＋1－1＝2a n－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，又1a 1－1＝1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1为首项，2为公比的等比数列．(2) 求1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的值．【解答】由(1)知1a n －1＝2n －1，则1a n ＝2n －1＋1，故1a n a n ＋1＝(2n －1＋1)(2n ＋1)＝22n －1＋2n ＋2n －1＋1，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝21＋21＋20＋1＋23＋22＋21＋1＋…＋22n －1＋2n ＋2n －1＋1＝(21＋23＋…＋22n －1)＋(21＋22＋…＋2n )＋(20＋21＋…＋2n －1)＋n ＝2·(1－4n )1－4＋2·(1－2n )1－2＋1·(1－2n )1－2＋n ＝23·4n ＋2n ＋1＋2n ＋n －113.等比数列的性质及其应用例3 (1) 已知正项等比数列{a n }满足a 2a 9＋a 4a 7＝16，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10等于( A )A. 15B. 14C. 13D. 12解析：因为正项等比数列{a n }满足a 2a 9＋a 4a 7＝16，所以a 4a 7＝8，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 4·a 7)5＝5log 2(a 4·a 7)＝5log 28＝5×3＝15.(2) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝12，则S 15S 5＝ 34 .解析：因为{a n }是等比数列，所以S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等比数列．因为S 10S 5＝12.设S 5＝2k ，S 10＝k ，则S 10－S 5＝－k ，所以S 15－S 10＝k 2，则S 15＝3k2，所以S 15S 5＝3k 22k ＝34.1. (2022·沈阳三模)在等比数列{a n }中，设a 2，a 8为方程x 2－4x ＋π＝0的两个根，则a 3a 5a 7的值为( C )A. ππB. －ππC. ±ππD. π3解析：在等比数列{a n }中，因为a 2，a 8为方程x 2－4x ＋π＝0的两个根，所以a 2a 8＝π＝a 25，所以a 5＝±π，所以a 3a 5a 7＝a 35＝±ππ.2. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝1，S 30＝13，S 40等于( D ) A. －51 B. －20 C. 27D. 40解析：由{a n }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，即1，S 20－1,13－S 20，S 40－13构成等比数列，所以(S 20－1)2＝1×(13－S 20)，解得S 20＝4或S 20＝－3(舍去)，所以(13－S 20)2＝(S 20－1)(S 40－13)，即92＝3×(S 40－13)，解得S 40＝40.3. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝ 100 .解析：由log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列．又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.随堂内化1. 已知等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则其前5项和是( B )A. 179B. 211C. 243D. 275解析： a 5＝a 1q 4⇒81q 4＝16⇒q 4＝1681，因为数列的各项都是正数，所以q ＝23，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝81⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2351－23＝35·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝35－25＝211. 2. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( D )A. －3B. 5C. －31D. 33 解析：由S 3＝2，S 6＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 6)1－q ＝18，a 1(1－q 3)1－q ＝2，两式相除得1＋q 3＝9，解得q ＝2，所以S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝33. 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( B )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏解析：由题知每层塔的灯数构成等比数列{a n }，设顶层的灯数为a 1，且公比q ＝2，由S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.4. (多选)已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则下列说法正确的是( ABC )A. a 4＝4B. {a 2n }是等比数列C. a 2n －a 2n －1＝2n －1D. a 2n －1＋a 2n ＝2n ＋1解析：因为a 1＝1，a n ·a n ＋1＝2n ，所以a 2·a 1＝2，即a 2＝2.因为a n ·a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，所以a n ＋2a n ＝2，所以数列{a n }的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等比数列，所以a 2n ＝2×2n －1＝2n ，a 2n －1＝1×2n －1＝2n －1，所以a 4＝4，故A ，B 正确；a 2n －a 2n －1＝2n －2n －1＝2n －1，故C 正确；a 2n ＋a 2n －1＝2n ＋2n －1＝3×2n－1，故D 不正确．5. 在等比数列{a n }中，已知2a 3－a 2a 4＝0，若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 3，则数列{b n }的前5项和等于 10 .解析： 2a 3－a 2a 4＝0⇒2a 3－a 23＝0⇒a 3＝b 3＝2.设{b n }的公差为d ，则b 1＋2d＝2⇒b 1＝2－2d ，所以S 5＝5b 1＋12×5×4×d ＝5(2－2d )＋10d ＝10.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》．练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。

高三数学一轮复习第30课时等比数列学案

高三数学一轮复习第30课时等比数列学案【学习目标】1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．【课本导读】1．基础知识(1)等比数列的定义：若数列{a n}满足，则称数列{a n}为等比数列．(2)通项公式a n＝＝a m·.(3)前n项和公式S n＝a1－q n1－q，成立的条件是，另一形式为．(4)M、N同号时它们的等比中项为 .2．性质(1)等比数列{a n}中，m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝.(2)等比数列{a n}中，S n为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S奇· .(3)等比数列{a n}中，公比为q，依次k项和为S k，S2k－S k，S3k－S2k成(S k≠0)数列，新公比q′＝.3．常用技巧：(1)若{a n}是等比数列，且a n>0(n∈N*)，则{log a a n}(a>0且a≠1)成数列，反之亦然．(2)三个数成等比数列可设三数为，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为 .【教材回归】1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )A．－24 B．0 C．12 D．242．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－93．在等比数列{a n}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A.13B．－13C.19D．－195．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________．【授人以渔】题型一：等比数列的基本量例1 {a n}为等比数列，求下列各值．(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，a n＝12，求n；(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q；(3)已知q＝－2，S8＝15(1－2)，求a1.思考题1 (1)设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项的和为( ) A．63 B．64 C．127 D．128(2)在等比数列{a n}中，a3＝112，S3＝412，求a1和q.题型二：等比数列的性质例2 (1)若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则a1a23a5＝________.(2)在等比数列{a n}中，若a3＝4，a9＝1，则a6＝________，若a3＝4，a11＝1，则a7＝________.(3)已知数列{a n}是等比数列，且S m＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．思考题2 (1)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7(2)已知等比数列{a n}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则a n＝________.题型三：等比数列的判定与论证例3 数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)．(1)设b n＝a n＋1－2a n，求证：{b n}是等比数列；(2)设c n＝a n3n－1，求证：{c n}是等比数列．思考题3 已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*有a n＋S n＝n.(1)设b n＝a n－1，求证：数列{b n}是等比数列；(2)设c1＝a1且c n＝a n－a n－1(n≥2)，求{c n}的通项公式．自助餐：1．等比数列{a n}中，公比q＝2，S4＝1，则S8的值为( )A．15 B．1 C．19 D．212．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( ) A．3 B．－3 C．－1 D．13．数列{a n}的前n项和为S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．44．若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和S n＝________.5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.6．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．。

高考数学一轮复习 30数列求和精品课件新人教版

把不能直接求和的数列分解成几个可项变为两数之差,以便大部分项能“正”､“负”相消,只剩下有限的几项.裂项时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项,常用的裂项公式为:
(1) 1 1 1 n(n 1) n n 1
(2)
(n
1 1)(n
1)
[解析]由定义知a1+a2=a2+a3=…=a2k-1+a2k=a2k+a2k+11=2, 所以a1=a3=…=a2k+1=2, a2=a4=…=a2k18=3.
当n为偶数时, a n 中有
n 2
个2,
n 2
个3, Sn
n 2
2
n 2
3
5n 2
;
当
n为
奇
数
时,
a
n
中
有
n
2
1
个
2,
n
2
1
个
3,
类型三裂项相消法求和解题准备:1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,其实质是将数列中的某些项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.
2.数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这是裂项相消法使用的前提,一
般地,形如
(其中{an}是等差数列)的1数列可尝试采用此法.常用的裂项技巧有: a n1a n
(3)12+22+32+…+n2=
n(n1)(2n1) . 6
一个数列如果距首末两项等距离的两项和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法.如等差数列前n项和公式的推导.
如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一个因子成公差为 d的等差数列,第二个因子成公比为q的等比数列,可将此数列前n项的和乘以公比q, 然后错项相减从而求出Sn.

新版高考数学一轮复习：《等比数列及其前n项和》教学案(含解析)

等比数列及其前n项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为a n＋1a n＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1q n－1.(2)前n项和公式：S n＝na1，q＝1，a11－q n1－q＝a1－a n q1－q，q≠1.3．等比数列{a n}的常用性质(1)在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则a m·a n＝a p·a q＝a2r.特别地，a1a n＝a2a n－1＝a3a n－2＝….(2)在公比为q的等比数列{a n}中，数列a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；a n＝a m q n－m.[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16 D．32解析：选C a2·a6＝a24＝16.2．已知等比数列{a n}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a n＝()A ．4·32nB ．4·23nC ．4·32n －1D ．4·23n －1解析：选C(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)?a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝()A ．64B ．81C ．128D ．243解析：选Aq ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3?a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(20xx ·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n1－2＝2n －1－12.答案：22n －1－125．(20xx ·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－2 1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．等比数列的判定与证明典题导入[例1]已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．[自主解答](1)证明：∵a n＋S n＝n，①∴a n＋1＋S n＋1＝n＋1.②②－①得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，∴2a n＋1＝a n＋1，∴2(a n＋1－1)＝a n－1，∴a n＋1－1a n－1＝12.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝12，c1＝－12.又c n＝a n－1，故{c n}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n＝－12·12n－1＝－12n，∴a n＝c n＋1＝1－12n.在本例条件下，若数列{b n}满足b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2)，证明{b n}是等比数列．证明：∵由(2)知a n＝1－12 n，∴当n≥2时，b n＝a n－a n－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12也符合上式，∴b n＝12n.∵b n＋1b n＝12，∴数列{b n}是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q(q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q(q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1．(20xx ·沈阳模拟)已知函数f(x)＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }()A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选A由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log a a n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a>0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2](20xx ·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[自主解答]设{a n }的公比为q ，由题设得a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得a 1＝3，q ＝2或a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(20xx ·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)．因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，解得d ＝2.所以a n ＝2n(n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝32＋34＋ (32)＝91－9n1－9＝98(9n－1)．等比数列的性质典题导入[例3](1)(20xx ·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为()A.12B.32C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于()A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3[自主解答](1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32.(2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34. [答案](1)B(2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(20xx·新课标全国卷)已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5 D．－7(2)(20xx·成都模拟)已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝()A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C.323(1－4－n) D.323(1－2－n)解析：(1)选D法一：由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，解得q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.法二：由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.则q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，故a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.(2)选C∵a2＝2，a5＝14，∴a1＝4，q＝12，a n a n＋1＝122n－5.故a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝81－14n1－14＝323(1－4－n)．1．设数列{a n}是等比数列，前n项和为S n，若S3＝3a3，则公比q为()A．－12B．1C．－12或1 D.14解析：选C当q＝1时，满足S3＝3a1＝3a3.当q≠1时，S3＝a11－q31－q＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2，解得q＝－12，综上q＝－12或q＝1.2．(20xx·东城模拟)设数列{a n}满足：2a n＝a n＋1(a n≠0)(n∈N*)，且前n项和为S n，则S4 a2的值为()A.152B.154C．4 D．2解析：选A由题意知，数列{a n}是以2为公比的等比数列，故S4a2＝a11－241－2a1×2＝152.3．(20xx·安徽高考)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵等比数列{a n}的各项都是正数，∴a7＝4.又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.4．已知数列{a n}，则“a n，a n＋1，a n＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝a n a n＋2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A显然，n∈N*，a n，a n＋1，a n＋2成等比数列，则a2n＋1＝a n a n＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(20xx·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16解析：选B设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知：2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30.6．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝()A.32B.32或23C.23D．以上都不对解析：选B设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a<c<d<b，则a·b＝c·d＝2，a＝12，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝92，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝92，则mn＝32或mn＝23.7．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案：168．(20xx·江西高考)等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为 1.若a1＝1，则对任意的n ∈N*，都有a n＋2＋a n＋1－2a n＝0，则S5＝________.解析：由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a11－q51－q＝1－－253＝11.答案：119．(20xx·西城期末)已知{a n}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________；1 a21＋1a22＋…＋1a2n＝________.解析：∵{a n}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，故a n＝a12n－1＝2n，∴1a n＝12n，1a2n＝14n，即数列1a2n是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a21＋1a22＋…＋1a2n＝141－14n1－14＝131－14n.答案：2131－14n10．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列，∴S n＝2n－1，又当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴a n＝1，n＝1，2n－2，n≥2.(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋24n－13＝22n＋1＋13.11．设数列{a n}的前n项和为S n，其中a n≠0，a1为常数，且－a1，S n，a n＋1成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1－S n，问：是否存在a1，使数列{b n}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n＝a n＋1－a1.当n≥2时，有2S n＝a n＋1－a1，2S n－1＝a n－a1.两式相减，得a n＋1＝3a n(n≥2)．又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，a n≠0，所以数列{a n}是首项为a1，公比为3的等比数列．因此，a n＝a1·3n－1(n∈N*)．(2)因为S n＝a11－3n1－3＝12a1·3n－12a1，b n＝1－S n＝1＋12a1－12a1·3n.要使{b n}为等比数列，当且仅当1＋12a1＝0，即a1＝－2.所以存在a1＝－2，使数列{b n}为等比数列．12．(20xx·山东高考)已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m.求数列{b m}的前m项和S m.解：(1)设数列{a n}的公差为d，前n项和为T n，由T5＝105，a10＝2a5，得5a1＋5×5－12d＝105，a1＋9d＝2a1＋4d，解得a1＝7，d＝7.因此a n＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．(2)对m∈N*，若a n＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此b m＝72m－1.所以数列{b m}是首项为7，公比为49的等比数列，故S m＝b11－q m1－q＝7×1－49m1－49＝7×72m－148＝72m＋1－748.1．若数列{a n}满足a2n＋1a2n＝p(p为正常数，n∈N*)，则称数列{a n}为“等方比数列”．甲：数列{a n}是等方比数列；乙：数列{a n}是等比数列，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若a2n＋1a2n＝p，则a n＋1a n＝±p，不是定值；若a n＋1a n＝q，则a2n＋1a2n＝q2，且q2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件．2．(20xx·浙江高考)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析：法一：S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，化简得2q2－q－3＝0，解得q＝32(q＝－1不合题意，舍去)．法二：设等比数列{a n}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．∵q>0，∴q＝3 2 .答案：3 23．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝4a n－3(n∈N*)．(1)证明：数列{a n}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b n＋1＝a n＋b n(n∈N*)，且b1＝2，求数列{b n}的通项公式．解：(1)证明：依题意S n＝4a n－3(n∈N*)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·43n －1－1(n≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·43n －1－1.1．(20xx ·大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝()A ．2n －1 B.32n －1C.23n －1D.12n －1解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32.又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12，∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列，∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋121－32n －11－32＝32n －1.( 也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，求得S n ＝32n －1)2．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{a n}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求S n.解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－1 2 .(2)由(1)可得a1－a1－122＝3.故a1＝4，从而S n＝41－－12n1－－12＝831－－12n.3．已知等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋c nb n＝a n＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.解：(1)∵a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．∵d>0，故解得d＝2.∴a n＝1＋(n－1)·2＝2n－1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{b n}的公比为3，∴b n＝3·3n－2＝3n－1.(2)由c1b1＋c2b2＋…＋c nb n＝a n＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋c n－1b n－1＝a n.两式相减得：n≥2时，c nb n＝a n＋1－a n＝2.∴c n＝2b n＝2·3n－1(n≥2)．又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴c n＝3，n＝1，2·3n－1，n≥2.∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。

【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练30等比数列及其前n项和理新人教B版

——教学资料参考参考范本——【高中教育】高考数学一轮复习课时规范练30等比数列及其前n项和理新人教B版______年______月______日____________________部门基础巩固组1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2= ( )A.2B.1C.D.2.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( )A. B.9 C.±9 D.353.(20xx安徽黄山二模,理3)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N+),则S5=( )A.31B.42C.37D.474.设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an5.(20xx全国Ⅲ,理9)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.86.(20xx辽宁鞍山一模,理4)已知数列{an}满足=an-1·an+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8= ( )A.84B.63C.42D.21 〚导学号21500732〛7.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.8.(20xx北京,理10)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= .9.(20xx江苏,9)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8= .10.(20xx安徽池州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求a1+a3+…+a2n+1.综合提升组11.(20xx四川广元二诊,理6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an=Sn+2成立.若bn=log2an,则b1 008=( )A.2 017B.2 016C.2 015D.2 01412.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1·a2·a3·…·an的最大值为.13.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.创新应用组14.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n.(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;(2)求证:数列为等比数列,并求出{an}的通项公式.〚导学号21500733〛参考答案课时规范练30 等比数列及其前n项和1.C ∵a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=.2.B ∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48==3,a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49==9.3.D ∵an+1=Sn+1(n∈N+),∴Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N+),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N+),∴数列{Sn+1}是首项为3,公比为2的等比数列.则S5+1=3×24,解得S5=47.4.D Sn==3-2an,故选D.5.A 设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.6.C ∵=an-1·an+1(n≥2),∴数列{an}是等比数列,设其公比为q,∵a2=3,a2+a4+a6=3+3q2+3q4=21,即q4+q2-6=0,解得q2=2或q2=-3(舍去),∴a4+a6+a8=a2q2+a4q2+a6q2=2(a2+a4+a6)=42,故选C.7.- 由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-.8.1 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.9.32 设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=,∴a1+a2+a3=.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=,a1=,∴a8=a1·q7=×27=32.10.解(1)∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,∴Sn=2n-1,又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.当n=1时,a1=1,不适合上式.∴an=(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列,∴a3+a5+…+a2n+1=.∴a1+a3+…+a2n+1=1+.11.A 在an=Sn+2中,令n=1得a1=8,∵an=Sn+2成立,∴an+1=Sn+1+2成立,两式相减得an+1-an=an+1,∴an+1=4an,又a1≠0,∴数列{an}为等比数列,∴an=8·4n-1=22n+1,∴bn=log2an=2n+1,∴b1 008=2 017,故选A.12.64 由已知a1+a3=10,a2+a4=(a1+a3)q=5,得q=,所以a1=8,所以a1·a2·a3·…·an=8n·,所以当n=3或n=4时,a1·a2·a3·…·an取最大值为=26=64.13.解 (1)由已知,得a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=.14.(1)解在Sn=2an+(-1)n中分别令n=1,2,3,得解得(2)证明由Sn=2an+(-1)n(n∈N+)得Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减,得an=2an-1-2(-1)n(n≥2).∴an=2an-1-(-1)n-(-1)n=2an-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2),∴an+(-1)n=2(n≥2).∴数列是以a1-为首项,以2为公比的等比数列.∴an+(-1)n=×2n-1.∴an=(-1)n.。

高考数学一轮复习第5单元数列第30讲等比数列及其前n项和课件理

a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=
.
[答案] 2 ��1�� = 2,
[解析] 由条件知 ��1��3-��1��2 = 4, �� > 1,
可得 q=2.
课前双基巩固
2.[教材改编] 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
6
=18.
课前双基巩固
3.在1和 4 之间插入 3 个数,使它们与这两个数依次构成等比
4
数列,则这 3 个数的积．为
.
[答案] 1
[解析] 设插入的 3 个数依次为 a,b,c.则1,a,b,c,4 成等比数列,由等
4
比数列的性质可得 b2=ac=1×4=1.
4
又因为 a2=14b>0,则 b=1.所以这 3 个数的积为 abc=1×1=1.
4.[2017·全国卷Ⅲ] 设等比数列{an}满足
a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4=
.
[答案] -8
[解析] 设等比数列{an}的公比为 q.
由 ��1 + ��2 = -1,得 ��1 + ��1�� = -1①,
��1-��3 = -3,
为
.
[答案] 64
[解析] 设该等比数列的公比为 q,则
q=��2 +��4 =1 ,可得
��1+��3 2
a1+14a1=10,得
a1=8,所以
an=8·12
n-1=
1 2
n-4.所以
a1a2…an=

高考第一轮复习数学：3.3 等比数列高考数学第一轮复习教案集新课标人教版高考数学第一轮复习

3.3 等比数列●知识梳理数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：a n =a 1q n －1，推广形式：a n =a m q n －m .变式：q =mn mna a -（n 、m ∈N *）. n 项和S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--=).10(11)1(),1(111q q q qa a q q a q na n n 或注：q ≠1时，m n S S =mnq q --11.4.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为q a 、a 、aq ，四个数可设为3qa、qa、aq 、aq 3为好. 6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数；（2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . ●点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是215-215-251-251-解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B2.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于10B.2201615解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220. 答案：B3.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为B.10解析：由题意列式（1－20%）n ＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈n ≥14.答案：C4.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 11 3 3 1 1 4 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .答案：2n －2n ●典例剖析【例1】已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n . 剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a 解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n .评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.思考讨论用a 2和q 来表示其他的量好解吗？该题的{a n }若成等差数列呢？【例2】已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1， ∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n－n ＝3n －n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a n k 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.【例3】设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.① 又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列， ∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.② 由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得 a n +1=1+⋅n n b b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n .∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立. ∴a n =2)1(+n n . 评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.特别提示1.{a n }为等比数列是a n +12=a n ·a n +2的充分但不必要条件.2.若证{a n }不是等比数列，只需证a k 2≠a k －1a k +1（k 为常数，k ∈N ，且k ≥2）. ●闯关训练夯实基础1.若等比数列{a n }的公比q ＜0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是 A.S 8a 9＞S 9a 8B.S 8a 9＜S 9a 8 C.S 8a 9=S 9a 8解析：由等比数列通项公式和前n 项和公式得 S 8·a 9－S 9·a 8=－q q a --1)1(81·a 1q 3－qq a --1)1(91·a 1q 7 =q a q q q a ----1)]()[(16716821=qq q a --1)(7821=－a 12q 7.又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8. 答案：Ar ，三年定期的年利率为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于A.1)1(3-+rB.31［（1+r ）3－1］C.（1+r ）3－1D.r解析：由题意得（1+r ）3＜1+3q ，故q ＞31［（1+r ）3－1］. 答案：B3.（2003年某某，8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=___________.解析：由题意知q q a n --1)1(1＜qa-11且|q |＜1对n ∈N 都成立，∴a 1＞0，0＜q ＜1.答案：（1，21）（a 1＞0，0＜q ＜1的一组数） 4.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =___________________.解析：分解因式可得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即n n a a 1+=1+n n .又a 1=1，由累积法可得a n =n1. 答案：n1“*”对于任意非零自然数n 满足以下运算性质：（1）1*1=1；（2）（n +1）*1=3（n *1）. 试求n *1关于n 的代数式.解：“n *1”是一个整体，联想数列通项形式，设n *1=a n ，则a 1=1，a n +1=3a n ，得a n =3n－1，即n *1=3n －1.6.等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n项之和为S n ，且S n =80，S 2n =6560，求：（1）前100项之和S 100. （2）通项公式a n .解：设公比为q ，∵S 2n －S n =6480＞S n ， ∴qa n =a 1q n －1（∵a n ＞0）.①又S n =q q a n --1)1(1=80，②S 2n =qq a n --1)1(21=6560，③由①②③解得a 1=2，q =3，则（1）前100项之和S 100=13)13(2100--=3100－1.（2）通项公式为a n =2·3n －1. 培养能力7.数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1=a 1，b n =a n －a n －1（n ≥2），若a n +S n =n . （1）设=a n －1，求证：数列{}是等比数列；（2）求数列{b n }的通项公式.（1）证明：∵a 1=S 1，a n +S n =n ，∴a 1+S 1=1，得a 1=21. 又a n +1+S n +1=n +1，两式相减得2（a n +1－1）=a n －1，即111--+n n a a =21，也即n n c c 1+=21，故数列{}是等比数列.（2）解：∵c 1=a 1－1=－21， ∴=－n 21，a n =+1=1－n 21，a n －1=1－121-n . 故当n ≥2时，b n =a n －a n －1=121-n －n 21=n 21.又b 1=a 1=21，即b n =n 21（n ∈N *）.8.设数列｛a n ｝、｛b n ｝（b n ＞0，n ∈Ｎ*），满足a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++（n ∈Ｎ*），证明：｛a n ｝为等差数列的充要条件是｛b n ｝为等比数列.证明：充分性：若｛b n ｝为等比数列，设公比为q ，则a n ＝n q q q b n n )lg(lg 121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+＝nq b n n n 2)1(1lg lg -+＝lg b 1＋（n －1）lg q 21，a n ＋1－a n ＝lg q 21为常数，∴｛a n ｝为等差数列. 必要性：由a n ＝nb b b nlg lg lg 21+⋅⋅⋅++得na n ＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ，（n ＋1）a n ＋1＝lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n ＋1，∴n （a n ＋1－a n ）＋a n ＋1＝lg b n ＋1. 若｛a n ｝为等差数列，设公差为d ，则nd ＋a 1＋nd ＝lg b n ＋1，∴b n ＋1＝10nd a 21+，b n ＝10d n a )1(21-+. ∴nn b b 1+＝102d 为常数. ∴｛b n ｝为等比数列. 探究创新 9.有点难度哟！设数列｛a n ｝，a 1＝65，若以a 1，a 2，…，a n 为系数的二次方程：a n －1x 2－a n x ＋1＝0（n ∈Ｎ*且n ≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求证:｛a n －21｝为等比数列；（2）求a n ；（3）求｛a n ｝的前n 项和S n . （1）证明：∵α＋β＝1-n n a a ，αβ＝11-n a 代入3α－αβ＋3β＝1得a n ＝31a n －1＋31， ∴21211---n n a a ＝2121313111--+--n n a a ＝31为定值. ∴数列｛a n －21｝是等比数列. （2）解：∵a 1－21＝65－21＝31，∴a n －21＝31×（31）n －1＝（31）n .∴a n ＝（31）n ＋21.（3）解：S n ＝（31＋231+…+n 31)+2n ＝311)311(31--n +2n ＝21+n －n 321⨯. ●思悟小结1.深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2.运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明1-n na a （n ≥2）为常数；（2）利用等比中项，即证明a n 2=a n －1·a n +1（n ≥2）. ●教师下载中心教学点睛1.等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应让学生熟练掌握、灵活运用.2.解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a 1、a n 、n 、q 、S n 可以“知三求二”；（2）分类讨论的思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列，当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.“基本量”是解决问题的基本方法. 拓展题例【例1】数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 解：由a n =21a n －1+1，得a n －2=21（a n －1－2）. 令b n =a n －2，则b n －1=a n －1－2，∴有b n =21b n －1. ∴b n =21b n －1=21·21b n －2=21·21·21b n －3 =…=b 1=（21）n －1·b 1. ∵a 1=1，∴b 1=a 1－2=－1. ∴b n =－（21）n －1.∴a n =2－121-n .【例2】已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a，…，a n +1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式. 分析：由数列{log 2（a n +1－3n a）}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a n +1与a n的一个递推关系式①；由数列{a n +1－2n a}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a n +1与a n 的另一个递推关系式②.解两个关系式的方程组，即可求出a n .解：∵数列{log 2（a n +1－3na ）}是公差为－1的等差数列， ∴log 2（a n +1－3n a ）=log 2（a 2－31a 1）+（n －1）（－1）=log 2（3619－31×65）－n +1=－（n +1），于是有a n +1－3n a =2－（n +1）.① 又∵数列{a n +1－21a n }是公比为31的等比数列，∴a n +1－21a n =（a 2－21a 1）·3－（n －1）=（3619－21×65）·3－（n －1）=3－（n +1）.于是有a n +1－21a n =3－（n +1）.②由①－②可得61a n =2－（n +1）－3－（n +1），∴a n =n 23－n 32.。

高考数学一轮复习专题30 等比数列教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题30 等比数列1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m qn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q.3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m ．(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n．高频考点一等比数列基本量的运算例1、(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2) (2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________. 答案 (1)B (2)6解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q 51－q＝41－1251－12＝314. (2) 设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，【感悟提升】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【变式探究】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________.(2)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2.a 3＋4构成等差数列，则a n ＝________. 解析 (1)由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2. (2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，所以q ＝2，所以a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.答案 (1)－2 (2)2n －1高频考点二等比数列的判定与证明例2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式.∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列.(2)解由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .【方法规律】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【变式探究】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.高频考点三等比数列的性质及应用例3、(1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A.2B.1C.12D.18(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A.2 B.73C.83D.3S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)C (2)B【方法规律】(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【变式探究】 (1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.(2)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为________.答案 (1)8 (2)－3 31..【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为．【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4n =时，12n a a a 取得最大值6264=.2.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30TS.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析【解析】（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n -=∈N .（2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n -=>∈N ，11133(32k k k a -++=+++=因此，1r k S a +<.设k 是E 中的最大数，为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+，∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 . 【答案】21n-1(1)1221112n nn n a q S q --===---.1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列【答案】D 【解析】因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．2．（2014·安徽卷）数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】1 【解析】因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.3．（2014·广东卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．【答案】504．（2014·全国卷）等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C【解析】设数列{a n}的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×52＝4.5．（2014·湖北卷）已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n<60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n[2＋（4n －2）]2＝2n 2.6．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.【解析】(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.7．（2014·山东卷）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋18.（2014·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】(1)∵a，b ，c 成等差数列，∴a＋c ＝2b. 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)， ∴sin A＋sin C ＝2sin(A ＋C)． (2)∵a，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.9．（2014·天津卷）设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．【答案】－12【解析】∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.10．（2014·天津卷）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M，i ＝1，2，…，n}．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A. (2)设s ，t∈A，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M，i ＝1，2，…，n.证明：若a n <b n ，则s<t.＝（q －1）（1－q n －1）1－q －q n －1＝－1<0，所以s<t.11．（2013·新课标全国卷Ⅰ）若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．【答案】(－2)n －1【解析】因为S n ＝23a n ＋13①，所以S n －1＝23a n －1＋13②，①－②得a n ＝23a n －23a n－1，即a n ＝－2a n －1，又因为S 1＝a 1＝23a 1＋13a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.12．（2013·北京卷）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d(n ＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.【解析】(1)d 1＝d 2＝1，d 3＝d 4＝3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列，且d≥0，所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…. 因此A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1，d n ＝a n －a n ＋1＝－d(n ＝1，2，3，…)．设m 为满足a m >2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k<m，a k ≤2. 又因为a 1＝2，所以A m －1＝2，且A m ＝a m >2，于是，B m ＝A m －d m >2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }>1.故d m －1＝A m －1－B m －1<2－1＝1，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1，a n ≤2＝a 1，所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m>n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为113．（2013·北京卷）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．【答案】2 2n ＋1－2【解析】 ∵a 3＋a 5＝q(a 2＋a 4)， ∴40＝20q ，q ＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20， ∴a 1＝2，∴a n ＝2n，∴S n ＝2n ＋1－2.14．（2013·江西卷）等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 【答案】A15．（2013·江苏卷）在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n的最大正整数n 的值为________．【答案】12【解析】设{a n }的公比为q.由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.16．（2013·湖南卷）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．【答案】(1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1＝－12102－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12102＋2×122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122501－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12100＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 17．（2013·辽宁卷）已知等比数列{}a n 是递增数列，S n 是{}a n 的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．【答案】63【解析】由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.18．（2013·全国卷）已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6. (1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．【解析】(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|＜2 2，代入①并化简得由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．19．（2013·全国卷）已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【答案】C 【解析】由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是公比为－13的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1310＝3(1－3－10)．20．（2013·陕西卷）设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，即a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，即a 21q 2k＋2a 1q k＝a 1q k －1·a 1qk ＋1＋a 1qk －1＋a 1qk ＋1，∵a 1≠0，∴2q k＝qk －1＋q k ＋1.∵q≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．21．（2013·四川卷）在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋8d)，所以a 1＋d ＝4，d(d －3a 1)＝0.解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3.即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.22．（2013·新课标全国卷Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 【答案】C【解析】S 3＝a 2＋10a 1a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1a 3＝9a 1q 2＝9，a 5＝9a 3q 2＝9a 3＝1a 1＝a 3q 2＝19，故选C. 23．（2013·重庆卷）已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．【答案】64【解析】设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S 8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64.1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A.1 B.±1C.2D.±2解析由a 2a 3a 4＝a 33＝8，得a 3＝2，所以a 7＝a 3·q 4＝2q 4＝8，则q 2＝2，因此a 1＝a 3q2＝1.3.一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ) A.55 986 B.46 656C.216D.36答案 B4. 在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A.12 B.13 C.14 D.15解析设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 答案 C5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150B.－200C.150或－200D.400或－50答案 A6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．答案 3解析由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)， ∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4， ∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． ∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2.(2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n－2 (n ≥2)， ∴a n －1－a n －2＝2n －1－2 (n >2)，…，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋ (2))－2(n －1)， ∴a n ＝(2＋22＋23＋ (2))－2n ＋2 ＝22n－12－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n .∴S n ＝41－2n1－2－n 2＋2n2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4)．10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列．又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0. 由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． 11.设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n＋1}不是等比数列.。

2020届高考数学一轮复习第30讲等比数列及其前n项和

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2
3
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(3)证明:由 1
��
=3��1�� -1>31��
,得 1 + 1
��1 ��
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[答案] (1)C (2)D [解析] (1)方法一:设等比数列

高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和学案

第30讲等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示．(2)等比中项如果三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，那么__G a ＝bG__，即__G 2＝ab __.2．等比数列的有关公式 (1)等比数列的通项公式设等比数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，q ≠0，则它的通项公式a n ＝__a 1·q n －1__.(2)等比数列的前n 项和公式等比数列{}a n 的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝__na 1__；当q ≠1时，S n ＝__a 1(1－q n )1－q __＝__a 1－a n q1－q__.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·__qn －m__(n ，m ∈N *)．(2)若{}a n 为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{}a n ，{}b n (项数相同)是等比数列，则{}λa n (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{}a 2n ，{}a n ·b n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n__.1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)常数列一定是等比数列．( × ) (2)等比数列中不存在数值为0的项．( √ )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{}a n 为等比数列．( × )(4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(5)若等比数列{}a n 的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n.( × )(6)数列{}a n 的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(7)q ＞1时，等比数列{}a n 是递增数列．( × )(8)在等比数列{}a n 中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q .( × ) 解析 (1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列，故错误．(2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正确． (3)错误．当q ＝0时，{a n }不是等比数列，故错误．(4)错误．当G 2＝ab ＝0时，G 不是a ，b 的等比中项，故错误． (5)错误．等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1，故错误．(6)错误．当a ＝1时，S n ＝n ，故错误．(7)错误．当q >1，a 1<0时，等比数列递减，故错误．(8)错误．若a n ＝1，a 1·a 3＝a 4·a 5＝1，但1＋3≠4＋5，故错误．2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 满足的条件是( D ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠1解析由等比数列定义可知，a ≠0且1－a ≠0，即a ≠0且a ≠1，故选D ． 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝( C ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.4．在等比数列{}a n 中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝__－4__，S 4＝__51__.解析 ∵a 4＝a 1·q 3，∴q 3＝－64，q ＝－4， S 4＝－[1－(－4)4]1－(－4)＝256－15＝51.5．在等比数列{}a n 中，若a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝__25__. 解析由等比数列的性质知a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5， ∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25.一等比数列的基本量计算解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{}a n 的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{}a n 的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.【例1】 (1)已知等比数列{}a n 满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84(2)(2018·河南开封模拟)正项等比数列{}a n 中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{}a n 的前9项和等于__1_022__.(3)在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{}a n 的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__6__. 解析 (1)∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21. ∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42. (2)∵{a n }为正项等比数列，∴q 2＝a 4a 2＝164＝4， ∴q ＝2，a 1＝2，∴S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝2(1－29)1－2＝210－2＝1 022.(3)∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2(1－2n)1－2＝126，∴n ＝6.二等比数列的性质及应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【例2】 (1)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)设等比数列{}a n 中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( A ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558(3)已知等比数列{}a n 中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( A ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析 (1)∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C ．(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，在等比数列中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.(3)a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.三等比数列的判定与证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．【例3】数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＋a n ＝－12n 2－32n ＋1(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{}b n 是等比数列； (2)求数列{}nb n 的前n 项和T n .解析 (1)证明：因为a n ＋S n ＝－12n 2－32n ＋1，所以当n ＝1时，2a 1＝－1，则a 1＝－12；当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝－12(n －1)2－32(n －1)＋1，所以2a n －a n －1＝－n －1，即2(a n ＋n )＝a n －1＋n －1. 所以b n ＝12b n －1(n ≥2)．又因为b 1＝a 1＋1＝12，所以数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列．所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)由(1)，得nb n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①，得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，即T n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n2n ＝2－n ＋22n.1．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{}a n －1是等比数列，则λ的值等于( D )A ．1B ．－1C ．12D ．2解析由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.2．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝__34__.解析由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34.3．已知正项数列{}a n 是首项为2的等比数列，且a 2＋a 3＝24. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝2n3a n，求数列{}b n 的前n 项和T n .解析 (1)设正项数列{a n }的公比为q ，则2q ＋2q 2＝24， ∴q ＝3(q ＝－4舍去)，∴a n ＝2×3n －1.(2)∵b n ＝2n 3a n ＝2n 3×2×3n －1＝n 3n ， ∴T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ，①∴13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1，② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1，∴T n＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n1－13－n 3n ＋1＝3n ＋1－2n －34×3n. 4．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n ，由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.易错点不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号错因分析：①等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号也都相同．②只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．【例1】等比数列{}a n 中，a 5，a 9是方程7x 2＋18x ＋7＝0的两个根，试求a 7.解析由韦达定理得a 5＋a 9＝－187，a 5a 9＝1，∴a 5＜0，a 9＜0.∵a 27＝a 5a 9＝1，且a 7＝a 5q 2＜0，∴a 7＝－1.【跟踪训练1】若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为解析设这五个数依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5. ∵a 23＝a 1a 5＝4，且a 3＞0，∴a 3＝2.又a 22＝a 1a 3＝2，∴a 2＝±2，当a 2＝2时，a 4＝22；当a 2＝－2时，a 4＝－2 2. ∴插入的三个数依次为2，2,22或－2，2，－2 2.课时达标第30讲[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C ) A ．13 B ．－13C ．12D ．－12解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ·3n －1－16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2，因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2018·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5＝( B )A ．－2B ．－ 2C ．± 2D ． 2解析根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝2n －1，故选D ．5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是__4__. 解析设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.解析由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5.9．(2018·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__2__；前n 项和S n ＝__2n ＋1－2__.解析由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q (1＋q 2)＝20，a 1q 2(1＋q 2)＝40，解得q ＝2，a 1＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3(舍去)，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1，所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.11．(2018·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 1(1－q 4)1－q ＝4027，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .因为n ∈N *，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以0<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <32.12．(2018·湖北华师一附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1. 又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1. 令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n ]．两式相减得－2S n ＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n ]， ∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋…＋3n －(3n －2)×3n ] ＝2[(7－6n )·3n －7]．∴S n ＝7＋(6n －7)·3n .。

高考数学一轮复习方案第28讲数列的概念与简单表示法第30讲等比数列及其前n项和,含精细解析配套

高考数学一轮复习方案第28讲数列的概念与简单表示法第30讲等比数列及其前n 项和，含精细解析配套测评文北师大版(考查范围：第28讲～第30讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }共有10项，公差为2，奇数项的和为80，则偶数项的和为( )A ．90B ．95C ．98D ．1002．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 7＝( )A ．9B ．1C ．2D ．33．已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝2π，则cos(a 2＋a 8)＝( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.324．[2012·黄冈中学二联] 已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．8(2n －1) B.83(4n －1) C.163(2n －1) D.23(4n －1) 5．[2012·唐山三模] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7＝21，S 11＝121，则该数列的公差d ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．26．[2012·衡阳八中月考] 已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝52，则a 7a 8a 9＝( )A ．10B ．2 2C ．8 D. 27．[2012·合肥一中质检] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n8．[2012·珠海一中模拟] 设正项等比数列{a n }，若等差数列{lg a n }的公差d ＝lg3，且{lga n }的前三项和为6lg3，则{a n }的通项为( )A ．a n ＝nlg3B ．a n ＝3nC ．a n ＝3nD ．a n ＝3n －1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________．10．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若S 2∶S 5＝1∶4，则a 5∶a 9＝________．11．[2012·包头一模] 已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＋1＝|a n－a n－1|(n≥2)，则该数列前2 013项和等于________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知数列{a n}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，S n是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求T n＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．13．[2012·河北名校俱乐部模拟] 已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设公比大于1的等比数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，若a3＝b2＋2，T3＝7，求T n.14．[2012·长春二调] 在等差数列{a n}中，2a1＋3a2＝11，2a3＝a2＋a6－4，其前n项和为S n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n＝1S n＋n，求数列{b n}的前n项和T n.45分钟滚动基础训练卷(八)1．A [解析] 由已知d ＝2，所以偶数项的和为80＋5d ＝90.故选A.2．C [解析] 由已知得a 57＝32，所以a 7＝2.故选C.3．A [解析] 由已知得a 5＝2π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝4π3，所以cos(a 2＋a 8)＝－12.故选A.4．B [解析] q 3＝a 5a 2＝8，所以q ＝2，通项公式为a n ＝a 2qn －2＝2n ，所以a n a n ＋1＝22n ＋1＝2·4n .数列{a n a n ＋1}的前n 项和为S n ＝8（1－4n ）1－4＝8（4n －1）3.故选B. 5．B [解析] 由题意7a 1＋21d ＝21，11a 1＋55d ＝121，解得a 1＝－9，d ＝4，故选B.6．A [解析] 因为a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，公比为2，所以a 7a 8a 9＝(a 1a 2a 3)q2＝10，故选A.7．D [解析] 由8a 2＋a 5＝0知，公比q ＝－2，所以a 5a 3＝q 2＝4，S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113，a n ＋1a n＝q ＝－2，S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－qn ，根据n 的奇偶性可知，该式的结果不定．故选D. 8．B [解析] lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＝3lg a 2＝6lg3，得a 2＝9，又lg a 2－lg a 1＝lg3，所以a 1＝13a 2＝3，所以公比q ＝3，通项公式为a n ＝3n .故选B. 9．－25 [解析] S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.10．3∶5 [解析] 设公差为d ，则S 2S 5＝2a 1＋d 5a 1＋10d ＝14，解得a 1＝2d ，所以a 5a 9＝a 1＋4d a 1＋8d ＝35. 11．1 342 [解析] 因为a 1＝1，a 2＝1，所以根据a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，得a 3＝|a 2－a 1|＝0，a 4＝1，a 5＝1，a 6＝0，…，故数列{a n }是周期为3的数列．又2 013＝671×3，所以该数列前2 013项和等于671×2＝1 342.12．解：(1)由题意得2a 5＝4a 1－2a 3.∵{a n }是等比数列且a 1＝4，公比q ≠1，∴2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，∴q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝－2(舍去)或q 2＝1，∴q ＝－1.(2)∵a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为a 2＝4×(－1)＝－4，公比为q 2＝1的等比数列，∴T n＝na 2＝－4n .13．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，∵a 4＝6，a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝6，a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q >1)．由a n ＝2n －2，得a 3＝2×3－2＝4.∵a 3＝b 2＋2，∴b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1q ＝2，b 1（1＋q ＋q 2）＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2或 ⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，q ＝12.(舍) ∴T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1. 14．解：(1)2a 1＋3a 2＝2a 1＋3(a 1＋d )＝5a 1＋3d ＝11，2a 3＝a 2＋a 6－4，即2(a 1＋2d )＝a 1＋d ＋a 1＋5d －4，得d ＝2，a 1＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n 2， ∴b n ＝1S n ＋n ＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。

2019版高考数学一轮复习第五章数列第30讲等比数列及其前n项和学案

第30讲等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示．(2)等比中项如果三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，那么__G a ＝bG__，即__G 2＝ab __.2．等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比数列{}a n 的首项为a 1，公比为q ，q ≠0，则它的通项公式a n ＝__a 1·q n －1__.(2)等比数列的前n 项和公式等比数列{}a n 的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝__na 1__；当q ≠1时，S n ＝__a 1(1－q n )1－q __＝__a 1－a n q1－q__.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·__qn －m__(n ，m ∈N *)．(2)若{}a n 为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{}a n ，{}b n (项数相同)是等比数列，则{}λa n (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{}a 2n ，{}a n ·b n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列． (4)公比不为－1的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n__.1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)常数列一定是等比数列．( × ) (2)等比数列中不存在数值为0的项．( √ )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{}a n 为等比数列．( × )(4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(5)若等比数列{}a n 的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n.( × )(6)数列{}a n 的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(7)q ＞1时，等比数列{}a n 是递增数列．( × )(8)在等比数列{}a n 中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q .( × ) 解析 (1)错误．常数列0,0,0，…不是等比数列，故错误．(2)正确．由等比数列定义可知等比数列中不能有数值为0的项，故正确． (3)错误．当q ＝0时，{a n }不是等比数列，故错误．(4)错误．当G 2＝ab ＝0时，G 不是a ，b 的等比中项，故错误． (5)错误．等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1，故错误．(6)错误．当a ＝1时，S n ＝n ，故错误．(7)错误．当q >1，a 1<0时，等比数列递减，故错误．(8)错误．若a n ＝1，a 1·a 3＝a 4·a 5＝1，但1＋3≠4＋5，故错误．2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 满足的条件是( D ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠1解析由等比数列定义可知，a ≠0且1－a ≠0，即a ≠0且a ≠1，故选D ． 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝( C ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.4．在等比数列{}a n 中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝__－4__，S 4＝__51__. 解析 ∵a 4＝a 1·q 3，∴q 3＝－64，q ＝－4， S 4＝－[1－(－4)4]1－(－4)＝256－15＝51.5．在等比数列{}a n 中，若a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝__25__. 解析由等比数列的性质知a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5， ∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25.一等比数列的基本量计算解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{}a n 的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{}a n 的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.【例1】 (1)已知等比数列{}a n 满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84(2)(2018·河南开封模拟)正项等比数列{}a n 中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{}a n 的前9项和等于__1_022__.(3)在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{}a n 的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__6__. 解析 (1)∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21.∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42. (2)∵{a n }为正项等比数列，∴q 2＝a 4a 2＝164＝4， ∴q ＝2，a 1＝2，∴S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝2(1－29)1－2＝210－2＝1 022.(3)∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S n ＝126，∴2(1－2n)1－2＝126，∴n ＝6.二等比数列的性质及应用(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【例2】 (1)已知等比数列{}a n 满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)设等比数列{}a n 中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( A ) A ．18 B ．－18C ．578D ．558(3)已知等比数列{}a n 中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( A ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析(1)∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C ．(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，在等比数列中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.(3)a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.三等比数列的判定与证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．【例3】数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＋a n ＝－12n 2－32n ＋1(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{}b n 是等比数列； (2)求数列{}nb n 的前n 项和T n .解析 (1)证明：因为a n ＋S n ＝－12n 2－32n ＋1，所以当n ＝1时，2a 1＝－1，则a 1＝－12；当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝－12(n －1)2－32(n －1)＋1，所以2a n －a n －1＝－n －1，即2(a n ＋n )＝a n －1＋n －1. 所以b n ＝12b n －1(n ≥2)．又因为b 1＝a 1＋1＝12，所以数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列．所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)由(1)，得nb n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①，得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，即T n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n2n ＝2－n ＋22n.1．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{}a n －1是等比数列，则λ的值等于( D )A ．1B ．－1C ．12D ．2解析由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.2．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝__34__.解析由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34.3．已知正项数列{}a n 是首项为2的等比数列，且a 2＋a 3＝24. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝2n3a n，求数列{}b n 的前n 项和T n .解析 (1)设正项数列{a n }的公比为q ，则2q ＋2q 2＝24， ∴q ＝3(q ＝－4舍去)，∴a n ＝2×3n －1.(2)∵b n ＝2n 3a n ＝2n 3×2×3n －1＝n 3n ， ∴T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ，①∴13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1，② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1，∴T n＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n1－13－n 3n ＋1＝3n ＋1－2n －34×3n. 4．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n ，由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.易错点不知等比数列中奇数项同号、偶数项同号错因分析：①等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号也都相同．②只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．【例1】等比数列{}a n 中，a 5，a 9是方程7x 2＋18x ＋7＝0的两个根，试求a 7.解析由韦达定理得a 5＋a 9＝－187，a 5a 9＝1，∴a 5＜0，a 9＜0.∵a 27＝a 5a 9＝1，且a 7＝a 5q 2＜0，∴a 7＝－1.【跟踪训练1】若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别为解析设这五个数依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5. ∵a 23＝a 1a 5＝4，且a 3＞0，∴a 3＝2.又a 22＝a 1a 3＝2，∴a 2＝±2，当a 2＝2时，a 4＝22；当a 2＝－2时，a 4＝－2 2. ∴插入的三个数依次为2，2,22或－2，2，－2 2.课时达标第30讲[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24B ．0C ．12D ．24解析由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C ) A ．13 B ．－13C ．12D ．－12解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ·3n －1－16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2，因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2018·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5＝( B )A ．－2B ．－ 2C ．± 2D ． 2解析根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝2n －1，故选D ． 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是__4__. 解析设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.解析由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5.9．(2018·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝__2__；前n 项和S n ＝__2n ＋1－2__.解析由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q (1＋q 2)＝20，a 1q 2(1＋q 2)＝40，解得q ＝2，a 1＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3(舍去)，所以a n ＝2n. (2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1，所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.11．(2018·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 1(1－q 4)1－q ＝4027，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 因为n ∈N *，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以0<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <32. 12．(2018·湖北华师一附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1. 又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1. 令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n ]．两式相减得－2S n ＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n ]， ∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋…＋3n －(3n －2)×3n ] ＝2[(7－6n )·3n －7]．∴S n ＝7＋(6n －7)·3n .。

高考数学总复习课时作业(三十)第30讲等比数列及其前n项和理(2021年整理)

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课时作业（三十）第30讲等比数列及其前n项和基础热身1。

已知2是a与2—的等比中项,则a=()A.2—B.4(2—)C.2+D.4(2+)2.在等比数列{a n}中,a3=4，a6=，则公比q=()A.B.-C.2D.—23.[2017·常德一模］已知各项均为正数的等比数列的前n项和为S n，且S 3=14，a3=8，则a6=（）A.16B.32C。

64 D.1284。

在等比数列中，公比q=，a3a5a7=64,则a4= .5.[2017·太原质检］设S n是等比数列的前n项和，若S2=2,S6=4，则S4= 。

能力提升6.［2017·绍兴柯桥区二模]已知等比数列的前n项和为S n，且满足a 5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比为(）A.2 B。

3C。

4 D.57.［2017·衡阳联考]已知数列为等比数列,且a3=-4,a7=—16，则a5=（)A.8B.—8C。

64 D。

—648。

已知等比数列满足log2a3+log2a10=1,且a5a6a8a9=16,则数列的公比为()A.2 B。

4C.±2 D。

±49。

[2017·泉州模拟]已知数列为等比数列,a4+a7=2,a5·a6=—8,则a1+a10的值为()A.7B.5C。

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